Я как человек уважающий индивидуальность каждого не понимаю ваше высказывание "петь правильные песни". Субъективность красит людей. Правильных или неправильных песен не бывает. Бывают с разным посылом, направлением и наполнением, что в свою очередь и приводит к разному мнению и критики к той или иной песни. Собственно это работает не только с песнями
Предлагаю элегантное решение. После того, как нашли нижний катет ( 3√5 ) найдем тангенс угла между ним и нижней стороной квадрата, ( назовем этот угол α ) . Это 1/2... Далее, легко заметить, что угол АСВ равен 2α. Поскольку треугольник ВСF равнобедренный, и противоположные стороны квадрата параллельны. ( Для наглядности можно провести из С прямую параллельную горизонтальным сторонам квадрата ). ( tg 2a= 2*tga /(1-tg²a) ) следовательно tg 2α = 4/3. Катет АВ = ВС х tg 2α , следовательно S = 1/2 х ( 3√5 )^2 х 4/3 = 30
Автор просто позиционирует себя как для младших школьников и явно угарает. Если котангенс FBC равен 3/6 (т.е. 1/2), то сразу ясно, что котангенс FCB равен 3/4. Котангенс двойного угла равен (0.5²-1)/(2*0.5)=-0.75, а котангенс π минус этот двойной угол просто имеет противоположный знак. А значит AB = 3*√5 / (3/4) = 4*√5; Площадь ABC = 3√5 * 4√5 / 2 = 30. Задача просто устная. Тригонометрия никогда не подводит и обычно всегда приводит к ответу наибыстрейшим образом. Но всегда есть любители решать именно как-то изящно с помощью дополнительных построений и подгонки под красивые геометрические факты.
Я решал при помощи тригонометрии через тангенс двойного угла. У меня тоже получилось 30. (Сложно по вашему чертежу пояснять из-за отсутствия имён у некоторых вершин, но попробую) 1) угол B в треугольнике со сторонами 3, 6, 3√5, тангенс которого равен 1/2, в 2 раза меньше, чем угол BCF 2) тангенс угла BCF находим по формуле тангенса двойного угла, он получается равен 3/4 3) в треугольнике АБС, зная тангенс угла ВСА, и катет BC, находим катет AB, он получается равным 4√5 4) перемножаем катеты и делим на 2, получаем 30.
Да, тригонометрический метод технически проще - меньше промежуточных вычислений, но это уже 8-й класс, причём, вторая его половина - тригонометрические преобразования (в т.ч. формулы сложения, тригонометрия двойных и половинных углов и т.д.). А в данном случае достаточно стандартного уровня знаний 7 класса.
@@dmitrymindrya4293 ладно, умник, особо то зубами не клацай... я то же давно решил эту задачку и без двух гранных углов... все равно это задача не 7го класса...
Преподавал у нас алгебру или геометрию сейчас уже не помню в 8 классе по моему (Я 1980 года). Рисовали какие то лотосы и пытались что то решать. Преподавателя в итоги уволили т.к. своя методика не допустима была (наверное и сейчас так). А очень жаль, очень интересно было мне как пацану который математику не любил т.к. не понимал. В итоге с высшей математикой до сих пор на вы, и кое где мне в жизни очень сильно помешало. Петр Александрович спасибо что не сдались и продолжаете учить. Я знаю как не просто тогда вам пришлось. Вы ВЕЛИЧИНА . Школа 124 г. Челябинск
30 - верный ответ. И решение попроще есть. Продолжить луч BF, опустить на него высоту из точки A. Обозначим точку пересечения как H. Если обозначить верхний правый угол исходного квадрата как G, то увидим подобие треугольников FCG и AFH. Вместе с тем треугольники ABH и CFG так же подобны. Значит, AH = 2*FH, и в то же время, AH = (1/2)*BH, а BH = BF+FH. BF известен. (6+FH)/2 = 2*FH; FH = 2. Площадь AFB = AH*FB/2 = FH*FB = 12. Площадь FCB - половина площади квадрата, т.е., 18. 18+12 = 30. Прелесть в отсутствии вычислений с корнями.
Решается проще. Повернем чертеж для удобства, начало координат в точке В. Тогда уравнения прямых: BA: y = x/2 CA: y = 2x-12 Приравниваем их (находим точку пересечения): x/2 = 2x-12 3x = 24 x = 8 y = 4 Площадь ABF = BF*h/2 = 6*4/2 = 12 Площадь BCF = BF*h/2 = 6*6/2 = 18 S = 12+18 = 30 Ответ: 30
@@Инженер-ю1д Подключаем математику) Для нормальных людей недавно - это 1-2 года. Если для неё 60 лет - это недавно, то получаем 16-18 = (16+2)*30-(18+2)*30 - (16+1)*60-(18+1)*60 = 540-600 - 1020-1140 лет
Вы супер преподаватель!! Создаёте интерес и просто предоставляете информацию, как моя учительница (самая уважаемая и любимая в школе Вера Ефимовна Урнёва, сожалею что не смогу уже её поблагодарить). Правда я был в школе 3-4, но алгебра 4-5 и геометрия 3-4. Очень не любил теоремы, не лежало к заучиванию без понимания происхождения.
Тоже получил ответ 30. Но решал немного под другим углом. Площадь треугольника, который внутри квадрата - очень просто половина основания на высоту S(BFC) = 1/2 * 6 * 6 = 18, из этого получил высоту FO, где точка О лежит на отрезке BC (основание треугольника BFC), FO = 2 * S(BFC) / BC = 12/корень(5); [далее k5]. Соответственно катет ОС = корень(гипотенуза(FC)^2 - катет(FO)^2) = корень(9*5 - 9*4*4/5) = 9 / k5, а дальше из подобия FO / OC = AB / BC => AB = FO*BC/OC = (12/k5 * 3*k5 / 9/k5) = 4 * k5; S(ABC)= 1/2 * BC * AB = 1/2 * 3*k5 * 4*k5 = 3 * 2 * 5 = 30. ОТВЕТ: S(ABC)=30.
@@alexseylugovskoj6174 Вы правы с помощью тригонометрия намного легче можно найти площадь,Площадь прямоугольного треугольника S=(1/4)(c)²sin(2alfa) ,где alfa острый уголь треугольника,Формула сделано мною
Принимаю ваш ответ! Принимаю вашу беспроигрышную позицию! Пусть она станет нашей для как можно большего количества людей! Вообще давно смотрю ваш канал не только из-за математики)
Отличная задача, спасибо! ИНТЕРЕСНО РЕШАТЬ ТАК: 1. Опускаем высоту на сторону FC с точки В (назовем ВO), это будет высота одновременно для ABC и BFC. Вычисляем ее, зная площадь BFC и основание FC, получаем 36/√45 2. Высоту АВС (ВO) знаем, осталось найти основание АС. ЗДЕСЬ САМОЕ ИНТЕРЕСНОЕ: АВС и ВМС подобны по двум углам (LОСВ=LACB они лежат друг на друге. И LABC=LBOC=90%) Таким образом АС/ВС=ВС/ОС (тоже интересно, что в обоих частях есть ВС). Отсюда АС=ВС^2/ОС. 3. ОС^2=BC^2-BO^2=45/1-36^2/45=(45^2-36^2)/45=(45-36)*(45+36)/45=9*81/45=729/45 отсюда ОС=√729/√45=27/√45 4. AC=(√45)^2/(27/√45)=45/(27/√45)=45*√45/27 5 S ABC=1/2*BO*AC=1/2*(36/√45)*(45*√45/27)=(1*36*45*√45)/(2*√45*27)=36*45/2*27=1620/54=30 Что и требовалось!
Решил без всяких тригонометрий, корней в три действия пропорциями. Точку D надо сделать на продолжении верхней стороны квадрата перпендикулярно BF, и прямой угол будет в нем DFB.Тогда Искомый большой треугольник АВС будет состоять из трех прямоугольных треугольников с катетами 6 и 3 ( общей суммой 27 ) и тупоугольного треугольника ADF. Чтобы вычислить его площадь, надо только найти его высоту ( поскольку основание равно 3) Для это надо из точки С провести параллельную АВ линию до пересечения с верхней стороной квадрата. Образуется новый прямоугольный треугольник , подобный нашему (который с катетами 6 и 3), причем коэффициент подобия равен 2. Поэтому вверху он отрежет от стороны квадрата катет в 1, 5. Останется тупоугольный треугольник со основанием 4.5 и высотой 3. А он подобен нашему искомому маленькому тупоугольному треугольнику с основанием 3 и неизвестной высотой. Составляем пропорцию и узнаем высоту. Она равна 2. Поэтому площадь ADF равна 3. Соответственно общая площадь равна 27 +3 =30.
Через тригонометрию еще проще: 1) Находим нижнюю сторону (3√5) 2) через теорему косинусов найдем угол 6²=45+45-90cos(a) a=arccos(0.6) 3) выражаем второй катет через тангенс: tg(arccos(0.6))=x/3√5 4)простое уравнение: tg(arccos(6/10))=√(10²-6²)/6=8/6 x/3√5=8/6 Через пропорцию: x=8*3√5/6=4√5 5) находим площадь через половину произведения двух катетов: 3√5*4√5/2=30 Любите тригонометрию ;)
Правильный ответ 30. Решал методом координат (В - начало координат, ось абсцисс и ординат - стороны квадрата). Треугольник АВС образован пересечением прямых АВ, ВС и АС. Координаты т. С(6,3). Координаты т. А находим из системы уравнений прямых АВ (у=-2х) и АС (у=-х/2+6). Получаем А(-4,8). |AB|=√((-4)²+8²)=4√5; |BС|=√(6²+3²)=3√5. S(АВС)=0,5*|AB|*|BС|=0,5*4√5*3√5=30. Ответ: 30.
Можно проще: 1) По теореме Пифагора находим BC 2) Ищем угол ACB 3) Зная сторону BC и углы ABC, ACB находим остальные стороны треугольника ABC 4) Находим площадь
BFC - равнобедренный треугольник, с известными нам сторонами. Находим угол у вершины C (у равнобедренного треугольника найти это не сложно, когда все стороны известны и высота). ABC - прямоугольный треугольник. Косинус угла при вершине С равен отношению катета BC к гипотенузе треугольника ABC (находим гипотенузу). Отсюда, зная катет и гипотенузу треугольника ABC, находим воторой катет АВ, АВ умножаем на ВС и результат делим на 2, получаем искомую площадь
Достроил до большего треугольника AEM, где вершина M - перпендикуляр из точки А на прямую содержащую нижнюю сторону квадрата, вершина E - точка пересечения продолжения АС и прямой содержащей нижнюю сторону квадрата. Треугольник АЕМ подобен треугольнику четвертинки квадрата и подобен треугольнику AMB. Отсюда легко найти, что AM=8, BM=4. Отсюда сторона EM = 4+6+6=16. Площадь АЕМ = 16*8/2=64, площадь AMB = 8*4/2=16, площадь АВС = 64 - 16 - 9 - 9 = 30
Такая задача наглядно решается на поле в клеточку. Каждая клеточка - один квадрат 6х6. По построению несложно понять, как пересекаются линии AB и AC и что высота треугольника AFB с основанием BF равна.4. Значит, площадь треуг AFB = 12, ответ - 30
только каждая клеточка это 1*1, а 6*6 - это 36 клеточек, а так зачетно, сам построил в геогебре как на листочке в клеточку, но так не сообразил посчитать, вот что значит посмотреть на ситуацию с другой точки зрения ))
1. Из треугольника ВС(буква не стоит вершина квадрата) находим sin C = 6/3sqrt5. Далее находим sin2C = 2cosC*sinC= 4/5. 2. sin С треугольника АВС = sin 2C (который мы нашли из прошлого треугольника). 180- С = sin C. 3. cos C = 3/5, tg C = 4/3 4. АВ = 4 sqrt5 5. S ABC = 30. Легкая задача все видно сразу. Никаких построений не требуется. Записал не очень корректно из-за ограниченного функционала.
Можно, вообще, без тригонометрии и радикалов. Буду пользоваться обозначениями точек как у автора ролика: нам нужны A, B, C, F. Верхний правый угол квадрата пусть E. Опускаем выcоту из вершины A в треугольнике ABF (потребуется продлить BF). Основание высоты пусть H. Треугольники AHF и FCE подобны. Следовательно, если обозначить HF за x, то AH = 2x. Треугольники AHF и AHB тоже подобны по двум углам (угол Н - прямой, угол HAF = HBA). Запишем соотношение катетов BH/AH = AH/HF, т.е. (6+x)/2x = 2x/x. Отсюда быстро находится x = 2. Значит, AH = 4. Далее, как и предлагает автор, считаем площади двух треугольников и складываем: S(ABC) = S(FBC) + S(ABF) = 0.5 * 6 * 6 + 0.5 * 6 * 4 = 30.
Да нет, Петр! 30 -- правильный ответ! Даже не переживайте! Я и третьим способом проверил -- снова 30... Решал третьим способом не для того, чтобы проверить результат "30", а просто хотелось хвастануть, что решил задачу тремя способами (решил по выпендриваться 😉). Тот, кто Вам дал эту задачу, сам накосячил с ответом.
Решила без тригонометрии, через подобие. Смотрела с удовольствием, предполагала, что у вас решение проще. Но, по факту, мое показалось интереснее))) Строим равнобедренный треугольник с основанием ВС и вершиной на нижней стороне квадрата (жаль, недостаточно букв на рисунке). Тогда справа от равнобедренного треугольника треугольник, подобный АВС. Причем легко вычисляются все стороны и коэффициент подобия.
Можно найти меньшую сторону треугольника, потом синус дальнего угла в квадрате, по формуле найти косинус того же угла, после этого тангенс. Найти бОльшую сторону треугольника. И после этого формула площади.
Я плох в геометрии, но зато умею выкручиваться и попробовал решить задачу путём суммирования бесконечного ряда. Если представить, что квадрат имеет размеры 1x1 и достроить его налево и вверх до 4 таких же квадратов, то мы обнаружим, что третья вершина треугольника находится на пересечении двух диагоналей, очень удобно пересекающих стыки и середины сторон этих квадратов. И можно обнаружить, что левая часть, которая ранее выходила за пределы исходного квадрата, представляет собой бесконечную сумму подобных треугольников, каждый из которых ровно в 4 раза меньше по площади чем предыдущий, а самый большой из них точно равен четверти площади квадрата, так как его вершины лежат на двух углах и середине одной из примыкающих к ним сторон . Значит нам надо узнать Σ(1/4^x) при x от 1 до бесконечности. А эта сумма равна 1/3. То-есть площадь «внешней» части треугольника: 1/3 от площади квадрата. Ну а площадь внутренней известна: 1/2 от площади квадрата. В сумме 5/6, ну а 5/6 от 36 это 30.
У меня тоже 30 получается. Но мне кажется быстрее и проще, зная стороны треугольника внутри квадрата, найти косинус угла между этими сторонами, а уже через косинус угла и катет находим гипотенузу прямоугольного треугольника, а оттуда и второй катет. У меня минуты три на это решение ушло
1)находим BC=CF 2) рассматриваем треугольник BCF: находим cosBCF по теореме косинусов, после чего тангенс угла по отт. 3) Через тангенс находим AB, после чего площадь через 2 катета и тот же ответ 30
объясните, пожалуйста, почему при расчете площади правильного треугольника применяется такая сложная формула корень из 3/4?! неужели нет более простой формулы расчета? ведь почти всегда число получается не целым, хотя в реальности это не так.
Можно было перейти к декартовой системе координат с началом координат в т.B, найти уравнение прямой BC = 0,5x, отсюда найти уравнение прямой AB = -2x (прямые перпендикулярные если k1*k2=-1, отсюда и -2). Находим уравнение для AB = 6 - 0,5x. Потом ищем точку пересечения прямых A, тупо приравняв -2x и 6 - 0,5x -> (-4;8). Потом ищем длины сторон по теореме Пифагора и S = 0,5AB*BC А можно просто использовать определённый интеграл)
Решал по другому, через тангенс углов. Ответ тоже 30. Сперва расстроился, когда вы сказали, что ответ неправильный, а потом решил проверить решение на практике, в autoCAD. Начертил фигуры как в задаче и померил. Ответ?!. 30! Значит все правильно вы/мы решили. Спасибо за интересное видео! Смотрю вас с удовольствием!
Задача класс, учитель супер! Я решил методом координат, приняв вершину В за (0, 0), две линейные функции, находим координаты А и дело в шляпе. А еще можно тригонометрически, найдя тангенс угла BCF.
Достроим до прямоугольника, где верхняя точка треугольника одна из вершин, а стороны квадрата содержат стороны прямоугольника. Внизу будут два подобных треугольника, значит снизу будет сторона x, а слева 2x, тогда отрезок справа 2x-6, а сверху x+6. Делаем пропорцию, получаем x=4, дальше через вычитание площадей 80-25-16-9=30
Уважаемый автор! Ответ 30 - верный. Но ваше решение - не самое быстрое. Предлагаю ознакомиться с моим вариантом. Есть формула площади прямоугольного треугольника по катеру и тангенсу прилежащего угла. Я буду использовать ваши буквы для обозначения отрезков. S = 1/2 * BC * BC * tg A. A = это угол, который образуют стороны AC и BC. Если применить формулу что сумма углов треугольника = 180, то вы увидите, что угол A = 2*X где X - угол, образуемый отрезком BC и НИЖНЕЙ СТОРОНОЙ квадрата. Как вы верно посчитали BC = корень(45). тангенс угла Х - бросается прямо в глаза = 3/6 = 0.5. Последний штрих - формула тангенса двойного угла, который равен удвоенному тангенсу данного угла, деленному на единицу минус квадрат тангенса того же угла. Получается S = 1/2 * BC * BC * tg A = 1/2 * 45 * 2 * tg X / (1-tg X * tg X) = 1/2 * 45 * 2 *0.5 / (1-0.5*05) = 22.5 * 1 / 0.75 = 30. Так гораздо быстрее решается и почти отсутствуют иррациональные числа.
Тангенс половины угла, который расположен на середине стороны квадрата, равен 1/2. По формуле двойного угла вычисляем тангенс целого угла: = 2 tgA/(1- tg^2A)=1/(1-1/4)=4/3. Найдём малый катет треугольника: = √(6^2+3^2 )=3√5. Второй катер равен первому, умноженному на 4/3. Итого, площадь равна (1*4/3 * (3√5.)^2)/2= 60
Сложновато Ваше решение. Из точки F опустить высоту на BC в точку О. Получаем 2 подобных треугольника ABC и FOC. Получаем равенство AB/BC=FO/OC Далее площадь FBC= BC*FO/2=3√5*FO/2=FB*6/2=18. Получается что FO=18*2/3√5=12/√5. Вычисляем OC=√FC*FC-FO*FO=9/√5. Теперь вспоминаем что AB/BC=FO/OC. Все данные в пропорции, кроме AB известны. Вычисляем AB=4√5. Площадь ABC=AB*BC/2=4√5*3√5/2=12*5/2=60/2=30
1. Нашли сторону ВС 2. нашли угол С, правой части треугольника (равнобедренного) 3. Нашли катет АВ, через угол С и катет ВС 4. Перемножили полученные стороны, и поделили пополам. Так же 30 вышло.
Задача легко решается на листочке в клеточку, там же углы с целочисленными тангенсами/котангенсами. Очевидно, что методом координат она тоже решается весьма просто. И если у автора ответ не сошелся, то либо автор налажал, либо у это у него так хитромудро записано число 30.
Ну и еще родил простое решение без метода координат, но идейно по тем же соображениям: Из точки A опустим высоту на BF (высоту назовем например AЁ). Теперь прямоугольные треугольники ABЁ и AFЁ подобны по острому углу (тут немножко рассуждений пропущено, но дотошный читатель, который это заметил, получает домашнее задание их восстановить, благо это несложно). Остается записать пропорцию: AЁ/BЁ = FЁ/AЁ = tg(ABF) = 1/2, из которой можно составить систему уравнений: AЁ/(6+FЁ) = 1/2, FЁ/AЁ = 1/2. Данная система сводится к простой СЛАУ, решив которую (это второе задание для дотошного читателя) находим AЁ = 4. В принципе, это все необходимые данные для нахождения площади треугольника ABF (6*4/2=12), а площадь ACF можно было найти и так(6*6/2=18). Остается сложить их (12+18=30).
Спасибо за ролик. В задаче на мой взгляд можно найти угол части, вписанной в квадрат, найти один из катетов и затем вычислить второй катет и в итоге площадь треугольника.
Площадь треугольника равна 30. Я достраивал треугольники по другому (рис на доске видео): от точки F продлил сторону квадрата влево - получим треугольник BFF'(F' будет точкой пересечения с катетом AB) равный треугольнику BCС'(точка с углом 90 не обозначена, но я ее обозначу как C'); Соответственно F'B=BC=v45; далее достраиваем вверх от точки F' прямоугольный треугольник AA'F'(точка A' получится на пересечении линии из точки А параллельной стороне квадрата и перпендикулярной линии из точки F' к этой же стороне квадрата). Вновь полученный треугольник AA'F' будет подобен треугольнику BFF' - соответственно выстраиваем соотношение сторон BF/F'A'=FF'/AA' - соответственно соотношение F'A'/AA'=2 и выразим отсюда F'A'=2AA'; далее подставив известные цифры в предыдущее соотношение и а вместо F'A' подставив 2AA' получим следующее - 6/2AA'=3/AA' и решив это уравнение получим что AA'=1, соответственно F'A'=2AA'=2*1=2; по теореме Пифагора найдем гипотенузу AF'=v5 (корень из 5); учитывая что катет AB искомого треугольника складывается из гипотенузы AF' и F'B, то получим величину v5+3v5=4v5; ну и далее вычисляем площадь искомого треугольника ABC=1/2*4v5*3v5=2v5*3v5=6*5=30. Как то так) P.S. А раз ответ у вас не сходится с ответом автора, значит автор ошибся с ответом) это тоже нельзя исключить ибо я начертил для проверки эти фигуры в Автокаде и площадь треугольника получилась ровно 30. Теперь точно все)
Решил сначала с помощью линейной алгебры, а потом тригонометрии. Тригонометрический способ уже описан. С помощью линейной алгебры: Пусть B - начало координат, тогда имеем векторы: BC=(6, 3), BD=(0, 6), CD=BD-BC=(-6, 3). Тогда CA=X*CD, где X надо найти. X найдём из условий BA=BC+CA и Dot(BA, BC)=0. Отсюда X=5/3. Далее находим BA = BC+CA = (6,3) + 5/3 * (-6,3) = (-4,8). Осталось найти площадь (модуль векторного произведения двух векторов c общим началом равен параллелограмма, построенного на этих векторах): S = |Cross(BC, BA)|/2 = (6*8-3*(-4)) / 2 = 30. Ответ: 30
1. Ищем сторону треугольника внутри квадрата. Корень из (6^2+9^2)=корень 45=3корня5. 2. По теореме косинусов ищем косинус угла треугольника внутри квадрата. Cos α = (b^2+c^2-a^2)/2bc. b и c - это 3корня5, а - 6. после подстановки получаем Cos α =0,6 3. Cos α - это отношение стороны треугольника внутри квадрата к гипотенузе большого треугольника, откуда гипотенуза = 5 корней 5 4. Третья сторона большого треугольника по теореме Пифагора 4 корня 5. 5. Площадь большого треугольника S= (3корня5*4корня5)/2=30 6. Треугольник получается египетский - соотношение сторон 3-4-5
Кстати площадь в 18 условных единиц можно найти, если разделить квадрат на 4 равных треугольника, тогда треугольник, находящийся внутри квадрата занимает ровно 2 треугольника из 4, а площадь квадрата 6*6=36 и 36/2=18. Звучит сложно, но на практике чуть проще и в устном счёте
Все гораздо проще!) Находим сторону треугольника 6,71. Далее мы имеем внутри квадрата равнобедренный треугольник с известными всеми тремя сторонами. Находим угл вершины. ->он же искомый угл нашего треугольника. А далее дело техники мы знаем у треугольника 2 угла (один 90гр.) и сторону основания. Ответ 30-верный. Но у меня почему то через калькулятор треугольников вышло 30,03я наверное из-за иррациональных чисел.
Прямоугольный треугольник с катетом 6,7 при 3^5,если угол 60 грд и тот угол 30. Противолежащий половина гипотинузы. С^2=а^2+б^2 в прямоугольном. Отсюда 6,7 х2= Вычисляем катет, прямоугольник 2 половинки треугольник в, делим на 2. Итого на до калькулятор 38~ Это на вскид, быстро примерно.
В конце перемножил весь треугольник на корень из 45, для проверки корректности соотношения сторон. Всё сошлось.24/60 = 18/45 = 30/75 Площадь искомого треугольника = 30. (всё верно) Плюс проверил стороны по Теореме Пифагора (как маленький, так и искомый) все данные сошлись.
Решается достроением. Нужно достроить два квадрата равных данному, один слева и еще один сверху достроенного. Искомый треугольник разбивается на три треугольника с площадями 18, 9 и 3
верхний квадрат рассекается диагональю слева направо (сверху вниз) на два прямоугольных треугольника, в левом треугольнике строим три медианы, которые делят его на шесть равновеликих треугольников, один из них является искомым с площадью 1/6 от половины квадрата
Можно усложнить условие Деление стороны квадрата размером =a+b=c Найти соотношение площадей Прямоугольного треугольника\квадрата относительно пропорции a\b\c=a+b От 2/4 до 1/1
Решение в пять раз короче: продлить верхнюю сторону квадрата разделив верхний треугольник на два. Меньший будет подобен левому с коэфициентом 2. Значит его площадь 1/4 от общего. А больший 3/4 и равен нижнему треугольнику отсеченному у квадрата, т.е. 1/4 площади квпдрата.
Я поступил с ним аналогичным образом. Я сделал горизонтальный разрез, продолжающий ВС. Затем я повернул верхний треугольник на 180° вокруг F, а нижний треугольник повернул на 90° по часовой стрелке вокруг B. Проведя диагональ из правого верхнего угла квадрата, мы видим, что площадь искомого треугольника соответствует площади квадрат минус два симметричных диагонали треугольника, которые имеют размер 1/4 * 1/3 содержимого квадрата. Таким образом, найденное содержимое равно 36 * (1 - 2 * 1/12) = 36 * 5/6 = 30. (omlouvám se, Google překlad =žádná sláva :)
Если DF не высота, а биссектриса, то получается, что DF=DB, а DB=AD. Дальше, узнаем катет DB, в равнобедренном треугольнике DFB... Пальцем в небо, но ответ должен совпасть. Проверочная работа: проведение биссектрисы BE, середина отрезка AC...
Я решил задачу в уме. Обозначим правую нижнюю вершину квадрата М. Находим тангенс СВМ. Угол АСВ в два раза больше угла СВМ - находим тангенс АСВ через формулу двойного угла. Сторону ВС нашел так же,как автор. Итого: в треугольнике АВС знаем катет ВС и тангенс угла С. От сюда легко найти сторону АС. Два катета знаем - ищем площадь.Ответ тоже 30.
Вы гениальный учитель и человек!!! За классическую позицию уважение! Только вперёд, запасной Земли у нас нету, да и не нужно нам другой. Она была нашей, на сегодня, полтора миллиарда лет.
Есть же решение проще) угол ACB равен двум углам CF(вершина без буквы) Тангенс угла CF(вершина без буквы) равен 1/2 Значит тангенс угла FCB = 2tg(CF(вершина без буквы))/(1-tg^2(CF(вершина без буквы))= 4/3 Отсюда находим AB зная BC: tg(FCB) = AB/ BC отсюда AB= tg(FCB)*BC= 4/3*3 корня из 5= 4 корня из 5 Площадь треугольника ABC = 1/2 AB * BC = 30
Легче всего решить, если достроить прямоугольник, опуская перпендикуляры из вершины треугольника А на продолжения сторон квадрата (нижней и правой). Тогда не надо ни корней, ни тангенсов.
Просто найти косинус угла двумя способами. Первый по теореме косинусов, второй через косинус в прямоугольном треугольнике. Потом найти синус. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
Если ввести систему координат В(0;0) ,то решив систему y=-2х y=-0,5x+6 получим А(-4;8) , думаю дальнейшие действия не требуют пояснения. Ответ 30 и ни каких иррациональных чисел. Спасибо за ваши ролики.
Синус FCB это площадь треугольника FCB(18) разделить на BC*FC и умножить на 2. То есть 36/45. Через синус находим тангенс(4/3) , через тангенс - второй катет(4*sqrt(5)). через второй катет - площадь, 30.
Есть проще решение: В треугольнике BFC применяем теорему косинусов и находим косинус угла BCF Дальше находим AC=BC/cos BCF Потом применяем теорему Пифагора в треугольнике ABC и находим AB: S=AB*BC/2
можно ещё через общий угол расписать в треугольнике провести высоту CH, угол BCH = 1/2 углу FCB BC = FC = (корень из 45) - - - (с = (корень из (a^2 + b^2))) sin угла BCH = 3/(корень из 45) cos угла BCH = 6/(корень из 45) sin угла FCB = 2*3/(корень из 45)*6/(корень из 45) = 36/45 = 4/5 - - - (sin2a = 2sinacosa) cos угла FCB = (корень из (1 - sin^2 угла FCB)) = 3/5 cos угла FCB = BC/FC+AF = корень из 45 / (корень из 45) + AF => => AF = 2/3(корень из 45) => AC = 5/3(корень из 45) => => AB = 4/3(корень из 45) => => S = 1/2*4/3*(корень из 45)*(корень из 45) = 2/3*45 = 30
Предлагаю поместить квадрат в декартову систему координат. Задать прямую AC, а прямая AB ей перпендикулярна. Решив систему уравнений, найдём координаты точки А(-4;8) . А значит найдём длину катета АВ(4√5). Катет ВС(3√5). Площадь "30".
Попробуйте рассмотреть и найти углы отсечённых треугольников квадрата затем найти угол вершине А, из этого следует, из этого следует что треугольник ABC имеет углы а и c равные и они составляют , а угол ABC равен 90° следовательно - это равнобедренный треугольник так как угол b прямой следовательно данные углы составляют 45°, дальше всё просто ищите либо через угол либо через два катета ответ состоит 45 / 2
Кстати, заметил, что искомый прямоугольный треугольник является пифагоровым (соотношения сторон 3:4:5). Правда, не нашёл, как бы это красиво использовать. 🙂
Мы с шестиклассникм чертили по клеточкам и тоже увидели Пифагора))) вычислили все три стороны: 3√5, 4√5 и 5√5. Дальше дело техники и ответ, как у всех - 30)))
Доброе время суток. Такие задачи хороши тем, что: 1. Старшеклассники одним способом 2. Средняя школа другим 3. Начальная школа с помощью метода пика и палетки (подсчёт квадратов или узлов) По методу палетки: Площадь треугольника=18+12,5=30,5 По методу пика: Площадь треугольника=18+13=31 // но всё же правильный ответ 30
Как же в школе я терпеть не мог Геометрию , но с каким удовольствием сейчас ( 33 года) смотрю эти ролики )). Эх мне бы такого учителя в школьные годы , ну и наверное интерес которые сейчас присутствует ))- вообщем , жаль ,что не сошлись ранее звёзды ))
Решал через подобие треугольников. Ответ тоже получился 30. Только дополнительные построения другие. Продлил нижнюю сторону квадрата вправо на 6 единиц и конец соединил с точкой С в видеоролике. Продлил верхнюю сторону квадрата влево до стороны АВ. Получаем два подобных треугольника с нижними сторонами 3 и 12 соответственно. Из подобия находим катет АВ. АВ = √80 ВС = √45 откуда S = 1/2 * √80 * √45 = 1/2 * √3600 = 30
Есть простое визуальное решение через построение второго такого же квадрата слева вверху так, чтобы его нижний правый угол совпадал с верхним левым углом первого квадрата, а нижняя сторона была продолжением его верхней стороны. Очень просто увидеть треугольники с площадями 3, 9 и 18, из которых состоит искомый треугольник.
Т.К. угол АВС равен 90 градусов тогда длинна отрезка АВ равна корню суммы отрезка ВF в квадрате плюс ВС в квадрате Получается отрезок АВ равен 9 . Дальше дело техники 9 умножаем на корень из 45 и делим на 2 и получаем площадь треугольника АВС Если округлить ответ примерно равен 30 А если точнее 30.3 с копейками
Посмотрел) Возник вопрос: а зачем так сложно решать? Я решил следующим образом, воспользовавшись: Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу S=0,5⋅a^2⋅tgα, где a - катет, α - прилежащий угол. Или в обозначениях задачи, площадь треугольника АВС = 0,5*ВС^2*tg(угла ВСА) Ищем BC^2 = 6^2 + 3^2 = 45 Ищем угол ВСА, он будет равен 180 - два зеленых угла при точке С Ищем один зеленый угол. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т.е. 6/3=2 Соответственно, сам зеленый угол равен arctn2, два же зеленых угла равны 2*arctn2 Значит искомый угол ВСА равен 180-2*arctn2 Тангенс этого угла, необходимый нам для поиска площади треугольника АВС (см. формулу S выше), равен 1 1/3 (одна целая и одна треть), или 4/3, опустил выкладки Ищем площадь S=0,5*45*(4/3)=30 и все) или эту задачу нельзя решать с тригонометрией?
... DF в три раза больше того числа, что его в три раза меньше...😂 ...эти штуки, минус эти... Просто балдею) (Не со зла). Смотрел до конца с удовольствием. Спасибо!
На самом деле все проще: 1) Находим ВС по Пифагору 2) Находим в равнобедренном треугольнике BCF косинус угла С (по теореме косинусов). 3) Через этот косинус находим гипотенузу треугольника АВС 4) По Пифагору находим АВ. 5) Находим площадь половиной произведения катетов
Должна ли АС проходить через точку F? Если да, то продлите ВС до пересечения с верхней стороной квадрата. Полученный треугольник будет подобен АВС. Ну и ещё - ВСF равнобедренный...
надо поодолжить влево нижний лежачий внутри отрезок . соединть конец отрезка с верхней точкой наклоненного треугольника. получим треугольник. его можно вписать в квадрат. а далее просто решение и вычитания. легко решается. школу закончил 44 года тому назад.
Немного другое решение: ∆BCF - равнобедренный, все его стороны известны, оттуда выражаем cos(BCF), и говорим что cos(BCF) = BC/AC, далее по теореме Пифагора находим AB
Пётр, фигня, что слуха нет. Главное - петь правильные песни.
Спасибо Вам и за математику, и за жизненную позицию!
Спасибо за позицию и за увлекательную геометрию!
Я как человек уважающий индивидуальность каждого не понимаю ваше высказывание "петь правильные песни". Субъективность красит людей. Правильных или неправильных песен не бывает. Бывают с разным посылом, направлением и наполнением, что в свою очередь и приводит к разному мнению и критики к той или иной песни. Собственно это работает не только с песнями
Предлагаю элегантное решение. После того, как нашли нижний катет ( 3√5 ) найдем тангенс угла между ним и нижней стороной квадрата, ( назовем этот угол α ) . Это 1/2... Далее, легко заметить, что угол АСВ равен 2α. Поскольку треугольник ВСF равнобедренный, и противоположные стороны квадрата параллельны. ( Для наглядности можно провести из С прямую параллельную горизонтальным сторонам квадрата ). ( tg 2a= 2*tga /(1-tg²a) ) следовательно tg 2α = 4/3. Катет АВ = ВС х tg 2α , следовательно S = 1/2 х ( 3√5 )^2 х 4/3 = 30
Доработаем в сторону элегантности. Пусть Верхняя сторона квадрата будет FE и опустим перпендикуляр AT из А на BF. Пусть АТ=х,
Я тоже через тангенсы решала
Автор просто позиционирует себя как для младших школьников и явно угарает. Если котангенс FBC равен 3/6 (т.е. 1/2), то сразу ясно, что котангенс FCB равен 3/4. Котангенс двойного угла равен (0.5²-1)/(2*0.5)=-0.75, а котангенс π минус этот двойной угол просто имеет противоположный знак. А значит AB = 3*√5 / (3/4) = 4*√5; Площадь ABC = 3√5 * 4√5 / 2 = 30. Задача просто устная. Тригонометрия никогда не подводит и обычно всегда приводит к ответу наибыстрейшим образом. Но всегда есть любители решать именно как-то изящно с помощью дополнительных построений и подгонки под красивые геометрические факты.
Я решал при помощи тригонометрии через тангенс двойного угла. У меня тоже получилось 30.
(Сложно по вашему чертежу пояснять из-за отсутствия имён у некоторых вершин, но попробую)
1) угол B в треугольнике со сторонами 3, 6, 3√5, тангенс которого равен 1/2, в 2 раза меньше, чем угол BCF
2) тангенс угла BCF находим по формуле тангенса двойного угла, он получается равен 3/4
3) в треугольнике АБС, зная тангенс угла ВСА, и катет BC, находим катет AB, он получается равным 4√5
4) перемножаем катеты и делим на 2, получаем 30.
тоже решил этим путём
В п. 2) опечатка - должно быть 4/3, а не 3/4.
Тоже так решил. Кажется так проще.
Так же решал 👍
Да, тригонометрический метод технически проще - меньше промежуточных вычислений, но это уже 8-й класс, причём, вторая его половина - тригонометрические преобразования (в т.ч. формулы сложения, тригонометрия двойных и половинных углов и т.д.). А в данном случае достаточно стандартного уровня знаний 7 класса.
ЗдОрово. На 15 минут вернулся в 7 класс. Мальчик Саша, 50 годиков.
Тогда снимаю шляпу)))
@@АртемО-о2ш А шляпу лучше вообще не надевать - чтоб не снимать.
@@dmitrymindrya4293 ладно, умник, особо то зубами не клацай... я то же давно решил эту задачку и без двух гранных углов... все равно это задача не 7го класса...
@@dmitrymindrya4293 советчик, вроде 58, а поведение ребенка... без сопливых разберёмся, что одевать и когда снимать
Лайк плюс подписка
В процессе просмотра, параллельно прочерчивал в Компасе. Померял площадь, получил ответ 30. Практика критерий истины👍
В AutoCAD тоже 30 получается
@@fectum7440
А своей головой слабо????
@@sv6183 речь не про голову, а проверка спорного момента
@@TEOPEMA1 Ну да, ну да.
Только не промер критерий истины.
Преподавал у нас алгебру или геометрию сейчас уже не помню в 8 классе по моему (Я 1980 года). Рисовали какие то лотосы и пытались что то решать. Преподавателя в итоги уволили т.к. своя методика не допустима была (наверное и сейчас так). А очень жаль, очень интересно было мне как пацану который математику не любил т.к. не понимал. В итоге с высшей математикой до сих пор на вы, и кое где мне в жизни очень сильно помешало. Петр Александрович спасибо что не сдались и продолжаете учить. Я знаю как не просто тогда вам пришлось. Вы ВЕЛИЧИНА . Школа 124 г. Челябинск
С днем учителя. Спасибо, что несете знания в массы.
Он несет геморрой в массы ... потому как рака за камень заводит, а не учит мыслить
Спасибо. Просто решил отдохнуть вечерком и послушать хорошего человека. А задачка не так проста оказалась.
Согласен с многими комментариями, что-то помню из геометрии, но в общем понятно что ничего не понятно, но смотрю с интересом и удовольствием 👍👍👍
Такая же тема...)))
Такая же фигня. 🤝
Здравствуйте давно смотрю вас и все больше и больше начинаю понимать математику и геометрию спасибо вам. Удачи и успехов в работе и в жизни 😁
30 - верный ответ. И решение попроще есть. Продолжить луч BF, опустить на него высоту из точки A. Обозначим точку пересечения как H. Если обозначить верхний правый угол исходного квадрата как G, то увидим подобие треугольников FCG и AFH. Вместе с тем треугольники ABH и CFG так же подобны. Значит, AH = 2*FH, и в то же время, AH = (1/2)*BH, а BH = BF+FH. BF известен. (6+FH)/2 = 2*FH; FH = 2. Площадь AFB = AH*FB/2 = FH*FB = 12. Площадь FCB - половина площади квадрата, т.е., 18. 18+12 = 30. Прелесть в отсутствии вычислений с корнями.
Решается проще. Повернем чертеж для удобства, начало координат в точке В. Тогда уравнения прямых:
BA: y = x/2
CA: y = 2x-12
Приравниваем их (находим точку пересечения):
x/2 = 2x-12
3x = 24
x = 8
y = 4
Площадь ABF = BF*h/2 = 6*4/2 = 12
Площадь BCF = BF*h/2 = 6*6/2 = 18
S = 12+18 = 30
Ответ: 30
Неожиданный способ, красивое решение.
Вы как-то разворачивали треугольник?
Уравнения получаются -2х = -х/2+6.
Отсюда точка А имеет координаты (-4;8)
@@vyacheslavgudz2832 Да, как я и писал - "Повернем чертеж для удобства, начало координат в точке В." Поворот по часовой стрелке на 90 градусов.
Я закончила школу недавно, 60 лет тому назад, не всё помню, но Ваши задачи - это песня! Слушаю и наслаждаюсь. Огромное спасибо за то, что Вы есть❤.
А сколько Вам лет-то?!
@@govnetso8041 +-78
@@govnetso8041 Подключаем математику) 60 лет назад, советские 10 классов, ребенка отдавали в 6-8 лет итого получаем 76-78
@@Инженер-ю1д Подключаем математику) Для нормальных людей недавно - это 1-2 года. Если для неё 60 лет - это недавно, то получаем 16-18 = (16+2)*30-(18+2)*30 - (16+1)*60-(18+1)*60 = 540-600 - 1020-1140 лет
интересная штука получается
ведь есть такое соотношение:
α = atan(1/2)
2α = atan(3/4)
тогда:
в пр.уг △ с катетами 6 и 3 угол В = atan(1/2)
тогда в пр.уг △ ABC угол С = 2В =atan(4/3)
т.е АВ/ВС = 4/3
ВС находим по теореме пифа. =3√5
АВ = 4√5
АВ*ВС / 2 = 12*5 /2 = 30
только арктангенс, а не тангенс, либо tg(α)=1/2
@@LukasKamin cпасибо за замечание
глазастый какой))
это знаете как бывает
думаешь правильно а пишешь что попало
Шта?
Таки да, вообще пару секунд решать тогда
У меня вышло 40.5 у автора сколько?
Вы супер преподаватель!! Создаёте интерес и просто предоставляете информацию, как моя учительница (самая уважаемая и любимая в школе Вера Ефимовна Урнёва, сожалею что не смогу уже её поблагодарить). Правда я был в школе 3-4, но алгебра 4-5 и геометрия 3-4. Очень не любил теоремы, не лежало к заучиванию без понимания происхождения.
Тоже получил ответ 30. Но решал немного под другим углом.
Площадь треугольника, который внутри квадрата - очень просто половина основания на высоту S(BFC) = 1/2 * 6 * 6 = 18,
из этого получил высоту FO, где точка О лежит на отрезке BC (основание треугольника BFC), FO = 2 * S(BFC) / BC = 12/корень(5); [далее k5].
Соответственно катет ОС = корень(гипотенуза(FC)^2 - катет(FO)^2) = корень(9*5 - 9*4*4/5) = 9 / k5,
а дальше из подобия FO / OC = AB / BC => AB = FO*BC/OC = (12/k5 * 3*k5 / 9/k5) = 4 * k5;
S(ABC)= 1/2 * BC * AB = 1/2 * 3*k5 * 4*k5 = 3 * 2 * 5 = 30. ОТВЕТ: S(ABC)=30.
Я решил по своему
Мне тоже первое, чио пришло в голову- с помощью тригонометрии найти недостающие данные
@@alexseylugovskoj6174 Вы правы с помощью тригонометрия намного легче можно найти площадь,Площадь прямоугольного треугольника S=(1/4)(c)²sin(2alfa) ,где alfa острый уголь треугольника,Формула сделано мною
Спасибо !! Очень познавательно. Ваши уроки всегда понятны и просты, не смотря на сложность
Через теорему косинусов и т. Пифагора быстро приходим к ответу 30(кв.ед)💁
Пётр Александрович, снова спасибо! Да, и слух - не самое важное в жизни )))
Принимаю ваш ответ! Принимаю вашу беспроигрышную позицию! Пусть она станет нашей для как можно большего количества людей!
Вообще давно смотрю ваш канал не только из-за математики)
Отличная задача, спасибо!
ИНТЕРЕСНО РЕШАТЬ ТАК:
1. Опускаем высоту на сторону FC с точки В (назовем ВO), это будет высота одновременно для ABC и BFC. Вычисляем ее, зная площадь BFC и основание FC, получаем 36/√45
2. Высоту АВС (ВO) знаем, осталось найти основание АС. ЗДЕСЬ САМОЕ ИНТЕРЕСНОЕ: АВС и ВМС подобны по двум углам (LОСВ=LACB они лежат друг на друге. И LABC=LBOC=90%) Таким образом АС/ВС=ВС/ОС (тоже интересно, что в обоих частях есть ВС). Отсюда АС=ВС^2/ОС.
3. ОС^2=BC^2-BO^2=45/1-36^2/45=(45^2-36^2)/45=(45-36)*(45+36)/45=9*81/45=729/45 отсюда ОС=√729/√45=27/√45
4. AC=(√45)^2/(27/√45)=45/(27/√45)=45*√45/27
5 S ABC=1/2*BO*AC=1/2*(36/√45)*(45*√45/27)=(1*36*45*√45)/(2*√45*27)=36*45/2*27=1620/54=30
Что и требовалось!
Решил без всяких тригонометрий, корней в три действия пропорциями. Точку D надо сделать на продолжении верхней стороны квадрата перпендикулярно BF, и прямой угол будет в нем DFB.Тогда Искомый большой треугольник АВС будет состоять из трех прямоугольных треугольников с катетами 6 и 3 ( общей суммой 27 ) и тупоугольного треугольника ADF. Чтобы вычислить его площадь, надо только найти его высоту ( поскольку основание равно 3) Для это надо из точки С провести параллельную АВ линию до пересечения с верхней стороной квадрата. Образуется новый прямоугольный треугольник , подобный нашему (который с катетами 6 и 3), причем коэффициент подобия равен 2. Поэтому вверху он отрежет от стороны квадрата катет в 1, 5. Останется тупоугольный треугольник со основанием 4.5 и высотой 3. А он подобен нашему искомому маленькому тупоугольному треугольнику с основанием 3 и неизвестной высотой. Составляем пропорцию и узнаем высоту. Она равна 2. Поэтому площадь ADF равна 3. Соответственно общая площадь равна 27 +3 =30.
Через тригонометрию еще проще:
1) Находим нижнюю сторону (3√5)
2) через теорему косинусов найдем угол 6²=45+45-90cos(a)
a=arccos(0.6)
3) выражаем второй катет через тангенс: tg(arccos(0.6))=x/3√5
4)простое уравнение:
tg(arccos(6/10))=√(10²-6²)/6=8/6
x/3√5=8/6
Через пропорцию:
x=8*3√5/6=4√5
5) находим площадь через половину произведения двух катетов:
3√5*4√5/2=30
Любите тригонометрию ;)
Правильный ответ 30. Решал методом координат (В - начало координат, ось абсцисс и ординат - стороны квадрата). Треугольник АВС образован пересечением прямых АВ, ВС и АС. Координаты т. С(6,3). Координаты т. А находим из системы уравнений прямых АВ (у=-2х) и АС (у=-х/2+6). Получаем А(-4,8). |AB|=√((-4)²+8²)=4√5; |BС|=√(6²+3²)=3√5. S(АВС)=0,5*|AB|*|BС|=0,5*4√5*3√5=30. Ответ: 30.
Тоже решил так. Как вы ещё квадраты и корни пририсовали в комментариях на ютубе?
@@maksimmaksimovich4296 из таблицы символов
Можно проще:
1) По теореме Пифагора находим BC
2) Ищем угол ACB
3) Зная сторону BC и углы ABC, ACB находим остальные стороны треугольника ABC
4) Находим площадь
BFC - равнобедренный треугольник, с известными нам сторонами. Находим угол у вершины C (у равнобедренного треугольника найти это не сложно, когда все стороны известны и высота). ABC - прямоугольный треугольник. Косинус угла при вершине С равен отношению катета BC к гипотенузе треугольника ABC (находим гипотенузу). Отсюда, зная катет и гипотенузу треугольника ABC, находим воторой катет АВ, АВ умножаем на ВС и результат делим на 2, получаем искомую площадь
Достроил до большего треугольника AEM, где вершина M - перпендикуляр из точки А на прямую содержащую нижнюю сторону квадрата, вершина E - точка пересечения продолжения АС и прямой содержащей нижнюю сторону квадрата. Треугольник АЕМ подобен треугольнику четвертинки квадрата и подобен треугольнику AMB. Отсюда легко найти, что AM=8, BM=4. Отсюда сторона EM = 4+6+6=16. Площадь АЕМ = 16*8/2=64, площадь AMB = 8*4/2=16, площадь АВС = 64 - 16 - 9 - 9 = 30
Такая задача наглядно решается на поле в клеточку. Каждая клеточка - один квадрат 6х6. По построению несложно понять, как пересекаются линии AB и AC и что высота треугольника AFB с основанием BF равна.4. Значит, площадь треуг AFB = 12, ответ - 30
только каждая клеточка это 1*1, а 6*6 - это 36 клеточек, а так зачетно, сам построил в геогебре как на листочке в клеточку, но так не сообразил посчитать, вот что значит посмотреть на ситуацию с другой точки зрения ))
Ооо любимая геометрия! Все задачи решал несколькими способами, до сих пор люблю геометрию☝️и черчение
Задача в уме решается.... тангенс равен 3/6 или 0.5...тангенс двойного угла равен 4/3.... Площадь равна 0.5*3√5*3√5*4/3 =30...
именно такое желание появилось, а не строить все эти треугольники, высоты и прочее. По катету и углу.
Как это можно решить в уме????
Он так решает,чтобы возможность была задачу решить и у 7 семиклассников тоже
@@Valentina.Gracheva в уме складывается ход решения и формулы.
1. Из треугольника ВС(буква не стоит вершина квадрата) находим sin C = 6/3sqrt5. Далее находим sin2C = 2cosC*sinC= 4/5.
2. sin С треугольника АВС = sin 2C (который мы нашли из прошлого треугольника). 180- С = sin C.
3. cos C = 3/5, tg C = 4/3
4. АВ = 4 sqrt5
5. S ABC = 30.
Легкая задача все видно сразу. Никаких построений не требуется. Записал не очень корректно из-за ограниченного функционала.
Удивительно, я оказывается все помню из школьной программы. Мне уже 66😊. Браво нашим учителям!
У нас с вами советское образование.
Можно, вообще, без тригонометрии и радикалов. Буду пользоваться обозначениями точек как у автора ролика: нам нужны A, B, C, F. Верхний правый угол квадрата пусть E. Опускаем выcоту из вершины A в треугольнике ABF (потребуется продлить BF). Основание высоты пусть H. Треугольники AHF и FCE подобны. Следовательно, если обозначить HF за x, то AH = 2x.
Треугольники AHF и AHB тоже подобны по двум углам (угол Н - прямой, угол HAF = HBA). Запишем соотношение катетов
BH/AH = AH/HF, т.е. (6+x)/2x = 2x/x.
Отсюда быстро находится x = 2. Значит, AH = 4. Далее, как и предлагает автор, считаем площади двух треугольников и складываем:
S(ABC) = S(FBC) + S(ABF) = 0.5 * 6 * 6 + 0.5 * 6 * 4 = 30.
Находим сторону ВС и угол ВСА (равен двойному углу у вершины В с тангенсом 1/2), далее через тангенс находим площадь.
Да нет, Петр! 30 -- правильный ответ! Даже не переживайте! Я и третьим способом проверил -- снова 30... Решал третьим способом не для того, чтобы проверить результат "30", а просто хотелось хвастануть, что решил задачу тремя способами (решил по выпендриваться 😉). Тот, кто Вам дал эту задачу, сам накосячил с ответом.
Решила без тригонометрии, через подобие. Смотрела с удовольствием, предполагала, что у вас решение проще. Но, по факту, мое показалось интереснее))) Строим равнобедренный треугольник с основанием ВС и вершиной на нижней стороне квадрата (жаль, недостаточно букв на рисунке). Тогда справа от равнобедренного треугольника треугольник, подобный АВС. Причем легко вычисляются все стороны и коэффициент подобия.
Можно найти меньшую сторону треугольника, потом синус дальнего угла в квадрате, по формуле найти косинус того же угла, после этого тангенс. Найти бОльшую сторону треугольника. И после этого формула площади.
Я плох в геометрии, но зато умею выкручиваться и попробовал решить задачу путём суммирования бесконечного ряда. Если представить, что квадрат имеет размеры 1x1 и достроить его налево и вверх до 4 таких же квадратов, то мы обнаружим, что третья вершина треугольника находится на пересечении двух диагоналей, очень удобно пересекающих стыки и середины сторон этих квадратов. И можно обнаружить, что левая часть, которая ранее выходила за пределы исходного квадрата, представляет собой бесконечную сумму подобных треугольников, каждый из которых ровно в 4 раза меньше по площади чем предыдущий, а самый большой из них точно равен четверти площади квадрата, так как его вершины лежат на двух углах и середине одной из примыкающих к ним сторон . Значит нам надо узнать Σ(1/4^x) при x от 1 до бесконечности. А эта сумма равна 1/3. То-есть площадь «внешней» части треугольника: 1/3 от площади квадрата. Ну а площадь внутренней известна: 1/2 от площади квадрата. В сумме 5/6, ну а 5/6 от 36 это 30.
У меня тоже 30 получается. Но мне кажется быстрее и проще, зная стороны треугольника внутри квадрата, найти косинус угла между этими сторонами, а уже через косинус угла и катет находим гипотенузу прямоугольного треугольника, а оттуда и второй катет. У меня минуты три на это решение ушло
1)находим BC=CF
2) рассматриваем треугольник BCF: находим cosBCF по теореме косинусов, после чего тангенс угла по отт.
3) Через тангенс находим AB, после чего площадь через 2 катета и тот же ответ 30
объясните, пожалуйста, почему при расчете площади правильного треугольника применяется такая сложная формула корень из 3/4?!
неужели нет более простой формулы расчета?
ведь почти всегда число получается не целым, хотя в реальности это не так.
Можно было перейти к декартовой системе координат с началом координат в т.B, найти уравнение прямой BC = 0,5x, отсюда найти уравнение прямой AB = -2x (прямые перпендикулярные если k1*k2=-1, отсюда и -2). Находим уравнение для AB = 6 - 0,5x. Потом ищем точку пересечения прямых A, тупо приравняв -2x и 6 - 0,5x -> (-4;8). Потом ищем длины сторон по теореме Пифагора и S = 0,5AB*BC
А можно просто использовать определённый интеграл)
Решал по другому, через тангенс углов. Ответ тоже 30. Сперва расстроился, когда вы сказали, что ответ неправильный, а потом решил проверить решение на практике, в autoCAD. Начертил фигуры как в задаче и померил. Ответ?!. 30! Значит все правильно вы/мы решили.
Спасибо за интересное видео! Смотрю вас с удовольствием!
AC обязательно проходит через точку F или просто так нарисовалось?
Задача класс, учитель супер! Я решил методом координат, приняв вершину В за (0, 0), две линейные функции, находим координаты А и дело в шляпе. А еще можно тригонометрически, найдя тангенс угла BCF.
Достроим до прямоугольника, где верхняя точка треугольника одна из вершин, а стороны квадрата содержат стороны прямоугольника. Внизу будут два подобных треугольника, значит снизу будет сторона x, а слева 2x, тогда отрезок справа 2x-6, а сверху x+6. Делаем пропорцию, получаем x=4, дальше через вычитание площадей 80-25-16-9=30
Уважаемый автор! Ответ 30 - верный. Но ваше решение - не самое быстрое.
Предлагаю ознакомиться с моим вариантом.
Есть формула площади прямоугольного треугольника по катеру и тангенсу прилежащего угла.
Я буду использовать ваши буквы для обозначения отрезков.
S = 1/2 * BC * BC * tg A.
A = это угол, который образуют стороны AC и BC. Если применить формулу что сумма углов треугольника = 180, то вы увидите, что угол A = 2*X
где X - угол, образуемый отрезком BC и НИЖНЕЙ СТОРОНОЙ квадрата.
Как вы верно посчитали BC = корень(45).
тангенс угла Х - бросается прямо в глаза = 3/6 = 0.5.
Последний штрих - формула тангенса двойного угла, который равен удвоенному тангенсу данного угла, деленному на единицу минус квадрат тангенса того же угла.
Получается S = 1/2 * BC * BC * tg A = 1/2 * 45 * 2 * tg X / (1-tg X * tg X) = 1/2 * 45 * 2 *0.5 / (1-0.5*05) = 22.5 * 1 / 0.75 = 30.
Так гораздо быстрее решается и почти отсутствуют иррациональные числа.
Женя Т также написал почти мой вариант решения. Я не сразу увидел его комментарий.
Тангенс половины угла, который расположен на середине стороны квадрата, равен 1/2. По формуле двойного угла вычисляем тангенс целого угла: = 2 tgA/(1- tg^2A)=1/(1-1/4)=4/3. Найдём малый катет треугольника: = √(6^2+3^2 )=3√5. Второй катер равен первому, умноженному на 4/3. Итого, площадь равна (1*4/3 * (3√5.)^2)/2= 60
Приветствую. А какой ответ от подписчика? может получится подобрать решение, благодаря знанию ответа? Либо подписчик вводит в заблуждение)
Сложновато Ваше решение. Из точки F опустить высоту на BC в точку О. Получаем 2 подобных треугольника ABC и FOC. Получаем равенство AB/BC=FO/OC Далее площадь FBC= BC*FO/2=3√5*FO/2=FB*6/2=18. Получается что FO=18*2/3√5=12/√5. Вычисляем OC=√FC*FC-FO*FO=9/√5. Теперь вспоминаем что AB/BC=FO/OC. Все данные в пропорции, кроме AB известны. Вычисляем AB=4√5. Площадь ABC=AB*BC/2=4√5*3√5/2=12*5/2=60/2=30
1. Нашли сторону ВС
2. нашли угол С, правой части треугольника (равнобедренного)
3. Нашли катет АВ, через угол С и катет ВС
4. Перемножили полученные стороны, и поделили пополам. Так же 30 вышло.
А какое решение автор предложил и сколько у него получилось? Просто интересно
Задача легко решается на листочке в клеточку, там же углы с целочисленными тангенсами/котангенсами. Очевидно, что методом координат она тоже решается весьма просто. И если у автора ответ не сошелся, то либо автор налажал, либо у это у него так хитромудро записано число 30.
Ну и еще родил простое решение без метода координат, но идейно по тем же соображениям:
Из точки A опустим высоту на BF (высоту назовем например AЁ). Теперь прямоугольные треугольники ABЁ и AFЁ подобны по острому углу (тут немножко рассуждений пропущено, но дотошный читатель, который это заметил, получает домашнее задание их восстановить, благо это несложно). Остается записать пропорцию: AЁ/BЁ = FЁ/AЁ = tg(ABF) = 1/2, из которой можно составить систему уравнений: AЁ/(6+FЁ) = 1/2, FЁ/AЁ = 1/2. Данная система сводится к простой СЛАУ, решив которую (это второе задание для дотошного читателя) находим AЁ = 4. В принципе, это все необходимые данные для нахождения площади треугольника ABF (6*4/2=12), а площадь ACF можно было найти и так(6*6/2=18). Остается сложить их (12+18=30).
Спасибо за ролик. В задаче на мой взгляд можно найти угол части, вписанной в квадрат, найти один из катетов и затем вычислить второй катет и в итоге площадь треугольника.
Площадь треугольника равна 30. Я достраивал треугольники по другому (рис на доске видео): от точки F продлил сторону квадрата влево - получим треугольник BFF'(F' будет точкой пересечения с катетом AB) равный треугольнику BCС'(точка с углом 90 не обозначена, но я ее обозначу как C'); Соответственно F'B=BC=v45; далее достраиваем вверх от точки F' прямоугольный треугольник AA'F'(точка A' получится на пересечении линии из точки А параллельной стороне квадрата и перпендикулярной линии из точки F' к этой же стороне квадрата). Вновь полученный треугольник AA'F' будет подобен треугольнику BFF' - соответственно выстраиваем соотношение сторон BF/F'A'=FF'/AA' - соответственно соотношение F'A'/AA'=2 и выразим отсюда F'A'=2AA'; далее подставив известные цифры в предыдущее соотношение и а вместо F'A' подставив 2AA' получим следующее - 6/2AA'=3/AA' и решив это уравнение получим что AA'=1, соответственно F'A'=2AA'=2*1=2; по теореме Пифагора найдем гипотенузу AF'=v5 (корень из 5); учитывая что катет AB искомого треугольника складывается из гипотенузы AF' и F'B, то получим величину v5+3v5=4v5; ну и далее вычисляем площадь искомого треугольника ABC=1/2*4v5*3v5=2v5*3v5=6*5=30. Как то так)
P.S. А раз ответ у вас не сходится с ответом автора, значит автор ошибся с ответом) это тоже нельзя исключить ибо я начертил для проверки эти фигуры в Автокаде и площадь треугольника получилась ровно 30. Теперь точно все)
Решил сначала с помощью линейной алгебры, а потом тригонометрии. Тригонометрический способ уже описан.
С помощью линейной алгебры:
Пусть B - начало координат, тогда имеем векторы: BC=(6, 3), BD=(0, 6), CD=BD-BC=(-6, 3). Тогда CA=X*CD, где X надо найти. X найдём из условий BA=BC+CA и Dot(BA, BC)=0. Отсюда X=5/3. Далее находим BA = BC+CA = (6,3) + 5/3 * (-6,3) = (-4,8). Осталось найти площадь (модуль векторного произведения двух векторов c общим началом равен параллелограмма, построенного на этих векторах): S = |Cross(BC, BA)|/2 = (6*8-3*(-4)) / 2 = 30. Ответ: 30
Здравствуйте. А можно узнать верный ответ? Спасибо.
1. Ищем сторону треугольника внутри квадрата. Корень из (6^2+9^2)=корень 45=3корня5.
2. По теореме косинусов ищем косинус угла треугольника внутри квадрата. Cos α = (b^2+c^2-a^2)/2bc. b и c - это 3корня5, а - 6. после подстановки получаем Cos α =0,6
3. Cos α - это отношение стороны треугольника внутри квадрата к гипотенузе большого треугольника, откуда гипотенуза = 5 корней 5
4. Третья сторона большого треугольника по теореме Пифагора 4 корня 5.
5. Площадь большого треугольника S= (3корня5*4корня5)/2=30
6. Треугольник получается египетский - соотношение сторон 3-4-5
Кстати площадь в 18 условных единиц можно найти, если разделить квадрат на 4 равных треугольника, тогда треугольник, находящийся внутри квадрата занимает ровно 2 треугольника из 4, а площадь квадрата 6*6=36 и 36/2=18. Звучит сложно, но на практике чуть проще и в устном счёте
Все гораздо проще!)
Находим сторону треугольника 6,71.
Далее мы имеем внутри квадрата равнобедренный треугольник с известными всеми тремя сторонами. Находим угл вершины. ->он же искомый угл нашего треугольника. А далее дело техники мы знаем у треугольника 2 угла (один 90гр.) и сторону основания. Ответ 30-верный. Но у меня почему то через калькулятор треугольников вышло 30,03я наверное из-за иррациональных чисел.
Прямоугольный треугольник с катетом 6,7 при 3^5,если угол 60 грд и тот угол 30.
Противолежащий половина гипотинузы.
С^2=а^2+б^2 в прямоугольном.
Отсюда 6,7 х2=
Вычисляем катет, прямоугольник 2 половинки треугольник в, делим на 2.
Итого на до калькулятор 38~
Это на вскид, быстро примерно.
Здорово. Когда понимаешь, то прямо музыка
В конце перемножил весь треугольник на корень из 45, для проверки корректности соотношения сторон.
Всё сошлось.24/60 = 18/45 = 30/75
Площадь искомого треугольника = 30. (всё верно)
Плюс проверил стороны по Теореме Пифагора (как маленький, так и искомый) все данные сошлись.
Решается достроением. Нужно достроить два квадрата равных данному, один слева и еще один сверху достроенного. Искомый треугольник разбивается на три треугольника с площадями 18, 9 и 3
Интересно
Только можно узнать, как вы 3 получили? (Основание 3 и так понял)
верхний квадрат рассекается диагональю слева направо (сверху вниз) на два прямоугольных треугольника, в левом треугольнике строим три медианы, которые делят его на шесть равновеликих треугольников, один из них является искомым с площадью 1/6 от половины квадрата
Браво !!!..... хочу вернуться в школу....но к Вам....
Можно усложнить условие
Деление стороны квадрата
размером =a+b=c
Найти соотношение площадей
Прямоугольного треугольника\квадрата
относительно пропорции
a\b\c=a+b
От 2/4 до 1/1
Решение в пять раз короче: продлить верхнюю сторону квадрата разделив верхний треугольник на два. Меньший будет подобен левому с коэфициентом 2. Значит его площадь 1/4 от общего. А больший 3/4 и равен нижнему треугольнику отсеченному у квадрата, т.е. 1/4 площади квпдрата.
Я поступил с ним аналогичным образом. Я сделал горизонтальный разрез, продолжающий ВС. Затем я повернул верхний треугольник на 180° вокруг F, а нижний треугольник повернул на 90° по часовой стрелке вокруг B. Проведя диагональ из правого верхнего угла квадрата, мы видим, что площадь искомого треугольника соответствует площади квадрат минус два симметричных диагонали треугольника, которые имеют размер 1/4 * 1/3 содержимого квадрата. Таким образом, найденное содержимое равно 36 * (1 - 2 * 1/12) = 36 * 5/6 = 30.
(omlouvám se, Google překlad =žádná sláva :)
Абсолютно поддерживаю! Специально читал все комменты, что бы найти решение, аналогичное моему, чтобы не дублировать.
20/√5 - можно избавиться от иррациональности.
20 = 4 * 5 или 20 = 4 * √5 * √5
Сокращая числитель и знаменатель на √5 получаем: 4√5
Если DF не высота, а биссектриса, то получается, что DF=DB, а DB=AD. Дальше, узнаем катет DB, в равнобедренном треугольнике DFB...
Пальцем в небо, но ответ должен совпасть. Проверочная работа: проведение биссектрисы BE, середина отрезка AC...
Я решил задачу в уме.
Обозначим правую нижнюю вершину квадрата М. Находим тангенс СВМ. Угол АСВ в два раза больше угла СВМ - находим тангенс АСВ через формулу двойного угла.
Сторону ВС нашел так же,как автор.
Итого: в треугольнике АВС знаем катет ВС и тангенс угла С. От сюда легко найти сторону АС.
Два катета знаем - ищем площадь.Ответ тоже 30.
Вы гениальный учитель и человек!!! За классическую позицию уважение! Только вперёд, запасной Земли у нас нету, да и не нужно нам другой. Она была нашей, на сегодня, полтора миллиарда лет.
Кому интересно подробности прошлого, читайте «Древний. Предыстория» Тармашев Сергей Сергеевич.
Есть же решение проще) угол ACB равен двум углам CF(вершина без буквы)
Тангенс угла CF(вершина без буквы) равен 1/2
Значит тангенс угла FCB = 2tg(CF(вершина без буквы))/(1-tg^2(CF(вершина без буквы))= 4/3
Отсюда находим AB зная BC:
tg(FCB) = AB/ BC отсюда
AB= tg(FCB)*BC= 4/3*3 корня из 5= 4 корня из 5
Площадь треугольника ABC = 1/2 AB * BC = 30
Легче всего решить, если достроить прямоугольник, опуская перпендикуляры из вершины треугольника А на продолжения сторон квадрата (нижней и правой). Тогда не надо ни корней, ни тангенсов.
Просто найти косинус угла двумя способами. Первый по теореме косинусов, второй через косинус в прямоугольном треугольнике. Потом найти синус. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
Если ввести систему координат В(0;0) ,то решив систему
y=-2х
y=-0,5x+6
получим А(-4;8) , думаю дальнейшие действия не требуют пояснения. Ответ 30 и ни каких иррациональных чисел. Спасибо за ваши ролики.
Синус FCB это площадь треугольника FCB(18) разделить на BC*FC и умножить на 2. То есть 36/45. Через синус находим тангенс(4/3) , через тангенс - второй катет(4*sqrt(5)). через второй катет - площадь, 30.
Есть проще решение:
В треугольнике BFC применяем теорему косинусов и находим косинус угла BCF
Дальше находим AC=BC/cos BCF
Потом применяем теорему Пифагора в треугольнике ABC и находим AB: S=AB*BC/2
а=6 (сторона квадрата); b=3 (малый катет малого треугольника);
c=корень из 45 (гипотенуза малого треугольника = малый катет большого треугольника)
β = arctg(b/a)= 26.565°(острый угол треугольников),
d=c*tg(β)(большой катет большого треугольника);
Дальше простая арифметика)))
можно ещё через общий угол расписать
в треугольнике провести высоту CH, угол BCH = 1/2 углу FCB
BC = FC = (корень из 45) - - - (с = (корень из (a^2 + b^2)))
sin угла BCH = 3/(корень из 45)
cos угла BCH = 6/(корень из 45)
sin угла FCB = 2*3/(корень из 45)*6/(корень из 45) = 36/45 = 4/5 - - - (sin2a = 2sinacosa)
cos угла FCB = (корень из (1 - sin^2 угла FCB)) = 3/5
cos угла FCB = BC/FC+AF = корень из 45 / (корень из 45) + AF =>
=> AF = 2/3(корень из 45) => AC = 5/3(корень из 45) =>
=> AB = 4/3(корень из 45) =>
=> S = 1/2*4/3*(корень из 45)*(корень из 45) = 2/3*45 = 30
Предлагаю поместить квадрат в декартову систему координат. Задать прямую AC, а прямая AB ей перпендикулярна. Решив систему уравнений, найдём координаты точки А(-4;8) . А значит найдём длину катета АВ(4√5). Катет ВС(3√5). Площадь "30".
Попробуйте рассмотреть и найти углы отсечённых треугольников квадрата затем найти угол вершине А, из этого следует, из этого следует что треугольник ABC имеет углы а и c равные и они составляют , а угол ABC равен 90° следовательно - это равнобедренный треугольник так как угол b прямой следовательно данные углы составляют 45°, дальше всё просто ищите либо через угол либо через два катета ответ состоит 45 / 2
Кстати, заметил, что искомый прямоугольный треугольник является пифагоровым (соотношения сторон 3:4:5). Правда, не нашёл, как бы это красиво использовать. 🙂
Мы с шестиклассникм чертили по клеточкам и тоже увидели Пифагора))) вычислили все три стороны: 3√5, 4√5 и 5√5. Дальше дело техники и ответ, как у всех - 30)))
Доброго дня!
У меня получилось 45 кв. ед.
А какой ответ автора?
Решал через подобие треугольников ABC и нижнего треугольника в квадрате.
Доброе время суток. Такие задачи хороши тем, что:
1. Старшеклассники одним способом
2. Средняя школа другим
3. Начальная школа с помощью метода пика и палетки (подсчёт квадратов или узлов)
По методу палетки:
Площадь треугольника=18+12,5=30,5
По методу пика:
Площадь треугольника=18+13=31
// но всё же правильный ответ 30
Пусть точка B начало отсчета координат. Прямая АВ. y=-2x Прямая АС y=6-x/2
Находим точку А: x=-4 y=8
AB^2=16+64=80 ВС^2=36+9=45
S=1/2*√(80*45) =30
Как же в школе я терпеть не мог Геометрию , но с каким удовольствием сейчас ( 33 года) смотрю эти ролики )).
Эх мне бы такого учителя в школьные годы , ну и наверное интерес которые сейчас присутствует ))- вообщем , жаль ,что не сошлись ранее звёзды ))
Решал через подобие треугольников. Ответ тоже получился 30. Только дополнительные построения другие. Продлил нижнюю сторону квадрата вправо на 6 единиц и конец соединил с точкой С в видеоролике. Продлил верхнюю сторону квадрата влево до стороны АВ. Получаем два подобных треугольника с нижними сторонами 3 и 12 соответственно. Из подобия находим катет АВ.
АВ = √80
ВС = √45
откуда S = 1/2 * √80 * √45 = 1/2 * √3600 = 30
Ай, молодца. ПОСМОТРЕЛ, получил удовольствие и не заметил, как время пролетело. Ай, нравицо😜
Есть простое визуальное решение через построение второго такого же квадрата слева вверху так, чтобы его нижний правый угол совпадал с верхним левым углом первого квадрата, а нижняя сторона была продолжением его верхней стороны. Очень просто увидеть треугольники с площадями 3, 9 и 18, из которых состоит искомый треугольник.
Только я строил 4 квадрата, чтобы доказать перпендикулярность пересечения продолженных ВС и ВА. И получил три треугольника по 9 и один 3. Итог 30
Т.К. угол АВС равен 90 градусов тогда длинна отрезка АВ равна корню суммы отрезка ВF в квадрате плюс ВС в квадрате
Получается отрезок АВ равен 9 .
Дальше дело техники 9 умножаем на корень из 45 и делим на 2 и получаем площадь треугольника АВС
Если округлить ответ примерно равен 30 А если точнее 30.3 с копейками
Ответ ровно 30
Посмотрел) Возник вопрос: а зачем так сложно решать? Я решил следующим образом, воспользовавшись:
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
S=0,5⋅a^2⋅tgα, где a - катет, α - прилежащий угол.
Или в обозначениях задачи, площадь треугольника АВС = 0,5*ВС^2*tg(угла ВСА)
Ищем BC^2 = 6^2 + 3^2 = 45
Ищем угол ВСА, он будет равен 180 - два зеленых угла при точке С
Ищем один зеленый угол. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т.е. 6/3=2
Соответственно, сам зеленый угол равен arctn2, два же зеленых угла равны 2*arctn2
Значит искомый угол ВСА равен 180-2*arctn2
Тангенс этого угла, необходимый нам для поиска площади треугольника АВС (см. формулу S выше), равен 1 1/3 (одна целая и одна треть), или 4/3, опустил выкладки
Ищем площадь S=0,5*45*(4/3)=30
и все)
или эту задачу нельзя решать с тригонометрией?
ACB - не знаю наизусть всех ваших формул, но кажется можно найти длину AC зная BC и угол ACB. Или ACB тоже не знаете как найти?😮
... DF в три раза больше того числа, что его в три раза меньше...😂
...эти штуки, минус эти...
Просто балдею)
(Не со зла). Смотрел до конца с удовольствием. Спасибо!
Можно через теорему косинусов. (Равнобедренный треугольник внутри квадрата)
Ответ = 30. Ваше решение очень длинное. Угол ВСА легко вычисляется = 53,13°. Отрезок ВС через Пифагора. Соотношение сторон в треугольнике 3:4:5.
На самом деле все проще: 1) Находим ВС по Пифагору 2) Находим в равнобедренном треугольнике BCF косинус угла С (по теореме косинусов). 3) Через этот косинус находим гипотенузу треугольника АВС 4) По Пифагору находим АВ. 5) Находим площадь половиной произведения катетов
это самое лучшее решение. я тоже так решала -быстро и красиво. У автора очень сложное решение.
Должна ли АС проходить через точку F? Если да, то продлите ВС до пересечения с верхней стороной квадрата. Полученный треугольник будет подобен АВС. Ну и ещё - ВСF равнобедренный...
Не будет он подобен, только если BCF был бы равносторонним
надо поодолжить влево нижний лежачий внутри отрезок .
соединть конец отрезка с верхней точкой наклоненного треугольника. получим треугольник.
его можно вписать в квадрат.
а далее просто решение и вычитания.
легко решается.
школу закончил 44 года тому назад.
Крепкого здоровья вам. Голос простужен🤔
Немного другое решение: ∆BCF - равнобедренный, все его стороны известны, оттуда выражаем cos(BCF), и говорим что cos(BCF) = BC/AC, далее по теореме Пифагора находим AB