UNE TECHNIQUE HALLUCINANTE 🤩
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- Опубліковано 11 гру 2024
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
On calcule une racine carrée qui semble bien complexe mais que l'on va effectuer avec une succession de transformations accessibles.
Calculer √(50 × 51 × 53 × 54 +1)
![LAVROV's interview with Tucker CARLSON 😁 [Parody]](http://i.ytimg.com/vi/mbMemqc-QEk/mqdefault.jpg)
![LAVROV's interview with Tucker CARLSON 😁 [Parody]](/img/tr.png)
Que c'est beau la folie mathématique ! Quel talent ! T'arrêtes pas mec…
Merci pour votre honnêteté intellectuelle et sociale
Bonne journée Sir!
n² + 3n +1 ; Ca vaut aussi
n² +2n+n+1 ou: n² +2n +1 +n
Ce qui reviendrait aussi a une identité remarquable sur le segment n²+2n+1, auquel on oublie pas d'ajouter le dernier n, soit
(n+1)² +n
Pour le calcul présenté, ça fait 51² +50
oui sauf que, pour moi en tout cas, calculer de tete 50²+3*50+1 est plus rapide/immediat que 51²+50
C'est plus difficile à calculer mentalement
@@guetali ben non car 51 x 51 x 50 c4 EST 50+1 x 50+1 x 50 et pour passer de 51 x51 a 50x 50 on passe deja par 50x 51 en rajoutant 50 puis +51 pour finaliser
pour moi c aussi rapide
Trop génial Je suis bluffé par ta pédagogie, j'ai enseigné les math et je suis en retraite......
Félicitations et bonne continuation !
C'est tellement génial , mais dites moi 50 X 53 = 2650 2650 + 1 = 2651 où sont passés les deux autres facteurs !!! le prof aurait dû écrire sous le radical (2651)^2 pour que chacun comprenne
@@michellepivert3964 Troublant en effet que 50 x 53 + 1 soit le résultat cherché. Toutefois, selon la règle des priorités, on ne doit pas additionner le "1" avant d'avoir multiplié les 51 x 52 à 50 x 53 auparavant non ?
Maintenant, 51 x 52, c'est 2652 ! Soit le résultat cherché -1 ... C'est une piste de réflexion peut-être (mais chuis pas matheux plus que ça 😉) ?
Ça me fait penser à la méthode de Gauss pour l'addition des termes de 1 à 100 (1+2+3+...+99+100), qui fait 1+100 + 2+99 + 3+98 + ... + 50+51), soit 50x101 = 5050. En tout cas, prendre les extrêmes à chaque fois est ingénieux. Alors y'a-t-il des similitudes avec la multiplication ? Chais pas 😁
En tout cas, un grand bravo au présentateur de cette vidéo. Sa pédagogie et son enthousiasme, c'est tout ce qu'il faudrait pour faire rentrer les notions de maths dans le crâne de nos p'tits jeunes (et aussi rebooster les vieux ! LOL). MERCI !!!
@@gaoupslr8953 50² + 3x50 +1 = 50x(50+3) + 1 = 50x53 +1 on factorise la formule à la fin par n :^)
T’es au top mec 👍, tu as réussi à me faire aimer les maths même si je galère toujours et que c’est uniquement pour mon plaisir vu mon âge fort avancé. Merci et continue 👌
Pas évident de penser à associer les termes de cette façon ! Bravo 🎉!
Pas obligé surtout... ça c'est la soluce pour ceux qui ont vu l'astuce, j'ai mis dans un com ma soluce qui marche même quand t'as pas l'astuce (j'avais quand même vu l'astuce, mais pas pensé à factoriser comme ça)
Encore une autre façon de trouver (voir aussi mon autre réponse):
La moyenne arithmétique de (50;51;52;53) est 51,5.
Comme les termes sont proches, la moyenne géométrique est forcément proche de 51,5
La réponse au problème est donc forcément proche de 51,5^2 = 2652,25
Vu qu'on nous demande de trouver la réponse sans machine à calculer, on peut en déduire que la réponse est probablement un nombre assez simple du genre 2652 ou 2651,5 ou peut-être 2650 + sqrt(2) etc...
Il existe un théorème assez connu des mathématiciens de concours et pas très difficile à comprendre si on y réfléchit qui dit que la racine carrée d'un nombre entier positif est soit un nombre entier positif soit un irrationnel. Pensez-y, si vous prenez un rationnel m/n (avec m et n entiers positifs et m/n pas entier), vous voyez tout de suite que (m/n)^2 ne vas jamais donner un nombre entier.
Comme ici, le nombre sous la racine est un nombre entier, la réponse finale est donc soit un entier soit un irrationnel.
Vu l'absence de calculette, je parie sur un nombre entier.
(Et oui, les maths de concours et les tests de QI, c'est aussi évaluer la psychologie de l'auteur de la question...)
Mieux encore, 50*51*52*53 se termine forcément par 0 donc 50*51*52*53+1 se termine forcément par 1.
Pour que n^2 (avec n entier positif) se termine par 1, il faut que n se termine par 1. (Essayez, c'est facile de s'en convaincre)
Le nombre entier se terminant par 1 le plus proche de 2652,25 est 26521.
Donc essayons 2651
Ca demande un peu de calcul écrit mais c'est pas la mer à boire non plus.
2651^2 = 7027801
50*51*52*53+1 = 7027800 + 1 = 7027801
Bingo.
Ce que je trouve fou, c'est que du coup, toutes les racines du type racine(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1) sont les nombres entiers.
Ça veut aussi dire que, pour n entier, n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 est un carré parfait !
La vidéo démontre ce résultat mais est-ce que vous avez d autres approches de démonstrations?
@@nicolasmeunier8783 Pour le coup, c'est purement calculatoire.
On pourrait tracer la courbe et remarquer qu'elle passe, pour chaque x entier, sur un y entier aussi
@@LuluLaSaumuremerci pour ta réponse.
toutes mes idées reviennent au même.
Il y a des tonnes de résultats curieux comme ça mais j'avoue que celui me paraît peu intuitif.
Pourrait-on faire un lien avec Héron ou Bramagupta, du style quand on a cette racine c'est la surface (aire) d'un triangle ou polygone de côtés entiers dont le périmètre est tel que la surface soit nombre entier ?
astucieux et élégant, des maths plaisantes. La présentation aussi...
Et 2651 c'est 53x50+1, donc en gros pour faire plus simple racine(a x a+1 x a+2 x a+3) = a x a+3 +1 et par exemple racine(3x4x5x6)+1 = racine 361 = 19 qui est (3x6+1) ... MAGIC !
Il fallait connaître cette astuce...
Merci 😊
Je la mémorise
Très bonne idée, je confirme !
Autre solution, en fait un peu moins rapide, mais qui prouve qu’on peut résoudre ce problème par plusieurs voies…
Alors voila : posons a = 51, et X = (a-1) a (a+1) (a+2) + 1.
On groupe différemment : X = (a^2 - 1) (a^2 + 2a) + 1 = (a^2 - 1) (a^2 - 1 + 2a + 1) + 1.
Ou encore : X = (a^2 - 1)^2 + 2a (a^2 - 1) + a^2 - 1 + 1 = (a^2 - 1)^2 + 2a (a^2 - 1) + a^2
qui n’est autre que le carré de a^2 - 1 + a !!
Donc √X = a^2 - 1 + a = 2651.
Merci pour vos videos !
Ce qui est marrant c'est aussi de voir que le résultat vaut 50 * 53 + 1 (et donc qu'on a enlevé la racine en ne sortant pas n + 1 et n + 2 mais seulement n * (n + 4) + 1 au final)
magnifique ce que tu fais comme
calcule et demonstrsions
Continue tes videos stp ! Elles sont geniales
La beauté dans la simplicité, j’adore ça. :-)
Une beauté ! La magie des maths 😊
Rajouter la variable x est superflu à mon goût. On peut utiliser une identité remarquable à ce moment là :
(n+3n)(n+3n+2)=((n+3n+1)-1)((n+3n+1)+1) et là on reconnaît (a-b)(a+b)=a²-b².
C'est surtout très commun de le faire quand on multiplie deux nombres séparés de 2
Les deux sont pas incompatibles; cad qu'à 4'49, j'ai pris X= n^2+3n+1., au lieu de n^2+3n.
Toujours et encore merci pour ces vidéos passionnantes.
Avec plaisir 😊
Quand les maths deviennent un art... C est beau !
Chouette! Ça donne l'impression que cet exercice a été conçu par la fin en brouillant les pistes d'une identité remarquable 😍
Trop fort ! Si j'avais eu un prof de math aussi enjoué et qualitatif que vous, j'aurais certainement aimé cette matière!
Encore merci pour vos vidéos. Elles sont toujours excellentes.
Merci pour votre pédagogie, ainsi que votre bonne humeur.
Au Top
Avec les entiers consécutifs on gagne souvent un peu en simplicité à ne pas mettre n en premier facteur mais plutôt quelque part au milieu. Ici, en écrivant
√ [ (n-1) n (n+1) (n+2) + 1] et en faisant comme dans la vidéo le produit des facteurs extrèmes et celui des facteurs centraux, on a
√ [ (n² + n - 2) (n² + n) + 1] , soit en notant X = n² + n - 1
√ [ (X - 1) (X +1) + 1]
= √ [ X² - 1 + 1]
= √ [ X²]
= X soit n² + n - 1
ce qui simplifie (un peu) le calcul algébrique - quoique pour le calcul numérique ce soit moins simple dans ce cas précis quand n = 51...
Joli petit problème en tout cas :-)
En accord avec un message précédent , tu es au top, je galère et le plaisir même agé . Merci.
On peut également faire 50*53+1 pour aller plus vite (on enlève les 2 terme du milieu n+1 et n+2 et on ajoute 1 au produit)
Ou 51*52-1, on multiplie les deux termes du milieu et on enlève 1 au produit…
@@pierrerobine4287 Aussi oui merci pour l'info je ne l'avais pas vue...
50 X 53 = 2650 2650 + 1 = 2651 j'ai bien vu mais de quel droit pouvez vous supprimer deux facteurs d'un produit par ailleurs le prof a souvent souligné le rôle des parenthèses , alors faut-il lire X ( 53 + 1 ) ou X (53) + 1 ? il est vrai qu'en supprimant 2652 vous êtes au même résultat racine de S = 2651 , ce qui me chagrine dans la démo du prof est qu'il n'a jamais pris la peine d'écrire la somme S sous le radical S = 7027801 pour que tous comprennent .
Bravo pour la vidéo, toujours un plaisir de les regarder. 😄
Est-ce que tu pourras faire la fonction gamma d’euler si tu as l’envie et le temps dans une vidéo stp ? Merci beaucoup, continue comme ça 😉
Tout les Maths sont beau
Superbe preuve; Merci. Voici une autre approche plus naturelle, généralisable: faire des essais sur des entiers plus petits; 2x3x4x5 +1 = 121 = 11² = (2x5 + 1)², 2 et 5 étant les facteurs extrêmes du produit; de même 3x4x5x6 + 1 = (3x6 + 1)² = 19², etc. Plus généralement:
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = [n(n+3) + 1]²; la preuve est facile en calculant le carré [n(n+3) + 1]², en privilégiant la factorisation, pour obtenir n(n+1)(n+2)(n+3) + 1. Application: 50x51x52x53 + 1 = [50x53 +1]² = 2651²; Donc la racine cherchée vaut 2651.
Bonsoir, je remarque aussi que c'est égal à (50x53)+1 tout simplement
Ce qui veut dire que la multiplication de 4 nombres consécutifs+1 donne systématiquement un carré parfait... Et c'est cette démonstration que je voudrais...
N=1 donne 5*5
N=2 11*11
N=3 19*19...
La démonstration est dans la vidéo 🙂 on ne revient au cas particulier n = 50 qu'ensuite, mais ce qui précède est valable pour tout n.
J'ai proposé en commentaire une démo un poil plus directe... voir plus haut !
Bonjour, en fait sur ce genre de calcul il y a vraiment beaucoup plus simple. Tu pourras l'essayer sur d'autres chiffres que racine(50*51*52*53+1) (et au passage essayer de retrouver comment on fait ;) ). La solution la plus simple sur cette configuration (racine(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1) est tout simplement n+(n+1)²
Vous êtes génial
On peut lui donner la forme x(x+3)+1
Comme d'autres l'ont indiqué, ça donne premier terme x dernier terme+1
50 x 53 +1
Plus facile à retenir... Si toutefois cela s'avère utile vu le cas particulier de ce calcul !
Use either of the shortcuts. First shortcut: 50 x 53 + 1 = 2651. Second shortcut: 51 x 52 - 1 = 2651.
FUN FACT: Any four consecutive positive integers multiplied and added to one is a perfect square.
Example: 2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 121 = 11^2. √(2 x 3 x 4 x 5 +1) = 11. Shortcuts 2 x 5 + 1 = 11 and 3 x 4 - 1 = 11.
Je suis bien content d'avoir trouvé le résultat avant même de débuter la vidéo. Super identitée remarquable.
Génial Il en faut d’autres svp lol merci
De toute beauté ce calcul... C'est pour ça que j'aime les maths...
On peut d'ailleurs generaliser a toutes les expressions de type
sqrt((n-1)*n*k*(k+1)+q^2) ou k-n = 2q-1 et on trouve trivialement la reponse etant evidemment nk-q d'ou par exemple
racine de (99x100x199x200+2500) = 100*199-50=19850
BRAVO, vous faite toujour de la ma magie mathematique
c'est fort, et t'as raison c'est trop beau. Cela dit j'ai pas eu le début du commencement du raisonnement.... merci bcp
Très bon prof-merci d'avoir rappelé que la racine carrée donne + OU -.Beaucoup l'oublie!
Hello , juste un petit commentaire pour vous dire que je suis fan de votre chaîne et que j ' aurais aimé vous avoir comme prof de maths de la sixième à la terminale et même au delà ! Vos élèves ont de la chance....
Merci pour ce retour 😍
J'approuve à 2000%
Mais ce n'est pas le même exercice
Un prof fait face en direct à 35 élèves et répète un seul cours à plusieurs autres classes et le prof de la vidéo prépare une seule fois son cours et sans parasites auditifs et visuels
Mais on ne peut que souligner la beauté de la technologie sur ce coup là 😊😊😊👍
Tout à fait d'accord, vous êtes un très bon professeur.
Franchement, excellente vidéo! 👍
Je pose simplement une question :
Étant donné qu'il y a absence de parenthèses qu'est-ce qui nous dis que le dernier nombre entier 53 n'est pas rajouté a 1 et non a l'ensemble du produit (50*51*52*53)+1
Cela pourrait être
(50)(51)(52)(53+1)
Enfin cette une remarque et ça change la donne non ? Donc (n+3+1)
Ce sont les operations du déroulement de la résolution qui ont capté mon attention. Un processus hautement complexe de computation.
Oui magnifique et astucieux calcul!
A= n*(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n*(n+3))*((n+1)(n+2))+1
A=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
A= (n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
a^2+2a+1, si 1=b alors a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 (avec a= (n^2+3n) et b=1)
On a donc a=50^2+50*3=2500+150 =2650 et b=1
Sqrt(50*51*52*53+1) =2651
(Je n'ai pas encore regardé la vidéo mais c'est ma méthode. C'était plus compliqué que je pensais :))
J'adore!!! Bravo.
Magnifique comme toujours
0:00 Mwais.
Si on part de 50*51*52*53 + 1 ==
(51,5-1,5)(51,5-0,5)(51,5+0,5)(51,5+1,5) + 1
En distribuant, on a
51,5^4 + 0 * 51,5^3 + k * 51,5^2 + 0 * 51,5^1 + (1,5*0,5)^2 + 1
(on voit assez vite que les termes en ^3 et en ^1 sont 0 grâce à la symétrie de l'ensemble)
k est la somme de 6 termes dont 4 s'annulent entre eux en laissant -1,5*1,5 - 0,5*0,5 donc k = -2,5
Donc on a sous la racine:
51,5^4 - 2,5 * 51,5^2 + 1,5625
Ce serait bien pour factoriser si 1,25^2 = 1,5625 et oh surprise, 1,5625 c'est 1,25^2 (bein quoi tout le monde ne sait pas ça par coeur ?)
C'est donc bien qqch de la forme a^2 - 2ab + b^2 où a = 51,5^2 et b=1,25; ce qui donne
(51,5^2 - 1,25)^2
Et donc la réponse, racine comprise, est:
51,5^2 - 1,25
Avec un peut de calcul mental, 51,5^2 = (50+1,5)^2 = 2500 + 150 + 2,25
Et donc on a 2652,25 - 1,25 = 2651
Et sans surprise, ce n'est pas la méthode suivie dans la vidéo.
Je ne sais pas comment il rationalise de poser x = n^2 + 3n dans la vidéo mais si on cherche à former un carré parfait, on se doute que qqpart ça doit se rapprocher de 51,5^2 (51,5 est la moyenne arithmétique des termes multipliés et comme les termes sont proches, cette moyenne arithmétique est proche (mais pas =) de la moyenne géométrique) et ce 1,5 devient 3n dans le double produit.
Bonsoir. Excellente vidéo comme toujours.
L'idée du changement de variable me plaît beaucoup.
J'y suis allé comme une mule développementde tête et complet, sous la racine n^4+6n^3+11n^2+6n+1, puis utilisation de l'identité remarquable (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc ... seul le teme en n^2 demande vérification. Décidément je suis incorrigible
Une mule mais qui reconnaît (a+b+c)² 👌🏼
Merci pour ton retour 😃
Bonjour . Excellent. Bonne journée
0:15 en général, sur le comment y penser, direct je pense à (a+b) au carré.
wow trop genial! merci monsieur!
C'est ce qu'il manque à nos femmes et hommes publiques, la pédagogie ! Vous en possédez un maximum, vous pourriez leur en céder une petite partie. Vous êtes génial - Merci
La seule difference c'est que là il maîtrise son sujet et sais de quoi il parle, ce qui est loin des personnes publiques/politiques.
Si Les hommes et femmes publiques pratiquent la pedagogie (le bon sens, bon flair, la logique,...) avec des citoyens addict aux theories de complots, aux fake news ou simplement idiots par nature le resultat final est une nation nulle...le bon sens et l aptitude a penser pour demasquer le vrai du faux il en faut a tout le monde.
Les hommes/femmes publique de n importe quelle nation represente l excellence de cette nation. Si au depart t a une nation a majority d idiots, pedagogiquement ils ne peuvent elire que des idiots
Houlà je suis parti hyper loin, j'ai commencé pareil mais comme j'ai rien trouvé, j'ai raisonné comme avec des suites en commençant par calculer les premiers termes de la suite Un = √(n×(n+1)×(n+2)×(n+3) +1).
On trouve U0= 1 ; U1 = 5 ; U2=11 ; U3=19 et U4=29
Il semblerait donc que pour tout n, U{n+1} =U{n} + 2 (n+2) (à vérifier avec une démo par récurrence).
En tâtonnant, j'ai trouvé une formule explicite de U{n} pour tout n , U{n} = n(n+3) +1 (à vérifier aussi avec une démo par récurrence mais là c'est beaucoup plus facile puisque j'y suis arrivé)
Donc finalement U{50} = 50 × 53 +1 = 2650 + 1 = 2651
Bonsoir, excusez moi du dérangement mais j'aimerai savoir quel est votre niveau d'études ? svp
Intéressant
@@elc6927 Fac de maths + Master
@@valju1216 ok merci bcp parceque je me pose beaucoup de questions ( inutiles je le sais ) mais en 1ere terminale vous aviez de bons résultats ?
@@elc6927 Honnêtement, oui j'aimais beaucoup les maths. J'ai moins aimé à la fac, il n'y a quasiment plus aucun calcul et les concepts sont hyper abstraits. J'ai eu ma licence sans briller et sans avoir envie de pousser dans le secteur de la recherche, du coup je me suis tourné vers l'enseignement alors que je n'y avais jamais vraiment pensé avant. Je ne sais pas si cela répond à tes questions, c'est à toi de voir.
Magnifique !
Toujours aussi enthousiaste !
Merci de m'avoir appris @ 2:26 que 1xn est égal à n et surtout @ 2:41 que n est égal à 1xn (je connaissais la 1ère égalité mais pas la seconde)
Par contre il me semble qu'@ 4:29 √(x+1)² n'est pas égal à (x+1) ou -(x+1) _au choix_ , mais à ||x+1|| (valeur absolue, donc pas _au choix)_ (√y²=||y||)
sqr[(-3)²] = 3 = - (-3) = |-3| .
En généralisant:
Pour sqr(x²), on a:
sqr(x²) = x si x positif,
ou sqr(x²) = -x si x négatif.
car |x| = x si x positif et |x| = -x si x négatif.
Même chose si on a x + 1 au lieu de x:
Si x + 1 positif, |x+ 1| = x + 1, sinon, | x + 1| = - (x + 1)
Ici, on connaissait x, ce qui a permis de faire le choix directement entre les deux solutions.
La beauté des matchs avec de simples astuces c magique et captivant.
trés bien😁😁😂
Une explication faite avec beaucoup de N et d'amour 😊
Merci.. supperbe methode
Il faut aussi et surtout applaudir celui qui a créé l'exercice, probablement en partant de la solution vers le problème en passant par une accumulation d'identités remarquables...
J’ai appris que x^2=c (un réel positif) alors x = +sqrt(c) ou - sqrt(c) mais que sqrt(x^2)=abs(x) donc dans tous les cas sqrt((x+1)^2)=abs(x+1) or x est définit comme une somme d’entier naturel donc x+1>0 d’où sqrt((x+1)^2)=abs(x+1)=x+1
ça pique de chercher à résoudre ce problème après quelques années dans un métier pour lequel les rares calculs sont faits par une machine
En fait il faut chercher dés le debut à faire apparaitre une identité remarque pour se débarrasser de la racine. Le +1 à la fin dirige vers du a +1 au carré. Apres il faut bidouiller pour trouver a.
On peut aussi remarquer que n²+3n+1 fait simplement n×(n+3)+1 donc ici 50×53+1. Et ça correspond à ce qui est sous la racine en enlevant les deux produits du milieu.
Il ya un moyen plus simple d'arriver au résultat. L'idée de départ (associer 50 à 53 et 51 à 52) est bonne. 50*53=2650 et 51*52=2652. Autrement dit 50*53=2651-1 et 51*52=2651+1.
(2651-1)*(2561+1)=2651^2-1. En ajoutant le +1 on a donc 50*51*52*53+1=2651^2 et donc racine (2651^2)=2651.
Superbe !
Exercice 31 du livret LLG ;)
En fait je l'ai fait différemment comme je l'ai mis dans mon précédent commentaire, j'ai bien dit que ça allait me donner des idées, j'en ai eu une quand on a posé le x parce que quand je cherchais l'astuce, j'ai pu voir qu'on pouvait aussi mettre un carré parfait sous cette forme.
Celui là est vraiment sympa heureusement que tu donnes la réponse car il est tricky !
génial comme exo' ! effectivement, on ne s'attend pas à un résultat final "simple" à la lecture de la première ligne... 😅 toujours un cauchemar les racines...😂🤣 merci !
Génial, j'adore
Bravo pour la vidéo et la pédagogie j ai toujours un peu la même question c est le repère sur la classe pour pouvoir faire avec mes enfants. Un petit badge sur la vidéo indiquant la classe serait super. Merci
Ca semble vrai pour tout n
Et hop vidéo connexe, une démonstration par récurrence ;)
Les maths explose votre téte c'est géniale lorsque la réponse trés simple comme ca
Encore une solution, un peu différente, qui surtout JUSTIFIE de grouper les 4 nombres d’une certaine façon, 50 avec 53, et 51 avec 52.
Posons b = 51 + 1/2, c’est la moyenne arithmétique des quatre nombres !
Et posons Y = (b - 3/2) (b - 1/2) (b + 1/2) (b + 3/2).
Alors Y = (b^2 - 9/4) (b^2 - 1/4) + 1 = b^2 - 1/4 - 2) (b^2 - 1/4) + 1
Donc Y = (b^2 - 1/4)^2 - 2 (b^2 - 1/4) + 1 = (b^2 - 1/4 - 1)^2
Et √Y = b^2 - 5/4 = 51^2 + 51 - 1 = 2651.
Merci pour vos videos ! 😊
Bien expliqué
Je me demande dans quel circonstance une tels racine de nombre consécutifs avec 1 qui a rien avoir peut apparaitre. Est ce que cette " fonction" traduit quelque chose ? à quel moment on peut rencontré ce genre de modélisation?
y’a beaucoup plus simple…
Puisque tu as une suite sous racine et selon la loi de Koenig, tu peux exclure les intermédiaires numériques de ce qui se multiplie entre le début de la suite (50) et de sa fin (53)… Te laissant sans la racine et avec simplement 50 et 53 comme entiers à multiplier entre eux. Ce qui te donne 2650 auquel tu rajoutes ton 1… Pas la peine de partir dans des délires algébriques pour si peu. Pourquoi se compliquer la vie comme un Shadok ?
Le professeur Shadoko a encore frappé
Très élégant comme Jeannot
Très sympa, la vidéo :)
Donc pour tout entier naturel n, n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 est un carré parfait : c'est le carré de n^2+3*n+1.
Maintenant, si l'on s'intéresse à n*(n+1)*(n+2)+1, quels sont les entiers naturels pour lesquels il s'agit d'un carré parfait ?
J'ai cherché et j'en ai trouvé quatre : 0, 2, 4 et 55. En existe-t-il d'autres ?
1:34 Je l'ai résolu sans regarder; du coup je peux expliquer pourquoi j'ai pensé à grouper les termes comme ça.
L'ayant aussi exprimé sous une forme générale, avec des n, je me suis demandé si j'allais trouver qq chose qui marche de façon générale, pour tout n, ou s'il y avait une particularité lié au nombre 50. Et donc, je teste avec quelques petites valeurs.
pour n=0, n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = 0*1*2*3 + 1 = 1 qui est un carré parfait, mais c'est un peu trop particulier
pour n=1, n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = 1*2*3*4 + 1 = 25 qui est le carré de 5
Comment trouver ce 5 dans 1*2*3*4 ? Mon intuition a suivi ce chemin:
- chacun des termes de la multiplication est d'ordre 1 en n, l'expression totale est un polynôme d'ordre 4 avec la racine si ça tombe juste on retombera sur un polynôme d'ordre 2. le 5 doit plus ou moins correspondre au produit de deux des termes de la multiplication.
- je sépare en deux groupes les membres du produit de façon à tomber le plus près de 5. On est de suite tenté de prendre ensemble le plus petit et le plus gros d'une part et les deux du milieu d'autre part, pour rester plus ou moins "centré" et équilibré. C'est pas très rigoureux, mais c'est juste un chemin intuitif, la démonstration rigoureuse viendra après si cette approche aboutit.
Ca donne pour n(n+3)=1*4=4 pour le premier groupe et (n+1)(n+2)=2*3=6 pour le second. Soit 5 plus ou moins 1.
Testons pour n=2 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = 2*3*4*5 + 1 = 121 = 11²
n(n+3)=2*5=10 pour le premier groupe et (n+1)(n+2)=3*4=12 pour le second. Soit 11 plus ou moins 1.
Ca a l'air de marcher, donc je calcule formellement, de façon générale, les produits n(n+3) et (n+1)(n+2) ...
La suite est presque comme dans la vidéo, sauf que guidé par mon approche j'ai plutôt choisi X =n²+3ｘ+1 pour le changement de variable, c'est ce qui correspond au 5 du cas n=1
Le produit devient (X-1)(X+1), qui est une identité remarquable et vaut X² -1
Avec le +1 de l'expression complète, on a juste X² dont la racine est évidemment X
On a donc démontré que l'expression initiale est égale à X, donc à n²+3ｘ+1
Respect ❤
Un peu loin tout ça mais très plaisant à écouter, merci!
J'ai écrit : 50*53=(51,5-1.5)(51,5+1,5)=51,5²-1,5²
et : 51*52=(51,5-0,5)(51,5+0,5)=51,5²-0,5²
Or : 1,5²=2,25 et 0,5²=0,25
Donc : 51*52=50*53+2=(50*53+1)+1
et : 50*53=(50*53+1)-1
Finalement : 50*51*52*53=((50*53+1)-1)((50*53+1)+1)=(50*53+1)²-1
D'où , le résultat final : 50*53+1=2651
Je préfère votre solution.(à vrai dire la première partie de votre solution, j'y avais pensé, la deuxième partie je l'ai résolu par devlopment. mais je ne voulais pas me prendre la tête à l'écrire en commentaire. J'ai donc cherché un commentaire qui propose cette solution. Et je viens de trouver le votre)
L'intérêt de cette astuce, c'est qu'elle marche avec n'importe quel groupe de 4 entiers positifs consécutifs +1 ou -1 sous la racine, quels qu'ils soient.
Pas du tout besoin d'avoir 50-53, on peut prendre 10-13 ou 1500-1503 c'est pareil.
Instinctivement, j'avais senti qu'il fallait faire quelque chose avec le fait qu'ils soient consécutifs, mais je n'avais pas perçu d'emblée l'intérêt du +1 sous la racine pour faire apparaître l'identité remarquable !
Es-ce que c'est possible d'utiliser une autre méthode que je veux pour trouver la réponse ?
Beau et élégant!!! Mais non, pas le prof!!! La démarche🤣🤣🤣Mais si, lui aussi..😇
Super cette technique! Je ne la connaissais pas
😉
C'est Inception le truc 😂!!! Bravo
je dirais comme idée : 50 x 51 = 50 x 50 + 50 = 50² +50... j'espère que pour ça ça va... ensuite PLAY...
Bon : une racine qui va pas servir de potence ! ( ref. à un dessin qu'on voit dans les blagues FB )
Attention, racine de x² n'est pas égal à "x ou -x".
Racine carrée est une fonction, elle fait correspondre à chaque nombre une seule image. Elle est définie comme le nombre positif qui élevé au carré donne la valeur demandée.
C'est quand on résout des équations qu'il ne faut pas utiliser la racine carrée comme opération "légales", préservant l'équivalence. Pas l'inverse.
Oui mais il peut y avoir plusieurs antécédents non ? Donc x et -x sont les antécédents de x² par la fonction carrée
Attention, sqrt(x²) = |x| pour tout x appartenant à |R, cette fonction est surjective (de |R dans |R+), et donc une image donnée par la fonction a bien -x ou x comme antécédents. A ne pas confondre avec (sqrt(x))² = x pour tout x appartenant à |R+ qui est une fonction bijective (|R+ dans |R+).
@@milopierrard3399 Dans ce cas précis, oui, il y a deux antécédents (-x et x, pour x 0) car le carré est "sous" la racine.
@@milopierrard3399 Oui, mais racine carrée ne signifie PAS "les antécédents de ... par la fonction carrée".
Elle est définie comme "L'antécédent POSITIF de ... par la fonction carrée"
@@Daniel-xl2qu OMG. Mea culpa. C'est moi qui fabule. Désolé.
Racine(50*51*52*53+1)=y
50*51*52*53=y**2-1
50*51*52*53=(y-1)*(y+1)
50*51*52*53=z*(z+2) avec z=y-1
On associant ensemble les couples on remarque que 51*52 = 50*52 + 52 = 50*53 - 50 + 52 =
= 50*53 + 2
Soit z = 50*53 = 2650
et y = z + 1 = 2651
La difficulté est d'associer les bons couples.
Les mathématiques son vraiment cool
Merci 😇👍
Merci
J'aime votre expression : le flair devait être légendaire .