Las Cortaduras de Dedekind
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- Опубліковано 3 жов 2024
- ¿Nunca te has planteado cómo construir los números reales a partir de los racionales?
Desde que los griegos abandonaran la idea de NÚMERO por el terror que les causó descubrir la existencia de magnitudes inconmensurables, hubo de transcurrir casi dos mil años para que RICHARD DEDEKIND definiera de forma precisa y rigurosa los números reales.
En esta mini serie de tres vídeos estudiaremos las CORTADURAS de DEDEKIND como método para construir dichos números y cómo a partir de ellas se puede probar, entre otras cosas, que los números reales forman un cuerpo. En el segundo capítulo veremos el logro más importante de estas cortaduras: demostrar el PRINCIPIO DEL SUPREMO y finalmente en el último capítulo demostraremos con dicho principio el TEOREMA DE LOS INTERVALOS ENCAJADOS.
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Mucha suerte con este video como siempre destilando calidad y ustedes son de los míos en el curso que hice de Análisis Real por supuesto construyo R con cortaduras de Dedekind 😎
¡Muchas gracias John! El tratamiento que más he visto en textos es puramente axiomático, pero precisamente comprobar que existe un conjunto que satisface dichos axiomas es dar la definición constructiva
Todavía me acuerdo el par de vídeos de las cortaduras de Dedekind que hiciste para mí investigación.
Excelente vídeo @Archimedes Tube
Bien por las mates.. Ambos en búsqueda de la difusión de ella. A compartir sus conocimientos a tope.
Hay algo más... A parte de las demostraciones de Dedekind???? Algunos aportes más para que los estudié 🤔✨📚🧠✨
Genial!
La teoría de conjuntos es mi rama favorita de las matemáticas, me encanta como se generaliza de un conjunto a todas la estructuras algebraicas.
Felicidades que buen video. 👌👌
¡Gracias! 😀
Magnífico vídeo. La necesidad de formalizar conceptos tan básicos como los números reales y su perspectiva histórica es un tema precioso, y lo habéis representado de una manera muy amena.
¡Muchas gracias David!
La verdad es que me ha costado encontrar buenas fuentes pues el tratamiento de la definición formal de los números reales es muy dispar según la referencia que se utilice. Creo que la forma más frecuente de abordar los números reales es de forma axiomática considerando, por ejemplo, el principio del supremo como axioma pero no acababa de convencerme este tratamiento. Me parece más natural construir los reales a partir de los racionales ya sea con clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind de modo que los axiomas se demuestran. La semana próxima publicaremos la continuación explicando el principio del supremo y demostrándolo utilizando las cortaduras de Dedekind.
¡Un abrazo!
Exposición de gran factura.
Muy didáctica y pulcra como todas las anteriores.
Mil gracias.
¡Muchas gracias! Para la semana próxima queremos tener listo el vídeo sobre el Principio del Supremo. Saludos
¡Cracks! Gran vídeo para ilustrar las cortaduras de Dedekind 👏
Muchas gracias! 😀😀😀
Simplemente genial, extraordinario!!! Con sus particiones Dedekind logro lo que ni Cauchy, ni Gauss, ni Bernoulli, ni Euler habían logrado, completar la recta.
Sin duda Dedekind merece más reconocimiento del que tiene.
Como siempre bellísima vídeo, explicación y animación 👌
Muchas gracias! 😊
Yo sólo conocia el método de Cauchy para completar Q con límites.
Es otra posibilidad pero hicimos el tratamiento de Dedekind para darle un poco de contenido histórico al ser el primero en formalizar los números reales.
Un saludo Arcadio
Es bastante abstracto.
Se puede entender, pero hay que manejar hasta teoría de conjuntos.
Muy bueno.
Hola Jose,
Es un tema bastante difícil de tratar. No en vano, la formalización de los números reales tuvo que esperar aprox. dos mil años desde que los pitagóricos abandonaran la idea de número por el descubrimiento de magnitudes inconmensurables.
Buscando referencias he encontrado bastante disparidad de métodos en la definición de los reales. La mayoría de textos opta por un tratamiento axiomático pero ciertamente uno debe probar que un conjunto cumpliendo dichos axiomas existe (no tiene mucho sentido hacer matemáticas sobre el conjunto vacío) y esto es precisamente la construcción de los números reales a partir de los racionales. También optamos por las cortaduras de Dedekind en vez de completar Q con clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy por ser Dedekind el primero históricamente en formalizar los reales.
¡Un saludo!
Algo respecto a Ramanujan estaría genial
Ciertamente! De hecho, ya tenemos la ilustración de Ramanujan hecha
Un comentario de un profano aficionado. En su momento, me enseñaron la construcción de R a partir de la sucesiones de Cauchy en Q, Había oído de las cortaduras de DedeKind; pero no había tenido un conocimiento formalizado de las mismas hasta ahora. Comparándolas con las sucesiones de Cauchy en Q, me han surgido una serie de similitudes (que viniendo de un profano, pueden ser una tontería):
1.- Ambas son subconjuntos infinitos de Q y por tanto numerables.
2.- Ambos son ordenados
3,. Ambos son acotados
Estas reflexiones me han llevado a pensar que en realidad ambas construcciones tratan a cada numero real como el resultado de aproximaciones sucesivas de números racionales. Es un pensamiento en voz alta puramente intuitivo, no sé si no es una barbaridad.
Hola Fernando,
Yo creo que el comentario es muy acertado. Ya sea con cortaduras de Dedekind (como haremos en esta serie) o con sucesiones de Cauchy, podemos demostrar el Teorema de los intervalos encajados y utilizarlo por ejemplo para ver que raíz de 2 es realmente un número real. Es decir, existe un número real x tal que x^2 = 2.
En nuestro próximo vídeo veremos el principio del supremo y en un par de semanas probaremos el Teorema de los Intervalos encajados.
Saludos
@@ArchimedesTube Gracias por el comentario. Me hace sentir que no me he oxidado con los años. Tengo una cuestión (totalmente off-topic, pero no sé como dirigirme a ti de otra manera que este foro) que me está dando vuelta en la cabeza desde hace años y no encuentro bibliografía. Todo lo que he encontrado referente a espacios topológicos, parte de espacios en los que hay definida una distancia, que se utiliza para definir las bolas y de esa definición se construyen los abiertos que forman la topología y por tanto el espacio topológico correspondiente. Mi interés (consecuencia de mi obsesión por lo abstracto) es encontrar bibliografía sobre espacios toòlógicos en los que no hay definida una distancia y se construyen los abiertos sin ese concepto, y por tanto sin pasar por las bolas; he encontrado algo con el epígrafe de espacios no metrizables; pero no tratan con profundidad los topológicos que derivan de ellos ¿Puedes indicarme donde encontrar información sobre ese tema? ¿o es una idea que me he creado yo solito?. Gracias de antemano
@@fernandogeijo2769
Hola Fernando, leí tu comentario respecto a espacios topológicos y me gustaría darte algunas recomendaciones bibliográficas. La mayoría son de textos en Inglés pero daré uno en español por si se te dificulta el inglés.
Primero, respecto a lo que comentas sobre la construcción de los abiertos. La mayoría de libros empiezan por los espacios métricos pues se espera que el lector tenga ya cierto conocimiento de Análisis Matemático y de esta manera ya estén cómodos con la idea de bolas para poder formar la Topología de manera más “natural”. Aún así, los libros que voy a recomendar siguen una línea más general que espacios métricos.
En general la forma axiomática es la que no utiliza las bolas. En ella los abiertos se definen como elementos de una familia de subconjuntos de un conjunto que cumplen ciertas propiedades.
Bueno sin más, los libros son:
-General Topology. Munkres, James
Este me parece que es un buen libro para iniciar, aunque sí se necesita un buen grado de madurez matemática
-General Topology. Willard
-Topology. Djugundi
Este me parece que es el más viejo de los anteriores mencionados. Como tal puede tener alguna notación o definiciones un tanto diferentes pero diría que sigue siendo un buen libro.
-Elementos de Topología General. Fidel Casarrubias y Ángel Tamariz
Este último tiene la ventaja de que si lo buscas así en Google te sale inmediatamente el PDF pues es de uso libre. Me parece que su fuerte más grande de este libro son sus ejercicios pues en ellos se ahondan temas mas modernos a comparación de los otros. Además de que te concentras solo en la parte matemática y no en el inglés.
Espero que esto te sirva, estoy seguro que de todos puedes encontrar los pdf
Saludos
@@43hi Muchas gracias por la información. Hace muchos años, un profesor de matematicas nos dió una introducción axiomática a la topología; pero no pasó de los conceptos fundamentales. La idea de abstraer conceptos "geometricos" me cautivó. Era el año 1973 y en una Universidad agitada por la política que acabó cerrada, no terminamos de avanzar.
La vida familiar y profesional no me ha dejado tiempo para satisfacer mi curiosidad y ahora jubilado y viudo tengo todo el tiempo del mundo.
@@43hi He empezado con el texto de Casarrubias t Tamariz. El no utilizar textos en Inglés es por pura pereza (profesionalmente he trabajado en Inglés muchos años); pero el texto de momento está cumpliendo mis expectativas. Los conceptos generales no son nuevos para mí (soy un químico rarito) pero el enfoque del desarrollo es lo que buscaba.
Hermoso el grado de abstracción que se necesita para razonar sobre estos conceptos.
¡Esperando el siguiente!
¡Gracias Diego!
Esperamos tenerlo listo la semana próxima
🤯🤯🤯 espectacular! Felicidades gran video
Gracias! 😊
Excelente video!, nunca había visto una explicación tan clara sobre qué son los números reales!, el equipo arquimedes tube es espectacular!..
¡Gracias Juan! A esta serie le dedicaremos un par de vídeos más y probablemente continuemos estudiando sucesiones y series de números reales.
¡Saludos!
Madre de Cthulhu. Nunca creí que viviría para ver este nivel de matemática.
Son lo máximo. Espero que sigan adelante y que sigan creciendo. ✨
🤣🤣🤣 ¡Muchas gracias TitO!
La semana próxima queremos publicar la continuación con el principio del supremo y la siguiente utilizarlo para demostrar el Teorema de los intervalos encajados.
Probablemente continuemos con una serie más larga sobre sucesiones y series de números reales.
¡Saludos!
¡Excelente vídeo!
Muchas gracias por el contenido. :)
Saludos.
Excelente video, gracias por este contenido!!
¡Gracias por comentar!
Hermosa explicación. Felicitaciones excelente video
¡Muchas gracias pedro!
Excelente video como siempre!!!
¡Muchas gracias Camilo!
Fantástico video, como siempre!!!
Muchas gracias por este contenido.
Ojalá hubiera salido cuando cursaba segundo.
Me hubiera ido mejor jejeje
jajaja, ¡Muchas gracias!
La semana que viene continuaremos con el Principio del Supremo y la siguiente demostraremos el Teorema de los intervalos encajados. Queremos seguir con estos vídeos y ver también sucesiones y series de números relaes
¡Saludos!
Genial video amigo.
Muy bien explicado
😊😊
Gracias! 😊
El canal de Matemáticas con mayor clase. Gracias por esta joya. Pero, a quien puede no gustarle esta joya?. Si, si hay uno y es un bolonio.
¡Muchísimas gracias! 😊
Excelente video, pero me quedó una pregunta: ¿Por qué cuando definimos las secciones generadas por una cortadura hecha por un número racional decimos que no tiene máximo, pero sí, mínimo? Si la cortadura "a" es un número racional, se podría identificar como el mínimo valor de la sección A2, por lo tanto también se podría identificar como el máximo valor de la sección A1 (siendo A1 y A2, las secciones generadas por la cortadura "a" respectivamente). Ojalá puedas resolver mi duda, muchas gracias de antemano.
Gracias.. Eres muy didáctico en tus enseñanzas de mate.. Porfa dale un check al Algebra Lineal....y sería genial Real Analysis in Rn.. Gracias.
¡De nada! Estamos preparando nuevos vídeos para continuar el curso de Álgebra Lineal y vamos a continuar con Análisis real también.
Sería genial que subieras un vídeo sobre el teorema de Heine borel o el de weistrass
Queremos dar continuidad a esta serie y llegar a ver teoremas importantes del Análisis Matemático
¡Saludos!
Wooow. Excelente explicación 😀
¡Muchas gracias Arhiadna!
No lo sé, está idea de las cortaduras no me termina de convencer. Según cantor tambien realizó una construcción de R, aunque conociendo a cantor imagina que sería aún más loca y poco intuitiva que está.
Excelente 👌 video , aveces decimos que andamos en hombros de gigantes, y ustedes son los míos 😉
¡Muchas gracias por el comenatrio!
Buenas tardes Cuando se habla de máximo y mínimo se refiere a cota máxima y mínima ?
Que buenos videos x favor !!
¡Muchas gracias Jose Daniel!
Ushhhhh siempre quise ver un vídeo sobre este tema ya que lo omitimos en mi curso del cálculo solo ví a leve el de cantor.
Queremos continuar la semana próxima con el principio del supremo y a seguidamente con el teorema de los intervalos encajados.
Bom vídeo, como sempre! Explicações claras e nada maçadoras.
Obrigado!
Dedekin era un genio
Absolutamente
Excelente canal
Gracias! 😊
excelente video maravilloso
Muchas gracias!
¡Me encanta!
¡Gracias!
¿ Existen las restas infinitas ( en contraposición a las sumas infinitas ) ?
La operación resta es la podemos reducir a sumar opuestos (por ej 5-3=5+(-3)). Además, por propiedad de sumatoria tenemos que suma (-a1+-a2+-a3+...)=-suma(a1+a2+a3+...), así que sí
Nooo, mi cerebro. Esto parece la continuación de la pesadilla de hallar el límite delta-epsilon 😢. Gracias por la explicación.
jajaja, pues un vídeo sobre la noción de límite explicando la idea y la definición epsilon-delta lo tenemos pendiente
Más videos!
Esta misma semana publicaremos el siguiente sobre el Teorema de los Intervalos Encajados. ¡Saludos!
Por ser R un cuerpo se deduce que también es un conjunto convexo?
R es convexo pero ¿Cuál es la relación de la convexidad con la estructura de cuerpo?
Jajaja , ¿Arquimides prefiria tirar a un tripulante que lo hizo dudar antes que tener que pensar? No me creo ese cuento ,pero hay que admitir que es muy chistoso .
Grandioso video
La leyenda posiblemente no es cierta. De hecho otras fuentes afirman que simplemente fue desterrado de la comunidad pitagórica. ¡Pero no era Arquímedes quien le hecho sino Pitágoras!
🤣🤣🤣🤣 escribí Arquímedes en ves de Pitágoras por error jajaja
Osea que los irracionales no son un cuerpo? Pues al multiplicar un irracional ppr otro aveces da un numero real.
Como no soy matemático no he entendido pero buen trabajo
¡Muchas gracias!
@@ArchimedesTube al contrario gracias a ti
Y aun falta los Top 10 de math Books.
Cierto, hemos tenido que parar un poco para terminar algunos vídeos y por el comienzo de las clases pero en breve lo retomaremos
Increíble😱😱😱😱🤓
¡Gracias! 🤓🤓🤓
Buenas tardes estimados, vieron este trabajo sobre las inconsistencias de las cortaduras de Dedekind? ua-cam.com/video/4DNlEq0ZrTo/v-deo.html
Dedekind hizo lo que hoy en día se llama tapar agujeros.
Yep
La primera vez que veo el uso de la palabra cuerpo en lugar de grupo
Pero no es la misma cosa. Un grupo solo tiene una operación asociativa, con elemento neutro e inverso y un cuerpo tiene dos operaciones como se dice en el vídeo. A veces se le llama campo ya que en inglés se denomina 'field' a un cuerpo.
6:59
El vídeo se subió hace 15 segundos
#SoME1
creo que estallaron 2 neuronas, una sigue estallando
Disculpa urtzi. No cres que la construcción de R merezca una explicación más intuitiva. Es que está explicación de dedekind es extremadamente artificial y forzada.
SEGUNDO COMENTARIOO
No lo entendí y me dio sueño
Hola, a que se refiere con "agujeros" ??
Hola Will,
Una recta formada solo por números racionales tendría agujeros, pues, por ejemplo raíz de 2 no es un número racional. Podemos aproximarlo por racionales
1 < √ 2
@@ArchimedesTube Ahora ya entendí mejor , disculpa la molestias y por tomarte un tiempo en responderme , muchas gracias! , saludos desde Perú.