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とても勉強になる素晴らしい問題だと思います。
面白いですが、むつかしいです。復習します。今日もありがとうございました。
最近基本的な問題ばかりだったけど、たまにこういう刺さる問題出してくれるから好き❤
グループ分け と言う言葉。日常では何気なく使っている言葉ですが、場合の数となると意味深。注意すべき点は理解していたので、とりあえず具体的な数で出せばなにか見通しがつくだろう（漸化式の形になるのかな？）と思いつつ、一般化見通しが立たない。貫太郎先生のようにとりあえず0人も許して区別のつく3つの部屋にいれて、0人の場合をひいて３！で割る発想が思いつかなかった。勉強不足を痛感です。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
漸化式を使うと解けそうな気がします。後でやってみます。
漸化式でやってみて、解けました。少し計算は面倒でした。
難しく考えていたのかな〜。思い違いだったようなんだけど、最後が朝解けず、モヤモヤしながら仕事しているうちに解法思いついた。最初からイクか…。n=4 のときまあ解き方は全部同じで全て区別して考えて重複度で割るんだけど、４人を３グループに分ける分け方は (2, 1, 1) しかなく、１人グループ２組は区別できないから( 4! / 2! ) × ( 1 / 2! ) = 6（通り）n=5 のとき(3, 1, 1) に分ける場合と (2, 2, 1) に分ける場合があり、n=4 のときと同様に重複度で割ることで(3, 1, 1) は( 5! / 3! ) × ( 1 / 2! ) = 10（通り）(2, 2, 1) は( 5! / ( 2! × 2! ) ) × ( 1 / 2! ) = 15（通り）合計 25通り。n=6 のとき(4, 1, 1), (3, 2, 1), (2, 2, 2) に分ける場合がある。(4, 1, 1) は( 6! / 4! ) × ( 1 / 2! ) = 15（通り）(3, 2, 1) は( 6! / ( 3! × 2! ) ) = 60（通り）(2, 2, 2) は( 6! / ( 2! × 2! × 2! ) ) × ( 1 / 3! ) = 15（通り）合計 90通り。最後は勘違いしてたので偉そうなこと言えないんだけど、要はグループを敢えて区別して場合の数を数えたあとにグループを並べる順列の場合の数（この場合 3! ）で割ればオッケー。動画と同じですけど、重複度を最後に加味するんだから n=4, 5, 6 のときと考え方は同じ。全射の個数を数え上げて重複度で割ると第２スターリング数が出るってヤツですか？良くわかりませんが。０人グループはダメなんだから、グループを A, B, C として、それぞれが空集合になる場合を X, Y, Z とすると、求める全射の個数はn(U)-n(X∪Y∪Z)ベン図で考えてn(U)-n(X∪Y∪Z)=n(U)-n(X)-n(Y)-n(Z)+n(X∩Y)+n(Y∩Z)+n(Z∩X)-n(X∩Y∩Z)ここでn(U)=3^kn(X)=n(Y)=n(Z)=2^kn(X∩Y)=n(Y∩Z)=n(Z∩X)=1n(X∩Y∩Z)=0だから、n(U)-n(X∪Y∪Z)=3^k-3*2^k+3これを重複度の 3! で割って、答えは(1/2)×{3^(k-1)-2^k+1}上の集合の要素の個数についてn(U) ... ０人グループができてもイイからとにかく k人を A, B, C のどこかに挿れる。n(X) ... A が０人グループ、つまり k人は B か C のどちらかに挿れる。n(X∩Y) ... A も B も０人、ってことは、全員 Cグループで１通り。n(X∩Y∩Z) ... グループ3つ、どれも０人はありえないので０通り。
エネルギッシュな解法で勉強になります。最後のは難しい、大学以上の学力が必要かと思います
@@coscos3060 さんありがとうございマース！😊
難しいですね。前半は省略します。最後は第２スターリング数についての漸化式を解けばできます。区別できる n個のものを区別できない k個のグループに分類する場合の数を S(n, k) とし、S(n, 1)=1 と S(n, k)=S(n-1, k-1)+k×S(n-1, k) ..(1)を既知とすると、この問題で知りたいのはS(n, 3) であり、k=2 の場合はS(n, 2)=2^(n-1)-1 だから（ここは第２スターリング数の k=3 までのコラムをいくつか書けばわかります）、a(n)=S(n, 3) として (1) よりa(n)=3a(n-1)+2^(n-2)-1n≧3 であることに注意してa(n+1)+2^n-(1/2)=3×(a(n)+2^(n-1)-(1/2))と変形すると、動画と同じようにa(n)=(1/2)×{3^(n-1)-2^n+1}と出ます。
いつも、ありがとうございます。漸化式→帰納法ではなく、一般的なnで法則性を考察する。大切な問題ですね。
第2種スターリング数
第2種兼業農家
いやぁ、解けなかったけど、何か同じように、初めに区別して、最後に割ってみたいなアイデアが頭にふわぁ…と浮いてきたんですよね……🥲🥲🥲その後いつものようにドツボにハマりましたが、もう少し粘ったら良かったなぁ〜〜〜😂
n人の分け方をa[n]とするとn+1人の分け方はn人でグループ分けした後にn+1人目を3つのどこかに振り分けるかn+1人目が単独グループになって残り2つにn人を振り分けるかの2通りなのでa[n+1]=3a[n]+(2^n-2)/2, a[3]=1動画のやり方のほうが圧倒的に簡単でした
今日は時間がないので，視聴して足跡のみ。
新聞で問題を拾ってきた。どんな新聞なのか気になる所ですが、今日の講義も勉強になりました
重力はなんで異常に弱いのか 一般化、勉強になりました。合ったのは、（１）だけです。どうも、ありがとうございました。 階層性問題。
私が高校で使っていた、青チャートの普及版「例題281 ｎ人を3つの群に分ける方法は何通り有るか。ｎ＞＝3」と同じ問題です。当時全く歯が立ちませんでした、指針を何度も読んでもちんぷんかんぷんでした。この問題だけが異常に難しかったことを思い出します。今回の鈴木貫太郎さんの解説は非常に分りよく、間違いやすいポイントの指摘があって助かります。ありがとうございました。
スターリン、遠藤ミチロウ。
かなり昔の東大の入試問題を思い出しました。1996年の後期入試（昔は東大にも後期入試がありました。150分で大問3つというヘビーな出題です）の第1問です。動画の問題と同様に、n個のボールを3つの箱に分けて入れる場合の数の問題ですが、なかなか難しいです。問題文が長いのでここには書きませんが、ご関心があればネット等で調べてみられてはいかがでしょう。
それ、ここでも昔取り上げてなかったかな？
鈴木貫太郎先生の著書でブルーバックス「名問100」にも収載がありましたね。
グループの数を3から一般化すると第2種スターリング数が出てきますね。ちゅ。さんもそれを指摘されていました。
｢解法を 試行錯誤し 解いてみる｣ 興味深い解説に感謝します。
面白い～～でも、普通はそれぞれの場合の数を求めてみて、それから一般化…なんだけど、どうせなら初めから一般化して考えちゃえ！…ってのは完全に数学に毒されているというか憑りつかれているというかｗじゃあ、今回は３グループだったけど、n人をk個のグループに分ける（ただし０は不可）とした場合でも一般化した式を作れる…ってことなんだろうか？もしそれが出来て導出できるなら、”場合の数”の問題は無敵になれる…かも知れない？
・・・
また、ポンチータかよ❗まぁ、いいけど。
新しい順で読める。考え方がとてもわかりやすい良いコメントだと思うので、みんなが読めるよう再投稿してください。
とても勉強になる素晴らしい問題だと思います。
面白いですが、むつかしいです。復習します。今日もありがとうございました。
最近基本的な問題ばかりだったけど、たまにこういう刺さる問題出してくれるから好き❤
グループ分け と言う言葉。日常では何気なく使っている言葉ですが、場合の数となると意味深。
注意すべき点は理解していたので、とりあえず具体的な数で出せばなにか見通しがつくだろう（漸化式の形になるのかな？）と思いつつ、一般化見通しが立たない。
貫太郎先生のようにとりあえず0人も許して区別のつく3つの部屋にいれて、0人の場合をひいて３！で割る発想が思いつかなかった。勉強不足を痛感です。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
漸化式を使うと解けそうな気がします。後でやってみます。
漸化式でやってみて、解けました。少し計算は面倒でした。
難しく考えていたのかな〜。思い違いだったようなんだけど、最後が朝解けず、モヤモヤしながら仕事しているうちに解法思いついた。
最初からイクか…。
n=4 のとき
まあ解き方は全部同じで全て区別して考えて重複度で割るんだけど、４人を３グループに分ける分け方は (2, 1, 1) しかなく、１人グループ２組は区別できないから
( 4! / 2! ) × ( 1 / 2! ) = 6（通り）
n=5 のとき
(3, 1, 1) に分ける場合と (2, 2, 1) に分ける場合があり、n=4 のときと同様に重複度で割ることで
(3, 1, 1) は
( 5! / 3! ) × ( 1 / 2! ) = 10（通り）
(2, 2, 1) は
( 5! / ( 2! × 2! ) ) × ( 1 / 2! ) = 15（通り）
合計 25通り。
n=6 のとき
(4, 1, 1), (3, 2, 1), (2, 2, 2) に分ける場合がある。
(4, 1, 1) は
( 6! / 4! ) × ( 1 / 2! ) = 15（通り）
(3, 2, 1) は
( 6! / ( 3! × 2! ) ) = 60（通り）
(2, 2, 2) は
( 6! / ( 2! × 2! × 2! ) ) × ( 1 / 3! ) = 15（通り）
合計 90通り。
最後は勘違いしてたので偉そうなこと言えないんだけど、要はグループを敢えて区別して場合の数を数えたあとにグループを並べる順列の場合の数（この場合 3! ）で割ればオッケー。動画と同じですけど、重複度を最後に加味するんだから n=4, 5, 6 のときと考え方は同じ。全射の個数を数え上げて重複度で割ると第２スターリング数が出るってヤツですか？良くわかりませんが。
０人グループはダメなんだから、グループを A, B, C として、それぞれが空集合になる場合を X, Y, Z とすると、求める全射の個数は
n(U)-n(X∪Y∪Z)
ベン図で考えて
n(U)-n(X∪Y∪Z)
=n(U)-n(X)-n(Y)-n(Z)+n(X∩Y)+n(Y∩Z)+n(Z∩X)-n(X∩Y∩Z)
ここで
n(U)=3^k
n(X)=n(Y)=n(Z)=2^k
n(X∩Y)=n(Y∩Z)=n(Z∩X)=1
n(X∩Y∩Z)=0
だから、
n(U)-n(X∪Y∪Z)=3^k-3*2^k+3
これを重複度の 3! で割って、答えは
(1/2)×{3^(k-1)-2^k+1}
上の集合の要素の個数について
n(U) ... ０人グループができてもイイからとにかく k人を A, B, C のどこかに挿れる。
n(X) ... A が０人グループ、つまり k人は B か C のどちらかに挿れる。
n(X∩Y) ... A も B も０人、ってことは、全員 Cグループで１通り。
n(X∩Y∩Z) ... グループ3つ、どれも０人はありえないので０通り。
エネルギッシュな解法で勉強になります。最後のは難しい、大学以上の学力が必要かと思います
@@coscos3060 さん
ありがとうございマース！😊
難しいですね。
前半は省略します。
最後は第２スターリング数についての漸化式を解けばできます。区別できる n個のものを区別できない k個のグループに分類する場合の数を S(n, k) とし、
S(n, 1)=1 と
S(n, k)=S(n-1, k-1)+k×S(n-1, k) ..(1)
を既知とすると、この問題で知りたいのは
S(n, 3) であり、k=2 の場合は
S(n, 2)=2^(n-1)-1 だから（ここは第２スターリング数の k=3 までのコラムをいくつか書けばわかります）、a(n)=S(n, 3) として (1) より
a(n)=3a(n-1)+2^(n-2)-1
n≧3 であることに注意して
a(n+1)+2^n-(1/2)=3×(a(n)+2^(n-1)-(1/2))
と変形すると、動画と同じように
a(n)=(1/2)×{3^(n-1)-2^n+1}
と出ます。
いつも、ありがとうございます。
漸化式→帰納法ではなく、
一般的なnで法則性を考察する。
大切な問題ですね。
第2種スターリング数
第2種兼業農家
いやぁ、解けなかったけど、何か同じように、初めに区別して、最後に割ってみたいなアイデアが頭にふわぁ…と浮いてきたんですよね……🥲🥲🥲
その後いつものようにドツボにハマりましたが、もう少し粘ったら良かったなぁ〜〜〜😂
n人の分け方をa[n]とするとn+1人の分け方はn人でグループ分けした後にn+1人目を3つのどこかに振り分けるかn+1人目が単独グループになって残り2つにn人を振り分けるかの2通りなので
a[n+1]=3a[n]+(2^n-2)/2, a[3]=1
動画のやり方のほうが圧倒的に簡単でした
今日は時間がないので，視聴して足跡のみ。
新聞で問題を拾ってきた。どんな新聞なのか気になる所ですが、今日の講義も勉強になりました
重力はなんで異常に弱いのか
一般化、勉強になりました。合ったのは、（１）だけです。どうも、ありがとうございました。
階層性問題。
私が高校で使っていた、青チャートの普及版「例題281 ｎ人を3つの群に分ける方法は何通り有るか。ｎ＞＝3」と同じ問題です。
当時全く歯が立ちませんでした、指針を何度も読んでもちんぷんかんぷんでした。この問題だけが異常に難しかったことを思い出します。今回の鈴木貫太郎さんの解説は非常に分りよく、間違いやすいポイントの指摘があって助かります。ありがとうございました。
スターリン、遠藤ミチロウ。
かなり昔の東大の入試問題を思い出しました。
1996年の後期入試（昔は東大にも後期入試がありました。150分で大問3つというヘビーな出題です）の第1問です。動画の問題と同様に、n個のボールを3つの箱に分けて入れる場合の数の問題ですが、なかなか難しいです。
問題文が長いのでここには書きませんが、ご関心があればネット等で調べてみられてはいかがでしょう。
それ、ここでも昔取り上げてなかったかな？
鈴木貫太郎先生の著書でブルーバックス「名問100」にも収載がありましたね。
グループの数を3から一般化すると第2種スターリング数が出てきますね。
ちゅ。さんもそれを指摘されていました。
｢解法を 試行錯誤し 解いてみる｣ 興味深い解説に感謝します。
面白い～～
でも、普通はそれぞれの場合の数を求めてみて、それから一般化…なんだけど、どうせなら初めから一般化して考えちゃえ！…ってのは完全に数学に毒されているというか憑りつかれているというかｗ
じゃあ、今回は３グループだったけど、n人をk個のグループに分ける（ただし０は不可）とした場合でも一般化した式を作れる…ってことなんだろうか？
もしそれが出来て導出できるなら、”場合の数”の問題は無敵になれる…かも知れない？
・・・
また、ポンチータかよ❗まぁ、いいけど。
新しい順で読める。
考え方がとてもわかりやすい良いコメントだと思うので、みんなが読めるよう再投稿してください。