Федя Полежайкин он заменил sinx на х, а cosx на у. Первое уравнение понятно, просто подставляем (3х+4у=5), а второе всем привычное отт: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Методом подстановки получаем x^2+y^2=1.
3, 4, 5 - вышел зайчик погулять. А ещё 3, 4, 5 - египетский треугольник: 3^2 + 4^2 = 5^2. Если опустить перпендикуляр (высоту) из вершины с прямым углом на гипотенузу (5), получим по обе стороны от высоты два прямоугольных треугольника, подобных исходному (3,4,5), с углами X, π/2-X и π/2. В одном из этих треугольников гипотенуза будет равна 3, а в другом 4, соответственно противолежащий катет в первом = 3SinX, а прилежащий во втором = 4CosX. Нетрудно заметить, что сумма этих катетов равна гипотенузе (5) исходного (3,4,5) треугольника. Следовательно уравнение 3SinX + 4CosX = 5 описывает соотношение катетов и гипотенузы египетcкого треугольника, в котором угол X = arcSin(3/4) = arcCos(4/5) = 0.64350111 рад. Задача решается за две минуты. Успехов :)
Да уж, тоже мне способы. Самый нормальный способ- представить одно из выражений (например синус) по основному тригонометрическому тождеству как корень из 1-косинус*2. перенести всё вправо, кроме корня. Возвести обе части в квадрат. корень пропадёт в одной части, а в другой раскроется по формуле квадрата. В конце получим квадратное уравнение- которое либо по дискриминанту, либо если быть внимательным- видно что это раскрытая формула квадрата. Ответ сходится. Намного проще- намного понятней.
Еще, при возведении в квадрат уравнения надо быть осторожным, чтобы не наиграть второй корень, которого нет в исходном уравнении. Но в данном случае этого не происходит, т.к. соответствующее уравнение имеет кратный корень. В общем ваш способ самый простой. Можно, вообще, не знать никаких тригонометрических формул, только основное тригонометрическое тождество.
Есть ещё пятый способ - воспользоваться принципом сложения гармонических колебаний. Либо просто помнить формулу, либо нарисовать векторную диаграмму и вывести формулу самостоятельно. В итоге получится уравнение вида A*Cos(x+b)=5. Делим на A и берем арктангенс. Всё. Но это скорее для студентов, чем для школьников.
Умножим обе части уравнение αsin x + βcos x = γ на некоторое число μ так, чтобы левая часть превратилась в формулу синуса или косинуса суммы. Таким образом, необходимо, чтобы μ * (αsin x + βcos x) = μαsin x + μβcos x = cos θ cos x - -sin α sin θ. Это приводит к тому, что μβ = cos θ и μα = sin θ. Однако мы же понимаем, что синус и косинус - ограниченные функции (они по модулю меньше 1), и потому -1 < μβ < 1 и -1 < μα < 1. Больше того имеет место быть основное тригонометрическое тождество, а именно sin² θ + cos² θ = 1 (μα)² + (μβ)² = 1. Понятно, что α,β - заранее известные числа и они могут быть какими угодно. Поэтому наша задача найти отсюда множитель μ. Очевидно, что из того равенства следует, что μ² = 1/(α² + β²) => μ = 1/sqrt(α^2 + β^2) - заметим, что все законно, ибо правая часть сугубо положительна (α² >=0 & β² >= 0 α² + β² >= 0). Коэффициент найден, следовательно, мы имеем право рассматривать уравнение вида cos θ cos x - sin θ sin x = γμ cos (θ - x) = γμ. Уравнение не будет иметь решение в том случае, когда |γμ| > 1 ( γμ > 1 || γμ < - 1). Если же |γμ| < 1 ( - 1 < γμ < 1), то посредством обратной функции находим искомое решение x = θ ± arccos(γμ) + 2πn, где n e Ζ (Очевидно: cos(θ - x) = cos(x - θ)). Уравнение решено сам неизвестный угол θ находится через равенства μβ = cos θ и μα = =sin θ. В нашем случае удобно записать через арккосинус: x = arccos(μβ) ± ±arccos(γμ) + 2πn. Селективность обоих равенств (через арксинус или арккосинус писать?) зависит от равенства arcsin x + arccos x = π/2 (где x - число из промежутка [-1, 1]). Если выяснилось, что γμ = μα (γ = α), то первый корень будет x = arcsin(μα) + arccos(μα) + 2πn = π/2 + 2πn, тогда как второй - x = arcsin(μα) - arccos(μα) + 2πn. Идея была раскрыта.
Можно решить эту задачу без подстановок, просто представив sinx = b/c и cosx =a/c ( соответственно, как отношение противолежащего и прилежащего катетов прямоугольного треугольника к их гипотинузе) и потом заменив исходное уравнение на 3*b/c + 4*a/c =5 (1) и a2 + b2 = c2 (2) придем к уравнению 9*a2 - 24*ab + 16b2=0. Это же уравнение сведем к y2 - 2*yz + z2 =0, где y=3*a , z=4*b. Получим (y-z)2=0. т.е. y-z=0 или y=z или 3*a = 4*b. Выражая a через b и c через b получаем, что sinx = b/c= 3/5, а cosx =a/с = 4/5. Подставив данные значения через обратные тригонометрические функции arcsin и arccos получаем, что угол х =36,8698 град.
Впше видео мне помогло внезарным образом. Учусь на 3 курсе по теоретической специальности. По уравнениям матфизики решаю одну очень непрмятную и большую задачу, в которой вылезли интегралы с тригонометрией. Брал их через комплексную плоскость сквозь слезы. Получались огромные выражения. Посмотрел видео, вспомнил про универсальную тригонометрическую подстановку, и иниегралы дались за 15 минут. Спасибо)
@@radmir_khusnutdinov задача дирихле уравнения пуасона в круге, с граничным условием u(r0, ф) = А * sinф / (4 + корень(7)*sin(ф). Причем искать решение методом поиенциалов, поместив двойной слой на поверхность круга. Вообще могу номер из задачника горюнова сказать)
1 способ супер простой, мы только его и учили, в универе с интегралами фигурировала универсальная тригонометрическая подстановка, 3 способ понятен, но не помню чтобы так нас учили, вот именно 1й способ у нас был основным
SiMpToM.Official Chanel Нужно учесть появление посторонних корней. Ответ x=arctg(3/4)+2pn. Ты включил в ответ углы из 3-й четверти, если их подставить в исходное уравнение, то левая часть будет равна -5
получится так 3√(1-cos^2x)+4cosx=5 пусть cosx=t тогда 3√(1-t^2)+4t=5: 3√(1-t^2)=5-4t; 9(1-t^2)=25-40t+16t^2; Получаем простое неравенство которое решают в 8 классе без проблем
Задача на сложение гармонических колебаний :) 3*sin(x)+4*cos(x)=sqrt(3*3+4*4)*sin(x+fi)=5*sin(x+fi)=5. Очевидно, x+fi=pi/2+2*pi*n. Остается найти fi. Его находим из системы уравнений: sin(fi)=4/sqrt(3*3+4*4)=0,8 cos(fi)=3/sqrt(3*3+4*4)=0,6 Угол где-то в первой четверти. Можно записать как fi=arccos(0,6). Тогда x=pi/2-arccos(0,6)+2*pi*n.
Разделить обе части уравнения на 5 , чтоб в правой части уравнения осталась 1. Тогда сравнивая с тождеством sinX×sinX+cosX×cosX=1 легко заметить, что 3/5=sinX , а 4/5=cosX. Отсюда Х находим либо через арксинус, либо через арккосинус, кому как нравится.
Марк Тихонов и за ним "Для Егэ" получили сразу же два алгебраических уравнения. Я тоже предлагаю подобное, а именно нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами (а) и (в) и гипотенузой равной "1". Сразу же получите систему двух уравнений::: а^2 + b^2 =1 3a + 4b = 5 из которой следует уравнение для а::: (25 a^2 - 30 a + 9) = 0
Его можно решить за 3 минуты. Вообще, по моему мнению, все триг.уравнения можно решить, зная порядка 10 формул, только и всего. Данное уравнение решается при помощи основного триг. тождества, я выразил косинус (потому что захотел), получается 3sin(x)+корень из 1-sin`2(x)=5. Пишем сразу ограничение на корень (больше нуля) и решаем заменой
Все 3 способа просты и красивы. На мой взгляд, в чисто методических целях не стоит экономить место и время, а записывать всё подробно, шаг за шагом. Все три способа могут очень пригодиться не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшем.
Можно вообще воспользоваться только одной универсальной формулой: суммой квадратов синуса и косинуса равной единице. Также выражать или через синус или через косинус. Далее по стандарту ввести новый аргумент, затем делать обратную замену. Путь чуть сложнее, но эту формулу знает каждый, кто хоть мало-мальски знаком с тригонометрией и умеет решать квадратные уравнения.
Есть и 4-й способ: из уравнения следует, что cosx>0 и sinx>0, т.к. sinx0, то x=arctg(3/4)+2pi*n (поскольку x=arctg(3/4)+pi*(2n+1) не подходит. т.к. в этом случае sinx
я перешёл на половинный угол и всё решилось, представил 3 синуса х как 3 синуса (2×0.5х), аналогично с 4 косинусами х, а пятёрку представил как 5 sin²0.5x + 5 cos²0.5x по основному тригонометоическому тождеству, разложил по формуле двойного угла, привёл подобные, получил, что 9 sin²0.5x - sin0.5xcos0.5x + cos²0.5x = 0, а потом разделил на cos²0.5x, получил тангенсы и через них получил ответ
Спасибо огромное за решение, способ 3 очень простой для понимания, так как достаточно знать школьную базу, но и второй не был особо трудным, на мой взгляд, а вот с первым уже кое-какие проблемы, в виде незнания формул
Решали 4-мя способами уравнение такого типа. Важно отметить, что тут во втором способе, важно проверить, не является ли cos x/2 = 0 решением уравнения? Иначе запросто с тангенсами можно потерять корни!! А ещё можно решать возведением обеих частей в квадрат, но там каждую серию решений перепроверять на окружности, так как возведение в квадрат - не равносильное преобразование
Второй метод активно используется в нахождение неопределённого интеграла от тригонометрических функций. А также и для этого типа уравнений. Рассмотрим вывод формул (ы). Идём через двойной угол: sin 2α = sin(α + α) = =sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α. Теперь делим и умножаем на cos² α, тогда sin 2α = cos² α * (2sin α cos α )/cos² α = cos² α * 2sin α/cos α = 2tan α * cos² α. Далее вспоминаем, что косинус можно выразить через тангенс: tan² x + 1 = 1/cos² x => cos² x = 1/(tan² x + 1). Стало быть получаем формулу sin 2α = 2tan α/(tan² α + 1). Очевидно, что если α = t/2, то получаем окончательно sin t = 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1). Для косинуса достаточно вспомнить, что cos 2α = =cos² α - sin² α = 1 - 2sin² α = cos² α * (1 - 2sin² α)/cos² α = 1 - cos² α * 2tan² α = = 1 - 2tan² α/(tan² α + 1) = (1 - tan² α)/(tan² α + 1) => cos t = (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)). Наконец сам тангенс: tan t = sin t/cos t = 2tan (t/2)/(1 - tan² (t/2)). Осталось подставить в уравнение αsin x + βcos x = γ. Имеем α * 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1) + β * (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)) = γ или (2α * tan (t/2) + β - β * tan² (t/2))/(tan² (t/2) + 1) = γ или приводя все к общему знаменателю: - ((β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ)/(tan² (t/2) + 1) = 0. Значит нужно решить уравнение: (β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ = 0.
Перенёс 3sin вправо, возвел в квадрат, перевел квадратные косинусы в квадратные синусы и получил замечательное квадратное уравнение с одним корнем. Сложнее первого подхода, но проще двух других
Можно пятерку расписать через основное тригонометрические тождество , все в одну сторону перенести , а потом поделить на cos²x или sin²x . Получится простое квадратное уравнение относительно тангенса. Но там нужно учесть , что знаменатель не равен нулю. А так все просто.
решение за 10 секунд : это формула египетского треугольника 3-4-5, x=arcsin 3/5 или arccos 4/5 плюс производные от них по 2пи. других значений нет, тк нет других треугольников со сторонами 3-4-5 кроме прямоугольного. решено
Это из Сканави за 92 год я помню только там найти максимум 5 это максимум значит производная -3sinx+4cosx=0 tgx=4\3 x=arctg4\3 там тоже три способа но другие.
Это вы в какой-то программе пишите? Все так аккуратненько. Я сначала думал с планшета снимаете, а потом бегающую точку заметил. Как вы снимаете такие видео?
Смущает только одно - как разные способы будут проверяться на экзаменах? Жизненный опыт показывает, что чаще всего преподы даже математики имеют формальное мышление. Поэтому им нужен заранее заданный ответ и заранее заданный способ решения. Никто не хочет заморачиваться. После сдачи экзаменов доказывать, что ты - не лох - себе дороже. К сожалению, ученик/абитуриент должен разбираться в психологии - с каким преподом как отвечать.
Можно ещё заменить синус или косинус по основному тригонометрическому, прописать D(f), если нужно, потом возвести в квадрат часть с корнем и часть без корня, которая будет справа и тогда получится квадратное уравнение для косинус икс ( или синус икс), ответ будет арккос4/5, что равносильно ответу во всех решениях
в данном случае не исчезают. при делении на выражение с переменной решением не сможет стать значение переменной, при котором это выражение(на которое делили) обращается в 0. т.е. при делении на выражение с переменной необходимо проверять те значения переменной, при которых это выражение обращается в 0. решение разбивается на 2 случая. в конце нужно объединить ответы. на 3ем примере: при cosx=0 , получается что sinx=0, чего одновременно быть не может. (например т.к. (sinx)^2+(cosx)^2=1 )
Я тоже сначала пробовал этот вариант, но у меня ответ вышел иной. *(3sinx+4cosx)²=5²;* *9sin²x+24sinxcosx+16cos²x=25;* *9sin²x+24sinxcosx+16cos²x-25cos²x-25sin²x=0;* *-16sin²x+24sinxcosx-9cos²x=0 | : (-cos²x);* *16tg²x-24tgx+9=0;* *tgx=¾;* *x=arctg¾+πn.* _Прошу Валерия разъяснить, что не так._
Да, так тоже можно, только при возведения в квадрат нужно было дописать условие положительности левой части, что приведёт в конечном ответе к отбрасыванию угола в 3-ей четверти, где синус и косинус будут отрицательны, тогда окончательный ответ будет x=arctg¾+2πn, этот ответ равносилен ответам в видеоразборе. Кстати, попробуйте самостоятельно доказать, что arctg(3/4)=2arctg(1/3).
Valery Volkov если и синус и косинус икс находятся в первой четверти,знаком плюс как они могут быть отрицательными при возведение в квадрат?.Обьясните пожалуйста
Valery Volkov извините можете подсказать? В книге написано что объединение двух формул п-а и а равно (-1)в степени n arcsina .Вопрос как объединить знаете, могу ли я отправить вам эту формулу через вк, если не мог к вам довести идею
Можно решить обозначением sinx=x и cosx=y
И написвть уровнение:
3x+4y=5
x^2+y^2=1
что
молодец !!!
Федя Полежайкин он заменил sinx на х, а cosx на у. Первое уравнение понятно, просто подставляем (3х+4у=5), а второе всем привычное отт: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Методом подстановки получаем x^2+y^2=1.
Это гениально
Учусь в 9 классе, но решил это уравнение решить. Только что таким же способом решил, рад что не один до этого додумался)))
Спасибо большое. Особенное спасибо за Ваше терпение и неторопливый разбор примера.
Спасибо, за прекрасный ролик, содержащий основные способы решения подобных тригонометрических уравнений. Всё способы хороши
3, 4, 5 - вышел зайчик погулять. А ещё 3, 4, 5 - египетский треугольник: 3^2 + 4^2 = 5^2. Если опустить перпендикуляр (высоту) из вершины с прямым углом на гипотенузу (5), получим по обе стороны от высоты два прямоугольных треугольника, подобных исходному (3,4,5), с углами X, π/2-X и π/2. В одном из этих треугольников гипотенуза будет равна 3, а в другом 4, соответственно противолежащий катет в первом = 3SinX, а прилежащий во втором = 4CosX. Нетрудно заметить, что сумма этих катетов равна гипотенузе (5) исходного (3,4,5) треугольника. Следовательно уравнение 3SinX + 4CosX = 5 описывает соотношение катетов и гипотенузы египетcкого треугольника, в котором угол X = arcSin(3/4) = arcCos(4/5) = 0.64350111 рад. Задача решается за две минуты. Успехов :)
Упс, не 3/4, а 3/5. Т.е. X = arcSin(3/5) = arcCos(4/5) = 0.64350111 рад.
БЛиин, очень круто. Все способы очень понятны, если хотя бы чуточку понимаешь в тригонометрии и в правилах приведения. Браво. Однозначно лайк!
Да уж, тоже мне способы. Самый нормальный способ- представить одно из выражений (например синус) по основному тригонометрическому тождеству как корень из 1-косинус*2. перенести всё вправо, кроме корня. Возвести обе части в квадрат. корень пропадёт в одной части, а в другой раскроется по формуле квадрата. В конце получим квадратное уравнение- которое либо по дискриминанту, либо если быть внимательным- видно что это раскрытая формула квадрата. Ответ сходится. Намного проще- намного понятней.
Х=(-1)^n * arcsin3/5 + Пn. Такой ответ?
Вы правы. Ваш способ самый простой. Но это потому, что синус заведомо положительный. Ответ: x = arccos(4/5) +2 pi n
Еще, при возведении в квадрат уравнения надо быть осторожным, чтобы не наиграть второй корень, которого нет в исходном уравнении. Но в данном случае этого не происходит, т.к. соответствующее уравнение имеет кратный корень. В общем ваш способ самый простой. Можно, вообще, не знать никаких тригонометрических формул, только основное тригонометрическое тождество.
@@volodymyrmalyuga7331 "наиграть" )) Лайк за преферансную терминологию )
Есть ещё пятый способ - воспользоваться принципом сложения гармонических колебаний. Либо просто помнить формулу, либо нарисовать векторную диаграмму и вывести формулу самостоятельно. В итоге получится уравнение вида A*Cos(x+b)=5. Делим на A и берем арктангенс. Всё. Но это скорее для студентов, чем для школьников.
очень интересно было Вас послушать, так сказать, увеличить кол-во возможных путей решения, а значит и сделать свою логику более гибкой, спасибо !
Первый способ самый красивый и изящный.
Gliss Kur, а почему автор не добавил к фи 2ПиN?
Так и скажи, что просто не хочешь учиться остальным способам)
Мне все способы очень понятны, но 1 реально красивый
Спасибо за разные способы решения.
Умножим обе части уравнение αsin x + βcos x = γ на некоторое число μ так, чтобы левая часть превратилась в формулу синуса или косинуса суммы. Таким образом, необходимо, чтобы μ * (αsin x + βcos x) = μαsin x + μβcos x = cos θ cos x - -sin α sin θ. Это приводит к тому, что μβ = cos θ и μα = sin θ. Однако мы же понимаем, что синус и косинус - ограниченные функции (они по модулю меньше 1), и потому -1 < μβ < 1 и -1 < μα < 1. Больше того имеет место быть основное тригонометрическое тождество, а именно sin² θ + cos² θ = 1 (μα)² + (μβ)² = 1. Понятно, что α,β - заранее известные числа и они могут быть какими угодно. Поэтому наша задача найти отсюда множитель μ. Очевидно, что из того равенства следует, что μ² = 1/(α² + β²) => μ = 1/sqrt(α^2 + β^2) - заметим, что все законно, ибо правая часть сугубо положительна (α² >=0 & β² >= 0 α² + β² >= 0). Коэффициент найден, следовательно, мы имеем право рассматривать уравнение вида cos θ cos x - sin θ sin x = γμ cos (θ - x) = γμ. Уравнение не будет иметь решение в том случае, когда |γμ| > 1 ( γμ > 1 || γμ < - 1). Если же |γμ| < 1 ( - 1 < γμ < 1), то посредством обратной функции находим искомое решение x = θ ± arccos(γμ) + 2πn, где n e Ζ (Очевидно: cos(θ - x) = cos(x - θ)). Уравнение решено сам неизвестный угол θ находится через равенства μβ = cos θ и μα = =sin θ. В нашем случае удобно записать через арккосинус: x = arccos(μβ) ± ±arccos(γμ) + 2πn. Селективность обоих равенств (через арксинус или арккосинус писать?) зависит от равенства arcsin x + arccos x = π/2 (где x - число из промежутка [-1, 1]). Если выяснилось, что γμ = μα (γ = α), то первый корень будет x = arcsin(μα) + arccos(μα) + 2πn = π/2 + 2πn, тогда как второй -
x = arcsin(μα) - arccos(μα) + 2πn. Идея была раскрыта.
Училка дала 1 способ в 10 классе,никто не понял,сейчвс посмотрел 3 решение и все стало понятно,спасибо!
Не училка, а учитель! Я тоже за 3-ий способ. Он самый простой и понятный и более распространенный.
Первыц гораздо проще и быстрее, тем паче, что этот способ ещё в классе 8 рассказывается
Можно решить эту задачу без подстановок, просто представив sinx = b/c и cosx =a/c ( соответственно, как отношение противолежащего и прилежащего катетов прямоугольного треугольника к их гипотинузе) и потом заменив исходное уравнение на 3*b/c + 4*a/c =5 (1) и a2 + b2 = c2 (2) придем к уравнению 9*a2 - 24*ab + 16b2=0. Это же уравнение сведем к y2 - 2*yz + z2 =0, где y=3*a , z=4*b. Получим (y-z)2=0. т.е. y-z=0 или y=z или 3*a = 4*b. Выражая a через b и c через b получаем, что sinx = b/c= 3/5, а cosx =a/с = 4/5. Подставив данные значения через обратные тригонометрические функции arcsin и arccos получаем, что угол х =36,8698 град.
Валерий Волков,спасибо Вам.3 способа решения позволяют выбрать. Я выбираю первый способ,он наиболее рациональный,требует меньше усилий.
Впше видео мне помогло внезарным образом. Учусь на 3 курсе по теоретической специальности. По уравнениям матфизики решаю одну очень непрмятную и большую задачу, в которой вылезли интегралы с тригонометрией. Брал их через комплексную плоскость сквозь слезы. Получались огромные выражения. Посмотрел видео, вспомнил про универсальную тригонометрическую подстановку, и иниегралы дались за 15 минут. Спасибо)
Что за задача? Сам учусь на физика-теоретика, урматы мне очень понравились)
@@radmir_khusnutdinov задача дирихле уравнения пуасона в круге, с граничным условием u(r0, ф) = А * sinф / (4 + корень(7)*sin(ф). Причем искать решение методом поиенциалов, поместив двойной слой на поверхность круга. Вообще могу номер из задачника горюнова сказать)
@@osamb1e658 скажи) Ты не из МИФИ, случаем? У меня лично Горюнов вел урматы
@@radmir_khusnutdinov в мифи) У меня тоже вел, пока не перевелся с 32 на 70.
@@osamb1e658 а я так и остался на 32.
1 способ супер простой, мы только его и учили, в универе с интегралами фигурировала универсальная тригонометрическая подстановка, 3 способ понятен, но не помню чтобы так нас учили, вот именно 1й способ у нас был основным
Четвертый способ: Если возвести в квадрат , то будет 9 sin^2x + 24sinx*cosx + 16cos^2x = 25 , sin^2x + sin^2x = 1 , потому 9 + 7 cos^x + 24sinx*cosx = 25 и 7 cos^x + 24sinx*cosx = 16 , делим нам cos^2x , 7 + 24tgx= 16/cos^2x , 1/cos^2x = 1 +tg^2x , 7 + 24tgx = 16 +16tg^2x и дальше решаем квадратное уровнение с D = 0 , имеем x= arctg(3/4) + пn, nєZ , 2arctg1/3 = arctg(3/4) , получаем тот же ответ да еще и проще намного
SiMpToM.Official Chanel Нужно учесть появление посторонних корней. Ответ x=arctg(3/4)+2pn. Ты включил в ответ углы из 3-й четверти, если их подставить в исходное уравнение, то левая часть будет равна -5
Этого я не заметил, спс)
А не нельзя было просто записать sinx=√1-cos^2x затем записать cosx=t и решить простое квадратное уравнение?
Илья Бородин на самом деле способов очень много, и выбрать наиболее простой сложно
Wector11211 Ты что-то путаешь основное тригонометрическое тождество cos^2x+sin^2x=1, я выразил синус и взял корень потом
Ухх... Да, действительно. Пропустил как-то. Но тем не менее, такой способ не самый лучший. Как ты собираешься решать дальше и избавляться от корня?
получится так 3√(1-cos^2x)+4cosx=5 пусть cosx=t тогда 3√(1-t^2)+4t=5: 3√(1-t^2)=5-4t; 9(1-t^2)=25-40t+16t^2; Получаем простое неравенство которое решают в 8 классе без проблем
При возведении в квадрат, во многих уравнениях появляются лишние корни, так что этим лучше не пользоваться
Да уж, сейчас ролики гораздо более уверенные, чем 3 года назад. Прогресс виден.
Специфическое уравнение. Третий способ самый пользуется чаще всего!
Делаем замену: v=sinx, u=cosx. Получаем систему:
{v²+u²=1
{3v+4u=5; v=5/3-4u/3 --------> (1):
(5/3-4u/3)²+u²=1; 25/9-40u/9+16u²/9+u²=1; 25-40u+25u²=9; 25u²-40u+16=0; u=(20±√(400-400))/25=
=20/25=4/5; ==> cosx=4/5; x=±arccos(4/5)+2πk. Самый простой способ.
Задача на сложение гармонических колебаний :)
3*sin(x)+4*cos(x)=sqrt(3*3+4*4)*sin(x+fi)=5*sin(x+fi)=5.
Очевидно, x+fi=pi/2+2*pi*n. Остается найти fi. Его находим из системы уравнений:
sin(fi)=4/sqrt(3*3+4*4)=0,8
cos(fi)=3/sqrt(3*3+4*4)=0,6
Угол где-то в первой четверти. Можно записать как fi=arccos(0,6).
Тогда x=pi/2-arccos(0,6)+2*pi*n.
Лично мне показался наиболее простым первый способ решения задачи
Спасибо, все три способа хороши понятно объясняете, я предпочту 2ой способ
Разделить обе части уравнения на 5 , чтоб в правой части уравнения осталась 1. Тогда сравнивая с тождеством sinX×sinX+cosX×cosX=1 легко заметить, что 3/5=sinX , а 4/5=cosX. Отсюда Х находим либо через арксинус, либо через арккосинус, кому как нравится.
Марк Тихонов и за ним "Для Егэ" получили сразу же два алгебраических уравнения. Я тоже предлагаю подобное, а именно нарисуйте
прямоугольный треугольник с катетами (а) и (в) и гипотенузой равной "1". Сразу же получите систему двух уравнений:::
а^2 + b^2 =1
3a + 4b = 5
из которой следует уравнение для а::: (25 a^2 - 30 a + 9) = 0
1 способ лучший. Наверно как раз на его знание задание. Хорошо, что в тригонометрии можно выкрутиться)
Его можно решить за 3 минуты. Вообще, по моему мнению, все триг.уравнения можно решить, зная порядка 10 формул, только и всего.
Данное уравнение решается при помощи основного триг. тождества, я выразил косинус (потому что захотел), получается 3sin(x)+корень из 1-sin`2(x)=5. Пишем сразу ограничение на корень (больше нуля) и решаем заменой
Все 3 способа просты и красивы. На мой взгляд, в чисто методических целях не стоит экономить место и время, а записывать всё подробно, шаг за шагом. Все три способа могут очень пригодиться не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшем.
Можно вообще воспользоваться только одной универсальной формулой: суммой квадратов синуса и косинуса равной единице. Также выражать или через синус или через косинус. Далее по стандарту ввести новый аргумент, затем делать обратную замену. Путь чуть сложнее, но эту формулу знает каждый, кто хоть мало-мальски знаком с тригонометрией и умеет решать квадратные уравнения.
третий способ лучший, спасибо, Валерий
Кстати в третьем способе получается полный квадрат (cos^2(x/2)+3sin^2(x/2))^2=0
Есть и 4-й способ: из уравнения следует, что cosx>0 и sinx>0, т.к. sinx0, то x=arctg(3/4)+2pi*n (поскольку x=arctg(3/4)+pi*(2n+1) не подходит. т.к. в этом случае sinx
я перешёл на половинный угол и всё решилось, представил 3 синуса х как 3 синуса (2×0.5х), аналогично с 4 косинусами х, а пятёрку представил как 5 sin²0.5x + 5 cos²0.5x по основному тригонометоическому тождеству, разложил по формуле двойного угла, привёл подобные, получил, что 9 sin²0.5x - sin0.5xcos0.5x + cos²0.5x = 0, а потом разделил на cos²0.5x, получил тангенсы и через них получил ответ
Лет 5 назад я умела такое решать. Я прям улавливаю решение и очень рада!
Спасибо огромное за решение, способ 3 очень простой для понимания, так как достаточно знать школьную базу, но и второй не был особо трудным, на мой взгляд, а вот с первым уже кое-какие проблемы, в виде незнания формул
Решали 4-мя способами уравнение такого типа. Важно отметить, что тут во втором способе, важно проверить, не является ли cos x/2 = 0 решением уравнения? Иначе запросто с тангенсами можно потерять корни!!
А ещё можно решать возведением обеих частей в квадрат, но там каждую серию решений перепроверять на окружности, так как возведение в квадрат - не равносильное преобразование
Второй метод активно используется в нахождение неопределённого интеграла от тригонометрических функций. А также и для этого типа уравнений. Рассмотрим вывод формул (ы). Идём через двойной угол: sin 2α = sin(α + α) = =sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α. Теперь делим и умножаем на cos² α, тогда sin 2α = cos² α * (2sin α cos α )/cos² α = cos² α * 2sin α/cos α = 2tan α * cos² α. Далее вспоминаем, что косинус можно выразить через тангенс: tan² x + 1 = 1/cos² x => cos² x = 1/(tan² x + 1). Стало быть получаем формулу sin 2α = 2tan α/(tan² α + 1). Очевидно, что если α = t/2, то получаем окончательно
sin t = 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1). Для косинуса достаточно вспомнить, что cos 2α = =cos² α - sin² α = 1 - 2sin² α = cos² α * (1 - 2sin² α)/cos² α = 1 - cos² α * 2tan² α =
= 1 - 2tan² α/(tan² α + 1) = (1 - tan² α)/(tan² α + 1) =>
cos t = (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)). Наконец сам тангенс:
tan t = sin t/cos t = 2tan (t/2)/(1 - tan² (t/2)).
Осталось подставить в уравнение αsin x + βcos x = γ.
Имеем α * 2tan (t/2)/(tan² (t/2) + 1) + β * (1 - tan² (t/2))/(1 + tan² (t/2)) = γ или
(2α * tan (t/2) + β - β * tan² (t/2))/(tan² (t/2) + 1) = γ или приводя все к общему знаменателю:
- ((β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ)/(tan² (t/2) + 1) = 0. Значит нужно решить уравнение:
(β + γ)tan² (t/2) - 2α tan (t/2) - β + γ = 0.
Теоремой Пифагора.
Заменяем sinx на a/c
cosx =b/c
(3a+4b) /c=5
3a+4b=5c, откуда sinx =3/5
cosx=4/5.
Привет Валерий. спасибо вам. более простым оказался 3 способ
все три красивые способы
Почему вы не добавили к углу Фи 2ПиN
Все три понравились. Но доступней всего третий, так как более типовой.
типовой это 2
Кажется, решали всеми тремя способами давным-давно в лицее и институте, но третий, конечно, понятнее и проще...
В 3 решение можно записать как квадрат разности ,только минус вынести
Спасибо ! Третий способ --- супер !!!
Конечно,самый простой 3 способ решения,но первый тоже неплохой. А вот второй,не вспомнишь эти формулы,они не часто применяются.
Перенёс 3sin вправо, возвел в квадрат, перевел квадратные косинусы в квадратные синусы и получил замечательное квадратное уравнение с одним корнем. Сложнее первого подхода, но проще двух других
Третий способ более понятный, ежели первые два, хотя первый способ более лаконичный!
Такие задачи или формулы где применяется?
А можно было обе части возвезти в квадрат,а потом решить однородное уравнение?
Спасибо большое, третий способ самый простой)
Мне привычнее 2 способ. Нас всегда ориентировали на преображение с помощью тангенсов. Потом уже в институте я поняла, зачем.
Все трое способы оказался понятным и легко воспринятым
Через 30 лет после окончания школы помню только формулы для 3 способа :)
Большое спосибо тов. Волков
Почему при первом способе решения мы получаем, что фи равен арккосинус3/5, а не арккосинус3/5 +2пин?
Уже вижу как сидя на егэ решаю правильным способом, а потом трясусь из-за кошмарных ответов. Почему нельзя взять нормальные коэффициенты?
А почему нельзя изначальное уравнение поделить на косинус? Ведь если он будет равен нулю, то sinx=1, но 3 не равно 5.
Останется деление 5 на косинус. Соответственно, уравнение только усложнится:)
Можно пятерку расписать через основное тригонометрические тождество , все в одну сторону перенести , а потом поделить на cos²x или sin²x . Получится простое квадратное уравнение относительно тангенса. Но там нужно учесть , что знаменатель не равен нулю. А так все просто.
Нет,так как не будет уравнения однородности 2 степени
решение за 10 секунд : это формула египетского треугольника 3-4-5, x=arcsin 3/5 или arccos 4/5 плюс производные от них по 2пи. других значений нет, тк нет других треугольников со сторонами 3-4-5 кроме прямоугольного. решено
а нельзя сразу разделить на синус?
Ну и получится 3 + 4ctgX=5/sinX и что с правой частью делать?
А можно вместо arccos3/5 взять arcsin4/5 они же равны?
Можно
А разве в третьем случае после приведения подобных получится не квадрат разности?
Это из Сканави за 92 год я помню только там найти максимум 5 это максимум значит производная -3sinx+4cosx=0 tgx=4\3 x=arctg4\3 там тоже три способа но другие.
Это вы в какой-то программе пишите? Все так аккуратненько. Я сначала думал с планшета снимаете, а потом бегающую точку заметил. Как вы снимаете такие видео?
По формуле дополнительного аргумента всё чётенько, но если такой ответ получил на экзамене как-то слегка стрёмно)
Я решил возведением обоих частей в квадрат и разложением 5 по основному тригонометрическому тождеству
ответ получился arctg(3/4)+Pi*n, что в принципе тоже самое
22:25 можно сказать что косинус не равен нулю т.к. нельзя делить на ноль,(мы можешь сокращать на любые число отличные от нуля)
Смущает только одно - как разные способы будут проверяться на экзаменах? Жизненный опыт показывает, что чаще всего преподы даже математики имеют формальное мышление. Поэтому им нужен заранее заданный ответ и заранее заданный способ решения. Никто не хочет заморачиваться. После сдачи экзаменов доказывать, что ты - не лох - себе дороже. К сожалению, ученик/абитуриент должен разбираться в психологии - с каким преподом как отвечать.
Еще будут такие уравнения?
Можно ещё заменить синус или косинус по основному тригонометрическому, прописать D(f), если нужно, потом возвести в квадрат часть с корнем и часть без корня, которая будет справа и тогда получится квадратное уравнение для косинус икс ( или синус икс), ответ будет арккос4/5, что равносильно ответу во всех решениях
При возведении в квадрат могут быть лишние кони, проверка в конце
Есть общая формула для таких уравнений: asinX+bcosX+c=0, b≠c -> x = 2arctan((a+-sqrt(a^2+b^2-c^2))/(b-c))
1 где делишь на корень из а^2+b^2 и 3 с формулами двойного угла
Неужели хотя бы 1 человек из 10 решил эту задачу? Признаюсь честно: я даже после разбора трёх решений в каком-то ступоре.
3 способ оказался понятен, но доделал его, разложив на квадрат суммы. Правда с первыми 2 так и не разобрался.
"А во время войны косинус доходил до 5!"© из анекдотов про военную кафедру
А ЕСЛИ РЕШИТЬ ЧЕРЕЗ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА a б и с?
Дурак что-ли? Там теорема Пифагора в чистом виде
а разве при делении в 3 случае на синус/косинус не исчезают корни . Расскажите пожалуйста при каких условиях исчезают корни
в данном случае не исчезают. при делении на выражение с переменной решением не сможет стать значение переменной, при котором это выражение(на которое делили) обращается в 0. т.е. при делении на выражение с переменной необходимо проверять те значения переменной, при которых это выражение обращается в 0. решение разбивается на 2 случая. в конце нужно объединить ответы. на 3ем примере: при cosx=0 , получается что sinx=0, чего одновременно быть не может. (например т.к. (sinx)^2+(cosx)^2=1 )
Я решал так заменил косинус на синус через основное тригонометрическое тождество и возвел в квадрат и все решилось у меня
Самый простой и самый красивый - первый способ
Спасибо!
Все 3 способы понравилось
Спасибо за объяснение)_
Отлично.Спасибо !
можно было представить косинус как корень из 1-sin(x) в квадрате дальше все будет просто
можно как неоднородное уравнение 2 порядка через половинный аргумент
Если ученик слышал о египетском треугольнике, он решит это за 2-3 секунды.
Чтобы доказать, что арксинус 3/5 равен двум арктангенсам 1/3 нужно, чтобы их разность была равна нулю.
Та не , ты шо дед , быть не может
може, сынку, може...
Я просто зпаписал 3sin(x)+4cos(x) как 5cos(x-arctg(3/4))
а не проще ли решить уравнение sinX-cosX=0?
Предельно понятный анализ задачи 🍑
А можно было через основное триг тождество, просто в виде корня с косинусом представить?
2-й способ - универсальная тригонометрическая подстановка.
Возвести обе части в квадрат, представить 5×1 = 5×( sin²x + cos²x . Дальше формула квадрата разности => делим обе части cosx, получаем tgx....
Я тоже сначала пробовал этот вариант, но у меня ответ вышел иной.
*(3sinx+4cosx)²=5²;*
*9sin²x+24sinxcosx+16cos²x=25;*
*9sin²x+24sinxcosx+16cos²x-25cos²x-25sin²x=0;*
*-16sin²x+24sinxcosx-9cos²x=0 | : (-cos²x);*
*16tg²x-24tgx+9=0;*
*tgx=¾;*
*x=arctg¾+πn.*
_Прошу Валерия разъяснить, что не так._
Да, так тоже можно, только при возведения в квадрат нужно было дописать условие положительности левой части, что приведёт в конечном ответе к отбрасыванию угола в 3-ей четверти, где синус и косинус будут отрицательны, тогда окончательный ответ будет x=arctg¾+2πn, этот ответ равносилен ответам в видеоразборе. Кстати, попробуйте самостоятельно доказать, что arctg(3/4)=2arctg(1/3).
Valery Volkov, не дописал, но имел это в виду. Тоже хороший способ.
Valery Volkov если и синус и косинус икс находятся в первой четверти,знаком плюс как они могут быть отрицательными при возведение в квадрат?.Обьясните пожалуйста
Valery Volkov извините можете подсказать? В книге написано что объединение двух формул п-а и а равно (-1)в степени n arcsina .Вопрос как объединить знаете, могу ли я отправить вам эту формулу через вк, если не мог к вам довести идею
я выразил косинус через синус - получил квадратное уравнение относительно синуса , ответ арксинус 3\5, но первый способ поприятнее
Применить универсальную подстановку и решить
мгновенно вижу намёк тригоном. функцию
Первый способ наиболее удобнее, но самым лёгкий - третий
Можно наверно возвести в квадрат обе части и сбацать однородное уравнение
У первого способа не приведено доказательство, что 3/5 и 4/5 представляют значения синуса и косинуса какого-то угла. Просто пропущен этот момент.