Благодарю Вас. Просто интеллектуальный бальзам испиваешь, слушая и вникая в известные математические истины, с которыми в обыденной жизни не сталкиваешься. Хорошая подборка уравнения! Продолжайте!
В одном паблике в инстаграме было видео по типу: "загадайте число, прибавьте то, умножьте на это и вычтите год вашего рождения. Вуаля: ваше загаданное число и возраст." А я люблю разгадывать такие "фокусы", за счет чего мы пришли к нужному ответу. И решила написать об этом в комментариях. За все время, это мой самый залайканный и закомментированный комментарий, в основном с восхищением, как же это так работает, сломала магию.😂 А так под видео все восхищаются, как же это так? Да вы волшебники! Вот действительно, магия та еще. 😂 Обычные математические действия, которые ни к чему не приводят, а возвращают в исходную точку. 🤷🏻♀️😅
В таком случае, требуется привести точные определения, как математики, так и магии. И в чём польза объяснимой математики? Даже ежу понятно, что выгоды применяемой магии, существенны.
@@БорисШаховнин-ь7жмагией люди называют то, что не могут объяснить. Покажи смартфон человеку из 70-ых он решит, что это - магия. Новые прорывные изобретения называют "чудеса", потому что люди, образование которых еще не достигло уровня изобретения воспринимают новые технологии как "чудо". Математика позволяет творить "чудеса" просто имея в арсенале только лист бумаги и карандаш (в училение калькулятор или абакс). В числе таких "чудес" - рассчитать массу и радиус планет солнечной системы, не имея возможности не то что на них побывать, но даже их разглядеть.
Красивое решение. Спасибо. Сэкономили кучу времени, но лишили радости нахождения решения. Рассматриваю такие задачи как тренажер. Вы показали хороший результат. 😀
так Вы копите приёмы, которыми подобные задачи решаются. Их не так много. После какие-то из них могут подойти в решении какой-то научной проблемы, если её удастся свести к формуле или неравенству. Так и делаются большинство кандидатских диссертаций.
Применение неравенства Коши - это было ярко( кстати есть версия для множества переменных, нер-во Коши-Буняковского, то же только для n переменных среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического, равенство реализуется, если все числа равны между собой). Единственное мне показался недостаточно обоснованным переход про равенство единицы в конце. Имхо более правильно показать, что исходя из равенства произведения единице, следует что степени с одинаковым основанием равны , значит и показатели равны выходит что выражение1 в квадрате равно минус выражение2 в квадрате, поскольку квадрат любого выражения неотрицателен, то равенство возможно только если оба выражения равны нулю. Так более обоснованно.
Мне пришло в голову немного другое решение. Преобразуем начальное выражение в 1=2^(4(x^2+y))+2^(4(x+y^2)) 2^(4(x^2+y))>0 и 2^(4(x+y^2))>0, но их сумма равна 1 => 2^(4(x^2+y))
«оба показателя целые, иначе бы сумма была иррациональным числом» это ошибочный вывод. Два иррациональных числа в сумме могут давать рациональное (например, √2-1 и 2-√2).
@@user-uo5wc5si7p Любое положительное число является степенью числа 16 с каким-нибудь показателем :) Этот логический переход некорректен: то, что показатели целые, не следует из того, что сумма рациональна. Например, 16^A + 16^B = 1 для A = log_16 (√2-1) и B = log_16 (2-√2), при этом оба числа A и B нецелые (и вообще иррациональные).
Для решения этого уравнения можно использовать один из способов: 1 = 16^(x^2+y) + 16^(y^2+x) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 16: log_16(1) = log_16(16^(x^2+y) + 16^(y^2+x)) Используем свойства логарифмов: 0 = x^2+y + log_16(1 + 16^(y^2+x-x^2-y)) Перенесем x^2+y в левую часть: -x^2-y = log_16(1 + 16^(y^2+x-x^2-y)) Введем новые переменные: z = -x^2-y w = y^2+x-x^2-y Тогда уравнение примет вид: z = log_16(1 + 16^w) Избавимся от логарифма, возводя обе части в степень 16: 16^z = 1 + 16^w Перенесем 1 в левую часть: 16^z - 1 = 16^w Вернемся к исходным переменным: 16^(-x^2-y) - 1 = 16^(y^2+x-x^2-y) Теперь можно решить это уравнение численно, например, с помощью метода Ньютона или бисекции. Одно из приближенных решений имеет вид: x ≈ -0.5 y ≈ -0.5
Перейти к последней строчке вашего чудесного решения можно простым делением на 16^(x^2+y) и переносом единички, так что смысла во всех этих рассуждениях через логарифмирование туда-обратно крайне мало. Численными примерными методами можно и исходное уравнение решать примерно с тем же успехом
@@СвободныйМатематик, я увлекаюсь пояснениями, но ни до такой степени, чтобы отгадывать. Математика в сети представлена широким кругом участников, поэтому, кто их знает, всех. И англичане, и китайцы, и корейцы, да и наши , часто балуются равенствами ни о чём. Была предложена методика решения одного уравнения с двумя неизвестными. Метод интересный, результат, сомнительный.
Ну ты гигант! Очень круто! Смотрю твои видео регулярно. Скоро внук в школу пойдет😂. Никогда раньше комментарии не писал. Но тут не удержался, уж очень красиво разложено!
Не не не, дружище, ты привел неравенство, потом заменил на равенство - по твоим же словам 1=А>=B>=1 . Далее ты просто приравниваешь ср. геометрическое к 1 ( В=1) и ищешь х у , даже не удосужившись проверить, а выполняется ли изначальное равенство при данных х и у ( спойлер - конечно да, задача же школьная , но обрывать рассуждения нельзя). Далее - не понравилось как ты небрежно "сокращаешь" степени двойки корня и подкоренного квадрата SQR (A^2) == |A| - а он равен модулю подкоренного - конкретно в этом случае пофигу, так как подкоренное - степенная функция, которая положительна, но подобная небрежность в другом случае наделает проблем - тебя ведь смотрят школьники в том числе. В общем задачка ничего, но нельзя так небрежно подходить к решению, нужно более формализовано .
Справа сумма двух положительных чисел. Значит каждое из них лежит от 0 до 1. Так как степень и основание симметричные, слагаемые могут быть равными. Проверяем 16^(x^2+y) = 1/2 и 16^(x+y^2) = 1/2. Отсюда легко находим x=y=-1/2. На самом деле не люблю такие решения. Если кому то покажется мое решние плохим я спорить не буду... но вот для меня все решения не в лоб являются плохими. Включая решение автора. Хорошее решение сродни алгоритму который может записать и решить любой человек не имеющий широкой эрудиции в тождествах, свойствах, не имеющий смекалку и выдумку. Уравнение с двумя переменными можно решать представив любую в качестве параметра. Простейший анализ и вот мы уже близки к решению и готовы объяснить почему данное уравнение имеет ровно 1 решение.
Я тоже так решил, как вы. Но тут же пришел следующий вопрос: "А другие решения есть или нет?" Предположил, что нет.Надо доказать, что если x != y, то результат будет больше. Можно ввести переменную k = y/x и найти минимум функции. Это делается в лоб, но надо взять производную. Я согласен с вами, но надо все же дорешать задачу :)
@@sergeyprimachenko2506ты внимательно читал ? Я привел пример такого же плохого решения. Просто случайно наткнулся на решение. Хорошее решение это алгоритм для класса задач. Все остальное можно назвать подбором.
Запишем уравнение 1=(4^(xx+y))^2+(4^(x+yy))^2, так как 1=sina^2+cosa^2,обозначим 4^(xx+y)=sina и 4^(x+yy)=cosa. Перемножив получим 4^(xx+y)×4^(x+yy)=sina×cosa= 1/2×sin2a=
вы не обосновали, почему замена 4^(xx+y)=sina и 4^(x+yy)=cosa возможна. Она следует из симметричности. Без этого такую замену делать нельзя. Например, в 1=(4^(x+y))^2+(4^(x+yy))^2
Как отсутствие симметрии противоречит такой замене? Обозначить одно из слагаемых за sinα мы может всегда, поскольку оно по модулю не больше 1. А дальше выражаем второе слагаемое через первое через корень квадратный, подставляем туда sinα и пользуемся формулой sqrt(1-cos^2α)=|sinα|. Конец.
Тут навязывается решение в виде системы уравнений x^2+y=-1/4 x+y^2=-1/4 Навязывается так как сразу видно что 16 это степень двойки, значит можно получить 1 как 1/2+1/2
Гораздо проще можно решить. Здесь симметрия относительно переменных. Очевидно, что единица может получиться только в том случае, если у нас складываются 1/2 и 1/2. Тогда получаем систему уравнений: 4х^2 +4у = -1 и 4у^2 +4х = -1. Элементарно решается путём вычитания и всё
@@chagkruzart7695 в этой задаче основания степени одинаковые и симметрия относительно замены переменных x, y. Я знаю, что бывают вредные методы, но в данном случае не нахожу никаких оснований полагать предложенный мной метод вредным, если только вы мне не укажите на них :)
1. Это можно было решить без неравенства Коши, предположив, что каждое из слагаемых равно 1/2, и в результате получить систему из 2 уравнений, которая без проблем решается с тем же результатом 2. На самом деле это было решение в действительных числах. Если расширить до комплексной плоскости, то получим бесконечное множество решений из 4 пар значений х и у (так как все сводится к уравнению 4 степени).
Комплексная плоскость!? Не смешите! Ничего не надо предполагать: в силу симметрии x=y и получается одно квадратное уравнение с одним (!) корнем кратности 2.
смутил момент: а почему два последних множителя обязательно должны быть равны единице, если единице равно их произведение? Почему первый, с иксами в степени, не может быть равен 1/2, а второй, с игреками, двум? (как теоретический пример, опровергающий исходное предположение)
@@alexeyrb1807 логично - квадраты всегда положительные, значит и число под их степенью будет не меньше единицы. Вчера этого момента не заметил, видимо поздно было 😊, жаль в видео не обратили на это внимания, хотя всё остальное разжевано по максимуму :)
потому что степени не отрицательные. в основании стоит 4. а 4>1. то есть чтобы число с таким основанием стало меньше 1, показатель степени должен быть отрицательным. но автор доказал, что в показатели степени стоит квадрат, значит оно не может быть отрицательным. наименьший вариант показателя степени - 0. то есть каждое из итоговых чисел никак меньше 1 получиться не может при любых значениях x и y. по отдельности
С ужасом смотрю видео по математике и вспоминаю школьный курс, в ожидании когда дети в школе дойдут до таких сложностей.😅 а ведь любимый предмет был у меня, отличник и тд, эх за 20 лет все забылось😢
Спасибо за задачу! Самое очевидное решение, предположить, что x=y, решить из этого и доказать, что функция достигает минимума в этой точке. Чуть сложнее, но ничего не надо вспоминать.
Ну симметричность уравнения прям хочет ввести предположение что x=y. Тогда сразу имеем 1=16^(x^2+x)+16^(x^2+x)=2*16^(x^2+x)=2^(4*x^2+4*x+1). Ну и 1= 2^0. Приравниваем степени 2^0=2^(4*x^2+4*x+1). 4*x^2+4*x+1=0. Решаем его и получаем x=-1/2. Который является решением. Ну и осталось показать что других корней нет.
из симметричности уравнения не вытекает того,что x=y,не пойму с чего вы все это взяли. могу это доказать,хотя бы даже из того,что в комплексных числах это тоже решается,причем x там не равен y, хотя и похожи (они являются сопряженными).
Неравенство Иенсена для выпуклой функции 16^х и потом для х+х^2 и y+y^2. Получаем, что правая часть всегда больше или равна 1 за исключением, когда неравенства становятся равенствавами. Это происходит только в одной точке на плоскости.
А если взять случаи взаимно-обратных чисел в конце решения? Возможно ли получить такие пары со степенью? В целом, я пришел к такому же решению без обоснования, нативно глядя на пример.
Я видео полностью не посмотрел и не знаю почему эту задачу, назвали "нерешаемой", но это задача школьного уровня когда разбирают показательные уравнения- если 16 представить как 2^4, а 2^-1=0.5 то чтобы из суммы чисел получилась единица нужно это уравнение представить как 2^0=2^(4*(x^2+y)+2^(4*(x+y^2) и это становится простеньким уравнением x^2+x+y^2+y=0, которую можно решить как обычное квадратное уравнение и получить такой же верный ответ
Вроде математика, а решение интуитивное. Делаем ТАК и ТАК не потому что этого требует ЛОГИКА, а вот просто наугад. Словно сначала было решение, затем его свернули в задачу. И разумеется, кроме того КТО сворачивал, все будут использовать перебор вариантов решения. Это какая-то... экспериментальная деятельность, прийти к РАБОЧЕМУ варианту решения, методом проб и ошибок, УГАДЫВАЯ... Короче - что-то тут не то... -_-
Делим на контекст. На левую часть. 16^(-x^2-y)+16^(-y^2-x)=1=16^(x^2+y)+16^(y^2+x) Отсюда, раз деление на обратные (а они меньше 1) должно дать больше 1, напрашивается вывод равенства степеней. Попарно. Извините. Немного путаюсь с трансформацией и тороплюсь. Приходится сразу другие методы прямого сопоставления инверсных функций (интуитивно), что есть следствие трансформации как здесь, ну и не всем понятна логика которая идёт без очевидного доказательства. А ты ж думаешь что это очевидно, раз в голове у тебя. Будто и для других натурально тоже самое.
Два непрерывных или прерывных встречных потока могут дать конечные точки пересечения. С раскрытыми неизвестными достаточными для решения. Как два ветра при пересечении, как лакмус в химической реакции. Что есть проявление. Как две функции с инверсными проявлениями. Что говорит о том, что конфликт может быть просто разрешён с минимизацией потерь при изъятии этих точек форсирующих конфронтацию с распространением на остальные части и смеси. Как военный конфликт, например. С каскадом на пре-пост факторы. Что говорит о том что парное разделение форсирует подобное при применении с любой стороны как у себя, так и на стороне противника. Являясь выигрышным фактором по другой причине - появлении внешнеконтекстных поперечных изменений разрушающих негатив противника. Это я написал в другом месте. Таким образом решение имеет тенденцию к саморазвитию с конечной точкой конфликта. Т.е. окончательной точки победы достигаемой с самоускорением. - Я балкер, а не бальник. И более. Каскадка касается планеты. Решения применяются исходя из справедливости и не могут быть кроме как преувалирующими на более справедливой стороне, хоть и сам конфликт говорит о её проблемах. Таким образом 'хотят ли русские войны?' - им решать. Возможно справедливой? 😉 А несправедливой - нет. Важно понимать что решение - есть. 😏
А с чего вы взяли, что произведение двух множитель равно единице только тогда, когда оба множителя равны единице? Например, 3 умножить на 1/3 равно единице, 23 умножить на 1/23 тоже равно единице, ну и т. д. Так что над задачкой нужно еще подумать))
Но ведь 1 могут дать и 1/2 на 2 и т.д. поэтому нельзя говорить что эти два множителя обязательно дают единицу если они оба равны еденице, у на 4 в степени с y- ками не обязательно должно быть равно 4 в степени с x-ми, поэтому я считаю что они просто также будут друг от друга зависеть
Я тоже пришёл к -0,5 но совершенно иным путём. (1) Поскольку оба слагаемых больше 0, то они же меньше 1. (2) Следовательно, обе степени меньше 0. (3) Для этого нужно, чтобы хх^2. (4) Легко заметить, что х и у лежат в диапазоне от 0 до -1 невключительно. Вот, считай, и решили.
Можно заметить, что уравнение симметричное и если решением является пара (x,y), то решением является и пара (y,x) и тогда можно заменить y на x и всё чудно решается логарифмированием.
Вообще-то, это решается намного проще. Разбиваем единицу пополам. Тогда получается, что х^2+у=-1/4, а х+у^2=-1/4. Отсюда, х^2+у =х+у^2 или х^2-х=у^2-у. Следовательно, мы должны добавить 1 к -1/4. Тогда х^2-х=3/4, х*(х-1)= (-1/2)*(-3/2) и х=-1/2. Те же самые манипуляции проводим с у и получаем у=-1/2. Намного проще и без заумностей.
0;44 ну вот откуда это свойство? есть ли учебник или что-то где оно записано равно и все прочие? каждый раз в решении кто-то вдруг вспоминает какооое-то свойство, о котором я никогда не слышал и решате любое уравнение
Прям сразу обе степени явно =-1/4, это и так видно. Но можно попробовать решить систему уравнений, где обе степени менее нуля и по модулю менее 1. Вроде проще.
Можно представить это дело, как сумму квадратов, потом, так как их сумма равна единице, представить одно из них, как синус некоего угла, а другое, как косинус, затем составить из них выражение для синуса двойного угла и дописать, что оно меньше или равно единице, единица это 4 в нулевой степени; "убираем" четвёрки, получается, что сумма квадратов x + 1/2 и y + 1/2 меньше либо равна нулю, а это возможно, если оба они равны нулю, отсюда ответ.
Утверждение в конце о равенстве единицы множителей произведения, так как их произведение равно единице, не верный. Первый множительно может быть, например, равен 1/2, а второй 2 и их произведение будет равно единицы. И таких комбинаций очень много.
Оба множителя не меньше единицы (как правильно заметил предыдущий комментатор), потому что в показатель степени - квадрат, квадрат всегда либо равен нулю, либо больше нуля, соответственно минимальное число, которое может получиться - единица
Сразу понятно что показатель степени дробный, да ещё и отрицательный, учитывая симметричность задачи. Корни в степенях угадываются мгновенно. При любых других значениях система уравнений из x^2 + y и y^2+x равных одному и тому же числу 1/4 не имеет решений. Зачем всё усложнять.
Усложнили чтобы доказать, что отсутствуют другие решения... Хотя согласен, есть способы проще, но на такой задачей показывают несколько приемов которые мало применяют в школьном курсе, вообшем говоря для расширения кругозора математического
Я поступил проще. Я воспользовался сайтом и построил график z=16^(x2+y)+16^(x+y2). И посмотрел что будет в плоскости парралельной xy проходящей через точку 1. И там, конечно же, такой же ответ. А вот то, что осталось выше... Там уже не одна точка, и график выходит достаточно интересный. Если не лень - советую попробовать. Я мучал desmos 3d, точнее его бета версию.
Решение конечно красивое, но не зная конечного ответа по такому пути никто в здравом уме не пошел бы 😁вероятность, что так красиво все в конце сложится, сократится и будет только одно решение - просто нулевая. Больше похоже на подгонку решения под конечный ответ, но если автор сам до этого дошел , снимаю шляпу.
Задача решается элементарно: в силу симметрии x=y, далее простейшее показательное уравнение и как следствие квадратное уравнение 4x^2+4x+1=0 c решением x=-1/2.
Круто, Я пошел по главному тригонометрическому уравнению и легко нашел ответ, но вот, как и было сказано - просто не пошел в сторону доказательства, что это единственный ответ
@@victorshevchuk4001 я знаю, что этот подход неправильный, я бы даже сказал бредовый. Но мы можем рассмотреть все возможные варианты решения уравнения с двумя переменными (x и y): 1) Корней нет 2) x = y 3) x = a, y = b (крайне редко в специфических замудренных ситуациях) 4) y = f(x) … Поэтому если мы не можем выразить y через x (1), ситуацию (3) мы не берем во внимание, можно попробовать (2) вариант. Если и он не работает, часто приходим к ответу (1). Это -максимально тупой- специфический метод быстрого «подбора» корней. Само собой работает не всегда, но, если ты не обладаешь превосходными навыками анализа, можно прибегнуть к нему ради забавы
Догадаться, в какую сторону «копать» при решении таких искусственных задачек, практически невозможно. Какой-то бездельник сидел день-два, подгонял параметры, чтобы они хорошо «улеглись» в его логику...
Смотрю уравнение, вижу окружность. Думаю что из этого можно говорить о симметричности уравнения и дальше вперед можно и логарифм применить и еще что-то интересное придумать. А тут слишком механистически все. Поэтому ушел в сторону физики
Сразу видно что слагаемые симметричны => 16^(x^2+y) = 1/2 => x^2+y=-1/4; y^2+x = -1/4. Попробуем решить в точки полной симметрии x^2+x+1/4=0. x = -1/2. y = -1/2 Был уверен что решение окажется в комплексной плоскости.
Так ведь там в конце умножение, это значит или а не и 2 множителя могут дать единицу если например один равен в 2, а другой ½. Или если один равен 3, а другой ⅓. У уравнения бесконечное колво решений
Только у нас не будет взаимообратных числе, так как у нас 4 возводитсься в неотоицательную степень, а значит оба множителя будут не мнньше единицы (если не рассматривать комплексные числа)
Ну намудрил: ты еще про группы Ли расскажи! Элементарно: в силу симметрии x=y b и далее простейшее показательное уравнение , которое сводится к квадратному.
Я решал по-другому. Да, напрашивается, что x=y и тогда легко можно получить ответ, но где доказательство, что других вариантов нет? Сама по себе симметрия - это только подсказка, что надо искать посередине. И несложно показать, что x=-2. Это простое школьное неравенство, получаем (a-1/2)^2
@@ВладимирТаратынов-р8ю , в контексте понятно, что задача была для класса 7-го,8-го. Так-то, можно вообще вбить уравнение в машину и решать численным приближением)
@@Мама-анархия Интересно, где вы видели показательные функции в 7 или даже в 8 классе? А раз они есть, то имеем право и на логарифмы. А машинные вычисления - это не то же самое, что аналитическое решение. Там приближение, а тут точность. И на машине не докажешь, что других решений нет. Кстати, автор тоже по сути логарифмирует, просто не пишет нигде сам логарифм
во первых,коэффициенты при икс квадрате и икс уже есть,во вторых 1/2 и так раскладывается как 2*(1/4),соответственно,что мудрить. да и даже если было б 1/16 или 9,то тоже можно было разложить как по вашему.дело тут не в том какой свободный член подобрать,а в принципе полный квадрат,пускай даже с другими числами.
6:54 Но ведь 1 может получиться если мы умножаем допустим 1/2*2? Почему мы тогда говорим что оба множителя обязательно равны 1? Притом мы доказали что произведение больше или равно 1, а множители любые могут быть Я чего то не понимаю?😅
Благодарю Вас. Просто интеллектуальный бальзам испиваешь, слушая и вникая в известные математические истины, с которыми в обыденной жизни не сталкиваешься. Хорошая подборка уравнения! Продолжайте!
Спасибо !
« понимать намного надёжнее , чем учить наизусть» .
При a>0 и b>0 [sqrt(a)-sqrt(b) ]^2>=0 . «Возводим» , «переносим» - получаем : a+b>=2*sqrt(a*b) . Равенство при a=b .
С уважением, Лидий
Математика - это когда магия становится объяснимой и применяемой.
В одном паблике в инстаграме было видео по типу: "загадайте число, прибавьте то, умножьте на это и вычтите год вашего рождения. Вуаля: ваше загаданное число и возраст."
А я люблю разгадывать такие "фокусы", за счет чего мы пришли к нужному ответу. И решила написать об этом в комментариях.
За все время, это мой самый залайканный и закомментированный комментарий, в основном с восхищением, как же это так работает, сломала магию.😂
А так под видео все восхищаются, как же это так? Да вы волшебники!
Вот действительно, магия та еще. 😂 Обычные математические действия, которые ни к чему не приводят, а возвращают в исходную точку. 🤷🏻♀️😅
В таком случае, требуется привести точные определения, как математики, так и магии. И в чём польза объяснимой математики? Даже ежу понятно, что выгоды применяемой магии, существенны.
@@БорисШаховнин-ь7жмагией люди называют то, что не могут объяснить.
Покажи смартфон человеку из 70-ых он решит, что это - магия.
Новые прорывные изобретения называют "чудеса", потому что люди, образование которых еще не достигло уровня изобретения воспринимают новые технологии как "чудо".
Математика позволяет творить "чудеса" просто имея в арсенале только лист бумаги и карандаш (в училение калькулятор или абакс). В числе таких "чудес" - рассчитать массу и радиус планет солнечной системы, не имея возможности не то что на них побывать, но даже их разглядеть.
Для тех кто не знает магию-мир полон математики
@@s-tierrobot9468, знатоков магии предостаточно , Вы, Шура, сходите на Привоз. Кстати, там и математика, высший класс. Если, Вы не робот.
Красивое решение. Спасибо. Сэкономили кучу времени, но лишили радости нахождения решения. Рассматриваю такие задачи как тренажер. Вы показали хороший результат. 😀
так Вы копите приёмы, которыми подобные задачи решаются. Их не так много. После какие-то из них могут подойти в решении какой-то научной проблемы, если её удастся свести к формуле или неравенству. Так и делаются большинство кандидатских диссертаций.
Применение неравенства Коши - это было ярко( кстати есть версия для множества переменных, нер-во Коши-Буняковского, то же только для n переменных среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического, равенство реализуется, если все числа равны между собой). Единственное мне показался недостаточно обоснованным переход про равенство единицы в конце. Имхо более правильно показать, что исходя из равенства произведения единице, следует что степени с одинаковым основанием равны , значит и показатели равны выходит что выражение1 в квадрате равно минус выражение2 в квадрате, поскольку квадрат любого выражения неотрицателен, то равенство возможно только если оба выражения равны нулю. Так более обоснованно.
Мне пришло в голову немного другое решение.
Преобразуем начальное выражение в 1=2^(4(x^2+y))+2^(4(x+y^2))
2^(4(x^2+y))>0 и 2^(4(x+y^2))>0, но их сумма равна 1 => 2^(4(x^2+y))
«оба показателя целые, иначе бы сумма была иррациональным числом» это ошибочный вывод. Два иррациональных числа в сумме могут давать рациональное (например, √2-1 и 2-√2).
@@julytikhсумма степеней там написано вообще
@@user-uo5wc5si7p Любое положительное число является степенью числа 16 с каким-нибудь показателем :) Этот логический переход некорректен: то, что показатели целые, не следует из того, что сумма рациональна. Например, 16^A + 16^B = 1 для A = log_16 (√2-1) и B = log_16 (2-√2), при этом оба числа A и B нецелые (и вообще иррациональные).
Для решения этого уравнения можно использовать один из способов:
1 = 16^(x^2+y) + 16^(y^2+x)
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 16:
log_16(1) = log_16(16^(x^2+y) + 16^(y^2+x))
Используем свойства логарифмов:
0 = x^2+y + log_16(1 + 16^(y^2+x-x^2-y))
Перенесем x^2+y в левую часть:
-x^2-y = log_16(1 + 16^(y^2+x-x^2-y))
Введем новые переменные:
z = -x^2-y
w = y^2+x-x^2-y
Тогда уравнение примет вид:
z = log_16(1 + 16^w)
Избавимся от логарифма, возводя обе части в степень 16:
16^z = 1 + 16^w
Перенесем 1 в левую часть:
16^z - 1 = 16^w
Вернемся к исходным переменным:
16^(-x^2-y) - 1 = 16^(y^2+x-x^2-y)
Теперь можно решить это уравнение численно, например, с помощью метода Ньютона или бисекции. Одно из приближенных решений имеет вид:
x ≈ -0.5
y ≈ -0.5
Вначале я подумал, что автор именно по этому способу будет решать
Перейти к последней строчке вашего чудесного решения можно простым делением на 16^(x^2+y) и переносом единички, так что смысла во всех этих рассуждениях через логарифмирование туда-обратно крайне мало.
Численными примерными методами можно и исходное уравнение решать примерно с тем же успехом
А как квадрат суммы можно сделать из x²+x+1/4 если квадрат суммы это x²+1/2x + 1/4
@@VladFound удвоенное произведение на втором месте
очевидно, что задача была для младших классов, где еще не изучали логрифмы
Мне ваша подача больше нравится, чем подача одного тут "известного" математика!👍
Известных очень много, лучще конкретно напиши
И мне, ибо, ближе к практическим потребностям. Найти ответ, недостаточно.
@@БорисШаховнин-ь7ж я так и не понял о ком он
@@СвободныйМатематикЯ тоже. У каждого свой стиль изложения, кому-то что-то нравится больше, кому-то - меньше
@@СвободныйМатематик, я увлекаюсь пояснениями, но ни до такой степени, чтобы отгадывать. Математика в сети представлена широким кругом участников, поэтому, кто их знает, всех. И англичане, и китайцы, и корейцы, да и наши , часто балуются равенствами ни о чём. Была предложена методика решения одного уравнения с двумя неизвестными. Метод интересный, результат, сомнительный.
Ну ты гигант! Очень круто! Смотрю твои видео регулярно. Скоро внук в школу пойдет😂. Никогда раньше комментарии не писал. Но тут не удержался, уж очень красиво разложено!
Не не не, дружище, ты привел неравенство, потом заменил на равенство - по твоим же словам 1=А>=B>=1 . Далее ты просто приравниваешь ср. геометрическое к 1 ( В=1) и ищешь х у , даже не удосужившись проверить, а выполняется ли изначальное равенство при данных х и у ( спойлер - конечно да, задача же школьная , но обрывать рассуждения нельзя). Далее - не понравилось как ты небрежно "сокращаешь" степени двойки корня и подкоренного квадрата SQR (A^2) == |A| - а он равен модулю подкоренного - конкретно в этом случае пофигу, так как подкоренное - степенная функция, которая положительна, но подобная небрежность в другом случае наделает проблем - тебя ведь смотрят школьники в том числе. В общем задачка ничего, но нельзя так небрежно подходить к решению, нужно более формализовано .
Согласна. Потом ребята готовятся к профилю по ЕГЭ и искренне не понимают, почему|х|.В математике мелочей нет.
Справа сумма двух положительных чисел. Значит каждое из них лежит от 0 до 1. Так как степень и основание симметричные, слагаемые могут быть равными. Проверяем 16^(x^2+y) = 1/2 и 16^(x+y^2) = 1/2. Отсюда легко находим x=y=-1/2. На самом деле не люблю такие решения. Если кому то покажется мое решние плохим я спорить не буду... но вот для меня все решения не в лоб являются плохими. Включая решение автора. Хорошее решение сродни алгоритму который может записать и решить любой человек не имеющий широкой эрудиции в тождествах, свойствах, не имеющий смекалку и выдумку.
Уравнение с двумя переменными можно решать представив любую в качестве параметра. Простейший анализ и вот мы уже близки к решению и готовы объяснить почему данное уравнение имеет ровно 1 решение.
Я тоже так решил, как вы. Но тут же пришел следующий вопрос: "А другие решения есть или нет?" Предположил, что нет.Надо доказать, что если x != y, то результат будет больше. Можно ввести переменную k = y/x и найти минимум функции. Это делается в лоб, но надо взять производную.
Я согласен с вами, но надо все же дорешать задачу :)
Решил подбором🤦🏻🤣🤣 Тоже мне «математик».
@@sergeyprimachenko2506ты внимательно читал ? Я привел пример такого же плохого решения. Просто случайно наткнулся на решение. Хорошее решение это алгоритм для класса задач. Все остальное можно назвать подбором.
А простая мысль, что в силу симметрии x=y, в голову не пришла?
Запишем уравнение 1=(4^(xx+y))^2+(4^(x+yy))^2, так как 1=sina^2+cosa^2,обозначим 4^(xx+y)=sina и 4^(x+yy)=cosa. Перемножив получим 4^(xx+y)×4^(x+yy)=sina×cosa= 1/2×sin2a=
Проверьте! Равенство получилось?
вы не обосновали, почему замена 4^(xx+y)=sina и 4^(x+yy)=cosa возможна. Она следует из симметричности. Без этого такую замену делать нельзя. Например, в 1=(4^(x+y))^2+(4^(x+yy))^2
Попробуй на базе выражений Эйлера через комплексное представление синуса и косинуса.
с головой все нормально знать вот эту дичь?
Как отсутствие симметрии противоречит такой замене? Обозначить одно из слагаемых за sinα мы может всегда, поскольку оно по модулю не больше 1. А дальше выражаем второе слагаемое через первое через корень квадратный, подставляем туда sinα и пользуемся формулой sqrt(1-cos^2α)=|sinα|. Конец.
Тут навязывается решение в виде системы уравнений
x^2+y=-1/4
x+y^2=-1/4
Навязывается так как сразу видно что 16 это степень двойки, значит можно получить 1 как 1/2+1/2
Не надо системы: в силу симметрии x=y и получается одно квадратное уравнение!
Гораздо проще можно решить. Здесь симметрия относительно переменных. Очевидно, что единица может получиться только в том случае, если у нас складываются 1/2 и 1/2. Тогда получаем систему уравнений: 4х^2 +4у = -1 и 4у^2 +4х = -1. Элементарно решается путём вычитания и всё
Ещё единица может получиться, если сложить 1/8 и 7/8. Метод "тут все и так понятно" работает в этой задаче, но метод вредный
@@chagkruzart7695 в этой задаче основания степени одинаковые и симметрия относительно замены переменных x, y. Я знаю, что бывают вредные методы, но в данном случае не нахожу никаких оснований полагать предложенный мной метод вредным, если только вы мне не укажите на них :)
1. Это можно было решить без неравенства Коши, предположив, что каждое из слагаемых равно 1/2, и в результате получить систему из 2 уравнений, которая без проблем решается с тем же результатом
2. На самом деле это было решение в действительных числах. Если расширить до комплексной плоскости, то получим бесконечное множество решений из 4 пар значений х и у (так как все сводится к уравнению 4 степени).
Комплексная плоскость!? Не смешите! Ничего не надо предполагать: в силу симметрии x=y и получается одно квадратное уравнение с одним (!) корнем кратности 2.
Незнаю что вы тут считаете ярким или красивым, но когда якобы найденные корни выставляеш в начальное уравнение то получается точно неравенство))
Может быть ещё раз посчитаете?)
(-1/2)^2+(-1/2)=-1/4. 16^(-1/4)+16^(-1/4)=1/2+1/2=1
смутил момент: а почему два последних множителя обязательно должны быть равны единице, если единице равно их произведение? Почему первый, с иксами в степени, не может быть равен 1/2, а второй, с игреками, двум? (как теоретический пример, опровергающий исходное предположение)
Тоже над этим думаю
Потому что (x+1/4)^2 >= 0, а следовательно 4^{(x+1/4)^2} >= 1 и никак одной второй равен быть не может.
@@alexeyrb1807 логично - квадраты всегда положительные, значит и число под их степенью будет не меньше единицы. Вчера этого момента не заметил, видимо поздно было 😊, жаль в видео не обратили на это внимания, хотя всё остальное разжевано по максимуму :)
потому что степени не отрицательные. в основании стоит 4. а 4>1. то есть чтобы число с таким основанием стало меньше 1, показатель степени должен быть отрицательным.
но автор доказал, что в показатели степени стоит квадрат, значит оно не может быть отрицательным. наименьший вариант показателя степени - 0. то есть каждое из итоговых чисел никак меньше 1 получиться не может при любых значениях x и y. по отдельности
Вспомните график показательной функции при х>0
С ужасом смотрю видео по математике и вспоминаю школьный курс, в ожидании когда дети в школе дойдут до таких сложностей.😅 а ведь любимый предмет был у меня, отличник и тд, эх за 20 лет все забылось😢
ну, в 11 такое решают, только в егэ по профильной математике таких заданий нету, но по сложности оно схоже с несколькими заданиями из первой части
А я за 50 лет не забыла
Можно было бы ещё воспользоваться симметрией переменных-
Если (а;б) решение, то (б,а) тоже решение. Из такого можно свести к а=б за пару операций
Самый простой и понятный метод, ИМХО
Наконец-то дошел до первой разумной мысли!
Спасибо за задачу! Самое очевидное решение, предположить, что x=y, решить из этого и доказать, что функция достигает минимума в этой точке. Чуть сложнее, но ничего не надо вспоминать.
Ничего не надо предполагать: в силу симметрии x=y и далее сразу следует единственное решение.
@@victorshevchuk4001 с чего бы это?
Пример: х+у = 2. Здесь в силу симметрии тоже единственное решение?
Гроб никого не щадит! - Мастер ФИДЕ, Максим Омариев.
Задвинул!
Ну симметричность уравнения прям хочет ввести предположение что x=y. Тогда сразу имеем 1=16^(x^2+x)+16^(x^2+x)=2*16^(x^2+x)=2^(4*x^2+4*x+1). Ну и 1= 2^0. Приравниваем степени
2^0=2^(4*x^2+4*x+1). 4*x^2+4*x+1=0. Решаем его и получаем x=-1/2. Который является решением. Ну и осталось показать что других корней нет.
Это единственнный адекватный способ решения. Без дополнительных теорем и условий.
из симметричности уравнения не вытекает того,что x=y,не пойму с чего вы все это взяли.
могу это доказать,хотя бы даже из того,что в комплексных числах это тоже решается,причем x там не равен y, хотя и похожи (они являются сопряженными).
@@СтаниславМарченко-щ9у тупо угадал, главное обосновать. Вот единственность решения так не доказать.
Вот это красота! Восторг!
В колледже мы не проходим математику, но она меня интересует, вот я и смотрю ваш канал
Как это так? Первый курс колледжа это обычно сжатая программа 10 и 11 класса.
@@alexandrkovin944 в первом курсе проходили, сейчас я во второс
Вот это да) Век живи - век учись)
Неравенство Иенсена для выпуклой функции 16^х и потом для х+х^2 и y+y^2. Получаем, что правая часть всегда больше или равна 1 за исключением, когда неравенства становятся равенствавами. Это происходит только в одной точке на плоскости.
А если взять случаи взаимно-обратных чисел в конце решения? Возможно ли получить такие пары со степенью?
В целом, я пришел к такому же решению без обоснования, нативно глядя на пример.
Я видео полностью не посмотрел и не знаю почему эту задачу, назвали "нерешаемой", но это задача школьного уровня когда разбирают показательные уравнения- если 16 представить как 2^4, а 2^-1=0.5 то чтобы из суммы чисел получилась единица нужно это уравнение представить как 2^0=2^(4*(x^2+y)+2^(4*(x+y^2) и это становится простеньким уравнением x^2+x+y^2+y=0, которую можно решить как обычное квадратное уравнение и получить такой же верный ответ
Вроде математика, а решение интуитивное. Делаем ТАК и ТАК не потому что этого требует ЛОГИКА, а вот просто наугад. Словно сначала было решение, затем его свернули в задачу. И разумеется, кроме того КТО сворачивал, все будут использовать перебор вариантов решения. Это какая-то... экспериментальная деятельность, прийти к РАБОЧЕМУ варианту решения, методом проб и ошибок, УГАДЫВАЯ... Короче - что-то тут не то... -_-
да почему наугад,нормально там все рассписано)
Согласен, решая наугад завалишь любой экзамен - банально не уложишься в лимит.
Делим на контекст. На левую часть. 16^(-x^2-y)+16^(-y^2-x)=1=16^(x^2+y)+16^(y^2+x) Отсюда, раз деление на обратные (а они меньше 1) должно дать больше 1, напрашивается вывод равенства степеней. Попарно.
Извините. Немного путаюсь с трансформацией и тороплюсь. Приходится сразу другие методы прямого сопоставления инверсных функций (интуитивно), что есть следствие трансформации как здесь, ну и не всем понятна логика которая идёт без очевидного доказательства. А ты ж думаешь что это очевидно, раз в голове у тебя. Будто и для других натурально тоже самое.
Два непрерывных или прерывных встречных потока могут дать конечные точки пересечения. С раскрытыми неизвестными достаточными для решения. Как два ветра при пересечении, как лакмус в химической реакции. Что есть проявление. Как две функции с инверсными проявлениями. Что говорит о том, что конфликт может быть просто разрешён с минимизацией потерь при изъятии этих точек форсирующих конфронтацию с распространением на остальные части и смеси. Как военный конфликт, например. С каскадом на пре-пост факторы. Что говорит о том что парное разделение форсирует подобное при применении с любой стороны как у себя, так и на стороне противника. Являясь выигрышным фактором по другой причине - появлении внешнеконтекстных поперечных изменений разрушающих негатив противника. Это я написал в другом месте.
Таким образом решение имеет тенденцию к саморазвитию с конечной точкой конфликта. Т.е. окончательной точки победы достигаемой с самоускорением.
- Я балкер, а не бальник. И более. Каскадка касается планеты.
Решения применяются исходя из справедливости и не могут быть кроме как преувалирующими на более справедливой стороне, хоть и сам конфликт говорит о её проблемах.
Таким образом 'хотят ли русские войны?' - им решать. Возможно справедливой? 😉 А несправедливой - нет. Важно понимать что решение - есть. 😏
А с чего вы взяли, что произведение двух множитель равно единице только тогда, когда оба множителя равны единице? Например, 3 умножить на 1/3 равно единице, 23 умножить на 1/23 тоже равно единице, ну и т. д. Так что над задачкой нужно еще подумать))
Так они же оба больше или равны единице, но при этом в произведении равны единице, а следовательно каждый из них равен единице
Но ведь 1 могут дать и 1/2 на 2 и т.д. поэтому нельзя говорить что эти два множителя обязательно дают единицу если они оба равны еденице, у на 4 в степени с y- ками не обязательно должно быть равно 4 в степени с x-ми, поэтому я считаю что они просто также будут друг от друга зависеть
4 в неотрицательной степени не может быть меньше 1.
Я тоже пришёл к -0,5 но совершенно иным путём. (1) Поскольку оба слагаемых больше 0, то они же меньше 1. (2) Следовательно, обе степени меньше 0. (3) Для этого нужно, чтобы хх^2. (4) Легко заметить, что х и у лежат в диапазоне от 0 до -1 невключительно. Вот, считай, и решили.
Нет, поди реши до конца
Шикарно!
Можно заметить, что уравнение симметричное и если решением является пара (x,y), то решением является и пара (y,x) и тогда можно заменить y на x и всё чудно решается логарифмированием.
Так нельзя в общем случае
@@orangevietnam5380а от неравенства неявным образом перейти к корням уравнения это норм? Тут как минимум упущены выводы в конце
Мысль правильная и дальше даже логарифмирования не надо: выходит простейшее показательное уравнение.
@@orangevietnam5380 Какой еще общий случай? Это конкретное уравнение, которое именно так решается самым простым способом.
У Вас потрясающий канал. Очень интересно. Спасибо огромное!
неплохо... тут главное понять, с какой стороны зайти.
Пацан сказал что одна вторая, значит это так. Пацан не лох, чтобы доказывать, что это единственное решение. Слово пацана - закон!
Вообще-то, это решается намного проще. Разбиваем единицу пополам. Тогда получается, что х^2+у=-1/4, а х+у^2=-1/4. Отсюда, х^2+у =х+у^2 или х^2-х=у^2-у. Следовательно, мы должны добавить 1 к -1/4. Тогда х^2-х=3/4, х*(х-1)= (-1/2)*(-3/2) и х=-1/2. Те же самые манипуляции проводим с у и получаем у=-1/2. Намного проще и без заумностей.
А можно еще проще: в силу симметрии x=y и далее все решается в уме!
@@victorshevchuk4001 это тоже самое, только в профиль😂
Офигенский гроб, который решается одной идеей! Круть)
Прикольно. Вспомнилась теорема о двух милиционерах. Что-то похожее) также зажимаем с двух сторон интересующее нас выражение))
0;44 ну вот откуда это свойство? есть ли учебник или что-то где оно записано равно и все прочие? каждый раз в решении кто-то вдруг вспоминает какооое-то свойство, о котором я никогда не слышал и решате любое уравнение
В условиях, к задаче, надо было пояснить к какому полю х и у принадлежат) так станет еще интереснее, при решении
Это лёгкая задача.... Логика нужна и знания.
Сразу в голову пришла идея син^2 + кос^2 = 1 , считать что 16^х2+у = ... и решать
Можно поперебирать углы и их значения
Прям сразу обе степени явно =-1/4, это и так видно. Но можно попробовать решить систему уравнений, где обе степени менее нуля и по модулю менее 1. Вроде проще.
Ну да, явно, но потом же надо ещё доказать, что других корней нет
@@debikk4204 как-то нет у меня такой мысли. А чем Вам не достаточно указанных мной ограничений?
Можно представить это дело, как сумму квадратов, потом, так как их сумма равна единице, представить одно из них, как синус некоего угла, а другое, как косинус, затем составить из них выражение для синуса двойного угла и дописать, что оно меньше или равно единице, единица это 4 в нулевой степени; "убираем" четвёрки, получается, что сумма квадратов x + 1/2 и y + 1/2 меньше либо равна нулю, а это возможно, если оба они равны нулю, отсюда ответ.
Как много эмоций! А ведь сразу очевидно, что x=y и можно пузыри благоговения не пускать, а элементарно свести к квадратному уравнению!
@@victorshevchuk4001 свой пузырь не мог не пустить?
@@АлександрБ-у8у А тебе вообще нечего пускать - твой пузырь пустой!
Очень красивое решение
Это восхитительно!
я думал, ничего не понимая )))) спасибо за вашу работу.
Утверждение в конце о равенстве единицы множителей произведения, так как их произведение равно единице, не верный. Первый множительно может быть, например, равен 1/2, а второй 2 и их произведение будет равно единицы. И таких комбинаций очень много.
Оба множителя не меньше единицы, равенство верно.
Оба множителя не меньше единицы (как правильно заметил предыдущий комментатор), потому что в показатель степени - квадрат, квадрат всегда либо равен нулю, либо больше нуля, соответственно минимальное число, которое может получиться - единица
@@debikk4204 Спасибо!
Не понятно, как мне кажется не очевидный выбор для решения, а именно 1•1, 1/2*2, 1/3*3,3+1/3 итд или я что то не догоняю?
Только у нас 4 в степени полного квадрата будет минимум единицей, на множестве децствительных чисел
Сразу понятно что показатель степени дробный, да ещё и отрицательный, учитывая симметричность задачи. Корни в степенях угадываются мгновенно.
При любых других значениях система уравнений из x^2 + y и y^2+x равных одному и тому же числу 1/4 не имеет решений. Зачем всё усложнять.
Усложнили чтобы доказать, что отсутствуют другие решения...
Хотя согласен, есть способы проще, но на такой задачей показывают несколько приемов которые мало применяют в школьном курсе, вообшем говоря для расширения кругозора математического
Что-то я проверяю и мне кажется, что хуету Вы тут нарешали😂
Я поступил проще. Я воспользовался сайтом и построил график z=16^(x2+y)+16^(x+y2). И посмотрел что будет в плоскости парралельной xy проходящей через точку 1. И там, конечно же, такой же ответ. А вот то, что осталось выше... Там уже не одна точка, и график выходит достаточно интересный. Если не лень - советую попробовать. Я мучал desmos 3d, точнее его бета версию.
А голову включить и никого не мучить? В силу симметрии x=y и далее элементарно.
@@victorshevchuk4001 , зачем включать голову когда можно не включать голову?
Всегда было интересно как такие задачи придумывают
Решение конечно красивое, но не зная конечного ответа по такому пути никто в здравом уме не пошел бы 😁вероятность, что так красиво все в конце сложится, сократится и будет только одно решение - просто нулевая. Больше похоже на подгонку решения под конечный ответ, но если автор сам до этого дошел , снимаю шляпу.
Очень красивая задача и решение!
Задача решается элементарно: в силу симметрии x=y, далее простейшее показательное уравнение и как следствие квадратное уравнение 4x^2+4x+1=0 c решением x=-1/2.
Спасибо за хороший и интересный ролик!!!
Можно 10 раз объяснить почему показатели обнуляется в конце?
Спасибо, посмотрел с интересом)
m=x^2
n=y
l=x
k=y^2
a^(m+k)*a^(l+n) = a^(x^2+y^2)*a^(y+x)
Этому учат на утьюбе)
Круто,
Я пошел по главному тригонометрическому уравнению и легко нашел ответ, но вот, как и было сказано - просто не пошел в сторону доказательства, что это единственный ответ
Гениально!
Спасибо огромное Пересылаю своим ученикам!
Не надо такую хрень пересылать! В силу симметрии x=y и далее все элементарно на простейшем школьном уровне!
Жёстко, это наверное олимпиада задача
Видишь уравнение с двумя неизвестными, приравниваешь их друг к другу:
2 • 16ˣ^²⁺ˣ = 1
2¹ • 2⁴ˣ^²⁺⁴ˣ = 1
4x²+4x+1 = 0
x = y = ½
По технике правильно, но нет обоснования. А оно простое: в силу симметрии x=y. В общем случае ваш подход неправильный.
@@victorshevchuk4001 я знаю, что этот подход неправильный, я бы даже сказал бредовый.
Но мы можем рассмотреть все возможные варианты решения уравнения с двумя переменными (x и y):
1) Корней нет
2) x = y
3) x = a, y = b (крайне редко в специфических замудренных ситуациях)
4) y = f(x)
…
Поэтому если мы не можем выразить y через x (1), ситуацию (3) мы не берем во внимание, можно попробовать (2) вариант. Если и он не работает, часто приходим к ответу (1). Это -максимально тупой- специфический метод быстрого «подбора» корней. Само собой работает не всегда, но, если ты не обладаешь превосходными навыками анализа, можно прибегнуть к нему ради забавы
Задачи клёвые, но некоторые пункты невыносимо долго разжёвываешь, приходится перематывать иногда
База
Вообще по другому решил, и какой кайф, когда ответ совпадает )))
Вот это да, я был в шоке, когда узнал, что так просто❤ возьму себе на заметку
Догадаться, в какую сторону «копать» при решении таких искусственных задачек, практически невозможно. Какой-то бездельник сидел день-два, подгонял параметры, чтобы они хорошо «улеглись» в его логику...
Смотрю уравнение, вижу окружность. Думаю что из этого можно говорить о симметричности уравнения и дальше вперед можно и логарифм применить и еще что-то интересное придумать.
А тут слишком механистически все. Поэтому ушел в сторону физики
Сразу видно что слагаемые симметричны =>
16^(x^2+y) = 1/2 =>
x^2+y=-1/4; y^2+x = -1/4.
Попробуем решить в точки полной симметрии
x^2+x+1/4=0. x = -1/2. y = -1/2
Был уверен что решение окажется в комплексной плоскости.
Все правильно, только проще: в силу симметрии просто x=y и все!
Так ведь там в конце умножение, это значит или а не и
2 множителя могут дать единицу если например один равен в 2, а другой ½. Или если один равен 3, а другой ⅓. У уравнения бесконечное колво решений
Бред. Эта задача имеет единственное решение.
Только у нас четыре в неотоицательной степени, значит минимум при четыре в степени 0, а это 1.
До недавнего времени я считал что талант к математике у меня чуть ли не единственный мой талант. Как я ошибался. Буду искать новые.
нуу ответов там гораздо больше, потому что единицу мы получаем когда числа взаимообратные, ну и комплексные решения))
Только у нас не будет взаимообратных числе, так как у нас 4 возводитсься в неотоицательную степень, а значит оба множителя будут не мнньше единицы (если не рассматривать комплексные числа)
идея разделения переменных очень похожа на метод фурье разделения переменных в уравнениях в частных производных
Ну намудрил: ты еще про группы Ли расскажи! Элементарно: в силу симметрии x=y b и далее простейшее показательное уравнение , которое сводится к квадратному.
@@victorshevchuk4001вот именно! Все пишут про неравенства различные и т.д., но идея с симметрией в ЕГЭ в параметрах постоянно встречается
Я решал по-другому. Да, напрашивается, что x=y и тогда легко можно получить ответ, но где доказательство, что других вариантов нет? Сама по себе симметрия - это только подсказка, что надо искать посередине. И несложно показать, что x=-2. Это простое школьное неравенство, получаем (a-1/2)^2
очевидно, что решать нужно без логарифмов
Ну совсем без них не выйдет. Раз уж показательные функции, трудно не ждать появления логарифмов рано или поздно
@@ВладимирТаратынов-р8ю , в контексте понятно, что задача была для класса 7-го,8-го. Так-то, можно вообще вбить уравнение в машину и решать численным приближением)
@@Мама-анархия Интересно, где вы видели показательные функции в 7 или даже в 8 классе? А раз они есть, то имеем право и на логарифмы. А машинные вычисления - это не то же самое, что аналитическое решение. Там приближение, а тут точность. И на машине не докажешь, что других решений нет. Кстати, автор тоже по сути логарифмирует, просто не пишет нигде сам логарифм
Да, очень красиво!
Пол девятого, я только встал, не выспался, какая математика меня бы кто-то спросил. А вот, я долден был это посмотреть
Именно что сидел, смотрел, ничего не понимал.
Про МарьИванну лучше бы сказать: "Была человеком умным", и не употреблять не дура.
ИМХО
Не хочу ломать голову. Но суть в том, что х и у меньше единицы, например 1/2 и 1/4
"Для полного квадрата нам не хватает 1/4" ©
А с чего было принято решение взять для полного квадрата для степени именно 1/4 ? Почему не 9 или 1/16?
Без объяснения логики подстановки это выглядит как натягивание сомнительного решения на заведомо известный ответ.
Потому что перед х коэффициент - единица. (х+а)^2 = x^2 + 2ax + a^2. 2а - это и будет единица, значит а=1/2, и a^2=1/4
во первых,коэффициенты при икс квадрате и икс уже есть,во вторых 1/2 и так раскладывается как 2*(1/4),соответственно,что мудрить.
да и даже если было б 1/16 или 9,то тоже можно было разложить как по вашему.дело тут не в том какой свободный член подобрать,а в принципе полный квадрат,пускай даже с другими числами.
Это же совсем база :( Решается за одну минуту относительно сильным девятиклассником
Как красиво.
7:40
я догада...
Ах ты какой проницательный
да - я на минуте 6:30 остановил видео минут на 5 - проследить неравенство сначала- думал подвох - но нет - все верно))
Спасибо большое! Надеюсь, не забуду
6:02 а не проще ли было через дискриминант?
6:54
Но ведь 1 может получиться если мы умножаем допустим 1/2*2? Почему мы тогда говорим что оба множителя обязательно равны 1?
Притом мы доказали что произведение больше или равно 1, а множители любые могут быть
Я чего то не понимаю?😅
Так доказали же что обе уиножителя не может быть меньше 1
Но ведь при подстановке данного решения в исходное уравнение получается 1/4+1/4=1/2?
Классное решение! Только я не могу догнать, а разве 0.2*5 не равно 1 или 4*(1/4) не равно 1, а, автор?
Мы не можем получить дробь, которая меньше единицы, возведением натурального числа в неотрицательную степень. Минимум, что мы получим это 4^0=1
В итоге подставляем получившееся решение, и оно не верно
Всё понятно, решение красивое
Неравенство Коши, вроде, в школах особо не рассказывают(я сужу по школам Узбекистана, не знаю как в России)
Вообще, вроде как не изучают (в 2000-м точно не изучали), но в целом очень рекомендуют к изучению с прицелом на ЕГЭ.
Гроб не решают, а делают!
По заглавии - не стал читать!..
А как же когда 4*0,25= 1 там же могут быть различные ответы
А разве вы доказали, что это единственное решение?
я просто немного не догоняю, но ведь есть и другой случай, когда оба множителя равны 0,5 и 2 соответственно