Красиво. Быстро сообразили. Но можно было без альфа доказать. Сразу провести отрезок, перпендикулярный стороне, на одной из которых вершина сидит, до пересечения с окружностью. Сразу бы вылез диаметр, потом угол, который опирается на него, получается прямым, и далее сразу параллелограмм. (В комментариях очень неудобно полное решение писать, поэтому сумбурно, но если сделать такие первые шаги, то дальше и так понятно будет)
Да, тоже красиво. Первый факт следует из того, что этот отрезок является диаметром окружности описанной вокруг верхнего треугольника, подобного исходному с коэффициентом cosA. Я про это тоже успел подумать, стоя у доски, но не докрутил ))
@@trushinbv А вы доказывали такое свойство? Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно удвоенному произведению радиуса описанной окружности на косинус угла этой вершины.
Краусавчик! Мне сорок, сижу смотрю и оторваться не могу. Сыну 7 лет (2 класс), потихоньку с ним занимаюсь. Посаветуете ресурс, где можно увлекательно и буджетно заниматься с сыном.
Ребята, по этой теме рекомендую хорошую книгу "Новые встречи с геометрией" (в оригинале Geometry Revisited), там как раз рассматриваются и доказываются многие интересные свойства треугольников и окружностей.
3:06. Решил чисто геометрически. Хороший факт! Я решил также! Единственное я перемудрил с тем, что при параллельном переносе отрезка x его конец будет лежать на окружности
решение понравилось! параллелограмм нашел, но в лоб не понял как доказать, что параллелограмм не оперирую углами через хорду, все через сложные пути, теперь на всегда запомню
Через вершину (каждую) провести прямую параллельно противоположной стороне. В получившемся треугольнике (он подобен исходному с коэффициентом 2) прежний ортоцентр станет центром описанной окружности. В новом треугольнике есть все нужные Пифагоры.
Я решил немного по-другому. Не стал рисовать окружность, а нарисовал треугольник, который получается при повороте исходного относительно середины одной из сторон на 180 градусов. Заодно доказал ещё один факт: если соединить ортоцентр повернутого треугольника с дальней вершиной исходного треугольника, этот отрезок будет диаметром описанной окружности исходного треугольника.
Отразим ортоцентр относительно середины стороны, получим параллелограмм, а образ ортоцентра диаметрально противоположен вершине. x также равно противоположной стороне этого параллелограмма, отсюда x^2+a^2=D^2 по теореме Пифагора.
Тоже сразу захотелось увидеть Пифагор. Можно было и без введения альфы: провести перпендикуляр (кот. первый слева) и отрезок из новой точки к вершине треугольника (кот вы провели вторым), тогда этот отрезок тоже перп-р (опир. на D). Тогда противопол стороны 4-уг-ка || и далее то же...
Круто! Можно ещё так: как известно, расстояние от центра описанной до стороны равно x/2 (доказывается в одну строчку). Тогда у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами x/2, a/2, D/2. Отсюда следует требуемое
Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположного стороны, а дальше Пифагор
Отличное решение, я поставил на паузу на 3:30, думал минут 10, но нашёл треугольник ровно тот же, исходил именно из теоремы пифагора, но не понял как доказать что гипотенуза пересекает центр окружности, с чего вдруг это диаметр, а не хорда? я такие свойства прямоугольного треугольника в окружности давно забыл)
@@abitlogic6913 вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если вписан прямой угол, то дуга 180 градусов, а это половина окружности, значит хорда - диаметр
@@abitlogic6913, Вы спросили "Почему..?" - я Вам ответил. Если нужно доказательство, то так бы и написали, ибо я не обязан угадывать что-либо и уж тем более отчитываться в чем-то перед Вами... А решение можно придумать, например, такое: градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается (к тому же он равен половине центрального угла). Если центральный угол равен 180°, то он образован двумя радиусами, лежащими на одной прямой - диаметром, поэтому если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр. Доказательство Валентина Воропаева вообще выше всяких похвал, прям как из учебника 😀
@@KOPOJLb_King Всё верно) оставлю свои подозрения, что вы взяли из учебника слово в слово) а то фраза "вписанный угол равен половине градусной меры дуги" строго говоря откуда вообще следует? Мы в универе доказывали что синус есть непрерывная функция, а тут вон какое утверждение
Борис, или умные люди, объясните, почему степень корня - это только натуральное число и не равное одному? Почему такие ограничения, почему не могут быть например дроби или отрицательные числа или ноль?
С нулем совсем просто: корень n степени из числа a^b можно представить в виде а^(b/n), поэтому если n=0, то нужно делить на 0... Ну такое... По этой же причине сомнительно писать "дробный" или "отрицательный" корень, ибо через свойства степеней легко свести с натуральным значениям :) Ну а корень 1 степени - это и есть само число 😀 О иррациональных и других множествах чисел попрошу рассказать более опытных математиков, ибо сам не в состоянии что-либо об этом сказать :(
@@KOPOJLb_King С нулем, единицей и дробными я сам там подумал. А почему отрицательные нельзя, тут я хз. Я молчу про иррациональные и действительные, тут я просто не знаю что делать
@@kirillonf.m.4713 Если вам действительно интересно, в чём здесь дело, то ответ очень простой: это произвольное соглашение. Вот, например, что на эту тему пишет Пратусевич (Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, 2009): "Употребляя символ ⁿ√ мы полагаем, что n - натуральное число. Это соглашение не является общепринятым. Иногда в книгах встречаются записи вида ¹ᐟˣ√x, хотя большинством авторов принята точка зрения о том, что показателем корня является именно натуральное число, большее 1."
@@kirillonf.m.4713 А вот Колмогоров (Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл., 2008): "При нечётном n существует корень n-й степени из любого числа 𝒂 (в том числе отрицательного), и притом только один. Этот корень обозначают ⁿ√𝒂. Удобно считать, что корень первой степени из числа 𝒂 равен 𝒂." Впрочем, обозначение ¹√𝒂 явным образом в учебнике нигде не вводится, но и не запрещается.
поражаюсь, как можно настолько быстро это решить. круто!
Опыт большой. Ну и мозг тоже)
@@user-tapakxbxzozl Я и не говорил, что удивлён) поражён имеет другое значение, если что
Вот за что люблю смотреть Бориса, что несмотря на свои скиллы, не боится показать, что он тоже человек, а не математический оракул.
Оооо, это АСМР в начале)
-Вы продаёте теоремы по геометрии?
-Нет, только показываю
-Красивое
Я: сказал, что буду сдавать профиль
Учительница математики: 1:45
Красиво. Быстро сообразили. Но можно было без альфа доказать. Сразу провести отрезок, перпендикулярный стороне, на одной из которых вершина сидит, до пересечения с окружностью. Сразу бы вылез диаметр, потом угол, который опирается на него, получается прямым, и далее сразу параллелограмм. (В комментариях очень неудобно полное решение писать, поэтому сумбурно, но если сделать такие первые шаги, то дальше и так понятно будет)
А, да, красиво )
Если МО из Школково это увидит, он будет польщён!
Это точно! Зная Как МО ортоцентр дрочит
Я решил немного громоздко, при помощи грубой силы. Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра х = 2RcosA, а сторона а = 2RsinA (т. синусов)
Да, тоже красиво. Первый факт следует из того, что этот отрезок является диаметром окружности описанной вокруг верхнего треугольника, подобного исходному с коэффициентом cosA.
Я про это тоже успел подумать, стоя у доски, но не докрутил ))
И ЧЕ ВЫ ТАК ЛЮБИТЕ cos И sin, ИХ ЗНАЧЕНИЯ ТОЧНО ОПРЕДЕЛЕНЫ ?? УД
@@trushinbv А вы доказывали такое свойство? Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно удвоенному произведению радиуса описанной окружности на косинус угла этой вершины.
Борис, спасибо за ваше служение математике, школьникам и студентам!
Ролик зашёл, побольше такого контента
Красивый факт!
Краусавчик! Мне сорок, сижу смотрю и оторваться не могу. Сыну 7 лет (2 класс), потихоньку с ним занимаюсь. Посаветуете ресурс, где можно увлекательно и буджетно заниматься с сыном.
Какое у Вас, однако, чутьё, Борис Викторович! Полминуты смотрели на чертёж - и готово доказательство, кстати, не самое очевидное. *Спасибо!*
это уже поэзия - очень красиво!
А ведь действительно красиво
Даёшь больше АСМР!!!
Я даже загуглил что это такое )
Вот такое прям люблю. Какие хорошие дети на курсах.
если есть сумма квадратов, которая равна другому квадрату - делай, что хочешь, но своди это все в пифагора.
Там в комментах предложили решение без Пифагора.
Там легко показать, что один отрезок равен 2RsinA, а другой-- 2RcosA
Ребята, по этой теме рекомендую хорошую книгу "Новые встречи с геометрией" (в оригинале Geometry Revisited), там как раз рассматриваются и доказываются многие интересные свойства треугольников и окружностей.
*Из теоремы синусов:*
x = 2R⸱cos A = D⸱cos A; (A - угол при вершине тр-ка)
a = 2R⸱sin A= D⸱sin A;
x² + a² = D²⸱( cos² A + sin² A) = D².
Классно, спасибо за задачу! Решил ее быстро так как уже несколько других свойств доказывал.
Если очень захотеть, то Пифагора можно и в облаках походу увидеть
Пифагор- он всюду, без него - ну никак.
не, в облаках вроде как Большая Медведица. Её можно увидеть если захотеть
Красиво!!! Возьму на заметку.
1:30 Так и напрашивается сюда вставка "One hour later..."
Именно поэтому я обошёлся без монтажа ))
Борису лайк, как всегда! Вы супер преподаватель!
прям возбудило решение! супер!
Вау! Живое решение еще круче!
О, я этого сюжета знаю)
Красивая штука имхо, хоть и не шибко сложная
Уже из формулировки похоже, что там прячется Пифагор)))
БРАВО, БОРИС !!
The best, как всегда!
3:06. Решил чисто геометрически. Хороший факт!
Я решил также! Единственное я перемудрил с тем, что при параллельном переносе отрезка x его конец будет лежать на окружности
решение понравилось!
параллелограмм нашел, но в лоб не понял как доказать, что параллелограмм
не оперирую углами через хорду, все через сложные пути, теперь на всегда запомню
Через вершину (каждую) провести прямую параллельно противоположной стороне. В получившемся треугольнике (он подобен исходному с коэффициентом 2) прежний ортоцентр станет центром описанной окружности. В новом треугольнике есть все нужные Пифагоры.
Необычайно Круто! Как вы догадались до такого?
Красиво доказывается
Я решил немного по-другому. Не стал рисовать окружность, а нарисовал треугольник, который получается при повороте исходного относительно середины одной из сторон на 180 градусов. Заодно доказал ещё один факт: если соединить ортоцентр повернутого треугольника с дальней вершиной исходного треугольника, этот отрезок будет диаметром описанной окружности исходного треугольника.
Я тоже довольно долго не мог понять, что написано в условии. Как говорится, русский язык "повысился".
Борис Трушин😍😍😍😍😍😍😍😍 мой герой
Офигеть!
Отразим ортоцентр относительно середины стороны, получим параллелограмм, а образ ортоцентра диаметрально противоположен вершине. x также равно противоположной стороне этого параллелограмма, отсюда x^2+a^2=D^2 по теореме Пифагора.
Тоже сразу захотелось увидеть Пифагор. Можно было и без введения альфы: провести перпендикуляр (кот. первый слева) и отрезок из новой точки к вершине треугольника (кот вы провели вторым), тогда этот отрезок тоже перп-р (опир. на D). Тогда противопол стороны 4-уг-ка || и далее то же...
Круто! Можно ещё так: как известно, расстояние от центра описанной до стороны равно x/2 (доказывается в одну строчку). Тогда у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами x/2, a/2, D/2. Отсюда следует требуемое
Это для равностороннего треугольника только
@@Арина-ъ3я8щ нет конечно. Это верно для любого треугольника, докажите, это несложно
Наикрутейшая крутизна! Но как можно было предположить такую связь!?
Очень круто!!!!!!!!!!!!!!!
Спасибо!
спасибо за разбор
Красиво!
гениально
Кайф
я удивлен)
удивили, так удивили
красиво красиво
600 лайков 0 дизлайков. Мощно!
Про интеграллы... Можно пожалуйста
Есть факт, что расстояние от вершины до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположного стороны, а дальше Пифагор
А будет разбор задач с только что прошедшего тургора? Они там довольно интересные были, а в интернете нигде разбора не нашёл
Теорема Менелая для пространства также существует
Да, есть какая-то. Но, на сколько я понимаю, это просто трижды записанная теорема из планиметрии
Чтобы это был ромб, треугольник должен быть равнобедренным. Если я ничего не перепутал.
Да
Отличное решение, я поставил на паузу на 3:30, думал минут 10, но нашёл треугольник ровно тот же, исходил именно из теоремы пифагора, но не понял как доказать что гипотенуза пересекает центр окружности, с чего вдруг это диаметр, а не хорда? я такие свойства прямоугольного треугольника в окружности давно забыл)
Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр 😉
Ну и наоборот, соответственно, хотя в данной задаче это не важно :)
@@KOPOJLb_King это ты знаешь, молодец, а смог бы это доказать сам? Я имею в виду не просто заученные фразы, а понимание откуда что следует
@@abitlogic6913 вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если вписан прямой угол, то дуга 180 градусов, а это половина окружности, значит хорда - диаметр
@@abitlogic6913, Вы спросили "Почему..?" - я Вам ответил.
Если нужно доказательство, то так бы и написали, ибо я не обязан угадывать что-либо и уж тем более отчитываться в чем-то перед Вами...
А решение можно придумать, например, такое: градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается (к тому же он равен половине центрального угла). Если центральный угол равен 180°, то он образован двумя радиусами, лежащими на одной прямой - диаметром, поэтому если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр.
Доказательство Валентина Воропаева вообще выше всяких похвал, прям как из учебника 😀
@@KOPOJLb_King Всё верно) оставлю свои подозрения, что вы взяли из учебника слово в слово)
а то фраза "вписанный угол равен половине градусной меры дуги" строго говоря откуда вообще следует? Мы в универе доказывали что синус есть непрерывная функция, а тут вон какое утверждение
Борис, или умные люди, объясните, почему степень корня - это только натуральное число и не равное одному? Почему такие ограничения, почему не могут быть например дроби или отрицательные числа или ноль?
С нулем совсем просто: корень n степени из числа a^b можно представить в виде а^(b/n), поэтому если n=0, то нужно делить на 0... Ну такое...
По этой же причине сомнительно писать "дробный" или "отрицательный" корень, ибо через свойства степеней легко свести с натуральным значениям :)
Ну а корень 1 степени - это и есть само число 😀
О иррациональных и других множествах чисел попрошу рассказать более опытных математиков, ибо сам не в состоянии что-либо об этом сказать
:(
@@KOPOJLb_King С нулем, единицей и дробными я сам там подумал. А почему отрицательные нельзя, тут я хз. Я молчу про иррациональные и действительные, тут я просто не знаю что делать
@@kirillonf.m.4713 Если вам действительно интересно, в чём здесь дело, то ответ очень простой: это произвольное соглашение. Вот, например, что на эту тему пишет Пратусевич (Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, 2009): "Употребляя символ ⁿ√ мы полагаем, что n - натуральное число. Это соглашение не является общепринятым. Иногда в книгах встречаются записи вида ¹ᐟˣ√x, хотя большинством авторов принята точка зрения о том, что показателем корня является именно натуральное число, большее 1."
@@allozovsky Интересно почему так.....
Столько загадок и так мало ответов
@@kirillonf.m.4713 А вот Колмогоров (Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл., 2008): "При нечётном n существует корень n-й степени из любого числа 𝒂 (в том числе отрицательного), и притом только один. Этот корень обозначают ⁿ√𝒂. Удобно считать, что корень первой степени из числа 𝒂 равен 𝒂." Впрочем, обозначение ¹√𝒂 явным образом в учебнике нигде не вводится, но и не запрещается.
Хах, круто
А почему гипатенуза это диаметр?
потому что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, угол 90° по построению => дуга 180°
Немного не осознал, почему это именно диаметр, а не какая-то хорда?
Хорда на которую опирается угол 90° является диаметром. А 90° там по построению (перпендикуляр)
Потому, что окружность описана вокруг прямоугольного треугольника. Гипотенуза в этом случае диаметр.
Не ученик, но с какого эта диагональ является диаметром? Может это просто хорда
опирается на впис угол равный 90°
Ты про гипотенузу? Если да то напротив угла в 90 ° лежит диаметр
Все, понял. Это типа 2 хорды, между которыми 90 градусов угол. Всегда была проблема с геометрией, хотя школу закончил с 5 по геометрии
"а зачем тебе это надо?"
Умный аж бля страшно!Сижу, смотрю нихуя не понятно,но оч. интересно.
а как доказать что тот отрезок и есть диаметр?
Прямой угол опирается на диаметр
@@trushinbv спасибо большое
можно при помощи AH=2OM_1 также решить
А как доказать, что последний отрезок - диаметр?
На него опирается вписанный прямой угол
А какие факты можно использовать без доказательства на ЕГЭ? Те, у которых есть названия?)
Только факты, доказательства которых можно найти хотя бы в одном из учебников по математике из официального перечня... 😉
@@KOPOJLb_King спасибо)
Возник вопрос: а почему хорда равна отрезку х?
Параллелограмм же
"Увидеть Пифагора" - это как "принять ислам"?
Ну не. Первое вполне законно))))))))))))