J'aime vraiment bien ces vidéos, j'ai fait d'assez hautes études orientées maths (ingénieur en statistique) mais bon, la vie professionnelle fait qu'on oublie peu à peu les maths pures parce qu'il faut de la place dans la tête pour développer de nouvelles compétences... je me surprends régulièrement à me dire "merde, comment on faisait déjà" devant vos intros et la façon que vous avez d'expliquer est vraiment agréable à suivre. J'ai pas eu à me plaindre de mes profs de maths au lycée mais j'aurais aimé en avoir des comme vous.
= (1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+(99+100)(99-100) on utilise les id. rem. à chaque fois le 2ème terme vaut -1 donc on a -1 en facteur commun partout, on factorise : = -1(1+2+3+4+...+99+100) = -1(5050) = -5050 je pense que cette technique et peut être plus simple et bien plus rapide que la votre nice video :)
C'est souvent mon cas aussi mais ici en essayant de calculer les étapes on voit assez vite une logique et ensuite même sans sa formule en bidouillant la formule on s'en sort
Ça me rappelle ma classe de terminale scientifique 14 ans après oups que de la nostalgie. Je suis incapable aujourd'hui de traiter une de ces équations. ☺️ Merci prof pour le rappel mémoire
Merci pour l’exercice ! 😉 Perso je me suis dit par exemple pour 3²-4² on peut voir 3²-4² = 3²-(3+1)² = -2x3 - 1 Et du coup *on fait la somme de ces -2N -1 pour tous les nombres impairs de 0 à 100* Et en écrivant les nombres impairs comme 2n+1, il faut faire la somme des : -2(2n+1)-1 = -4n-3 de 0 à 49 et on trouve rapidement -5050 🎉 (Calcul pour ceux que ca intéresse : La somme de 0 à 49 des -4n-3 ca fait -4x(49x50/2) - 3x50 = -2x49x50 - 3x50 = -50(2x49+3) = -50x101 = -5050)
C'est également la > qui est ôtée de la > avec la formule suivante: [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6 avec n = 100 (dernier nombre pair de la suite) pour la somme des carrés des nombres pairs entre 1 et 100, et avec n = 99 (dernier nombre impair de la suite) pour la somme des carrés des nombres impairs entre 1 et 100 Application de la formule: • pour les nombres pairs: [ 100 * ( 100 + 1 ) * ( 100 + 2 ) ] / 6 = ( 100 * 101 * 102 ) / 6 = 171 700 • pour les nombres impairs: [ 99 * ( 99 + 1 ) * ( 99 + 2 ) ] / 6 = ( 99 * 100 * 101 ) / 6 = 166 650 Réponse finale: 166 650 - 171 700 = -5 050 ET ENCORE UN TRES GRAND MERCI POUR VOS VIDEOS SI PASSIONNANTES !!!
Mais dans ton raisonnement non seulement [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6 tu prends en compte tous les entiers pairs et impair 2 fois mais en plus [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6 est incorrect la bonne formule c'est [ n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) ] / 6 Je sais pas comment t'as trouvé le bon résultat un hasard incroyable sans doute
Avec les 5 réponses proposées, j'aurais eu une approche moins académique mais bien plus rapide et "intuitive" que de chercher à calculer la somme exacte (cela dit, j'ai quand même trouvé cette vidéo fort intéressante, comme toujours, puisqu'il peut y avoir des cas où il faut calculer la somme, et les méthodes que vous présentez sont intéressantes... plus de 20 ans après mes études scientifiques, je n'aurais pas du tout pensé à faire comme ça !). 1er constat : on a une somme constituée de 50 termes impairs positifs et 50 termes pairs négatifs. La somme est donc forcément paire, ce qui exclus les réponses a, c et d (a et c pouvaient aussi être exclues très rapidement du fait de leur ordre de grandeur...) 2ème constat : la dernière paire vaut -198, donc comme on a 50 paires en tout, toutes négatives, dont la somme diminue progressivement jusqu'à -198, a réponse b devient intuitivement très improbable, sa valeur absolue est beaucoup trop petite. Et hop, il ne reste plus que la réponse e. Et si on n'a pas confiance en son intuition, il y a une autre solution rapide pour le 2ème point, c'est de borner les différentes paires. On peut partir du constat que pour n entier positif, n² = n(n-1)+n et donc n² > (n-1)²+n et donc (n-1)² - n² < -n. Notre somme est donc inférieure à -2 + -4 + -6 ... + -100. Une somme de 50 termes, la moyenne des termes est de façon évidente largement inférieure à -20, et donc leur somme est largement inférieure à -1000. C'était long à écrire, mais le raisonnement se fait en quelques secondes, dégageant du temps pour les questions suivantes du test 🙂 Si les 5 choix proposés dans votre vidéo sont bien ceux proposés lors du test officiel, j’aurais même tendance à penser qu’ils ont été choisis par les auteurs du test dans le but de permettre un tel raisonnement, il aurait suffit que la réponse d soit du même ordre de grandeur, mais paire, et le calcul aurait été inévitable…).
Merci. C’est très agréable, notamment votre façon de présenter les sujets et de nous rappeler les formules oubliées. ça me renvoi au bon vieux temps à maths sup. C’est dommage qu’on en fait plus autant dans la vie professionnelle. De Carthage. Tunis.
Perso je trouve ca plus simple de voir que c'est la sommes des 50 premiers termes de (2k-1)²-(2k)² En developpant on a que ça revient à la somme des 50 premiers termes de (1-4k) Puis en appliquant la somme on a : 50-4*(somme des 50 premiers entiers) soit : 50-4*( (50*51)/2) Donc 50-2*50*51 = -5050
Effectivement c'est comme ça qu'il m'est venu immédiatement à l'esprit de résoudre ce calcul. D'autant que dans son raisonnement il manque qque chose et il aurait 0. s'il le présentait ainsi à l'examen. En effet il constate sur les 3 1er couples qu'il s'agirait d'une suite arithmétique de raison 4 mais ne le prouve pas sur les couples suivants. Il le postule uniquement. Et pour le prouver il faudrait qu'il fasse un raisonnement par récurrence ou encore en constatant que la différence entre la valeur de 2 couples consécutifs est (2(k+1)-1)²-(2(k+1))²-((2k-1)²-(2k)²) soit (1-4(k+1))-(1-4k) soit -4. D'un autre coté pourquoi faire simple (ta solution [et la mienne]) quand on peut faire compliqué (sa solution complétée par le reste de la démonstration)
En fait moi j’ai utilisé les IR dans l ordre, A^2-B^2 = (A+B)(A-B) comme A et B sont consécutifs = - (A+B) et donc c est (-1) x la somme de tous les entiers de 1 a 100. Donc 101x100 /2 Je trouve que le regroupement rend la chose plus compliquée puisque on a cette simplification disponible.
@@Guilhem34 -2n-1 est bien égal à - n - (n+1). Ainsi, pour tout n impair, je remplace n² - (n+1)² par - n - (n+1) et je fais apparaître la somme des -n pour n allant de 1 à 100.
@@Laggron93 Comprends pas... On est d'accord que n²-(n+1)² = - n - (n+1) alias -2n-1. Mais quand on l'applique à tout n impair, ça ne fait pas apparaître la somme -1-2-3... mais la somme -3-7-11...
3 eme méthode que je préfère: on les regroupe par 2 dans le même ordre (1 carré et 2 carre,.. 99 au carré et 100 carré), et on utilise a2-b2, ça donne -1(somme de 1 à 100). Plus rapide et plus beau pour moi
On peut aussi remarquer que l on a qlq chose de la forme: somme ((2k-1)^2 ) - somme ((2k)^2). en mettant tout sous la même somme et en developpant on remarque qu'il reste somme (-4k +1) = -4 somme (k) + somme (1), soit si on somme de 1 à n : - 4 n (n+1)/2 +n = - n (2n+1) ici n = 50, d oú le résultat 5050
Je suis en début de prépa MPSI et j’ai utilisé cette vidéo pour appliquer mes cours sur les sommes et c’était intéressant. Pour ceux qui seraient intéressés : On observe que c’est 1^2-2^2+3^2+…+99^2-100^2 évidemment. Je l’ai écris comme la somme de 1 à 50 des (-1)^(2k+1)*k^2 (en sachant que 2k+1 sert juste à avoir un nombre impair, on aurait prendre autre chose, mais de toute façon cette étape est superflue). On peut la scinder en deux sommes : on regroupe les termes pairs entre eux, et idem pour les pairs : pour les pairs, ils ont un moins devant et les impairs c’est un +, donc on déduit de la formule précédemment établie que la somme globale est égale à la somme de 1 à 50 des (-1)(2k)^2, avec k dans les entiers relatifs, à laquelle on ajoute la somme de 1 à 50 des (2k-1)^2. En sortant le -1 de la première, en développant l’identité remarquable dans la 2nde et en scindant cette dernière en 3, on a la somme de 4 sommes de 1 à 50 : -4 fois celle des k^2 +4 fois celle des k^2 (donc ces deux là s’annulent) -4fois celle des k (qui vaut -4*(50*51)/2) + celle des 1 (qui vaut 50). On obtient : -4(50*51)/2+50 =-2*50*51+50 =-100*51+50 =-5100+50 =-5050. Voilà. Je suis en prépa et je suis content d’avoir résolu un exo de terminale que j’aurais probablement pas su faire au moment opportun. Mais pour ma défense ma prof était pas géniale.
Je propose la solution suivante : Je regroupe les termes deux par deux : 1au carré -2 au carré puis 3 au carré - 4 au carré... Ce qui donne (1+2)*(1-2) , (3+4)*(3-4),... A chaque couple le deuxième terme est égal à -1, on obtient donc (-1)*((1+2)+(3+4)+(5+6)... Soit -1 * somme des 100 premiers nombres, c'est à dire -1*(100)*(101)/2=-5050
La réponse de Gilles Delabre c'est comme dirait Erdos "la réponse du livre". J'avais fait pareil pour le début mais j'avais plutôt additionné 3+7+...+199 en observant que c'est une somme arithmétique. La solution de Delabre est plus simple.
Ça m'a bien plu. Pas le problème lui-même, ça c'est assez secondaire. Mais votre façon d'expliquer, qui colle bien à ma façon de réfléchir, et que je trouve très honnête parce que vous ne cachez pas vos propres hésitations, donc on sent qu'on n'a pas affaire à un extra-terrestre, ça met en confiance, et on suit mieux. J'espère que vous êtes un prof.
Pour moi, la démonstration la plus abordable c'est de voir que (n+1)² - n² = n + (n+1) Exemple (avec les -) : 99² - 100² = - 99 - 100 A partir de là on a la somme des entiers de 1 à 100. Vos explications sont très claires cependant ^^
Merci pour ces vidéos qui nous challengent et alimentent régulièrement notre intérêt pour les mathématiques. J’ai été intrigué par le fait que ce résultat est l’exact opposé de la somme des 100 premiers nombres entiers (-5050 pour 5050 : cf. Gauss). J’ai vu qu’on peut démontrer que cette somme alternée (-/+) des carrés de x nombres entiers consécutifs est toujours égale à l’opposé de la somme de ces mêmes nombres. On peut par exemple partir de 4 nombres consécutifs et montré ainsi que : n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = -(n²-(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²) Peut-être une idée de vidéo ?
J'ai trouvé (e) en faisant 1-4+9-16+25 et en remarquant qu'à chaque fois on retrouvait la somme des n premiers termes. Positif pour les nombres impair et négatif pour les nombres pairs. De là, je connaissais la somme jusqu'à 100 qui est 5050 et j'ai donc choisi la réponse e.
Je suis un marocain et je vous suivre J'espère que vous parlerez plus doucement dans les prochains vidéos Et désolé s'il existent des fautes de langue😊.
Certains font de la gonflette pour leurs muscles, ici, on fait de la gonflette pour le cerveau. Ma prof de physique de 2de nous avait dit que l'intelligence était un muscle et que c'était en l'entrainant qu'on conservait son intelligence. Je conserve ici le peu d'intelligence que j'ai jamais eu et je récupère encore des connaissances matheuses que je n'ai jamais eues. Merci
Bonjour; il y a plus cours en temps: Prendre les 2 premiers positif ensemble (1+9 = 10) et prendre les 2 premiers négatif ensemble ( -4-16=-20). Constat: -20+10 = -10. Cela vaut de diviser par deux. Puisque que la suite est composé de groupe paire avec un positif et un négatif , il suffit en faite de considérer le dernier élément et le diviser par 2: soit 100² /2 = 5000 qui vaut de Réponse la plus proche de e=5050., c'est donc cette réponse. A la vu du narratif posé et qui propose des réponses à choisir, cette solution peu précise à le mérite d'être hyper rapide (plus ou moins 10 secondes) et de donner la réponse . Bonne journée
Une résolution sympa qui peut être faite c'est de poser 2*x pour les pairs et 2*x+1 pour les impairs. Avec le passage au carré tous les termes au carrés vont s'annuler et il va rester la somme des 50 premiers termes 4*x +1 pour x allant de 1 à 50.
Pas besoin de tout calculer xD Vu qu'on peut effectivement regrouper les termes par 2 pour avoir une progression, puis par 2 à nouveau pour sommer des termes constant, on sait que le résultat sera multiple de 25. 1000 est trop petit (bon d'accord, faut un peu d'intuition là dessus). On peut aussi voir le pattern qui indique que le résultat est un multiple de 101. Reste que 5050, l'avantage des QCM 😁 pas besoin de faire les calculs pour choisir une réponse. (Et je sais que les réponses sont négatives, mais flemme d'écrire les "-" qui embrouillent un peu l'écrit)
Je suis à 2min11 de la vidéo. D'abord, posons la notation S(0 -> N) la somme de n= 0 à n = N. Soit E(N) (dans l'exercice, N = 49). On remarque que E(N) = S(0-> N) (2n + 1)^2 - (2n +2)^2. On utilise l'identité remarquable. E(N) =S(0 -> N) (2n + 1 - 2n -2)(2n + 1 + 2n + 2) = S(0->N) -4n - 3 = [S(0->N) -4n] + [S(0->N) -3] S(0 -> N) -3 = -3(N + 1) car on additionne (N + 1) fois le nombre -3. S(0 -> N) -4n = -4 * S(0 -> N) n. Or, comme ajouter 0 ne change rien, S(0 -> n) n = S(1 -> N) n = N(N + 1)/2. Au final, E(N) = -3(N + 1) - 2N( N + 1) = -(N + 1) (3 + 2N). Avec N = 49, on trouve E(49) = -50 * 101 = -5050.
Une fois la première suite 1-4x, on pouvait aussi appliquer ce facteur d'échelle à la somme des n premiers entiers : résultat = (nb de termes * 1) - (4 * somme des 50 premiers entiers) = 50 - 4 * (50 * 51) / 2 = 50 - 2 * 2550 =50 - 5100 = -5050, CQFD ;-)
En python : Version soft : s=0 for i in range(1,101): if ((i%2) == 1): s+=(i**2) else: s-=(i**2) print(s) Version Jedi^^ : sum((2*(i%2)-1)*i**2 for i in range(1,101))
il y a quand meme plus rapide 1²-2²+3²-4²... en les regroupants deux par deux: (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + (5-6)(5+6) etc... chaque parenthese de gauche vaut -1: = -1(1+2+3+4+5+...+100) =-1*(100+101)/2 =-5050
Je l'ai résolu de tête en voyant la miniature. Voici la méthode intuitive (peut-être pas très académique) que j'ai utilisé : Comme N^2 - (N + 1)^2 = -(2N + 1) = -(N + (N + 1)) et 1+2+3+4+...+(N-1)+N = N(N+1)/2 => 1-4+9-16+...+99^2-100^2 = -(3+7+11+15+19+...+199) = -((1+2)+(3+4)+(5+6)+...+(99+100)) = -(100*101/2) = -5050 Quand je vois une suite de carrés, je penses toujours à la somme des nombres impairs : 2^2 = 1+3, 3^2 = 1+3+5, 4^2 = 1+3+5+7 ...etc. C'est ce qui m'a permis de trouver rapidement la solution 😉
Personnellement, avec Gauss j'ai fait comme ça : -3-7-11-15....-199, ça ressemble à-4-8-12....-200 (si on enlève 1 à chaque fois, soit-50) On peut donc écrire-4*(1+2+...+50) + 50 (pour compenser le-50). Donc-4*(50*51/2)+50
Très astucieux. Mais on peut faire plus compliqué : - on regroupe les positifs avec les positifs et les négatifs avec les négatif - on trouve somme (0 à 49) de (2n+1)^2 - somme (1 à 50) de 4n^2 - on developpe = somme (0 à 49) de (4n^2+4n+1) - somme (1 à 50) de 4n^2 - on elimine et on simplifie et faire attention à 49 et 50 - on arrive à -50 x (-200+98+1) = -50 x 101 = 5050 -
Un idée alternative est de savoir que n² = somme des n premiers impairs ce qui nous ramène à la seconde méthode. Ou alors de là remarquer que le premier impair apparait 50 fois avec + et 50 fois avec -, le second 49 fois avec + et 50 fois avec -, etc et donc au final il ne reste que -3 - 7 - 11 - ... ce qui nous ramène à la première méthode.
Personnellement, j'ai regroupé les termes 2 par 2 dans l'ordre : (1 -2^2) + (3^2 - 4^2) etc. Puis j'ai constaté que a2 - b2 = (a+b)(a-b) et que si b= a+1, on a : a2-b2 = (2a+1)* (-1). Il faut donc faire la somme de 2a+1 pour a allant de 1 à 49 de 2 en 2, et mettre un signe (-) : 1 - 4 = (2a+1) *(-1) avec a = 1 soit -3 9 - 16 = (2a+1)*(-1) avec a= 3 soit - 7 25 - 36=(2a+1)*(-1) avec a= 5 soit - 11 etc. Dernier = : 99^2 - 100^2 = (2a+1)*(-1) avec a=99 On fait donc : + (A) Somme des 1 pour a=1 jusqu"à 99 de 2 en 2 soit 50 fois = 50 (B) Somme des 2a pour a de 1 à 99 de 2 en 2 soit 2 fois X avec X=(1 + 3 + 5 ... 95+97+ 99). Je prend le 1er et le dernier qui fait 1+99=100, puis le 2e et l'avant-dernier : 3+ 97 qui fait 100 etc. jusqu'à 49+51. J'obtiens 100 pour 1 à 49 de 2 en 2 (Pareil que de 2 à 50 de 2 en 2, soit de 1 à 25 de 1 en 1) = 25 fois 100 = 2.500 J'ai donc : (A) = 50 (B) = 2 * 2.500 = 5.000 Somme = 5.050 Et résultat final (négatif car on multiplie par -1) : -5.050
J'ai utilisé une méthode que se rapproche de la deuxième assez facile à obtenir pour quelqu'un qui finit son lycée: S= 1 + 2^2 - 3^2 + ... - 100^2 = Σ(k=1; 50) (2k-1)^2 - Σ(k=1; 50) (2k)^2 (on sépare les positifs et négatifs en sommes de carrés) = Σ(k=1; 50) 4*k^2+1-4k - Σ(k=1; 50) 4*k^2 (on développe les carrés dans les parenthèses) = Σ(k=1; 50) 1+4k (on regroupe les deux sommes, ce qui simplifie le calcul) = 50 - 4*Σ(k=1; 50) k (on sort le 50 puis le 4 de la somme) A ce stade on peut utiliser la technique de Gauss pour sortir k de la somme: S= 50 - 4 * (51 * 25) = 50 - 51 * 100 = -5050
Une méthode sans la théorie des suites et séries (un poil plus long mais j'ai trouvé tout seul haha) Comme il l'a fait, on remarque que si oncalcule des sommes partielles on obtient toujours un nombre impair sur 2 : 1-4=-3 ; 9-16=-7 ; 25-36=-11 ; ... Ces nombres s'écrivent tous comme -4n+1 avec n qui vaut 1, 2, 3, ..., 50 (50 parce qu'on a mis les termes par 2 donc on en a 50 paires) On peut donc écrire la somme comme suit : -4*1+1 -4*2+1 -4*3+1 ... -4*50+1 On met le -4 en évidence et on sort les 50 "+1" qui donnent +50 -4*(1+2+3+...+50) + 50 La somme S de 1 à 50 est facile à calculer : on utilise la méthode de la vidéo en calculant 2x la somme 2S = (1+50)+(2+49)+...+(50+1)=50*51 S = 50*51/2 On a donc -4*S+50 = -4*(50*51/2)+50 = -2(50*51)+50 = 50 *(-2*51+1) = 50* (-101) = -5050 Voilà je m'en suis sorti comme ça :)
Bonjour et merci pour votre travail ! En fin de compte, je remarque que la formule finale est celle des progressions mise au négatif : - n(n+1) : 2, soit : - 1OO x 101 : 2
en généraiisant , 2p-1 nombre impair; 2p nombre pair : la soustraction vaut (2p-1)² - (2p)² = 4p²-4p+1-4p² = -4p +1 , si p = 1 alors le resultat = -3 ; si p = 2 , il vaut -7 , si p = 3 alors il vaut -11 donc on a bien une suite artithmétique de raison -4
J'ai instinctivement pensé à la deuxième solution. C'est probablement parce que je connaissais l'anecdote, mais aussi parce que j'ai 36 ans, et que ça fait longtemps que j'ai pas utilisé les identités remarquables :) Mais ça montre bien aussi qu'une histoire, c'est beaucoup plus facile à retenir qu'une formule ;)
En recombinant ses termes, la série peut s’écrire : 1 +(3^2-2^2) + (5^2-4^2) + … + (99^2-98^2) - 100^2. Or la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à la somme de ces 2 entiers. Ce qui donne 1+2+3+4+…+99-100^2 c’est-à-dire (99x100)/2-100^2=-5050.
s’il y avait un nombre impair de termes (101 termes par exemple), on aurait enlevé par exemple le dernier terme et appliqué la première méthode de la suite puis ajouter le dernier terme, c’est ça la méthode ?
Cool, moi j'ai trouvé à l'aide de somme carré (k)- somme(k+) pour k allant de 1 à 99 et un pas de 2. Dommage qu'on ne puisse pas commenter sur youtube par des images.
Alors personnellement j'ai juste pris le plus grand et le plus petit nombre et je les ai additionné = 101, ensuite j'ai fait le nombre d'entités du calcul de base (100) que j'ai divisé par 2 = 50 Ensuite sachant que le dernier signe est un "-" j'ai multiplié les 3 chiffres ce qui fait: 101*50*(-1)= -5050 Si on a un nombre d'entités impaire, on ignore le dernier chiffre et on le soustrait ou on l'additionne au premier calcul puis on refait le tout *(-1) Exemple pour 101: -1*(-5050-101) = 5151 Il faut juste pas s'emmêler entre les + et les - .
Moi j'ai fait compliqué : somme de 1 à 100 des i² - 2 fois la somme de 1 à 50 des (2i)² et en utilisant la somme des n premiers entiers au carré qui est égale à n(n+1)(2n+2)/6, on retrouve 101(-50)=-5050
Je l'ai trouvé en 20 sec (pour une fois). Quand on a un QCM, il faut approximer. 1/ Je constate l'alternance des carrés des paires et des impaires 2/ Si je vais jusqu'à -16, je vois que la somme est légèrement inférieur à la moitié ... et je constate la même pour -36 3/ Parmi les réponse possible, seul -5050 correspond à légèrement moins que la moitié de 100 au carré
La méthode 1 repose sur la conjecture d'une suite arithmétique. Pour le prouver , on peut calculer graphiquement ou algébriquement (2n-1)²-(2n)² = 1-4n ce qui définit bien la suite arithmétique, et qui est à peine plus long.
Je sais pas d'où ça vient, mais j'ai l'impression que le résultat de cette somme au rang n, c'est la somme des 2e et 3e nombres du triangle de Pascal à la n-ième ligne. Ensuite on rajoute le signe: + pour les lignes impaires et - pour les paires (ou inversement selon ce qu'on considère comme "rang 1" ou "0"). Ça sort d'où?
J'ai utilisé une troisième méthode, j'ai fait la somme de tout les termes positifs, la somme de tous les termes négatifs et j'ai ajouté les deux sommes, je tombe sur le même résultat
Il y a plus simple en 5 secondes et sans formules, et ça coule de source: Eliminer les carrés qui ne servent à rien, faire la moyenne x le nombre en négatif, donc - (1+100)/2 x100 = -5050
Autre méthode : S = 1-4+9-16+...+99^2-100^2 1-4 = -3 = -(1+2) 9-16 = -7 = -(3+4) ... Donc S = -(1+2)-(3+4)-(5+6)-...-(99+100) Je factorise par -1 : S = -(1+2+3+4+5+6+...+99+100) S = -(100*(100+1)/2) S = -5050
Less than 5 min and you get e) A difference of square terms, a lil bit of care for the first and last terms, then using the formula for the sum of naturals and done. S = 1 - 10,000 + sum over i from 1 to 49 of (2i+1)^2 - (2i)^2 S = 1 - 10,000 + sum of (1)(4i+1) S = 1 - 10,000 + 49 + 4*Sum(i) for i from 1 to 49 S = 50 - 10,000 + 4*49*50/2 S = 50 - 10,000 + 4900 S = 50 - 10,000 + 5000 - 100 S = -5050
Bonsoir Je le vois comme la somme de 1 à 50 de (2n) au carré moins la somme de 0 à 49 de (2n+1) au carré. Sur la premiere somme je sors le premier terme qui vaut 1 et la somme à un indice qui coure de 1 à 49. Sur la seconde je sors le dernier terme 100 au carré et l'indice de la somme coure de 1 à 49 Ensuite je regroupe les 2 sommes. Je développe et je simplifie. Je me retrouve avec 1 moins 100 au carré plus 4 fois 49 fois 50 divisé par 2 plus 49 = -5050
Je viens de tout regarder maintenant, et je crois que j'ai ma réponse ! Très bonne vidéo ! :D Alors il y a un truc que je ne comprends pas... Avant de regarder la vidéo, j'ai fais : 1-4 =-3 4-9=-5 9-16=-7 Bref : Ça augmente de deux par deux. Et toujours en négatif (le 4-9=-5 était juste un autre exemple). Donc on par de 1 à 100, mais on ne fait qu'un calcul sur deux (donc pas le 4-9), ce qui fait 50 calculs à résultat négatif. On a donc 50 calculs à faire. Enfin... 50x3 (la différence). Hors, la différence augmente de 3 à chaque calcul. Donc 3*(50+49+48+47+...) On peut les regrouper en base 50 : 50+(49+1)+(48+2)+... Ce qui nous donne : Petit calcul qui aide en utilisant un exemple avec 10 : 10+(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+(5)=55 soit 10*5,5. Donc on a 50*5,5 calculs à faire. 50*5,5*3=275*3=825. Le calcul m'a pourtant l'air juste ! Où est-ce que ça coince ?
Donc on a une base à moins trois, donc 50*-3 plus 225*-2. Soit -600. Je crois que je me suis perdu. Ça fait trop longtemps que je ne fais plus de maths.
@@maximilien6780 -16 = -4^2 est vrai : il n'y a pas besoin de parantheses car la puissance est prioritaire. Il ne faudrait mettre des parantheses que si le - était aussi mis au carré pour (-4)^2 = 16
j ai fait de tete en qqs secondes mais apres debut idem plutot que de regrouper j ai au contraire degroupe j ai donc -3 puis -7 etc en faisant -4 a chaque avec 50 termes mais apres au lieu de regrouper j ai scinde chaque terme en 2 entier les plus proche de la moitie du terme exemple -3 la moitie c est 1.5 et donc ca donne les 2 entiers plus proche -1 et -2 pour suivant ca donne -3 et -4 jusqu au 50eme terme ce qui fait qu on retrouve 100 termes allant de -1 a -100 dont je connaissais la somme car l oppose de la serie positive donc -5050
On pouvait raisonner aussi en remarquant qu'on ajoute tous les carrés des nombres impairs et qu'on retire les carrés des nombres pairs et ce jusqu'à 100 Ça nous donne [ la somme de k=0 allant à 49 des (2k+1)² ] - [ la somme de k=1 allant à 50 des (2k)² ] = [ la somme de k=0 allant à 49 des 4k²+4k+1 ] - [ la somme allant de k=1 à 50 des 4k² ] On distribue la somme = [ la somme de k=0 allant à 49 des 4k² + la somme des 4k + la somme des 1 ] - [ la somme allant de k=1 à 50 des 4k² ] La différence entre les sommes des 4k² se simplifie de manière télescopique il nous reste juste - 4×50² + 50 + la somme de k=0 à 49 des 4k = -4×50² + 50 + 4 × la somme des k = -4×50² + 50 + 4 ×(49×50)/2 = -4×50² + 50 + 2×49×50 = -4×50² + 50 + 98×50 = -4×50² + 99×50 = - 5050
FORMULE= coeff multiplicateur x le nombre de terme = solution; (0.5 + (0.5 x 100)) x 100 = 5050 (détails après) Bonjour, j'avoue que cet exercice à piqué ma curiosité, je suis novice en mathématiques (les bases), mais il est marrant de voir que tout simplement une "formule" existe pour ce genre de calcul, (après loin de l'avoir fait en moins de quelques minutes). Quand l'on pose les premiers termes (1-4+9-16+25 etc..), on aperçoit que (contrairement au suites récurrentes avec des écarts fixes non égales à 2) que une fois divisé par le nombre de termes, le résultat de la suite s'incrémente de 0.5. => 1-4=-3 / 2 termes = 1.5 ; (1-4+9)/ 3 termes = 2 ; (1-4+9-16)/ 4 termes = 2,5 ETC.. donc sur ce postulat, le terme 0 à une base de 0.5, on vient ajouter l'incrémentation de 0.5 X le nombre de terme pour trouver le coeff multiplicateur. Après c'est tout bête: FORMULE= coeff multiplicateur x le nombre de terme = solution; (0.5 + (0.5 x 100)) x 100 = 5050, la subtilité consiste à déterminer le sens positif ou négatif, la encore tout bête, le signe est le même que le dernier terme, la en l’occurrence -100. Voila voila. // D'ailleurs à 10:40 de la vidéo, il est existe aussi plein de formules pour trouver le résultat des suites récurrentes avec des "alternations"(?) de symboles ou pas. Pour le (1-3+5-7+...-95+97-99)==> SOMME = NOMBRE DE TERME (et oui encore, c'est beau les maths..) avec le symbole correspondant au dernier terme (comme en haut), (5 termes sur 10 tranches de 10, 1 3 5 7 9; 11 13 15 17 19 etc) = 50 tout pile. Pour la suite d'écart pour les suites d'écart 1 qu'en positif (1+2+3+4...) => 0.5x+0.5x² x étant le nombre de terme ; écart 2 + (positif, 1+3+5+7) ==> x² ; écart 3 + ==> -0.5x + 1.5x² ; j'ai pas continué la suite; pour les suites en alternance: écart 1 - (négatif; 1-2+3-4) ça se complique, un résultat de paire (coeff multiplicateur utilisé) est 1 fois sur 2 est fixe à -0.5 mais de l'autre côté il décrémente de 1/(nombre de terme n x nombre de terme n+2) ex: -1/2 = -0.5 2/3 = 0.66 -2/4 = -0.5 3/5 =0.6 , diff entre 2/3 et 3/5 = 1/(3*5). Merci à ceux qui auront lu jusqu'au bout et j'espère que mon raisonnement à été clair. Je serai curieux de savoir si cela existe déjà :O)
Prof, c'est un métier difficile. Par exemple, j'aime bien comment il essaie de me faire comprendre une méthode mais c'est pas mon truc (j'aime bien les itérations). Mon truc, c'est de comprendre comment un professeur fait pour motiver ses élèves. Du coup, j'aime bien.
somme[2k-1)^2-(2k)^2], k allant de 1 à 50= (après simplification) somme(1-4k), k allant de 1 à 50=(après séparation) 50-4somme(k), k allant de 1 à 50 =(après application formule de la somme) 50-5100=-5050
Sinon on a (1)^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 C’est une somme alternée des k^2 donc on a la somme des (-1)^k+1 * k^2 de k=1 a k=100, et après quelques opérations (on forme deux sommes avec d’un côté les termes pairs, de l’autre les termes impairs) on arrive à trouver le résultat !
Bonjour, vous auriez pu aussi proposer une methode plus scolaire detude de la suite en definissant Un par rapport a Un-1 de 2 facons et en deduire que Un=1/2 x (-1)^(n-1) x n x (n+1)
J'aime vraiment bien ces vidéos, j'ai fait d'assez hautes études orientées maths (ingénieur en statistique) mais bon, la vie professionnelle fait qu'on oublie peu à peu les maths pures parce qu'il faut de la place dans la tête pour développer de nouvelles compétences... je me surprends régulièrement à me dire "merde, comment on faisait déjà" devant vos intros et la façon que vous avez d'expliquer est vraiment agréable à suivre. J'ai pas eu à me plaindre de mes profs de maths au lycée mais j'aurais aimé en avoir des comme vous.
Hi Mathieu I would like to ask u about your engineering studies ; where do u study ? and how it seems ? thanks
= (1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+(99+100)(99-100) on utilise les id. rem.
à chaque fois le 2ème terme vaut -1 donc on a -1 en facteur commun partout, on factorise :
= -1(1+2+3+4+...+99+100) = -1(5050) = -5050
je pense que cette technique et peut être plus simple et bien plus rapide que la votre
nice video :)
J’ai eu exactement le meme réflexe:
= (calcule chiant à ecrire)
= -(1+2) - (3+4) …
= -1 -2 -3…
Avec la formule de Gauss tu calcules…
Tellement d'accord, plus simple, plus rapide (important lors d'un test) et surtout beaucoup plus connue.
Attention quand même au vocabulaire, ne confonds pas terme et facteur.
Tout à fait d'accord, c'est ce que j'ai fait aussi.
c'est aussi ce que j'aurais fait... je n'ai pas fait de maths depuis 50 ans, mais je me régale avec ces exercices!
C’est toujours si évident et pourtant, on le voit pas, ça m’éneeeeeeeerve . ;) Bravo pour arriver à trouver tant de petits exercices bien intéressant
C'est souvent mon cas aussi mais ici en essayant de calculer les étapes on voit assez vite une logique et ensuite même sans sa formule en bidouillant la formule on s'en sort
Ça me rappelle ma classe de terminale scientifique 14 ans après oups que de la nostalgie. Je suis incapable aujourd'hui de traiter une de ces équations. ☺️
Merci prof pour le rappel mémoire
Merci pour l’exercice ! 😉 Perso je me suis dit par exemple pour 3²-4² on peut voir
3²-4² = 3²-(3+1)² = -2x3 - 1
Et du coup *on fait la somme de ces -2N -1 pour tous les nombres impairs de 0 à 100*
Et en écrivant les nombres impairs comme 2n+1, il faut faire la somme des :
-2(2n+1)-1 = -4n-3 de 0 à 49 et on trouve rapidement -5050 🎉
(Calcul pour ceux que ca intéresse :
La somme de 0 à 49 des -4n-3 ca fait
-4x(49x50/2) - 3x50
= -2x49x50 - 3x50
= -50(2x49+3) = -50x101 = -5050)
Bravo pour votre pédagogie et pour le choix des sujets traités, c'est très sympa, utile, clair et cela montre l'aspect ludique des maths!
C'est également la > qui est ôtée de la > avec la formule suivante:
[ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6
avec n = 100 (dernier nombre pair de la suite) pour la somme des carrés des nombres pairs entre 1 et 100, et
avec n = 99 (dernier nombre impair de la suite) pour la somme des carrés des nombres impairs entre 1 et 100
Application de la formule:
• pour les nombres pairs: [ 100 * ( 100 + 1 ) * ( 100 + 2 ) ] / 6 = ( 100 * 101 * 102 ) / 6 = 171 700
• pour les nombres impairs: [ 99 * ( 99 + 1 ) * ( 99 + 2 ) ] / 6 = ( 99 * 100 * 101 ) / 6 = 166 650
Réponse finale:
166 650 - 171 700 = -5 050
ET ENCORE UN TRES GRAND MERCI POUR VOS VIDEOS SI PASSIONNANTES !!!
Mais dans ton raisonnement non seulement [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6 tu prends en compte tous les entiers pairs et impair 2 fois mais en plus [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6 est incorrect la bonne formule c'est [ n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) ] / 6
Je sais pas comment t'as trouvé le bon résultat un hasard incroyable sans doute
Bravo. Ça fait du bien de voir ces 2 démonstrations. Mes neurones vous disent merci.
Avec plaisir
Avec les 5 réponses proposées, j'aurais eu une approche moins académique mais bien plus rapide et "intuitive" que de chercher à calculer la somme exacte (cela dit, j'ai quand même trouvé cette vidéo fort intéressante, comme toujours, puisqu'il peut y avoir des cas où il faut calculer la somme, et les méthodes que vous présentez sont intéressantes... plus de 20 ans après mes études scientifiques, je n'aurais pas du tout pensé à faire comme ça !).
1er constat : on a une somme constituée de 50 termes impairs positifs et 50 termes pairs négatifs. La somme est donc forcément paire, ce qui exclus les réponses a, c et d (a et c pouvaient aussi être exclues très rapidement du fait de leur ordre de grandeur...)
2ème constat : la dernière paire vaut -198, donc comme on a 50 paires en tout, toutes négatives, dont la somme diminue progressivement jusqu'à -198, a réponse b devient intuitivement très improbable, sa valeur absolue est beaucoup trop petite. Et hop, il ne reste plus que la réponse e.
Et si on n'a pas confiance en son intuition, il y a une autre solution rapide pour le 2ème point, c'est de borner les différentes paires. On peut partir du constat que pour n entier positif, n² = n(n-1)+n et donc n² > (n-1)²+n et donc (n-1)² - n² < -n. Notre somme est donc inférieure à -2 + -4 + -6 ... + -100. Une somme de 50 termes, la moyenne des termes est de façon évidente largement inférieure à -20, et donc leur somme est largement inférieure à -1000.
C'était long à écrire, mais le raisonnement se fait en quelques secondes, dégageant du temps pour les questions suivantes du test 🙂 Si les 5 choix proposés dans votre vidéo sont bien ceux proposés lors du test officiel, j’aurais même tendance à penser qu’ils ont été choisis par les auteurs du test dans le but de permettre un tel raisonnement, il aurait suffit que la réponse d soit du même ordre de grandeur, mais paire, et le calcul aurait été inévitable…).
J'suis en prépa ISSEA et ça m'aide beaucoup, je comprends énormément de choses. Mon intuition se développe de plus en plus... 👌🏾🤜🏾🤛🏾🇨🇲👍🏾
Bon courage et bon apprentissage alors !
Merci. C’est très agréable, notamment votre façon de présenter les sujets et de nous rappeler les formules oubliées. ça me renvoi au bon vieux temps à maths sup. C’est dommage qu’on en fait plus autant dans la vie professionnelle. De Carthage. Tunis.
Je suis un débilus et j'ai du mal à comprendre mais rien que le fait de voir cette homme passionné vaut la peine que j'apprécie la vidéo!
Perso je trouve ca plus simple de voir que c'est la sommes des 50 premiers termes de (2k-1)²-(2k)²
En developpant on a que ça revient à la somme des 50 premiers termes de (1-4k)
Puis en appliquant la somme on a : 50-4*(somme des 50 premiers entiers) soit : 50-4*( (50*51)/2)
Donc 50-2*50*51 = -5050
Effectivement c'est comme ça qu'il m'est venu immédiatement à l'esprit de résoudre ce calcul.
D'autant que dans son raisonnement il manque qque chose et il aurait 0. s'il le présentait ainsi à l'examen. En effet il constate sur les 3 1er couples qu'il s'agirait d'une suite arithmétique de raison 4 mais ne le prouve pas sur les couples suivants. Il le postule uniquement.
Et pour le prouver il faudrait qu'il fasse un raisonnement par récurrence ou encore en constatant que la différence entre la valeur de 2 couples consécutifs est (2(k+1)-1)²-(2(k+1))²-((2k-1)²-(2k)²) soit (1-4(k+1))-(1-4k) soit -4. D'un autre coté pourquoi faire simple (ta solution [et la mienne]) quand on peut faire compliqué (sa solution complétée par le reste de la démonstration)
J'ai fait tout pareil haha
Franchement sort nous ces vidéos sur toutes les autres questions, je suis sur que ça intéresserait beaucoup de monde, dont moi ! 😄
tout à fait d'accord
En fait moi j’ai utilisé les IR dans l ordre, A^2-B^2 = (A+B)(A-B) comme A et B sont consécutifs = - (A+B) et donc c est (-1) x la somme de tous les entiers de 1 a 100. Donc 101x100 /2
Je trouve que le regroupement rend la chose plus compliquée puisque on a cette simplification disponible.
n^2 - (n+1)^2 = - n - (n+1)
Du coup on trouve une somme égale à -1-2-3-...-99-100. On applique la formule n(n+1)/2 pour n=100, on trouve bien -5050.
Bah non ça fait -2n-1 et non -1… on ne peut pas tout mettre sous une racine… donc de 1 ça fait -3,-7…
@@Guilhem34 -2n-1 est bien égal à - n - (n+1). Ainsi, pour tout n impair, je remplace n² - (n+1)² par - n - (n+1) et je fais apparaître la somme des -n pour n allant de 1 à 100.
J’ai fait la même technique, j’ai été étonné que cela ne soit pas celle présenté
@@Laggron93 Comprends pas... On est d'accord que n²-(n+1)² = - n - (n+1) alias -2n-1. Mais quand on l'applique à tout n impair, ça ne fait pas apparaître la somme -1-2-3... mais la somme -3-7-11...
@@monsieurbop3469 -3-7-11 c'est la même chose que -1-2-3-4-5-6
Merci les recommandations youtube
3 eme méthode que je préfère: on les regroupe par 2 dans le même ordre (1 carré et 2 carre,.. 99 au carré et 100 carré), et on utilise a2-b2, ça donne -1(somme de 1 à 100). Plus rapide et plus beau pour moi
C'est très pationnant les maths et dès que j'ai vu la vidéo je me suis abonné
On peut aussi remarquer que l on a qlq chose de la forme: somme ((2k-1)^2 ) - somme ((2k)^2). en mettant tout sous la même somme et en developpant on remarque qu'il reste somme (-4k +1) = -4 somme (k) + somme (1), soit si on somme de 1 à n : - 4 n (n+1)/2 +n = - n (2n+1) ici n = 50, d oú le résultat 5050
@junkoss 20 quand c'est impaire tu te casse pas la tête et tu mets somme de 0 à 50 des 2k+1 pour les impaire et ça roule.
je suis parfaitement d'accord, rien a redire. je dirais même plus, c'est l'évidence même.
j'ai rien compris
Le problème est assez simple:
sin(pi*x+pi/2)*[x+(x^2-x)/2]
Vous invitez toujours à trouver le chemin le plus simple vers le résultat et ça c'est génial.
Merci de vos vidéos et vos explications. Mon admission en Math Sup remonte au 24 septembre 1974 au Lycée Lyautey de Casablanca.
Je suis en début de prépa MPSI et j’ai utilisé cette vidéo pour appliquer mes cours sur les sommes et c’était intéressant.
Pour ceux qui seraient intéressés :
On observe que c’est 1^2-2^2+3^2+…+99^2-100^2 évidemment.
Je l’ai écris comme la somme de 1 à 50 des (-1)^(2k+1)*k^2 (en sachant que 2k+1 sert juste à avoir un nombre impair, on aurait prendre autre chose, mais de toute façon cette étape est superflue).
On peut la scinder en deux sommes : on regroupe les termes pairs entre eux, et idem pour les pairs :
pour les pairs, ils ont un moins devant et les impairs c’est un +, donc on déduit de la formule précédemment établie que la somme globale est égale à la somme de 1 à 50 des (-1)(2k)^2, avec k dans les entiers relatifs, à laquelle on ajoute la somme de 1 à 50 des (2k-1)^2.
En sortant le -1 de la première, en développant l’identité remarquable dans la 2nde et en scindant cette dernière en 3, on a la somme de 4 sommes de 1 à 50 :
-4 fois celle des k^2 +4 fois celle des k^2 (donc ces deux là s’annulent) -4fois celle des k (qui vaut -4*(50*51)/2) + celle des 1 (qui vaut 50).
On obtient : -4(50*51)/2+50
=-2*50*51+50
=-100*51+50
=-5100+50
=-5050.
Voilà. Je suis en prépa et je suis content d’avoir résolu un exo de terminale que j’aurais probablement pas su faire au moment opportun. Mais pour ma défense ma prof était pas géniale.
Préparant le CRPE, ta chaîne est précieuse ! Merci beaucoup !
au mois de novembre je n'étais pas aussi assidu pour faire ca clairement. chapeau et merci. perso j'aime ce style de vidéo..😊
Pour chaque couple, on fait n²-(n+1)² = -2n-1. Et comme n augmente de deux à chaque fois, le résultat baisse bien de quatre à chaque fois aussi.
le smile, la pédagogie, la malice, c'est carré prends donc un abo en plus!
😁 merci
Je propose la solution suivante :
Je regroupe les termes deux par deux : 1au carré -2 au carré puis 3 au carré - 4 au carré...
Ce qui donne (1+2)*(1-2) , (3+4)*(3-4),...
A chaque couple le deuxième terme est égal à -1, on obtient donc (-1)*((1+2)+(3+4)+(5+6)...
Soit -1 * somme des 100 premiers nombres, c'est à dire -1*(100)*(101)/2=-5050
Comme quoi apprendre à reconnaître des identités remarquables ça aide souvent à résoudre plein de problème 😊
La réponse de Gilles Delabre c'est comme dirait Erdos "la réponse du livre". J'avais fait pareil pour le début mais j'avais plutôt additionné 3+7+...+199 en observant que c'est une somme arithmétique. La solution de Delabre est plus simple.
Ça m'a bien plu. Pas le problème lui-même, ça c'est assez secondaire. Mais votre façon d'expliquer, qui colle bien à ma façon de réfléchir, et que je trouve très honnête parce que vous ne cachez pas vos propres hésitations, donc on sent qu'on n'a pas affaire à un extra-terrestre, ça met en confiance, et on suit mieux. J'espère que vous êtes un prof.
Pour moi, la démonstration la plus abordable c'est de voir que (n+1)² - n² = n + (n+1)
Exemple (avec les -) :
99² - 100² = - 99 - 100
A partir de là on a la somme des entiers de 1 à 100.
Vos explications sont très claires cependant ^^
Merci pour ces vidéos qui nous challengent et alimentent régulièrement notre intérêt pour les mathématiques.
J’ai été intrigué par le fait que ce résultat est l’exact opposé de la somme des 100 premiers nombres entiers (-5050 pour 5050 : cf. Gauss). J’ai vu qu’on peut démontrer que cette somme alternée (-/+) des carrés de x nombres entiers consécutifs est toujours égale à l’opposé de la somme de ces mêmes nombres.
On peut par exemple partir de 4 nombres consécutifs et montré ainsi que :
n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = -(n²-(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²)
Peut-être une idée de vidéo ?
Je découvre la chaîne : c’est génial !!! 1000 bravos !
J'ai trouvé (e) en faisant 1-4+9-16+25 et en remarquant qu'à chaque fois on retrouvait la somme des n premiers termes. Positif pour les nombres impair et négatif pour les nombres pairs. De là, je connaissais la somme jusqu'à 100 qui est 5050 et j'ai donc choisi la réponse e.
Idem !
Je suis un marocain et je vous suivre
J'espère que vous parlerez plus doucement dans les prochains vidéos
Et désolé s'il existent des fautes de langue😊.
Très bon pédagogue, félicitations. En étant assez bon en mathématiques je n'ai pas pensé à l'astuce de Gauss.
sortant d'un Bac S + classe prépa, je n'ai pas fait de Maths depuis des années mais ta vidéo est divertissant et intéressante. bravo
Certains font de la gonflette pour leurs muscles, ici, on fait de la gonflette pour le cerveau. Ma prof de physique de 2de nous avait dit que l'intelligence était un muscle et que c'était en l'entrainant qu'on conservait son intelligence. Je conserve ici le peu d'intelligence que j'ai jamais eu et je récupère encore des connaissances matheuses que je n'ai jamais eues.
Merci
Bonjour; il y a plus cours en temps: Prendre les 2 premiers positif ensemble (1+9 = 10) et prendre les 2 premiers négatif ensemble ( -4-16=-20). Constat: -20+10 = -10. Cela vaut de diviser par deux. Puisque que la suite est composé de groupe paire avec un positif et un négatif , il suffit en faite de considérer le dernier élément et le diviser par 2: soit 100² /2 = 5000 qui vaut de Réponse la plus proche de e=5050., c'est donc cette réponse. A la vu du narratif posé et qui propose des réponses à choisir, cette solution peu précise à le mérite d'être hyper rapide (plus ou moins 10 secondes) et de donner la réponse . Bonne journée
Excellent, comme toujours. Merci à vous.
Une résolution sympa qui peut être faite c'est de poser 2*x pour les pairs et 2*x+1 pour les impairs. Avec le passage au carré tous les termes au carrés vont s'annuler et il va rester la somme des 50 premiers termes 4*x +1 pour x allant de 1 à 50.
Pas besoin de tout calculer xD
Vu qu'on peut effectivement regrouper les termes par 2 pour avoir une progression, puis par 2 à nouveau pour sommer des termes constant, on sait que le résultat sera multiple de 25. 1000 est trop petit (bon d'accord, faut un peu d'intuition là dessus). On peut aussi voir le pattern qui indique que le résultat est un multiple de 101. Reste que 5050, l'avantage des QCM 😁 pas besoin de faire les calculs pour choisir une réponse. (Et je sais que les réponses sont négatives, mais flemme d'écrire les "-" qui embrouillent un peu l'écrit)
Je suis à 2min11 de la vidéo.
D'abord, posons la notation S(0 -> N) la somme de n= 0 à n = N.
Soit E(N) (dans l'exercice, N = 49).
On remarque que E(N) = S(0-> N) (2n + 1)^2 - (2n +2)^2.
On utilise l'identité remarquable.
E(N) =S(0 -> N) (2n + 1 - 2n -2)(2n + 1 + 2n + 2) = S(0->N) -4n - 3 = [S(0->N) -4n] + [S(0->N) -3]
S(0 -> N) -3 = -3(N + 1) car on additionne (N + 1) fois le nombre -3.
S(0 -> N) -4n = -4 * S(0 -> N) n.
Or, comme ajouter 0 ne change rien, S(0 -> n) n = S(1 -> N) n = N(N + 1)/2.
Au final, E(N) = -3(N + 1) - 2N( N + 1) = -(N + 1) (3 + 2N).
Avec N = 49, on trouve E(49) = -50 * 101 = -5050.
Vous m'avez fait énormément plaisir, merci 🙏
Une fois la première suite 1-4x, on pouvait aussi appliquer ce facteur d'échelle à la somme des n premiers entiers : résultat = (nb de termes * 1) - (4 * somme des 50 premiers entiers) = 50 - 4 * (50 * 51) / 2 = 50 - 2 * 2550 =50 - 5100 = -5050, CQFD ;-)
J'adores tes explications, merci beaucoup
Vous êtes le meilleur
En python :
Version soft :
s=0
for i in range(1,101):
if ((i%2) == 1):
s+=(i**2)
else:
s-=(i**2)
print(s)
Version Jedi^^ :
sum((2*(i%2)-1)*i**2 for i in range(1,101))
il y a quand meme plus rapide
1²-2²+3²-4²... en les regroupants deux par deux:
(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + (5-6)(5+6) etc...
chaque parenthese de gauche vaut -1:
= -1(1+2+3+4+5+...+100)
=-1*(100+101)/2
=-5050
Je l'ai résolu de tête en voyant la miniature. Voici la méthode intuitive (peut-être pas très académique) que j'ai utilisé :
Comme N^2 - (N + 1)^2 = -(2N + 1) = -(N + (N + 1)) et 1+2+3+4+...+(N-1)+N = N(N+1)/2
=> 1-4+9-16+...+99^2-100^2
= -(3+7+11+15+19+...+199)
= -((1+2)+(3+4)+(5+6)+...+(99+100))
= -(100*101/2)
= -5050
Quand je vois une suite de carrés, je penses toujours à la somme des nombres impairs : 2^2 = 1+3, 3^2 = 1+3+5, 4^2 = 1+3+5+7 ...etc.
C'est ce qui m'a permis de trouver rapidement la solution 😉
époustouflant !
Personnellement, avec Gauss j'ai fait comme ça :
-3-7-11-15....-199, ça ressemble à-4-8-12....-200 (si on enlève 1 à chaque fois, soit-50)
On peut donc écrire-4*(1+2+...+50) + 50 (pour compenser le-50).
Donc-4*(50*51/2)+50
Très astucieux. Mais on peut faire plus compliqué :
- on regroupe les positifs avec les positifs et les négatifs avec les négatif
- on trouve somme (0 à 49) de (2n+1)^2 - somme (1 à 50) de 4n^2
- on developpe = somme (0 à 49) de (4n^2+4n+1) - somme (1 à 50) de 4n^2
- on elimine et on simplifie et faire attention à 49 et 50
- on arrive à -50 x (-200+98+1)
= -50 x 101 = 5050
-
Comme diraient les shadocks "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué"😂😂
Un idée alternative est de savoir que n² = somme des n premiers impairs ce qui nous ramène à la seconde méthode. Ou alors de là remarquer que le premier impair apparait 50 fois avec + et 50 fois avec -, le second 49 fois avec + et 50 fois avec -, etc et donc au final il ne reste que -3 - 7 - 11 - ... ce qui nous ramène à la première méthode.
Personnellement, j'ai regroupé les termes 2 par 2 dans l'ordre : (1 -2^2) + (3^2 - 4^2) etc. Puis j'ai constaté que a2 - b2 = (a+b)(a-b) et que si b= a+1, on a :
a2-b2 = (2a+1)* (-1). Il faut donc faire la somme de 2a+1 pour a allant de 1 à 49 de 2 en 2, et mettre un signe (-) :
1 - 4 = (2a+1) *(-1) avec a = 1 soit -3
9 - 16 = (2a+1)*(-1) avec a= 3 soit - 7
25 - 36=(2a+1)*(-1) avec a= 5 soit - 11
etc.
Dernier = :
99^2 - 100^2 = (2a+1)*(-1) avec a=99
On fait donc :
+
(A) Somme des 1 pour a=1 jusqu"à 99 de 2 en 2 soit 50 fois = 50
(B) Somme des 2a pour a de 1 à 99 de 2 en 2 soit 2 fois X avec
X=(1 + 3 + 5 ... 95+97+ 99). Je prend le 1er et le dernier qui fait 1+99=100, puis le 2e et l'avant-dernier : 3+ 97 qui fait 100 etc. jusqu'à 49+51. J'obtiens 100 pour 1 à 49 de 2 en 2 (Pareil que de 2 à 50 de 2 en 2, soit de 1 à 25 de 1 en 1) = 25 fois 100 = 2.500
J'ai donc :
(A) = 50
(B) = 2 * 2.500 = 5.000
Somme = 5.050
Et résultat final (négatif car on multiplie par -1) : -5.050
J'ai utilisé une méthode que se rapproche de la deuxième assez facile à obtenir pour quelqu'un qui finit son lycée:
S= 1 + 2^2 - 3^2 + ... - 100^2
= Σ(k=1; 50) (2k-1)^2 - Σ(k=1; 50) (2k)^2
(on sépare les positifs et négatifs en sommes de carrés)
= Σ(k=1; 50) 4*k^2+1-4k - Σ(k=1; 50) 4*k^2
(on développe les carrés dans les parenthèses)
= Σ(k=1; 50) 1+4k
(on regroupe les deux sommes, ce qui simplifie le calcul)
= 50 - 4*Σ(k=1; 50) k
(on sort le 50 puis le 4 de la somme)
A ce stade on peut utiliser la technique de Gauss pour sortir k de la somme:
S= 50 - 4 * (51 * 25)
= 50 - 51 * 100
= -5050
Une méthode sans la théorie des suites et séries (un poil plus long mais j'ai trouvé tout seul haha)
Comme il l'a fait, on remarque que si oncalcule des sommes partielles on obtient toujours un nombre impair sur 2 :
1-4=-3 ; 9-16=-7 ; 25-36=-11 ; ...
Ces nombres s'écrivent tous comme -4n+1 avec n qui vaut 1, 2, 3, ..., 50 (50 parce qu'on a mis les termes par 2 donc on en a 50 paires)
On peut donc écrire la somme comme suit :
-4*1+1 -4*2+1 -4*3+1 ... -4*50+1
On met le -4 en évidence et on sort les 50 "+1" qui donnent +50
-4*(1+2+3+...+50) + 50
La somme S de 1 à 50 est facile à calculer : on utilise la méthode de la vidéo en calculant 2x la somme
2S = (1+50)+(2+49)+...+(50+1)=50*51
S = 50*51/2
On a donc
-4*S+50 = -4*(50*51/2)+50 = -2(50*51)+50 = 50 *(-2*51+1) = 50* (-101) = -5050
Voilà je m'en suis sorti comme ça :)
J’aime trop les vidéos comme ça
Bonjour et merci pour votre travail !
En fin de compte, je remarque que la formule finale est celle des progressions mise au négatif : - n(n+1) : 2, soit : - 1OO x 101 : 2
en généraiisant , 2p-1 nombre impair; 2p nombre pair : la soustraction vaut (2p-1)² - (2p)² = 4p²-4p+1-4p² = -4p +1 , si p = 1 alors le resultat = -3 ; si p = 2 , il vaut -7 , si p = 3 alors il vaut -11
donc on a bien une suite artithmétique de raison -4
J'ai instinctivement pensé à la deuxième solution.
C'est probablement parce que je connaissais l'anecdote, mais aussi parce que j'ai 36 ans, et que ça fait longtemps que j'ai pas utilisé les identités remarquables :)
Mais ça montre bien aussi qu'une histoire, c'est beaucoup plus facile à retenir qu'une formule ;)
Merveilleux accent !
En recombinant ses termes, la série peut s’écrire : 1 +(3^2-2^2) + (5^2-4^2) + … + (99^2-98^2) - 100^2. Or la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à la somme de ces 2 entiers. Ce qui donne 1+2+3+4+…+99-100^2 c’est-à-dire (99x100)/2-100^2=-5050.
s’il y avait un nombre impair de termes (101 termes par exemple), on aurait enlevé par exemple le dernier terme et appliqué la première méthode de la suite puis ajouter le dernier terme, c’est ça la méthode ?
Je suis trop content, je vais pouvoir entrer à Oxford ! J'ai réussi l'exercice. :)
Question, maintenant : pourquoi la somme 1 - 4 + 9 - 16 + ... + 99^2 - 100^2 vaut la même chose, mais en négatif, que 1 + 2 +3 +4 + ... + 99 + 100 ?
Cool, moi j'ai trouvé à l'aide de somme carré (k)- somme(k+) pour k allant de 1 à 99 et un pas de 2.
Dommage qu'on ne puisse pas commenter sur youtube par des images.
Tu es génial
incroyable je le passe dans un mois
Alors personnellement j'ai juste pris le plus grand et le plus petit nombre et je les ai additionné = 101, ensuite j'ai fait le nombre d'entités du calcul de base (100) que j'ai divisé par 2 = 50
Ensuite sachant que le dernier signe est un "-" j'ai multiplié les 3 chiffres ce qui fait:
101*50*(-1)= -5050
Si on a un nombre d'entités impaire, on ignore le dernier chiffre et on le soustrait ou on l'additionne au premier calcul puis on refait le tout *(-1)
Exemple pour 101: -1*(-5050-101) = 5151
Il faut juste pas s'emmêler entre les + et les - .
Moi j'ai fait compliqué : somme de 1 à 100 des i² - 2 fois la somme de 1 à 50 des (2i)² et en utilisant la somme des n premiers entiers au carré qui est égale à n(n+1)(2n+2)/6, on retrouve 101(-50)=-5050
vraiment cool!
Pour tout n, (2n-1)²-(2n)² = (2n-1-2n)*(2n-1+2n) = -(4n-1).
On cherche la somme
∑ -(4n-1) = -4*∑ (n) + ∑ (1) = -4*(50*51/2) + 50 = -5100 + 50 = -5050
En effet, comme indiqué dans la vidéo, Gauss a démontré (ici avec k = 50)
∑ (n) = 1+2+3+...+k = 1/2 * [(1+k) + (2+(k-1)) + ... + ((k-1)+2) + (k+1)] = 1/2 * k * (k+1)
Je l'ai trouvé en 20 sec (pour une fois). Quand on a un QCM, il faut approximer.
1/ Je constate l'alternance des carrés des paires et des impaires
2/ Si je vais jusqu'à -16, je vois que la somme est légèrement inférieur à la moitié ... et je constate la même pour -36
3/ Parmi les réponse possible, seul -5050 correspond à légèrement moins que la moitié de 100 au carré
La méthode 1 repose sur la conjecture d'une suite arithmétique. Pour le prouver , on peut calculer graphiquement ou algébriquement (2n-1)²-(2n)² = 1-4n ce qui définit bien la suite arithmétique, et qui est à peine plus long.
Je sais pas d'où ça vient, mais j'ai l'impression que le résultat de cette somme au rang n, c'est la somme des 2e et 3e nombres du triangle de Pascal à la n-ième ligne. Ensuite on rajoute le signe: + pour les lignes impaires et - pour les paires (ou inversement selon ce qu'on considère comme "rang 1" ou "0"). Ça sort d'où?
Thank you sir
J'ai utilisé une troisième méthode, j'ai fait la somme de tout les termes positifs, la somme de tous les termes négatifs et j'ai ajouté les deux sommes, je tombe sur le même résultat
Super ! j'ai de suite compris !
Sérieusement Merci !
Il y a plus simple en 5 secondes et sans formules, et ça coule de source: Eliminer les carrés qui ne servent à rien, faire la moyenne x le nombre en négatif, donc - (1+100)/2 x100 = -5050
Toujours aussi sympa vos vidéos.
Ma solution en 5 lignes :
nxn - (n+1)(n+1) = -2n-1
n=1,3,5...99
-2(1+3+5+...99) -50
-2(100x25)-50 car 25 pairs de 100
-5050
Autre méthode :
S = 1-4+9-16+...+99^2-100^2
1-4 = -3 = -(1+2)
9-16 = -7 = -(3+4)
...
Donc S = -(1+2)-(3+4)-(5+6)-...-(99+100)
Je factorise par -1 :
S = -(1+2+3+4+5+6+...+99+100)
S = -(100*(100+1)/2)
S = -5050
Si on fait un script en Python, c'est valable??? :D Plus sérieusement merci pour tes pastilles mathématiques, c'est très stimulant!!! :)
Excellente chaîne!
pour passer d un carre au suivant +2x+1
la on soustrait le carre suivant donc
c est la somme de -2x+1 de 2 a 100 step 2
Less than 5 min and you get e)
A difference of square terms, a lil bit of care for the first and last terms, then using the formula for the sum of naturals and done.
S = 1 - 10,000 + sum over i from 1 to 49 of (2i+1)^2 - (2i)^2
S = 1 - 10,000 + sum of (1)(4i+1)
S = 1 - 10,000 + 49 + 4*Sum(i) for i from 1 to 49
S = 50 - 10,000 + 4*49*50/2
S = 50 - 10,000 + 4900
S = 50 - 10,000 + 5000 - 100
S = -5050
J'ai fait la seconde méthode, merci Mr Gauss ;)
Bonsoir
Je le vois comme la somme de 1 à 50 de (2n) au carré moins la somme de 0 à 49 de (2n+1) au carré.
Sur la premiere somme je sors le premier terme qui vaut 1 et la somme à un indice qui coure de 1 à 49.
Sur la seconde je sors le dernier terme 100 au carré et l'indice de la somme coure de 1 à 49
Ensuite je regroupe les 2 sommes. Je développe et je simplifie.
Je me retrouve avec 1 moins 100 au carré plus 4 fois 49 fois 50 divisé par 2 plus 49
= -5050
Pareil c'est trop facile
Je viens de tout regarder maintenant, et je crois que j'ai ma réponse !
Très bonne vidéo ! :D
Alors il y a un truc que je ne comprends pas...
Avant de regarder la vidéo, j'ai fais :
1-4 =-3 4-9=-5 9-16=-7 Bref : Ça augmente de deux par deux. Et toujours en négatif (le 4-9=-5 était juste un autre exemple).
Donc on par de 1 à 100, mais on ne fait qu'un calcul sur deux (donc pas le 4-9), ce qui fait 50 calculs à résultat négatif.
On a donc 50 calculs à faire. Enfin... 50x3 (la différence). Hors, la différence augmente de 3 à chaque calcul. Donc 3*(50+49+48+47+...) On peut les regrouper en base 50 : 50+(49+1)+(48+2)+... Ce qui nous donne :
Petit calcul qui aide en utilisant un exemple avec 10 : 10+(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+(5)=55 soit 10*5,5.
Donc on a 50*5,5 calculs à faire.
50*5,5*3=275*3=825.
Le calcul m'a pourtant l'air juste ! Où est-ce que ça coince ?
-825 je veux dire puisque c'était négatif.
Ah attend ! J'ai dit que la différence augmente de trois entre chaque calcul mais c'est de deux en fait. x)
Je refais !
Donc on a une base à moins trois, donc 50*-3 plus 225*-2. Soit -600.
Je crois que je me suis perdu. Ça fait trop longtemps que je ne fais plus de maths.
Il y a un autre souci, sur ton tableau tu écris que -16 = -4². Hors non, -16=-(4²).
Mais je pinaille. x)
@@maximilien6780 -16 = -4^2 est vrai : il n'y a pas besoin de parantheses car la puissance est prioritaire. Il ne faudrait mettre des parantheses que si le - était aussi mis au carré pour (-4)^2 = 16
j ai fait de tete en qqs secondes mais apres debut idem plutot que de regrouper j ai au contraire degroupe
j ai donc -3 puis -7 etc en faisant -4 a chaque avec 50 termes mais apres au lieu de regrouper j ai scinde chaque terme en 2 entier les plus proche de la moitie du terme
exemple -3 la moitie c est 1.5 et donc ca donne les 2 entiers plus proche -1 et -2 pour suivant ca donne -3 et -4 jusqu au 50eme terme ce qui fait qu on retrouve 100 termes allant de -1 a -100 dont je connaissais la somme car l oppose de la serie positive donc -5050
On pouvait raisonner aussi en remarquant qu'on ajoute tous les carrés des nombres impairs et qu'on retire les carrés des nombres pairs et ce jusqu'à 100
Ça nous donne [ la somme de k=0 allant à 49 des (2k+1)² ] - [ la somme de k=1 allant à 50 des (2k)² ]
= [ la somme de k=0 allant à 49 des 4k²+4k+1 ] - [ la somme allant de k=1 à 50 des 4k² ]
On distribue la somme
= [ la somme de k=0 allant à 49 des 4k² + la somme des 4k + la somme des 1 ] - [ la somme allant de k=1 à 50 des 4k² ]
La différence entre les sommes des 4k² se simplifie de manière télescopique il nous reste juste
- 4×50² + 50 + la somme de k=0 à 49 des 4k
= -4×50² + 50 + 4 × la somme des k
= -4×50² + 50 + 4 ×(49×50)/2
= -4×50² + 50 + 2×49×50
= -4×50² + 50 + 98×50
= -4×50² + 99×50
= - 5050
1-4=1^2-2^2=(1-2)(1+2)=-(1+2)
9-16=...-(3+4)
25-36=...-(5+6)
.
.
99^2- 100^2=...-(99+100)
On obtient ainsi
-(1+2+...+100)=-(101)(100)/2=5050-
FORMULE= coeff multiplicateur x le nombre de terme = solution; (0.5 + (0.5 x 100)) x 100 = 5050 (détails après)
Bonjour, j'avoue que cet exercice à piqué ma curiosité, je suis novice en mathématiques (les bases), mais il est marrant de voir que tout simplement une "formule" existe pour ce genre de calcul, (après loin de l'avoir fait en moins de quelques minutes). Quand l'on pose les premiers termes (1-4+9-16+25 etc..), on aperçoit que (contrairement au suites récurrentes avec des écarts fixes non égales à 2) que une fois divisé par le nombre de termes, le résultat de la suite s'incrémente de 0.5. => 1-4=-3 / 2 termes = 1.5 ; (1-4+9)/ 3 termes = 2 ; (1-4+9-16)/ 4 termes = 2,5 ETC.. donc sur ce postulat, le terme 0 à une base de 0.5, on vient ajouter l'incrémentation de 0.5 X le nombre de terme pour trouver le coeff multiplicateur. Après c'est tout bête: FORMULE= coeff multiplicateur x le nombre de terme = solution; (0.5 + (0.5 x 100)) x 100 = 5050, la subtilité consiste à déterminer le sens positif ou négatif, la encore tout bête, le signe est le même que le dernier terme, la en l’occurrence -100. Voila voila. // D'ailleurs à 10:40 de la vidéo, il est existe aussi plein de formules pour trouver le résultat des suites récurrentes avec des "alternations"(?) de symboles ou pas. Pour le (1-3+5-7+...-95+97-99)==> SOMME = NOMBRE DE TERME (et oui encore, c'est beau les maths..) avec le symbole correspondant au dernier terme (comme en haut), (5 termes sur 10 tranches de 10, 1 3 5 7 9; 11 13 15 17 19 etc) = 50 tout pile. Pour la suite d'écart pour les suites d'écart 1 qu'en positif (1+2+3+4...) => 0.5x+0.5x² x étant le nombre de terme ; écart 2 + (positif, 1+3+5+7) ==> x² ; écart 3 + ==> -0.5x + 1.5x² ; j'ai pas continué la suite; pour les suites en alternance: écart 1 - (négatif; 1-2+3-4) ça se complique, un résultat de paire (coeff multiplicateur utilisé) est 1 fois sur 2 est fixe à -0.5 mais de l'autre côté il décrémente de 1/(nombre de terme n x nombre de terme n+2) ex: -1/2 = -0.5 2/3 = 0.66 -2/4 = -0.5 3/5 =0.6 , diff entre 2/3 et 3/5 = 1/(3*5). Merci à ceux qui auront lu jusqu'au bout et j'espère que mon raisonnement à été clair. Je serai curieux de savoir si cela existe déjà :O)
Prof, c'est un métier difficile. Par exemple, j'aime bien comment il essaie de me faire comprendre une méthode mais c'est pas mon truc (j'aime bien les itérations). Mon truc, c'est de comprendre comment un professeur fait pour motiver ses élèves. Du coup, j'aime bien.
Bonjour,
Après avoir compris que le rapport entre chaque couple était -4. J'ai trouvé -5050. J'en ai déduis que c'était égal à -(n+1)n /2.
🙂
Plutôt simple pour un test d'entrée à Oxford mais sympa à résoudre
somme[2k-1)^2-(2k)^2], k allant de 1 à 50= (après simplification) somme(1-4k), k allant de 1 à 50=(après séparation) 50-4somme(k), k allant de 1 à 50 =(après application formule de la somme) 50-5100=-5050
Sinon on a (1)^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2
C’est une somme alternée des k^2 donc on a la somme des (-1)^k+1 * k^2 de k=1 a k=100, et après quelques opérations (on forme deux sommes avec d’un côté les termes pairs, de l’autre les termes impairs) on arrive à trouver le résultat !
Bonjour, vous auriez pu aussi proposer une methode plus scolaire detude de la suite en definissant Un par rapport a Un-1 de 2 facons et en deduire que Un=1/2 x (-1)^(n-1) x n x (n+1)