Федя Полежайкин он заменил sinx на х, а cosx на у. Первое уравнение понятно, просто подставляем (3х+4у=5), а второе всем привычное отт: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Методом подстановки получаем x^2+y^2=1.
Да уж, тоже мне способы. Самый нормальный способ- представить одно из выражений (например синус) по основному тригонометрическому тождеству как корень из 1-косинус*2. перенести всё вправо, кроме корня. Возвести обе части в квадрат. корень пропадёт в одной части, а в другой раскроется по формуле квадрата. В конце получим квадратное уравнение- которое либо по дискриминанту, либо если быть внимательным- видно что это раскрытая формула квадрата. Ответ сходится. Намного проще- намного понятней.
Еще, при возведении в квадрат уравнения надо быть осторожным, чтобы не наиграть второй корень, которого нет в исходном уравнении. Но в данном случае этого не происходит, т.к. соответствующее уравнение имеет кратный корень. В общем ваш способ самый простой. Можно, вообще, не знать никаких тригонометрических формул, только основное тригонометрическое тождество.
Есть ещё пятый способ - воспользоваться принципом сложения гармонических колебаний. Либо просто помнить формулу, либо нарисовать векторную диаграмму и вывести формулу самостоятельно. В итоге получится уравнение вида A*Cos(x+b)=5. Делим на A и берем арктангенс. Всё. Но это скорее для студентов, чем для школьников.
3, 4, 5 - вышел зайчик погулять. А ещё 3, 4, 5 - египетский треугольник: 3^2 + 4^2 = 5^2. Если опустить перпендикуляр (высоту) из вершины с прямым углом на гипотенузу (5), получим по обе стороны от высоты два прямоугольных треугольника, подобных исходному (3,4,5), с углами X, π/2-X и π/2. В одном из этих треугольников гипотенуза будет равна 3, а в другом 4, соответственно противолежащий катет в первом = 3SinX, а прилежащий во втором = 4CosX. Нетрудно заметить, что сумма этих катетов равна гипотенузе (5) исходного (3,4,5) треугольника. Следовательно уравнение 3SinX + 4CosX = 5 описывает соотношение катетов и гипотенузы египетcкого треугольника, в котором угол X = arcSin(3/4) = arcCos(4/5) = 0.64350111 рад. Задача решается за две минуты. Успехов :)
Умножим обе части уравнение αsin x + βcos x = γ на некоторое число μ так, чтобы левая часть превратилась в формулу синуса или косинуса суммы. Таким образом, необходимо, чтобы μ * (αsin x + βcos x) = μαsin x + μβcos x = cos θ cos x - -sin α sin θ. Это приводит к тому, что μβ = cos θ и μα = sin θ. Однако мы же понимаем, что синус и косинус - ограниченные функции (они по модулю меньше 1), и потому -1 < μβ < 1 и -1 < μα < 1. Больше того имеет место быть основное тригонометрическое тождество, а именно sin² θ + cos² θ = 1 (μα)² + (μβ)² = 1. Понятно, что α,β - заранее известные числа и они могут быть какими угодно. Поэтому наша задача найти отсюда множитель μ. Очевидно, что из того равенства следует, что μ² = 1/(α² + β²) => μ = 1/sqrt(α^2 + β^2) - заметим, что все законно, ибо правая часть сугубо положительна (α² >=0 & β² >= 0 α² + β² >= 0). Коэффициент найден, следовательно, мы имеем право рассматривать уравнение вида cos θ cos x - sin θ sin x = γμ cos (θ - x) = γμ. Уравнение не будет иметь решение в том случае, когда |γμ| > 1 ( γμ > 1 || γμ < - 1). Если же |γμ| < 1 ( - 1 < γμ < 1), то посредством обратной функции находим искомое решение x = θ ± arccos(γμ) + 2πn, где n e Ζ (Очевидно: cos(θ - x) = cos(x - θ)). Уравнение решено сам неизвестный угол θ находится через равенства μβ = cos θ и μα = =sin θ. В нашем случае удобно записать через арккосинус: x = arccos(μβ) ± ±arccos(γμ) + 2πn. Селективность обоих равенств (через арксинус или арккосинус писать?) зависит от равенства arcsin x + arccos x = π/2 (где x - число из промежутка [-1, 1]). Если выяснилось, что γμ = μα (γ = α), то первый корень будет x = arcsin(μα) + arccos(μα) + 2πn = π/2 + 2πn, тогда как второй - x = arcsin(μα) - arccos(μα) + 2πn. Идея была раскрыта.
Можно решить эту задачу без подстановок, просто представив sinx = b/c и cosx =a/c ( соответственно, как отношение противолежащего и прилежащего катетов прямоугольного треугольника к их гипотинузе) и потом заменив исходное уравнение на 3*b/c + 4*a/c =5 (1) и a2 + b2 = c2 (2) придем к уравнению 9*a2 - 24*ab + 16b2=0. Это же уравнение сведем к y2 - 2*yz + z2 =0, где y=3*a , z=4*b. Получим (y-z)2=0. т.е. y-z=0 или y=z или 3*a = 4*b. Выражая a через b и c через b получаем, что sinx = b/c= 3/5, а cosx =a/с = 4/5. Подставив данные значения через обратные тригонометрические функции arcsin и arccos получаем, что угол х =36,8698 град.
1 способ супер простой, мы только его и учили, в универе с интегралами фигурировала универсальная тригонометрическая подстановка, 3 способ понятен, но не помню чтобы так нас учили, вот именно 1й способ у нас был основным
Задача на сложение гармонических колебаний :) 3*sin(x)+4*cos(x)=sqrt(3*3+4*4)*sin(x+fi)=5*sin(x+fi)=5. Очевидно, x+fi=pi/2+2*pi*n. Остается найти fi. Его находим из системы уравнений: sin(fi)=4/sqrt(3*3+4*4)=0,8 cos(fi)=3/sqrt(3*3+4*4)=0,6 Угол где-то в первой четверти. Можно записать как fi=arccos(0,6). Тогда x=pi/2-arccos(0,6)+2*pi*n.
Впше видео мне помогло внезарным образом. Учусь на 3 курсе по теоретической специальности. По уравнениям матфизики решаю одну очень непрмятную и большую задачу, в которой вылезли интегралы с тригонометрией. Брал их через комплексную плоскость сквозь слезы. Получались огромные выражения. Посмотрел видео, вспомнил про универсальную тригонометрическую подстановку, и иниегралы дались за 15 минут. Спасибо)
@@radmir_khusnutdinov задача дирихле уравнения пуасона в круге, с граничным условием u(r0, ф) = А * sinф / (4 + корень(7)*sin(ф). Причем искать решение методом поиенциалов, поместив двойной слой на поверхность круга. Вообще могу номер из задачника горюнова сказать)
Все 3 способа просты и красивы. На мой взгляд, в чисто методических целях не стоит экономить место и время, а записывать всё подробно, шаг за шагом. Все три способа могут очень пригодиться не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшем.
Разделить обе части уравнения на 5 , чтоб в правой части уравнения осталась 1. Тогда сравнивая с тождеством sinX×sinX+cosX×cosX=1 легко заметить, что 3/5=sinX , а 4/5=cosX. Отсюда Х находим либо через арксинус, либо через арккосинус, кому как нравится.
Его можно решить за 3 минуты. Вообще, по моему мнению, все триг.уравнения можно решить, зная порядка 10 формул, только и всего. Данное уравнение решается при помощи основного триг. тождества, я выразил косинус (потому что захотел), получается 3sin(x)+корень из 1-sin`2(x)=5. Пишем сразу ограничение на корень (больше нуля) и решаем заменой
Спасибо огромное за решение, способ 3 очень простой для понимания, так как достаточно знать школьную базу, но и второй не был особо трудным, на мой взгляд, а вот с первым уже кое-какие проблемы, в виде незнания формул
Можно вообще воспользоваться только одной универсальной формулой: суммой квадратов синуса и косинуса равной единице. Также выражать или через синус или через косинус. Далее по стандарту ввести новый аргумент, затем делать обратную замену. Путь чуть сложнее, но эту формулу знает каждый, кто хоть мало-мальски знаком с тригонометрией и умеет решать квадратные уравнения.
SiMpToM.Official Chanel Нужно учесть появление посторонних корней. Ответ x=arctg(3/4)+2pn. Ты включил в ответ углы из 3-й четверти, если их подставить в исходное уравнение, то левая часть будет равна -5
Второй метод активно используется в нахождение неопределённого интеграла от тригонометрических функций. А также и для этого типа уравнений. Рассмотрим вывод формул (ы). Идём через двойной угол: sin 2α = sin(α + α) = =sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α. Теперь делим и умножаем на cos² α, тогда sin 2α = cos² α * (2sin α cos α )/cos² α = cos² α * 2sin α/cos α = 2tan α * cos² α. Далее вспоминаем, что косинус можно выразить через тангенс: tan² x + 1 = 1/cos² x => cos² x = 1/(tan² x + 1). Стало быть получаем формулу sin 2α = 2tan α/(tan² α + 1). Очевидно, что если α = t/2, то получаем окончательно sin t = 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1). Для косинуса достаточно вспомнить, что cos 2α = =cos² α - sin² α = 1 - 2sin² α = cos² α * (1 - 2sin² α)/cos² α = 1 - cos² α * 2tan² α = = 1 - 2tan² α/(tan² α + 1) = (1 - tan² α)/(tan² α + 1) => cos t = (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)). Наконец сам тангенс: tan t = sin t/cos t = 2tan (t/2)/(1 - tan² (t/2)). Осталось подставить в уравнение αsin x + βcos x = γ. Имеем α * 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1) + β * (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)) = γ или (2α * tan (t/2) + β - β * tan² (t/2))/(tan² (t/2) + 1) = γ или приводя все к общему знаменателю: - ((β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ)/(tan² (t/2) + 1) = 0. Значит нужно решить уравнение: (β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ = 0.
Решали 4-мя способами уравнение такого типа. Важно отметить, что тут во втором способе, важно проверить, не является ли cos x/2 = 0 решением уравнения? Иначе запросто с тангенсами можно потерять корни!! А ещё можно решать возведением обеих частей в квадрат, но там каждую серию решений перепроверять на окружности, так как возведение в квадрат - не равносильное преобразование
Есть и 4-й способ: из уравнения следует, что cosx>0 и sinx>0, т.к. sinx0, то x=arctg(3/4)+2pi*n (поскольку x=arctg(3/4)+pi*(2n+1) не подходит. т.к. в этом случае sinx
Марк Тихонов и за ним "Для Егэ" получили сразу же два алгебраических уравнения. Я тоже предлагаю подобное, а именно нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами (а) и (в) и гипотенузой равной "1". Сразу же получите систему двух уравнений::: а^2 + b^2 =1 3a + 4b = 5 из которой следует уравнение для а::: (25 a^2 - 30 a + 9) = 0
я перешёл на половинный угол и всё решилось, представил 3 синуса х как 3 синуса (2×0.5х), аналогично с 4 косинусами х, а пятёрку представил как 5 sin²0.5x + 5 cos²0.5x по основному тригонометоическому тождеству, разложил по формуле двойного угла, привёл подобные, получил, что 9 sin²0.5x - sin0.5xcos0.5x + cos²0.5x = 0, а потом разделил на cos²0.5x, получил тангенсы и через них получил ответ
Можно пятерку расписать через основное тригонометрические тождество , все в одну сторону перенести , а потом поделить на cos²x или sin²x . Получится простое квадратное уравнение относительно тангенса. Но там нужно учесть , что знаменатель не равен нулю. А так все просто.
решение за 10 секунд : это формула египетского треугольника 3-4-5, x=arcsin 3/5 или arccos 4/5 плюс производные от них по 2пи. других значений нет, тк нет других треугольников со сторонами 3-4-5 кроме прямоугольного. решено
Можно ещё заменить синус или косинус по основному тригонометрическому, прописать D(f), если нужно, потом возвести в квадрат часть с корнем и часть без корня, которая будет справа и тогда получится квадратное уравнение для косинус икс ( или синус икс), ответ будет арккос4/5, что равносильно ответу во всех решениях
Это из Сканави за 92 год я помню только там найти максимум 5 это максимум значит производная -3sinx+4cosx=0 tgx=4\3 x=arctg4\3 там тоже три способа но другие.
получится так 3√(1-cos^2x)+4cosx=5 пусть cosx=t тогда 3√(1-t^2)+4t=5: 3√(1-t^2)=5-4t; 9(1-t^2)=25-40t+16t^2; Получаем простое неравенство которое решают в 8 классе без проблем
Перенёс 3sin вправо, возвел в квадрат, перевел квадратные косинусы в квадратные синусы и получил замечательное квадратное уравнение с одним корнем. Сложнее первого подхода, но проще двух других
решая сам, сразу же увидел первый способ, однако 3-ий тоже неплох. Второй слишком трудозатратен, да и использование столь нетривиального преобразования через тангенс половинного аргумента сразу в голову вряд ли придёт
Смущает только одно - как разные способы будут проверяться на экзаменах? Жизненный опыт показывает, что чаще всего преподы даже математики имеют формальное мышление. Поэтому им нужен заранее заданный ответ и заранее заданный способ решения. Никто не хочет заморачиваться. После сдачи экзаменов доказывать, что ты - не лох - себе дороже. К сожалению, ученик/абитуриент должен разбираться в психологии - с каким преподом как отвечать.
Я тоже сначала пробовал этот вариант, но у меня ответ вышел иной. *(3sinx+4cosx)²=5²;* *9sin²x+24sinxcosx+16cos²x=25;* *9sin²x+24sinxcosx+16cos²x-25cos²x-25sin²x=0;* *-16sin²x+24sinxcosx-9cos²x=0 | : (-cos²x);* *16tg²x-24tgx+9=0;* *tgx=¾;* *x=arctg¾+πn.* _Прошу Валерия разъяснить, что не так._
Да, так тоже можно, только при возведения в квадрат нужно было дописать условие положительности левой части, что приведёт в конечном ответе к отбрасыванию угола в 3-ей четверти, где синус и косинус будут отрицательны, тогда окончательный ответ будет x=arctg¾+2πn, этот ответ равносилен ответам в видеоразборе. Кстати, попробуйте самостоятельно доказать, что arctg(3/4)=2arctg(1/3).
Valery Volkov если и синус и косинус икс находятся в первой четверти,знаком плюс как они могут быть отрицательными при возведение в квадрат?.Обьясните пожалуйста
Valery Volkov извините можете подсказать? В книге написано что объединение двух формул п-а и а равно (-1)в степени n arcsina .Вопрос как объединить знаете, могу ли я отправить вам эту формулу через вк, если не мог к вам довести идею
Это вы в какой-то программе пишите? Все так аккуратненько. Я сначала думал с планшета снимаете, а потом бегающую точку заметил. Как вы снимаете такие видео?
What if cosx and sinx are equal which it is not inevitable but possible even though not mentioned into task conditions ...then the answer is x=arccos or arcsin (5/7) + 2*pi*n
Можно решить обозначением sinx=x и cosx=y
И написвть уровнение:
3x+4y=5
x^2+y^2=1
что
молодец !!!
Федя Полежайкин он заменил sinx на х, а cosx на у. Первое уравнение понятно, просто подставляем (3х+4у=5), а второе всем привычное отт: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Методом подстановки получаем x^2+y^2=1.
Это гениально
Учусь в 9 классе, но решил это уравнение решить. Только что таким же способом решил, рад что не один до этого додумался)))
Спасибо большое. Особенное спасибо за Ваше терпение и неторопливый разбор примера.
Да уж, тоже мне способы. Самый нормальный способ- представить одно из выражений (например синус) по основному тригонометрическому тождеству как корень из 1-косинус*2. перенести всё вправо, кроме корня. Возвести обе части в квадрат. корень пропадёт в одной части, а в другой раскроется по формуле квадрата. В конце получим квадратное уравнение- которое либо по дискриминанту, либо если быть внимательным- видно что это раскрытая формула квадрата. Ответ сходится. Намного проще- намного понятней.
Х=(-1)^n * arcsin3/5 + Пn. Такой ответ?
Вы правы. Ваш способ самый простой. Но это потому, что синус заведомо положительный. Ответ: x = arccos(4/5) +2 pi n
Еще, при возведении в квадрат уравнения надо быть осторожным, чтобы не наиграть второй корень, которого нет в исходном уравнении. Но в данном случае этого не происходит, т.к. соответствующее уравнение имеет кратный корень. В общем ваш способ самый простой. Можно, вообще, не знать никаких тригонометрических формул, только основное тригонометрическое тождество.
@@volodymyrmalyuga7331 "наиграть" )) Лайк за преферансную терминологию )
Есть ещё пятый способ - воспользоваться принципом сложения гармонических колебаний. Либо просто помнить формулу, либо нарисовать векторную диаграмму и вывести формулу самостоятельно. В итоге получится уравнение вида A*Cos(x+b)=5. Делим на A и берем арктангенс. Всё. Но это скорее для студентов, чем для школьников.
Спасибо, за прекрасный ролик, содержащий основные способы решения подобных тригонометрических уравнений. Всё способы хороши
Училка дала 1 способ в 10 классе,никто не понял,сейчвс посмотрел 3 решение и все стало понятно,спасибо!
Не училка, а учитель! Я тоже за 3-ий способ. Он самый простой и понятный и более распространенный.
Первыц гораздо проще и быстрее, тем паче, что этот способ ещё в классе 8 рассказывается
3, 4, 5 - вышел зайчик погулять. А ещё 3, 4, 5 - египетский треугольник: 3^2 + 4^2 = 5^2. Если опустить перпендикуляр (высоту) из вершины с прямым углом на гипотенузу (5), получим по обе стороны от высоты два прямоугольных треугольника, подобных исходному (3,4,5), с углами X, π/2-X и π/2. В одном из этих треугольников гипотенуза будет равна 3, а в другом 4, соответственно противолежащий катет в первом = 3SinX, а прилежащий во втором = 4CosX. Нетрудно заметить, что сумма этих катетов равна гипотенузе (5) исходного (3,4,5) треугольника. Следовательно уравнение 3SinX + 4CosX = 5 описывает соотношение катетов и гипотенузы египетcкого треугольника, в котором угол X = arcSin(3/4) = arcCos(4/5) = 0.64350111 рад. Задача решается за две минуты. Успехов :)
Упс, не 3/4, а 3/5. Т.е. X = arcSin(3/5) = arcCos(4/5) = 0.64350111 рад.
очень интересно было Вас послушать, так сказать, увеличить кол-во возможных путей решения, а значит и сделать свою логику более гибкой, спасибо !
Умножим обе части уравнение αsin x + βcos x = γ на некоторое число μ так, чтобы левая часть превратилась в формулу синуса или косинуса суммы. Таким образом, необходимо, чтобы μ * (αsin x + βcos x) = μαsin x + μβcos x = cos θ cos x - -sin α sin θ. Это приводит к тому, что μβ = cos θ и μα = sin θ. Однако мы же понимаем, что синус и косинус - ограниченные функции (они по модулю меньше 1), и потому -1 < μβ < 1 и -1 < μα < 1. Больше того имеет место быть основное тригонометрическое тождество, а именно sin² θ + cos² θ = 1 (μα)² + (μβ)² = 1. Понятно, что α,β - заранее известные числа и они могут быть какими угодно. Поэтому наша задача найти отсюда множитель μ. Очевидно, что из того равенства следует, что μ² = 1/(α² + β²) => μ = 1/sqrt(α^2 + β^2) - заметим, что все законно, ибо правая часть сугубо положительна (α² >=0 & β² >= 0 α² + β² >= 0). Коэффициент найден, следовательно, мы имеем право рассматривать уравнение вида cos θ cos x - sin θ sin x = γμ cos (θ - x) = γμ. Уравнение не будет иметь решение в том случае, когда |γμ| > 1 ( γμ > 1 || γμ < - 1). Если же |γμ| < 1 ( - 1 < γμ < 1), то посредством обратной функции находим искомое решение x = θ ± arccos(γμ) + 2πn, где n e Ζ (Очевидно: cos(θ - x) = cos(x - θ)). Уравнение решено сам неизвестный угол θ находится через равенства μβ = cos θ и μα = =sin θ. В нашем случае удобно записать через арккосинус: x = arccos(μβ) ± ±arccos(γμ) + 2πn. Селективность обоих равенств (через арксинус или арккосинус писать?) зависит от равенства arcsin x + arccos x = π/2 (где x - число из промежутка [-1, 1]). Если выяснилось, что γμ = μα (γ = α), то первый корень будет x = arcsin(μα) + arccos(μα) + 2πn = π/2 + 2πn, тогда как второй -
x = arcsin(μα) - arccos(μα) + 2πn. Идея была раскрыта.
Спасибо за разные способы решения.
БЛиин, очень круто. Все способы очень понятны, если хотя бы чуточку понимаешь в тригонометрии и в правилах приведения. Браво. Однозначно лайк!
Первый способ самый красивый и изящный.
Gliss Kur, а почему автор не добавил к фи 2ПиN?
Так и скажи, что просто не хочешь учиться остальным способам)
Мне все способы очень понятны, но 1 реально красивый
Можно решить эту задачу без подстановок, просто представив sinx = b/c и cosx =a/c ( соответственно, как отношение противолежащего и прилежащего катетов прямоугольного треугольника к их гипотинузе) и потом заменив исходное уравнение на 3*b/c + 4*a/c =5 (1) и a2 + b2 = c2 (2) придем к уравнению 9*a2 - 24*ab + 16b2=0. Это же уравнение сведем к y2 - 2*yz + z2 =0, где y=3*a , z=4*b. Получим (y-z)2=0. т.е. y-z=0 или y=z или 3*a = 4*b. Выражая a через b и c через b получаем, что sinx = b/c= 3/5, а cosx =a/с = 4/5. Подставив данные значения через обратные тригонометрические функции arcsin и arccos получаем, что угол х =36,8698 град.
Валерий Волков,спасибо Вам.3 способа решения позволяют выбрать. Я выбираю первый способ,он наиболее рациональный,требует меньше усилий.
1 способ лучший. Наверно как раз на его знание задание. Хорошо, что в тригонометрии можно выкрутиться)
Спасибо, все три способа хороши понятно объясняете, я предпочту 2ой способ
1 способ супер простой, мы только его и учили, в универе с интегралами фигурировала универсальная тригонометрическая подстановка, 3 способ понятен, но не помню чтобы так нас учили, вот именно 1й способ у нас был основным
Делаем замену: v=sinx, u=cosx. Получаем систему:
{v²+u²=1
{3v+4u=5; v=5/3-4u/3 --------> (1):
(5/3-4u/3)²+u²=1; 25/9-40u/9+16u²/9+u²=1; 25-40u+25u²=9; 25u²-40u+16=0; u=(20±√(400-400))/25=
=20/25=4/5; ==> cosx=4/5; x=±arccos(4/5)+2πk. Самый простой способ.
Специфическое уравнение. Третий способ самый пользуется чаще всего!
Задача на сложение гармонических колебаний :)
3*sin(x)+4*cos(x)=sqrt(3*3+4*4)*sin(x+fi)=5*sin(x+fi)=5.
Очевидно, x+fi=pi/2+2*pi*n. Остается найти fi. Его находим из системы уравнений:
sin(fi)=4/sqrt(3*3+4*4)=0,8
cos(fi)=3/sqrt(3*3+4*4)=0,6
Угол где-то в первой четверти. Можно записать как fi=arccos(0,6).
Тогда x=pi/2-arccos(0,6)+2*pi*n.
Впше видео мне помогло внезарным образом. Учусь на 3 курсе по теоретической специальности. По уравнениям матфизики решаю одну очень непрмятную и большую задачу, в которой вылезли интегралы с тригонометрией. Брал их через комплексную плоскость сквозь слезы. Получались огромные выражения. Посмотрел видео, вспомнил про универсальную тригонометрическую подстановку, и иниегралы дались за 15 минут. Спасибо)
Что за задача? Сам учусь на физика-теоретика, урматы мне очень понравились)
@@radmir_khusnutdinov задача дирихле уравнения пуасона в круге, с граничным условием u(r0, ф) = А * sinф / (4 + корень(7)*sin(ф). Причем искать решение методом поиенциалов, поместив двойной слой на поверхность круга. Вообще могу номер из задачника горюнова сказать)
@@osamb1e658 скажи) Ты не из МИФИ, случаем? У меня лично Горюнов вел урматы
@@radmir_khusnutdinov в мифи) У меня тоже вел, пока не перевелся с 32 на 70.
@@osamb1e658 а я так и остался на 32.
Все 3 способа просты и красивы. На мой взгляд, в чисто методических целях не стоит экономить место и время, а записывать всё подробно, шаг за шагом. Все три способа могут очень пригодиться не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшем.
Разделить обе части уравнения на 5 , чтоб в правой части уравнения осталась 1. Тогда сравнивая с тождеством sinX×sinX+cosX×cosX=1 легко заметить, что 3/5=sinX , а 4/5=cosX. Отсюда Х находим либо через арксинус, либо через арккосинус, кому как нравится.
Его можно решить за 3 минуты. Вообще, по моему мнению, все триг.уравнения можно решить, зная порядка 10 формул, только и всего.
Данное уравнение решается при помощи основного триг. тождества, я выразил косинус (потому что захотел), получается 3sin(x)+корень из 1-sin`2(x)=5. Пишем сразу ограничение на корень (больше нуля) и решаем заменой
Да уж, сейчас ролики гораздо более уверенные, чем 3 года назад. Прогресс виден.
Спасибо огромное за решение, способ 3 очень простой для понимания, так как достаточно знать школьную базу, но и второй не был особо трудным, на мой взгляд, а вот с первым уже кое-какие проблемы, в виде незнания формул
Можно вообще воспользоваться только одной универсальной формулой: суммой квадратов синуса и косинуса равной единице. Также выражать или через синус или через косинус. Далее по стандарту ввести новый аргумент, затем делать обратную замену. Путь чуть сложнее, но эту формулу знает каждый, кто хоть мало-мальски знаком с тригонометрией и умеет решать квадратные уравнения.
Лет 5 назад я умела такое решать. Я прям улавливаю решение и очень рада!
третий способ лучший, спасибо, Валерий
Теоремой Пифагора.
Заменяем sinx на a/c
cosx =b/c
(3a+4b) /c=5
3a+4b=5c, откуда sinx =3/5
cosx=4/5.
Лично мне показался наиболее простым первый способ решения задачи
Все три понравились. Но доступней всего третий, так как более типовой.
типовой это 2
Спасибо вам,всё понятно.
Четвертый способ: Если возвести в квадрат , то будет 9 sin^2x + 24sinx*cosx + 16cos^2x = 25 , sin^2x + sin^2x = 1 , потому 9 + 7 cos^x + 24sinx*cosx = 25 и 7 cos^x + 24sinx*cosx = 16 , делим нам cos^2x , 7 + 24tgx= 16/cos^2x , 1/cos^2x = 1 +tg^2x , 7 + 24tgx = 16 +16tg^2x и дальше решаем квадратное уровнение с D = 0 , имеем x= arctg(3/4) + пn, nєZ , 2arctg1/3 = arctg(3/4) , получаем тот же ответ да еще и проще намного
SiMpToM.Official Chanel Нужно учесть появление посторонних корней. Ответ x=arctg(3/4)+2pn. Ты включил в ответ углы из 3-й четверти, если их подставить в исходное уравнение, то левая часть будет равна -5
Этого я не заметил, спс)
Второй метод активно используется в нахождение неопределённого интеграла от тригонометрических функций. А также и для этого типа уравнений. Рассмотрим вывод формул (ы). Идём через двойной угол: sin 2α = sin(α + α) = =sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α. Теперь делим и умножаем на cos² α, тогда sin 2α = cos² α * (2sin α cos α )/cos² α = cos² α * 2sin α/cos α = 2tan α * cos² α. Далее вспоминаем, что косинус можно выразить через тангенс: tan² x + 1 = 1/cos² x => cos² x = 1/(tan² x + 1). Стало быть получаем формулу sin 2α = 2tan α/(tan² α + 1). Очевидно, что если α = t/2, то получаем окончательно
sin t = 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1). Для косинуса достаточно вспомнить, что cos 2α = =cos² α - sin² α = 1 - 2sin² α = cos² α * (1 - 2sin² α)/cos² α = 1 - cos² α * 2tan² α =
= 1 - 2tan² α/(tan² α + 1) = (1 - tan² α)/(tan² α + 1) =>
cos t = (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)). Наконец сам тангенс:
tan t = sin t/cos t = 2tan (t/2)/(1 - tan² (t/2)).
Осталось подставить в уравнение αsin x + βcos x = γ.
Имеем α * 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1) + β * (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)) = γ или
(2α * tan (t/2) + β - β * tan² (t/2))/(tan² (t/2) + 1) = γ или приводя все к общему знаменателю:
- ((β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ)/(tan² (t/2) + 1) = 0. Значит нужно решить уравнение:
(β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ = 0.
Решали 4-мя способами уравнение такого типа. Важно отметить, что тут во втором способе, важно проверить, не является ли cos x/2 = 0 решением уравнения? Иначе запросто с тангенсами можно потерять корни!!
А ещё можно решать возведением обеих частей в квадрат, но там каждую серию решений перепроверять на окружности, так как возведение в квадрат - не равносильное преобразование
22:25 можно сказать что косинус не равен нулю т.к. нельзя делить на ноль,(мы можешь сокращать на любые число отличные от нуля)
Есть и 4-й способ: из уравнения следует, что cosx>0 и sinx>0, т.к. sinx0, то x=arctg(3/4)+2pi*n (поскольку x=arctg(3/4)+pi*(2n+1) не подходит. т.к. в этом случае sinx
Марк Тихонов и за ним "Для Егэ" получили сразу же два алгебраических уравнения. Я тоже предлагаю подобное, а именно нарисуйте
прямоугольный треугольник с катетами (а) и (в) и гипотенузой равной "1". Сразу же получите систему двух уравнений:::
а^2 + b^2 =1
3a + 4b = 5
из которой следует уравнение для а::: (25 a^2 - 30 a + 9) = 0
Привет Валерий. спасибо вам. более простым оказался 3 способ
я перешёл на половинный угол и всё решилось, представил 3 синуса х как 3 синуса (2×0.5х), аналогично с 4 косинусами х, а пятёрку представил как 5 sin²0.5x + 5 cos²0.5x по основному тригонометоическому тождеству, разложил по формуле двойного угла, привёл подобные, получил, что 9 sin²0.5x - sin0.5xcos0.5x + cos²0.5x = 0, а потом разделил на cos²0.5x, получил тангенсы и через них получил ответ
Можно пятерку расписать через основное тригонометрические тождество , все в одну сторону перенести , а потом поделить на cos²x или sin²x . Получится простое квадратное уравнение относительно тангенса. Но там нужно учесть , что знаменатель не равен нулю. А так все просто.
Нет,так как не будет уравнения однородности 2 степени
Кстати в третьем способе получается полный квадрат (cos^2(x/2)+3sin^2(x/2))^2=0
В 3 решение можно записать как квадрат разности ,только минус вынести
решение за 10 секунд : это формула египетского треугольника 3-4-5, x=arcsin 3/5 или arccos 4/5 плюс производные от них по 2пи. других значений нет, тк нет других треугольников со сторонами 3-4-5 кроме прямоугольного. решено
Спасибо ! Третий способ --- супер !!!
Большое спосибо тов. Волков
Конечно,самый простой 3 способ решения,но первый тоже неплохой. А вот второй,не вспомнишь эти формулы,они не часто применяются.
Можно ещё заменить синус или косинус по основному тригонометрическому, прописать D(f), если нужно, потом возвести в квадрат часть с корнем и часть без корня, которая будет справа и тогда получится квадратное уравнение для косинус икс ( или синус икс), ответ будет арккос4/5, что равносильно ответу во всех решениях
При возведении в квадрат могут быть лишние кони, проверка в конце
Спасибо большое, третий способ самый простой)
все три красивые способы
Это из Сканави за 92 год я помню только там найти максимум 5 это максимум значит производная -3sinx+4cosx=0 tgx=4\3 x=arctg4\3 там тоже три способа но другие.
Третий способ более понятный, ежели первые два, хотя первый способ более лаконичный!
А не нельзя было просто записать sinx=√1-cos^2x затем записать cosx=t и решить простое квадратное уравнение?
Илья Бородин на самом деле способов очень много, и выбрать наиболее простой сложно
Wector11211 Ты что-то путаешь основное тригонометрическое тождество cos^2x+sin^2x=1, я выразил синус и взял корень потом
Ухх... Да, действительно. Пропустил как-то. Но тем не менее, такой способ не самый лучший. Как ты собираешься решать дальше и избавляться от корня?
получится так 3√(1-cos^2x)+4cosx=5 пусть cosx=t тогда 3√(1-t^2)+4t=5: 3√(1-t^2)=5-4t; 9(1-t^2)=25-40t+16t^2; Получаем простое неравенство которое решают в 8 классе без проблем
При возведении в квадрат, во многих уравнениях появляются лишние корни, так что этим лучше не пользоваться
Спасибо!
Все трое способы оказался понятным и легко воспринятым
Перенёс 3sin вправо, возвел в квадрат, перевел квадратные косинусы в квадратные синусы и получил замечательное квадратное уравнение с одним корнем. Сложнее первого подхода, но проще двух других
Все 3 способы понравилось
ДЯКУЮ.
Перший спосіб.
1 где делишь на корень из а^2+b^2 и 3 с формулами двойного угла
Кажется, решали всеми тремя способами давным-давно в лицее и институте, но третий, конечно, понятнее и проще...
можно как неоднородное уравнение 2 порядка через половинный аргумент
Есть общая формула для таких уравнений: asinX+bcosX+c=0, b≠c -> x = 2arctan((a+-sqrt(a^2+b^2-c^2))/(b-c))
Отлично.Спасибо !
А можно было обе части возвезти в квадрат,а потом решить однородное уравнение?
Мне привычнее 2 способ. Нас всегда ориентировали на преображение с помощью тангенсов. Потом уже в институте я поняла, зачем.
решая сам, сразу же увидел первый способ, однако 3-ий тоже неплох. Второй слишком трудозатратен, да и использование столь нетривиального преобразования через тангенс половинного аргумента сразу в голову вряд ли придёт
Почему вы не добавили к углу Фи 2ПиN
Спасибо за объяснение)_
Смущает только одно - как разные способы будут проверяться на экзаменах? Жизненный опыт показывает, что чаще всего преподы даже математики имеют формальное мышление. Поэтому им нужен заранее заданный ответ и заранее заданный способ решения. Никто не хочет заморачиваться. После сдачи экзаменов доказывать, что ты - не лох - себе дороже. К сожалению, ученик/абитуриент должен разбираться в психологии - с каким преподом как отвечать.
Уже вижу как сидя на егэ решаю правильным способом, а потом трясусь из-за кошмарных ответов. Почему нельзя взять нормальные коэффициенты?
Такие задачи или формулы где применяется?
3 способ оказался понятен, но доделал его, разложив на квадрат суммы. Правда с первыми 2 так и не разобрался.
А почему нельзя изначальное уравнение поделить на косинус? Ведь если он будет равен нулю, то sinx=1, но 3 не равно 5.
Останется деление 5 на косинус. Соответственно, уравнение только усложнится:)
1 часто пользуюсь. Мне кажется оно вполне простое и быстрое.И третье ничего так.
Возвести обе части в квадрат, представить 5×1 = 5×( sin²x + cos²x . Дальше формула квадрата разности => делим обе части cosx, получаем tgx....
Я тоже сначала пробовал этот вариант, но у меня ответ вышел иной.
*(3sinx+4cosx)²=5²;*
*9sin²x+24sinxcosx+16cos²x=25;*
*9sin²x+24sinxcosx+16cos²x-25cos²x-25sin²x=0;*
*-16sin²x+24sinxcosx-9cos²x=0 | : (-cos²x);*
*16tg²x-24tgx+9=0;*
*tgx=¾;*
*x=arctg¾+πn.*
_Прошу Валерия разъяснить, что не так._
Да, так тоже можно, только при возведения в квадрат нужно было дописать условие положительности левой части, что приведёт в конечном ответе к отбрасыванию угола в 3-ей четверти, где синус и косинус будут отрицательны, тогда окончательный ответ будет x=arctg¾+2πn, этот ответ равносилен ответам в видеоразборе. Кстати, попробуйте самостоятельно доказать, что arctg(3/4)=2arctg(1/3).
Valery Volkov, не дописал, но имел это в виду. Тоже хороший способ.
Valery Volkov если и синус и косинус икс находятся в первой четверти,знаком плюс как они могут быть отрицательными при возведение в квадрат?.Обьясните пожалуйста
Valery Volkov извините можете подсказать? В книге написано что объединение двух формул п-а и а равно (-1)в степени n arcsina .Вопрос как объединить знаете, могу ли я отправить вам эту формулу через вк, если не мог к вам довести идею
Это вы в какой-то программе пишите? Все так аккуратненько. Я сначала думал с планшета снимаете, а потом бегающую точку заметил. Как вы снимаете такие видео?
Я решил возведением обоих частей в квадрат и разложением 5 по основному тригонометрическому тождеству
ответ получился arctg(3/4)+Pi*n, что в принципе тоже самое
У первого способа не приведено доказательство, что 3/5 и 4/5 представляют значения синуса и косинуса какого-то угла. Просто пропущен этот момент.
А разве в третьем случае после приведения подобных получится не квадрат разности?
Очень полезное
Через 30 лет после окончания школы помню только формулы для 3 способа :)
А почему нельзя представить как:
___________
3sin Х + V(1-sin кв Х) = 5 и решить квадратное уравнение?
можно было представить косинус как корень из 1-sin(x) в квадрате дальше все будет просто
Можно наверно возвести в квадрат обе части и сбацать однородное уравнение
Почему при первом способе решения мы получаем, что фи равен арккосинус3/5, а не арккосинус3/5 +2пин?
Предельно понятный анализ задачи 🍑
Лично мне 1 понравился куда больше.
2-й способ - универсальная тригонометрическая подстановка.
А можно вместо arccos3/5 взять arcsin4/5 они же равны?
Можно
По формуле дополнительного аргумента всё чётенько, но если такой ответ получил на экзамене как-то слегка стрёмно)
Чтобы доказать, что арксинус 3/5 равен двум арктангенсам 1/3 нужно, чтобы их разность была равна нулю.
Та не , ты шо дед , быть не может
може, сынку, може...
Я просто зпаписал 3sin(x)+4cos(x) как 5cos(x-arctg(3/4))
Применить универсальную подстановку
What if cosx and sinx are equal which it is not inevitable but possible even though not mentioned into task conditions ...then the answer is x=arccos or arcsin (5/7) + 2*pi*n
Я решал так заменил косинус на синус через основное тригонометрическое тождество и возвел в квадрат и все решилось у меня
Неужели хотя бы 1 человек из 10 решил эту задачу? Признаюсь честно: я даже после разбора трёх решений в каком-то ступоре.
А можно было через основное триг тождество, просто в виде корня с косинусом представить?
Еще будут такие уравнения?
Спасибо огромное
Первый способ наиболее удобнее, но самым лёгкий - третий