【数学】悪名高い ε-N 論法とは？【ずんだもん解説・ゆっくり解説】

[@ataualpha7456]

εδ習ったときに教授が、数学者たちが納得する隙のない証明の形として
これで納得した（することにした）と言っとった。
文章での証明で様々な表現があるかもしれないが、この固定したやり方で
無駄な隙を探すことを排除できるし楽ってことだわな。
同時に、故に数学は暗記する面が強くなったとも仰っておられた。

[@バターズ-o5e]

証明…？
定義な

[@dworld-zz]

作者は数学を勉強しながら動画を制作しているので、誤りが含まれている可能性があります。
間違いに気づいた方や、補足情報・関連情報をお持ちの方は、コメントで教えてもらえると助かります。

[@kitafok8731]

死ぬほど分かりやすい。最後の例題は、他の話にもたくさん応用できそうですね。

[@RivusVirtutis]

ずんだもんのIQが珍しく高いチャンネル。
面白かったです。

[@kuropattsunbob]

ここのずんだもん声低めでかわいいね

[@山崎洋一-j8c]

この動画でいいと思った点は2つ。1つは、「∀n, n>N ⇒」の部分を「先頭のN項を捨てれば」と読む意訳。「∀」に引きずられて「Nから先はすべて」という読み方しか考えてませんでしたが、なるほど、逆の言い方のほうが分かりやすいかも。もう1つは、Nがεに依存することをN(ε)と書くと、「1つに決まるわけじゃないから関数のように書くのはちょっと…」と後ろめたかったのですが、関数にできるとは「限らない」けど、関数にできれば「それに越したことはない」、なぜなら「自動化できるから」という説明です。
和の極限については、「a_n+b_nは収束するがa_n, b_nそれぞれは収束しない」という例も出すとよかったかも？ あとたとえば「a_1=3, a_{n+1}=√(a_n+2)で定まる数列の極限を求めよ」とかで、極限をαとおいてα=√(α+2)を解いてα=2とやる場合、何でa_nが収束すると分かる？ それ確かめなくていいんだったら、「a_1=1, a_{n+1}=－a_n+1」とかでもα=－α+1でα=1/2ってやっていいことになるよ？とか…

[@かしわもち-r7l]

自分は理数系という幻想が打ち砕かれたトラウマ

[@TOTO-ik5uf]

気になってたやつだ！！！

[@jalmar40298]

n_0の具体的な定め方の議論で、「10^(-k)

[@karakara帝]

他の動画のずんだもんよりクレバーキャラなの草

[@mk2754]

位相空間上の収束の定義が一番しっくりくる

[@proper_tajiri8175]

13:30 εに対してn_0を一意に定める関数を用意する必要は別にないはずです。必要なのは存在性だけですから。確かに関数があった方が論証はしやすいかったり、その関数をさらに別の議論に用いたりできる場合はあると思いますが、ε-N論法それ自体に必要と言うわけではないでしょう。また、そのような関数が定義できない場合でそのような関数の存在性がどうしても欲しいなら選択公理を持ち出すことも考えられます。

[@merdekaataumati1949]

機械科の学生だけど、イプシロン-デルタ論法で習ったのだ。

[@slimea463]

俺も機械科で１回生のころε-δ論法と習った。
むずすぎるから分からなくていいよって書いてあった気がするが

[@砂糖ラーメン-b6s]

εNは無限大の時、εδは任意の値の代入でできるって感じで実は別物…
εNだとlim (x=♾️)、εδはlim(x=a)ってことやね

[@0723おい]

​@@砂糖ラーメン-b6sというか両者は収束を議論する対象が数列と関数で違うという点が1番カナメだと思います。εδ的にn→∞⇒f(x)→c(ただし-∞≦c≦∞)を示すこともあるので…

[@user-river_mountain]

8番ゲームはいいとして、スイカ出口はクソゲーな雰囲気しかしない…

[@proper_tajiri8175]

15:26 後で回収されているからまだ良いのですが、この仮定の用い方は初学者がやる典型的なミスであり、この順番でロジックを考えるのはよろしくないです。
まず、証明したいことは「和の誤差」がε未満に抑えられることであり、そのためにεを固定したわけですが、そこに対して使える仮定「a_nとb_nが収束する」はεとは関係ないわけです。
なので、a_nとb_nの許容誤差はそれぞれε_a, ε_bとでもしておき、「ε_a, ε_bはn_aとn_bの取り方によりいくらでも小さい物にできる」という事実に気を付けてから、本題の証明を考えていくべきなのです。
また、今回の場合ε_a, ε_bはともにε/2で十分でしたが、それは本来三角不等式でバラして評価できることに気づいてから分かることであり、しかも足し合わせたときに許容誤差ギリギリです。つまりε_a, ε_bを選ぶ作戦としては「危険」なのです。証明は多少スマートですが、初学者が適当にマネをすべきではありません。
足したときにεをはみ出てしまう恐れのある値を選ぶぐらいなら、ε/2よりももっと小さいε/100とかでもよいわけですし、とにかく「仮定から利用できるε_a, ε_bは目的に合わせていくらでも小さく取って証明に使える」ということを強調することが初学者に対しては重要だと思われます。

[@ringo2872]

ε-Nよりもε-δの方がしっくりくる人いる？

[@ssd8789]

おそらくいません
ε-N論法は
数列の項が十分進めば、ある点を中心としたどんなに小さなエリアへも入ってゆく　とき
それは収束する数列で、その点は収束先と呼ばれる　というだけの定義です
しかしε-δによる関数の極限f(x)→A (x→a)は、
Aの近くという言葉がどんなに狭いエリアを指していても
十分aの近くのx≠aなら、f(x)はAの近くにいる　ようにできる　ということですから
あれを実数の世界で二重に考えたようなもので、いくらか難易度があがっています

[@oikuraEuler]

じゃあ俺逆張りやからε-δの方がしっくり来るわ

[@user-ameno_]

先にε-Nを学んだからかもしれませんが 、δの方が理解しやすかったです

[@paeria_haigin]

くっそてきとうに​要約するとε-N論法は数列でε-δ論法は実数。ε-δ論法はε-N論法より強い。

[@ringo2872]

@@ssd8789関数と数列に関する別の定義なのか…よく見てなかったわ

[@175ch]

この問題の真実って、「許容誤差0」なんじゃない？
つまり、許容誤差が0に収束するってこと

[@ファイレク戦隊シェオルドレッド]

8番ゲームは草

[@ktom8142]

理系の大学って普通はこんな難しそうなこと1年で全員やるんですか？数学科だけですか？

[@nokemoyajuu]

全部ではないけど、数学科だけでもない

[@Razphyxia]

工学部は1年で習うらしいです
自分は高専出身ですが、高専2年の時にやりました

[@nekonekko9047]

95%の理系学生は学ぶと思います

[@天才の証明]

εδは分野によっては基本中の基本

[@ktom8142]

・・・まじか。自分は理系院卒だけど、一度も習ったことも聞いたこともない

[@試作遊戯]

悪名高いのか？
ε-N論法を知ってから"極限"の意味がめっちゃ分かりやすくなったけど。
高校の極限は感覚だけで議論してる感じがして嫌だった。

[@neko523]

有名なやつだ

[@らわ-p2b]

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[@らわ-p2b]

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[@らわ-p2b]

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[@kitsune4546]

位相空間やるとεNに感謝するようになります

[@微塵子-l6f]

ε-Nは極限の「定義」だからわかるもわからないも無く「そういうもん」として受け入れるもんなんだよな。数学以前に文章力が問われてる
ε-Nでつまづくかどうかが、数学
を超えて学問全般への適性の試金石の一つなんだって経験的に理解した

[@distearroyl2673]

0.) 考えている公理系と「矛盾しない」ことを確認する事
1.) 「定義」が「主張」している内容を理解すること
2.) その「有用性」を理解すること
これらは全て別の話だと思うけど、「受け入れる」というのははたして何を指しているのでしょうか。

[@175ch]

「そういうもん」として受け入れるのは思考停止なんよ

[@微塵子-l6f]

@@175ch そういう話じゃないっすねー

[@毎日が夏休み-r5l]

数学のどんな定義だって我々の直感的なイメージを元に作られている。もちろん矛盾しないように多少の調整はあるだろうけど。
数学の命題を証明したり、難しい問題を解くときのアイデアというのは、直感的にイメージで理解しているから思いついたり、イメージを厳密に論理で書き下すことで解けたりする。だから定義が直感的に(εnの場合は図で)理解できることはかなり重要
まあ数学全般に言えることだけどね

[@175ch]

@@微塵子-l6f 「与えられた定義に問題はない」と思い込んでるのが思考停止。
極限やε-δ論法周りは数学というより文章問題だから、定義自体が間違っている可能性もあるんじゃない？

[@cot4rd]

数学と関係のない与太話だけど、参加料金募って自分が作った有料ゲームの賞品付き大会開くってワンチャン賭博罪が成立しそうねw
(日本のEスポーツでは、賞金を出す大会であればメーカーが賞金を出すのではなくスポンサーが出すだとか、
参加料金を原資にした賞金・賞品の提供をしてはならないだとか言う形で体裁を整えている)

[@おっタン]

8番ゲームで安定したプレイをし、スイカ出口ゲームで大胆なプレイをして運の良かったやつが優勝すると思うのだがｗ

[@まるまる-p7c]

全員の実力が拮抗していて、全員が1位を狙わなければいけない場合はその戦術を選ばざるおえないだろうね。

[@天才の証明]

同時に実数のキモさも露わになったんよな

[@磯村康之-i2i]

次の数列は、0 に収束するでしょうか？
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, …
だんだんと0の出現個数が増えるので、そのうち0だらけになります。
0に近づいていく、という曖昧な表現のままでは、人によって結論が異なってしまいます。
ヒトは無限の操作ができない生き物なので、論理による判定法があるとはっきりします。ε-N論法やε-N論法は、無限の操作の代わりに、論理によって判定する発想です。素晴らしい発明ですが、理解するまではすっごいストレスですよね笑
動画面白かったです！

[@磯村康之-i2i]

ε-Nがふたつ並んでしまっていますが、ふたつめは関数の収束についてのε-δと書きたかったです。コメント編集がバグってて編集できなかったので、ここに追記しました。

[@ssd8789]

@@磯村康之-i2i
残念ながら普通の意味では収束しません
収束とは「収束先を中心としたどんな小さなエリアに対しても、十分番号が進めばそれ以降はそのエリアへ入ること」を指します
0を収束先と仮定して、0中心の半径0.5のエリア(※開球体)を用意してみましょう
0だらけとは言ってもいずれはまた1が来るので、いくら番号が進んでもエリアの外へ出てしまう訳です　したがってその数列は普通の意味で収束しません
しかし収束先に似て非なる概念「下極限」は計算できます
ある数のセットSについて、S内のどの数よりも小さい数のうち一番大きなものをSの下限inf Sと言うのですが
lim n→∞ ( inf {k番目の項 | 条件kはn以上} )で定義される下極限は計算できて0となります
普通の収束列では下極限と上極限(〜大きい数のうち一番小さいもの　に書き換えた概念)が一致して「収束」だと言うので、見方を変えれば今回は惜しいのかもしれません
余談ですが、より抽象的な空間でその数列が定まっているのならまた話が変わります
実はこの動画でいう収束とは、「通常のトポロジー」と呼ばれるエリアの取り決めでの話となっています
したがってエリアをセット{0,1}と無∅しか考えない(つまらない、自明な)空間なら、その数列?は収束するのです
例えば空間を0,1から成るセット{0,1}とし、密着トポロジーという取り決め(先のもの)でエリアを考えます
これなら「0含むどんなエリアに対しても、番号が十分進めばそのエリアへ入る」ので0へ収束します　同様に1へ収束するとも言えてしまいますが

[@北島けいすけ]

ε−N論法が難しいんじゃなくて、まず実数が難しい。
「自然数で番号付けされた数列を使って、操作を無限に繰り返すんだったら、別に有理数の集合だけで理論を展開しても良くないか?」という疑念がある段階で、その学生は沈没している。
「√2などの数値計算は結局、1ステップごとに、有理数で挟み込むのだから、それを無限に繰り返せばいい」という、曖昧な捉え方で、気づいたらε−N論法どころか、関数の極限まで話が進むのが怖いところである。
こういった学生には、とにかく「その極限が必ず、有理数の集合の中に存在するかは、明らかではないよね」とか
「この数値計算の方法では、″唯一つの″実数が選ばれるかどうかが、明らかではないよね(√2に対応する数が2つあって、それぞれ等しくないかもしれないよね。)」という話をして、
何が自明でないのかを確認して、実数と極限をしっかり理解することが重要。
(それを理解しなくても、ある程度のfまで可積分であるとか、テイラー展開可能であるとか、仮定してしまえば、ベクトル解析まで理解できると言われればそれまでだが)
8:30
この定義は、⇒の記号が入ってないんですけど、そのことは動画でfollowされているということでしょうか？

[@北島けいすけ]

​@@ssd8789P⇒Qタイプの定義が、Qだけの定義で書ける場合があるのですね。これは驚嘆しました。

[@jalmar40298]

>この定義は、⇒の記号が入ってないんですけど、そのことは動画でfollowされているということでしょうか？
これは一階述語論理の論理式でよくある略記の仕方です　知らないのであれば適当な文献を調べてね

[@北島けいすけ]

​@@jalmar40298まず、あなたがその文献を記載するべきですよ（笑）

[@saundersN]

例えば,
∀ε > 0
でさえ,
∀ε [ ε > 0 ]
の略記.
集合A(あるいは領域A)の要素となる変数 x において,
∀x [ x∈ A ⇛ P(x) ]
∃x [ x∈ A ∧ P(x) ]
をそれぞれ
∀x ∈ A [ P(x) ]
∃x ∈ A [ P(x) ]
と略記する.
”∈” のような所属関係と同様に, 大小関係も「区間への所属」と読み替えれば同じ理屈が通用する.
さらに解析学ではほぼ, この[ ~ ] のスコープを表す括弧さえ省略する. （動画のように. )
該当箇所を冗長に省略せずにそのままの順序を保って表現すると,
∀ε [ ε > 0 ⇛ ∀n_0 [ n_0 ∈ N ∧ ∀n [ n > n_0 ⇛ | α - a_n | < ε ] ] ]
解析では慣習で, 動画のようにこれを何重にも省略したかなりルーズな記述をすることがしばしばあるけど，逆に論理学ではスコープまで省略することはあまりないね.
”∀” と ”∃” では, ”⇛” と ”∧” の部分が異なっているので, 動画の該当箇所では,
∀n > n_0
の部分の ”∀” が ”∃” だったなら, 動画のように ”⇛” を省略すると意味が変わってしまうから使えなくなる.

[@伊州厘界]

∃n0∈Nの解釈が間違っていると思います。
具体的には、n0を最小値にする必要はなく、最小値＋１でも良いし、多対１の関数でも問題ありません。どのような関数でも解が存在していて、その解がn0の条件を満たすことが証明できれば問題ないです。
それと、∃n0∈Nのn0が満たす条件の下線が∀n>n0になっていましたが、条件は最後までの方が適切だと思います。

[@シャラリラ歌謡曲]

私、これで数学科から別の学部に転部しました。

[@175ch]

同じく、これで数学が嫌いになった

[@ittousaiBL]

昔あった禁煙パイポのCMを思い出した
辞めたいひ～とのイプシロンデルタ♪

[@ittousaiBL]

このチャンネルのずんだもんの声は若干低くて違和感があります

[@dworld-zz]

ウチのずんだもんは、わりと悪どいことをしたり、ひどい目にあったりするのですが、デフォルトの声だと軽すぎて感情が乗らなかったりしたのです。

[@chan-nira]

そこがええんよ

[@スギ花粉-b7p]

個性あっていいと思う

[@yasusuyasuya_yaeikiiki]

違和感っていいよね

[@ナックル-f4x]

でかい！説明不要