CALCULER L’AIRE DE LA FIGURE ? Quel sera ton chemin ?
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- Опубліковано 11 чер 2024
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Nouveau calcul d'aire.
On a un trapèze rectangle avec une seule longueur mais quelques angles, sauras-tu en calculer l'aire ?
On va utiliser un résultat surpuissant sur le triangles 30-60-90
Perso j'ai utilisé la trigo, mais merci de m'avoir fait découvrir la technique avec le triangle, et l'aire du trapèze aussi, je l'avait jamais vu en cours, c'est vraiment pour ça que j'adore cette chaîne ça m'a fait découvrir plein de petits "raccourci" comme par exemple sin(30) = cos (60) = 1/2, qui rendent certains problèmes bcp plus faciles et moins long à faire (3 calculs de trigo c'est assez lourd quand même et avec les arrondis un petit écart se creuse au final).
Heptz :)
Pour le fun:
vérif par les aires des triangles:
Celui du haut: 6x2xsqr(3) / 2 = 6xsqr(3)
Celui du bas: 4x4xsqr(3)/2 = 8xsqr(3)
8 + 6 = 14 :)
De mieux en mieux, excellent en mettant plusieurs méthode plusieurs propriétés
Merci 😊
Merci prof !
J'ai effectué le calcul des longueurs , surfaces des triangles rectangles, à partir des sinus, cosinus, nécéssaire si les angles sont autres que 30 et 60
J'en ai même profité pour réviser ensuite les formules des triangles quelconques, sans angle droit.
Bonus , la formule du trapèze.
Qu'on aimerai avoir ce genre de prof pour nos enfants... Merci à toi
Faire un cours sur UA-cam et à une classe de 35 élèves avec des niveaux très hétérogènes sont deux choses complètement différentes
Je l'ai fait avec la trigo avec la somme des triangles rectangles, et oui, on trouve bel et bien 14 sqrt 3, avec BEAUCOUP d'étapes.
Déjà, il faut toujours se souvenir que :
- cos 60° = 1 / 2
- sin 60° = sqrt 3 / 2
Donc partant du moyen mnémotechnique SOH CAH TOA, on trouve 4 pour "l'hypoténuse" du trapèze et 4 sqrt 3 pour la diagonale.
Mais si on reste comme ça sans modifier la figure, ça nous fait une belle jambe. Alors ce qu'on fait, c'est qu'on crée un nouveau segment qui forme un rectangle avec la petite base, une partie de la grande base et la hauteur, ce qui sert pour justement la hauteur du trapèze, qui fait 2 sqrt 3.
Et là, tu vois un triangle rectangle dans lequel on connait deux longueurs, et donc théorème de Pythagore qui fait qu'on trouve la longueur de la petite base, et donc 6.
Et là, c'est que du bonheur : (hypoténuse * diagonale) / 2 + (hauteur * petite base) / 2 = (4 * 4 sqrt 3) / 2 + (2 sqrt 3 * 6) / 2 = 14 sqrt 3
C'est tout pour moi !
Ah le fameux triangle 30-60-90. A connaitre!
Bonjour, merci pour ces rappels. En haut à gauche tu as inversé les 2 angles 30 et 60 degrés. Juste pour le détail.
Ce n'est pas inversé mais c'est juste mal dessiné :)
Pour des enfants le triangle en haut à gauche est trompeur, l'angle noté 30 est visiblement supérieur à celui noté 60, j'avais l'impression que SIN et COS étaient sortis dans le désordre du triage 😉
Et le côté X apparaît plus grand que le côté Xv3 dans le triangle en exemple en haut à gauche.
Petite faute d’inattention.
Merci professeur et vous.
c'est juste histoire de bien perturber les novices
@@Darwiin88 En cours magistral, les formules c’est bien, même indispensable, pour les cas compliqués.
Pour les cas plus intuitifs, simples, facilement schématisable , il veut mieux un schéma conforme à la situation présentée.
C’est pas seulement trompeur pour les enfants 😂
Si comme moi, tu te régales de ces vidéos qui donnent des super idées comment apréhender ces sujets avec ses enfants avant ton premier café le matin, ça fait pauser 3 secondes 😉
J'abaisse la hauteur du triangle d’hypoténuse 8 sur cette hypoténuse. J'obtiens à gauche un petit triangle rectangle possédant lui aussi un angle de 60°. Par divisions successives par 2 (i.e. *cos 60°), j'obtiens l'hypoténuse et le petit côté de ce petit triangle, resp. 4 et 2.
J'en déduis l'autre côté (par Pythagore, sin 60° au côté 4 ou kif kif √3 au côté 2), c'est la hauteur abaissée :
h = 2 √3 (J'ai piqué le symbole √ un peu plus bas : copié-collé).
Ne me rappelant pas par cœur la formule de l'aire du trapèze, je complète celui-ci par un petit triangle à gauche égal à celui qu'on vient d'étudier, mais tête bêche, pour en faire un rectangle. Je retire de l'aire du rectangle celle du petit triangle (ce qui revient en gros à retrouver la démo de la formule de l'aire) pour trouver :
A = (8*2√3) - (2*2√3 /2) = 7*2√3 = 14√3.
Ok pardon pour ma lourdeur mais j'ai encore besoin de sentir que je maîtrise l'origine d'une formule pour m'autoriser à l'appliquer, je me suis donc rédigé ceci :
Dans un triangle rectangle, dont les deux autres angles sont de 30° et de 60°, le plus grand des deux côtés partant de l'angle droit est toujours opposé à l'angle de 60°, le plus petit étant donc lui toujours opposé à l'angle de 30°. Lorsque l'hypoténuse vaut 1 le côté opposé à l'angle de 30° vaut 1/2 et le côté opposé à l'angle de 60° vaut ✓3/2 .
Toutes proportions gardées, il s'en suit que pour tout triangle rectangle de ce type (quelques soient ses longueurs) en posant par commodité que les 3 côtes soient trois frères d'âges différents
Le plus grand, l'hypoténuse étant l'aîné, celui du milieu le benjamin et le plus petit le cadet, on aura toujours :
Aîné = x
Benjamin = (✓3/2)x
Cadet = (1/2)x
Nous pouvons nous débarrasser des dénominateurs en multipliant chaque "frère" par 2 sans rien changer au proportions et nous obtenons
Aîné = 2x
Benjamin = x✓3
Cadet = x
Même si la trigo est particulièrement indigeste avec les formules et les valeurs remarquables, ça me semble bien plus pertinent que le cas particulier des triangles 30-60-90 (qui n'est qu'une application de la Trigo)
je suis arrivé a ce résultat mais en faisant différemment, j'ai trouvé le triangle inscrit dans un cercle, j'ai calculé tout les angles, j'ai pu trouver un triangle équilatérale, après j'ai calculé la hauteur de ce triangle avec Pythagore, et calculé l'aire du trapèze
Merci
Salut merci pour ta démo moi je n'ai jamais mémorisé ce triangle particulier car il est facile à trouver en passant par le cercle trigonométrique. Et pi/3
Merci.
Ma méthode : à l'aide de la longueur 4 trouvée avec le premier 60°, on trouve que la petite base est (8-2) = 6 et la hauteur, 2√3.
Par suite, l'aire est ½ (B+b)h = 14√3
NB : j'ai utilisé un ''petit'' triangle rectangle (hypoténuse = 4) ''à l'intérieur'' du triangle.
Pour le triangle 90-30-60, on peut lui adjoindre une copie symétrique pour former un triangle équilatéral et on se rend compte que la cathète côté de l'angle de 60 degré est la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Très intéressant, mais est-il accepté d'utiliser les propriétés de ce genre de triangle rectangle pour une démonstration en cours de math ?
Aire du trapèze + angles complémentaires + Trigonométrie (Cosinus, Sinus) tu trouve rapidement les côtés.
La formule pour l'aire d'un trapèze, on nous l'a rappelée au brevet blanc donc je la connaissais. J'ai utilisé l'autre méthode : calculer l'aire des 2 triangles, et j'ai trouvé 14√3.
MERCI BEAUCOUP GRACE A TOI JE SAIS TROUVER LES LONGUEURS D'UN TRIANGLE SEULEMENT AVEC UNE LONGUEURE! Continue comme ca !
Oh là là, attention, ça ne fonctionne qu'avec des triangles 30-60-90, sinon, faut passer par la trigonométrie (en soit, c'est fastoche quand on connaît, mais c'est beaucoup moins gracieux)
Dans ce cas on connait une longueur mais aussi 3 angles 😉
On s'en sortait aussi avec la tambouille trigo, mais effectivement c'est plus simple avec le triangle remarquable
oui mais le triangle remarquable vient soit de la trigo, soit de Pythagore... et là il est sorti du chapeau 😅
PS: c'est facile de baratiner au tableau, mais sur la copie il faut rédiger nickel 😁
Hello Prof. Merci pour cette vidéo. Ça faisait un moment que je n'avais pas joué 😉 Perso j'ai additionné les aires des triangles 😅
Super 😃
Sin60° = (✓3)/2, Sin30° = 1/2
Le 4 côtés :
en bas : 8
à gauche : 8/2 = 4
à droite : (4✓3)/2 = 2✓3
en haut : (2✓3)(✓3) = 6
l'aire = (6 + 8)(2✓3)/2 = 14✓3
Superbe calcul.
Je suis pourtant de la vieille école ( collège dans les années 60 ) mais je ne me souviens pas que le prof nous ait parlé de cette propriété ou alors j'étais malade.
Il n'y a aucune propriété... C'est juste cos60= 1/2 et sin60=sq(3)/2
C'est juste un raccourci en connaissant les valeurs de cos/sin/tan 30/60 venant de la trigono
Comme ça, j'aurai calculé le 4 grâce à la trigo puis le 4racine 3 grâce à Pythagore ensuite j'aurai défini une droite perpendiculaire à 8 passant par le sommet en haut à gauche( pour faire un rectangle+ un triangle rectangle. J'aurai calculé cette longueur grâce à la trigo avec 4 et un angle de 30 tout en haut. puis la base 8 coupé par cette droite grâce à Pythagore. Avec toutes ces valeurs on a l'aire d'un rectangle+ l'aire du triangle rectangle à gauche. Ça marche mais c'est quand même moins classe que le triangle 30-60-90 lol
Rhhhhoooo que c'est beau !
Bonjour, il y'a moyen de retrouver les proportions x; 2x; x✓3 avec sin et cos pour des angles égaux à 30° et 60° sur un cercle trigo ?
C'est la base!
Dans un cercle de rayon 1: cos 30°=sin 60°=√3/2 et sin 30°=cos 60°=1/2
et bien sûr cos 45°=sin 45°=√2/2
Après il y a plein d'autres lignes trigo qui étaient utilisées quand on avait pas de calculatrice !
Je suis passé par le théorème des sinus et j'ai trouvé le même résultat
J'arrive au résultat sans calculer les cotés de l'angle droit du petit triangle simplement en remarquant que les deux triangles sont semblables et que leur superficie est dans le rapport de leurs dimensions au carré, soit [4*racine(3)/8]^2 = 3/4
on a donc A1 = 4*(4*racine(3))/2 = 8*racine(3) et A1+A2 = 8*racine(3)*[1+3/4] = 14*racine(3)
Il n'y a pas besoin de calculer la diagonale. Une fois qu'on a le côté qui vaut 4 on calcule la hauteur du grand triangle et puis le bout à gauche de la hauteur fait 2, et puis b=8-2 et c'est fini :)
ces facile j'ai fait sa pendant trois ans toutes les sauce
tu me donne un angle et une longueur avec les formule de base de la trigo tu retrouve toutes les longueur et j'aurais pas transpiré longtemps, je connais toutes les valeur en sin et cos des angle remarquable
il n'y a pas une erreur sur la figure en haut à gauche, avec une inversion des angles 30 et 60° ?
Oui il me semblait aussi, et le X qui est égale à 4 devrait être au dessus et non pas à gauche ?!
@@gegetlse Non, c'est bien ça, c'est juste dessiné à l'arrache, les angles sont pas respectés, mais sinon, c'est bon.
@@GileadMaerlyn Les angles sont pas respectés, les distances non plus ! Vous voyez bien que le côté 2x n'est pas deux fois plus long que le côté x. Comparez avec un triangle 90 - 45 - 45, ça saute aux yeux !
@@HerveDUVAL-xs8mh C'est bien parce que les angles ne sont pas respectés que les distances sont fausses. Les 2 sont liés.
C'est juste un schéma explicatif, pas une représentation précise et fidèle.
@@GileadMaerlyn On est quand même plusieurs commentateurs à avoir fait la même remarque, et moi, ça m'a perturbé qques minutes. La trigo est une matière suffisamment compliquée comme ça, si en plus les schémas sont trompeurs !
Premier que je réussi !!! Bon petit problème mon résultat final c'est ça : Aire=
Sin(60)×16+Cos(60)×Sin(60)×24
Voila voila, si tu veux tout savoir je suis en troisième et je suis le meilleur de la classe et de loin 😅 (100/100 brevet blanc de maths)
Salut monsieur Iman, je veux vous poser une question : Quel est votre origine ( vous venez d'où) ? Juste une question de curiosité 😅 Si vous voulez bien ❤
A 3:41, y a comme un défaut dans le croquis, ou les angles de 30 et 60 sont inversé , ou le croquis est du triangle est carrément loupé
Rhôôôôô.... Je ne connaissanis pas la propriété du triangle rectangle avec les angles 30° et 60°... ou alors l'ai-je oublié ??? Très bien vu prof, décidément, vous êtes un redoutable pédagogue !
Une découverte alors 😊 Merci pour le message
Il n'y a aucune propriété... C'est juste un raccourci en connaissant les valeurs de cos60... C'est de la trigono classique
@@Darwiin88 C'est surement pour ça, mes cours de trigo remontent au siècle dernier 😶
J'ai fait comme vous, mais en calculant l'aire des deux triangles et pas celle du trapèze. L'aire du triangle 1 vaut (4x4√3)/2=16√3:2=8√3. L'aire du triangle 2 vaut (2√3x6)/2=6√3. L'aire totale vaut donc 14√3. et on retrouve un petit (8+6)√3 qui ressemble furieusement à la formule du trapèze...
Moi j'aurai fait bêtement avec la trigo ...
Mais c'est ce qu'il a fait...
Tout à fait. Mais le point de vue est différent
Je suis parti sur le calcul d'aire d'un trapèze. Parce que je suis vieux 😆
😆
Une bière, des cacahuètes et une feuille de brouillon et je me lance tête baissée dans la trigo...
La méthode proposée ici était nettement plus digeste que la mienne !
La trigonométrie dans les triangles est roue de secours quand les angles ne sont pas sympas : 30, 60, 90.
Mais quand les 3 angles du triangle du bas sont par exemple 42, 48, 90
Ils sont chelous les angles dans ton triangle en haut à gauche 🙂
Bien sûr ils sont inversés, comme les côtés du coup car x√3 > x
Encore une fois, expliquer au tableau c'est plus facile que de rédiger !!!
Désolé mais le x√3 vient soit des lignes trigo soit du théorème de Pythagore... et là il est sorti vite fait du chapeau !
Les rapports 90°, 60°, 30° évoquent les lignes trigo: rayon 1, côtés √3/2 et 1/2.
Et ce n'est pas une galère mais du basique.
Ce qui est intéressant de voir, c'est que les triangles sont proportionnels.
Et donc que leurs surfaces sont proportionnelles à l'une de leurs mesures au carré, l'hypothénuse par exemple.
Dans un cercle de rayon 1, cos 30°=√3/2 et sin 30°=1/2
Le grand triangle a donc pour côtés 8, 8√3/2=4√3, 8/2=4
Le petit triangle a pour hypothénuse 4√3
Rapport entre les hypothénuses: 8/(4√3)=2/√3
Rapport entre les surfaces: (2√3)²=4/3
Surface du grand triangle: 4√3 x 4 / 2 = 8√3
Surface du petit triangle: 16√3 x 3/4 / 2 = 6√3
Surface de la figure: 8√3 + 6√3 = 14√3
Explication:
Le grand triangle a 2 angles de 90° et 60° et donc un 3ème de 30°
Le petit triangle a 1 angle de 90°, 1 angle de 60° (90°−30°) et donc un 3ème de 30°
Les deux triangles ont donc les mêmes proportions.
Connaissant l'hypoténuse du grand triangle, on déduit les valeurs de ses 2 autres côtés.
Le plus grand des 2 autres côtés du grand triangle est égal à l'hypoténuse du petit triangle.
Le rapport k entre les 2 hypoténuses permet de calculer le rapport k² entre les surfaces des deux triangles.
Il reste donc à calculer la surface du grand triangle pour connaître celle du petit triangle, et donc la surface de la figure complète.
Troize
Le 4 rac 3 est mal écrit et ça me perturbe lol
je pose A1 comme étant l'aire du triangle rectangle d'hypoténuse 8 et A2 celle de l'autre triangle rectangle. A sera l'aire totale de la figure géométrique illustrée.
A1=(4*4*3^0,5)/2=8*3^0,5 unité d'aire (UA)
A2=(6*2*3^0,5)/2=6*3^0,5 unité d'aire (UA)
l'aire totale vaut :
A=A1+A2=8*3^0,5+6*3^0,5
A=14*3^0,5 unité d'aire (UA)
on obtient donc la même aire qu'avec la méthode de résolution proposée dans la vidéo. (ouf 😂😂)
bon exercice pour le rappel au passage de la propriété d'un rectangle 30-60-90. cela évite de sortir la grosse artillerie. lol. merci.
👍
4✓3 vous avez mis 6✓3 sinon j'ai apprécié la vidéo
C'est faux en 3'41", inversion de 30° et 60°.
preums
Dommage que le triangle 30 60 90 soit à l’envers
C’est contre intuitif
Deuz
Le côté de longueur 4 ne nous sert pas
En effet.
7racine de 12 en passant par cos60. Ça revient au même tout ça. Essayez de parler moins vite . Sinon merci pour vos videos
vous parlez trop vite
Je pense plutôt que vous écoutez trop lentement ! 😂
C'est 2 moitiés de triangles équilatéraux
Le côté opposé à l'angle droit c'est le côté du triangle ( disons a)
Le côté opposé à l'angle de 60° c'est la hauteur = (a✓3)/2
Le côté opposé à l'angle de 30°c'est a/2