【2024大阪大学 】理系 第1問 数Ⅲ 微積分 極限 定積分 不等式

[@kazusaka4063]

(3)の設問からはn anに収束値が存在しそう　と思いながら(2)を解く
x=1/nとx=2/nを代入　極限をとると　2-e/2　と　2-e^2/2　と正負が分かれる　1/n

[@chiho_juken]

受験生は、注目のコメントです❗️
x=1/n, 2/n を代入する。
是非、やってみてください。
また、(3)のαと仮定も、超大切な内容です。
超絶ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)

[@tonaiSE]

上に凸の単調減少関数なので、接線とx軸の交点がnの式になることを期待し、上から評価する方法もあります。
（0,3/2）の接線とx軸との交点を求めると、0

[@chiho_juken]

なるほど、接線を導入する方法ですね。
π/3は、使えますね！
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)

[@tonaiSE]

@
まちがえました。
0

[@chiho_juken]

ニュートン法の近似値⁉️
恐れ入ります。ぺこり。

[@善なんよ-n6u]

（2）のanの極限は（3）でわざわざnanの極限を聞いているから最初から0になるだろって決め打ちしていたので、0に収束するπ/nを代入してf（π/n）が0より小さくなったからf(x)が単調減少関数という特性から符号変化が0からπ/nの区間の間で起こりanはその間の数だろうってわかりました。（3）はおまけのような問題なので（2）ができれば問題ないはず。anがどのあたりに存在するのか、どうやったらゼロに収束する数で挟めるのかはある程度演習しなきゃ悩むかもしれないからそんな簡単な問題でもないですがこの年の阪大にしてはマイルドな問題です。

[@chiho_juken]

おっしゃる通り、よく出る方式ですから、阪大受験生には簡単だったと思われます。
0に収束する数を見つけるのが大切ですね。
π/nの説明、助かります(^^)ぺこり。

[@bkkboy-cm3eb]

f(x)=1-e^(nx)/2+cos(x/3)
f‘(x)=-ne^(nx)/2-sin(x/3)/3
≦-n(1+nx)/2+1/3
≦-n/2+1/3≦-1/6
f(x)は単調減少、f(0)=3/2>0, f(∞)=-∞
なので実数解は1つ。
e^(na[n])=2(1+cos(a[n]/3))≧1
na[n]=log2+log(1+cos(a[n]/3))
log(1/2)≦log(1+cos(a[n]/3))≦log2 より
log2+log(1/2)≦na[n]≦2log2
0≦na[n]≦2log2→0≦a[n]≦(2log2)/n
∴挟み打ちの原理より lim[n→∞]a[n]=0
n→∞の時 log(1+cos(a[n]/3))=log2より
lim[n→∞]na[n]=2log2

[@chiho_juken]

受験生は、f'(x)と挟む不等式を、よーく理解してください。
一つ一つ手順を踏めば、こちらのコメントのように見やすくに表記出来ます！
今日も、シンプル解答をありがとうございます(^^)