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すごく勉強になりました。「定義に戻る」とても大事なことだと思います。
貫太郎さんってどこにでもいるから面白い。
ここまで貪欲になれる人も珍しい
貫太郎さんをここで見かけるとは
最近教育系UA-camrの繋がりが強くてよき
貫太郎ここにも来たwwwkogaさんとコラボみたいなあああああああああ
5:24「わからなくなったら定義に帰る」全くその通りだと思った。問題が解けない時は殆どの場合定義を理解していない。この考えによく救われる。
Una Owen 俺も。今まで理解出来なかった内の99パーが定義の曖昧さだった。
ヒソカ 定義がわかっていても解けない問題はあるにはありますが、わかっていないから解けないこと（わかっていれば解ける）の方が多いですよね。
確かに。
一致しないけど限りなく近づくっていうのはいわゆるストーカーですね！
危害を直接加える前の陰湿な段階で草生える
それが「極限」
その発想はなかったわ w
“aと異なる値をとりながら...”ちゃんと青チャートには赤線が引っ張られて書いてありましたw代入すればとりあえずいいと理解していたので勉強になりました
試験対策で時間節約の反射解答を繰り返していくうちに、極限の定義を忘れて代入=定義に置き換えられてしまう罠のひとつかな。法律などでもいつしか総則を忘れ、局所的な条文解釈に籠もっていると、脳内に誤った解釈を付け加えてしまう罠と一緒ですかね。
こんなに極限の真髄までわかる解説は初めてです
関数y=(x^2-4)/(x-2)のグラフを書いてみるとより理解が深まるかも。
トップクラスで分かりやすい講義だと思います。古賀さんの動画を見て理解を深めることができました。
8:30くらいからの放物線めっちゃきれい
高校数学ではε-N、ε-δなどの厳密な定義がなされないから、"限りなく"といった微妙な言い方も誤解の遠因となっていると思われる。
SIGMA？
@@user-wn8yf3xm7d ε-N、ε-δはそれぞれ「イプシロン-エヌ」、「イプシロン-デルタ」と読みます
ε-δ論法は高校数学でやった方がいいと思う（頭の柔らかいうちに）。「aと異なる値を取りながら、限りなく近づく」って、なんとなくわかった気になるけど、「限りなく近づく」ってところの「限りなく」ってところがヤッパリよくわからん（笑）
「限りなく」って結構分かりやすくね。「どんな制限(限り)を設けても必ずそれを達成する」っていう、そのままの意味だから。
教科書にご丁寧に点線で書いてあった……やっぱり教科書は熟読するものだと痛感しました……
「aと異なる値をとりながら」の大事なポイントを忘れていました。古賀さんの熱心さに引き込まれて、最後まで受講させていただきました。これからも、数学に関して誤解しがちなところの講義も引き続きお願いいたします。
ふつうに先生教えてくれる うちの数学の先生まじで有能だわ 去年から今年で偏差値15くらい上がったし
おむ やるやん
偏差値30から45説
屋上先輩 ええ、、、、、マーク模試0点から45点くらいかな。
@@user-ln1uq6vw8d それもすばらい！
高橋一生って数学得意だったのか
思った
本物もわりと得意そう
犬飼貴丈にも似てるかも
なわけなくて草
入試問題の解法を覚えるよりこういうことを追求したい
デブ磨呂 それは思った
せめてそういう研究からの要請で諸問題の解法を覚えるという流れがほしいもんよね。小～高等学校では法的に制限としてのカリキュラムが（高校は大学入試の公平のための諸諸が）あるせいで技術としての数学以上を教える余裕がなくなるのだ！もう義務教育込みで進級・編入・単位取得試験のみの16年制教育でよくね？卒業は任意年度で。
まじでそれ思う
@@absant2913 そうですね例えばイプシロンデルタを背景とした入試問題などはそれに当たると思います数学そのものはこういったことを追求する学問だと思っています。ただ、工学や建築学科に行く人達にはあまり必要ないと思いますがｗ
@:メントール 最近数学に志はない母に複素数平面説明しようとして苦痛を与えてしまいました。w忘れがちでしたが現実に仰る通りの側面が多分に有りました。
理系で定義を怠る奴は死ゾ
現役の時、定義や公式の意味を重視して学習を進めてたら同級生に意味ないだろと馬鹿にされたのを思い出したよ＼^^／
@@user-do2dh8lw7h 定期テストの点には繋がらないので軽視されがち
@@user-do2dh8lw7h 絶対賢くない学校じゃん
@7 Nisshin う〜ん、、でも定義とかを授業のときいつも正しく覚えられれば後になって覚え直す必要ないからなあ、、逆に賢いのかも高校数学とか結局演習量だし
楽に理解できる内容でしたが、連続と極限のことを改めて考えさせられました！神授業だと思います。準備された３問の問題に意図がきちんとあって素晴らしいですね。
極限と連続に関しての疑問が一気に無くなりました！とても勉強になりました！
極限でx→aのときにx≠aであることは、曲線上のx=aにおける接線(の傾き)を求める方法(微分)で具体的にイメージしています。x=aにすると2点が1点になってしまい、直線を描けなくなります。1点を通る直線は無数にあるから1本(接線)になりません。 2点結ぶ直線は一つに決まるは、直線の決定条件です。たしか中学で学習しました。(今は高校？)よって一点を通る直線は、決まらない。
正直、過去問を解く動画よりこのような動画の方が僕は嬉しい（内容を知っていたとしても）
とても勉強になりました。受験前に見れてよかったです！
貫太郎リスナーめっちゃ集まってて面白い
「極限は代入をすればいい」は誤り、はその通りで、異議ありませんが、この極限の定義には、異議あり! です。f(x)を分子=x^4-16、分母=x^2-4の関数としたとき、x→2の時の極限 limf(x)は?また違う例で f(x)を、分子=cos((1/x)-(π/2))、分母=sin(1/x)の関数としたとき、(x=0では両方0と定義する)x→0の時の極限limf(x)は?どちらも約分できるけど、0で割ったことにならないですか?···xの向う先以外にも分母が0になる点があります。また、例えば、「(x→a)_limf(x)=β が成り立つならば、n→∞でaに収束する数列X_nをとれば、(n→∞)の時、f(X_n)はβに収束する」が言えますが、この時、数列X_nはaという値を取ってはいけない、という制約が必要。この制約は不自然で面倒くさいものです。
x→aの時の極限の定義の「aと異なる値をとりながら」の所を「関数f(x)の定義域の範囲で」に変えれば解決します。分母が0になる点は定義域に入っていないので、定義域の範囲内では0で割ったことにはならないです。上の数列では、値を定義域にとる、というごく自然な制約になります。
放物線が綺麗すぎて惚れた
話し方（説明）も上手いし、１７分間が軽くあっという間に過ぎた。 こういう難しい勉強になってきた場合は、理解が曖昧なまま闇雲に問題を解かせるのではなく、Masakiさんのように１問１問をじっくり吟味する☕スタイルが良い！👏
なるほど… 今まで典型的なパターンの解法だけに依存して解いていたので肝心な「定義」の部分を見落としていました。勉強になりました！ ありがとうございます。
13:40 高校数学Ⅲでやりますね。(細かい事ですが。)このような極限の考え方は右極限、左極限なんかでよく登場しますが、いずれも数学Ⅲですから、やはり数学Ⅱにおける極限は結局代入すればいいや、となってしまうのですかね
x → aとはxはaそのものの値はとらずaに十分近い値から数直線上を①aより大きい値を取りながらすべての実数値をとりつつaに限りなく近づくことx →a＋0②aより小さい値を取りながらすべての実数値をとりつつaに限りなく近づくことx →a-0の 2 つだけの近づけ方を考え、それ以外のものは考えないものと定義する。そしてx →a：lim f(x)＝ b ⇔ x →a＋0：lim f(x)＝b ∧ x →a-0： lim f(x)＝bと定義する。(右極限と左極限が一致）これを関数の極限の”εーδ論法” でなく ”限りなく近づく論法” の定義とすればスッキリします。いかがでしょう。
言葉使いがきれい。育ちが良い。好感が持てる
開成中学校・高等学校を卒業されてるからね。
帰国子女だし家柄もいいんでしょう。
いろんな教育系youtuberの中でダントツで分かりやすいです。
動画UPお疲れ様です！「定義に戻る」という言葉は問題にぶつかったときに思い出したい言葉で素晴らしいです！！以下、解説についての問題点を指摘している訳ではなく、単純に忘れてしまった事を確認しているだけです。不快になった方は申し訳ないです🙏＜確認事＞数学の厳密性を忘れてしまったのですが、f(x)=(x^2-4)/(x-2)のグラフは定義域に2を含まないという制約が入るで良かったでしたっけ？
中学生でも理解出来る分かりやすい説明でした。勉強になります。
学校の先生は「どんな数を言われても、その数と目的の差がずっと小さくなり続けるところが必ず来る」って言ってた
それεδ論法を噛み砕いた説明って感じかな
非常に素晴らしい動画を見つけてしまった
3万再生おめでとうございます問題解説も面白いけどこういう動画も面白いです応援してます
これは極限とは代入することであるという誤解を正すためにある。代入とは同じ値だからできることである。しかし、異なる値を取りながらという事実を無視していることである。そのため、このままの理解ではガウス記号においての答えを理解することができない。しかし、解き方として代入と同じ操作をしていいのは、関数において連続した値であるから。
めちゃくちゃいい動画だ……
小学生のとき、反比例のグラフが、y軸と平行にならないのに交わらないってのがどうしても理解できなかった。動画を見て、なんとなくわかりました。ありがとうございます！
グラフでのイメージすらしっかりできていませんでした。ええい覚えちゃえ、と思うときのほとんどは本質が理解できていなくて後々躓くので、いつも動画に助けてもらっています。ありがとうございます
極端な話f(x)をf(x)={1 (x=0)0 (x≠0)}で定義するとx=0で不連続だけどlim[x, 0, f(x)]は定義できる.当然1ではなく0に収束する.「代入すればいいんでしょ？」と考える人に対する反論はこれで十分.
分かりやすかったです。助かりました。ありがとうございます😭🙇♂️
ありがとう御座います。何が大切かわかりました。定義の重要性を改めて考えさせられました。
2問目引っかかり掛けてドキッとした…すごくためになったのでチャンネル登録しました！
普通に考えてxが限りなくaに近づくって言われてたらxはaになり得ないよなあ
うちの先生は普通にちゃんと説明してたなぁ。イプシロンデルタ論法にも若干触れてたし(意味わかんなかったけど)
「 a と異なる値をとりながら」がわかっていないことも原因だと思いますが、「 f(x) はαになるんだ」と、「なる」という理解の仕方をしてることも原因だと思います。αはあくまでf(x)が向かって行く先でしかない、f(x)はαにどこまで近づいても一致しないということがわかっていないせいも、かなりあるんじゃないかと思います。「一致しない」とは言っても、最初から一致してる場合を除く、あくまで、lim[x→0](sinx/x)のような一致していない場合の理解の件についての話ですが...
極限の近づけ方として例えば正と負を交互に行き来しながら近づけるのはありなんだろうか。
cat stray 限りなく近づけばいいのでそのように様々な近づけ方を考えますが、結局左からと右からの二つが収束すれば極限が存在する(どのような近づけかたをしても同じ値に収束する)ことが知られています。
そうなんですね。高校時代極限を習って以来疑問だったのでスッキリしました。
大学で是非解析接続をやるともっと楽しいかもしれませんね。
y=(x^2-4)/(x-2)のグラフって、y=x+2の(x,y)=(2,4)の部分だけ除いたグラフっていうことですか？
せやで。多分。
確かに(2,4)が抜けているように人間には見えるけどx=2で関数は定義されてないからx=2を除いたって考えた方が正しいですね
分母≠0だからx≠2ってだけだよね普通に。
今まで数Ⅲの勉強はしたことなく、初めて極限の説明を聞きましたが、初めてでも理解できるほどまとまった内容でした！！来年度の東大受験に向けて勉強させていただきます。古賀さんも講義動画頑張ってください！
受験はいかがでしたか？
@@S-Hiro_ 受かっているはずないでしょ(笑)東大からすれば早慶はノー勉レベルだけど、それより遥か格下のMARCHにさえ受かっていたら奇蹟。
@@truth.columnこの情報だけでそんな事決めつけるのか…
@@対-l3t 「決めつけ」という決めつけをするブーメラン。周りにこの程度の人は誰もいませんよ。決めつけではなく実状。「教わる」という発想が既にアウト。論文や過去の偉人に「先に取られた」と言っているような人ばかりですよ。
丁寧なご説明、ありがとうございます。
高学歴な言×the answer
似てるか？
ずっとおもってた
K BAS ちょっと寝てたごめんw
K BAS 言い得て妙
ちょっと似てたごめんw
分かりやすく難しい事を説明してくださってとても為になります。高校二年生で数学が分からなくなりました。高校数学の微分積分を解説して頂きたいと願ってます。チャンネル登録しました。
今回は定義と基礎がいかに大切であるかを再認識できた問題でした。
13:56 代入の前の概念が極限ってことかすさまじい伏線回収
数学に興味があるおっさんが楽しく拝見させていただいてます。これからも頑張ってください。ひとつだけお願いなのですが、背中で黒板が隠れないようにしていただけると、書きながら喋っていることがわかりやすいです。よろしくおねがいします。
私が高校～大学もかなり進むまで理解していなかった決定的な事柄は、数学において多段論法は何段重ねようが上手くいくという事実でした。桶屋が儲かる理論は少しでも現実と異なる微妙な前提があれば理論は机上の空論と化すという事実を教えてくれます。もう少し核心的な事をいいますと、これが私の日常の『常識』でした。ところが、恐るべきことに数学では限りなく近いとか微妙な違いを持ち込んでもどんなに多段論法を持ち込んでも、どこまでも論理は失敗せずに正しく機能する！！何故かは判らないが現実とは違いとにかく機能する。この事実に気づいたときに私の数学観がガラリと変わりました、常識が変わりました。そこに至って改めて定義を眺めたら高校時代の曖昧な定義の極限の文言に勝手に脳内補完の厳密化が勝手に起こりました(笑)それまでは、なんか気持ち悪いけど先生がそう言っているのだからそういう事なのだろうと、そのままにして突き進んでいたと思います。ちなみに、論理学がこれほどまでに破たんすること無く何段にしても機能するのかは未だに理解できません、私にとっての今の謎です。現実はそうじゃないのに・・・
「存在しないから不連続」「不連続だから存在しない」循環してる気がします。あと3つ目は一次関数でもx=2の点が白丸の不連続な一次関数という理解では間違っているのでしょうか？
数学できる人のリミットってめっちゃ綺麗
神授業過ぎる。俺の聞きたいことすべて解決してくれた
確かに2問目危うく引っかかるところだった
3次元の極限をやると、その点を通らないように近づけることを意識しますね。
ありがとうございました。定義の重要性がわかりました。ただ公式を覚えてだけの数学勉強に反省です。すごい発見をしたようで丸得です。
とても為になりました。ありがとうございます。
わかりやすかったです
基本的なこと(大事)動画とても面白いです(interestingな方で)
微分の定義式でも、あるてんaの傾きというより、aとaに限りなく近い点の二点間の直線の傾きですね
ありがとうございます。わかりやすいです。
国語の問題かもしれませんが、「aに限りなく近づく」で「aの値は取らない」の意味は含まれると思います。もちろんこの講義の意図や意義は充分理解してはいますが、何となく意見してみました。
35年前、友人が「1÷0=∞」と発言してるにを聞いて絶望したのを思い出した。そいつも、今では立派なおいしゃさん。
どういうこと？日本語で
@@ご当地走り研究所 理解力皆無かよ
1÷0は∞ではないです。定義できないです。
@@柿沼勇-f3l 話わかってなくて草
とてもわかりやすい説明ありがとうございます！
受験指導特有のギラギラした感じがなくて、落ち着いてじっくり聴ける。好き。
自分用メモ👏。【🔴 x→a := xは, aと異なる値をとりながら aに限りなく近づく🧐】〖 f(x)が x=a で連続 ⇔ lim[x→a] f(x)＝f(a) 🔜連続のときは 安易な代入 OKです👌〗
定義が厳密だとかそういうのじゃなくて単純にxをaに限りなく近づるとその近づけ方に関わらずf(x)がある値◾️に限りなく近づく時この◾️をlim f(x)と表すのであってf(x)自体が◾️になるとは限らないという事がわかってないだけかと
すごく勉強になった。ありがとう
数学したい人間は観るべき動画
ありがとう。スッキリしました。極限は近傍（目標の隣の部分？）だけに注目しているんですね！そしてlim内の式変形は、少なくとも近傍で同値・な連続関数を探す行為であると。だから最後に代入すると。
何か近傍調べたらa自身を含んでますね。
@@absant2913 aを含まない近傍を除外近傍と言いますよネーミングにひねりがないな
@@jalmar40298 あざす。名前あるならやっぱ考える価値のある概念なんすね。
あ、それかぁ……(なぜε近傍とかが極限でたくさん出るかわかった)
高校のときに、これが全く理解できなかったのですよ。先生(教育学部出身)に代入するのと何が違うのか聞いても全く会話になりませんでした。テストしか頭にない先生は困りました。教わるなら理学部数学科出身、せめて工学部の応用数学科出身でないと話にならないと悟ったのを思い出しました。
右側極限と左側極限が一致しない場合、その極限は存在しないって大切なことだと改めて思いました
放物線のグラフくっそ上手くて草
極限は代入するでは無く限りなく近ずけた値を思考するということかな
すごいですちゃんと理解出来ましたありがとうございます
ガウス記号の極限、説明にもありますが、1に対して、どちら側から近づけるかが、設問の式に書かれていない時点で、極限値が不定になるでしょう。高校数学範囲では曖昧性が残ります。イプシロン・デルタ論法で解釈（理解）すればすっきりしますね。
意外にもちゃんと教えて貰ってたわ😳
教科書が同じだった時の親近感☆
書名は避けますが、大学初年度生用の、イプシロンデルタ論法についても取り扱っている微分積分の参考書内にてごくごく簡単な極限の例示で「代入」と明言しています。著者の先生は工学系が専門の先生のようです。私も動画を見ると代入という言葉を用いるとちょっと複雑になるだけで理屈が破綻すると思いますが、なぜ専門家が書いているのにこういう説明の破綻が起こるんでしょうか。高校生用の参考書ならばおそらく簡便さを重視したのだろうと判断しますが、大学数学でしかもイプシロンデルタ論法を扱うような本で、limの値を「代入」するという表現は「工学系だから」あるいは「初学者向けだから」許される範囲なんでしょうかね？？？
先取りしてる学生です。すごくためになりました。頑張ってください！
こういうのは学校の先生が教えるべきだよな。自分の先生はただ教科書読ませて問題解くだけの授業の先生だったしつまんない授業だった。
俺の先生めっちゃ授業楽しい乙
合理的なイモムシ けどお前Fランじゃん
あかな はい想定乙
合理的なイモムシ Fラン乙w
勉強になりました。
aと異なる値を取りながらaに限りなく近づくというのが、ε-δ論法の0
いや、逆にこの動画広まらないで欲しい笑笑めっちゃ勉強になた
積分いい気分微分 くっっっそどうでもいいけど名前のリズムが悪い
飛鳥キラキラ ヒント:研究家UA-cam
てか、そもそもf(x)=x^2-4/x-2って、f(x)=x+2(ただしx≠2)のグラフなのか
そこそこ数学得意だし、最初の三問に関しては普通にわかってたけど、極限の定義で抜けた文言は全然わかんなかった。まだまだだなぁ。３つ目のやつ、グラフの話もしてくれるとより理解深まりそうだと思った。
放物線綺麗にかける人羨ましい
つまり、この動画で何が言いたいかというと、今まで習ってきたグラフの関数のグラフをそれぞれ理解して自分でかけるようになっておこうってことだね
収束という言葉がよくわかりません。1.999999‥を２と同一視(収束)するなら、（対角線論法では前提として使ってる。）lim(x→2) [x-2]も０と同一視できるのではないでしょうか？
誤解が解けました！ありがとうございます
aと異なる値をとりながら、の意味は「限りなく近づく」に含まれているのではないでしょうか
含まれているけど、「限りなく近づくとき」という文言だけでは、「x=aでない」を腹の底から理解できてる人が少ないから冒頭のような「代入するだけ」というミスに陥りがちなのではないでしょうか
近づく距離が示されてないから距離0でもいんじゃね？と誤解する人がいるんじゃないでしょうか
古賀さんの講義は久々の聴講となりましたが、相変らず「切れの良い説明」でよくわかりました。高校数学における極限の定義において「忘れがちな内容」、つまり収束先の数値と「異なる値」を取りつつ近づける事であり、これが定義における核心である事。それゆえに問題の解は然るべきものとなる。定義における原理を、いかにしっかりと意識するかの大切さを実感しました。
ガウス記号のグラフって中学でやった「1~5時間なら300円｣みたいな問題？的なやつ思い出した。あと「線が離れたこのグラフは関数ですか？｣みたいな問いも思い出した。
極限予習したばかりで定義をしっかり理解できてるか試したかったので良かったです
イプシロンデルタ論法 読んでみたけど難しすぎてさっぱりだった
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
![Proof of the actual question “The derivative of sinx is cosx” [Osaka University].](http://i.ytimg.com/vi/jpqkGIkcAvM/mqdefault.jpg)
すごく勉強になりました。「定義に戻る」とても大事なことだと思います。
貫太郎さんってどこにでもいるから面白い。
ここまで貪欲になれる人も珍しい
貫太郎さんをここで見かけるとは
最近教育系UA-camrの繋がりが強くてよき
貫太郎ここにも来たwww
kogaさんとコラボみたいなあああああああああ
5:24
「わからなくなったら定義に帰る」
全くその通りだと思った。問題が解けない時は殆どの場合定義を理解していない。この考えによく救われる。
Una Owen 俺も。今まで理解出来なかった内の99パーが定義の曖昧さだった。
ヒソカ 定義がわかっていても解けない問題はあるにはありますが、わかっていないから解けないこと（わかっていれば解ける）の方が多いですよね。
確かに。
一致しないけど限りなく近づくっていうのはいわゆるストーカーですね！
危害を直接加える前の陰湿な段階で草生える
それが「極限」
その発想はなかったわ w
“aと異なる値をとりながら...”ちゃんと青チャートには赤線が引っ張られて書いてありましたw
代入すればとりあえずいいと理解していたので勉強になりました
試験対策で時間節約の反射解答を繰り返していくうちに、極限の定義を忘れて代入=定義に置き換えられてしまう罠のひとつかな。
法律などでもいつしか総則を忘れ、局所的な条文解釈に籠もっていると、脳内に誤った解釈を付け加えてしまう罠と一緒ですかね。
こんなに極限の真髄までわかる解説は初めてです
関数y=(x^2-4)/(x-2)のグラフを書いてみるとより理解が深まるかも。
トップクラスで分かりやすい講義だと思います。古賀さんの動画を見て理解を深めることができました。
8:30くらいからの放物線めっちゃきれい
高校数学ではε-N、ε-δなどの厳密な定義がなされないから、"限りなく"といった微妙な言い方も誤解の遠因となっていると思われる。
SIGMA？
@@user-wn8yf3xm7d ε-N、ε-δはそれぞれ「イプシロン-エヌ」、「イプシロン-デルタ」と読みます
ε-δ論法は高校数学でやった方がいいと思う（頭の柔らかいうちに）。
「aと異なる値を取りながら、限りなく近づく」って、なんとなくわかった気になるけど、「限りなく近づく」ってところの「限りなく」ってところがヤッパリよくわからん（笑）
「限りなく」って結構分かりやすくね。「どんな制限(限り)を設けても必ずそれを達成する」っていう、そのままの意味だから。
教科書にご丁寧に点線で書いてあった……
やっぱり教科書は熟読するものだと痛感しました……
「aと異なる値をとりながら」の大事なポイントを忘れていました。古賀さんの熱心さに引き込まれて、最後まで受講させていただきました。
これからも、数学に関して誤解しがちなところの講義も引き続きお願いいたします。
ふつうに先生教えてくれる うちの数学の先生まじで有能だわ 去年から今年で偏差値15くらい上がったし
おむ やるやん
偏差値30から45説
屋上先輩 ええ、、、、、マーク模試0点から45点くらいかな。
@@user-ln1uq6vw8d それもすばらい！
高橋一生って数学得意だったのか
思った
本物もわりと得意そう
犬飼貴丈にも似てるかも
なわけなくて草
入試問題の解法を覚えるよりこういうことを追求したい
デブ磨呂 それは思った
せめてそういう研究からの要請で諸問題の解法を覚えるという流れがほしいもんよね。
小～高等学校では
法的に制限としてのカリキュラムが（高校は大学入試の公平のための諸諸が）あるせいで技術としての数学以上を教える余裕がなくなるのだ！
もう義務教育込みで進級・編入・単位取得試験のみの
16年制教育でよくね？
卒業は任意年度で。
まじでそれ思う
@@absant2913 そうですね
例えばイプシロンデルタを背景とした入試問題などはそれに当たると思います
数学そのものはこういったことを追求する学問だと思っています。
ただ、工学や建築学科に行く人達にはあまり必要ないと思いますがｗ
@:メントール 最近数学に志はない母に複素数平面説明しようとして苦痛を与えてしまいました。w
忘れがちでしたが現実に仰る通りの側面が多分に有りました。
理系で定義を怠る奴は死ゾ
現役の時、定義や公式の意味を重視して学習を進めてたら同級生に意味ないだろと馬鹿にされたのを思い出したよ＼^^／
@@user-do2dh8lw7h 定期テストの点には繋がらないので軽視されがち
@@user-do2dh8lw7h
絶対賢くない学校じゃん
@7 Nisshin う〜ん、、でも定義とかを授業のときいつも正しく覚えられれば後になって覚え直す必要ないからなあ、、逆に賢いのかも
高校数学とか結局演習量だし
楽に理解できる内容でしたが、連続と極限のことを改めて考えさせられました！神授業だと思います。準備された３問の問題に意図がきちんとあって素晴らしいですね。
極限と連続に関しての疑問が一気に無くなりました！とても勉強になりました！
極限でx→aのときにx≠aであることは、曲線上のx=aにおける接線(の傾き)を求める方法(微分)で具体的にイメージしています。x=aにすると2点が1点になってしまい、直線を描けなくなります。1点を通る直線は無数にあるから1本(接線)になりません。
2点結ぶ直線は一つに決まるは、直線の決定条件です。たしか中学で学習しました。(今は高校？)よって一点を通る直線は、決まらない。
正直、過去問を解く動画よりこのような動画の方が僕は嬉しい（内容を知っていたとしても）
とても勉強になりました。受験前に見れてよかったです！
貫太郎リスナーめっちゃ集まってて面白い
「極限は代入をすればいい」は誤り、はその通りで、異議ありませんが、この極限の定義には、異議あり! です。
f(x)を分子=x^4-16、分母=x^2-4の関数としたとき、
x→2の時の極限 limf(x)は?
また違う例で f(x)を、
分子=cos((1/x)-(π/2))、分母=sin(1/x)の関数としたとき、(x=0では両方0と定義する)
x→0の時の極限limf(x)は?
どちらも約分できるけど、0で割ったことにならないですか?···xの向う先以外にも分母が0になる点があります。
また、例えば、「(x→a)_limf(x)=β が成り立つならば、
n→∞でaに収束する数列X_nをとれば、
(n→∞)の時、f(X_n)はβに収束する」が言えますが、この時、数列X_nはaという値を取ってはいけない、という制約が必要。この制約は不自然で面倒くさいものです。
x→aの時の極限の定義の「aと異なる値をとりながら」の所を「関数f(x)の定義域の範囲で」に変えれば解決します。
分母が0になる点は定義域に入っていないので、定義域の範囲内では0で割ったことにはならないです。
上の数列では、値を定義域にとる、というごく自然な制約になります。
放物線が綺麗すぎて惚れた
話し方（説明）も上手いし、１７分間が軽くあっという間に過ぎた。 こういう難しい勉強になってきた場合は、理解が曖昧なまま闇雲に問題を解かせるのではなく、Masakiさんのように１問１問をじっくり吟味する☕スタイルが良い！👏
なるほど… 今まで典型的なパターンの解法だけに依存して解いていたので
肝心な「定義」の部分を見落としていました。
勉強になりました！ ありがとうございます。
13:40 高校数学Ⅲでやりますね。(細かい事ですが。)
このような極限の考え方は右極限、左極限なんかでよく登場しますが、いずれも数学Ⅲですから、やはり数学Ⅱにおける極限は結局代入すればいいや、となってしまうのですかね
x → aとはxはaそのものの値はとらずaに十分近い値から数直線上を
①aより大きい値を取りながらすべての実数値をとりつつaに限りなく近づくこと
x →a＋0
②aより小さい値を取りながらすべての実数値をとりつつaに限りなく近づくこと
x →a-0
の 2 つだけの近づけ方を考え、それ以外のものは考えないものと定義する。
そしてx →a：lim f(x)＝ b ⇔ x →a＋0：lim f(x)＝b ∧ x →a-0： lim f(x)＝b
と定義する。
(右極限と左極限が一致）
これを関数の極限の”εーδ論法” でなく ”限りなく近づく論法” の定義とすればスッキリします。いかがでしょう。
言葉使いがきれい。育ちが良い。好感が持てる
開成中学校・高等学校を卒業されてるからね。
帰国子女だし家柄もいいんでしょう。
いろんな教育系youtuberの中でダントツで分かりやすいです。
動画UPお疲れ様です！
「定義に戻る」という言葉は問題にぶつかったときに思い出したい言葉で素晴らしいです！！
以下、解説についての問題点を指摘している訳ではなく、
単純に忘れてしまった事を確認しているだけです。不快になった方は申し訳ないです🙏
＜確認事＞
数学の厳密性を忘れてしまったのですが、
f(x)=(x^2-4)/(x-2)のグラフは定義域に2を含まないという制約が入るで良かったでしたっけ？
中学生でも理解出来る分かりやすい説明でした。勉強になります。
学校の先生は「どんな数を言われても、その数と目的の差がずっと小さくなり続けるところが必ず来る」って言ってた
それεδ論法を噛み砕いた説明って感じかな
非常に素晴らしい動画を見つけてしまった
3万再生おめでとうございます
問題解説も面白いけどこういう動画も面白いです
応援してます
これは極限とは代入することであるという誤解を正すためにある。
代入とは同じ値だからできることである。しかし、異なる値を取りながらという事実を無視していることである。
そのため、このままの理解ではガウス記号においての答えを理解することができない。
しかし、解き方として代入と同じ操作をしていいのは、関数において連続した値であるから。
めちゃくちゃいい動画だ……
小学生のとき、反比例のグラフが、y軸と平行にならないのに交わらないってのがどうしても理解できなかった。
動画を見て、なんとなくわかりました。ありがとうございます！
グラフでのイメージすらしっかりできていませんでした。ええい覚えちゃえ、と思うときのほとんどは本質が理解できていなくて後々躓くので、いつも動画に助けてもらっています。ありがとうございます
極端な話f(x)を
f(x)={
1 (x=0)
0 (x≠0)
}
で定義するとx=0で不連続だけどlim[x, 0, f(x)]は定義できる.
当然1ではなく0に収束する.
「代入すればいいんでしょ？」と考える人に対する反論はこれで十分.
分かりやすかったです。助かりました。ありがとうございます😭🙇♂️
ありがとう御座います。何が大切かわかりました。定義の重要性を改めて考えさせられました。
2問目引っかかり掛けてドキッとした…すごくためになったのでチャンネル登録しました！
普通に考えてxが限りなくaに近づくって言われてたらxはaになり得ないよなあ
うちの先生は普通にちゃんと説明してたなぁ。イプシロンデルタ論法にも若干触れてたし(意味わかんなかったけど)
「 a と異なる値をとりながら」がわかっていないことも原因だと思いますが、
「 f(x) はαになるんだ」と、「なる」という理解の仕方をしてることも原因だと思います。
αはあくまでf(x)が向かって行く先でしかない、f(x)はαにどこまで近づいても一致しない
ということがわかっていないせいも、かなりあるんじゃないかと思います。
「一致しない」とは言っても、最初から一致してる場合を除く、
あくまで、lim[x→0](sinx/x)のような一致していない場合の理解の件についての話ですが...
極限の近づけ方として例えば正と負を交互に行き来しながら近づけるのはありなんだろうか。
cat stray 限りなく近づけばいいのでそのように様々な近づけ方を考えますが、結局左からと右からの二つが収束すれば極限が存在する(どのような近づけかたをしても同じ値に収束する)ことが知られています。
そうなんですね。高校時代極限を習って以来疑問だったのでスッキリしました。
大学で是非解析接続をやるともっと楽しいかもしれませんね。
y=(x^2-4)/(x-2)のグラフって、y=x+2の(x,y)=(2,4)の部分だけ除いたグラフっていうことですか？
せやで。多分。
確かに(2,4)が抜けているように人間には見えるけどx=2で関数は定義されてないからx=2を除いたって考えた方が正しいですね
分母≠0だからx≠2ってだけだよね普通に。
今まで数Ⅲの勉強はしたことなく、初めて極限の説明を聞きましたが、初めてでも理解できるほどまとまった内容でした！！
来年度の東大受験に向けて勉強させていただきます。
古賀さんも講義動画頑張ってください！
受験はいかがでしたか？
@@S-Hiro_ 受かっているはずないでしょ(笑)
東大からすれば早慶はノー勉レベルだけど、それより遥か格下のMARCHにさえ受かっていたら奇蹟。
@@truth.columnこの情報だけでそんな事決めつけるのか…
@@対-l3t 「決めつけ」という決めつけをするブーメラン。周りにこの程度の人は誰もいませんよ。決めつけではなく実状。
「教わる」という発想が既にアウト。論文や過去の偉人に「先に取られた」と言っているような人ばかりですよ。
丁寧なご説明、ありがとうございます。
高学歴な言×the answer
似てるか？
ずっとおもってた
K BAS ちょっと寝てたごめんw
K BAS 言い得て妙
ちょっと似てたごめんw
分かりやすく難しい事を説明してくださってとても為になります。高校二年生で数学が分からなくなりました。高校数学の微分積分を解説して頂きたいと願ってます。チャンネル登録しました。
今回は定義と基礎がいかに大切であるかを再認識できた問題でした。
13:56 代入の前の概念が極限ってことか
すさまじい伏線回収
数学に興味があるおっさんが楽しく拝見させていただいてます。
これからも頑張ってください。
ひとつだけお願いなのですが、背中で黒板が隠れないようにしていただけると、書きながら喋っていることがわかりやすいです。よろしくおねがいします。
私が高校～大学もかなり進むまで理解していなかった決定的な事柄は、数学において多段論法は何段重ねようが上手くいくという事実でした。
桶屋が儲かる理論は少しでも現実と異なる微妙な前提があれば理論は机上の空論と化すという事実を教えてくれます。もう少し核心的な事をいいますと、これが私の日常の『常識』でした。
ところが、恐るべきことに数学では限りなく近いとか微妙な違いを持ち込んでもどんなに多段論法を持ち込んでも、どこまでも論理は失敗せずに正しく機能する！！何故かは判らないが現実とは違いとにかく機能する。
この事実に気づいたときに私の数学観がガラリと変わりました、常識が変わりました。
そこに至って改めて定義を眺めたら高校時代の曖昧な定義の極限の文言に勝手に脳内補完の厳密化が勝手に起こりました(笑)
それまでは、なんか気持ち悪いけど先生がそう言っているのだからそういう事なのだろうと、そのままにして突き進んでいたと思います。
ちなみに、論理学がこれほどまでに破たんすること無く何段にしても機能するのかは未だに理解できません、私にとっての今の謎です。現実はそうじゃないのに・・・
「存在しないから不連続」「不連続だから存在しない」循環してる気がします。あと3つ目は一次関数でもx=2の点が白丸の不連続な一次関数という理解では間違っているのでしょうか？
数学できる人のリミットってめっちゃ綺麗
神授業過ぎる。俺の聞きたいことすべて解決してくれた
確かに2問目危うく引っかかるところだった
3次元の極限をやると、その点を通らないように近づけることを意識しますね。
ありがとうございました。定義の重要性がわかりました。ただ公式を覚えてだけの数学勉強に反省です。すごい発見をしたようで丸得です。
とても為になりました。
ありがとうございます。
わかりやすかったです
基本的なこと(大事)
動画とても面白いです(interestingな方で)
微分の定義式でも、あるてんaの傾きというより、aとaに限りなく近い点の二点間の直線の傾きですね
ありがとうございます。
わかりやすいです。
国語の問題かもしれませんが、「aに限りなく近づく」で「aの値は取らない」の意味は含まれると思います。
もちろんこの講義の意図や意義は充分理解してはいますが、何となく意見してみました。
35年前、友人が「1÷0=∞」と発言してるにを聞いて絶望したのを思い出した。そいつも、今では立派なおいしゃさん。
どういうこと？日本語で
@@ご当地走り研究所 理解力皆無かよ
1÷0は∞ではないです。定義できないです。
@@柿沼勇-f3l 話わかってなくて草
とてもわかりやすい説明ありがとうございます！
受験指導特有のギラギラした感じがなくて、落ち着いてじっくり聴ける。好き。
自分用メモ👏。【🔴 x→a := xは, aと異なる値をとりながら aに限りなく近づく🧐】
〖 f(x)が x=a で連続 ⇔ lim[x→a] f(x)＝f(a) 🔜連続のときは 安易な代入 OKです👌〗
定義が厳密だとかそういうのじゃなくて単純に
xをaに限りなく近づるとその近づけ方に関わらずf(x)がある値◾️に限りなく近づく時この◾️をlim f(x)と表す
のであってf(x)自体が◾️になるとは限らないという事がわかってないだけかと
すごく勉強になった。ありがとう
数学したい人間は観るべき動画
ありがとう。スッキリしました。
極限は近傍（目標の隣の部分？）だけに注目しているんですね！
そしてlim内の式変形は、少なくとも近傍で同値・な連続関数を探す行為であると。
だから最後に代入すると。
何か近傍調べたらa自身を含んでますね。
@@absant2913
aを含まない近傍を除外近傍と言いますよ
ネーミングにひねりがないな
@@jalmar40298 あざす。名前あるならやっぱ考える価値のある概念なんすね。
あ、それかぁ……(なぜε近傍とかが極限でたくさん出るかわかった)
高校のときに、これが全く理解できなかったのですよ。先生(教育学部出身)に代入するのと何が違うのか聞いても全く会話になりませんでした。テストしか頭にない先生は困りました。
教わるなら理学部数学科出身、せめて工学部の応用数学科出身でないと話にならないと悟ったのを思い出しました。
右側極限と左側極限が一致しない場合、その極限は存在しないって大切なことだと改めて思いました
放物線のグラフくっそ上手くて草
極限は代入するでは無く限りなく近ずけた値を思考するということかな
すごいですちゃんと理解出来ましたありがとうございます
ガウス記号の極限、説明にもありますが、1に対して、どちら側から近づけるかが、設問の式に書かれていない時点で、極限値が不定になるでしょう。高校数学範囲では曖昧性が残ります。イプシロン・デルタ論法で解釈（理解）すればすっきりしますね。
意外にもちゃんと教えて貰ってたわ😳
教科書が同じだった時の親近感☆
書名は避けますが、大学初年度生用の、イプシロンデルタ論法についても取り扱っている微分積分の参考書内にてごくごく簡単な極限の例示で「代入」と明言しています。
著者の先生は工学系が専門の先生のようです。
私も動画を見ると代入という言葉を用いるとちょっと複雑になるだけで理屈が破綻すると思いますが、なぜ専門家が書いているのにこういう説明の破綻が起こるんでしょうか。
高校生用の参考書ならばおそらく簡便さを重視したのだろうと判断しますが、大学数学でしかもイプシロンデルタ論法を扱うような本で、limの値を「代入」するという表現は「工学系だから」あるいは「初学者向けだから」許される範囲なんでしょうかね？？？
先取りしてる学生です。
すごくためになりました。
頑張ってください！
こういうのは学校の先生が教えるべきだよな。
自分の先生はただ教科書読ませて問題解くだけの授業の先生だったしつまんない授業だった。
俺の先生めっちゃ授業楽しい乙
合理的なイモムシ けどお前Fランじゃん
あかな はい想定乙
合理的なイモムシ Fラン乙w
あかな はい想定乙
勉強になりました。
aと異なる値を取りながらaに限りなく近づくというのが、ε-δ論法の0
いや、逆にこの動画広まらないで欲しい笑笑
めっちゃ勉強になた
積分いい気分微分 くっっっそどうでもいいけど名前のリズムが悪い
飛鳥キラキラ
ヒント:研究家UA-cam
てか、そもそもf(x)=x^2-4/x-2って、f(x)=x+2(ただしx≠2)のグラフなのか
そこそこ数学得意だし、最初の三問に関しては普通にわかってたけど、極限の定義で抜けた文言は全然わかんなかった。まだまだだなぁ。
３つ目のやつ、グラフの話もしてくれるとより理解深まりそうだと思った。
放物線綺麗にかける人羨ましい
つまり、この動画で何が言いたいかというと、今まで習ってきたグラフの関数のグラフをそれぞれ理解して自分でかけるようになっておこうってことだね
収束という言葉がよくわかりません。
1.999999‥を２と同一視(収束)するなら、（対角線論法では前提として使ってる。）
lim(x→2) [x-2]も０と同一視できるのではないでしょうか？
誤解が解けました！
ありがとうございます
aと異なる値をとりながら、の意味は「限りなく近づく」に含まれているのではないでしょうか
含まれているけど、「限りなく近づくとき」という文言だけでは、「x=aでない」を腹の底から理解できてる人が少ないから冒頭のような「代入するだけ」というミスに陥りがちなのではないでしょうか
近づく距離が示されてないから距離0でもいんじゃね？と誤解する人がいるんじゃないでしょうか
古賀さんの講義は久々の聴講となりましたが、相変らず「切れの良い説明」でよくわかりました。高校数学における極限の定義において「忘れがちな内容」、つまり収束先の数値と「異なる値」を取りつつ近づける事であり、これが定義における核心である事。それゆえに問題の解は然るべきものとなる。定義における原理を、いかにしっかりと意識するかの大切さを実感しました。
ガウス記号のグラフって中学でやった「1~5時間なら300円｣みたいな問題？的なやつ思い出した。あと「線が離れたこのグラフは関数ですか？｣みたいな問いも思い出した。
極限予習したばかりで定義をしっかり理解できてるか試したかったので良かったです
イプシロンデルタ論法 読んでみたけど難しすぎてさっぱりだった