✓ Красивый факт про ортоцентр | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин
Вставка
- Опубліковано 28 вер 2024
- Егор: Можете объяснить, откуда берется свойство ортоцентра? Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
Осторожно, спойлер! Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть шестое занятие курса trushinbv.ru/eg... по подготовке к ЕГЭ по математике для 11 класса, не смотрите это видео!
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Регулярная помощь (UA-cam): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_tru...
Facebook: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
UA-cam: / trushinbv
поражаюсь, как можно настолько быстро это решить. круто!
Опыт большой. Ну и мозг тоже)
@@user-tapakxbxzozl Я и не говорил, что удивлён) поражён имеет другое значение, если что
-Вы продаёте теоремы по геометрии?
-Нет, только показываю
-Красивое
Я: сказал, что буду сдавать профиль
Учительница математики: 1:45
Оооо, это АСМР в начале)
Борис, спасибо за ваше служение математике, школьникам и студентам!
Ролик зашёл, побольше такого контента
Если очень захотеть, то Пифагора можно и в облаках походу увидеть
Пифагор- он всюду, без него - ну никак.
не, в облаках вроде как Большая Медведица. Её можно увидеть если захотеть
Ребята, по этой теме рекомендую хорошую книгу "Новые встречи с геометрией" (в оригинале Geometry Revisited), там как раз рассматриваются и доказываются многие интересные свойства треугольников и окружностей.
Даёшь больше АСМР!!!
Я даже загуглил что это такое )
*Из теоремы синусов:*
x = 2R⸱cos A = D⸱cos A; (A - угол при вершине тр-ка)
a = 2R⸱sin A= D⸱sin A;
x² + a² = D²⸱( cos² A + sin² A) = D².
Красивый факт!
Борису лайк, как всегда! Вы супер преподаватель!
3:06. Решил чисто геометрически. Хороший факт!
Я решил также! Единственное я перемудрил с тем, что при параллельном переносе отрезка x его конец будет лежать на окружности
Я тоже довольно долго не мог понять, что написано в условии. Как говорится, русский язык "повысился".
Круто! Можно ещё так: как известно, расстояние от центра описанной до стороны равно x/2 (доказывается в одну строчку). Тогда у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами x/2, a/2, D/2. Отсюда следует требуемое
Это для равностороннего треугольника только
@@Арина-ъ3я8щ нет конечно. Это верно для любого треугольника, докажите, это несложно
Вау! Живое решение еще круче!
БРАВО, БОРИС !!
Красиво доказывается
Кайф
спасибо за разбор
Спасибо!
Красиво!
Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположного стороны, а дальше Пифагор
Про интеграллы... Можно пожалуйста
Не ученик, но с какого эта диагональ является диаметром? Может это просто хорда
опирается на впис угол равный 90°
Ты про гипотенузу? Если да то напротив угла в 90 ° лежит диаметр
Все, понял. Это типа 2 хорды, между которыми 90 градусов угол. Всегда была проблема с геометрией, хотя школу закончил с 5 по геометрии
Отличное решение, я поставил на паузу на 3:30, думал минут 10, но нашёл треугольник ровно тот же, исходил именно из теоремы пифагора, но не понял как доказать что гипотенуза пересекает центр окружности, с чего вдруг это диаметр, а не хорда? я такие свойства прямоугольного треугольника в окружности давно забыл)
Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр 😉
Ну и наоборот, соответственно, хотя в данной задаче это не важно :)
@@KOPOJLb_King это ты знаешь, молодец, а смог бы это доказать сам? Я имею в виду не просто заученные фразы, а понимание откуда что следует
@@abitlogic6913 вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если вписан прямой угол, то дуга 180 градусов, а это половина окружности, значит хорда - диаметр
@@abitlogic6913, Вы спросили "Почему..?" - я Вам ответил.
Если нужно доказательство, то так бы и написали, ибо я не обязан угадывать что-либо и уж тем более отчитываться в чем-то перед Вами...
А решение можно придумать, например, такое: градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается (к тому же он равен половине центрального угла). Если центральный угол равен 180°, то он образован двумя радиусами, лежащими на одной прямой - диаметром, поэтому если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр.
Доказательство Валентина Воропаева вообще выше всяких похвал, прям как из учебника 😀
@@KOPOJLb_King Всё верно) оставлю свои подозрения, что вы взяли из учебника слово в слово)
а то фраза "вписанный угол равен половине градусной меры дуги" строго говоря откуда вообще следует? Мы в универе доказывали что синус есть непрерывная функция, а тут вон какое утверждение
Немного не осознал, почему это именно диаметр, а не какая-то хорда?
Хорда на которую опирается угол 90° является диаметром. А 90° там по построению (перпендикуляр)
Потому, что окружность описана вокруг прямоугольного треугольника. Гипотенуза в этом случае диаметр.
Хах, круто
а как доказать что тот отрезок и есть диаметр?
Прямой угол опирается на диаметр
@@trushinbv спасибо большое
А как доказать, что последний отрезок - диаметр?
На него опирается вписанный прямой угол
"Увидеть Пифагора" - это как "принять ислам"?
Ну не. Первое вполне законно))))))))))))
Вот за что люблю смотреть Бориса, что несмотря на свои скиллы, не боится показать, что он тоже человек, а не математический оракул.
Если МО из Школково это увидит, он будет польщён!
Это точно! Зная Как МО ортоцентр дрочит
Я решил немного громоздко, при помощи грубой силы. Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра х = 2RcosA, а сторона а = 2RsinA (т. синусов)
Да, тоже красиво. Первый факт следует из того, что этот отрезок является диаметром окружности описанной вокруг верхнего треугольника, подобного исходному с коэффициентом cosA.
Я про это тоже успел подумать, стоя у доски, но не докрутил ))
И ЧЕ ВЫ ТАК ЛЮБИТЕ cos И sin, ИХ ЗНАЧЕНИЯ ТОЧНО ОПРЕДЕЛЕНЫ ?? УД
@@trushinbv А вы доказывали такое свойство? Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно удвоенному произведению радиуса описанной окружности на косинус угла этой вершины.
1:30 Так и напрашивается сюда вставка "One hour later..."
Именно поэтому я обошёлся без монтажа ))
если есть сумма квадратов, которая равна другому квадрату - делай, что хочешь, но своди это все в пифагора.
Там в комментах предложили решение без Пифагора.
Там легко показать, что один отрезок равен 2RsinA, а другой-- 2RcosA
Красиво. Быстро сообразили. Но можно было без альфа доказать. Сразу провести отрезок, перпендикулярный стороне, на одной из которых вершина сидит, до пересечения с окружностью. Сразу бы вылез диаметр, потом угол, который опирается на него, получается прямым, и далее сразу параллелограмм. (В комментариях очень неудобно полное решение писать, поэтому сумбурно, но если сделать такие первые шаги, то дальше и так понятно будет)
А, да, красиво )
Уже из формулировки похоже, что там прячется Пифагор)))
Очень круто!!!!!!!!!!!!!!!
Офигеть!
решение понравилось!
параллелограмм нашел, но в лоб не понял как доказать, что параллелограмм
не оперирую углами через хорду, все через сложные пути, теперь на всегда запомню
The best, как всегда!
Краусавчик! Мне сорок, сижу смотрю и оторваться не могу. Сыну 7 лет (2 класс), потихоньку с ним занимаюсь. Посаветуете ресурс, где можно увлекательно и буджетно заниматься с сыном.
Отразим ортоцентр относительно середины стороны, получим параллелограмм, а образ ортоцентра диаметрально противоположен вершине. x также равно противоположной стороне этого параллелограмма, отсюда x^2+a^2=D^2 по теореме Пифагора.
это уже поэзия - очень красиво!
Через вершину (каждую) провести прямую параллельно противоположной стороне. В получившемся треугольнике (он подобен исходному с коэффициентом 2) прежний ортоцентр станет центром описанной окружности. В новом треугольнике есть все нужные Пифагоры.
Необычайно Круто! Как вы догадались до такого?
Наикрутейшая крутизна! Но как можно было предположить такую связь!?
Классно, спасибо за задачу! Решил ее быстро так как уже несколько других свойств доказывал.
О, я этого сюжета знаю)
Красивая штука имхо, хоть и не шибко сложная
А ведь действительно красиво
Вот такое прям люблю. Какие хорошие дети на курсах.
Красиво!!! Возьму на заметку.
Чтобы это был ромб, треугольник должен быть равнобедренным. Если я ничего не перепутал.
Да
Какое у Вас, однако, чутьё, Борис Викторович! Полминуты смотрели на чертёж - и готово доказательство, кстати, не самое очевидное. *Спасибо!*
Я решил немного по-другому. Не стал рисовать окружность, а нарисовал треугольник, который получается при повороте исходного относительно середины одной из сторон на 180 градусов. Заодно доказал ещё один факт: если соединить ортоцентр повернутого треугольника с дальней вершиной исходного треугольника, этот отрезок будет диаметром описанной окружности исходного треугольника.
Тоже сразу захотелось увидеть Пифагор. Можно было и без введения альфы: провести перпендикуляр (кот. первый слева) и отрезок из новой точки к вершине треугольника (кот вы провели вторым), тогда этот отрезок тоже перп-р (опир. на D). Тогда противопол стороны 4-уг-ка || и далее то же...
А будет разбор задач с только что прошедшего тургора? Они там довольно интересные были, а в интернете нигде разбора не нашёл
красиво красиво
прям возбудило решение! супер!
Борис Трушин😍😍😍😍😍😍😍😍 мой герой
600 лайков 0 дизлайков. Мощно!
я удивлен)
удивили, так удивили
"а зачем тебе это надо?"
гениально
Теорема Менелая для пространства также существует
Да, есть какая-то. Но, на сколько я понимаю, это просто трижды записанная теорема из планиметрии
А почему гипатенуза это диаметр?
потому что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, угол 90° по построению => дуга 180°
А какие факты можно использовать без доказательства на ЕГЭ? Те, у которых есть названия?)
Только факты, доказательства которых можно найти хотя бы в одном из учебников по математике из официального перечня... 😉
@@KOPOJLb_King спасибо)
Борис, или умные люди, объясните, почему степень корня - это только натуральное число и не равное одному? Почему такие ограничения, почему не могут быть например дроби или отрицательные числа или ноль?
С нулем совсем просто: корень n степени из числа a^b можно представить в виде а^(b/n), поэтому если n=0, то нужно делить на 0... Ну такое...
По этой же причине сомнительно писать "дробный" или "отрицательный" корень, ибо через свойства степеней легко свести с натуральным значениям :)
Ну а корень 1 степени - это и есть само число 😀
О иррациональных и других множествах чисел попрошу рассказать более опытных математиков, ибо сам не в состоянии что-либо об этом сказать
:(
@@KOPOJLb_King С нулем, единицей и дробными я сам там подумал. А почему отрицательные нельзя, тут я хз. Я молчу про иррациональные и действительные, тут я просто не знаю что делать
@@kirillonf.m.4713 Если вам действительно интересно, в чём здесь дело, то ответ очень простой: это произвольное соглашение. Вот, например, что на эту тему пишет Пратусевич (Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, 2009): "Употребляя символ ⁿ√ мы полагаем, что n - натуральное число. Это соглашение не является общепринятым. Иногда в книгах встречаются записи вида ¹ᐟˣ√x, хотя большинством авторов принята точка зрения о том, что показателем корня является именно натуральное число, большее 1."
@@allozovsky Интересно почему так.....
Столько загадок и так мало ответов
@@kirillonf.m.4713 А вот Колмогоров (Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл., 2008): "При нечётном n существует корень n-й степени из любого числа 𝒂 (в том числе отрицательного), и притом только один. Этот корень обозначают ⁿ√𝒂. Удобно считать, что корень первой степени из числа 𝒂 равен 𝒂." Впрочем, обозначение ¹√𝒂 явным образом в учебнике нигде не вводится, но и не запрещается.
Умный аж бля страшно!Сижу, смотрю нихуя не понятно,но оч. интересно.
можно при помощи AH=2OM_1 также решить
Возник вопрос: а почему хорда равна отрезку х?
Параллелограмм же