C'EST QUOI UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ?
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- Опубліковано 23 лип 2024
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On découvre ensemble les équations différentielles : le vocabulaire, les notations, l'enjeu et on en résout quelques unes dans la foulée.
Plan de la vidéo :
00:00. Introduction et enjeux
01:33 Importance de la notation
02:28 Équation n°1
03:39 Équation n°2
![[UT#62] Notion de différentielle (Introduction)](http://i.ytimg.com/vi/S45T4tBjPRE/mqdefault.jpg)
Oula..! Tu t’es levé d’humeur tonique ! Entre les dérivées et les exponentielles, fallait resté concentré. Mais ça va, on a compris, c’est très clair comme d’habitude. Champion prof ! 👍
Les équations différentielles, j’ai pas peur de le dire, c’est LE TRUC le plus important de l’histoire de la physique, la physique se résume principalement à plein d’équations différentielles, elles sont partout et traduisent notre monde, c’est probablement la notion la plus importante à comprendre, merci de mettre la lumière dessus
C'est vrai.
Les équations différentielles, ça sert beaucoup en physique.
Je partage ton opinion, même si je ne suis qu'en terminale, j'ai bien vu leur impact dans le monde de la physique, notamment leur utilisation dans les équations de Maxwell.
En tant qu'ancien terminale S, je suis très content de comprendre ces notions 15 ans plus tard. Si seulement UA-cam existait à l'époque lol !
Merci pour la vidéo !
C'est super que tu montes un poil en gamme comme ça ! Sans forcément aller dans le très compliqué, on peut déjà attaquer de beaux problèmes au niveau bac seulement.
J'ai décroché les maths à l'époque au moment des équa diff'.... Ma prof avait donné une explication tellement ubuesque, incompréhensible, capillotractée et en fin de compte, ça m'a fait baisser les bras sur toute la suite du programme de maths.
Alors que voilà, au final, les équa diff', c'est vraiment pas si compliqué que ça (bon, j'ai pris 20 ans aussi, ça aide un peu).
J'en demande d'autres !
Merci beaucoup :)
Franchement t’es incroyable quand on partage ses connaissances avec le cœur elles sont appréciées avec amour ❤
J'adore le ton et la conviction que tu mets dans tes vidéos !
Trop bonne vidéo ! C'est vraiment top de commencer à aborder les équations différentielles qui en plus d'être très utiles permettent également d'aborder des problèmes intéressants. Merci !
Merci pour cette vidéo qui, comme toutes les autres rend limpide des notions qu'on ne comprenait pas.
Le professeur le plus pédagogue que j'ai jamais écouter expliquer des problèmes mathématiques et de manière modeste et très sympa. 🤩👌
Merci pour se partage, je cherchais justement à apprendre ce concept. Encore une super vidéo, merci !!
Excellent! Le sujet a juste été un peu abordé quand j'étais en terminale... En math, et appliqué à la physique ( j'avais 10h de math et 3h de physique /semaine) Puis j'ai continué un peu pour le plaisir... Hâte de voir cette matière avec un bon prof 🤠
Un savoir-faire méticuleux mis en valeur ; chaque équation différentielle est une œuvre d'art décrite avec précision et dévouement.💚
Je suis toujours passionné par ces démonstrations brillantes et super claires. Bravo Monsieur
super quel enthousiasme quelle clarté de loin l'approche la plus claire et la plus simple j adore tes videos a quand les equa Dif un peu plus musclées?
Vivement la suite des équa' diff' j'ai hâte !
Édifiant ! Merci pour la vidéo ! Issu de Terminale ES, j’adore les maths mais je n’avais jamais cherché ce qu’étaient les équadiff, même si j’en entendais souvent parler dans des vidéos !
INCROYABLE CE PROF !!!
Bonjour 🙂
Un grand merci pour cette vidéo sur les équations différentielles.
C'est expliqué de manière compréhensible.
J'ai fait un bac G2 puis un BTS informatique de gestion. En mathématique, en BTS, j'étais largué surtout sur lés équations différentielles, je ne comprenais rien.
En BTS, j'aurais aimé avoir un professeur comme vous 🙂
Faites d'autres vidéos sur ce thème SVP.
Quel excellence ! Vraiment jamais vu quelqu'un qui explique mieux que vous monsieur je te suis de l'Algérie Merci BCP 😊
Merci beaucoup ça me touche 😊 🇩🇿
Excellent ! 👌👍
Salut et merci pour cette vidéo, j'attends la deuxième partie...
Moi et mon frere aimons beauucoup ta facon d'expliquer. Merci pour tes videos tres utiles !!
Vous dites que LA solution de y' = y est exp(x) ?
Non, il y a une infinité de solutions, toutes les fonctions de la forme k.exp(x) avec k réel... C'est la base quand même !
Vous le faites sur la 2e équadiff mais pas la 1e, bizarre. En plus dans la 2e vous mettez la constante dans l'exp (par exemple exp(-2x+5)) ce qui est étrange, surtout que ça ne comporte pas toutes les solutions (celle avec une constante négative comme -3 exp(-2x))
C'est pédagogique. Effectivement, y'=y a comme sol e de x, la notion de la multiplicité des solutions arrive ensuite...
Il faut avant tout comprendre que cela est fait dans un but pedagogique d approche pour expliquer une notion qui peut paraitre difficile à comprendre pour des eleves ayant des difficultés en mathématiques.
Et il y a une autre solution : f(x)=0.
Mais, là où il en était dans son exposé, il valait mieux glisser sur ces subtilités pour rester sur l'idée principale par soucis de clarté.
c'est intéressant merci
Vous avez une telle énergie, c'est vraiment agréable. Quel dommage de vous découvrir le matin du Bac (oui je sais ^^')
Merci pour toutes ces vidéos. Ma fille va rentrer en 6e et, même si j'ai fait une Terminale C, ça fait quand même 35 ans. Du coup j'ai un peu oublié tout ça. Grâce à vous je peux réviser en avance de phase pour être en mesure de l'aider plus tard si besoin.
Top.
Si je peux me permettre, pour avoir lâché l'affaire à peu près à ce moment-là lors de ma désormais très vieille Première S, au siècle dernier... Ce qui m'a manqué pour accrocher au truc, et que mes chers professeurs refusaient de raconter, c'est à d'où ça sort, pourquoi on en est arrivé là, à quel moment on a eu besoin de se rajouter ça à l'arsenal des instruments de torture de cerveaux, et, une fois qu'on sait en faire, à quel moment on va bien pouvoir s'en servir... Parce que oui, un bon gros paquet de Centraliens, X-Mines ou Ponts on compris ça et s'en servent au quotidien, mais ça m'aurait intéressé d'avoir une petite idée de l'utilité du truc, pour ma culture personnelle.
Voir, par exemple, les courants et tensions transitoires (ou permanents) dans les circuits électriques RL, RC, LC et RLC, la décroissance de la radioactivité d'un radionucléide (datation au carbone 14), de la concentration d'un médicament dans l'organisme, l'évolution de la température au travers de différentes résistances thermiques.
Tout pile quand on voit les circuits RC en physique 👌
Merci pour tout
Vivement la suite avec d'autres exos.
le niveau monte... enfin... excellent...
Salut je suis en première donc évidemment je découvre les équations différentielles avec cette vidéo. Je viens de finir mon chapitre sur les dérivés et je me posais une question. Est ce que y=0 ne marcherait pas aussi comme solution pour la première équation différentielle ? (Si je me rappelle bien de mon cours la dérivée d'une fonction constante est égale à 0 donc si y=0 : y'-y=0-0=0)
Oui ! En fait, les solutions sont toutes les fonctions qui peuvent s'écrire comme A*exp(x), avec A un nombre
Et l'exemple que tu donnes est un cas particulier pour A=0
Ca se voit encore mieux dans l'exemple 2:
Les solutions sont de la forme exp(-2x+k), ce qui est aussi égal à exp(-2x)*exp(k)
exp(k) c'est une constante que tu peux appeler A (Bon, exp(k) ne peut être que strictement positif mais en vrai A c'est n'importe quelle constante, ça fonctionnera, tu peux tester)
Donc finalement, la forme est A*exp(-2x)
meilleur prof du monde
Ennnnnnnffiiiiinnnn cette vidéo 🎉🎉🎉🎉🎉😮😮😮😮😊😊😊😊
🎉🎉🎉bravoo❤❤❤merci
😊 avec plaisir
Bravo
Maintenant on veut voir une petite méthode de la variation de la constante pour les solutions particulières
Merci pour la video. Quelles sont donc les applications des equadiff dans la vie réelle??
J'adorais ça en terminale. J'avais oublié, ça fait tellement longtemps.
Je vais peut-être trop loin et ce sera dans une prochaine vidéo mais si k appartient à C ça marche toujours?
3:25 exp(x) n'est pas la seule fonction qui est egale à sa derivée. exp(x+c) pour chaque c dans R est aussi egale à sa dérivée. La fonction nulle l'est aussi.
yooo!! y a -t-il des cours/exo bachotage sur les équa diff sur le site ? Pas trouvé...
Non il n’y a que cette vidéo sur les equa diff
@@hedacademy merci pour l'info, et le smile😁👍
🙏
Pour le coup, introduction un peu maladroite. La définition d'équation différentielle que tu donnes correspond plus à une équation fonctionnelle. La clef d'une équation différentielle c'est quand même de faire intervenir des dérivés, d'où le "Différentielle".
Une equation fonctionnelle, dans laquelle il faudrait trouver toutes les fonctions vérifiant une certaine égalité, serait de la forme :
f(xy) = f(x) + f(y)
Bonjour. Peut-on savoir si vous vendez des livres de maths avec toutes ces explications, ou sur tout autre support, classes de 2nd, premières et terminales S ,et BTS s'il vous plaît ? Ça m'intéresse beaucoup ❤❤❤. Merci de me répondre ; car je viens juste de vous découvrir sur UA-cam.
3:27 , comment sait on que c'est la seule ? (pareille pour celle d'après).
Il y a aussi y=0 qui marche pour la première
et pour la deuxieme aussi d'ailleurs
Il y a une infinité de solutions sans condition initiale, les solutions de cette équation sont a*exp(x), a une constante
Il manque une solution pour la deuxième (-3e^-(2x + k)), il vaut mieux bien comprendre dès le début que y' = y c'est pas y = e^x ni même y = e^(x + k) mais plus généralement y = k * e^x donc une infinité de solutions
Pour l'équations n°1 y = 0 ça ne marche pas ? Car la dérivée d'une constante c'est 0
et c'est quoi l'application du calcul différentiel ?
merciibcp
j'ai appris à résoudre les équations différentielles en maîtrise MASS (Mathématique Appliquée et Science Sociale)
petite question en passant : les matrices sont au programme au Lycée ? (pareil, vu ça en maitrise MASS, mais super abordable pour un terminal, voir même en 1ère)
De souvenir, c'est au programme de terminale option math expert
@@gowipe-grandcross ok, merci
C’est la première équation différentielle que j’ai résolue en classe de 1ère année de bts c’était en 1976!!!!!
3:15 non il y a une infinité de solutions sous la forme y = Aexp(x) avec A un réel quelconque.
Que conceptualise les équations différentielles svp ? Dans quel cas pratique les utilise-t-on ? Je vous remercie !
En Électronique en physique pour calculer une accélération ect
La vitesse est la dérivée de la distance, et l'accélération est la dérivée de la vitesse.
@@ganon29 donc l'accélération est la dérivée de la dérivée de la distance.
Je me pose une question je suis actuellement en première donc je ne suis pas vraiment à l'aise avec les equas diff ect
Mais je pose une question: une dérivée c'est le coefficient directeur de la tangente d'une droite ok. Mais la dérivée d'une dérivée c'est donc le coefficient directeur de la tangente d'une tangente mais alors la tangente d'une tangente ça revient au même non ?
Pourtant prenons f(x)=x^2
Sa dérivée est 2x. Et la dérivée de la dérivée est 2. Ils sont donc différents or ils sont censés être pareils comment cela se fait?
@@chimondavidnaouri6762 et si on veut prendre pour tous les points qu'est ce que cela donne
Merci @@saitama395
Dommage de ne pas avoir un lien vers l'explication des dérivées.
J'aimais bien les maths au lycée mais j'ai été traumatisé par les equa diff que je n'arrivais pas à mettre en application en mécanique. Concept trop abstrait pour moi.
Petite remarque sur "on découvre les équations en milieu de collège", j'habite aujourd'hui dans les Balkans et j'ai été choqué lorsque ma gamine (en ce1) m'a sorti son cahier de mathématique (au singulier) avec des équations. J'espère qu'elle ne me sortira pas des équations differencielles avant quelques années !
bravo, même si pour une fois, j'ai pas tout compris... 😂😂😂
Preeeems!
Dans la première équation on pouvait avoir y=0 aussi non?
Je me trompe ou f(x)=0 aussi est égale à sa dérivée ?
bien et pour y y'=k ??
Peux-tu aborder la résolution des équations différentielles plus compliquées ?
pour la 1e équation ya pas y=0 aussi ?
Ben oui, en fait il y a une infinité de solutions ! elle s'écrivent y=A*e^x du coup si A=0 y= 0 est bien une solution.
Il y a une autre solution aux équations différentielles de type "f(x) + af'(x) = 0", qui est désignée comme triviale car inintéressante : f(x) = 0.
Je vois bien le chapeau, mais d'où sortent les lapins?
On tient notre nouveau ministre de L Éducation Nationale, voire même premier ministre et même nouveau président de la république. Je ne plaisante pas M. Si vous vous présentez vous et votre frère, je ne serais certainement pas le seul à voter pour vous. Réfléchissez bien. Nous avons urgemment besoin de gens comme vous avec vos compétence pour sauver et redresser ce pays. Merci infiniment pour ce que vous faites. Vous nous représentez dignement. 🙏🙏🙏🙏🙏💯💯💯💯💯💯💯💯
On comprendrait enfin tous pourquoi il faut augmenter les impôts !
1:28 ça c’est les équations fonctionnelles. Une équation différentielle c’est une équation qui fait intervenir une fonction et ses dérivées. Puis on a les integro-differentielles etc…
Houla de vieux souvenirs de terminale "C" oui, oui "C" ; si je ne me trompe pas, dans les deux exemples, la fonction nulle est également solution non ?
Question bête: à quoi ça sert une équation différentielle ?
Quels seraient les cas d'application ?
En physique notament, elle servent à décrire beaucoup de systèmes : le mouvement d'un pendule, l'évolution de l'intensité dans un circuit électrique, la vitesse de réaction d'une réaction chimique... En fait plein de phénomènes complexes ont besoin d'être décrits par des fonctions particulière pour les comprendre correctement, et les équations différentielles nous aident à trouver ces fonctions.
@@Jonhfing647 merci pour la réponse !
C'est toujours étonnant de constater que des outils mathématiques qui ont l'air d'être de pures constructions intellectuelles trouvent des cas d'application très concrets.
3:27 "c'est la seule fonction qui est egale à sa derivée"... heu non. La fonction constante f: x->0 est egalement solution...
En effet il faudrait rajouter une constante pour obtenir toutes les solutions, soit une infinité
ici dy/dx = -2y puis dy/y = -2dx en integrant membre à membre il vient ln(y)=-2x+c et donc y = e^(-2x+c)= K.e^(-2x)
Il est possible de résoudre y' = y sans passer par le fait qu'on "sait" que la fonction en question c'est l'exponentielle? Comment résoudre cette équation et montrer que la fonction obtenue est en effet l'exponentielle?
si tu écris la forme différentielle tu as dy/dx= y d'où dy/y = dx. Or dy/y est la différentielle de ln(y) => d(ln y) = dx => ln y = x donc la solution est y=exp(x) à la constante près. Car bien sur tu sais dériver le ln.. : (ln u)' =u'/u
@@yveslesage8525 comment on prouve que (ln u)' = u'/u ?
@@darkshinigami9438 tout simplement parce que tu dois savoir que la dérivée de ln(x) est 1/x ou dit autrement d(ln x) = dx/x. Et si tu remplaces x par une fonction u, tu auras d(ln u) = du/u
@@yveslesage8525 ok, mais comment ça se poruve? Historiquement, comment on est arrivé à ce résultat?
c'est tout simplement des dérivées connues car déjà calculées des "milliards" de fois.... La dérivée de f(x) est par définition la limite quand dx tend vers 0 de l'accroissement df de la fonction pour ce dx: f'(x)=lim (dx-->0) df/dx. Voilà tout. C'est comme si tu demandais comment sait on que la dérivée de sin(x) est cos(x) ?.. Eh bin parce que l'on sait calculer la dérivée de sin(x) à partir de la définition de la dérivée.
Le +k ajouté au montage c'est rigolo 👍
Je n'ai pas compris pourquoi 0 n'était pas solution des équations
Comme il l’a expliqué à la fin de la vidéo, 0 est une des solutions
Mais il existe aussi des solutions qui sont différentes de 0 :)
Justement l’objectif une fois que l’on maîtrise un peu mieux c’est de trouver TOUTES les solutions !
Je vois ce que vous voulez dire. Mais en toute rigueur, c’est la fonction constante nulle qui est aussi solution. Ce ne sont pas les mêmes objets ; l’un est un point du plan, l’autre une droite. Mais oui, « 0 » (en termes de fonction) est bien solution. C’est le cas particulier k=0 de y=k.e^x où k décrit R.
Parce qu’il n’a pas résolu complètement la première équation. Il en a seulement donné une solution. L’ensemble des solutions sont les fonctions de la forme ke^x, avec k réel. Le cas k=0 donne la fonction nulle comme solution.
6:39 , lol
Même avec la 1ère equation:
y = e^(x+k)
Avec k dans R
Personnellement, je n'ai jamais résolu les équations différentielles de cette façon. J'ai toujours écrit y' sous la forme df/dx puis je faisais une intégration en utilisant des primitives de fonctions. Autre remarque : il manque, pour chaque solution trouvée dans la vidéo, l'ajout d'une constante, car toutes ces fonctions ajoutées à une constante sont également des solutions puisque la dérivée d'une constante est égale à 0.
C'est bien ces équations du 1er ou du 2em ordre mais le problème c'est de savoir les appliquer dans des problèmes concret. En faite comment poser une équation différentielle afin de résoudre un problème donné ???
Les problèmes en sciences sont généralement traduites mathématiquement par des équa diff, pour donner un exemple très simple en mécanique du point, tu poses le pfd et tu résous y"(t)=qqch. Dans ce problème y" est l'accélération du point considéré. On l'a note "a(t)" ou "gamma(t)". On résous pour obtenir x=OM, O l'origine du repère et M le point considéré
On voit les équadiff du premier ordre pour la théorie, en math en Tale, mais aussi en physique pour les problèmes concrets (charge et décharge d'un condensateur pour le premier ordre ; mouvement du pendule simple ou oscillation d'une masse au bout d'un ressort pour le second ordre (y"=-ω²y)
@@michelbernard9092 le pendule a été intégré dans les programmes du lycée ?
On s’en sert beaucoup en électronique analogique. En gros pour savoir quels composants tu dois mettre dans un circuit imprimé. Dérivées, intégrales et dérivées de fourrier. Et par extension en physique électromagnétique, en gros les ondes émises par les circuits.
On s'en sert beaucoup dans les fonctions d'onde en électromagnétique
Mais pourquoi on nous a pas expliqué ça de cette manière...on a trop galèrer pour ces équations diff
Y=ke^(-2X)
Pour la première, il y avait aussi la solution f(x) = 0, car f'(x) = 0 aussi :)
Et on a même f(x) = k.exp(x), quelque soit k.
(U.V)' = U'.V + U.V'
Pour U.V = k.exp(x), on a donc:
U = k
V = exp(x)
U' = 0
V' = exp(x)
U'.V + U.V' = 0.exp(x) + k.exp(x) = k.exp(x) = U.V
Donc, (k.exp(x))' = k.exp(x)
y'=y on n'a pas aussi y=0 comme solution ?
quand on pose une question, on dit pas "c'est quoi mais qu'est-ce-que c'est"
il y a maintenant cette façon de poser des question sur internet qui m'interpellera toujours!
et mettez-vous à la place des étrangers qui apprennent le français!
J'ai essayé sur le differentiel de mon quad ben c'est pas gagné !!
👍😎🏁🐆
Bonjour, il y a une erreur dans les solutions que vous donnez:
Pour la 1re équation y'=y l'ensemble des solutions est Ce^x avec C réel quelconque.
Pour la 2e y'=-2y l'ensemble des solutions est Ce^(-2x) avec C réel quelconque. La forme e^(-2x+k) avec C=e^k n'est pas équivalente car elle n'autorise que des C strictement positifs! Et si on dit Ce^(-2x+k) ça ne fait pas des solutions en plus puisque ça donne (Ce^k)e^(-2x) et Ce^k joue le rôle d'un nouveau C.
Ouch, il a fallu que je repasse plusieurs fois la vidéo à partir de 5:37 ....
Même là, j'ai compris, mais ce n'est pas clair quand même. 😢
6:57 adorable ? 😢
Donc enfaîte il y a une infinité de solutions à y'=-2y
Il me semble que c'est surtout en physique que l'on étudie les équation difféentielles , et c'est assez prise de tête.
Pour resituer, j'ai fait des étude en physique et effectivement, on parle de conditions initiale.
Pour y' = y, y = exp(x) est une solution de l'équation, mais y = A.exp(x), c'est l'ensemble des solutions, où A est une constante qui dépends des solutions initiales.
y' s'écrit dy/dx.
Si on a y' + 2y = 0, évidement, y = 0 est solution. On va poser pour le reste y != 0.
On a donc dy/dx + 2y = 0.
Soit dy/dx = -2y. On va prendre la solution pour x = 0, y = a.
Après un produit en croix, dy/y = -2.dx.
On intègre (avec le symbole intégrale).
Intégrale(de a à y)[dy/y] = Intégrale(de 0 à x)[-2.dx]
Soit au final ln(y) - ln(a) = -2x
Ou mieux ln(y/a) = -2x.
Soit y = a.exp(-2x) où a est une constante qui dépend des conditions initiales. Dans la vidéo, a = -2exp(k).
Cette méthode permet (en dehors des éventuels calculs bourrins et indigestes) de trouver la solution dans tous les cas.
Par exemple, on pourrait théoriquement résoudre y' + 2x.y = f(x).
Note:
1. En physique, c'est toujours dimensionné.
2. L'équation y' + 2x.y = f(x) demande de résoudre y' + 2x.y = 0 (S1) et ensuite y' + 2x.y = f(x) (S2). La solution est y = S1 + S2.
"LA solution est y=exp(x)"..... Comme aurait dit mon prof de maths de Sup, "y'-y=0 a beaucoup plus de solutions que tu ne sembles le croire"
En solution pour f(x) = f'(x), il y avait aussi y = 0
dy/dx=-2y
dy/y=-2dx
lny=-2x+C
y=e(-2x)K
Bizarre de rajouter la constante dans l'exponentielle. Il me semble plus naturel de la voir rentrer en produit en-dehors de l'exponentielle.
Si f est une fonction qui vérifie f'=f, alors, on a par multiplication par une constante : k*f' = k*f.
En passant la preuve que f(x) =exp(x) est la seule fonction vérifiant l'équation différencielle a une constante multiplicative près, toutes les solutions sont de la forme K*exp(x) avec K dans R.
En notant exp(x+k)=exp(k) exp(x) dans ce cours, tu restreints malheureusement l'ensemble des solution aux constantes strictement positives.
y=y' a pour solution non pas x|->exp(x) mais {x|-> aexp(x) quelque soit a réel)
Euh y'-y=0 c est k.e^x les solutions. k élément de R.
Premier 😊
Eeehhhh 😂 je comprends pas si vous plaît!!!
Hedacademy>>> Yvan ponka
Alors là les maths je n'y comprends rien. Mr svp, faites un peu de maths appliquée, à quoi pourrait servir les équations différentielles dans de paysan. Ahah oui Oui dans ma vie de paysan. 🇨🇮