Сразу подбором находятся х=1 и х=3, а чтобы подтвердить эти корни достаточно построить f=2^x и f=3x-1, точки пересечения и будут корни, т.к. корни целые числа, то вопросов быть не должно)
Ох Валерий, поверьте, график быстрей и все это зачтут. Прямая и выпуклая не могут пересекаться более чем в двух точках. Здесь ответ угадывают, ровно как по теореме Виета для квадратных. Но за размусоливание спасибо:)
Для монотонной выпуклой да , а для других не обязательно. К примеру sin x может пересекаться хоть в бесконечном количестве точек с прямой. И ещё добавление для непрерывной выпуклой на всей области определения.
Сильно впечатлена и примером и дискуссиями. Валерий, Вас точно возьмут в космонавты с Вашими волей к победе, умом и сообразительностью, терпением и талантом. Спасибо!
У 2^х вторая производная больше 0. Выпуклость вверх, точек перегиба нет. Прямая и этот график могут иметь не более 2 пересечений. 1 и 3 - профит. Ну или f(x)=2^x-3x+1. Рассмотрим 1 производную. Функция сначала убывает, потом возрастает. Есть точка меньше нуля и точка больше нуля - тогда 2 корня. 1 и 3 - профит.
Понял решение. Но честно, терпеть не могу метод подбора. Ибо если задача сводится к нему - то это значит, что твои усилия перечеркнуты(ты мог подбирать значение с самого начала, потом просто сравнив их с графиком)
Любопытно, почему автор всюду избегает возможность использования второй производной для определения характера экстремума. Может это в российских школах не проходят. В данном случае: f"(x)=2^x (ln2)^2 > 0, откуда сразу понятно, что экстремум является минимумом.
Смотрю ваши видео как медитацию , очень классно. Метод применения производной - супер! Думаю, что с ним смогу решить многие ранее не решабельные задачи
Ну часть манипуляций необходима чтобы доказать что решения вообще есть и что их именно 2. А вцелом, я остался неудовлетворён заключительным выводом с использованием "метода подбора"...
@@crazymeizy3252 Да, мне тоже не понравилось длинное решение автора, но по моему мнению, строить графики - нестрогое решение (перед графическим решением нужно основательно исследовать функцию). Я бы взял производную каждой из функций в две строчки, и по ней уже можно строго показать, что корня два.
Показан универсальный метод, работающий практически для любых функций. При этом отметим, что для простых функций, как в этом примере, графический метод намного проще. Спасибо.
Обычный анализ:1) функция 2^x начиная с x>3 будет ВСЕГДА больше за 3х-1 и никогда не будет равно. 2)Рассматривать , что ответ это дробовое число бесполезно потому , что левая часть будет иррациональная . 3) Рассматривать случаи х
@@basilhemp997 корней может быть максимум 2 так как функция логарифма на отрезке x > 0 имеет форму схожую на параболу , а парабола и прямая могут иметь максимум 2 корня. Если мы нашли что 1 и 3 корни , то понятно что ещё одного быть не может
@@ymts_vladyslav3707 1) что означает "форму схожую на параболу"? 2) x > 0 - открытый луч, а не отрезок 3) вы не ответили на мой вопрос. В п.2 и 4 вашего комментария вы утверждаете, что x не может быть представлен в виде обыкновенной дроби => x - целое число. Вы упускаете, что помимо целых чисел и обыкновенных дробей есть также иррациональные числа. Ваша импликация неверна.
@@basilhemp997 Я ошибся сказав это утверждение об логарифмической , перепутав её с показательной. Имел ввиду что правая часть графика тоже идёт дугой как и в ветке параболы и невозможно найти такой случай где корней будет больше чем 2. Да , я забыл рассмотреть иррациональные числа , но я нашёл 2 целых корня , сделал вывод что больше их не будет и записал ответ. Когда ты делаешь по несколько заданий в день ты не думаешь о тонкостях . Записал ответ , проверил , следующее
При двух монотонно вощрастающих функциях есть три варианта развития событий : 0 , 1 или 2 общие точки. Нарисуем график и найдем 2 общие точки. Больше быть не может. Корни легко угадываються и они есть единсвенными. В моей школе нормальный человек делает так эту задачу. Я б не сказал, что я тут схалтурил, ведь эти свойства прописаны в учебниках и также есть логически доказуемыми.
это не решение вовсе, а просто долгое и нудное доказательство, что корней 2. Если бы корни были бы иррациональными, то это просто было бы тратой времени, а не решением.
Можете показать решение этого уравнения с помощью функции ламберта? А то такое решение не поможет при отсутствии удобных корней (если говорить про алгебраическое решение)
Deli v tom cto pravila proizvodnoy polzuetsa bolshinstvo ne znaya otkuda eto bereyotsa Nujno ucest cto eşli funksiya imeet beskonecnuyu proizvodnuyu v tocke a etu funkciyu mojno zamenit razlojeniem v ryad qde elementami yavlyayetsa f'(n yaprizvodnaya ) v tocke(a)•(x-a)^n otsyuda mojno polzovatsa lyubim proizvodnoy v tocke a
@@pasahuseynov3652 я с трудом читаю ваш транслит, но кажется вы утверждаете неверное. Правильно так: для того, чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд по неотрицательным степеням (ряд Тейлора) в окрестности некоторой точки, в этой точке она должа быть бесконечное количество раз дифференцируема, т.е. там никакая её производная не может быть бесконечной. Если в точке какая-либо из производных бесконечна, то в ряд Тейлора в окрестности этой точки функцию разложить невозможно.
Строим 2 графика, грамотно обосновываем, что после 2 точек графики не пересекаются, делаем проверку 2 корней - у Вас полный балл. И больше времени на другие задания. Самый правильный способ - попытаться решить графически. И если уже не получается - решать аналитически.
@@basilhemp997 , Чего сложного в обьяснении що у експонентальной функции только один изгиб ??? ... Чего сложного в обьяснении що у прямой линии нету изгиба ??? ...
А почему на моменте подбора мы берём только целые числа? Для полной правильности нам нужно нарисовать графики, убедиться что нуля будет два, и тогда подбором найти их и тем самым доказать что они единственные
Браво!Это называеися горе от ума! Сначала корни, логаифмы разные, Экстремумы а потом БАЦ!! метод подбора и вуаля ответ! Посмотрите Что вы сделали с бедной восьмеркой два в кубе. Тройка видна сразу без этой мишуры ! Без интегралов, и даже биномов! НЕЗАЧЕТ!!! Полтора землекопа вам не простят!
Наверное, было бы неплохо явно сказать две вещи: 1) функция непрерывна и значит принимает все значения между любыми своими значениями 2) по знаку производных следует, что функция сначала падает, потом растёт и следовательно она имеет не более двух корней.
Показательная функция (в данном примере 2^x) выпукла вниз на всей вещественной оси; выпуклая и линейная функции имеют не более 2-х общих точек (в противном случае, если имеется 3 и более общих точек: х1, х2, х3, ... - то на одном из отрезков [x1, x2], [x2, x3] показательная функция будет выпукла вниз, на другом - выпукла вверх, противоречие); перебором получаем 2 общих точки: x=1, x=3.
Думаю, это каждый сделал) Но тут как бы обосновательный подбор, хоть и долгий. Для того, чтобы узнать количество корней, всё равно без того, что в видео, никак. Ну или графически
@@RabochyGGsh Одним только графиками действительно ничего нельзя доказать, но они помогают увидеть, где и как искать необходимое решение. В тех же егэшных задачах с параметром возможно любой пример решить чисто аналитически, но это очень сложно и долго, а с помощью графиков можно сразу заметить, как прийти к нужным значениям параметра. Даже в задаче из видео если начертить график, можно заметить, что слева от точек пересечения прямая значительно ниже графика показательной функции, а справа уже график показательной функции выше, а значит решений будет немного. Кроме того, когда будешь учиться в вузе тебе, возможно, расскажут, что показательная функция везде выпуклая вниз, а значит у неё максимум два пересечения с прямой (одно пересечение только если происходит касание, что редкость), поэтому точек скорее всего будет две
Мне интересно а можно ли обе части возвести в куб и поделить на два тогда 3x-1 можно будет заменить на t и тогда уравнение будет иметь ввид 2^t=(t^3)/2. Затем поделить одну на другую,или я усложнил уравнение?
Спасибо. Ну можно упомянуть что можно другими методами решать и указать почему применённый метод хорош. В любом случае фраза «заметим что» прекрасна. !))
@@AlexanderVormutov 2^х=3х-1.f(x)=2^x и f(x)=3x-1.тут 2 графика.и 2 точки пересечения.то есть ,только потом можно подобрать уже в уме точки устно.график нам показывает количество корней.привет из Баку
Метод подбора в конце немного странно, ответом могло быть 1.5 или 2.5, которые тоже в этих промежутках, думаю можно в конце найти по другому, например через метод ньютона, найти касательное, приближенные ответы у нас есть, это промежутки [0,2] и [2,4], если есть другой способ было бы классно увидеть, спасибо за видео)
Ну как бы 3*1,5=4,5; 4,5-1=[3,5]; а 2^1,5=[~2,82] и 3*2,5=7,5; 7,5-1=[6,5]; а 2^2,5=[~5,65]. Поэтому X может равняться только ЦЕЛОМУ числу ! Поскольку 2^x не должно быть приблизительным при условии, что 3*x-1.
Я бы тоже Ньютоном (или секущими) брал бы В БОЛЕЕ СЛОЖНОМ СЛУЧАЕ, но это программу писать надо, кроме того тут корней 2. Слегка сложновато с Ньютоном. Дрянь задача.
Для чего находить f'(0) и f'(4), если и без того понятно, что f'(x) монотонно возрастает (следует из свойств показательной функции 2^x ), а потому при переходе через 0 меняет знак с "-" на "+" ? Вообще, после почти 10 минут умствований фраза "а теперь находим методом подбора" выглядит просто смешно! Корни 1 и 3 можно найти "методом подбора" с самого начала, исключив затем наличие других монотонностью производной функции 2^x-3x+1. Для доказательства отсутствия других корней не нужно искать корни производной, т.к. монотонно растущая ф-ция f'(x) имеет не более одного нуля, а между двумя нулями f(x) лежит хотя бы один ноль производной . Попробуйте, Валерий, решить этим Вашим "методом" уравнение 2^x=4x-1. Над подобными "методами" неоднократно потешался покойный Анатолий Дмитриевич Мышкис.
@@serhiis_ Только численно (x1=0.639428, x2=3.84666), как и трансцендентные уравнения вообще. "Хорошие" корни - случайность. Обращение на "ты" не приемлю.
@@banderovetz1 это только у тебя в рашке так принято, весь мир на ты общается. Ни кто под рашку не будет подстраиваться. Не мечтай. Зачем нужны школьникам такие уравнения которые только программно можно вычислить? Или ты предлагаешь им численные методы без программирования считать на листочке? БРЕД
@@serhiis_ Слышь, умник, а без политики никак нельзя?! Рашкой Россию называют только ущербные русскоговорящие особи, к которым ты, судя по всему, и принадлежишь))
Заметим, что 2^x > 0, а значит и x > 1/3 Методом перебора заметим, что имеются две точки x = 1, x = 3, а дальше значения значительно разнятся. Правда такая аналитика не эффективна даже для рациональных чисел. Но простые уравнения решить можно
Можно было ограничиться тем, что непрерывная функция имеет 1 экстремум, тогда можно утверждать, что прямая x=0 пересекает график этой функции ровно в двух точках, далее эти точки найти подбором!!!
Пример устный. Корни х=1 и х=3 сразу находятся подбором, а т.к. прямая не может пересекать более двух раз линию показательной функции (в виду монотонного возрастания ее наклона), то других корней быть не может.
@@volodymyrpavlovych112 нам дали экспоненту, которая возрастает постоянно и быстрее линейной функции и является монотонной => у нас от 2 до 0 точек пересечения д-доказал.
Там используется формула логарифма для перехода к новому основанию, точнее говоря используется частный случай, когда переход совершается к отношению логарифмов, основаниями которых являются аргументы изначального логарифма. Если Вы хотите узнать более подробно, то предлагаю загуглить эту формулу
Решение автора изящное и исчерпывающее Но как вариант: можно (?) опираться на то, что слева функция, выпуклая вниз на R, а справа линейная. Линейная с выпуклой вниз (как и с выпуклой вверх) имеет не более 2 общих точек. Далее, обе находим подбором. Как строго обосновать про не более двух, вопрос отдельный
Попробую покороче. Функции f=2^x и g=3x - 1 возрастающие, функция f всегда вогнута (f''>0), функция g линейная, следовательно, пересечений может быть не более двух. Далее подбор. Замечу, что только схематичное построение графиков малодоказательно именно из-за схематичности.
Навіщо морочите людям голову? Все набагато простіше. Оскільки похідна дорівнює нулю лише в одній точці, то немає значення в якій. Тоді сама функція на кожному з двох проміжків монотонності має не більше як по одному нулю. Разом не більше двох. А корені х=1 та х=3 легко вгадуються.
Я решал по-другому. Уравнение 2^x=3x-1. Для графического решения надо нарисовать графики двух функций: y = 2^x и y = 3x-1. Для точек пересечения будет выполняться 2^x=3x-1, то есть корнями исходного уравнения будут значения x, которые соответствуют точкам пересечения графиков функций 2^x и 3x-1. Первый график [y=2^x] строим по точкам: при x=0 получается y, равное два в нулевой степени, то есть единица, это точка (0;1). Для x=(-1) получается y, равное два в степени минус один, это равно единица делить на два в первой степени, то есть просто одна вторая, это точка (-1; 1/2). Аналогично получаем ещё две точки для отрицательных значений x: (-2; 1/4); (-3; 1/8). Для положительных x получается при x=1 y=2^1=2, точка (1;2), затем точки (2; 4) и (3; 8). Для x=4 получается слишком большое y = 16, которое не помещается на графике, это точка (4; 16). Отмечаем полученные точки (-3; 1/8); (-2; 1/4); (-1; 1/2); (0; 1); (1; 2); (2; 4); (3; 8) и соединяем их плавной линией. Теперь надо построить график второй функции - функции y=3x-1. Это прямая. Можно взять две точки и провести прямую через них. Берём x = 0, получается y= (3*0 - 1) = (-1). Это точка (0; -1). Следующую возьмём для x = 1. Получается y = 3*1 - 1 = 3 - 1 = 2. Это точка (1; 2). Эта точка совпала с одной из точек, по которым мы строили график функции y = 2^x, то есть одну точку пересечения графиков функций мы уже получили случайно. Теперь, попытавшись построить прямую y=3x-1 по точкам (0; -1) и (1; 2), замечаем, что эти точки слишком близко друг к другу расположены, надо было взять чуть большее значение x, чтобы провести прямую поточнее, и что прямая пересекает кривую ещё в одной точке, при x, равном от 2 до 4. Ну, возьмём x = 3, тогда получится y = 3x-1= (3*3-1) = (9-1) = 8. Получилась ещё одна точка прямой, это для того, чтобы поточнее прямую построить, точка (3; 8). Отмечаем эту точку на плоскости, чтобы провести прямую, при этом замечаем, что это опять точка пересечения графиков функций. Завершив построение графиков, видим, что больше точек пересечения не будет, их только две: (1; 2) и (3; 8). Нас теперь интересуют только абсциссы этих точек. Это значения x=1 и x=3. Подставляем в уравнение x=1: слева 2^1 то есть 2, справа 3*1-1=3-1=2, получилось 2=2, верно. Аналогично проверяем второй корень x=3: слева два в третьей, это 8, справа трижды три минус один, это тоже 8. Восемь равно восемь. Верно. Ответ: {1; 3}. P.S.: Графики не пересекаются дальше из-за выпуклости-вогнутости кривой. Она всё круче и круче уходит вверх. Ну ладно, время уже позднее. Тут нечего доказывать.
Один из редких случаев, когда математика создаёт себе трудности и с героизмом их преодолевает))
Метод подбора решил это за ТРИ секунды ответ три
@@Extremy-u4e докажи ,что это единственный корень. Все подобные закавыки сделанны чтобы доказать,что корень один
@@Extremy-u4e а почему не один? Если методом подбора, то единица вообще за 1 секунду получается. ;-))
Это не редкий случай, математика только этим и занимается, чтобы в реальной ситуации быстро решать проблемы и вовремя их спрогнозировать.
А ответ прост х=1😂😂😂
Сразу подбором находятся х=1 и х=3, а чтобы подтвердить эти корни достаточно построить f=2^x и f=3x-1, точки пересечения и будут корни, т.к. корни целые числа, то вопросов быть не должно)
мне понадобилось 4 секунды посмотреть на уравнение, х = 1 и =3, не благодарите
1,5 секунды что бы догадаться, что х=1 и 2,5 Что 3! А тут огород! 😂
2 секунды
+++
@@user-hr9ty5pc1o тут доказывается, что друхих решений нет, если ты понимаешь, о чем идет речь
@@volodymyrpavlovych112 Так а че доказывать при x>3 , левая часть растет много быстрее чем правая
Да, через график это решается в 2 секунды.Но с большими или «неудобными» числами так не выйдет, так что спасибо за способ)
Нельзя на основе графиков делать вывод о количестве корней.
@@puffin6670 ну так возьми производную и докажи
Почему нельзя?! Правая часть непрерывная и выпуклая, левая - прямая линия => максимум 2 корня. Или что-то не так???
@@ValeryVolkov А возможны ли случаи, когда показательная функция с линейной будут иметь больше 2 корней?
@@ValeryVolkov На основе доказанных свойств графиков можно, вот подбор считать методом решения нельзя!
Ох Валерий, поверьте, график быстрей и все это зачтут. Прямая и выпуклая не могут пересекаться более чем в двух точках. Здесь ответ угадывают, ровно как по теореме Виета для квадратных. Но за размусоливание спасибо:)
Для монотонной выпуклой да , а для других не обязательно. К примеру sin x может пересекаться хоть в бесконечном количестве точек с прямой. И ещё добавление для непрерывной выпуклой на всей области определения.
Знай своё место
@@mokaakasia4636 Пф-ф, +2πn в ответе - и всё, тоже мне.
@@Asmo_Lay Да , но чисто по графику вы это не определите)
@@Asmo_Lay Также , попробуйте через график решить такое уравнение , x^2 sin(1/x) = 0.086*x - 0.0017248. Там явно корней не 2 или 3) ,
Сильно впечатлена и примером и дискуссиями. Валерий, Вас точно возьмут в космонавты с Вашими волей к победе, умом и сообразительностью, терпением и талантом.
Спасибо!
Это из серии,,мы лёгких путей не ищем,,
У 2^х вторая производная больше 0. Выпуклость вверх, точек перегиба нет. Прямая и этот график могут иметь не более 2 пересечений. 1 и 3 - профит.
Ну или f(x)=2^x-3x+1. Рассмотрим 1 производную. Функция сначала убывает, потом возрастает. Есть точка меньше нуля и точка больше нуля - тогда 2 корня. 1 и 3 - профит.
решил тупым подставлением за 30 секунд....потом 10 минут разглядывал логарифмы...
"Как обычно, какая-то сложная фигня, а ответ один"
ну и ещё три, ну, неважно)
Х=3 х=1
Понял решение.
Но честно, терпеть не могу метод подбора.
Ибо если задача сводится к нему - то это значит, что твои усилия перечеркнуты(ты мог подбирать значение с самого начала, потом просто сравнив их с графиком)
Любопытно, почему автор всюду избегает возможность использования второй производной для определения характера экстремума. Может это в российских школах не проходят.
В данном случае: f"(x)=2^x (ln2)^2 > 0, откуда сразу понятно, что экстремум является минимумом.
Охренеть... а попроще решить можно? Ведь оленю (то есть мне, неучу) ясно, что х = 3...
@@КонстантинГубнели То что x=3 является решением можно действительно сразу заметить. Вопрос в том, является ли это решение единственным.
@@think_logically_ проходят, почему нет, еще 10 лет назад когда учился в ней такое уже было
@@think_logically_ Ага, и на самом деле - действительно не единственным))) Вот такие олени ещё и в танки играют)))
тут было важно не то, какой характер экстремума, а то, что функция монотонна на 2-х интервалах и на концах интевалов меняет знаки
Смотрю ваши видео как медитацию , очень классно. Метод применения производной - супер! Думаю, что с ним смогу решить многие ранее не решабельные задачи
f''(2^x)>0 график y=x^2 имеет выпуклость вниз, то есть не более 2 пересечений с прямой y=3x-1. Подбором Ответ: x=1; x=3.
интересно, что бы мы подобрали методом подбора, если бы в условии вместо 2 в степени икс было, например 2,1 в степени икс
богута не умничай
Единичку подстановкой нашёл быстро. Если бы знал что корня 2, то и тройку бы нашёл) Графически ещё можно бы было попробовать
Ключевая фраза : " а потом методом подбора получаем 1 и 3" :))
Зачем столько манипуляций?
Если вы про то, что можно было изначально угадать эти корни, то без доказательства того, что других корней нет, это решение было бы неверным.
Ну часть манипуляций необходима чтобы доказать что решения вообще есть и что их именно 2. А вцелом, я остался неудовлетворён заключительным выводом с использованием "метода подбора"...
@@vlad_serg вот и я о том же
@@klipa6966 А можно просто было 2 функции построить и найти точки пересечения
@@crazymeizy3252 Да, мне тоже не понравилось длинное решение автора, но по моему мнению, строить графики - нестрогое решение (перед графическим решением нужно основательно исследовать функцию). Я бы взял производную каждой из функций в две строчки, и по ней уже можно строго показать, что корня два.
Спасибо, за разнообразие примеров и способов их решения
Показан универсальный метод, работающий практически для любых функций. При этом отметим, что для простых функций, как в этом примере, графический метод намного проще. Спасибо.
Обычный анализ:1) функция 2^x начиная с x>3 будет ВСЕГДА больше за 3х-1 и никогда не будет равно. 2)Рассматривать , что ответ это дробовое число бесполезно потому , что левая часть будет иррациональная . 3) Рассматривать случаи х
Вот оно, применение логики и рационализма на практике! Я тоже так сделал )))
А с чего вы взяли, что ответ не может быть иррациональным?
@@basilhemp997 корней может быть максимум 2 так как функция логарифма на отрезке x > 0 имеет форму схожую на параболу , а парабола и прямая могут иметь максимум 2 корня. Если мы нашли что 1 и 3 корни , то понятно что ещё одного быть не может
@@ymts_vladyslav3707
1) что означает "форму схожую на параболу"?
2) x > 0 - открытый луч, а не отрезок
3) вы не ответили на мой вопрос. В п.2 и 4 вашего комментария вы утверждаете, что x не может быть представлен в виде обыкновенной дроби => x - целое число. Вы упускаете, что помимо целых чисел и обыкновенных дробей есть также иррациональные числа. Ваша импликация неверна.
@@basilhemp997 Я ошибся сказав это утверждение об логарифмической , перепутав её с показательной. Имел ввиду что правая часть графика тоже идёт дугой как и в ветке параболы и невозможно найти такой случай где корней будет больше чем 2. Да , я забыл рассмотреть иррациональные числа , но я нашёл 2 целых корня , сделал вывод что больше их не будет и записал ответ. Когда ты делаешь по несколько заданий в день ты не думаешь о тонкостях . Записал ответ , проверил , следующее
При двух монотонно вощрастающих функциях есть три варианта развития событий : 0 , 1 или 2 общие точки. Нарисуем график и найдем 2 общие точки. Больше быть не может. Корни легко угадываються и они есть единсвенными.
В моей школе нормальный человек делает так эту задачу. Я б не сказал, что я тут схалтурил, ведь эти свойства прописаны в учебниках и также есть логически доказуемыми.
Две монотонно возрастающие функции могут пересекаться сколько угодно раз
Тут как раз ДОКАЗАНО, что других корней не может быть. Если вы, конечно, это понимаете
это не решение вовсе, а просто долгое и нудное доказательство, что корней 2. Если бы корни были бы иррациональными, то это просто было бы тратой времени, а не решением.
Спасибо за красивое решение.
Так понравилась фраза на 4:19 «Шесть больше восьми»)
Тот случай, когда интуитивно решить проще
4:18 Исчерпывающие доказательство
Можете показать решение этого уравнения с помощью функции ламберта?
А то такое решение не поможет при отсутствии удобных корней (если говорить про алгебраическое решение)
Поднимайте это в топ
Я ток понял часть , где про метод подбора( я 7 кл.) хахахахааха
niko ni самое время изучить теорию функций комплексной переменной
@@gmikay омагарбл,шо это за язык???
И правильно, тут единственная содержательная часть - это метод подбора. Остальное - аналитическое доказательство того, что корней всего два.
Deli v tom cto pravila proizvodnoy polzuetsa bolshinstvo ne znaya otkuda eto bereyotsa
Nujno ucest cto eşli funksiya imeet beskonecnuyu proizvodnuyu v tocke a etu funkciyu mojno zamenit razlojeniem v ryad qde elementami yavlyayetsa f'(n yaprizvodnaya ) v tocke(a)•(x-a)^n otsyuda mojno polzovatsa lyubim proizvodnoy v tocke a
@@pasahuseynov3652 я с трудом читаю ваш транслит, но кажется вы утверждаете неверное. Правильно так: для того, чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд по неотрицательным степеням (ряд Тейлора) в окрестности некоторой точки, в этой точке она должа быть бесконечное количество раз дифференцируема, т.е. там никакая её производная не может быть бесконечной.
Если в точке какая-либо из производных бесконечна, то в ряд Тейлора в окрестности этой точки функцию разложить невозможно.
я сразу решил, ответ 3 и 1, вот вам и жесть
Neutrino Elusive а доказал, что других корней нет?
@@Andrey-cz9xo так, а че там графики максимально 2 раза пересекаются, значит не более 2х
@@Andrey-cz9xo Слыхал о производной?)
Задрот
@@neutrinoelusive3392 это совсем не очевидно по графику
😂😂😂 Решал решал, а в конце всё равно методом подбора
А если бы корни методом подбора нельзя было найти, то как в таком случае быть?
Вроде как это можно свести к уравнению вида х^х=С и там уже есть точные методы
Чекни википедию
Строим 2 графика, грамотно обосновываем, что после 2 точек графики не пересекаются, делаем проверку 2 корней - у Вас полный балл. И больше времени на другие задания. Самый правильный способ - попытаться решить графически. И если уже не получается - решать аналитически.
Грамотно обосновать, что графики пересекаются не более 2х раз - самая трудная и долгая часть решения
@@basilhemp997 ,
Чего сложного в обьяснении що у експонентальной функции только один изгиб ??? ...
Чего сложного в обьяснении що у прямой линии нету изгиба ??? ...
@@ГогоГого-э3ю ничего, но сложно доказать, что в этом случае не более 2х точек пересечения.
@@basilhemp997 ,
Ви десятку заканчивали ??? ... Кому надобно обьяснять що у експоненти один пузик, а у прямой пузика нема ?!?! ...
@@ГогоГого-э3ю объяснять не надо, надо математически строго доказать автору задачи. Или вы теоремы доказываете (объясняете) фразой "мамой клянусь!"?
Можно было построить 2 в степени х и 3х-1. Тогда задача решается быстрее
А почему на моменте подбора мы берём только целые числа?
Для полной правильности нам нужно нарисовать графики, убедиться что нуля будет два, и тогда подбором найти их и тем самым доказать что они единственные
Графическим способом легко можно всё решить. И да ещё методом подбора, будет 1
не считается
@Иван Пожидаев как -1 корень?
@@РинатХаматов-г8в Это тире.
Да, я уже потом сделал график и увидел, что там 2 корня 1 и 3
График нам дает лишь представление о возможном количестве корней, но не является доказательством их точного количества.
Браво!Это называеися горе от ума! Сначала корни, логаифмы разные, Экстремумы а потом БАЦ!! метод подбора и вуаля ответ! Посмотрите Что вы сделали с бедной восьмеркой два в кубе. Тройка видна сразу без этой мишуры ! Без интегралов, и даже биномов! НЕЗАЧЕТ!!! Полтора землекопа вам не простят!
тут ДОКАЗАНО, ЧТО ДРУГИХ КОРНЕЙ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ. Если ты, конечно. это понимаешь. Так что, очевидно, тебе - незачёт
@@volodymyrpavlovych112 где доказано?
Помню при союзе был журнал, на последней странице которого, была рубрика "Зачем так просто, когда можно сложно?,, 🧐
ты, наверное. в основном доливом и интересуешься?
@@volodymyrpavlovych112 да, инфы... а не то, о чём ты грезишь, своей бестолковкой 🤭
Ахаххахахахаб савок хахахахахх
@@maxymmusiienko6258 скажи, максимка, хоть одну умную книжку прочитал? Окромя "колобка,, ?🤔
@@volodymyrpavlovych112 а звание себе рисуете аж звиздец! О! володомир! по делам и звание, отщипенец - имя твоё...
А есть иные методы решения(исключая графический), ведь не всегда корни хорошие?
Капец, как сложно. Я просто график нарисовал правой части и левой. Где они пересеклись, там и решение.
Ахуеть , спасибо, я понял теперь как такое решать
Наверное, было бы неплохо явно сказать две вещи: 1) функция непрерывна и значит принимает все значения между любыми своими значениями 2) по знаку производных следует, что функция сначала падает, потом растёт и следовательно она имеет не более двух корней.
В 4:19 оговорка - "6 больше 8". На самом деле, наоборот - "6 меньше 8".
Спасибо что пояснил как на самом деле надо
Да-да, прямая может иметь с графиком показательной функции 2 общие точки
Ни слова не понял, но посмотрел полностью - очень интересно)
Смешно
Показательная функция (в данном примере 2^x) выпукла вниз на всей вещественной оси; выпуклая и линейная функции имеют не более 2-х общих точек (в противном случае, если имеется 3 и более общих точек: х1, х2, х3, ... - то на одном из отрезков [x1, x2], [x2, x3] показательная функция будет выпукла вниз, на другом - выпукла вверх, противоречие); перебором получаем 2 общих точки: x=1, x=3.
увидев превью, я сразу путём подбора нашёл корни
Думаю, это каждый сделал) Но тут как бы обосновательный подбор, хоть и долгий. Для того, чтобы узнать количество корней, всё равно без того, что в видео, никак. Ну или графически
А не подумал о том, что теоретически могут быть и другие корни? А тут доказано, что больше корней быть не может. Если ты понимаешь. о чем речь
Эх 15 лет назад, в школе, я такие задачи решал на раз, сейчас для меня все это выглядит как китайская грамота!
А если методом подбора не получается найти корни?
Тогда как ?.
с одной стороны задача легкая и решается методом подбора, а с другой стороны нужно доказать что других корней нет, в этом и вся суть
Если графики в принципе ничего не доказывают, тогда зачем их изучать и уметь их строить.
@@RabochyGGsh Одним только графиками действительно ничего нельзя доказать, но они помогают увидеть, где и как искать необходимое решение. В тех же егэшных задачах с параметром возможно любой пример решить чисто аналитически, но это очень сложно и долго, а с помощью графиков можно сразу заметить, как прийти к нужным значениям параметра. Даже в задаче из видео если начертить график, можно заметить, что слева от точек пересечения прямая значительно ниже графика показательной функции, а справа уже график показательной функции выше, а значит решений будет немного. Кроме того, когда будешь учиться в вузе тебе, возможно, расскажут, что показательная функция везде выпуклая вниз, а значит у неё максимум два пересечения с прямой (одно пересечение только если происходит касание, что редкость), поэтому точек скорее всего будет две
Мне интересно а можно ли обе части возвести в куб и поделить на два тогда 3x-1 можно будет заменить на t и тогда уравнение будет иметь ввид 2^t=(t^3)/2. Затем поделить одну на другую,или я усложнил уравнение?
А теперь давайте ту же самую задачу, но без подбора! Очень хочется посмотреть
Через W-функцию Ламберта легко решаются задачи подобного типа.
В частности тут, x=1/3-W(-³√2*ln2/3)/ln2.
W(x) многозначная функция при -1/e
@@АлексейСапрыкин-в2к а какова цель натурального логарифма? В чём её суть?
@@RayTracingX функция, обратная экспоненте.
Означает, в какую степень надо возвести e чтобы получить аргумент.
e^ln(x)=x
Здорово делайте побольше решений задач!
Спасибо. Ну можно упомянуть что можно другими методами решать и указать почему применённый метод хорош. В любом случае фраза «заметим что» прекрасна. !))
Самое главное, что корни найдены подбором. А то, что их только два, легко выяснить графические.
Графически за 20 секунд в уме решил
@@AlexanderVormutov строишь график и видишь, что там не более 2-х точек. Если подобрал их - значит герой
@@AlexanderVormutov 2^х=3х-1.f(x)=2^x и f(x)=3x-1.тут 2 графика.и 2 точки пересечения.то есть ,только потом можно подобрать уже в уме точки устно.график нам показывает количество корней.привет из Баку
Валерий, будь проще. Ты делаешь много нестрогих допущений. Здесь пацаны предложили решить геометрические способом. Быстро, строго и со вкусом.
Метод подбора в конце немного странно, ответом могло быть 1.5 или 2.5, которые тоже в этих промежутках, думаю можно в конце найти по другому, например через метод ньютона, найти касательное, приближенные ответы у нас есть, это промежутки [0,2] и [2,4], если есть другой способ было бы классно увидеть, спасибо за видео)
Ну как бы 3*1,5=4,5; 4,5-1=[3,5]; а 2^1,5=[~2,82] и 3*2,5=7,5; 7,5-1=[6,5]; а 2^2,5=[~5,65]. Поэтому X может равняться только ЦЕЛОМУ числу ! Поскольку 2^x не должно быть приблизительным при условии, что 3*x-1.
Я бы тоже Ньютоном (или секущими) брал бы В БОЛЕЕ СЛОЖНОМ СЛУЧАЕ, но это программу писать надо, кроме того тут корней 2.
Слегка сложновато с Ньютоном. Дрянь задача.
а через дискриминант можно решать?если можно ответ там 1 и 0.5
Для чего находить f'(0) и f'(4), если и без того понятно, что f'(x) монотонно возрастает (следует из свойств показательной функции 2^x ), а потому при переходе через 0 меняет знак с "-" на "+" ?
Вообще, после почти 10 минут умствований фраза "а теперь находим методом подбора" выглядит просто смешно! Корни 1 и 3 можно найти "методом подбора" с самого начала, исключив затем наличие других монотонностью производной функции 2^x-3x+1. Для доказательства отсутствия других корней не нужно искать корни производной, т.к. монотонно растущая ф-ция f'(x) имеет не более одного нуля, а между двумя нулями f(x) лежит хотя бы один ноль производной .
Попробуйте, Валерий, решить этим Вашим "методом" уравнение 2^x=4x-1. Над подобными "методами" неоднократно потешался покойный Анатолий Дмитриевич Мышкис.
И какое же решение 2^x=4x-1 ? Сам то можешь это решить?
@@serhiis_ Только численно (x1=0.639428, x2=3.84666), как и трансцендентные уравнения вообще. "Хорошие" корни - случайность. Обращение на "ты" не приемлю.
@@banderovetz1 это только у тебя в рашке так принято, весь мир на ты общается. Ни кто под рашку не будет подстраиваться. Не мечтай.
Зачем нужны школьникам такие уравнения которые только программно можно вычислить? Или ты предлагаешь им численные методы без программирования считать на листочке? БРЕД
@@serhiis_ Слышь, умник, а без политики никак нельзя?! Рашкой Россию называют только ущербные русскоговорящие особи, к которым ты, судя по всему, и принадлежишь))
@@ИгорьНасонов-э4э ты тупой или рофлишь? Не знать как твоя страна в EN называется это уже зашквар)
Заметим, что 2^x > 0, а значит и x > 1/3
Методом перебора заметим, что имеются две точки x = 1, x = 3, а дальше значения значительно разнятся.
Правда такая аналитика не эффективна даже для рациональных чисел. Но простые уравнения решить можно
Так, я не понял, а если корни были бы иррациональными, то как их найти?
Методом примерного тыка.
что такое логорифм, откуда взялась е, почему переносим логорифм2 в знаменатель на право.. хз.
предъявить два корня и добавить( с пояснениями), что более корней быть не может в силу свойств данных функций...
просто тупо графики нарисовать
Можно было ограничиться тем, что непрерывная функция имеет 1 экстремум, тогда можно утверждать, что прямая x=0 пересекает график этой функции ровно в двух точках, далее эти точки найти подбором!!!
Не "ровно в двух точках", а "максимум в двух точках"
Почему график не является точным доказательством количества корней?
Ernest Knourov с грамотным комментарием безусловно является
Потому что график показывает какуюту территорию и все не посмотриш
Пример устный. Корни х=1 и х=3 сразу находятся подбором, а т.к. прямая не может пересекать более двух раз линию показательной функции (в виду монотонного возрастания ее наклона), то других корней быть не может.
Через график легче получится, но автор все равно молодец😄👍
Грамотно! Но для наглядности попробуйте андроид-приложение *Grapher.* Строим два графика: y=2^x и y=3x-1. Красота!
Тут просто подобрать можно первое же значение (1) подойдёт и (3) тоже
Супержесть я так понял это когда математик в конце сказал: «а теперь подберём корни».)))
Большое спасибо за интересную задачу и развернутый ответ :)
Очень сложное, но идеальное уравнение. Спасибо , люблю такие уравнения.
Это не решение.
Не для продвинутых, а для для зануд.
продвинутые, в отличие от непродвинутых, понимают, что всегда надо доказывать, ЧТО ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕ СУЩЕСТВУЮТ, т.е. эти решения единственные
@@volodymyrpavlovych112 нам дали экспоненту, которая возрастает постоянно и быстрее линейной функции и является монотонной => у нас от 2 до 0 точек пересечения
д-доказал.
Подскажите, пожалуйста, в какой программе пишете решение и чем работаете: мышкой или планшетом?
За 3 секунд можно найти методом постановки
Это не является решением
Красиво! 🌹
Спасибо большое!
Ничуть не красиво. Задача для пижонов, знающих математику.
А 1 и 3 нельзя было подобрать сразу🤣🤣🤣
А доказал, что других не может быть, смехотун?
Валерий, а почему корней 2? Как доказать, что не больше?
Вообще-то, их бесконечное количество. Только 2 корня вещественные, остальные - комплексные
@@رضوان-ي7ث тогда я говорю про действительнве
графически оно же просто решается!) одно решение на графике и подбором х=1. оно и на рисунке чётко очень видно
а ещё один корень? а что других не можетбыть -тоже просто видно?
1. Рисуем график, решаем за 1 мин
2. Замена t = 2^х
Получаем 2^(1+t) = t^3
Откуда t либо 2, либо 8
Соотв, x1=1, x2=3
как эту замену сделать?
что значит, рисуем график? График НИКОГДА НИЧЕГО НЕ ДОКАЗЫВАЕТ, в курсе?
Олимпиадник vs Инженер
в комментариях
Мне сразу в голову пришло равенство 8=9-1, далее не составило труда. Но единицу как ещё один ответ я упустил
То, зачем вы здесь: 9:40.
Можете не благодарить.
2:03 как вы прировняли 2^х = 3/ln2 к 2^х = 3 log2(e)? На основе чего?
Там используется формула логарифма для перехода к новому основанию, точнее говоря используется частный случай, когда переход совершается к отношению логарифмов, основаниями которых являются аргументы изначального логарифма. Если Вы хотите узнать более подробно, то предлагаю загуглить эту формулу
@@ГеннадийЛитвин-ц8п, спасибо
Решение автора изящное и исчерпывающее
Но как вариант: можно (?) опираться на то, что слева функция, выпуклая вниз на R, а справа линейная. Линейная с выпуклой вниз (как и с выпуклой вверх) имеет не более 2 общих точек. Далее, обе находим подбором.
Как строго обосновать про не более двух, вопрос отдельный
Можно построить график у=2^х и у=3х-1, найти точки пересечения?
сразу видно что корни 1 и 3
в конце-концов все равно подбором решалось уравнение, построение графиков подсказало бы из чего подбирать!
Валерий сделал так, чтобы не оспорить решение. Я так понял.
Самая большая проблема математиков это когда знаешь ответ, но не знаешь как его получить решениями
Чем дальше в лес, тем толше партизаны !
Попробую покороче. Функции f=2^x и g=3x - 1 возрастающие, функция f всегда вогнута (f''>0), функция g линейная, следовательно, пересечений может быть не более двух. Далее подбор. Замечу, что только схематичное построение графиков малодоказательно именно из-за схематичности.
На фразе "методом подбора" решение задачи превращается в гадание на кофейной гуще.
А можно ли решить данное уравнение через W функцию?
Человек вам показал как он решил. Можете по другому? Хорошо! Можете проще? Ещё лучше. Его ответ любая коллегия зачтёт, а вот ваш не известно!)
Это математика и есть понятие , рациональности решения! Это решение не зачётное!
@@sergzerkal1248 это решение с ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ ЕДИНСТВЕННОСТИ. поэтому зачётное. Более рационально не докажете
Навіщо морочите людям голову? Все набагато простіше. Оскільки похідна дорівнює нулю лише в одній точці, то немає значення в якій. Тоді сама функція на кожному з двох проміжків монотонності має не більше як по одному нулю. Разом не більше двох. А корені х=1 та х=3 легко вгадуються.
Ха , ответ 3, за 29 секунд угадал.
Ещё и 1. Вообще найти x очень просто методом подбора
Четко. Интуитивно можно было понять, что этот корень можно подобрать, других способов найти корни такого рода уравнения к сожалению нет.
Я тут единственный не строил графики, а использовал метод Ньютона, который привел меня к ответам ~0,999999999 и ~3,000000?
А зачем в жизни это уравнение кому то надо?
Я решал по-другому.
Уравнение 2^x=3x-1. Для графического решения надо нарисовать графики двух функций: y = 2^x и y = 3x-1. Для точек пересечения будет выполняться 2^x=3x-1, то есть корнями исходного уравнения будут значения x, которые соответствуют точкам пересечения графиков функций 2^x и 3x-1.
Первый график [y=2^x] строим по точкам: при x=0 получается y, равное два в нулевой степени, то есть единица, это точка (0;1). Для x=(-1) получается y, равное два в степени минус один, это равно единица делить на два в первой степени, то есть просто одна вторая, это точка (-1; 1/2). Аналогично получаем ещё две точки для отрицательных значений x: (-2; 1/4); (-3; 1/8). Для положительных x получается при x=1 y=2^1=2, точка (1;2), затем точки (2; 4) и (3; 8). Для x=4 получается слишком большое y = 16, которое не помещается на графике, это точка (4; 16).
Отмечаем полученные точки (-3; 1/8); (-2; 1/4); (-1; 1/2); (0; 1); (1; 2); (2; 4); (3; 8) и соединяем их плавной линией.
Теперь надо построить график второй функции - функции y=3x-1. Это прямая. Можно взять две точки и провести прямую через них. Берём x = 0, получается y= (3*0 - 1) = (-1). Это точка (0; -1). Следующую возьмём для x = 1. Получается y = 3*1 - 1 = 3 - 1 = 2. Это точка (1; 2). Эта точка совпала с одной из точек, по которым мы строили график функции y = 2^x, то есть одну точку пересечения графиков функций мы уже получили случайно. Теперь, попытавшись построить прямую y=3x-1 по точкам (0; -1) и (1; 2), замечаем, что эти точки слишком близко друг к другу расположены, надо было взять чуть большее значение x, чтобы провести прямую поточнее, и что прямая пересекает кривую ещё в одной точке, при x, равном от 2 до 4. Ну, возьмём x = 3, тогда получится y = 3x-1= (3*3-1) = (9-1) = 8. Получилась ещё одна точка прямой, это для того, чтобы поточнее прямую построить, точка (3; 8). Отмечаем эту точку на плоскости, чтобы провести прямую, при этом замечаем, что это опять точка пересечения графиков функций.
Завершив построение графиков, видим, что больше точек пересечения не будет, их только две: (1; 2) и (3; 8). Нас теперь интересуют только абсциссы этих точек. Это значения x=1 и x=3.
Подставляем в уравнение x=1: слева 2^1 то есть 2, справа 3*1-1=3-1=2, получилось 2=2, верно.
Аналогично проверяем второй корень x=3: слева два в третьей, это 8, справа трижды три минус один, это тоже 8. Восемь равно восемь. Верно.
Ответ: {1; 3}.
P.S.: Графики не пересекаются дальше из-за выпуклости-вогнутости кривой. Она всё круче и круче уходит вверх. Ну ладно, время уже позднее. Тут нечего доказывать.