Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.
@@KSumatokhinпо теореме Безу t^4+t^3-2t^2-t+1 делится без остатка на (t-1), если t=1 корень. Делим в столбик, или по схеме Горнера. Также с корнем t=-1, делим на t+1.
я делал так же, только не угадывал корни, а разложил уравнение с t на множители. t^4+t^3-2t^2-t+1 = (t^4+t^3-t^2)-t^2-t+1 = (t^2-1)(t^2+t-1) = 0, далее решаем 2 квадратных уравнения и получаем 4 корня
Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения
После нахождения корня, пусть даже простым перебором, можно сокращать сложное уравнение на это выражение. Т.Е. после нахождения корня x=6,можно было упрощать, сокращать на x-6.
Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.
7 не подходит. С 4 я просто не заморачивался, так как требовалось дополнительное объяснение. Для вас лично. Одна из полученных единиц происходит за счёт разницы в последней скобке, то есть (-1)^4=(х-5)^4, х=4. Отсюда вторая единица-это разница двух предшествующих скобок, то есть 1=9-8. Почему 9 и -8? Это единственный вариант чисел в квадрате и кубе, разница которых равна единице. Так как второе число отрицательное, то х меньше 6, следовательно 9=(-3)^2, а не 9=(3)^2. Отсюда, 9=(-3)^2=(x-7)^2, где х=4. Проверяем число во второй скобке, (4-6)^3=(-2)^3=-8. Так что я пропустил только одно решение, но участвуя в олимпиадах получил опыт, что решение их задач требует не знание алгоритма решения, а принцип построения задач на них.@@ВладимирСергеев-м9ю
Главный вопрос, ответьте пожалуйста! Как понять, что пример приводится вообще? Я готов раскрывать скобки, подставлять правила и прочее, если я уверен, что движусь в нужную сторону. Но, на каком-то из действий я продолжаю видеть какую-то хрень, которая совершенно не похожа на представляемый мной конечный результат. Возможно, я в правильном направлении, и это просто промежуточный результат, но как мне быть в этом уверенным? Поэтому я бросаю и ищу другие способы или просто сдаюсь, а до победы, вероятно, оставалось всего пара каракатиц...
@@kozerog75 та нет же, я имею в виду - из учебника или вот в ютубе часто какие-нибудь задачки задают. То есть, в принципе, оно должно решаться. Но, если это обычное квадратное - там виета или дискриминант, тут без проблем. Но если что-то необычное. Или многочлен сократить странный. Как подобрать верный путь решения?
Как верно заметил *kozerog75* - "никакого алгоритма нет". Более того, даже "стандартные" школьные задачи в большинстве случаев могут быть решены разными способами. А в нестандартных - метод научного тыка, или по-другому - метод проб и ошибок. И вот для него есть что-то вроде алгоритма: 1. если есть очередная гипотеза (предположение, как решать), то => п. 2, иначе => п. 4 2. пробуем решать выбранным методом - до упора, пока не будет понятно, получается или нет 3. если получилось => в п. 7, иначе => п. 1 4. все идеи исчерпаны => п. 5 5. ищем решение (в задачнике, в Интернете) 6. если нашли => п. 7, иначе => п. 8 7. победа! 8. печалька :-( , но не смертелька :-) Можно вернуться к решению позже. Главное - не бояться делать ошибок. В математике это вообще нестрашно - просто испишется больше бумаги, что относительно дёшево :-) А количеством исписанных листов можно даже немного гордиться - ведь была сделана немалая работа :-)
я пошёл так x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил: t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))
Четыре корня, значит четыре раза пересекает ось х. Взяв производную этой функции, находим на каких участках она положительна (значит функция возрастает) и на каких отрицательна (убывает).
Для школьников каких классов? Здесь как ни решай, всё равно решается легко: x-6=t, дальше (t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2, тупо раскрываем скобки, используя бином, двойка улетает в 0...
Уже похожее решение привели ранее в комментариях. Положим a=x-5, тогда многочлен в задаче (a-1)(a+1)(a^2+a-1)=0. (Применение теоремы о рациональных корнях многочлена).
Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x
Красивое решение будет при замене (x-6)=t , тогда раскрываем полученные скобки, слева сумма двух единичек, права 2. Выносим общий множитель t(t^3 +5t^2 + 7t + 2)=0 Кубический четырёх член можно разбить на множители с помощью таблицы Герона, отсюда получаем t(t+2)(t^2+3t+1)=0 Дорешиваем, возвращаемся к переменной x и получаем те же корни что и видео
Брэд, х-5=t, раскрываем скобки, потом легко получается сгруппировать множители и ответ рассчитывается за три минуты, буквально. Без кучи арифметики лишней
Например: x²=4 Какое тут число скрывается под иксом? Правильно вы скажите 2. Ведь : 2²= 2×2=4 Но тут верен и ответ -2! (-2)²=-2×(-2)=4 Минусы уходят остаётся плюс. x1=2 x2=-2 И это только пример для такого уравнения, в одном уравнение значений икс может быть больше двух, но это уже зависит от уравнения в данном примере x+5=10 конечно тут будет один ответ x=5.
Все правильно, но, извините, "много букф". Достаточно начертить графики трех функций: y= (x-7)^2 y=(x-6)^3 y=(x-5)^4 и посмотреть, на каких промежутках их сумма даст 2. Далее методом исключения быстро выходите на решение.
Вы бы поинтересовались, кто у Интел пентиум линейку разрабатывал, например. Кто у Амазон их облако проектировал. Ну и на сладкое - почему же Тайвань до сих пор так важен для США.
@@romanpadalka8532 Вне всяких сомнений это все разработки советских учёных)) мы же с вами знаем сколько известных мировых брендов родились в советском союзе. все прямо гонялись за советскими товарами!! и все благодаря советсвкому образованию!
@@romanpadalka8532 для этого надо уметь думать дальше своей предметной области, а это не только не про текущее поколение - это уже 100 лет назад было фантастикой, Ортега-и-Гассет уже тогда описал типаж "специалиста"
Он решил квардратное уравнение чтобы разложить это "слагаемое" на множители. Вместо квадратного уравнения получились два множителя с первыми степенями.
Чтобы разложить его на множители, например x^2-2x-8 можно представить в виде двух множителей если его решить, будто оно равно 0, корни этого уравнения x1=+4, x2=-2 => x^2-2x-8 можно разложить как (x+2)(x-4) и неважно чему изначально равняется квадратное уравнение, является оно слагаемым, делителем, множителем, может x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0, а может (x^2-2x-8)+123*y=(x+2)(x-4)+123*y=......
@@АнтонТитков-к4р его-то разложили, но оно не перестало быть слагаемым. Мне показалось что корни 7 и 4 автор таки записал в решение всего уравнения. 4 - в последствии ок, но 7 точно не корень всего уравнения.
@@artemus7062 (Х-4) вынеслось за скобку и стало общим множителем, поэтому это общий корень. А (Х-7) скомбинировалось с оставшимся квадратичным слагаемым в большой скобке. Из этого скомбинированного квадратичного слагаемого потом получилось еще два общих корня.
Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.
Можно поподробнее "Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0" ?
@@KSumatokhinпо теореме Безу t^4+t^3-2t^2-t+1 делится без остатка на (t-1), если t=1 корень. Делим в столбик, или по схеме Горнера. Также с корнем t=-1, делим на t+1.
@@AlexeyEvpalov, спасибо. Для заинтересовавшихся вот ссылка на урок про схему Горнера ua-cam.com/video/EdDGvdSOuBA/v-deo.html
Спасибо
я делал так же, только не угадывал корни, а разложил уравнение с t на множители. t^4+t^3-2t^2-t+1 = (t^4+t^3-t^2)-t^2-t+1 = (t^2-1)(t^2+t-1) = 0, далее решаем 2 квадратных уравнения и получаем 4 корня
Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения
Тоже сразу увидела этот способ
При замене х-6=t , получаем после упрощений t(t+2)(t^2+3t+1)=0. Далее дело техники.
Вспоминается детство Олимпиада в Ташкенте. Да действительно там была эта задача.
После нахождения корня, пусть даже простым перебором, можно сокращать сложное уравнение на это выражение. Т.Е. после нахождения корня x=6,можно было упрощать, сокращать на x-6.
Запись первой строки недопустима при решении уравнений.Это же учитывается на олимпиадах.
Почему?
Ответ Х=6 получается за 1 секунду просто взглянув на задачу. Остальные ответы надо искать.
Ну, подбери остальные три корня, смешной.
@@mrgrivify сам смешной) когда известен один из корней, то уравнение 4 степени превращается в уравнение 3 степени, а это намного легче решать.
@@SergeyUstinenkov ну да, ну да, кубические же уравнения в уме решаются.
Лайк сразу, до просмотра, за один только пример на заставке)
Это за какой же класс задача? Простовата для всесоюзной. И решается стандартными методами, которым учили в матем. школах и на олимпиадных кружках.
Всю жизнь было интересно, кто эти задачи выдумывал
Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.
А ещё 3 других корня?
7 не подходит. С 4 я просто не заморачивался, так как требовалось дополнительное объяснение. Для вас лично. Одна из полученных единиц происходит за счёт разницы в последней скобке, то есть (-1)^4=(х-5)^4, х=4. Отсюда вторая единица-это разница двух предшествующих скобок, то есть 1=9-8. Почему 9 и -8? Это единственный вариант чисел в квадрате и кубе, разница которых равна единице. Так как второе число отрицательное, то х меньше 6, следовательно 9=(-3)^2, а не 9=(3)^2. Отсюда, 9=(-3)^2=(x-7)^2, где х=4. Проверяем число во второй скобке, (4-6)^3=(-2)^3=-8. Так что я пропустил только одно решение, но участвуя в олимпиадах получил опыт, что решение их задач требует не знание алгоритма решения, а принцип построения задач на них.@@ВладимирСергеев-м9ю
@@richardhuling9200 там еще два нецелых корня. Так что подбор поможет упростить, но решать придется. И да, замена x-5 оптимальная
Немного иначе решал: выразил В и С через А. Но, как я это люболю с детства, традиционно забыл про отрицательные значения при извлечении корня :)
Олимпиада была в Ташкенте?
Очевидно, чтобы сумма трёх слагаемых была бы 2, надо чтобы два слагаемых были бы по единице, а третье 0 и это возможно при Х=6
Там еще есть 3 корня!!!
Главный вопрос, ответьте пожалуйста!
Как понять, что пример приводится вообще? Я готов раскрывать скобки, подставлять правила и прочее, если я уверен, что движусь в нужную сторону. Но, на каком-то из действий я продолжаю видеть какую-то хрень, которая совершенно не похожа на представляемый мной конечный результат. Возможно, я в правильном направлении, и это просто промежуточный результат, но как мне быть в этом уверенным? Поэтому я бросаю и ищу другие способы или просто сдаюсь, а до победы, вероятно, оставалось всего пара каракатиц...
Если ты сам придумывал уравнение, никаких гарантий что оно решаемо школьными методами нет.
@@kozerog75 та нет же, я имею в виду - из учебника или вот в ютубе часто какие-нибудь задачки задают. То есть, в принципе, оно должно решаться. Но, если это обычное квадратное - там виета или дискриминант, тут без проблем. Но если что-то необычное. Или многочлен сократить странный. Как подобрать верный путь решения?
@roden2208, Никакого алгоритма нет. Просто перебираешь известные тебе приём и методы.
@@roden2208 если есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (+-). А если нет, то сделай, чтобы были))
Как верно заметил *kozerog75* - "никакого алгоритма нет".
Более того, даже "стандартные" школьные задачи в большинстве случаев могут быть решены разными способами.
А в нестандартных - метод научного тыка, или по-другому - метод проб и ошибок. И вот для него есть что-то вроде алгоритма:
1. если есть очередная гипотеза (предположение, как решать), то => п. 2, иначе => п. 4
2. пробуем решать выбранным методом - до упора, пока не будет понятно, получается или нет
3. если получилось => в п. 7, иначе => п. 1
4. все идеи исчерпаны => п. 5
5. ищем решение (в задачнике, в Интернете)
6. если нашли => п. 7, иначе => п. 8
7. победа!
8. печалька :-( , но не смертелька :-) Можно вернуться к решению позже.
Главное - не бояться делать ошибок. В математике это вообще нестрашно - просто испишется больше бумаги, что относительно дёшево :-) А количеством исписанных листов можно даже немного гордиться - ведь была сделана немалая работа :-)
Это уровень упражнения повышенной трудности для 8 класса, а не всесоюзной олимпиады.
х=6 сразу бросается в глаза, а дальше фиг знает, снимаю с паузы, смотрю решение =))
А мне сначала x=4 бросилось, потом уже 6 пришло. Ну, а с корнями по очевидной причине не так заметно
я пошёл так
x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил:
t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))
Сделала замен а=х-6. Затем раскрыла скобки и тд. Можно было без замены, но с заменой коэффициенты меньше.
И надо надо спорить!
хм. а как выглядит график этой функции?
Четыре корня, значит четыре раза пересекает ось х. Взяв производную этой функции, находим на каких участках она положительна (значит функция возрастает) и на каких отрицательна (убывает).
Вы ответили на другой вопрос.
Получилось разложить на множители (видимо случайно). x-4 выделяется и x-6. Тогда корни: 4, 6, (-3 - корень(5))/2, (-3 + корень(5))/2.
Для школьников каких классов? Здесь как ни решай, всё равно решается легко: x-6=t, дальше (t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2, тупо раскрываем скобки, используя бином, двойка улетает в 0...
Когда рассчитывали дискриминант почему получилось 17 а не 15 мне не понятно. Должно было быть -b а это -1 а не 1.
Уже похожее решение привели ранее в комментариях. Положим a=x-5, тогда многочлен в задаче (a-1)(a+1)(a^2+a-1)=0. (Применение теоремы о рациональных корнях многочлена).
Не формулы,а ТОЖДЕСТВА сокращённого умножения!
Super
На самом деле решать надо, отнимая единицу от (x-6)^3 через разницу кубов
Отнять это насильно взять.ВЫЧИТАЯ единицу...
Я раскрыл скобки, записал в стандартном виде и нашел корни методом Феррари. Кто сделал иначе, тот не мужик.
Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!
Нихрена непонятно, но ооочень интересно!!!!😂😂😂
А теперь поставьте 4 в исходное уравнение. Явно не 2 получается.
Не знаю, как Вы считали, у меня получилось
@@viktorkolyadar495 скорблю о вас
9-8+1?
А сделать проверку!
Решил через замену х-5=t. Не было ни одного числа более 10.
Один корень вижу. Сейчас поем пельменей и остальные найду, никуда не уходите.
Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x
Хорошо, когда у таких уравнений есть целые корни. Рано или поздно они отыщутся. А вот если целых корней нет, то
Всего 5 значений x? Надо формально ответ записывать
Почему 5? Четыре
Согл тоже решил методом подставления за 2 минуты
красиво)
По видом математики раскручивает миф о лучшем советском образовании) Чьи там уши точат?)
Cреднеарифметической 7+6+5=18/3 =6 x-6=t и дальше все просто
Это же всесоюзная олимпиада, а не обычный урок в сельской школе
Решил через подбор и логики. Секунд за 5
Подбери 3 корня за 5 секунд
Какой ещё дискриминант, теорема Виета. Корень 6 был угадан на второй секунде просмотра.
Когда кони иррациональный, по теореме виета решить невозможно, либо дискриминант, либо выделыть полный квадрат!!!
Ошибка на пятой линии
.х-6 общий множитель в трёх слагаемых.
Сразу подбираем x=6, делим многочлен 4й степени до 3й степени :)
Красивое решение будет при замене (x-6)=t , тогда раскрываем полученные скобки, слева сумма двух единичек, права 2.
Выносим общий множитель t(t^3 +5t^2 + 7t + 2)=0
Кубический четырёх член можно разбить на множители с помощью таблицы Герона, отсюда получаем
t(t+2)(t^2+3t+1)=0
Дорешиваем, возвращаемся к переменной x и получаем те же корни что и видео
Брэд, х-5=t, раскрываем скобки, потом легко получается сгруппировать множители и ответ рассчитывается за три минуты, буквально. Без кучи арифметики лишней
А ты учел что придется решать уравнение в четвертой степени ?
@@ФаритДаминов-к1л прикинь, я его даже решил, и не я один естественно, попробуй, потом расскажешь как успехи.
Я не понимаю.Плохо учился. Как у икса могут быть разные значения? Ведь икс это одно нетзвестное число.Я даже не знаю как зделать проверочное решение.
Например:
x²=4
Какое тут число скрывается под иксом?
Правильно вы скажите 2. Ведь : 2²= 2×2=4
Но тут верен и ответ -2!
(-2)²=-2×(-2)=4
Минусы уходят остаётся плюс.
x1=2
x2=-2
И это только пример для такого уравнения, в одном уравнение значений икс может быть больше двух, но это уже зависит от уравнения в данном примере
x+5=10 конечно тут будет один ответ x=5.
без расчета 6? смотрим видео
4- не корень! Вы бы хоть подставляли корни в исходное уравнение, горе - решальщик.
Удивишься, если подставить равенство верно.
Все правильно, но, извините, "много букф".
Достаточно начертить графики трех функций:
y= (x-7)^2
y=(x-6)^3
y=(x-5)^4
и посмотреть, на каких промежутках их сумма даст 2.
Далее методом исключения быстро выходите на решение.
на глаз определите сумму трех функций по графику и что корень (9+sqrt(5))/2? ну и этот метод совсем не похож на то, что предлагает автор.
x=6 => (-1)^2+0+1^4=2
t=x-6, так проще
а проверка?. неуд
Инаданадаспорить!
Я голову сломал.
Лучше замена х-6
Теорема Виета рулит
Не самое рац.решение, в этих скобках можно и запутаться
Профессор вспомогательной школы не умеет решать задачи красиво. Комментарии квалифицированные этого неуча.
Ну целое сочинение расписал а по проще 🙄
Это же пример 7 класса. Ничего особенного.
корни 6 и 4 очевидны сразу.
Плохо объясняет! Зачем? Сам для себя решаешь? И собой уповаешься! Фуууу
конечно лучшее образование! вон самсунг эпл, интел, амд - всё советские высокотехнологичные компании.
Вы бы поинтересовались, кто у Интел пентиум линейку разрабатывал, например. Кто у Амазон их облако проектировал. Ну и на сладкое - почему же Тайвань до сих пор так важен для США.
@@romanpadalka8532 Вне всяких сомнений это все разработки советских учёных)) мы же с вами знаем сколько известных мировых брендов родились в советском союзе. все прямо гонялись за советскими товарами!! и все благодаря советсвкому образованию!
@@romanpadalka8532 для этого надо уметь думать дальше своей предметной области, а это не только не про текущее поколение - это уже 100 лет назад было фантастикой, Ортега-и-Гассет уже тогда описал типаж "специалиста"
@@romanpadalka8532 и вдогонку вашему комментарию, пусть вопрошающий поинтересуется, кто проектировал первую альфу для эппловских часов.
На олимпиадную задачу не тянет...😏😏😏
Интересно, с какого перепугу вы решали квадратное уровнение, когда оно являлось слогаемым
Возник тот же вопрос
Он решил квардратное уравнение чтобы разложить это "слагаемое" на множители. Вместо квадратного уравнения получились два множителя с первыми степенями.
Чтобы разложить его на множители, например x^2-2x-8 можно представить в виде двух множителей если его решить, будто оно равно 0, корни этого уравнения x1=+4, x2=-2 => x^2-2x-8 можно разложить как (x+2)(x-4) и неважно чему изначально равняется квадратное уравнение, является оно слагаемым, делителем, множителем, может x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0, а может (x^2-2x-8)+123*y=(x+2)(x-4)+123*y=......
@@АнтонТитков-к4р его-то разложили, но оно не перестало быть слагаемым. Мне показалось что корни 7 и 4 автор таки записал в решение всего уравнения. 4 - в последствии ок, но 7 точно не корень всего уравнения.
@@artemus7062 (Х-4) вынеслось за скобку и стало общим множителем, поэтому это общий корень. А (Х-7) скомбинировалось с оставшимся квадратичным слагаемым в большой скобке. Из этого скомбинированного квадратичного слагаемого потом получилось еще два общих корня.
Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!