Un modèle de pédagogie ce monsieur à la hauteur de sa maitrise du sujet ! Chapeau bas vous avez un vrai talent, merci d’en faire profiter la communauté.
J’adore tes vidéos, je vais à l’école allemande en Allemagne, en 4eme (j’ai 13 ans) et tes vidéos m’aident beaucoup parce que en se moment tu sors toujours des Vidéos sur les thème qu’on a à l’école merci beaucoup
J'adore le style de toutes ces vidéos, parce que contrairement à d'autres on ne se laisse pas submerger par l'application d'une technique mathématique qui bien qu'efficace a souvent le défaut d'être aveuglante au point d'en oublier le sens de ce qu'on qu'on fait. Je veux dire par là qu'arriver au bon résultat de façon mécanique, ce n'est pas réfléchir, et pour moi ce n'est pas satisfaisant. Donc bravo, pour cette vidéo ainsi que pour toutes les autres. Au lycée j'ai toujours été mauvais en maths, je ne suis devenu bon que beaucoup plus tard lorsque j'ai compris qu'il valait mieux bien comprendre le problème, y réfléchir longuement et essayer de visualiser, bref faire marcher son imagination, ça ça marche. Appliquer bêtement des formules ne mène vraiment à rien, c'est mon expérience.
Je te joins entièrement. Et je salue au passage les profs qui préfèrent que leurs élèves gardent le goût des maths p. ex. en donnant les questions des examens pendant la semaine de révision et ainsi évitent que certains élèves doivent bisser une année rien que pour une matière (les maths). A mon avis pour certaines personnes la partie cerveau utile aux maths se développe qu'après l'enfance.
Toujours très intéressant, merci. Peut-être serait-il utile dans le titre des vidéos, d'ajouter le niveau scolaire requis pour résoudre l'exercice (c'est juste une proposition de ma part).
Je viens de la voir celle là ;) Mon SHARP PC 1500 étant toujours près de moi ... Ce sera la version brute 10 FOR A=-16 TO 16 20 FOR B=-18 TO 18 30 IF A*B+A+32 AND A*B+B+35 THEN PRINT A,B 40 NEXT B 50 NEXT A Ca retourne [A=-8 et B=-5] et [A=4 et B=7]
Trop bien vos video j'espère que beaucoup d'élèves les regarde car vous avez une approche pédagogique très agréable et à votre dynamisme on sent que vous adorez votre matière
Bonjour Azul de Kabylie. Grâce à toi je me replonge dans les maths. C'est vraiment très intéressant de revoir toutes ces astuces qui permettent non seulement de trouver la solution mais qui dans la vie sert beaucoup, car la vie est un système complexe, et les problèmes du quotidien trouvent la solution dans ce que l'on entreprend, à tors ou à raison, et c'est ainsi que l'on arrive à passer entre les mailles du filet, et d'avoir toujours un espoir de réussir dans tel ou tel domaine. On dit que la vie se construit dans le partage, MERCI POUR CE BEAU PARTAGE. Salutations .
Tu dis à 4:11 "je multiplie deux nombres j'arrive sur un nombre entier, comme ils ont 3 [sic, en fait c'est 4] unités d'écart, alors ils sont nécessairement entiers". Bravo, tu vient de démontrer la non-existence de racines carrées. Que penser de, par exemple, (√7-2)(√7+2)=3?
On peut résoudre ce système en utilisant la méthode de substitution. Premièrement, on isole "a" dans la première équation : ab + a = 32 a(b+1) = 32 a = 32/(b+1) On peut ensuite remplacer "a" par cette expression dans la deuxième équation : ab + b = 35 b(a+1) = 35 b[(32/(b+1))+1] = 35 On peut simplifier en développant le dénominateur : b[(32+b+1)/(b+1)] = 35 b(33+b)/(b+1) = 35 On peut multiplier par (b+1) pour se débarrasser du dénominateur : b(33+b) = 35(b+1) 33b + b^2 = 35b + 35 On peut mettre tous les termes du même côté de l'équation : b^2 - 2b - 35 = 0 On peut résoudre cette équation du deuxième degré à l'aide de la formule : b = [-(-2) ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-35))]/(2(1)) b = [2 ± sqrt(144)]/2 b = 7 ou b = -5 Comme a et b doivent être différents de 0, on peut éliminer la solution b = 0. On a donc : b = 7 a = 32/(b+1) = 32/8 = 4 La solution est donc (a, b) = (4, 7).
J'avais commencé comme ta partie 2, mais j'ai passé le 35 à gauche pour arriver à b^2-2b-35=0 Et là, j'ai appliqué ce que tu conseilles souvent : rechercher les racines évidentes. On arrive assez vite à trouver que 7 en est une. A partir de là, on peut donc factoriser par (b-7) et, en tâtonnant, on trouve que l'autre facteur est (b+5). Par conséquent b=7 ou b=-5 (en appliquant le fait que, pour q'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul) Et on en déduit ensuite les 2 valeurs de a possibles.
Une fois trouvée une racine évidente d’un polynôme de degré 2, il n’y a pas besoin de tâtonner beaucoup 🤓 Il suffit de prendre le dernier coefficient (la constante, ici -35) et de diviser par la racine trouvée : -35/7 = -5 et hop !
Si j'avais eu un prof comme vous.....bravo pour votre pédagogie. Maintenant, j'ai 65 ans et j'explique les maths à mon petit fils grâce à vos vidéos....😊
Je ne suis pas convaincu du raisonnement "il y a un écart de 3 entre a et b et a*b est entier donc a et b sont entiers". L'équation x (3+x)=1 a des solutions qui ne sont pas entières et pourtant il y a un écart de 3 entre x et x+3 et leur produit est entier !!!
Je fais la différence b-a= 3 puis je substitue dans l'une des deux équations et j'obtiens : ab+a=32 or b=a+3 Donc: a(a+3)+a=32 a^2+3a+a=32 a^2+4a-32=0 a^2+4a+4-4-32=0 (a^2+4a+4)-36 =0 (a+2)^2-6^2=0 Donc (a+2+6)(a+2-6)=0 cad : (a+8)(a-4)=0 a= - 8 ou a= 4 Bonne continuation professeur . On apprend bien avec vous et vos vidéos sont toujours enrichissantes .
D'instinct sur mon brouillon j'ai fais la 2e méthode de votre vidéo, sauf que moi Chuis arrivé jusqu'au trinôme du 2nd degré (avec a comme inconne). J'ai donc trouvé 2 valeurs de a que j'ai remplacé chacune dans la relation entre a et b, j'ai finalement trouvé les mêmes valeurs de b 👍 ce fut très instructif merci beaucoup pour votre vidéo ^^
La 2ème méthode me plaît. J'aime le principe d'ajouter un élément de chaque côté de la "balance" pour obtenir une IR (je vois toujours une égalité comme une balance qui doit toujours être équilibrée).
ab + a = 32 et ab + b = 35 Donc ab + a + 3 = 35 = ab + b ab + a + 3 = ab + b b = a + 3 En remplaçant b par a + 3 dans la 2ème égalité on obtient : a(a + 3) + a + 3 = 35 (a + 3)(a + 1) = 35 On développe et on fait passer le 35 à gauche : a^2 + 4a - 32 = 0 On a le début de (a + 2)^2 mais il faudra soustraire 4 pour l'utiliser sans altérer l'équation ce qui donne : (a + 2)^2 - 36 = 0 On a l'identité remarquable a^2 - b^2 avec "a" = a + 2 et "b" = 6 Ce qui donne : (a + 2 - 6)(a + 2 + 6) = 0 (a - 4)(a + 8) = 0 Donc a = 4 ou a = -8 Comme on avait b = 3 + a Si a = 4 alors b = 7 et Si a = -8 alors b = -5 4×7 + 4 = 32 = (-8)(-5) - 8 Et 4×7 + 7 = 35 = (-8)(-5) - 5 Cqfd ❤
Très agréable les maths avec toi ! J'aurais fait delta du coup 😂 J'étais trop fier de moi puis n te voyant résoudre tu dis "technique bourrin", je me reconnais bien la haha
Je prends la différence entre les deux égalités, ça me donne b=a+3 Je substitue b par a+3 dans la première égalité, ce qui fait résoudre une équation du second degré a=4, b=7 ou a=-8, b=-5
les identités remarcables suis largué, mais tu aime les maths et il faut plus de profs dans ton style, ceux qui aiment et donne envie d'aimer les chiffres. merci et bravo
Intéressant et dynamique. Et intuitif. Tu es enthousiaste, mais parle un peu moins vite, tu aideras ceux qui "rament" un peu. Continue c'est une approche intuitive et souriante.
Il y a plus de 40 ans j'étais en 1ère. Le prof de maths nous donne 3 équations à 3 inconnues. Je venais d'acheter mon mini ordinateur Sharp programmable en basic. Taille d'une calculatrice. Pendant que mes camarades bossaient dur, j'ai écris un programme capable de résoudre tous les systèmes de 3 équations 3 inconnues. J'ai mis les résultats des 3 équations sans développement bien entendu. Au moment de rendre la copie, le prof sourit et me demande où sont les développements. Je sors mon mini ordinateur et je lui montre le programme qu'il examine attentivement (il était ingénieur en informatique), il a sourit. J'ai eu 20 évidemment. Plus tard je suis devenu informaticien évidemment.😅 J'avais eu la flemme de faire tout cela à la main.
J'adore!! sans regarder la video: (1) ab+b=32 (2) ab+a=35; (2)-(1) b-a=35-32=3 --> b=a+3; (1) a(a+3)+a=a2+3a+a=a(a+4)=32=4*8 --> a=--> b=a-3=7 et maintenant voyons tes methodes .. (2)-(1 -->3 ) evite toute la discussion/etape de changement de signe, ce qui est le plus amusant est de trouver la decompostion de 32 en 4 et 8=(4+4), j'ai "vu" cette decomposition mais sans pouvoir expliquer comment
La discussion est intéressante, mais personnellement je préfère la méthode "bourrin" qui consiste à écrire que b=(32-a)/a, puis de résoudre l'équation du second dégré qui donne les 2 valeurs de a et ensuite on a celles de b Pour des élèves de collège (je pense que ce doit être du niveau 3ème) l'important est d'arriver au résultat de la manière la plus rapide, car si c'est une interro il y a d'autres exercices et il ne faut pas perdre de temps
3:00 Le fait que a*(a + un entier) soit un entier n'implique pas que a soit entier. Par exemple, si la première ligne était remplacée par ab + a = 31, 31 étant premier (et la différence entre a et b valant maintenant 2), la ligne se réécrit toujours a(b+1) = 31 mais cette fois pas possible que a et b soient entiers (sinon 31 n'est pas premier). De manière générale, pour tout entier k, si a(a+k) est égal à un entier n, alors a est entier si et seulement si le discriminant (k² + 4n) est un carré (par ex 4, 9, 16, 25, etc). Dans la vidéo, on a k = 4 (car a(b+1) = a(a+4)), et n = 32 (car a(b+1) = 32). Donc (k²+4n) = 144 qui est bien un carré (le carré de 12), et c'est pourquoi on se retrouve bien avec a entier. Pour mon contre-exemple du début avec 31, on aurait k = 3, n = 31 donc le discriminant (k² + 4n) = 133 qui n'est pas un carré.
J'aime bien la deuxième solution que je trouve propre et intelligente. Un peu trop de "feeling" dans la première pour moi. Bon perso, j'y étais allé en mode bourrin avec Delta, mais il était joli (144). 😢
Je choisis la solution la plus facile à rédiger en examen ! (1) ab + a = 32 (2) ab + b = 35 (2)−(1) ⇒ b = a + 3 on remplace b = a + 3 dans (2) b(a + 1) = 35 (a + 3)(a + 1) = 35 a² + 4a + 3 = 35 a² + 4a − 32 = 0 a = 4 et a = -8 sont des racines évidentes on remplace a = 4 dans (1) 4b + 4 = 32 4b = 28 b = 7 on remplace a = -8 dans (1) -8b − 8 = 32 -8b = 40 b = -5 Solutions : (a;b) = (4;7) et (a;b) = (-8;-5) Vérification dans (1) : 4 x 7 + 4 = 32 et -8 x -5 − 8 = 32 Vérification dans (2) : 4 x 7 + 7 = 35 et -8 x -5 − 5 = 35
4:19 j'ai un problème avec le fait que a et b soient entier. Si on prend ab +a = 31 et ab + b = 34, on a la même différence de 3 et le même type d'équations b(b-2) = 34, mais les solutions ne sont pas des entiers. On aura b = 1 + ✓35 et a = ✓35-2 (pas decimal, certes, mais pas entier) Est-ce que je me suis trompé quelque part ?
je suis 100% d'accord la partie de la vidéo sur le fait que a et b soient entiers est totalement lunaire et fausse, à part ça j'aime bien cette chaine ;)
@@xroadteam A mon sens, ces vidéos sont destinées à un niveau moyen de maths et cette subtilité sur les nombres premiers va au-delà de ce niveau moyen. L'auteur aurait quand même dû dire au passage qu'il existe des solutions différentes non entières, quitte à développer ce point dans une autre vidéo plus relevée.
On soustrait les deux équations: b-a=3 ==> a(3+a)+a=32 => a(a-4)=32=4x8 ou 2x16 ou -4x-8 ou -2x-16. On voit très vite que les seules solutions sont a=4 ou a=-8. Après on remplace a : 4b+b=35 => b=7 et -8b+b=35 => b=-5. Tiguidou!
On fait (2)-(1), c'est intuitif vu que (2) > (1) -> on trouve directement b-a = 3 -> b = a+3 On remplace b dans (1): a(a+3) + a = 32 a²+4a -32= 0 a = (-4 +- racine(16+128))/2 = (-4 +- 12)/2 a1 = 4 et a2 = -8 On remplace dans (2) Solution 1 : a = 4 -> 4b+b = 35 -> b = 7 Solution 2 : a = -8 -> -7b = 35 -> b = -5 C'était un peu inutile de faire autant d'hypothèses et de raisonnement, à mon avis.
factorisation, intuition a et b entier: donc a = 4 et b = 7, par liste de diviseurs/facteurs premiers; montrer que c'est l'unique solution c'est chaud !
Je suis bien et vraiment intéressé par tes vidéos . Mais mon seul problème c'est que tes explications sont très accélérées et je fini par me perdre à un certain niveau . Et sincèrement j'affirme que la mathématique est très puissante
Ça serait bien de mettre dans quel ensemble tu prends a et b sur la miniature et sur le tableau, parce que que ça change tout au problème et c'est parfois pas clair ! C'est une rigueur nécessaire et qui n'alourdit pas forcément trop la vidéo selon moi.
Repère orthonormé ; la droite y = x + 3 // à y = x ( on peut permuter les röles de x et y , sur la droite y = x + 3 les couples de coordonnées M ( -8 , -5 ) et N ( 4 , 7 ) sont les solutions MN est la diagonale du carré de côté 12 valeur absolue de - 8 + 4 et - 5 + 7 par décroissance on obtient les carrés succéssifs de côtés 10 , 8 , 6 , 4 , 2 Maintenant si vous faites le changement d'axes avec le centre au point de concours des diagonales du carré y = x + 3 devient Y = X nos anciennes solutions deviennent ( 6 , 6 ) et (-6 , -6 ) X - 2 = x Y + 1 = y 6 , 6 donne 4 , 7 -6 , - 6 donne - 8 , - 5 . 8 , 4 5 , 7 6 , 6 .
B est plus grand que À. L'écart est de trois. Parmis les couples possibles 7 et 4 vérifient toutes les conditions : 7=4+3, 4 x 7 = 28, 28 + 4 = 32 etc. Mais avec des nombres moins évidents il faut du papier et un stylo.
J'ai trouvé en 2-3 minutes mais sans formule mathématique précise 😆😆. Je n'ai d'ailleurs pas regardé la vidéo. A=4 & B=7. En faisant mon petit machin turbine perso dans ma tête. C'était la même chose au lycée, je trouvais souvent la réponse mais jamais pouvoir donner & exposer les formules car je ne les connaissais pas. J'ai eu 2/20 au exam de math parce que les formules n'étaient pas mon truc (apprendre les maths non plus d'ailleurs) mais j'ai eu mon bac quand-même 😉
1) on voit que b>a ab+b=35 => b(a+1)=35 . 35=7*5 ou (-7)(-5) , en posant b=7 et b=-5 on trouve facilement a. l'hypothèse 1*35 est incohérente avec l'hypothèse car a et non nul. Seul interrogation, reste ne précise que a et b soient des entiers naturels (dans l'énoncé)
Moi j’ai additionné les 2 équations et j’ai factorisé : (2b+1)x(2a+1)= 135 = 5x3x3x3= 135x1=-135x-1= 15x9=-15x-9=45x3=-45x-3= 5x27= -5x-27 Du coup je trouve 16 couples de solution vu que l’équation est symétrique.
(b-1)² = 36 (b-1)² - 36 = 0 ====> oh, encore une identité remarquable. Mais comment fait-il pour en trouver 2 l'une après l'autre ? (b-1+6) (b-1-6)=0 b-1+6= 0 ou b-1-6=0 b = -5 ou b = 7
Le produit des racines -35 est -7×5,la somme est donc -7+5=2 ,les solutions de b au carré-2b-35=0 sont donc b=7 et b=-5,on peut calculer a sans passer par delta.
Tu n'as rien oublié : une racine carrée ne prend qu'une valeur : la valeur positive. En revanche, lorsqu'on recherche quels nombres ont pour carré le nombre x, il y a sa racine carrée et l'opposé de sa racine carrée.
J'ai fais de tête : sachant que la différence des résultats et donc de a et b était de 3 : ab + a + 3=35. Et sachant qu'à chaque équation, une des valeurs est doublée, la différence entre a et b s'élevait à 4 Précisément. Donc j'ai conclu que 4x7 +4 donc 4x8 = 32 et 4x7 + 7 donc 5x7=35.
je sais pas pourquoi ce genre d'exercice j'essaye toujours de le faire de tête, j'ai même super envie de réussir à le faire de tête, là ça marche aussi en 3 essais à peu près.
Avec son légendaire rire de prof de maths sadique, on a tous oublié qu'il y a pas vingt mille méthodes chez les décimaux pour devenir naturels, y en a que trois! Il suffisait de toutes les rayer pour accéder à la bonne réponse.
Merci pour la vidéo. N'étant pas quelqu'un de très rigoureux, je me suis retrouvé à faire un hybride des deux solutions. J'ai les bons reflexes donc je suis bien tombé sur b-a=3 et le couple {a(b+1)=32 ; b(a+1)=35} mais c'est 35=5*7 qui m'a sauté aux yeux. J'avais donc ma solution. Mais comme l'ensemble de résolution n'était pas précisé dans la miniature, je me suis dit, il doit y avoir un piège... et si on est dans Z ? je trouve la deuxième sans problème. Et si on est dans R, est ce qu'il y existe une autre solution ??? Je bascule en mode bourrin je trouve a²+4a-32=0 et je suis content : une équation du second degré n'admet au maximum que deux solutions, je les ai déjà trouvées !
ab+a=32 ab+b=35 Intuitivement a et b entiers (*) Méthode 1 : tester avec des petites valeurs Test a=1 b=31 non car 31+31=62 et on voit que a et b sont trop éloignés Test a=4 b=7 oui car 28+7=35 Mais a et b peuvent être négatifs Test b=-4 -4b=31 écarté car non entier (et car ne fonctionne pas dans l’autre équation) Test b=-5 -5a=40 donc a=-8 (a,b)=(4,7) ou (-8,-5) Méthode 2 : par difference et substitution Soustraire : b-a=3 donc b=a+3 Substituer : a(a+3!+a=32 donc a^2+4a=a(a+4)=32 donc a=4 et b=7 Ou a=-8 et b=-5 Verification : 28+4=32 et 28+7=35 40-8=32 et 40-5=35 (*) Discussion sur l’intuition a et b entiers (ab pourrait être entiers avec des décimaux mais si on ajoute un décimal on n’est plus entier) (En revanche ab pourrait a priori être décimal avec a et b décimal donc cette intuition ne peut être facilement démontrée à ce stade)
Pour le moins étrange, cette affirmation (autour de 4:00) selon laquelle deux nombres séparés de 4 unités et dont le produit est un nombre entier seraient eux-mêmes nécessairement entiers 😮 On trouve facilement des contre-exemples en résolvant l’équation x(x+4)=N avec n’importe quelle valeur de N pour laquelle N+4 n’est pas un carré parfait (comme ici N=32 et N+4=36), par exemple N=15 ; dans ce cas a=2.35889894354…, b= 5.35889894354… (noter que leur partie décimale est bien identique) et a(b+1)=15
@@michelbernard9092 Oui, c’est ce que j’essayais de dire d’une façon un peu plus diplomatique ☺️ Ici les solutions sont entières parce que les deuxièmes membres (32 et 35) ont été choisis pour ça, mais pour d’autres valeurs (15 et 18, par exemple), on tombe sur des solutions non entières (irrationnelles).
Si le produit de 2 nombres est un entier, ça ne veut pas dire que les nombres sont entiers? Ex : sqr(3) et 5/sqr(3), le produit fait 5 mais aucun des deux n'est entier ? Ah c'est parce que leur produit et leur somme/différence sont entiers qu'on peut savoir qu'ils sont entiers
@@michelbernard9092 oui si on prend a=3-racine(5) et b=3+racine(5), on a : a+b=6 et ab=4, donc je ne comprends pas comment on peut supposer que a et b sont entiers...
@@BlackSun3Tube Complètement faux : le produit de deux nombres ayant des mantisses décimales identiques peut être tout a fait entier. Prenez par exemple 1+ racine(11)= 4.317.... et -1+ racine (11) = 2.317..vous voyez que les mantisses sont les même et que leur produit donne 10..Bien essayé
@@michelbernard9092 Oui, et j'avais déjà retiré ma réponse avant la vôtre - enfin au moins avant de la lire, car l'actualisation du fil n'est pas automatique. Je l'avais d'ailleurs copiée/collée sous plusieurs commentaires, et l''ai retirée partout, mais je m'attends à d'autres réactions comme la vôtre, puisqu'on reçoit les notifications sur mail aussi :) Mon "raisonnement" était de toute façon complètement idiot, puisque je ne multipliais pas la partie entière par la partie décimale, et c'est comme cela que je m'en suis aperçu (je ne sais pas où j'avais la tête, mais bref ... c'est du niveau collège pourtant :) ).
Puisque le premier raisonnement pose polémique, il est possible d'écrire a(b+1) = a(a+4) = 32. Ce qui est une équation du second degré avec un maximum de deux solutions. Puis d'intuiter la suite du raisonnement aboutissant à a=4 et a=-8. Et enfin de déclarer que puisque l'on a deux solutions, on a toutes les solutions. (sans avoir à dire que a est un entier) Puis calculer b
"Tu multiplies deux nombres qui sont pas entiers dont leur produit est entier et leur différence est =3 alors ils ne peuvent qu'être entiers" J'ai pas le temps de le démontrer ?? Ben oui parce que c'est complètement FAUX, le prof nous la joue à le Fermat. Contre exemple : a=-2 + racinecarrée(5) et b= 1 + racinecarrée(5) ; on a b-a=3 et a*(b+1)=1 qui est entier et b*(a+1)=4 entier
J’ai trouvé 4 et 7 juste en faisant des essais… Je savais que a et b se multipliait et que du coup a et b devait avoir un écart de 3… et après j’ai essayé plusieurs multiplication avec un résultat autour de 30… pas du tout académique mais ça fonctionne.
Bonjour, j'aime beaucoup les explications simples et claires que tu donnes, cependant il me semble qu'il y a une erreur là non ? sur la 2ème ligne, si "B" fait "-4" alors -4 +1 = -3 et pas "-5" non ?
b-a =3 ou b = a+3 immédiat ; ensuite on obtient a . ( a+3 ) +a = 32 soit a²+4a = 32 on voit vite que a est impair et au moins égal à 4 qui vérifie bien l'équation , alors b = 4+3 =7 .
Résoudre l'équation a²+4a - 32 = 0 se fait en seconde mais on reconnaît le début d'un carré (a+ 2 )² = a²+4a+2² ,alors (a+2)² - 4 - 32 = 0 ou (a + 2 )² = 36 = 6² donc a +2 = 6 ou a= 4
J'aime❤❤❤❤ trop trop trop tes vidéos parcequ'en fait tu m'aide à bouger mon cerveau dans mes temps libres et sa fait 6 énigmes que je trouve 😢 Juste si tu peux continuer ce concept sa me ferait plaisir et force a toi(^_^メ)
Dans la solution deux, c'est la même logique de factorisation qui permet de démontrer le calcul du déterminant et les solutions des équations du second degré. Merci de me l'avoir remis en mémoire...
bonne video , mais il manque une chose cruciale à ton enoncé tel que proposé au tableau , c'est de dire si tu attends des solutions dans N, Z ou R avant toute chose
Moi j'ai rapidement trouvé que b=a+3. Ensuite, j'ai injecté b dans la première équation, ça donne : ab+a=32 a(a+3)+a=32a²+3a+a=32a²+4a-32=0. Δ=4²-4*1*(-32)=16+128=144. a1=(-4+√144):2=(-4+12):2=4 et a2=(-4-√144):2=(-4-12):2=-8. b1=a1+3=4+3=7 et b2=a2+3=-5.
..... ما هي الرياضيات......؟؟؟؟ هذه الوضعيات التي نواجهها في حياتنا اليومية...... ونقترح لها حلولا..... خطوة.... خطوة..... ساطرح الوضعية بشكل آخر..... مساحة مستطيل و احد اضلاعه 32..... و 35.... ما هي ابعاد المستطيل
juste attention a l affirmation hative du produit de nombre qui ne peuvent qu etre entier le cas le plus trivial etant le nombre d or fois son inverse qui donne 1 mais il y a une infinite de cas avec l ecart qu on veut entre les 2 nombres
Les solutions du système n’ont pas de raisons a priori d’être entières. Si vous mette R et S à la place de 32 et 35, le système se ramène par élimination à une équation du second degré de discriminant S^2-2*R*S+2*S+R^2+2*R+1, qui est un carré parfait dans ce cas de figure parce qu'on a bien choisi les chiffres...
@@fanoufanou6931 En effet, il y a en réalité une infinité de solutions décimales, ce que l'auteur aurait dû dire en passant, tout en ajoutant que ce n'était pas le sujet de la vidéo de les trouver, mais de se concentrer sur la méthode. Il aurait dû dès le départ préciser que l'on raisonnait uniquement dans N.
Le passage 5:18 est totalement faux, exemple a=-2+racine(2), b =1+racine(2), b-a=3; b(a+1)=1 entier ===> on ne peut pas conclure que a et b sont entier avec le produit
déjà, b - a = 3 => b = a + 3 on reporte a dans la 1er équation, ce qui donne: a² + 4a = 32 y'a plus qu'à résoudre a² + 4a - 32 = 0 Delta = 144 = 12² [a = 4 ;b = 7] ou [a = -8 ; b = -5] ab + a = 28 + 4 = 32 / ab + a = 40 - 8 = 32 ab + b = 28 + 7 = 35 / ab + b = 40 - 5 = 35... le compte est bon, et tout de tête.... je préfère la méthode bourrin... car, à moins d'avoir un éclair de génie, la première solution est prise de tête... et aléatoire
Bonjour J'avais trouvé la solution (4,7). Puis un système de deux équations à deux inconnues n'ayant qu'une solution, je m'étais arrêtée. Dommage ... Quelles sont les règles pour ne pas faire ce genre d'erreur ?
"Puis un système de deux équations à deux inconnues n'ayant qu'une solution" Ceci ne fonctionne pas pour les systèmes non linéaires, il n'y a pas vraiment de règle générale En fait même pour un système linéaire ce n'est pas nécessairement vrai car si les deux équations sont équivalentes, ça revient à avoir une seule équation (et donc une infinité de solutions)
Comme d'autres commentateurs l'affirmation "Si deux nombres ont leur produit entier et leur différence entière alors ils sont tous les deux entiers" m'a fait bondir. C'est archi-faux et il y a une infinité de contre-exemples. Il suffit de prendre n'importe quel polynôme du second degré écrit sous la forme x^2 - nx - m avec n et m entiers tels que le discriminant n^2+4m n'est pas un carré parfait. Ses racines sont (n + racine(n^2+4m))/2 et (n - racine(n^2+4m))/2 En prenant a l'opposé d'une racine du polynôme et b l'autre racine du polynôme, on obtient bien b-a = n entier et ab = m entier alors que a et b ne sont pas entiers. Explication : le polynôme peut s'écrire aussi en (x+a)*(x-b) car les racines sont b et -a En développant on trouve (x+a)*(x-b) = x^2 - (b-a) x - ab Donc x^2 - (b-a) x - ab = x^2 - nx - m Donc b-a = n et ab = m exemple n=3, m=2 : Le discriminant n^2+4m = 17 n'est pas un carré parfait a = (-3+racine(17))/2 (l'opposé de (3-racine(17))/2 b = (3+racine(17)) /2 b-a = 3 ab = 2
J'ai bien aimé la première moitié de la premièse solution qui démontre que a et b sont entiers. J'ai bien aimé la deuxième moitié de la deuxième solution qui sort (b-1)2. C'est très élégant. Par contre, la méthode d'essayer des couples pour voir si cela marche n'est pas viable de manière générale si vous avez un grand nombre de couples solution.
ma dernière épreuve de maths au bac remonte à 27 ans, c'est très agréable de retrouver des maths avec vous. merci!
Un modèle de pédagogie ce monsieur à la hauteur de sa maitrise du sujet ! Chapeau bas vous avez un vrai talent, merci d’en faire profiter la communauté.
Sincèrement tu mérites le prix Nobel pour l'initiation des mathématiques.
Ça c'est du Prof qui explique bien. Bravo. Wladimir
J’adore ce genre de vidéos, j’ai 61 ans et pour moi les maths restent un jeu fantastique.
Même chose, même âge!!!
@@unbeaunom Même chose, presque même âge ! ;)
J’adore tes vidéos, je vais à l’école allemande en Allemagne, en 4eme (j’ai 13 ans) et tes vidéos m’aident beaucoup parce que en se moment tu sors toujours des Vidéos sur les thème qu’on a à l’école merci beaucoup
@@Andrew-PetitLynx12 Il n'a pas dit grand chose tranquille
@@Obliterate6250c'est vrai mais ça reste un conseil pertinent
J'adore le style de toutes ces vidéos, parce que contrairement à d'autres on ne se laisse pas submerger par l'application d'une technique mathématique qui bien qu'efficace a souvent le défaut d'être aveuglante au point d'en oublier le sens de ce qu'on qu'on fait. Je veux dire par là qu'arriver au bon résultat de façon mécanique, ce n'est pas réfléchir, et pour moi ce n'est pas satisfaisant. Donc bravo, pour cette vidéo ainsi que pour toutes les autres. Au lycée j'ai toujours été mauvais en maths, je ne suis devenu bon que beaucoup plus tard lorsque j'ai compris qu'il valait mieux bien comprendre le problème, y réfléchir longuement et essayer de visualiser, bref faire marcher son imagination, ça ça marche. Appliquer bêtement des formules ne mène vraiment à rien, c'est mon expérience.
Je te joins entièrement. Et je salue au passage les profs qui préfèrent que leurs élèves gardent le goût des maths p. ex. en donnant les questions des examens pendant la semaine de révision et ainsi évitent que certains élèves doivent bisser une année rien que pour une matière (les maths). A mon avis pour certaines personnes la partie cerveau utile aux maths se développe qu'après l'enfance.
Toujours très intéressant, merci.
Peut-être serait-il utile dans le titre des vidéos, d'ajouter le niveau scolaire requis pour résoudre l'exercice (c'est juste une proposition de ma part).
Qu'est ce que j'aurais aimé t'avoir en prof de math. Je trouve que tes vidéos et tes methodos sont géniaux et facile à retenir. Continue comme ça ❤❤❤
Une couleur noire pour je puisse lire aisément merci infiniment
moi aussi mais je préfère de parler lentement s'il vous plaît merci
Je viens de la voir celle là ;)
Mon SHARP PC 1500 étant toujours près de moi ... Ce sera la version brute
10 FOR A=-16 TO 16
20 FOR B=-18 TO 18
30 IF A*B+A+32 AND A*B+B+35 THEN PRINT A,B
40 NEXT B
50 NEXT A
Ca retourne [A=-8 et B=-5] et [A=4 et B=7]
Trop bien vos video j'espère que beaucoup d'élèves les regarde car vous avez une approche pédagogique très agréable et à votre dynamisme on sent que vous adorez votre matière
Bonjour Azul de Kabylie. Grâce à toi je me replonge dans les maths. C'est vraiment très intéressant de revoir toutes ces astuces qui permettent non seulement de trouver la solution mais qui dans la vie sert beaucoup, car la vie est un système complexe, et les problèmes du quotidien trouvent la solution dans ce que l'on entreprend, à tors ou à raison, et c'est ainsi que l'on arrive à passer entre les mailles du filet, et d'avoir toujours un espoir de réussir dans tel ou tel domaine. On dit que la vie se construit dans le partage, MERCI POUR CE BEAU PARTAGE. Salutations .
Tu dis à 4:11 "je multiplie deux nombres j'arrive sur un nombre entier, comme ils ont 3 [sic, en fait c'est 4] unités d'écart, alors ils sont nécessairement entiers". Bravo, tu vient de démontrer la non-existence de racines carrées. Que penser de, par exemple, (√7-2)(√7+2)=3?
Merci pour tes vidéos tu es le meilleur prof
Trop fort la 2ème démonstration avec identité remarquable. J'ai 69 ans et je me régale avec toutes vos vidéos
. Comme tout semble simple
On peut résoudre ce système en utilisant la méthode de substitution.
Premièrement, on isole "a" dans la première équation :
ab + a = 32
a(b+1) = 32
a = 32/(b+1)
On peut ensuite remplacer "a" par cette expression dans la deuxième équation :
ab + b = 35
b(a+1) = 35
b[(32/(b+1))+1] = 35
On peut simplifier en développant le dénominateur :
b[(32+b+1)/(b+1)] = 35
b(33+b)/(b+1) = 35
On peut multiplier par (b+1) pour se débarrasser du dénominateur :
b(33+b) = 35(b+1)
33b + b^2 = 35b + 35
On peut mettre tous les termes du même côté de l'équation :
b^2 - 2b - 35 = 0
On peut résoudre cette équation du deuxième degré à l'aide de la formule :
b = [-(-2) ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-35))]/(2(1))
b = [2 ± sqrt(144)]/2
b = 7 ou b = -5
Comme a et b doivent être différents de 0, on peut éliminer la solution b = 0. On a donc :
b = 7
a = 32/(b+1) = 32/8 = 4
La solution est donc (a, b) = (4, 7).
C'est ce que j'ai fait moi aussi. C'est un peu plus fastidieux mais c'est rigoureux, et surtout direct.
J'avais commencé comme ta partie 2, mais j'ai passé le 35 à gauche pour arriver à b^2-2b-35=0
Et là, j'ai appliqué ce que tu conseilles souvent : rechercher les racines évidentes. On arrive assez vite à trouver que 7 en est une.
A partir de là, on peut donc factoriser par (b-7) et, en tâtonnant, on trouve que l'autre facteur est (b+5).
Par conséquent b=7 ou b=-5 (en appliquant le fait que, pour q'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul)
Et on en déduit ensuite les 2 valeurs de a possibles.
Une fois trouvée une racine évidente d’un polynôme de degré 2, il n’y a pas besoin de tâtonner beaucoup 🤓 Il suffit de prendre le dernier coefficient (la constante, ici -35) et de diviser par la racine trouvée : -35/7 = -5 et hop !
Si j'avais eu un prof comme vous.....bravo pour votre pédagogie.
Maintenant, j'ai 65 ans et j'explique les maths à mon petit fils grâce à vos vidéos....😊
C’est top, je suis ravi de pouvoir vous aider à accompagner votre petit fils 😁
Merci pour tes vidéos toujours très intéressantes et ludiques.
Je ne suis pas convaincu du raisonnement "il y a un écart de 3 entre a et b et a*b est entier donc a et b sont entiers".
L'équation x (3+x)=1 a des solutions qui ne sont pas entières et pourtant il y a un écart de 3 entre x et x+3 et leur produit est entier !!!
Je fais la différence b-a= 3 puis je substitue dans l'une des deux équations et j'obtiens :
ab+a=32 or b=a+3
Donc: a(a+3)+a=32
a^2+3a+a=32
a^2+4a-32=0
a^2+4a+4-4-32=0
(a^2+4a+4)-36 =0
(a+2)^2-6^2=0
Donc (a+2+6)(a+2-6)=0
cad : (a+8)(a-4)=0
a= - 8 ou a= 4
Bonne continuation professeur .
On apprend bien avec vous et vos vidéos sont toujours enrichissantes .
Vous êtes sympathique et brillant. Bravo.
D'instinct sur mon brouillon j'ai fais la 2e méthode de votre vidéo, sauf que moi Chuis arrivé jusqu'au trinôme du 2nd degré (avec a comme inconne). J'ai donc trouvé 2 valeurs de a que j'ai remplacé chacune dans la relation entre a et b, j'ai finalement trouvé les mêmes valeurs de b 👍 ce fut très instructif merci beaucoup pour votre vidéo ^^
Vous rendez les maths très agréables,merci
Une fois de plus, j'ai été le gros bourrin de service. Heureusement, le delta valait 144...
Toujours un plaisir de voir ces vidéos.
J'adore ce que vous faites, pouvez-vous faire une video sur le rang d'une famille de vecteur svp
La 2ème méthode me plaît.
J'aime le principe d'ajouter un élément de chaque côté de la "balance" pour obtenir une IR (je vois toujours une égalité comme une balance qui doit toujours être équilibrée).
super cours ! vous avez 20 sur 20 !
ab + a = 32 et ab + b = 35
Donc ab + a + 3 = 35 = ab + b
ab + a + 3 = ab + b
b = a + 3
En remplaçant b par a + 3 dans la 2ème égalité on obtient :
a(a + 3) + a + 3 = 35
(a + 3)(a + 1) = 35
On développe et on fait passer le 35 à gauche :
a^2 + 4a - 32 = 0
On a le début de (a + 2)^2 mais il faudra soustraire 4 pour l'utiliser sans altérer l'équation ce qui donne :
(a + 2)^2 - 36 = 0
On a l'identité remarquable a^2 - b^2
avec "a" = a + 2 et "b" = 6
Ce qui donne :
(a + 2 - 6)(a + 2 + 6) = 0
(a - 4)(a + 8) = 0
Donc a = 4 ou a = -8
Comme on avait b = 3 + a
Si a = 4 alors b = 7 et
Si a = -8 alors b = -5
4×7 + 4 = 32 = (-8)(-5) - 8
Et
4×7 + 7 = 35 = (-8)(-5) - 5
Cqfd ❤
Très agréable les maths avec toi ! J'aurais fait delta du coup 😂 J'étais trop fier de moi puis n te voyant résoudre tu dis "technique bourrin", je me reconnais bien la haha
Je prends la différence entre les deux égalités, ça me donne b=a+3
Je substitue b par a+3 dans la première égalité, ce qui fait résoudre une équation du second degré
a=4, b=7 ou a=-8, b=-5
les identités remarcables suis largué, mais tu aime les maths et il faut plus de profs dans ton style, ceux qui aiment et donne envie d'aimer les chiffres. merci et bravo
Je n'avais jamais entendu parler de tous ces termes mathématiques. C'était intéressant à regarder.
Vos vidéos sont très intéressantes merci monsieur 🙏❤
Intéressant et dynamique. Et intuitif. Tu es enthousiaste, mais parle un peu moins vite, tu aideras ceux qui "rament" un peu. Continue c'est une approche intuitive et souriante.
Il y a plus de 40 ans j'étais en 1ère. Le prof de maths nous donne 3 équations à 3 inconnues. Je venais d'acheter mon mini ordinateur Sharp programmable en basic. Taille d'une calculatrice. Pendant que mes camarades bossaient dur, j'ai écris un programme capable de résoudre tous les systèmes de 3 équations 3 inconnues. J'ai mis les résultats des 3 équations sans développement bien entendu. Au moment de rendre la copie, le prof sourit et me demande où sont les développements. Je sors mon mini ordinateur et je lui montre le programme qu'il examine attentivement (il était ingénieur en informatique), il a sourit. J'ai eu 20 évidemment. Plus tard je suis devenu informaticien évidemment.😅 J'avais eu la flemme de faire tout cela à la main.
J'adore!! sans regarder la video:
(1) ab+b=32 (2) ab+a=35; (2)-(1) b-a=35-32=3 --> b=a+3;
(1) a(a+3)+a=a2+3a+a=a(a+4)=32=4*8 --> a=--> b=a-3=7
et maintenant voyons tes methodes ..
(2)-(1 -->3 ) evite toute la discussion/etape de changement de signe,
ce qui est le plus amusant est de trouver la decompostion de 32 en 4 et 8=(4+4), j'ai "vu" cette decomposition mais sans pouvoir expliquer comment
La discussion est intéressante, mais personnellement je préfère la méthode "bourrin" qui consiste à écrire que b=(32-a)/a, puis de résoudre l'équation du second dégré qui donne les 2 valeurs de a et ensuite on a celles de b
Pour des élèves de collège (je pense que ce doit être du niveau 3ème) l'important est d'arriver au résultat de la manière la plus rapide, car si c'est une interro il y a d'autres exercices et il ne faut pas perdre de temps
3:00
Le fait que a*(a + un entier) soit un entier n'implique pas que a soit entier.
Par exemple, si la première ligne était remplacée par ab + a = 31, 31 étant premier (et la différence entre a et b valant maintenant 2), la ligne se réécrit toujours a(b+1) = 31 mais cette fois pas possible que a et b soient entiers (sinon 31 n'est pas premier).
De manière générale, pour tout entier k, si a(a+k) est égal à un entier n, alors a est entier si et seulement si le discriminant (k² + 4n) est un carré (par ex 4, 9, 16, 25, etc).
Dans la vidéo, on a k = 4 (car a(b+1) = a(a+4)), et n = 32 (car a(b+1) = 32). Donc (k²+4n) = 144 qui est bien un carré (le carré de 12), et c'est pourquoi on se retrouve bien avec a entier.
Pour mon contre-exemple du début avec 31, on aurait k = 3, n = 31 donc le discriminant (k² + 4n) = 133 qui n'est pas un carré.
Excellent commentaire, merci !
🎉🎉❤Merci pour vos efforts et vos explications!👍
vous etes formidable prof
Merci beaucoup monsieur
J'avais trouvé 4 et 7 sans faire trop d'effort p'tit intrusion quoi,j'adore vos vidéos...😊
Perso, je préfère la 2ème solution : j'avais vu l'identité remarquable. Je trouve cette façon de faire plus astucieuse et donc plus "élégante" 🙂
moi aussi 🙂
Oui, et strictement plus formelle...
Le tâtonnement, toujours délicat
C'est dimanche, jour de PMU, j'ai donc pratiqué en mode bourrin et de tête j'ai touché le couplé 4-7😉
Et ça t'a rapporté combien, le 4 gagnant et le 7 placé ?
J'aime bien la deuxième solution que je trouve propre et intelligente. Un peu trop de "feeling" dans la première pour moi. Bon perso, j'y étais allé en mode bourrin avec Delta, mais il était joli (144). 😢
Je choisis la solution la plus facile à rédiger en examen !
(1) ab + a = 32
(2) ab + b = 35
(2)−(1) ⇒ b = a + 3
on remplace b = a + 3 dans (2)
b(a + 1) = 35
(a + 3)(a + 1) = 35
a² + 4a + 3 = 35
a² + 4a − 32 = 0
a = 4 et a = -8 sont des racines évidentes
on remplace a = 4 dans (1)
4b + 4 = 32
4b = 28
b = 7
on remplace a = -8 dans (1)
-8b − 8 = 32
-8b = 40
b = -5
Solutions : (a;b) = (4;7) et (a;b) = (-8;-5)
Vérification dans (1) : 4 x 7 + 4 = 32 et -8 x -5 − 8 = 32
Vérification dans (2) : 4 x 7 + 7 = 35 et -8 x -5 − 5 = 35
4:19 j'ai un problème avec le fait que a et b soient entier.
Si on prend ab +a = 31 et ab + b = 34, on a la même différence de 3 et le même type d'équations b(b-2) = 34, mais les solutions ne sont pas des entiers.
On aura b = 1 + ✓35 et a = ✓35-2 (pas decimal, certes, mais pas entier)
Est-ce que je me suis trompé quelque part ?
je suis 100% d'accord la partie de la vidéo sur le fait que a et b soient entiers est totalement lunaire et fausse, à part ça j'aime bien cette chaine ;)
@@xroadteam A mon sens, ces vidéos sont destinées à un niveau moyen de maths et cette subtilité sur les nombres premiers va au-delà de ce niveau moyen. L'auteur aurait quand même dû dire au passage qu'il existe des solutions différentes non entières, quitte à développer ce point dans une autre vidéo plus relevée.
J'ai utilisé ta deuxième méthode mais, comme d'habitude, j'ai oublié la solution négative. Il va falloir que je me le fasse entrer dans la tête !
Merci bcp prof❤❤❤
On soustrait les deux équations: b-a=3 ==> a(3+a)+a=32 => a(a-4)=32=4x8 ou 2x16 ou -4x-8 ou -2x-16. On voit très vite que les seules solutions sont a=4 ou a=-8. Après on remplace a : 4b+b=35 => b=7 et -8b+b=35 => b=-5. Tiguidou!
L'approche 2 est pour moi la plus intuitive !
On fait (2)-(1), c'est intuitif vu que (2) > (1) -> on trouve directement b-a = 3 -> b = a+3
On remplace b dans (1): a(a+3) + a = 32
a²+4a -32= 0
a = (-4 +- racine(16+128))/2 = (-4 +- 12)/2
a1 = 4 et a2 = -8
On remplace dans (2)
Solution 1 : a = 4 -> 4b+b = 35 -> b = 7
Solution 2 : a = -8 -> -7b = 35 -> b = -5
C'était un peu inutile de faire autant d'hypothèses et de raisonnement, à mon avis.
factorisation, intuition a et b entier: donc a = 4 et b = 7, par liste de diviseurs/facteurs premiers; montrer que c'est l'unique solution c'est chaud !
Je suis bien et vraiment intéressé par tes vidéos .
Mais mon seul problème c'est que tes explications sont très accélérées et je fini par me perdre à un certain niveau .
Et sincèrement j'affirme que la mathématique est très puissante
Ça serait bien de mettre dans quel ensemble tu prends a et b sur la miniature et sur le tableau, parce que que ça change tout au problème et c'est parfois pas clair ! C'est une rigueur nécessaire et qui n'alourdit pas forcément trop la vidéo selon moi.
Repère orthonormé ; la droite y = x + 3 // à y = x ( on peut permuter les röles de x et y , sur la droite y = x + 3 les couples de coordonnées M ( -8 , -5 ) et N ( 4 , 7 ) sont les solutions MN est la diagonale du carré de côté 12 valeur absolue de - 8 + 4 et - 5 + 7 par décroissance on obtient les carrés succéssifs de côtés 10 , 8 , 6 , 4 , 2
Maintenant si vous faites le changement d'axes avec le centre au point de concours des diagonales du carré y = x + 3 devient Y = X nos anciennes solutions deviennent ( 6 , 6 ) et (-6 , -6 )
X - 2 = x Y + 1 = y 6 , 6 donne 4 , 7 -6 , - 6 donne - 8 , - 5 . 8 , 4 5 , 7 6 , 6 .
B est plus grand que À. L'écart est de trois. Parmis les couples possibles 7 et 4 vérifient toutes les conditions : 7=4+3, 4 x 7 = 28, 28 + 4 = 32 etc. Mais avec des nombres moins évidents il faut du papier et un stylo.
J'ai trouvé en 2-3 minutes mais sans formule mathématique précise 😆😆.
Je n'ai d'ailleurs pas regardé la vidéo.
A=4 & B=7.
En faisant mon petit machin turbine perso dans ma tête.
C'était la même chose au lycée, je trouvais souvent la réponse mais jamais pouvoir donner & exposer les formules car je ne les connaissais pas.
J'ai eu 2/20 au exam de math parce que les formules n'étaient pas mon truc (apprendre les maths non plus d'ailleurs) mais j'ai eu mon bac quand-même 😉
1) on voit que b>a
ab+b=35 => b(a+1)=35 . 35=7*5 ou (-7)(-5) , en posant b=7 et b=-5 on trouve facilement a. l'hypothèse 1*35 est incohérente avec l'hypothèse car a et non nul. Seul interrogation, reste ne précise que a et b soient des entiers naturels (dans l'énoncé)
j 'adore me replonger dans ces calculs ... ca fait juste 30 ans mais c'est génial je me régale
Moi j’ai additionné les 2 équations et j’ai factorisé : (2b+1)x(2a+1)= 135 = 5x3x3x3= 135x1=-135x-1= 15x9=-15x-9=45x3=-45x-3= 5x27= -5x-27
Du coup je trouve 16 couples de solution vu que l’équation est symétrique.
(b-1)² = 36
(b-1)² - 36 = 0 ====> oh, encore une identité remarquable. Mais comment fait-il pour en trouver 2 l'une après l'autre ?
(b-1+6) (b-1-6)=0
b-1+6= 0 ou b-1-6=0
b = -5 ou b = 7
Le produit des racines -35 est -7×5,la somme est donc -7+5=2 ,les solutions de b au carré-2b-35=0 sont donc b=7 et b=-5,on peut calculer a sans passer par delta.
Comme d'habitude j'ai oublié qu'une racine peut prendre 2 valeurs (+ et -) donc j'ai trouvé uniquement le premier couple.
Merci, je me sens moins seul;)
Tu n'as rien oublié : une racine carrée ne prend qu'une valeur : la valeur positive.
En revanche, lorsqu'on recherche quels nombres ont pour carré le nombre x, il y a sa racine carrée et l'opposé de sa racine carrée.
J'ai fais de tête : sachant que la différence des résultats et donc de a et b était de 3 : ab + a + 3=35. Et sachant qu'à chaque équation, une des valeurs est doublée, la différence entre a et b s'élevait à 4 Précisément. Donc j'ai conclu que 4x7 +4 donc 4x8 = 32 et 4x7 + 7 donc 5x7=35.
je sais pas pourquoi ce genre d'exercice j'essaye toujours de le faire de tête, j'ai même super envie de réussir à le faire de tête, là ça marche aussi en 3 essais à peu près.
Avec son légendaire rire de prof de maths sadique, on a tous oublié qu'il y a pas vingt mille méthodes chez les décimaux pour devenir naturels, y en a que trois! Il suffisait de toutes les rayer pour accéder à la bonne réponse.
Merci pour la vidéo. N'étant pas quelqu'un de très rigoureux, je me suis retrouvé à faire un hybride des deux solutions. J'ai les bons reflexes donc je suis bien tombé sur b-a=3 et le couple {a(b+1)=32 ; b(a+1)=35} mais c'est 35=5*7 qui m'a sauté aux yeux. J'avais donc ma solution. Mais comme l'ensemble de résolution n'était pas précisé dans la miniature, je me suis dit, il doit y avoir un piège... et si on est dans Z ? je trouve la deuxième sans problème. Et si on est dans R, est ce qu'il y existe une autre solution ??? Je bascule en mode bourrin je trouve a²+4a-32=0 et je suis content : une équation du second degré n'admet au maximum que deux solutions, je les ai déjà trouvées !
ab+a=32
ab+b=35
Intuitivement a et b entiers (*)
Méthode 1 : tester avec des petites valeurs
Test a=1 b=31 non car 31+31=62 et on voit que a et b sont trop éloignés
Test a=4 b=7 oui car 28+7=35
Mais a et b peuvent être négatifs
Test b=-4 -4b=31 écarté car non entier (et car ne fonctionne pas dans l’autre équation)
Test b=-5 -5a=40 donc a=-8
(a,b)=(4,7) ou (-8,-5)
Méthode 2 : par difference et substitution
Soustraire : b-a=3 donc b=a+3
Substituer : a(a+3!+a=32 donc a^2+4a=a(a+4)=32
donc
a=4 et b=7
Ou
a=-8 et b=-5
Verification :
28+4=32 et 28+7=35
40-8=32 et 40-5=35
(*) Discussion sur l’intuition a et b entiers
(ab pourrait être entiers avec des décimaux mais si on ajoute un décimal on n’est plus entier)
(En revanche ab pourrait a priori être décimal avec a et b décimal donc cette intuition ne peut être facilement démontrée à ce stade)
Pour le moins étrange, cette affirmation (autour de 4:00) selon laquelle deux nombres séparés de 4 unités et dont le produit est un nombre entier seraient eux-mêmes nécessairement entiers 😮 On trouve facilement des contre-exemples en résolvant l’équation x(x+4)=N avec n’importe quelle valeur de N pour laquelle N+4 n’est pas un carré parfait (comme ici N=32 et N+4=36), par exemple N=15 ; dans ce cas a=2.35889894354…, b= 5.35889894354… (noter que leur partie décimale est bien identique) et a(b+1)=15
C'est pas que c'est étrange, c'est que c'est surtout complètement FAUX !!
@@michelbernard9092 Oui, c’est ce que j’essayais de dire d’une façon un peu plus diplomatique ☺️ Ici les solutions sont entières parce que les deuxièmes membres (32 et 35) ont été choisis pour ça, mais pour d’autres valeurs (15 et 18, par exemple), on tombe sur des solutions non entières (irrationnelles).
Si le produit de 2 nombres est un entier, ça ne veut pas dire que les nombres sont entiers? Ex : sqr(3) et 5/sqr(3), le produit fait 5 mais aucun des deux n'est entier ? Ah c'est parce que leur produit et leur somme/différence sont entiers qu'on peut savoir qu'ils sont entiers
NON, ça ne marche pas non plus, voir mon exemple (-2+ racine(5) et 1+racine(5) )
@@michelbernard9092 oui si on prend a=3-racine(5) et b=3+racine(5), on a : a+b=6 et ab=4, donc je ne comprends pas comment on peut supposer que a et b sont entiers...
@@alainreseau6777 Ben justement, ON PEUT PAS LE DIRE 😀
@@BlackSun3Tube Complètement faux : le produit de deux nombres ayant des mantisses décimales identiques peut être tout a fait entier. Prenez par exemple 1+ racine(11)= 4.317.... et -1+ racine (11) = 2.317..vous voyez que les mantisses sont les même et que leur produit donne 10..Bien essayé
@@michelbernard9092 Oui, et j'avais déjà retiré ma réponse avant la vôtre - enfin au moins avant de la lire, car l'actualisation du fil n'est pas automatique.
Je l'avais d'ailleurs copiée/collée sous plusieurs commentaires, et l''ai retirée partout, mais je m'attends à d'autres réactions comme la vôtre, puisqu'on reçoit les notifications sur mail aussi :)
Mon "raisonnement" était de toute façon complètement idiot, puisque je ne multipliais pas la partie entière par la partie décimale, et c'est comme cela que je m'en suis aperçu (je ne sais pas où j'avais la tête, mais bref ... c'est du niveau collège pourtant :) ).
Bravo !
Waw, des decennies apres ,avis de litteraires : vive les maths quant même !!🙃🤪🙃😘😘😘😘 et merci pour vos videos ..🙏💕
Merci beaucoup pour l'explication de cette résolution . perso je préfère la partie scolaire.🤔
Puisque le premier raisonnement pose polémique, il est possible d'écrire a(b+1) = a(a+4) = 32. Ce qui est une équation du second degré avec un maximum de deux solutions.
Puis d'intuiter la suite du raisonnement aboutissant à a=4 et a=-8.
Et enfin de déclarer que puisque l'on a deux solutions, on a toutes les solutions. (sans avoir à dire que a est un entier)
Puis calculer b
"Tu multiplies deux nombres qui sont pas entiers dont leur produit est entier et leur différence est =3 alors ils ne peuvent qu'être entiers" J'ai pas le temps de le démontrer ?? Ben oui parce que c'est complètement FAUX, le prof nous la joue à le Fermat. Contre exemple : a=-2 + racinecarrée(5) et b= 1 + racinecarrée(5) ; on a b-a=3 et a*(b+1)=1 qui est entier et b*(a+1)=4 entier
Fermat, il fallait oser ! Mais déjà y penser ¡!
Ah,bien vu le coup de Fermat 😂
Est-ce compliqué ? Chez-nous, les villageois, c'est : a=4 et b=7
ab=4×7=28+4=32
ab=4×7=28+7=35
Dans ton exemple b-a ne vaut pas 3 il me semble...(1+√5)-(2+√5)=-1
Et a*(b+1)=(2+√5)*(2+√5)=9+4√5, pas 4...
N'est pas Fermat qui veut apparemment.😂😂
@@stefito_radix si a = -2+√5 et b=1+√5 alors b-a =-1+√5 -(-2+√5) =1+√5+2-√5 = 3
J’ai trouvé 4 et 7 juste en faisant des essais… Je savais que a et b se multipliait et que du coup a et b devait avoir un écart de 3… et après j’ai essayé plusieurs multiplication avec un résultat autour de 30… pas du tout académique mais ça fonctionne.
Bonjour, j'aime beaucoup les explications simples et claires que tu donnes, cependant il me semble qu'il y a une erreur là non ? sur la 2ème ligne, si "B" fait "-4" alors -4 +1 = -3 et pas "-5" non ?
b-a =3 ou b = a+3 immédiat ; ensuite on obtient a . ( a+3 ) +a = 32
soit a²+4a = 32 on voit vite que a est impair et au moins égal à 4 qui vérifie bien l'équation , alors b = 4+3 =7 .
Résoudre l'équation a²+4a - 32 = 0 se fait en seconde mais on reconnaît le début d'un carré (a+ 2 )² = a²+4a+2² ,alors (a+2)² - 4 - 32 = 0 ou (a + 2 )² = 36 = 6² donc a +2 = 6 ou a= 4
J'aime❤❤❤❤ trop trop trop tes vidéos parcequ'en fait tu m'aide à bouger mon cerveau dans mes temps libres et sa fait 6 énigmes que je trouve 😢
Juste si tu peux continuer ce concept sa me ferait plaisir et force a toi(^_^メ)
La méthode de l'identité remarquable elle est bien trouvée :)
Oui, le fait d'ajouter 1 des deux côtés pour obtenir l'identité remarquable est une astuce bien trouvée.
Bravo pour le coup des entiers 👍
1:45 T'as fait une étape non nécessaire. Si tu avais fait la deuxième ligne moins la première, tu aurais directement obtenu b - a = 3.
Ça a permis d'introduire la notion de l'opposé d'une expression.
Dans la solution deux, c'est la même logique de factorisation qui permet de démontrer le calcul du déterminant et les solutions des équations du second degré. Merci de me l'avoir remis en mémoire...
bonne video , mais il manque une chose cruciale à ton enoncé tel que proposé au tableau , c'est de dire si tu attends des solutions dans N, Z ou R avant toute chose
Exact, mais il n y a que dans le cas de N que ça change quelque chose.
Moi j'ai rapidement trouvé que b=a+3.
Ensuite, j'ai injecté b dans la première équation, ça donne :
ab+a=32 a(a+3)+a=32a²+3a+a=32a²+4a-32=0.
Δ=4²-4*1*(-32)=16+128=144.
a1=(-4+√144):2=(-4+12):2=4 et a2=(-4-√144):2=(-4-12):2=-8.
b1=a1+3=4+3=7 et b2=a2+3=-5.
Cool tout chemin mène à Rome
..... ما هي الرياضيات......؟؟؟؟ هذه الوضعيات التي نواجهها في حياتنا اليومية...... ونقترح لها حلولا..... خطوة.... خطوة..... ساطرح الوضعية بشكل آخر..... مساحة مستطيل و احد اضلاعه 32..... و 35.... ما هي ابعاد المستطيل
juste attention a l affirmation hative du produit de nombre qui ne peuvent qu etre entier
le cas le plus trivial etant le nombre d or fois son inverse qui donne 1 mais il y a une infinite de cas avec l ecart qu on veut entre les 2 nombres
Les solutions du système n’ont pas de raisons a priori d’être entières. Si vous mette R et S à la place de 32 et 35, le système se ramène par élimination à une équation du second degré de discriminant S^2-2*R*S+2*S+R^2+2*R+1, qui est un carré parfait dans ce cas de figure parce qu'on a bien choisi les chiffres...
pourquoi a 2:31 c'est 1 ?
L' élève il écrit sur la copie : "ils sont entiers parce que sinon c'est pas possible" ? x)
Une démonstration m'intéresserait !
Ça me semble d'ailleurs faux. J'ai mis un commentaire là dessus
@@fanoufanou6931 En effet, il y a en réalité une infinité de solutions décimales, ce que l'auteur aurait dû dire en passant, tout en ajoutant que ce n'était pas le sujet de la vidéo de les trouver, mais de se concentrer sur la méthode. Il aurait dû dès le départ préciser que l'on raisonnait uniquement dans N.
Le passage 5:18 est totalement faux, exemple a=-2+racine(2), b =1+racine(2), b-a=3; b(a+1)=1 entier ===> on ne peut pas conclure que a et b sont entier avec le produit
déjà, b - a = 3 => b = a + 3 on reporte a dans la 1er équation, ce qui donne: a² + 4a = 32 y'a plus qu'à résoudre
a² + 4a - 32 = 0 Delta = 144 = 12² [a = 4 ;b = 7] ou [a = -8 ; b = -5]
ab + a = 28 + 4 = 32 / ab + a = 40 - 8 = 32
ab + b = 28 + 7 = 35 / ab + b = 40 - 5 = 35...
le compte est bon, et tout de tête....
je préfère la méthode bourrin... car, à moins d'avoir un éclair de génie, la première solution est prise de tête... et aléatoire
Des solutions dans les maths partie imaginaire comme a=2 et b=racine carrée de 9437,5 de i ?
a=4
b=7
Bonjour
J'avais trouvé la solution (4,7). Puis un système de deux équations à deux inconnues n'ayant qu'une solution, je m'étais arrêtée. Dommage ... Quelles sont les règles pour ne pas faire ce genre d'erreur ?
"Puis un système de deux équations à deux inconnues n'ayant qu'une solution"
Ceci ne fonctionne pas pour les systèmes non linéaires, il n'y a pas vraiment de règle générale
En fait même pour un système linéaire ce n'est pas nécessairement vrai car si les deux équations sont équivalentes, ça revient à avoir une seule équation (et donc une infinité de solutions)
@@_Ytreza_ oups. Oui quand c'est pas linéaire, il peut y avoir plus d'une solution. J'ai honte :-)
b-a = 35 - 32 = 3 b = a+3
a² + 3a + a = 32 a(a + 4) = 32
posons A= a+2 a = A-2
(A-2)(A+2)= 32 = A²-4
A² = 36 ...
Comme d'autres commentateurs l'affirmation "Si deux nombres ont leur produit entier et leur différence entière alors ils sont tous les deux entiers" m'a fait bondir. C'est archi-faux et il y a une infinité de contre-exemples.
Il suffit de prendre n'importe quel polynôme du second degré écrit sous la forme x^2 - nx - m avec n et m entiers tels que le discriminant n^2+4m n'est pas un carré parfait.
Ses racines sont (n + racine(n^2+4m))/2 et (n - racine(n^2+4m))/2
En prenant a l'opposé d'une racine du polynôme et b l'autre racine du polynôme, on obtient bien b-a = n entier et ab = m entier alors que a et b ne sont pas entiers.
Explication : le polynôme peut s'écrire aussi en (x+a)*(x-b) car les racines sont b et -a
En développant on trouve (x+a)*(x-b) = x^2 - (b-a) x - ab
Donc x^2 - (b-a) x - ab = x^2 - nx - m
Donc b-a = n et ab = m
exemple n=3, m=2 :
Le discriminant n^2+4m = 17 n'est pas un carré parfait
a = (-3+racine(17))/2 (l'opposé de (3-racine(17))/2
b = (3+racine(17)) /2
b-a = 3
ab = 2
J'ai bien aimé la première moitié de la premièse solution qui démontre que a et b sont entiers. J'ai bien aimé la deuxième moitié de la deuxième solution qui sort (b-1)2. C'est très élégant. Par contre, la méthode d'essayer des couples pour voir si cela marche n'est pas viable de manière générale si vous avez un grand nombre de couples solution.