No pues, si Cantor y Dedekind se pusieron a discutir sobre esto, quién soy yo para andar de metiche 😁. Jeje, súper el video, espero la continuación ansioso
Que interesante, nunca vi esto en youtube y los vídeos de este canal siempre están muy buenos así que tengo grandes expectativas. Ahora a esperar nomás
Excelente material, no me canso de felicitarlos por este hermoso canal lleno de material valiosísimo para todos los apasionados de la Matemática. Sin duda Cantor es de mis matemáticos favoritos, me sorprende su poderosa intuición. Saludos desde México.
¡Muchas gracias Pedro! Además Cantor tuvo que enfrentarse a la oposición de gran parte de la comunidad matemática que se oponía con ferocidad a sus descubrimientos lo que hace más meritorio su trabajo. Saludos desde España
Realmente genial su forma de plantear y analizar el problema. Hace que se sienta una gran pasión por aprender y aproximarnos al conocimiento de la matemática. Por estas enseñanzas, Simplemente GRACIAS!!!
Sus videos son grandiosos, cada uno de ellos siempre me emociona, personas como ustedes son verdaderos motivadores para el estudio formal de las matemáticas. PSDT: Ahora que le metiron intriga a los temas, me encanta aún mas el contenido del canal.
Estos vídeos para mí son ASMR conceptual (amo las matemáticas), ASMR visual (sus gráficas y dibujos son justos) y ASMR auditivo (los efectos de sonido, el piano de fondo y la voz narrativa de él).
¡Muchísimas gracias David! Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo y hablando de libros de matemáticas diversos. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Pásate por allí!
Simplemente genial. La demostración de Cantor es incorrecta pero el echo de que haya una sobreyeccion nos muestra que el Cardianl del intervalo es mayor o igual al del cuadrado. Como hay una inyección obvia, colocando el intervalo en cualquier linea del cuadrado se tiene la otra desigualdad. Esto muestra que los cardinales son iguales, por el teorema de Schroeder - Bernstein
¡Muchas gracias Daniel! La verdad es que dedicamos mucho tiempo a hacer que los efectos sonoros sean lo más apropiado y agradable a cada situación ¡Saludos!
Estimado, el video es espectacular pero aún espero la definición de Dimensión. ¿Será para otro video? Muchas gracias y felicitaciones por el gran trabajo que haces como divulgador!!
¡Muchas gracias Raul! Hay muchas nociones diferentes de dimensión dependiendo de con qué objetos se trata: Dimensión de Hausdorff (Fractales); Dimensión de Krull (Anillos conmutativos); Dimensión de Hamel (Espacios vectoriales), pero en este caso se trata de la noción mas intuitiva de dimensión para variedades. Una variedad es un espacio que localmente (visto desde cerca) es un espacio euclideo. El intervalo es una variedad de dimensión 1 y el cuadrado de dimensión 2. Una esfera es una variedad de dimensión 2 al igual que un toro (rosquilla). El problema en sí no es la definición de dimensión si no qué transformaciones preservan esta dimensión. Digamos que lo que descubrió Cantor es que las biyecciones NO preservan la noción de dimensión euclídea. Esto llevó al desarrollo de la topología pues tanto Cantor como Dedekind tenían claro que la clave es que la biyección dada por Cantor NO es una función continua. Dedekind estaba convencido de que la afirmación "Dados dos variedades M y N de dimensiones m y n y una biyección continua con inversa continua (homeomorfismo) entre ellas, entonces m = n." era un Teorema. Varios matemáticos, incluido Cantor, dieron demostraciones de casos particulares con mayor o menor éxito pero muy complejas y engorrosas. Aún tardarían algunas décadas en demostrarse el teorema con total generalidad y rigor por Brouwer en 1912. Un saludo
@@ArchimedesTube Estimado, muchas gracias por tu respuesta, todo esto me parece fascinante. Pero si la biyección no es una función continua, entonces existen puntos que no tienen imagen, y eso es por definición lo contrario de una función inyectiva, y por lo tanto tampoco puede ser biyectiva. Esto podría representarse como un queso gruyere con infinitos agujeros, tanto en el segmento como en el cuadrado unitarios. ¿Entonces Cantor se equivocó? Por favor no te detengas con este tema. Recuerda ““Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”.” Un abrazo
¡Muchas gracias Luis! Esperamos poder publicar el próximo vídeo con la respuesta a este misterio la semana próxima. Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Saludos!
Muy Bueno y claro. Se lo hice ver a mi señora que nada tiene que ver con las matemáticas y si con el arte y lo entendio y además comento lo bien que fue hecha la presentación desde el punto de vista estético. Por mi parte como en todo lo bueno me hubiera gustado un poco más.
Cada día mejor. Fantástico. Felicidades Urtzi. Supongo que la opción correcta es la C, es posible que exista una biyección lo que parece es que no va a ser continua. Ya lo veré en el próximo capítulo!!
Hola Pedro! Exacto! se puede demostrar que existe la biyección con el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, pero este descubrimiento de Cantor llevó a la comunidad matemática a tratar de "salvar" el concepto de dimensión demostrando que con ciertas hipótesis se preservaba la dimensión. Una de esas hipótesis era la continuidad, pero Cantor también erró pues pensó que bastaba ser sobreyectiva y continua para mantener la dimensión (y de hecho llegó a publicarlo) pero 10 años más tarde Peano descubriría su curva que llena el cuadrado que es continua y sobreyectiva. La noción correcta es la de homeomorfismo, biyectiva, continua y con inversa continua, y gracias a está paradoja se desarrolló la Topología. Vamos a hacer una mini-serie de 4 vídeos contando esta historia y acabando con el Teorema de invarianza del dominio de Brouwer que zanja la cuestión. Acabaremos contando escisión y sucesión exacta larga en homología 🤣🤣🤣 Un abrazo Pedro!
Fascinante vídeo. Es mejor que los (pocos) libros de divulgación matemática que he leído. ¿Conocen un libros de divulgación que tenga el alto nivel de este vídeo? Saludos desde Ecuador.
No son muy comunes los libros de divulgación que incluyen matemática de cierto nivel explicada para no especialistas en la materia. Algunos libros en esta línea pueden ser: 1. El camino de la Realidad. Roger Penrose. Este libro es una auténtica joya. Se trata de una búsqueda de los principios subyacentes que rigen el comportamiento del universo. En dicho camino se desarrolla mucha de la matemática actual viéndola en su contexto histórico y en relación a los problemas de los que surgió. Son casi 1500 páginas y aunque puede haber capítulos más duros de casi cualquier parte uno puede extraer ideas y enseñanzas valiosísimas. Actualmente es uno de mis libros favoritos. 2. ¿Qué es la Matemática? Richard Courant y Herbert Robbins Este libro es un libro de texto que trata de casi cualquier área de la matemática. Esta escrito para poder leerlo a partir de conocimientos de matemáticas de secundaria y Bachillerato. Está escrito en un estilo elegante y claro. Aunque no se trata estrictamente de un libro de divulgación su lectura es tan agradable y trata de temas que no son fáciles de encontrar en libros de un nivel no especialista (como los problemas clásicos de construcción con regla y compás) que merece ciertamente la pena. 3. Calculus Gems. George F. Simmons Este libro tiene dos partes (A y B) diferenciadas. La primera parte consta de biografías breves de los genios de las matemáticas más importantes de todos los tiempos. La segunda está dedicada a hitos matemáticos resueltos por dichos genios y se puede encontrar desde el cálculo del volumne de la esfera de Arquímedes a cómo deducir las leyes de Kepler a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton y un poco de cálculo diferencial. Un saludo!
¡Hola Pablo! Pero la curva de Peano no es la solución. La biyección existe y se puede probar por ejemplo utilizando el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein como veremos en un vídeo que nos gustaría tener terminado para mañana martes (Cantor también arregló el problema dando una biyección utilizando fracciones continuas). El problema de esta biyección es que no es continua. De hecho, Dedekind ya expresó que la solución al problema de preservar la dimensión era considerar biyecciones continuas con inversa continua, esto es, homeomorfismos, pero la demostración del teorema de invarianza de la dimensión que afirma que dos variedades M y N de dimensión m y n solo pueden ser homeomorfas si m=n se demoró bastantes años en demostrarse de forma rigurosa (la demostró en 1912Luitzen Egbertus Jan Brouwer). Pero antes de esto la comunidad matemática se planteó si dado que biyectova y continua preservaba la dimensión, ¿era posible dar una curva continua (dimensión 1) que llenara el cuadrado (esto es, que fuese sobreyectiva sobre un espacio de dimensión 2) aunque en consecuencia se perdiera la inyectividad? La respuesta es afirmativa y fue precisamente la curva de Peano (que es sobreyectiva, continua pero NO es inyectiva). De esta historia también estamos preparando un vídeo que completará la serie sobre teoría de la dimensión topológica. ¡Saludos!
No tengo ni idea sobre el tema pero ahí va un planteamiento: Supongamos que tengo un segmento más corto que otro, uno de 1 unidad de longitud, otro de 2 unidades de longitud, ambos formados por infinitos puntos. Puedo deducir que el largo tiene más puntos, pese a tener ambos infinitos, pues si asocio todos los números reales entre 0 y 1 a cada punto del segmento corto y luego hago lo mismo con el largo pero entre 0 y 2, puedo emparejar todos los reales comprendidos en el intervalo entre 0 y 1 de ambos segmentos pero no puedo hacerlo entre 1 y 2. Suponiendo correcto este razonamiento y considerando un cuadrado como una superposición infinita o no de segmentos, tendría más puntos que un solo segmento. Advierto que no tengo ni idea en la materia, alguna idea al respecto?
Los puntos del intervalo (0, 1) y los del intervalo (0, 2) pueden ponerse en correspondencia. f : (0, 1) --> (0, 2) la función f(x) = 2x. La inversa es la función g: (0, 2) --> (0, 1) definida por g(x) = x/ 2. De este modo tenemos emparejados los puntos del intervalo (0, 1) y los puntos del intervalo (0, 2). Por ejemplo 0,5 ∈ (0, 1) está emparejado con 1 ∈ (0, 2) ; 0,25 ∈ (0, 1) está emparejado con 0, 5 ∈ (0, 2), etc.
@@pabloromero6300 si pero, antes quiero mencionar que las matemáticas llevan pilares y pues apenas estoy en lógica no se si deba dar el salto aún, pero estaría bien ser guiado por alguien que ya está en la licenciatura sabes...
@@ArchimedesTube Buenísimo. Excelente canal. Me encantan las matemáticas. Aunque nunca me especialice, pero muchisimas veces son necesarias en mi trabajo de diseñador.
¡Excelente la manera de explicar! ¡Felicitaciones! Aunque no entiendo cuál fue la razón primigenia para separar los números pares de los impares. Saludos.
¡Muchas gracias Daniel! La idea de separar las cifras de los números decimales en pares/impares es lo que permite idear la biyección entre el intervalo y el cuadrado. De hecho, el intervalo es biyectivo a cualquier cubo n-dimensional. Si queremos dar una biyección entre el cubo y el intervalo tendríamos que hacer lo mismo separando las cifras en clases 0, 1, 2 módulo 3. Es decir, la primera cifra, la cuarta, la septima,... todas las que estén en las posiciones 3n+1 formarían la primera coordenada del punto del cubo. La segunda, quinta, octava,... todas las que estén en las posiciones 3n+2 formarían la segunda coordenada del punto del cubo. Y la tercera, sexta, novena,... todas las que estén en las posiciones 3n formarían la tercera coordenada del punto del cubo. Un saludo
Hola Alejandro! Estamos haciendo emisiones de Twitch cada sábado. Normalmente emitimos de 21:00 a 23:00 pero a partir de ahora vamos a hacerlo en horario 20:00-22:00 que es un poco más razonable 🤣 Un abrazo!
Genial video, como siempre!!, entonces en la función del video sacando el problema de la doble escritura de los elementos de (0,1) se tiene una inyección de derecha a izquierda (?!?), luego buscamos una inyección (casi cualquiera) de izquierda a derecha y aplastamos con Cantor-Schodern-Bersteins... Ahora si, no me recuerdo que se hace con los extremos para el caso del cuadrado cerrado... 0,1 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) ??... bueno a esperar el siguiente, Aguante los fundamentos!
Hola Rodrigo, ¡En efecto! el próximo vídeo tratará sobre el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que afirma que si tenemos una función inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A entonces existe una función biyectiva entre A y B. Para aplicarlo al intervalo y al cuadrado, podemos inyectar el intervalo [0, 1] por ejemplo en el lado inferior del cuadrado y la función de Cantor del cuadrado en el intervalo es inyectiva (en realidad tenemos que quitar el 1 del intervalo y el lado derecho y superior del cuadrado pues la función de Cantor es inyectiva si decidimos tomar todos los decimales exactos evitando una sucesión infinita de 9's pero entonces el 1 = 0,99999 no se puede escribir de la forma 0' algo ). Para extenderlo a todo el intervalo y todo el cuadrado podemos aplicar de nuevo Cantor-Schröder -Bernstein. Todo esto lo haremos con detalle en el próximo vídeo que queremos tener listo para la semana próxima. Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Saludos!
¡Tremenda pregunta! Bien ahí por intentarlo... veremos atentamente ¿qué es la dimensión? Pregunta disparadora en mis clases de Física y Matemática. :D Buenos videos ArchT. (ya dejé mo like ;) )
Muy buen video... el problema que veo es que aparentemente a cada punto de un segmento de recta le corresponde un punto del universo xD es que siempre existe un punto entre dos puntos... cuantas veces quiera... es solo mi intuición, ni idea como demostrarlo... ¿Habrá alguna vez un curso de topología?
Tenemos en el canal una lista de reproducción sobre vídeos de topología algebraica. Cuando tenga que impartir la asignatura de topología ( conjuntista) prepararé un curso en formato vídeo también ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Muchas gracias, ayer lo he estado viendo... pero aún tengo dificultades jaja es que recién estoy estudiando un libro de topología conjuntista, se llama "Topología sin Dolor", creo que es muy bueno... ¡me gustaría aprender esta parte de la matemática! estudio por hobbie nada más...
¡Muchas gracias Juan! Este sábado en nuestro canal de Twitch discutiremos sobre el vídeo continuación de este que publicaremos la semana próxima ¡Saludos!
🤣🤣🤣 Intentaremos tener listo el siguiente vídeo para la semana próxima. Esta mini-serie sobre la teoría de la dimensión tendrá en total 4 vídeos que tendrán cierta independencia entre ellos aunque cada vídeo de respuesta al anterior. ¡Cada uno será más sorprendente que el anterior! Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo y hablando de libros de matemáticas diversos. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Pásate por allí!
Así es amigo, ya ni la telenovela Teresa me dejo tan intrigado como esto, estoy ansioso por saber la respuesta. Ósea, yo creo que los conjuntos son equipotentes pero igual, los argumentos que muestran en este video me dejan perplejo 🤨
La idea de Cantor era realmente buena pero hay que ser un poco más precisos. En el próximo vídeo mostraremos (y demostraremos) el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que se puede utilizar para probar la existencia de la biyección entre el intervalo y el cuadrado ¡Saludos!
Por mucho que Cantor se hubiera equivocado, el que esta función sea sobreyectiva nos dice que el cardinal del intervalo, por lo menos no es menor que el del cuadrado. Y usando una función que mande cada t del intervalo en (0,t), tenemos una función inyectiva. Por lo que, podemos usar el teorema de C-S-B para demostrar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal y que, por ende, debe haber otra función que sí sea inyectiva entre estos.
Exelente video, excelente canal. Muchas gracias por sus contenidos. Yo le voy a Cantor.... no creo q a semejante gigante de las Mates se le haya pasado esta objeción. Voy por la B.
¡Muchas gracias Antonio! La semana próxima publicaremos la continuación. Y este sábado en nuestro canal de Twitch discutiremos sobre el nuevo vídeo ¡Saludos!
Podemos imaginar procesos lógicos originales para generar una función biyectiva entre dos conjuntos de puntos com son los infinitos puntos que integran un segmento y un cuadrado, pero de entrada ya sabemos que un punto no tiene dimensión y por lo tanto hay infinitos puntos en ambos objetos, mientras que la biyección, para qué demonios nos sirve haberla establecido? Todavía espero que alguien me justifique la importancia de establecer biyecciones, que no dudo que exista, pero sin ella parece estar estudiando cosas si motivo alguno. Eso de los infinitos con distinto cardinal siempre me ha parecido una paja mental sin objeto alguno: qué importancia tiene? Lo fácil ahora es decir que soy idiota, pero espero respuestas más respetuosas e interesantes de vuestra parte. Gracias.
Querido El Gato Negre. Los distintos tipos de infinito son intrínsecos a la naturaleza de los números. Si estudias los números, tarde o temprano acabas topándote con ello, no es algo que puedas "no investigar". Sobre estas ideas se fundamenta, por ejemplo, todos los principios de integración y derivación (y ya solo con esto debería ser suficiente, ya que significa "todas las ingenierías modernas" o "todos los adelantos tecnológicos del último siglo"), límites, desarrollo de Taylor y muchas otras cosas de matemática básica. No voy a entrar ya en matemática avanzada, pero digamos que la aritmética, el cálculo y la geometría no serían nada sin ese concepto. No saber de un campo e ir a donde expertos en ese campo a decirles que no tienen ni idea, y que si se atreven a decirte que deberías informarte entonces son "irrespetuosos" no sólo es absurdo, también es marcadamente infantil, ególatra y falto de inteligencia y empatía a partes iguales. Puede que esta respuesta no te sea suficiente para despejar tus dudas, por ello te recomiendo que, antes de volver a faltar al respeto a nadie (que no por preguntar se falta al respeto, si no por asumir que aquel al que preguntas es peor que tú, ya sea intelectualmente o moralmente, como has hecho), al menos en este caso, no ya hagas una carrera técnica (cuánto menos el grado de Matemáticas), sino, al menos, la especialidad científico técnica de un bachillerato. Edito y añado: la importancia de las biyecciones es que te permiten usar herramientas que conoces en uno de los lados de la biyección en el otro lado. Por ejemplo, algo tan básico como poner la geometría como aritmética realmente se hace con biyecciones. Es más, probablemente una de las bases más fundamentales de las matemáticas es crear biyecciones.
C, si existe una inyeccion como por ejemplo con la función f(x) =X^2=A, o sea se puede asociar a cada punto de la lines un punto en el plano, pero si hacemos la raíz, tenemos dos posibilidades x = f(A) =+squrt(A) y x = f(A) =-sqrt(A), no podemos asociar un punto unico del plano a cada punto de la linea, si no que a dos puntos de la linea, o sea que hay el doble de puntos en el plano que en la linea. Talvez me equivoque, pero si de seguro de algo estoy es que NO hay la misma cantidad de puntos en el plano que en la linea.
Lo sorprendente es que si los hay! En el vídeo que publicaremos la semana próxima veremos como demostrar que existe una biyección entre ambos conjuntos con ayuda del Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. ¡Saludos!
No se si tiene mucho que ver pero me surgió esta duda: si dos conjuntos tienen el mismo cardinal entonces se puede encontrar una biyeccion entre ellos? Está claro que para conjuntos finitos es trivial porque para cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento del otro, pero no se me ocurre que pasaría si fueran infinitos
Hola J o a c o! El cardinal de un conjunto finito coincide con su número de elementos. Para un conjunto infinito X (un conjunto X es infinito si existe una función inyectiva ℕ --> X ) el cardinal |X| se define como la clase de equivalencia de todos los conjuntos que son biyectivos con X. Es decir, por definición dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre ambos. De hecho para conjuntos finitos X e Y también es claro que si |X|≤|Y| entonces se puede definir una función inyectiva X-->Y y recíprocamente si existe una función inyectiva X--> Y es por que el número de elementos de X es menor o igual que el número de elementos de Y, |X| ≤ |Y|. De este modo si tienes dos conjuntos finitos A y B tales que existe una función inyectiva A --> B ( |A| ≤ |B| ) y una función inyectiva B --> A ( |B| ≤ |A| ) entonces por la propiedad antisimétrica de la relacion "ser menor o igual" se tiene que |A|=|B| y podremos emparejar los elementos de A con lo elementos de B, esto es, establecer una biyección entre A y B. ¿Pero que ocurre si los conjuntos A y B son infinitos? Si existe una función inyectiva A --> B definimos la relación de desigualdad entre cardinales infinitos y decimos que |A| ≤ |B|. Pero esto es una definición, es decir es una desigualdad entre cardinales infinitos NO entre números. Si tenemos una función inyectiva A --> B y también una función inyectiva B --> A entonces tendremos |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, pero no sabemos que esta relación satisfaga la propiedad antisimétrica y por tanto |A|=|B| (que para conjuntos infinitos, como hemos dicho, significa que exista una biyección entre A y B). Esto es cierto, de hecho es el TEOREMA DE CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN que veremos en el vídeo de la semana próxima y que afirma que si tenemos una función inyectiva A --> B y también una función inyectiva B --> A entonces existe una biyección A B. Este resultado es muy útil y lo utilizaremos para probar que existe una biyección entre el intervalo y el cuadrado. ¡Saludos!
@@ArchimedesTube aah ok, muchas gracias. Ya quedo todo claro, sus explicaciones son geniales. Esta muy curioso eso de que para que un conjunto sea infinito tiene que haber una función inyectiva de los naturales al conjunto, pero tiene mucho sentido.
@@joaco1226 problema,mientras tengamos naturales el cardinal puede ser expresado por un número natural que representa la cantidad de elementos. Esto permite ordenar de menor a mayor los conjuntos finitos porque sabemos que 5
si muy buen video para esplicar el concepto de dimensiones para esplicar el espacio con líneas rectas Y el concepto de que es el número utilizando un cuadrado es acaso que el concepto de linea solo admite la forma de linea recta Y que tal que envés de cuadrado utilizamos un circulo para lo de las dimensiones Y para mi un punto es un lugar en el espacio tiempo Y el espacio es infinitos lugares en todos los sentidos Atte Jhonny Angarita
De las interrogantes del final, la A no creo que sea, pues asumo que Cantor iba bien encaminado. Estaría entre la B o la C. Puede ser que la demostración de Cantor sea correcta y que Dedekind haya pasado algo por alto al momento de su objeción o bien, quizás Cantor erró en algo pero que la biyección sea cierta (suele suceder que a veces las analogías en lugar de facilitar un problema, lo terminan complicando).
Hola Franco, Esta semana queremos publicar el vídeo continuación de éste en el que contamos el Teorema de Cantor-Schröder-Benstein que prueba la existencia de la biyección entre el intervalo y el cuadrado. ¡No te lo pierdas!
Tengo una duda Esto de los infinitos puntos de una línea de los infinitos puntos de un plano ¿no es como unir el conjunto de los números enteros, el cuál es igual de grande que los naturales, con los números fraccionarios?
Hola Robinson, Es cierto que se tiene la sensación de que el argumento para ver que ℕ y ℕxℕ tienen el mismo cardinal es análogo en algún sentido a probar que ℝ y ℝxℝ tienen el mismo cardinal. De hecho, se puede probar el siguiente resultado general: si A y B son conjuntos finitos entonces | A x B |= |A| · |B| si A es un conjunto infinito y B es no vacío entonces | A x B | = max{ |A|, |B| } ¡Saludos!
Hola Ricardo, Ya publicamos dos vídeos más de esta serie: El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein ua-cam.com/video/IoCcZ5CjuGc/v-deo.html DEMOSTRACIÓN - El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein ua-cam.com/video/bwI3MSWQ-po/v-deo.html De hecho estamos a punto de terminar un nuevo vídeo de la serie comenzada con el vídeo de la TEORÍA de la DIMENSIÓN que nos ha llevado todo el verano terminarlo. Trata sobre las curvas que llenan el espacio y queremos publicarlo la semana próxima. ¡Nos ha quedado casi un corto de animación! 😂. Un saludo
Profesor disculpe no entiendo ¿por que un número decimal se separa en dos?, uno a partir de las cifras de lugar par y el otro a partir de la cifras de lugar impar.
Hola Juan, Dos conjuntos se dice que tienen el mismo cardinal si podemos definir una función entre ellos que empareja los elementos de los conjuntos. Para definir dicha función entre los puntos del intervalo y los puntos del cuadrado se toma un punto t del cuadrado, esto es , un número real entre 0 y 1 escrito en forma decimal y queremos asociarle un punto del cuadrado, esto es, un par ordenado (x, y) de números reales entre 0 y 1. ¿Cómo hacemos esto a partir del punto t ? La idea de Cantor es definir x como el número decimal formado por las cifras decimales impares de t y definir y como el número decimal formado por las cifras pares de t. Recíprocamente, dado un punto del cuadrado (x, y) podemos asociarle el punto t resultante de entrelazar las cifras decimales de x e y. Esto es una función que empareja los puntos de ambos conjuntos (bueno, hay algunas dificultades que se explican en el vídeo pero la idea es en esencia esa). Saludos
Hola Martin, El intervalo y el cubo tienen el mismo cardinal. La idea es similar, pero en este caso en vez de separar y entrelazar las cifras de los números decimales en pares/impares que es lo que permite idear la biyección entre el intervalo y el cuadrado, tendríamos que hacer lo mismo separando las cifras en clases 0, 1, 2 módulo 3. Es decir, la primera cifra, la cuarta, la septima,... todas las que estén en las posiciones 3n+1 formarían la primera coordenada del punto del cubo. La segunda, quinta, octava,... todas las que estén en las posiciones 3n+2 formarían la segunda coordenada del punto del cubo. Y la tercera, sexta, novena,... todas las que estén en las posiciones 3n formarían la tercera coordenada del punto del cubo. ¡Saludos!
Excelente vídeo acompanhado de imagens e gráficos muito atrativos. A resposta para mim é a opção C. Existe uma função bijetiva entre o intervalo e o quadrado, pero não é essa "função". No 1° ano da faculdade eu próprio me dei conta dessa função entre o intervalo e o quadrado (andando de três em três, teríamos uma bijecão entre o intervalo e o cubo). Nunca pensei seriamente nessa "função" pelo que tive uma surpresa ao ver a parte final deste vídeo. Segun parece la "funcion" no está bien definida (pienso quevse resolve se adoptamos infinitos 9's para a representação de um número) e é sobrejetiva. Por lo tanto haverá mais (>=) pontos no intervalo que no quadrado!!! Talvez seja melhor provar que existem duas funções injetivas. Uma do intervalo para o quadrado e outra do quadrado para o intervalo. A partir daqui construímos uma bijeccion entre o intervalo e o quadrado (Teorema de Bernstein-Cantor-Schroeder). Estoi esperando por el próximo vídeo.🙂
La respuesta será la C. Estaba mal la biyección de Cantor pero existe alguna. Muchas veces es muy difícil establecer la biyección, pero lo que si se puede hacer es crear una función inyectiva del primero al segundo y otra también biyectiva del segundo al primero. Hay un teorema que asegura que en ese caso existe la biyección. O también sirven sendas sobreyectivas de uno en otro y viceversa. La función de Cantor de [0, 1] en [0,1]x[0,1] (considerando una única forma de representación de los decimales) es sobreyectiva y de [0,1]x[0,1] en [0,1] la simple función g(x, y) = x es sobreyectiva. Tenemos así dos funciones sobreyectivas de uno a otro y viceversa, lo cual asegura que los cardinales son iguales.
¡Hola Valero! La respuesta C es la correcta en efecto. El próximo vídeo tratará precisamente sobre el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que afirma que si tenemos una función inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A entonces existe una función biyectiva entre A y B. Para aplicarlo al intervalo y al cuadrado, podemos inyectar el intervalo [0, 1] por ejemplo en el lado inferior del cuadrado y la función de Cantor del cuadrado en el intervalo es inyectiva (en realidad tenemos que quitar el 1 del intervalo y el lado derecho y superior del cuadrado pues la función de Cantor es inyectiva si decidimos tomar todos los decimales exactos evitando una sucesión infinita de 9's pero entonces el 1 = 0,99999 no se puede escribir de la forma 0' algo ). Para extenderlo a todo el intervalo y todo el cuadrado podemos aplicar de nuevo Cantor-Schröder -Bernstein. Lo que comentas sobre funciones sobreyectivas es muy interesante. Hace un tiempo me planteé esa misma cuestión ¿Puede el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein dualizarse para funciones sobreyectivas en vez de inyectivas? Buscando referencias sobre el tema encontré que también puede demostrarse este teorema dual pero hay una diferencia esencial: el teorema para funciones inyectivas no requiere del axioma de elección para demostrarse mientras que el teorema para funciones sobreyectivas SI LO NECESITA. Este tipo de situaciones en las que la dualidad no es simétrica siempre me han resultado tremendamente misteriosas 😮. ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Muy bien, gracias. Yo había oído esos teoremas pero no había visto las demostraciones y no sabía si se necesitaba el axioma de elección. Será muy interesante el próximo vídeo.
Hola Julien, Muchas gracias por el comentario. Es muy interesante el vídeo del enlace. Pero creo que es un poco estricto al afirmar que las demostraciones usuales como la algebraica de multiplicar 0,9999... por 10 son erróneas. De hecho su principal pega es que estamos manipulando algebraicamente una expresión 0,9999... que ni siquiera hemos demostrado que exista. En el caso nuestro vídeo no es del todo cierto, pues hemos dedicado bastante tiempo a explicar (con diagramas para facilitar las ideas) que este tipo de expresiones son un límite. De hecho, tal y como decimos en el vídeo multiplicar 0,9999... por 10 es ampliar 10 veces cada subdivisión de los intervalos en que previamente hemos dividido la unidad. Por esta razón 0,0009 pasa a ser 0,009 ; y 0,009 pasa a ser 0,09 ; etc. En el vídeo 0,999... no es ninguna expresión mística sobre la que operamos sino un limite previamente definido. Es cierto que no hemos definido dicho límite con todo el rigor que debería porque eso nos desviaría del cometido de este vídeo que era mostrar la idea de Cantor sobre el intervalo y el cuadrado y las objeciones hechas por Dedekind. La forma más riguriosa de verlo considero que es a través de progresiones geométricas. Consideremos la progresión geométrica cuyo primer término es a_1=0,9 y cuya razón es r = 1/ 10 = 0,1. De este modo: a_1 = 0,9 ; a_2 = 0,09 ; a_3 = 0,009 ; a_4 = 0,0009 ; a_5 = 0,00009 ; ... Cuando la razón es valor absoluto es menor que 1 la serie dada por la suma de los términos es convergente a_1 = 0,9 a_1 + a_2 = 0,9 + 0,09 = 0,99 a_1 + a_2 + a_3 = 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999 a_1 + a_2 +a_3 + a_4 = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 = 0,9999 ......... El limite L de esta suma ( que podemos denotar como L= 0,9999.... ) tiene una expresión explicita dada por la fracción L = a_1 / 1 - r (el primer término entre 1 menos la razón) De este modo si calculamos el límite llegamos a que L = a_1 / 1 - r = 0,9 / 1 - 0,1 = 0,9 / 0,9 = 1. Por cierto, también hicimos en su momento un vídeo sobre progresiones geométricas demostrando la fórmula de este límite. ua-cam.com/video/rN1cVPrLmQw/v-deo.html ¡Saludos y gracias de nuevo por el comentario!
Me gustaría que fuera la C, recuerdo que habías subido un video en el que demostrabas que existía una biyección entre el conjunto de ℕ y ℕ×ℕ, por lo sería congruente que esto se mantenga para ℝ.
Hola Dan, Nunca me había planteado que se puede entender como una extensión natural de la biyección entre ℕ y ℕ×ℕ ¡Que interesante! En efecto. Existe una biyección entre ℝ y ℝ×ℝ aunque la dada por Cantor tiene problemillas se puede demostrar su existencia gracias al Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que veremos en el vídeo de la semana próxima. Esta noche haremos una emisión en nuestro canal de Twitch contando entre otras cosas (libros, congresos, etc.) los preparativos para el vídeo próximo. ¡Saludos!
Los números periódicos, quizá en el futuro nos hagamos una herramienta para definir una desigualdad , porque si no es así, continuaremos con las incertidumbre de los dígitos de pi, y la relación de los números
Voto por el no. Si el cuadrado tiene lado 1, entonces puedo tomar un decimal en uno de los lados. Luego puedo formar infinitos pares con el otro lado. Por ejemplo, si la primera coordenada es 0,234, la segunda coordenada puede ser cualquier número entre 0 y 1. Si no me equivoco es el concepto de grado de libertad.
La solución de Cantor es una paradoja, remonta a un problema también antiguo que es el del acto y la potencia. ¿Esta una magnitud formada por una cantidad discreta de puntos o por un continuo infinito de ellos? No hay una sola respuesta verdadera, sin embargo Cantor admite como cierto que infinitos puntos potenciales forman la actualidad de una magnitud.
¡Pues en efecto es la C! La semana próxima publicaremos un vídeo sobre el Teorema de Cantor-Scröder-Bernstein que utilizaremos para demostrar que existe una boyección entre el intervalo y el cuadrado. ¡Saludos!
Si habíamos de infinitos puntos entiendo que según lo que plantea Dedekin el todo es equivalente a las partes. Por lo tanto el cuadrado es equivalente a la línea, e incluso puede serlo a un punto.
De los decimales derivan los porcentajes y las fracciones puedo decir ya que si una cifra es un todo osea se un 80 es un 100% si vamos agarrando partes mas pequeñas iremos fraccionando el número original y agarrando un numerado de 85, claro 10 veces más pequeño
Hace falta una biyección entre dos conjuntos para concluir que éstos tienen el mismo número de elementos, pero sólo cuando ambos son finitos. Pero en cambio, dos conjuntos pueden tener infinitos puntos sin que exista una biyección entre ellos.
Yo creo que el problema es que cero y uno tiende a infinito como una derivada o una integral pues nunca se llegara a tomar una medida exacta por que siempre habra una medida o escala mas pequeña y cuando se intenta tomar el valor exacto pues da cero o uno dependiendo si se toma el limite cuando tiende a 0 o a 1 tanto para 1 como para cero por eso en las derivadas es cuando el limite tiende a cero por que no existe un limite de medida siempre habra una escala mas pequeña esto lo podemos aplicar tanto para los atomos como a escala universal los nùmeros son infinitos aunque existen numeros infinitos unos mas grandes que otros. Yo creo que la biyeccion de cantor es erronea pero la biyecciòn existe
Bueno, yo solo sé que el conjunto potencia del continuo es un infinito más grande que el continuo, y el conjunto potencia del continuo, siendo R continuo, es el cardinal de R^2, un cuadrado puede tener una biyección para con los R^2, por lo que bajo esta lógica, Cantor tuvo que andar mal, aunque puede que yo me equivoque en algo, no lo sé.
¡En efecto! La semana próxima publicaremos la continuación del vídeo con el Teorema de Cantor-Scröder-Bernstein que permite demostrar que existe una biyección entre el intervalo y el cuadrado.
Una pregunta alguien ha demostrado la biyeccion que hay entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de una recta, o ya se da por hecho que hay una biyeccion?
Pero esta vídeo sobre la teoría de la dimensión PARTE de aquello que debería explicar. Debería explicar que significa una dimensión, ya que ciertamente tenemos la dimensión espacio-temporal que a su vez es tridimensional (los ejes x, y, z donde las cosas se mueven en función del tiempo y los cambios que se produzcan en ese intervalo). El vídeo está interesante, pero me siento estafado. Este vídeo ya empieza con las dimensiones para terminar con la pregunta de qué ocurre entre la dimensión 2 y la dimensión 1. En cuanto la pregunta, pienso que es tan simple como mirar una hoja de papel desde los distintos ángulos. Si lo miramos de forma horizontal o vertical simplemente veremos la línea de la hoja (pero no veremos la hoja en sí por estar viéndola justamente cuando perdemos dimensionalidad). Matricialmente y hasta donde yo se, el determinante es 0. Simplemente es más fácil "perder dimensionalidad" que recuperarla; ya que de un cubo podemos ver su superficie y su segmento, pero de una superficie no podemos asegurar que corresponda a un cubo y no a una caja (salvo que tengamos "los puntos de inicio"). Ahora bien, no hemos definido la dimensionalidad, más bien hemos partido de ella y de forma matemática. Pienso que Cantor demostró que el mundo siempre es tridimensional (incluso una hoja muy fina de papel tiene su grosor, no hay algo como una hoja en 2D) y por eso toda línea en realidad proviene de alguna superficie (y esta del volumen asociado). Ahora bien, una cosa es poder asociar y decir que son la misma cosa y otra decir que son exactamente lo mismo (para empezar una superficie está compuesta por 4 segmentos que se cierran, no pueden tener la misma cantidad que un simple segmento o sería la multiplicación de los panes y los peces). Otra cosa es que se puede ver un mismo segmento de distintas formas, así podemos medir una cuerda en cm o en pulgadas, llegando a distintas segmentos (por ejemplo de 0 a 1 y de 0 a 2) y evidentemente son dos formas distintas de expresar el mismo ser con la misma cantidad "de puntos" (los cuales son "infinitos"); esto es cuestión de perspectiva, ya que multiplicar y dividir puede entenderse como ampliar o reducir la misma cosa (como una lupa, y por tanto la cosa NO CAMBIA, somos nosotros que lo miramos de más de cerca, x100 o más lejos, x2).
Hola Agustín, El vídeo además de matemático tiene contenido histórico (de hecho así es como empieza). Y precisamente es así como se desarrollo la teoría topológica de la dimensión. Los matemáticos llevaban siglos haciendo teoremas considerando la noción de dimensión como algo intuitivo. De hecho, en el siglo XIX, le geometrñia analítica consideraba que un espacio es de dimensión 1 si se puede describir por medio de una variable, de dimensión 2 si se puede describir utilizando dos variables, etc. El descubrimiento de Cantor puso esta idea en cuestión mostrando una biyección entre el intervalo y el cuadrado. De hecho, tardaría aún un tiempo en establecerse qué propiedad ha de satisfacer una función para preservar la dimensión en el sentido de que no pueda existir una función con dichas características entre ℝ^n y ℝ^m si n≠m. Todos los matemáticos consideraban la idea de función continua la clave, y el propio Cantor llegó a publicar un resultado afirmando que una función sobreyectiva y continua preserva la dimensión pero 10 años después el ejemplo de la curva que llena el cuadrado (y es continua) de Peano echo por tierra el resultado de Cantor. La clave era el concepto de homeomorfismo (función biyectiva y continua con inversa continua) que es la equivalencia entre espacios topológicos, pero no fue hasta 1912 que L. E. J. Brouwer demostró el teorema de invarianza del dominio y con el lo el Teorema de invarianza de la dimensión que afirma que ℝ^n y ℝ^m son homeomorfos si y solo si n=m. Esta demostración usa herramientas más potentes de Topología Algebraica. De todo ello hablaremos en los próximos vídeos que publicaremos en esta mini-serie sobre teoría de la dimensión. Un saludo
@@ArchimedesTube Buenas Archimedes, gracias por responder. Ya estaré al tanto de los siguientes vídeos. Das datos interesantes y delicados de asimilar. Las curvas de Peano y de Hilbert me interesan (¿se utilizan para transformar la información de una forma que se pueda enviar o almacenar más simple y deshacer el proceso cuando uno necesita recuperar el original?) Simplemente, he vuelto a escuchar el inicio del vídeo, uno busca una idea intuitiva de que diantre es o como diantre definir una dimensión cualquiera. El vídeo dice que los griegos ya andaban en busca de definir y entender la idea de dimensión (y utilizas las definiciones de Euclides y Aristóteles). De allí ya saltas a otros "grandes pensadores" como Bolzano que "se comieron el tarro" para ir "a la chica": a Cantor. Pero al llegar a Cantor, más que definir la idea intuitiva de dimensión planteas un nuevo problema "hay exactamente tantos puntos en un segmento como en un cuadrado" y a partir de aquí ya te centras en este nuevo problema (con el problema de la biyección) pero sigues partiendo que un segmento es de dimensión 1 y un cuadrado de dimensión 2 (pues aquí es donde está la gracia del vídeo). ¿Qué decimos que es una dimensión? Pero, aunque el entendimiento de este tipo problemas arroja luz sobre la esencia de las dimensiones, yo pienso que estamos partiendo de ellas en vez de buscar "esa idea intuitiva". O eso o soy yo jajaja Un saludo, Agustín
LA VERDAD ME PERDÍ, ya lo vi dos veces y creo que la respuesta es B, lo intuyo, pero honestamente no lo comprendo aún... se me hace contra-intuitivo, ahhhh he formado una paradoja, intuyo que lo que se me hace contra-intuitivo está bien. 😭😭😭
Si por cada punto del cuadrado, tienes uno o DOS pares... el cardinal de los puntos del cuadrado NO ES MAYOR que el cardinal de los pares. Exista o no biyección entre ambos conjuntos. Lo que hace falta asegurarse, es que dado un par, siempre te lleve al mismo punto del cuadrado, dando igual si otro par, te lleva al mismo punto. Al arreglar ese error, que en realidad era una prueba, no un error, SI SE GENERA un fallo mayor. Pero si no lo arreglas, y aceptas la primera frase de este comentario... no solo dejas de obtener dos puntos del cuadrado, a veces, por cada par, sino que puedes demostrar que el cardinal de los putnos del cuadrado NO ES MAYOR que el cardinal de los pares. Puedes hacer la inversa, y demostrar que por cada par, hay varios del cuadrado. A mi rápido y pronto se me ocurre dibujar los dos segmentos dentro del cuadrado... marcar cada par, implica escoger DOS PUNTOS del cuadrado... Si los segmentos son mas largos que el cuadrado los escalas. Si el cardinal de uno NO ES MAYOR que el del otro, y el cardinal del OTRO no es mayor que el del primero... ¿Cuál es la conclusión directa?
Por lo que vi muy probablemente la demostración de Cantor es errónea. Si la biyeccion existe no sé si es posible demostrarlo. Igual tratate de pensar un rato en eso.
En efecto. La respuesta es la C. Dedicaremos el próximo vídeo a contar el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que es necesario para probar la existencia de la biyección entre el intervalo y el cuadrado.
Cuando expresamos un número decimal como periódico, estamos tomando cada período como un bloque; al romperlo, no podemos seguir considerando que estamos tratando con el mismo numero. Ninguno de los dos tiene razón: Cantor debe hallar una forma de asignar el correspondiente en la biyección para cada tipo de representación, y luego demostrar que son la misma biyección. Dedekind no se da cuenta de que está trabajando con dos biyecciones distintas. Yo he encontrado una demostración muy elegante que le da la razón a &%*Ç;="·, pero no cabe en el espacio que tengo para hacer el comentario.
Pero si yo tengo un número del segmento (0,1) , digamos, p= 0,a1a2a3a4a5......, cómo puedo asegurarme de formar a partir de él un único punto en R2 determinado por un par ordenado q= (x,y) ? ¿Cómo puedo construir una biyección entre p y q, dado que del único número p puedo construir dos puntos q en R2 para el interior del cuadrado (0,1)X(0.1) en R2?. Me explico : del número dado p=0,a1a2a3a4a5.....en R1 yo puedo construir la pareja q =(0,a1a3a5....., 0,a2a4a6...), pero también puedo construir del mismo p en R1. otra pareja r=(0,a1a2a5a6.......... ,0a3a4a7a8......), cuya ley de formación es evidente. Por tanto, en éste caso no hay biyección entre p de R1 y q de R2. No soy matemático ,aunque me hubiera gustado serlo, pues me llama poderosamente la atención el estudio de los fundamentos de la matemática, y ésta duda sobre éste problema que yo creía estaba resuelta por su clara explicación, me surge ahora y me desveló anoche tratando de hallar alguna explicación o resricción o una regla en la forma de construír éstos puntos de R2 a partir de un punto dado en R1. Lo saludo cordialmente desde Bogotá, Colombia
Hola Jairo, la intuición inicial de Cantor para construir la biyección entre el intervalo y el cuadrado se encontró con ciertos problemas como comentas. Para poder ver la existencia de una biyección entre en intervalo y el cuadrado es necesario utilizar el Teorema de Cantor-Bernstein como vemos en este otro vídeo: ua-cam.com/video/IoCcZ5CjuGc/v-deo.html Si quieres ver la demostración de dicho teorema lo vemos en este otro vídeo: ua-cam.com/video/bwI3MSWQ-po/v-deo.html Un saludo cordial desde Málaga, España
Hola Luis, Pero ambos, el intervalo y el cuadrado son no contables. De hecho, como veremos en el próximo vídeo, la intuición de Cantor era correcta y existe una biyección entre ambos conjuntos. De hecho, existe una biyección entre el intervalo y cualquier cubo n-dimensional. Ciertamente dichas biyecciones no son continuas y todas estas discusiones llevaron a finales del XIX y principios del XX al desarrollo de la Topología ¡Saludos!
No pues, si Cantor y Dedekind se pusieron a discutir sobre esto, quién soy yo para andar de metiche 😁.
Jeje, súper el video, espero la continuación ansioso
🤣🤣🤣
De metiche. Jajajaja jajaja
A mi me encanta el mitote, pero de este tipo de mitotes, no lo de las doñas jaja 😜
Me encanta!!!... dos geniales mentes en debate y una que lo explica!!!... maravilloso amo las matemáticas en su complejidad y en la forma de entender.
¡Muchas gracias Jonathan por tu comentario!
Muy interesante. Muchas gracias por compartir tu conocimiento
¡Muchas gracias Luis!
Que interesante, nunca vi esto en youtube y los vídeos de este canal siempre están muy buenos así que tengo grandes expectativas. Ahora a esperar nomás
A ver si podemos publicar la continuación la semana próxima!
Es una delicia este vídeo. La claridad con la que se explica este problema merece un like. Voy a estar a la espera de la segunda parte
¡Muchas gracias Gabriel! Estamos trabajando duro para tener la continuación lista para publicar cuanto antes. ¡Saludos!
Buen tema, mejor video...la aclaratoria de Dedekind es genial, y la contradicción a la inyectividad, espectacular.
¡Muchas gracias!
¡Gracias por el comentario Alexander! La semana próxima veremos como demostrar que la biyección existe con el teorema de Scröder-Bernstein ¡Saludos!
Waoooo... Que forma simplificada de explicar algo tedioso. ¡Simplemente genial!
Excelente material, no me canso de felicitarlos por este hermoso canal lleno de material valiosísimo para todos los apasionados de la Matemática. Sin duda Cantor es de mis matemáticos favoritos, me sorprende su poderosa intuición.
Saludos desde México.
¡Muchas gracias Pedro!
Además Cantor tuvo que enfrentarse a la oposición de gran parte de la comunidad matemática que se oponía con ferocidad a sus descubrimientos lo que hace más meritorio su trabajo.
Saludos desde España
Realmente genial su forma de plantear y analizar el problema. Hace que se sienta una gran pasión por aprender y aproximarnos al conocimiento de la matemática. Por estas enseñanzas, Simplemente GRACIAS!!!
¡Muchas gracias por tu comentario!
Qué gran calidad tienen sus videos! Son buenísimos! Ojalá crezcan pronto
¡Muchas gracias!
Excelente muchas gracias
A ustedes NADIE los iguala. Son realmente geniales. Gracias
¡¡Muchísimas gracias!! 😊
Sus videos son grandiosos, cada uno de ellos siempre me emociona, personas como ustedes son verdaderos motivadores para el estudio formal de las matemáticas.
PSDT: Ahora que le metiron intriga a los temas, me encanta aún mas el contenido del canal.
Excelente video👍🥰
¡Muchas gracias Marlon!
Fantástico, increíblemente bien explicado, gracias!
¡Muchas gracias! 😊
Estos vídeos para mí son ASMR conceptual (amo las matemáticas), ASMR visual (sus gráficas y dibujos son justos) y ASMR auditivo (los efectos de sonido, el piano de fondo y la voz narrativa de él).
¡Muchísimas gracias David! Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo y hablando de libros de matemáticas diversos. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Pásate por allí!
GENIAL video... muy bueno... saludos desde ARG.
¡Gracias Adrián! Saludos desde España
Simplemente genial.
La demostración de Cantor es incorrecta pero el echo de que haya una sobreyeccion nos muestra que el Cardianl del intervalo es mayor o igual al del cuadrado. Como hay una inyección obvia, colocando el intervalo en cualquier linea del cuadrado se tiene la otra desigualdad. Esto muestra que los cardinales son iguales, por el teorema de Schroeder - Bernstein
De eso precisamente trata el próximo vídeo, del Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Esperamos tenerlo listo para publicarlo el jueves ¡Saludos!
Por cierto, muchas gracias por este video, es una delicia verlos, amo los detalles sonoros, son muy satisfactorios
¡Muchas gracias Daniel! La verdad es que dedicamos mucho tiempo a hacer que los efectos sonoros sean lo más apropiado y agradable a cada situación
¡Saludos!
Estimado, el video es espectacular pero aún espero la definición de Dimensión.
¿Será para otro video?
Muchas gracias y felicitaciones por el gran trabajo que haces como divulgador!!
¡Muchas gracias Raul!
Hay muchas nociones diferentes de dimensión dependiendo de con qué objetos se trata: Dimensión de Hausdorff (Fractales); Dimensión de Krull (Anillos conmutativos); Dimensión de Hamel (Espacios vectoriales), pero en este caso se trata de la noción mas intuitiva de dimensión para variedades.
Una variedad es un espacio que localmente (visto desde cerca) es un espacio euclideo. El intervalo es una variedad de dimensión 1 y el cuadrado de dimensión 2. Una esfera es una variedad de dimensión 2 al igual que un toro (rosquilla).
El problema en sí no es la definición de dimensión si no qué transformaciones preservan esta dimensión.
Digamos que lo que descubrió Cantor es que las biyecciones NO preservan la noción de dimensión euclídea.
Esto llevó al desarrollo de la topología pues tanto Cantor como Dedekind tenían claro que la clave es que la biyección dada por Cantor NO es una función continua.
Dedekind estaba convencido de que la afirmación "Dados dos variedades M y N de dimensiones m y n y una biyección continua con inversa continua (homeomorfismo) entre ellas, entonces m = n." era un Teorema. Varios matemáticos, incluido Cantor, dieron demostraciones de casos particulares con mayor o menor éxito pero muy complejas y engorrosas. Aún tardarían algunas décadas en demostrarse el teorema con total generalidad y rigor por Brouwer en 1912.
Un saludo
@@ArchimedesTube Estimado, muchas gracias por tu respuesta, todo esto me parece fascinante.
Pero si la biyección no es una función continua, entonces existen puntos que no tienen imagen, y eso es por definición lo contrario de una función inyectiva, y por lo tanto tampoco puede ser biyectiva.
Esto podría representarse como un queso gruyere con infinitos agujeros, tanto en el segmento como en el cuadrado unitarios.
¿Entonces Cantor se equivocó?
Por favor no te detengas con este tema.
Recuerda ““Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”.”
Un abrazo
Excelente video sobre un tema muy interesante. No tengo idea de cuál es la respuesta correcta así que espero con ansias el siguiente video.
¡Muchas gracias Luis! Esperamos poder publicar el próximo vídeo con la respuesta a este misterio la semana próxima. Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Saludos!
Muy Bueno y claro. Se lo hice ver a mi señora que nada tiene que ver con las matemáticas y si con el arte y lo entendio y además comento lo bien que fue hecha la presentación desde el punto de vista estético. Por mi parte como en todo lo bueno me hubiera gustado un poco más.
Genial .. Análisis Real uno de los cursos más trancas .. si tan solo hubiera visto este video
¡Muchas gracias por el comentario!
Cada día mejor. Fantástico. Felicidades Urtzi. Supongo que la opción correcta es la C, es posible que exista una biyección lo que parece es que no va a ser continua. Ya lo veré en el próximo capítulo!!
Hola Pedro!
Exacto! se puede demostrar que existe la biyección con el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, pero este descubrimiento de Cantor llevó a la comunidad matemática a tratar de "salvar" el concepto de dimensión demostrando que con ciertas hipótesis se preservaba la dimensión. Una de esas hipótesis era la continuidad, pero Cantor también erró pues pensó que bastaba ser sobreyectiva y continua para mantener la dimensión (y de hecho llegó a publicarlo) pero 10 años más tarde Peano descubriría su curva que llena el cuadrado que es continua y sobreyectiva. La noción correcta es la de homeomorfismo, biyectiva, continua y con inversa continua, y gracias a está paradoja se desarrolló la Topología.
Vamos a hacer una mini-serie de 4 vídeos contando esta historia y acabando con el Teorema de invarianza del dominio de Brouwer que zanja la cuestión. Acabaremos contando escisión y sucesión exacta larga en homología 🤣🤣🤣
Un abrazo Pedro!
Fascinante vídeo. Es mejor que los (pocos) libros de divulgación matemática que he leído. ¿Conocen un libros de divulgación que tenga el alto nivel de este vídeo?
Saludos desde Ecuador.
No son muy comunes los libros de divulgación que incluyen matemática de cierto nivel explicada para no especialistas en la materia. Algunos libros en esta línea pueden ser:
1. El camino de la Realidad. Roger Penrose.
Este libro es una auténtica joya. Se trata de una búsqueda de los principios subyacentes que rigen el comportamiento del universo. En dicho camino se desarrolla mucha de la matemática actual viéndola en su contexto histórico y en relación a los problemas de los que surgió. Son casi 1500 páginas y aunque puede haber capítulos más duros de casi cualquier parte uno puede extraer ideas y enseñanzas valiosísimas. Actualmente es uno de mis libros favoritos.
2. ¿Qué es la Matemática? Richard Courant y Herbert Robbins
Este libro es un libro de texto que trata de casi cualquier área de la matemática. Esta escrito para poder leerlo a partir de conocimientos de matemáticas de secundaria y Bachillerato. Está escrito en un estilo elegante y claro. Aunque no se trata estrictamente de un libro de divulgación su lectura es tan agradable y trata de temas que no son fáciles de encontrar en libros de un nivel no especialista (como los problemas clásicos de construcción con regla y compás) que merece ciertamente la pena.
3. Calculus Gems. George F. Simmons
Este libro tiene dos partes (A y B) diferenciadas. La primera parte consta de biografías breves de los genios de las matemáticas más importantes de todos los tiempos. La segunda está dedicada a hitos matemáticos resueltos por dichos genios y se puede encontrar desde el cálculo del volumne de la esfera de Arquímedes a cómo deducir las leyes de Kepler a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton y un poco de cálculo diferencial.
Un saludo!
@@ArchimedesTube Muchas gracias por esas recomendaciones. Creo que voy a probar el de Courant.
Excelente episodio!!
¡Muchas gracias!
gracias por compartir contenido tan hermoso!!!!!!!
¡Muchas gracias José! La semana próxima tendremos lista la continuación de este vídeo ¡Saludos!
C) la curva de Peano es la biyección que buscamos, buen vídeo saludos de Chile.
¡Hola Pablo!
Pero la curva de Peano no es la solución.
La biyección existe y se puede probar por ejemplo utilizando el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein como veremos en un vídeo que nos gustaría tener terminado para mañana martes (Cantor también arregló el problema dando una biyección utilizando fracciones continuas).
El problema de esta biyección es que no es continua. De hecho, Dedekind ya expresó que la solución al problema de preservar la dimensión era considerar biyecciones continuas con inversa continua, esto es, homeomorfismos, pero la demostración del teorema de invarianza de la dimensión que afirma que dos variedades M y N de dimensión m y n solo pueden ser homeomorfas si m=n se demoró bastantes años en demostrarse de forma rigurosa (la demostró en 1912Luitzen Egbertus Jan Brouwer).
Pero antes de esto la comunidad matemática se planteó si dado que biyectova y continua preservaba la dimensión, ¿era posible dar una curva continua (dimensión 1) que llenara el cuadrado (esto es, que fuese sobreyectiva sobre un espacio de dimensión 2) aunque en consecuencia se perdiera la inyectividad?
La respuesta es afirmativa y fue precisamente la curva de Peano (que es sobreyectiva, continua pero NO es inyectiva).
De esta historia también estamos preparando un vídeo que completará la serie sobre teoría de la dimensión topológica.
¡Saludos!
¡Pero que pedazo de video!
Felicitaciones nuevamente por el trabajo que hacen.
¡Muchísimas gracias Gaston!
Por qué los profesores de matemática de Universidad no pueden ponerle tanta pasión como usted? Excelente video
¡Muchas gracias Sebastián!
De hecho muchos sí lo hacen, o al menos esa está siendo mi experiencia
No tengo ni idea sobre el tema pero ahí va un planteamiento: Supongamos que tengo un segmento más corto que otro, uno de 1 unidad de longitud, otro de 2 unidades de longitud, ambos formados por infinitos puntos. Puedo deducir que el largo tiene más puntos, pese a tener ambos infinitos, pues si asocio todos los números reales entre 0 y 1 a cada punto del segmento corto y luego hago lo mismo con el largo pero entre 0 y 2, puedo emparejar todos los reales comprendidos en el intervalo entre 0 y 1 de ambos segmentos pero no puedo hacerlo entre 1 y 2. Suponiendo correcto este razonamiento y considerando un cuadrado como una superposición infinita o no de segmentos, tendría más puntos que un solo segmento. Advierto que no tengo ni idea en la materia, alguna idea al respecto?
Los puntos del intervalo (0, 1) y los del intervalo (0, 2) pueden ponerse en correspondencia. f : (0, 1) --> (0, 2) la función f(x) = 2x. La inversa es la función g: (0, 2) --> (0, 1) definida por g(x) = x/ 2. De este modo tenemos emparejados los puntos del intervalo (0, 1) y los puntos del intervalo (0, 2). Por ejemplo 0,5 ∈ (0, 1) está emparejado con 1 ∈ (0, 2) ; 0,25 ∈ (0, 1) está emparejado con 0, 5 ∈ (0, 2), etc.
@@ArchimedesTube gracias! Veo que la intuición no siempre funciona en estos temas
Yo también quisiera filosofar así, ayuda como hago, quisiera estudiar matemática a esa profundidad
@@hvtengarcia3176 empieza con análisis real, con la definición de números naturales, enteros,.racionales, reales ...
@@pabloromero6300 si pero, antes quiero mencionar que las matemáticas llevan pilares y pues apenas estoy en lógica no se si deba dar el salto aún, pero estaría bien ser guiado por alguien que ya está en la licenciatura sabes...
Excelente video
¡Muchas gracias!
Me encantó el vídeo
¡Muchas gracias!
Esta semana queremos publicar la continuación de este vídeo con la respuesta a la pregunta final.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube Buenísimo. Excelente canal. Me encantan las matemáticas. Aunque nunca me especialice, pero muchisimas veces son necesarias en mi trabajo de diseñador.
¡Excelente la manera de explicar! ¡Felicitaciones! Aunque no entiendo cuál fue la razón primigenia para separar los números pares de los impares. Saludos.
¡Muchas gracias Daniel! La idea de separar las cifras de los números decimales en pares/impares es lo que permite idear la biyección entre el intervalo y el cuadrado. De hecho, el intervalo es biyectivo a cualquier cubo n-dimensional. Si queremos dar una biyección entre el cubo y el intervalo tendríamos que hacer lo mismo separando las cifras en clases 0, 1, 2 módulo 3. Es decir, la primera cifra, la cuarta, la septima,... todas las que estén en las posiciones 3n+1 formarían la primera coordenada del punto del cubo. La segunda, quinta, octava,... todas las que estén en las posiciones 3n+2 formarían la segunda coordenada del punto del cubo. Y la tercera, sexta, novena,... todas las que estén en las posiciones 3n formarían la tercera coordenada del punto del cubo.
Un saludo
Excelente vídeo, Urtzi. Me has dejado craneando la respuesta. ¡Jajaja! ¿Cada cuánto haces directos en Twitch?
Hola Alejandro!
Estamos haciendo emisiones de Twitch cada sábado. Normalmente emitimos de 21:00 a 23:00 pero a partir de ahora vamos a hacerlo en horario 20:00-22:00 que es un poco más razonable 🤣
Un abrazo!
Vuelan la cabeza estos videos, felicidades!
Genial video, como siempre!!, entonces en la función del video sacando el problema de la doble escritura de los elementos de (0,1) se tiene una inyección de derecha a izquierda (?!?), luego buscamos una inyección (casi cualquiera) de izquierda a derecha y aplastamos con Cantor-Schodern-Bersteins... Ahora si, no me recuerdo que se hace con los extremos para el caso del cuadrado cerrado... 0,1 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) ??... bueno a esperar el siguiente, Aguante los fundamentos!
Hola Rodrigo,
¡En efecto! el próximo vídeo tratará sobre el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que afirma que si tenemos una función inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A entonces existe una función biyectiva entre A y B. Para aplicarlo al intervalo y al cuadrado, podemos inyectar el intervalo [0, 1] por ejemplo en el lado inferior del cuadrado y la función de Cantor del cuadrado en el intervalo es inyectiva (en realidad tenemos que quitar el 1 del intervalo y el lado derecho y superior del cuadrado pues la función de Cantor es inyectiva si decidimos tomar todos los decimales exactos evitando una sucesión infinita de 9's pero entonces el 1 = 0,99999 no se puede escribir de la forma 0' algo ). Para extenderlo a todo el intervalo y todo el cuadrado podemos aplicar de nuevo Cantor-Schröder -Bernstein.
Todo esto lo haremos con detalle en el próximo vídeo que queremos tener listo para la semana próxima.
Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Saludos!
¡Tremenda pregunta! Bien ahí por intentarlo... veremos atentamente ¿qué es la dimensión? Pregunta disparadora en mis clases de Física y Matemática. :D
Buenos videos ArchT. (ya dejé mo like ;) )
¡Muchas gracias Cesar! Vamos a dedicarle algunos vídeos más a esta cuestión. El siguiente a ver si lo podemos tener losto la semana próxima
¡Aquí estaremos esperando! :)
Muy buen video... el problema que veo es que aparentemente a cada punto de un segmento de recta le corresponde un punto del universo xD es que siempre existe un punto entre dos puntos... cuantas veces quiera... es solo mi intuición, ni idea como demostrarlo... ¿Habrá alguna vez un curso de topología?
Tenemos en el canal una lista de reproducción sobre vídeos de topología algebraica. Cuando tenga que impartir la asignatura de topología ( conjuntista) prepararé un curso en formato vídeo también ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Muchas gracias, ayer lo he estado viendo... pero aún tengo dificultades jaja es que recién estoy estudiando un libro de topología conjuntista, se llama "Topología sin Dolor", creo que es muy bueno... ¡me gustaría aprender esta parte de la matemática! estudio por hobbie nada más...
@@subirbajar2 Ese libro está muy bien!
Extraordinario video como siempre!! Voy por la opción B del final. #TeamCantor
¡Gracias Juan Carlos! La semana próxima intentaremos publicar la continuación ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Excelente!
que nivel de video espectacular!
¡Muchas gracias Juan! Este sábado en nuestro canal de Twitch discutiremos sobre el vídeo continuación de este que publicaremos la semana próxima ¡Saludos!
Me dejó más intrigado por el siguiente episodio que la novela de las 10
🤣🤣🤣 Intentaremos tener listo el siguiente vídeo para la semana próxima. Esta mini-serie sobre la teoría de la dimensión tendrá en total 4 vídeos que tendrán cierta independencia entre ellos aunque cada vídeo de respuesta al anterior. ¡Cada uno será más sorprendente que el anterior!
Este sábado haremos una emisión en Twitch comentando los pormenores de la realización del vídeo y hablando de libros de matemáticas diversos. Anunciaremos en la comunidad de Twitch la hora de emisión ¡Pásate por allí!
Así es amigo, ya ni la telenovela Teresa me dejo tan intrigado como esto, estoy ansioso por saber la respuesta. Ósea, yo creo que los conjuntos son equipotentes pero igual, los argumentos que muestran en este video me dejan perplejo 🤨
La idea de Cantor era realmente buena pero hay que ser un poco más precisos. En el próximo vídeo mostraremos (y demostraremos) el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que se puede utilizar para probar la existencia de la biyección entre el intervalo y el cuadrado ¡Saludos!
D) Ninguna, se refuta la hipótesis del continuo 😂😆
Bromas aparte, muy buen video como siempre.
🤣🤣🤣 Muchas gracias!
Por mucho que Cantor se hubiera equivocado, el que esta función sea sobreyectiva nos dice que el cardinal del intervalo, por lo menos no es menor que el del cuadrado. Y usando una función que mande cada t del intervalo en (0,t), tenemos una función inyectiva. Por lo que, podemos usar el teorema de C-S-B para demostrar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal y que, por ende, debe haber otra función que sí sea inyectiva entre estos.
Exacto! Precisamente el vídeo de la semana próxima trata del Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein y algunas de sus aplicaciones (esta incluida).
Muuuuy buen video
¡Muchas gracias!
Muy bueno
Exelente video, excelente canal. Muchas gracias por sus contenidos. Yo le voy a Cantor.... no creo q a semejante gigante de las Mates se le haya pasado esta objeción. Voy por la B.
Excelente vídeo, sí señor.
¡Muchas gracias Antonio! La semana próxima publicaremos la continuación. Y este sábado en nuestro canal de Twitch discutiremos sobre el nuevo vídeo ¡Saludos!
Podemos imaginar procesos lógicos originales para generar una función biyectiva entre dos conjuntos de puntos com son los infinitos puntos que integran un segmento y un cuadrado, pero de entrada ya sabemos que un punto no tiene dimensión y por lo tanto hay infinitos puntos en ambos objetos, mientras que la biyección, para qué demonios nos sirve haberla establecido? Todavía espero que alguien me justifique la importancia de establecer biyecciones, que no dudo que exista, pero sin ella parece estar estudiando cosas si motivo alguno. Eso de los infinitos con distinto cardinal siempre me ha parecido una paja mental sin objeto alguno: qué importancia tiene? Lo fácil ahora es decir que soy idiota, pero espero respuestas más respetuosas e interesantes de vuestra parte. Gracias.
Querido El Gato Negre. Los distintos tipos de infinito son intrínsecos a la naturaleza de los números. Si estudias los números, tarde o temprano acabas topándote con ello, no es algo que puedas "no investigar". Sobre estas ideas se fundamenta, por ejemplo, todos los principios de integración y derivación (y ya solo con esto debería ser suficiente, ya que significa "todas las ingenierías modernas" o "todos los adelantos tecnológicos del último siglo"), límites, desarrollo de Taylor y muchas otras cosas de matemática básica. No voy a entrar ya en matemática avanzada, pero digamos que la aritmética, el cálculo y la geometría no serían nada sin ese concepto.
No saber de un campo e ir a donde expertos en ese campo a decirles que no tienen ni idea, y que si se atreven a decirte que deberías informarte entonces son "irrespetuosos" no sólo es absurdo, también es marcadamente infantil, ególatra y falto de inteligencia y empatía a partes iguales.
Puede que esta respuesta no te sea suficiente para despejar tus dudas, por ello te recomiendo que, antes de volver a faltar al respeto a nadie (que no por preguntar se falta al respeto, si no por asumir que aquel al que preguntas es peor que tú, ya sea intelectualmente o moralmente, como has hecho), al menos en este caso, no ya hagas una carrera técnica (cuánto menos el grado de Matemáticas), sino, al menos, la especialidad científico técnica de un bachillerato.
Edito y añado: la importancia de las biyecciones es que te permiten usar herramientas que conoces en uno de los lados de la biyección en el otro lado. Por ejemplo, algo tan básico como poner la geometría como aritmética realmente se hace con biyecciones. Es más, probablemente una de las bases más fundamentales de las matemáticas es crear biyecciones.
C, si existe una inyeccion como por ejemplo con la función f(x) =X^2=A, o sea se puede asociar a cada punto de la lines un punto en el plano, pero si hacemos la raíz, tenemos dos posibilidades x = f(A) =+squrt(A) y x = f(A) =-sqrt(A), no podemos asociar un punto unico del plano a cada punto de la linea, si no que a dos puntos de la linea, o sea que hay el doble de puntos en el plano que en la linea. Talvez me equivoque, pero si de seguro de algo estoy es que NO hay la misma cantidad de puntos en el plano que en la linea.
Lo sorprendente es que si los hay! En el vídeo que publicaremos la semana próxima veremos como demostrar que existe una biyección entre ambos conjuntos con ayuda del Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. ¡Saludos!
No se si tiene mucho que ver pero me surgió esta duda: si dos conjuntos tienen el mismo cardinal entonces se puede encontrar una biyeccion entre ellos? Está claro que para conjuntos finitos es trivial porque para cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento del otro, pero no se me ocurre que pasaría si fueran infinitos
Hola J o a c o!
El cardinal de un conjunto finito coincide con su número de elementos. Para un conjunto infinito X (un conjunto X es infinito si existe una función inyectiva ℕ --> X ) el cardinal |X| se define como la clase de equivalencia de todos los conjuntos que son biyectivos con X.
Es decir, por definición dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre ambos.
De hecho para conjuntos finitos X e Y también es claro que si |X|≤|Y| entonces se puede definir una función inyectiva X-->Y y recíprocamente si existe una función inyectiva X--> Y es por que el número de elementos de X es menor o igual que el número de elementos de Y, |X| ≤ |Y|.
De este modo si tienes dos conjuntos finitos A y B tales que existe una función inyectiva A --> B ( |A| ≤ |B| ) y una función inyectiva B --> A ( |B| ≤ |A| ) entonces por la propiedad antisimétrica de la relacion "ser menor o igual" se tiene que |A|=|B| y podremos emparejar los elementos de A con lo elementos de B, esto es, establecer una biyección entre A y B.
¿Pero que ocurre si los conjuntos A y B son infinitos?
Si existe una función inyectiva A --> B definimos la relación de desigualdad entre cardinales infinitos y decimos que |A| ≤ |B|. Pero esto es una definición, es decir es una desigualdad entre cardinales infinitos NO entre números.
Si tenemos una función inyectiva A --> B y también una función inyectiva B --> A entonces tendremos |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, pero no sabemos que esta relación satisfaga la propiedad antisimétrica y por tanto |A|=|B| (que para conjuntos infinitos, como hemos dicho, significa que exista una biyección entre A y B).
Esto es cierto, de hecho es el TEOREMA DE CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN que veremos en el vídeo de la semana próxima y que afirma que si tenemos una función inyectiva A --> B y también una función inyectiva B --> A entonces existe una biyección A B.
Este resultado es muy útil y lo utilizaremos para probar que existe una biyección entre el intervalo y el cuadrado.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube aah ok, muchas gracias. Ya quedo todo claro, sus explicaciones son geniales. Esta muy curioso eso de que para que un conjunto sea infinito tiene que haber una función inyectiva de los naturales al conjunto, pero tiene mucho sentido.
@@joaco1226 problema,mientras tengamos naturales el cardinal puede ser expresado por un número natural que representa la cantidad de elementos.
Esto permite ordenar de menor a mayor los conjuntos finitos porque sabemos que 5
Me encantó, felicitaciones, ahora espero con ansias el siguiente vídeo
¡Gracias Andrés! intentaremos tenerlo listo para la semana próxima
Esto me dejó 🤯
¡Hola Iván!
Pues en los próximos vídeos de esta miniserie vendrán sorpresas más desconcertantes si cabe
cantor: tries to explain dimensions with his infinity theory
dedekind: i have to stop you right there
si muy buen video para esplicar el concepto de dimensiones para esplicar el espacio con líneas rectas
Y el concepto de que es el número utilizando un cuadrado
es acaso que el concepto de linea solo admite la forma de linea recta
Y que tal que envés de cuadrado utilizamos un
circulo para lo de las
dimensiones
Y para mi un punto es un
lugar en el espacio tiempo
Y el espacio es infinitos
lugares en todos los sentidos
Atte Jhonny Angarita
Increible!!
De las interrogantes del final, la A no creo que sea, pues asumo que Cantor iba bien encaminado. Estaría entre la B o la C. Puede ser que la demostración de Cantor sea correcta y que Dedekind haya pasado algo por alto al momento de su objeción o bien, quizás Cantor erró en algo pero que la biyección sea cierta (suele suceder que a veces las analogías en lugar de facilitar un problema, lo terminan complicando).
Hola Franco,
Esta semana queremos publicar el vídeo continuación de éste en el que contamos el Teorema de Cantor-Schröder-Benstein que prueba la existencia de la biyección entre el intervalo y el cuadrado.
¡No te lo pierdas!
Tengo una duda
Esto de los infinitos puntos de una línea
de los infinitos puntos de un plano
¿no es como unir el conjunto de los números enteros, el cuál es igual de grande que los naturales, con los números fraccionarios?
Hola Robinson,
Es cierto que se tiene la sensación de que el argumento para ver que ℕ y ℕxℕ tienen el mismo cardinal es análogo en algún sentido a probar que ℝ y ℝxℝ tienen el mismo cardinal. De hecho, se puede probar el siguiente resultado general:
si A y B son conjuntos finitos entonces | A x B |= |A| · |B|
si A es un conjunto infinito y B es no vacío entonces | A x B | = max{ |A|, |B| }
¡Saludos!
Aún no graban la segunda parte de este vídeo verdad?
Hola Ricardo,
Ya publicamos dos vídeos más de esta serie:
El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein
ua-cam.com/video/IoCcZ5CjuGc/v-deo.html
DEMOSTRACIÓN - El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein
ua-cam.com/video/bwI3MSWQ-po/v-deo.html
De hecho estamos a punto de terminar un nuevo vídeo de la serie comenzada con el vídeo de la TEORÍA de la DIMENSIÓN que nos ha llevado todo el verano terminarlo. Trata sobre las curvas que llenan el espacio y queremos publicarlo la semana próxima. ¡Nos ha quedado casi un corto de animación! 😂.
Un saludo
Profesor disculpe no entiendo ¿por que un número decimal se separa en dos?, uno a partir de las cifras de lugar par y el otro a partir de la cifras de lugar impar.
Hola Juan,
Dos conjuntos se dice que tienen el mismo cardinal si podemos definir una función entre ellos que empareja los elementos de los conjuntos. Para definir dicha función entre los puntos del intervalo y los puntos del cuadrado se toma un punto t del cuadrado, esto es , un número real entre 0 y 1 escrito en forma decimal y queremos asociarle un punto del cuadrado, esto es, un par ordenado (x, y) de números reales entre 0 y 1. ¿Cómo hacemos esto a partir del punto t ? La idea de Cantor es definir x como el número decimal formado por las cifras decimales impares de t y definir y como el número decimal formado por las cifras pares de t. Recíprocamente, dado un punto del cuadrado (x, y) podemos asociarle el punto t resultante de entrelazar las cifras decimales de x e y. Esto es una función que empareja los puntos de ambos conjuntos (bueno, hay algunas dificultades que se explican en el vídeo pero la idea es en esencia esa).
Saludos
¿Y si vamos a una dimensión más? ¿Tendría más puntos un cubo con una arista de longitud de 1 que un cuadrado de longitud 1?
Tamos iguales
Hola Martin,
El intervalo y el cubo tienen el mismo cardinal. La idea es similar, pero en este caso en vez de separar y entrelazar las cifras de los números decimales en pares/impares que es lo que permite idear la biyección entre el intervalo y el cuadrado, tendríamos que hacer lo mismo separando las cifras en clases 0, 1, 2 módulo 3. Es decir, la primera cifra, la cuarta, la septima,... todas las que estén en las posiciones 3n+1 formarían la primera coordenada del punto del cubo. La segunda, quinta, octava,... todas las que estén en las posiciones 3n+2 formarían la segunda coordenada del punto del cubo. Y la tercera, sexta, novena,... todas las que estén en las posiciones 3n formarían la tercera coordenada del punto del cubo.
¡Saludos!
Excelente vídeo acompanhado de imagens e gráficos muito atrativos. A resposta para mim é a opção C.
Existe uma função bijetiva entre o intervalo e o quadrado, pero não é essa "função".
No 1° ano da faculdade eu próprio me dei conta dessa função entre o intervalo e o quadrado (andando de três em três, teríamos uma bijecão entre o intervalo e o cubo). Nunca pensei seriamente nessa "função" pelo que tive uma surpresa ao ver a parte final deste vídeo.
Segun parece la "funcion" no está bien definida (pienso quevse resolve se adoptamos infinitos 9's para a representação de um número) e é sobrejetiva. Por lo tanto haverá mais (>=) pontos no intervalo que no quadrado!!!
Talvez seja melhor provar que existem duas funções injetivas. Uma do intervalo para o quadrado e outra do quadrado para o intervalo. A partir daqui construímos uma bijeccion entre o intervalo e o quadrado (Teorema de Bernstein-Cantor-Schroeder).
Estoi esperando por el próximo vídeo.🙂
Me salió medio argumento de Dedekind (la del 0,9999...) antes de darle play en 5min. _Bamos por wen camino_
La respuesta será la C. Estaba mal la biyección de Cantor pero existe alguna. Muchas veces es muy difícil establecer la biyección, pero lo que si se puede hacer es crear una función inyectiva del primero al segundo y otra también biyectiva del segundo al primero. Hay un teorema que asegura que en ese caso existe la biyección. O también sirven sendas sobreyectivas de uno en otro y viceversa. La función de Cantor de [0, 1] en [0,1]x[0,1] (considerando una única forma de representación de los decimales) es sobreyectiva y de [0,1]x[0,1] en [0,1] la simple función g(x, y) = x es sobreyectiva. Tenemos así dos funciones sobreyectivas de uno a otro y viceversa, lo cual asegura que los cardinales son iguales.
¡Hola Valero!
La respuesta C es la correcta en efecto. El próximo vídeo tratará precisamente sobre el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que afirma que si tenemos una función inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A entonces existe una función biyectiva entre A y B. Para aplicarlo al intervalo y al cuadrado, podemos inyectar el intervalo [0, 1] por ejemplo en el lado inferior del cuadrado y la función de Cantor del cuadrado en el intervalo es inyectiva (en realidad tenemos que quitar el 1 del intervalo y el lado derecho y superior del cuadrado pues la función de Cantor es inyectiva si decidimos tomar todos los decimales exactos evitando una sucesión infinita de 9's pero entonces el 1 = 0,99999 no se puede escribir de la forma 0' algo ). Para extenderlo a todo el intervalo y todo el cuadrado podemos aplicar de nuevo Cantor-Schröder -Bernstein.
Lo que comentas sobre funciones sobreyectivas es muy interesante. Hace un tiempo me planteé esa misma cuestión ¿Puede el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein dualizarse para funciones sobreyectivas en vez de inyectivas? Buscando referencias sobre el tema encontré que también puede demostrarse este teorema dual pero hay una diferencia esencial: el teorema para funciones inyectivas no requiere del axioma de elección para demostrarse mientras que el teorema para funciones sobreyectivas SI LO NECESITA. Este tipo de situaciones en las que la dualidad no es simétrica siempre me han resultado tremendamente misteriosas 😮.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube Muy bien, gracias. Yo había oído esos teoremas pero no había visto las demostraciones y no sabía si se necesitaba el axioma de elección. Será muy interesante el próximo vídeo.
Increíble video! hay tantas cosas profundas allí escondidas en lo que nos parece "básico".
¡Muchas gracias Marcos!
Ya suban el próximo video
Ya está terminado! Solo quedan algunos detalles... añadir subtítulos, la descripción, la portada. Pero esta tarde lo publicamos sin falta. ¡Saludos!
9:05 Hay un vídeo muy interesante al respecto de esas demostraciones.
ua-cam.com/video/jMTD1Y3LHcE/v-deo.html
Hola Julien,
Muchas gracias por el comentario.
Es muy interesante el vídeo del enlace.
Pero creo que es un poco estricto al afirmar que las demostraciones usuales como la algebraica de multiplicar 0,9999... por 10 son erróneas.
De hecho su principal pega es que estamos manipulando algebraicamente una expresión 0,9999... que ni siquiera hemos demostrado que exista. En el caso nuestro vídeo no es del todo cierto, pues hemos dedicado bastante tiempo a explicar (con diagramas para facilitar las ideas) que este tipo de expresiones son un límite.
De hecho, tal y como decimos en el vídeo multiplicar 0,9999... por 10 es ampliar 10 veces cada subdivisión de los intervalos en que previamente hemos dividido la unidad. Por esta razón 0,0009 pasa a ser 0,009 ; y 0,009 pasa a ser 0,09 ; etc.
En el vídeo 0,999... no es ninguna expresión mística sobre la que operamos sino un limite previamente definido.
Es cierto que no hemos definido dicho límite con todo el rigor que debería porque eso nos desviaría del cometido de este vídeo que era mostrar la idea de Cantor sobre el intervalo y el cuadrado y las objeciones hechas por Dedekind.
La forma más riguriosa de verlo considero que es a través de progresiones geométricas. Consideremos la progresión geométrica cuyo primer término es a_1=0,9 y cuya razón es r = 1/ 10 = 0,1. De este modo:
a_1 = 0,9 ; a_2 = 0,09 ; a_3 = 0,009 ; a_4 = 0,0009 ; a_5 = 0,00009 ; ...
Cuando la razón es valor absoluto es menor que 1 la serie dada por la suma de los términos es convergente
a_1 = 0,9
a_1 + a_2 = 0,9 + 0,09 = 0,99
a_1 + a_2 + a_3 = 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999
a_1 + a_2 +a_3 + a_4 = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 = 0,9999
.........
El limite L de esta suma ( que podemos denotar como L= 0,9999.... ) tiene una expresión explicita dada por la fracción
L = a_1 / 1 - r (el primer término entre 1 menos la razón)
De este modo si calculamos el límite llegamos a que
L = a_1 / 1 - r = 0,9 / 1 - 0,1 = 0,9 / 0,9 = 1.
Por cierto, también hicimos en su momento un vídeo sobre progresiones geométricas demostrando la fórmula de este límite.
ua-cam.com/video/rN1cVPrLmQw/v-deo.html
¡Saludos y gracias de nuevo por el comentario!
Vaya ahora resulta que donde sobran puntos es en el segmento!!! De locos
Los resultados encontrados por Cantor a finales del XIX son verdaderamente sorprendentes!
Me gustaría que fuera la C, recuerdo que habías subido un video en el que demostrabas que existía una biyección entre el conjunto de ℕ y ℕ×ℕ, por lo sería congruente que esto se mantenga para ℝ.
Hola Dan,
Nunca me había planteado que se puede entender como una extensión natural de la biyección entre ℕ y ℕ×ℕ ¡Que interesante!
En efecto. Existe una biyección entre ℝ y ℝ×ℝ aunque la dada por Cantor tiene problemillas se puede demostrar su existencia gracias al Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que veremos en el vídeo de la semana próxima.
Esta noche haremos una emisión en nuestro canal de Twitch contando entre otras cosas (libros, congresos, etc.) los preparativos para el vídeo próximo.
¡Saludos!
Esto no es Matemáticas. Es poesía, puro arte. Este vídeo me puso el vector director con un gran módulo
bro?
Los números periódicos, quizá en el futuro nos hagamos una herramienta para definir una desigualdad , porque si no es así, continuaremos con las incertidumbre de los dígitos de pi, y la relación de los números
Voto por el no. Si el cuadrado tiene lado 1, entonces puedo tomar un decimal en uno de los lados. Luego puedo formar infinitos pares con el otro lado.
Por ejemplo, si la primera coordenada es 0,234, la segunda coordenada puede ser cualquier número entre 0 y 1.
Si no me equivoco es el concepto de grado de libertad.
Lo que me preocupa es que con la representación del decimal como una tira de 10 cuadraditos, hay infinitas maneras de escribir el 0,2.
Esta semana queremos publicar la continuación de este vídeo con la sorprendente solución ¡Saludos!
La solución de Cantor es una paradoja, remonta a un problema también antiguo que es el del acto y la potencia.
¿Esta una magnitud formada por una cantidad discreta de puntos o por un continuo infinito de ellos?
No hay una sola respuesta verdadera, sin embargo Cantor admite como cierto que infinitos puntos potenciales forman la actualidad de una magnitud.
No tengo ni idea pero lo que sí tengo es ganas de que sea la C :D
¡Pues en efecto es la C!
La semana próxima publicaremos un vídeo sobre el Teorema de Cantor-Scröder-Bernstein que utilizaremos para demostrar que existe una boyección entre el intervalo y el cuadrado.
¡Saludos!
Puedo tener un parámetro t en una función vectorial parametrizada f(t)=(t,t) 0
No obtendrás solamente los puntos de la diagonal? O entendí mal tu afirmación
@@joaco1226 tienes razón, gracias por hacer ver mi error.
Si habíamos de infinitos puntos entiendo que según lo que plantea Dedekin el todo es equivalente a las partes. Por lo tanto el cuadrado es equivalente a la línea, e incluso puede serlo a un punto.
De los decimales derivan los porcentajes y las fracciones puedo decir ya que si una cifra es un todo osea se un 80 es un 100% si vamos agarrando partes mas pequeñas iremos fraccionando el número original y agarrando un numerado de 85, claro 10 veces más pequeño
Formidable
¡Gracias!
🤩♾️
Hace falta una biyección entre dos conjuntos para concluir que éstos tienen el mismo número de elementos, pero sólo cuando ambos son finitos. Pero en cambio, dos conjuntos pueden tener infinitos puntos sin que exista una biyección entre ellos.
Yo creo que el problema es que cero y uno tiende a infinito como una derivada o una integral pues nunca se llegara a tomar una medida exacta por que siempre habra una medida o escala mas pequeña y cuando se intenta tomar el valor exacto pues da cero o uno dependiendo si se toma el limite cuando tiende a 0 o a 1 tanto para 1 como para cero por eso en las derivadas es cuando el limite tiende a cero por que no existe un limite de medida siempre habra una escala mas pequeña esto lo podemos aplicar tanto para los atomos como a escala universal los nùmeros son infinitos aunque existen numeros infinitos unos mas grandes que otros.
Yo creo que la biyeccion de cantor es erronea pero la biyecciòn existe
Bueno, yo solo sé que el conjunto potencia del continuo es un infinito más grande que el continuo, y el conjunto potencia del continuo, siendo R continuo, es el cardinal de R^2, un cuadrado puede tener una biyección para con los R^2, por lo que bajo esta lógica, Cantor tuvo que andar mal, aunque puede que yo me equivoque en algo, no lo sé.
Es la C, con mucha fé
¡En efecto!
La semana próxima publicaremos la continuación del vídeo con el Teorema de Cantor-Scröder-Bernstein que permite demostrar que existe una biyección entre el intervalo y el cuadrado.
Una pregunta alguien ha demostrado la biyeccion que hay entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de una recta, o ya se da por hecho que hay una biyeccion?
Pero esta vídeo sobre la teoría de la dimensión PARTE de aquello que debería explicar. Debería explicar que significa una dimensión, ya que ciertamente tenemos la dimensión espacio-temporal que a su vez es tridimensional (los ejes x, y, z donde las cosas se mueven en función del tiempo y los cambios que se produzcan en ese intervalo).
El vídeo está interesante, pero me siento estafado.
Este vídeo ya empieza con las dimensiones para terminar con la pregunta de qué ocurre entre la dimensión 2 y la dimensión 1. En cuanto la pregunta, pienso que es tan simple como mirar una hoja de papel desde los distintos ángulos. Si lo miramos de forma horizontal o vertical simplemente veremos la línea de la hoja (pero no veremos la hoja en sí por estar viéndola justamente cuando perdemos dimensionalidad). Matricialmente y hasta donde yo se, el determinante es 0.
Simplemente es más fácil "perder dimensionalidad" que recuperarla; ya que de un cubo podemos ver su superficie y su segmento, pero de una superficie no podemos asegurar que corresponda a un cubo y no a una caja (salvo que tengamos "los puntos de inicio").
Ahora bien, no hemos definido la dimensionalidad, más bien hemos partido de ella y de forma matemática.
Pienso que Cantor demostró que el mundo siempre es tridimensional (incluso una hoja muy fina de papel tiene su grosor, no hay algo como una hoja en 2D) y por eso toda línea en realidad proviene de alguna superficie (y esta del volumen asociado).
Ahora bien, una cosa es poder asociar y decir que son la misma cosa y otra decir que son exactamente lo mismo (para empezar una superficie está compuesta por 4 segmentos que se cierran, no pueden tener la misma cantidad que un simple segmento o sería la multiplicación de los panes y los peces).
Otra cosa es que se puede ver un mismo segmento de distintas formas, así podemos medir una cuerda en cm o en pulgadas, llegando a distintas segmentos (por ejemplo de 0 a 1 y de 0 a 2) y evidentemente son dos formas distintas de expresar el mismo ser con la misma cantidad "de puntos" (los cuales son "infinitos"); esto es cuestión de perspectiva, ya que multiplicar y dividir puede entenderse como ampliar o reducir la misma cosa (como una lupa, y por tanto la cosa NO CAMBIA, somos nosotros que lo miramos de más de cerca, x100 o más lejos, x2).
Hola Agustín,
El vídeo además de matemático tiene contenido histórico (de hecho así es como empieza). Y precisamente es así como se desarrollo la teoría topológica de la dimensión. Los matemáticos llevaban siglos haciendo teoremas considerando la noción de dimensión como algo intuitivo.
De hecho, en el siglo XIX, le geometrñia analítica consideraba que un espacio es de dimensión 1 si se puede describir por medio de una variable, de dimensión 2 si se puede describir utilizando dos variables, etc.
El descubrimiento de Cantor puso esta idea en cuestión mostrando una biyección entre el intervalo y el cuadrado. De hecho, tardaría aún un tiempo en establecerse qué propiedad ha de satisfacer una función para preservar la dimensión en el sentido de que no pueda existir una función con dichas características entre ℝ^n y ℝ^m si n≠m.
Todos los matemáticos consideraban la idea de función continua la clave, y el propio Cantor llegó a publicar un resultado afirmando que una función sobreyectiva y continua preserva la dimensión pero 10 años después el ejemplo de la curva que llena el cuadrado (y es continua) de Peano echo por tierra el resultado de Cantor.
La clave era el concepto de homeomorfismo (función biyectiva y continua con inversa continua) que es la equivalencia entre espacios topológicos, pero no fue hasta 1912 que L. E. J. Brouwer demostró el teorema de invarianza del dominio y con el lo el Teorema de invarianza de la dimensión que afirma que ℝ^n y ℝ^m son homeomorfos si y solo si n=m. Esta demostración usa herramientas más potentes de Topología Algebraica.
De todo ello hablaremos en los próximos vídeos que publicaremos en esta mini-serie sobre teoría de la dimensión.
Un saludo
@@ArchimedesTube Buenas Archimedes, gracias por responder.
Ya estaré al tanto de los siguientes vídeos.
Das datos interesantes y delicados de asimilar. Las curvas de Peano y de Hilbert me interesan (¿se utilizan para transformar la información de una forma que se pueda enviar o almacenar más simple y deshacer el proceso cuando uno necesita recuperar el original?)
Simplemente, he vuelto a escuchar el inicio del vídeo, uno busca una idea intuitiva de que diantre es o como diantre definir una dimensión cualquiera.
El vídeo dice que los griegos ya andaban en busca de definir y entender la idea de dimensión (y utilizas las definiciones de Euclides y Aristóteles).
De allí ya saltas a otros "grandes pensadores" como Bolzano que "se comieron el tarro" para ir "a la chica": a Cantor.
Pero al llegar a Cantor, más que definir la idea intuitiva de dimensión planteas un nuevo problema "hay exactamente tantos puntos en un segmento como en un cuadrado" y a partir de aquí ya te centras en este nuevo problema (con el problema de la biyección) pero sigues partiendo que un segmento es de dimensión 1 y un cuadrado de dimensión 2 (pues aquí es donde está la gracia del vídeo). ¿Qué decimos que es una dimensión?
Pero, aunque el entendimiento de este tipo problemas arroja luz sobre la esencia de las dimensiones, yo pienso que estamos partiendo de ellas en vez de buscar "esa idea intuitiva".
O eso o soy yo jajaja
Un saludo,
Agustín
LA VERDAD ME PERDÍ, ya lo vi dos veces y creo que la respuesta es B, lo intuyo, pero honestamente no lo comprendo aún... se me hace contra-intuitivo, ahhhh he formado una paradoja, intuyo que lo que se me hace contra-intuitivo está bien. 😭😭😭
Estamos preparando la continuación con la respuesta para publicarla en unos días ¡Saludos!
la opción A, lo veria desde el punto de vista del producto cartesiano RxR=R
Ciertamente. Pero en su momento esto supuso una auténtica revolución
Si por cada punto del cuadrado, tienes uno o DOS pares... el cardinal de los puntos del cuadrado NO ES MAYOR que el cardinal de los pares. Exista o no biyección entre ambos conjuntos.
Lo que hace falta asegurarse, es que dado un par, siempre te lleve al mismo punto del cuadrado, dando igual si otro par, te lleva al mismo punto.
Al arreglar ese error, que en realidad era una prueba, no un error, SI SE GENERA un fallo mayor. Pero si no lo arreglas, y aceptas la primera frase de este comentario... no solo dejas de obtener dos puntos del cuadrado, a veces, por cada par, sino que puedes demostrar que el cardinal de los putnos del cuadrado NO ES MAYOR que el cardinal de los pares.
Puedes hacer la inversa, y demostrar que por cada par, hay varios del cuadrado. A mi rápido y pronto se me ocurre dibujar los dos segmentos dentro del cuadrado... marcar cada par, implica escoger DOS PUNTOS del cuadrado... Si los segmentos son mas largos que el cuadrado los escalas.
Si el cardinal de uno NO ES MAYOR que el del otro, y el cardinal del OTRO no es mayor que el del primero... ¿Cuál es la conclusión directa?
La respuesta correcta es la c. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen de este comentario es muy pequeño para ponerla.
🤣🤣🤣
Si que es pequeño, pero en el vídeo de la semana próxima nos tomaremos el tiempo necesario para probarla
Es la C!
¡Esta semana publicaremos la continuación del vídeo!
Por lo que vi muy probablemente la demostración de Cantor es errónea.
Si la biyeccion existe no sé si es posible demostrarlo. Igual tratate de pensar un rato en eso.
En efecto. La respuesta es la C. Dedicaremos el próximo vídeo a contar el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que es necesario para probar la existencia de la biyección entre el intervalo y el cuadrado.
Cuando expresamos un número decimal como periódico, estamos tomando cada período como un bloque; al romperlo, no podemos seguir considerando que estamos tratando con el mismo numero. Ninguno de los dos tiene razón: Cantor debe hallar una forma de asignar el correspondiente en la biyección para cada tipo de representación, y luego demostrar que son la misma biyección. Dedekind no se da cuenta de que está trabajando con dos biyecciones distintas. Yo he encontrado una demostración muy elegante que le da la razón a &%*Ç;="·, pero no cabe en el espacio que tengo para hacer el comentario.
La respuesta correcta es la opción D
Siempre!
La D de Diosito
La D de demonio
No queda muy claro a que hora empieza en mi localidad (Republica Argentina)
Faltan dos horas y media!
Pero si yo tengo un número del segmento (0,1) , digamos, p= 0,a1a2a3a4a5......, cómo puedo asegurarme de formar a partir de él un único punto en R2 determinado por un par ordenado q= (x,y) ? ¿Cómo puedo construir una biyección entre p y q, dado que del único número p puedo construir dos puntos q en R2 para el interior del cuadrado (0,1)X(0.1) en R2?. Me explico : del número dado p=0,a1a2a3a4a5.....en R1 yo puedo construir la pareja q =(0,a1a3a5....., 0,a2a4a6...), pero también puedo construir del mismo p en R1. otra pareja r=(0,a1a2a5a6.......... ,0a3a4a7a8......), cuya ley de formación es evidente. Por tanto, en éste caso no hay biyección entre p de R1 y q de R2. No soy matemático ,aunque me hubiera gustado serlo, pues me llama poderosamente la atención el estudio de los fundamentos de la matemática, y ésta duda sobre éste problema que yo creía estaba resuelta por su clara explicación, me surge ahora y me desveló anoche tratando de hallar alguna explicación o resricción o una regla en la forma de construír éstos puntos de R2 a partir de un punto dado en R1. Lo saludo cordialmente desde Bogotá, Colombia
Hola Jairo, la intuición inicial de Cantor para construir la biyección entre el intervalo y el cuadrado se encontró con ciertos problemas como comentas. Para poder ver la existencia de una biyección entre en intervalo y el cuadrado es necesario utilizar el Teorema de Cantor-Bernstein como vemos en este otro vídeo:
ua-cam.com/video/IoCcZ5CjuGc/v-deo.html
Si quieres ver la demostración de dicho teorema lo vemos en este otro vídeo:
ua-cam.com/video/bwI3MSWQ-po/v-deo.html
Un saludo cordial desde Málaga, España
Me la juego por la alternativa C.
Exacto! La semana próxima publicaremos un vídeo viendo como el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein nos garantiza la existencia de dicha biyección.
*Archimedes Tube sube un video*
Yo: 🤯
🤣🤣🤣
Yo creo que el problema está en que se estaban tratando con los números reales y este es un conjunto no contable hasta donde se jeje
Hola Luis,
Pero ambos, el intervalo y el cuadrado son no contables. De hecho, como veremos en el próximo vídeo, la intuición de Cantor era correcta y existe una biyección entre ambos conjuntos. De hecho, existe una biyección entre el intervalo y cualquier cubo n-dimensional. Ciertamente dichas biyecciones no son continuas y todas estas discusiones llevaron a finales del XIX y principios del XX al desarrollo de la Topología
¡Saludos!
Y si lo elevas al cuadrado?
No es hate pero no soporto el sonidito de notificación ese jajaja