А можно и без замены: Вначале заметим, что x⩾1. Затем перепишем, как ∛(2-x) = 1- √(x-1) Возводим в куб: 2-x = 1 - 3√(x-1) + 3(x-1) - (x-1)√(x-1) Переносим слагаемые с √(x-1) влево, остальные вправо. После приведения подобных получаем: (x+2)√(x-1) = 4(x-1) При x=1 обе части превращаются в нуль, так что x=1 корень уравнения. Полагая x>1, разделим обе части на √(x-1): x+2 = 4√(x-1) Возводим в квадрат. При этом лишние корни не приобретаются, поскольку левая часть положительна при x>1. Приводя подобные, получаем квадратное уравнение x²-12x+20=0, корни которого 2 и 10. Оба корня подходят, будучи больше 1. В итоге x₁=1, x₂ = 2, x₃ = 10.
Замена t^3 = 2 - x sqrt(1-t^3)=1 - t, обе части в квадрат 1-t^3 =(1-t)(1+ t+t^2)=(1-t)^2 Сразу проверяем t=1, x1=1 И делим обе части на 1-t, Окончательное t(t+2)=0 t=0, x2=2 t=-2, x3=10
Какое-то нерациональное уравнение, вместо одного пришлось решать систему четырёх, но такая конструкция, благодаря связям, встала чётко на решения исходного уравнения! Валерий, а вы могли бы снять ролик о самих действительных числах, которыми мы постоянно пользуемся в решениях?
Уравнение не нерациональное, а иррациональное) Нерациональным может быть метод решения, но тут трудно придумать что-то проще. Сумма кубического и квадратного корней от разных аргументов в общем случае не сводится к более простым выражениям.
есть одна био-притензия к скорости света как наивысшей скорости вообще. мы свет видим глазами.это хим. реакция сам свет.увидев свет мы видим имеющуюся саму хим. и физ. реакцию.в из нее должны выносится какие то еще частицы.
Красиво для интеллектуальных сальто-мортале математиков. Ищем спецслучаи и решаем. Общим подходом к решению уравнения и не пахнет. Не практично. Разве для отбора в МГУ, но и это не слишком честно.
@@ValeryVolkov тот, что без экрана и подключается по USB? Спасибо! Так и думал. Неделю голову ломаю, думаю как обычным Андроид планшетом обойтись. Казалось бы, он же не хуже?! А по факту, хоть сам приложение пиши - ничего подходящего не нашел в Play Market. Я бы уже купил графический планшет, но у меня какое-то предубеждение от того, что рисуешь в одном месте, а рисунок в другом. Спасибо за ваши видео! За оба канала ❤️👍
Очень сложное решение. Пусть x-1=t, уединяем кубический корень. Посмотрев на запись после замены, решаем, что лучше sqrt(t)=z. Дальше возводим в куб, получаемся кубическое уравнение, которое очевидно имеет корень z=1. Оставшееся квадратное уравнение решаем традиционными методами и не забываем вернуться к исходному переменному.
Конечно, формулы и определения необходимо знать, но рассуждать уметь необходимо тоже. Не, то, чтобы открытие, но показатель важности этого момента, что ранее вообще не учитывала, решала просто по алгоритму, что выручало, но, как только попадалось , что- то выпадающее из этого, наступал ступор, паника и злость на себя , конечно
Сложновато. Я заменил только кубический корень, выразил из этой замены х и подставил, и всё решилось. И что, если это уравнение придумали именно под этот способ решения, то решение другими способами не засчитывается?
переносим xy в левую часть, далее, умножаем все на 27. Тогда остается разложение: (3x-3y-1)(9x^2 + 9y^2 + 9xy + 1 +3x - 3y)=1642=2*823. Первый множитель всегда дает 2 по модулю 3. Так как 823 дает 1 по модулю три то получаем систему 3x - 3y - 1 = 2 и 9x^2 + 9y^2 + 9xy + 1 + 3x - 3y =823 решая которую получаем x=6 y=5 p.s: убедитесь в разложении сами. Если что, я использовал формулу: x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - 3xy - 3xz - 3yz)
@Botayu Ege Т.к. решение должно быть целочисленным, значит, k=(x-y) и xy - целые числа. Также целой должна быть дробь k=(6^2+xy+5^2)/(x^2+xy+y^2), а также полученная из неё дробь xy=(61-k^3)/(3k-1). Это происходит при k=0 (xy=-61, что невозможно, т.к. x^2>0) и k=1 (xy=30, тогда x=6, y=5 или x=-5, y=-6).
@Звездоцап Сумеречный так решают учителя, которые решать не умеют.Учительница моей дочери тоже любила так решать, по 2 урока подряд решала, разглядывая в свою тетрадку.Когда я дочь научила с подстановкой решать, а она научила своих подружек, учительница долго удивлялась, почему они решают неправильно, а ответ верный получают.
Ужас, если честно. Сначала можно попробовать решить стандартными путями, а потом делать странные и непонятные действия Как решил я + (x - 1)^(1/2) = 1, где за обозначена операция извлечения кубического корня = 1 - (x - 1)^(1/2) | возводим обе части в куб 2 - x = 1 - 3(x - 1)^(1/2) + 3(x - 1) - (x - 1)^(3/2) x - 2 + 1 - 3(x - 1)^(1/2) + 3(x - 1) - (x - 1)^(3/2) = 0 Группируем по x - 1 4(x - 1) - 3(x - 1)^(1/2) - (x - 1)^(3/2) = 0 Выносим - (x - 1)^(1/2) - (x - 1)^(1/2) * ( (x - 1) - 4(x - 1)^(1/2) + 3 ) = 0 Отсюда получаем x = 1 v (x - 1) - 4(x - 1)^(1/2) + 3 = 0 Можем заметить квадратное уравнение, но вместо x у нас (x - 1)^(1/2) Отсюда по теореме Виета можем сразу найти его корни (x - 1)^(1/2) = 3 v (x - 1)^(1/2) = 2 x = 10 v x = 2 Вот и все искомые корни. (Может показаться непонятным, но это только от того, что писать решение символами ASCII в комментарии не слишком удобно
Замена (5x-4) ^(1/3) = p => x = (1/5)*p^3+4/5. Получаем ур. 3-й степени. Очевидно p=1 - корень, поэтому делим на (p-1), получаем (p-1)(ур_2-й_степени)=0. Решаем получаем ещё два корня. Возвращаемся к x. Всё.
2 найти не смог Пусть: (2-x)^1/3=t x=2-t³ После подстановки: t+sqrt(-t³+1)=1 -t³+1=1-2t+t² t(t²+t-2)=0 t=0 неподходит (t-1)(t+2) t=1 t=-2 После подстановки в Х х=10 х=1
@@user-wf3zv7ds3b ввел замену t =sqrt(x-1), откуда получаем уравнение (-t^2+1)^1/3 + t=1, которое довольно легко решается, т.к. после возведения в куб получаем t^3-4t^2+3t = 0
Можно так. Если f(x) - функция, а F(x) - её первообразная, то f(x) = x^2*sqrt(x+1) = ((x+1)^2-2(x+1)+1)*(x+1)^(1/2) = (x+1)^(5/2)-2(x+1)^(3/2)+(x+1)^(1/2). Тогда первообразная (с точностью до константы) F(x) = 2(x+1)^(7/2)/7-4(x+1)^(5/2)/5+2(x+1)^(3/2)/3 = (2(x+1)^3/7-4(x+1)^2/5+2(x+1)/3)*sqrt(x+1) = 2(15x^3+3x^2-4x+8)*sqrt(x+1)/105. Вроде бы ничего не напутал. Можно через неопределенный интеграл I = ∫x^2*sqrt(x+1)dx. Обозначая t = sqrt(x+1), откуда x = t^2-1, dx = 2tdt. Тогда I = ∫(t^2-1)^2*t*2tdt = 2∫(t^2-1)^2*t^2dt = 2∫(t^3-t)^2dt = 2∫(t^6-2t^4+t^2)dt = 2t^7/7-4t^5/5+2t^3/3 + C, t = sqrt(x+1), C - const. Подставляя выражение для t в результат, придем (после преобразований) к предыдущему результату.
Сначала сделал замену t=x-1; ( x=t+1; t>=0) Подставляем. Корень из t "переносим" со знаком минус в правую часть. Возводим левую и правую часть уравнения в куб. => 1-t=(1-sqrt(t))^3 раскроем куб разности и сократим. => 0=4t-3*sqrt(t)-sqrt(t)^3 Делаем вторую замену переменной, пусть y=sqrt(t) (y>=0) 0=4*y^2-3*y-y^3 0=y*(4*y-3-3*y^2) => y=0; y=1; y=3 x=1; x=2; x=10/
А можно и без замены: Вначале заметим, что x⩾1. Затем перепишем, как
∛(2-x) = 1- √(x-1)
Возводим в куб:
2-x = 1 - 3√(x-1) + 3(x-1) - (x-1)√(x-1)
Переносим слагаемые с √(x-1) влево, остальные вправо. После приведения подобных получаем:
(x+2)√(x-1) = 4(x-1)
При x=1 обе части превращаются в нуль, так что x=1 корень уравнения.
Полагая x>1, разделим обе части на √(x-1):
x+2 = 4√(x-1)
Возводим в квадрат. При этом лишние корни не приобретаются, поскольку левая часть положительна при x>1. Приводя подобные, получаем квадратное уравнение x²-12x+20=0, корни которого 2 и 10. Оба корня подходят, будучи больше 1.
В итоге x₁=1, x₂ = 2, x₃ = 10.
Шикарнл!
Т. Е. Шикарно
@@tomateymurova5687 Вместо отсылки нового можно было просто подредактировать предыдущее сообщение. Но так даже лучше: спасибо вдвойне!
@@think_logically_ Шикартос!
Ешё красивее и ещё бесполезнее. Этот опыт понадобится с малой вероятностью.
Красивая и неожиданная замена радикалов. Обязательно покажу ее детям
Спасибо за необычное решение.
Хорошая, поучительная задача. Спасибо Вам большое!
Очень интересно, мне нравится, спасибо, все замечательно!
Спасибо. Просто "математическое жонглирование".. Неожиданный подход к манипулированию выражениями дал результат. "Мат в два хода"! :)
Замена t^3 = 2 - x
sqrt(1-t^3)=1 - t, обе части в квадрат
1-t^3 =(1-t)(1+ t+t^2)=(1-t)^2
Сразу проверяем t=1, x1=1
И делим обе части на 1-t,
Окончательное t(t+2)=0
t=0, x2=2
t=-2, x3=10
Больше домашних заданий пожалуйста
Здорово Вы выпутались из иррациональности! Но как? Интуиция? Первые Ваши действия над системой не сулили ничего хорошего.
Это стандартный прием, практика и ещё раз практика
Очень красивое решение!
Спасибо...
Супер
Всё понятно!
Какое-то нерациональное уравнение, вместо одного пришлось решать систему четырёх, но такая конструкция, благодаря связям, встала чётко на решения исходного уравнения!
Валерий, а вы могли бы снять ролик о самих действительных числах, которыми мы постоянно пользуемся в решениях?
Уравнение не нерациональное, а иррациональное) Нерациональным может быть метод решения, но тут трудно придумать что-то проще. Сумма кубического и квадратного корней от разных аргументов в общем случае не сводится к более простым выражениям.
есть одна био-притензия к скорости света как наивысшей скорости вообще.
мы свет видим глазами.это хим. реакция сам свет.увидев свет мы видим имеющуюся саму хим. и физ. реакцию.в из нее должны выносится какие то еще частицы.
Методом пристального взгляда я нашел x=1 , а вот другие корни не нашел...думал почему так просто)
Ответ 1. Решил в уме за 6 секунд)
А как же возведение в действительную степень, у которой основание должно быть неотрицательным? Корень 10 не проходит.
заменяем 2 - x = t^3 ==>
t + (1 - t^3)^(1/2) = 1;
- (1 - t) + ( (1 - t)(1 + t + t^2) )^(1/2) = 0;
выносим (1 - t)^(1/2) за скобку
Отличное решение
Красиво для интеллектуальных сальто-мортале математиков. Ищем спецслучаи и решаем. Общим подходом к решению уравнения и не пахнет. Не практично. Разве для отбора в МГУ, но и это не слишком честно.
Валерий, здравствуйте! Скажите пожалуйста, чем Вы пользуетесь для рукописного ввода? Спасибо за Ваши видео! ❤️
Графический планшет.
@@ValeryVolkov тот, что без экрана и подключается по USB? Спасибо! Так и думал. Неделю голову ломаю, думаю как обычным Андроид планшетом обойтись. Казалось бы, он же не хуже?! А по факту, хоть сам приложение пиши - ничего подходящего не нашел в Play Market. Я бы уже купил графический планшет, но у меня какое-то предубеждение от того, что рисуешь в одном месте, а рисунок в другом. Спасибо за ваши видео! За оба канала ❤️👍
Клаасс
Спасибо всё мне нравиться помогите решить задачу "сколько действительных корней уравнения x^4-4x^3-1=0"
👌👍👏❤
Очень сложное решение.
Пусть x-1=t, уединяем кубический корень. Посмотрев на запись после замены, решаем, что лучше sqrt(t)=z. Дальше возводим в куб, получаемся кубическое уравнение, которое очевидно имеет корень z=1. Оставшееся квадратное уравнение решаем традиционными методами и не забываем вернуться к исходному переменному.
Сан Саныч также решанул.
отличный способ
Почему именно 3 корня? Из самого уравнения можно заранее сказать, что корней будет именно 3?
Есть подобный канал по физике? Кто знает
Знаходити v було зайвим. Достатньо, що u
Конечно, формулы и определения необходимо знать, но рассуждать уметь необходимо тоже. Не, то, чтобы открытие, но показатель важности этого момента, что ранее вообще не учитывала, решала просто по алгоритму, что выручало, но, как только попадалось , что- то выпадающее из этого, наступал ступор, паника и злость на себя , конечно
Сложновато. Я заменил только кубический корень, выразил из этой замены х и подставил, и всё решилось. И что, если это уравнение придумали именно под этот способ решения, то решение другими способами не засчитывается?
Я имел ввиду, что это уравнение удобно решать способом, который в видео, но, естественно, можно всегда использовать любые другие способы решения.
Вот вам задача если решите буду благодарен:
Решите уравнение
х³-y³=xy+61
Где х,y натуральные числа
@Botayu Ege есть социальная сеть?
Поскольку 61=36+25, получаем
(x-y)(x^2+xy+y^2)= 1*(6^2+xy+5^2)
x-y=1, x=6, y=5 или
x-y=1, x=-5, y=-6
переносим xy в левую часть, далее, умножаем все на 27. Тогда остается разложение: (3x-3y-1)(9x^2 + 9y^2 + 9xy + 1 +3x - 3y)=1642=2*823. Первый множитель всегда дает 2 по модулю 3. Так как 823 дает 1 по модулю три то получаем систему 3x - 3y - 1 = 2 и 9x^2 + 9y^2 + 9xy + 1 + 3x - 3y =823 решая которую получаем x=6 y=5
p.s: убедитесь в разложении сами. Если что, я использовал формулу: x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - 3xy - 3xz - 3yz)
Спасибо всем!!!
@Botayu Ege Т.к. решение должно быть целочисленным, значит, k=(x-y) и xy - целые числа. Также целой должна быть дробь k=(6^2+xy+5^2)/(x^2+xy+y^2),
а также полученная из неё дробь xy=(61-k^3)/(3k-1).
Это происходит при k=0 (xy=-61, что невозможно, т.к. x^2>0) и k=1 (xy=30, тогда x=6, y=5 или x=-5, y=-6).
Спасибо. Хорошо б было услышать если есть другие методы решения от автора.
Это уравнение придумали именно под этот метод решения.
Valery Volkov хороший метод. Спасибо.
Как подойти к такому решению?
Если видишь сумму корней, равную числу - используй двойную / тройную замену по числу корней. Почти всегда получится красивая системка
Даже не решая, можно сразу сказать, что _x_ = 1
А остальные корни?
А можно сразу возвести все уравнение в куб и решить как квадратное?
что с х-1 будешь делать?, если б х-1 был бы под кубическим корнем, то...
@Звездоцап Сумеречный х-1 в кубе будет...
Свят-свят
Попробуйте, так решала учительница моей дочери, 2 урока решала.
@Звездоцап Сумеречный так решают учителя, которые решать не умеют.Учительница моей дочери тоже любила так решать, по 2 урока подряд решала, разглядывая в свою тетрадку.Когда я дочь научила с подстановкой решать, а она научила своих подружек, учительница долго удивлялась, почему они решают неправильно, а ответ верный получают.
@@irinavolkova3544 странная учительница
Ужас, если честно. Сначала можно попробовать решить стандартными путями, а потом делать странные и непонятные действия
Как решил я
+ (x - 1)^(1/2) = 1, где за обозначена операция извлечения кубического корня
= 1 - (x - 1)^(1/2) | возводим обе части в куб
2 - x = 1 - 3(x - 1)^(1/2) + 3(x - 1) - (x - 1)^(3/2)
x - 2 + 1 - 3(x - 1)^(1/2) + 3(x - 1) - (x - 1)^(3/2) = 0
Группируем по x - 1
4(x - 1) - 3(x - 1)^(1/2) - (x - 1)^(3/2) = 0
Выносим - (x - 1)^(1/2)
- (x - 1)^(1/2) * ( (x - 1) - 4(x - 1)^(1/2) + 3 ) = 0
Отсюда получаем
x = 1 v (x - 1) - 4(x - 1)^(1/2) + 3 = 0
Можем заметить квадратное уравнение, но вместо x у нас (x - 1)^(1/2)
Отсюда по теореме Виета можем сразу найти его корни
(x - 1)^(1/2) = 3 v (x - 1)^(1/2) = 2
x = 10 v x = 2
Вот и все искомые корни.
(Может показаться непонятным, но это только от того, что писать решение символами ASCII в комментарии не слишком удобно
Для себя так же решал, сделав замену а^2=х-1 для удобства
Не понял, а из чего следует, что V >=0?
А разве корни уравнения не должны удовлетворять ОДЗ : х》1?
Если возвели в квадрат и записали ограничение для v, то х-1 и так становится неотрицательно.
Надо понимать, что случаи на практике, когда на глаз можно определить корень уравнения - редки. Этот пример ничему не учит.
Ну а если ввести замену х-1=t, то получаем (1-t)^1/3+t^1/2=1, и далее решая получим корни х=1,х=2, х=10 , что удовлетворяет одз х>=1
Как решали то, в какую степень возводили? Это дурдом, а не решение.
а че, так можно было? ;-)
Извините! Не увидела сразу, что там х-1》0, почему-то подумала, что 1--х 》0 .
я в уме подобрал значения.
На экзамене должно быть записано решение.
Решите если сможете x^3-5*(5x-4) ^(1/3) +4=0
Х³-5(5х-4)⅓+4=0
(Х³+4)×1=5×(5Х-4)⅓,
а×1=5×в
(Х³+4)=5 ОТСЮДА Х=1
(5х-4)⅓=1 ЗДЕСЬ ТОЖЕ Х=1 ОТВЕТ : 1
Замена (5x-4) ^(1/3) = p => x = (1/5)*p^3+4/5. Получаем ур. 3-й степени. Очевидно p=1 - корень, поэтому делим на (p-1), получаем (p-1)(ур_2-й_степени)=0. Решаем получаем ещё два корня. Возвращаемся к x. Всё.
@@user-gx2fg2ll1j спасибо!! 😘
@@vladgevorgyan1934 Я чепуху написал. Извините по запарке, х ведь в 3-й степени, так что это ерунда.
@@user-gx2fg2ll1j сам уж хотел спросить)
круто, отправлю ссылку на видео, одному хорошему человеку из Саратова.
Тогда я отправлю другому хорошему человеку в Волгоград. Вам на "Д".
Извините, этот хороший человек, не Александр Себихов?
Там ошибка в решение. V>=1
x больше или равен 1, а V>=0
2 найти не смог
Пусть: (2-x)^1/3=t
x=2-t³
После подстановки:
t+sqrt(-t³+1)=1
-t³+1=1-2t+t²
t(t²+t-2)=0
t=0 неподходит
(t-1)(t+2)
t=1
t=-2
После подстановки в Х
х=10
х=1
Вы отмели t = 0 (одно из решений из ОДЗ), поэтому не нашли x = 2
Кто сможет найти первообразную ф-ии x^2*sqrt(x+1) ?
Там замену нужно ввести: t = sqrt(x+1), откуда x = t^2 - 1
@@user-wf3zv7ds3b спасибо большое
@@user-wf3zv7ds3b ввел замену t =sqrt(x-1), откуда получаем уравнение (-t^2+1)^1/3 + t=1, которое довольно легко решается, т.к. после возведения в куб получаем t^3-4t^2+3t = 0
Можно так. Если f(x) - функция, а F(x) - её первообразная, то
f(x) = x^2*sqrt(x+1) = ((x+1)^2-2(x+1)+1)*(x+1)^(1/2) = (x+1)^(5/2)-2(x+1)^(3/2)+(x+1)^(1/2). Тогда первообразная (с точностью до константы) F(x) = 2(x+1)^(7/2)/7-4(x+1)^(5/2)/5+2(x+1)^(3/2)/3 = (2(x+1)^3/7-4(x+1)^2/5+2(x+1)/3)*sqrt(x+1) = 2(15x^3+3x^2-4x+8)*sqrt(x+1)/105. Вроде бы ничего не напутал.
Можно через неопределенный интеграл I = ∫x^2*sqrt(x+1)dx. Обозначая t = sqrt(x+1), откуда x = t^2-1, dx = 2tdt. Тогда I = ∫(t^2-1)^2*t*2tdt = 2∫(t^2-1)^2*t^2dt = 2∫(t^3-t)^2dt = 2∫(t^6-2t^4+t^2)dt = 2t^7/7-4t^5/5+2t^3/3 + C, t = sqrt(x+1), C - const.
Подставляя выражение для t в результат, придем (после преобразований) к предыдущему результату.
Ответ: 1;2;10
Сначала сделал замену t=x-1; ( x=t+1; t>=0)
Подставляем.
Корень из t "переносим" со знаком минус в правую часть.
Возводим левую и правую часть уравнения в куб. =>
1-t=(1-sqrt(t))^3
раскроем куб разности и сократим. =>
0=4t-3*sqrt(t)-sqrt(t)^3
Делаем вторую замену переменной, пусть y=sqrt(t) (y>=0)
0=4*y^2-3*y-y^3
0=y*(4*y-3-3*y^2) => y=0; y=1; y=3
x=1; x=2; x=10/
Так, эти корни нельзя подставить в уравнение
Можно
@@reeky4265 3√(0)+√(-1)=1?
3√(-8)+3=1?
3√(1)+√(0)=1?
@@user-gz5nx7wq1v можно. там не 3 корня, а кубический корень. чувствуешь разницу?
@@user-zf6fi3th5t я написал так, потому, что по другому в Ютубе не напишешь. И я знаю что такое кубический корень 3√8=2 или 3√27=3.
@@user-gz5nx7wq1v ну последний подошел:)
Подбором 1, 2, 10 :)
Я за 4 с подумал что 2
Шас посмотрим какой будет ответ
Нафига эта каша? Легче просто оставить в левой части кубический корень и возвести в куб обе части, дальше все просто.
Пробовали?
0 дизлайков