Решите уравнение ➜ e^x=x ➜ Как решать такое уравнение?
Вставка
- Опубліковано 5 лют 2025
- 3 млн просмотров • Таблица умножения боль...
@arinablog наш семейный канал
Поддержать: donationalerts....
Telegram: t.me/volkov_te...
Группа ВК: volkovv...
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ ua-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/v-deo.html
Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео ua-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/v-deo.html со всеми
своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия.
Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
i realize I'm quite randomly asking but does anyone know a good place to stream newly released series online ?
@Will Allan I would suggest FlixZone. Just search on google for it :)
а теперь в комплексных)
Каждая задача - новое открытие!
Что видно по графику нужно доказать. Спасибо за аналитическое решение.
Очень нравятся Ваши решения!!!👍🏻👏🏻👏🏻👏🏻
Спасибо, как всегда здорово! За неполных пять минут решение, без всяких ненужных слов, четко ясно и по делу!
Палец вверх, безусловно!
Я рассуждал так: вторая производная экспоненты y = exp(x) всюду положительная, а значит, её график расположен не ниже любой касательной к нему, в том числе и касательной в точке x = 0, т.е. прямой y = x + 1. Эта прямая, в свою очередь, расположена всюду выше прямой y = x, следовательно, график экспоненты всюду расположен выше прямой y = x, следовательно, не имеет точек пересечения с этой прямой.
Нижняя оценка экспоненты та же. exp(x)>=1+x > x, а в ролике exp(x) - x >= 1 >0
Научился по вашим решениям уже и через логарифмирование сначала сделал, а потом также рассмотрел вспомогательную функцию.. Спасибо вам)
Думаю, стоит уточнить, что нет именно действительных корней. Подобные уравнения решаются в комплексном виде с использованием функции Ламберта
На каком курсе изучают эту функцию?Я просто узнал о ней из видео одного английского математика,теперь подобные уравнения только так и решаю))
@@anonanonanon-r3y blackpenredpen, да?) В универе мы эту функцию не разбирали
Вы ещё попробуйте подгнать под функцию Ламберта
@@liveDM5 Элементарно.
@@USRK да)крутые у него видео)
Я решил на пальцах так: в нуле экспонента проходит через 1, а линейная через 0. Экспонента в 0 уже имеет наклон 1 и дальше только ускоряется - расходится с линейной. То есть сближения нет.
Супер Красиво!!! LOVE!!!~........Valery!!! Thank You!!! Valeriy
Отлично! Вы умете находить очень простые и наглядные решения!
Экзотика!)) Валерий Волков как всегда в своём стиле! Всё чётко и красиво!
То, что уравнение не имеет решения, понятно сразу из графических представлений экспоненты и биссектрисы 1 и 3 координатных углов. Они точно не имеют общих точек
Спасибо, Валерий! Очень интересно вспомнить любимый предмет! Всё очень чётко!
Большое спасибо Вам за видеоуроки!
У меня появилась просьба, касающаяся этой темы. Вы не могли бы пожалуйста разобрать в следующий раз, как решается уравнение e^x=x+a?
Заранее спасибо!
Я сразу прикинул 1 или 0, и понял
Красиво, логично, кратко и без политики! Большое спасибо!
Вот то что без политики особенно ценно.
Молодец! А теперь нужно найти точку максимального сближения графиков e^x и x.
Спасибо большое. Очень интересное решение. Всё чётко, подробно и ясно объяснено.Вы ЛУЧШИЙ учитель математики.желаю Вам всего самого наилучшего.
@Rejep Orazmetow Спасибо, Rejep, за добрые комментарии. Я рад, что решения задач понятны!
@@ValeryVolkov я чувствую себя счастливым, потому, что я ваш современник, и более того ,что получаю отклики от своего КУМИРА.👍👍👍👍👍
Также можно заметить что для x>=0 e^x>=1 а значит производная тоже. Тоесть функция возрастает с приростом больше 1. Значит никогда не пересечёт y=x у которой прирост ровно 1.
Поскольку х > 0, то прологарифмируем обе части уравнения: получим x = LN(x). Функции y=x и y = LN(x) нигде не пересекаются, т.к. функция y=x > 0 при х > 0, при х =1 y=1 и производная функции всюду равна 1. функция y=LN(x) < 0 при 0 < х < 1, равна нулю при х = 1 и её производная, равная 1/x, равна 1 при х=1 и меньше 1 при х > 1. Отсюда следует, что x > LN(x) при х > 0.
Очень интересно было, спасибо вам огромное!!!
Графическое решение : касательная к графику функции у=е^х в точке 0 у=х+1 параллельна прямой у=х.
График функции у=е^х лежит выше этой касательной (0 не является точкой перегиба, выпуклость вниз) и тем более не пересекает прямую у=х , параллельную касательной.
Как всегда! Чётко! Я кайфанул!
Задачка в одно действие: l²=3*5-3/8√34*5/8√34=15-15/64*34=15(1-30/64)=15²*2/64, l=15/8*√2.
Большое спасибо!
Так-то справедливо. Ни одно натуральное число в степени любого числа не может быть равно степенью этого числа. Исключением является лишь 1 в 1 степени.
Показательная функция проходит через 0;1 и дальше там возрастает себе спокойно, впрочем как и прямая
Даже интуитивно видно, что нет решений, а доказать не так уж и сложно
Замечательно! Вспомнил молодость )))
Не глядя видео, думал по-бытовому:
- ноль и единица не подходят.
- x не может быть отрицательным, т.к. e=2,71 уже положительное, превратить e^x в минус невозможно.
- x не может быть больше единицы, т.к, грубо говоря, при росте x, значение e^x убежит далеко вперед.
- остается промежуток (0, 1). Это промежуток для корней из числа e. У нас e=2,71 и оно больше единицы. Неважно, корень какой степени мы у него возьмем - результат в любом случае больше единицы.
Потом проверил себя построениями графиков y=x и y=e^x.
Спасибо за решение очень подробно все понятно,классно! 😊👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍
все правильно, пока мы не начинаем рассматривать комплексные корни
есть решение проще:
e^x >= 0 => x >= 0
представим e^x в виде ряда Тейлора: e^x = 1 + x + x^2 / 2 + ... = x
переносим x в левую часть уравнения, а единицу - в правую:
0
подобное решал в школе, но прошли года и сам уже не решил бы
А можно рассмотреть похожую задачу, где есть корни? Например е^(x/5)=x . И ещё очень было бы интересно увидеть решение неравенства (по аналогии с известными е и пи) такого плана: "что больше, корень из пяти в степени корня из семи или корень из семи в степени корня из пяти"? (цифры подобраны специально)
я "догуглил" до W-функции Ламберта и на этом прекратил попытки, моё образование не соответствует... Но мне кажется куда-то я не туда полез.
Хорошо обосновано.
Сразу подумал о графике.
И сразу же - заподозрил отсутствие корней
Специально оставляю комментарий в несколько слов дабы повысить рейтинг подробных видеопубликаций
Супер!
Ещё можно так быстренько сообразить:
Производная функции f(x)=x равна 1, а функции g(x)=e^x равна e^x. Когда x = 0, f(0) = 0, а g(0)=1. Производная функции g(x) когда x = 0 тоже 1 и с ростом x она становится всё больше. И из этого можно сделать вывод что g(x) будет всё быстрее и быстрее отдаляться от f(x) то есть их графики на пересекаются.
Нам давали сразу 3 уравнения : е^х=х , е^х=3х , е^х=ех . Решаются все одинаково , так что можно найти общее решение для е^х=кх. Это как идея для следующих видео
Графически намного проще показать, что нет решения. Графики функций y=e^x и y=x не пересекаются, значит e^x=x не имеет решения.
Случай, когда число может быть равно собственному логарифму, насколько знаю, всего один, и это точно не наш случай. Если это где-то прописано как постулат, можно бы было и без функций обойтись. )
Красивое решение. :)
Стало интересно, а есть ли решения на множестве комплексных чисел.
До военное, легкое. )
Отлично - as always!!
я решал так-же) с Днем Защитника Отечества
Спасибо, с Праздником!
Ни одного дизлайка, замечательный ролик
Уже четыре дизлайка
@@qaz1001 это от зависти..
@@АлександрТом-щ6ю или не поняли решение задачи
спасибо за задачу! Я попытался её решить и нашёл примерно комплексное значение х. х ~= 0,32 + 1,33i
Все корни имеют вид x = −Wₖ(−1), где Wₖ - k-я ветвь W-функции Ламберта. Можно набрать в строке Wolfram Alpha −W(0, −1) и подставлять вместо первого аргумента (k = 0) разные целые числа - в результате будут получаться всевозможные комплексные корни.
Хорошее решение!
Прекрасное объяснение, но скажите, будут ли корни если решать на множестве мнимых чисел? Очень хочется увидеть решение
Будут. Решение очень простое:
𝕖ˣ = x - исходное уравнение
1 = x⋅𝕖⁻ˣ - делим обе части на 𝕖ˣ
−x⋅𝕖⁻ˣ = −1 - умножаем на −1
W(−x⋅𝕖⁻ˣ) = W(−1) - применяем W-функцию Ламберта
−x = W(−1) - результат применения к левой части
x = −W(−1) - решение уравнения
Все корни имеют вид x = −Wₖ(−1), где Wₖ - k-я ветвь W-функции Ламберта.
@@allozovsky Мда, я даже не знаю эту функцию
@@allozovskyЗапиши какой-нибудь мнимый корень для наглядности.
А как же комплексные числа?
Браво !
при x = 0, e^x > x.
при x >= 0
(e^x)` = e^x >= 1
(x)` = 1
Это означает, что решений при неотрицательных x не существует, так как e^x при этом строго больше x.
Также очевидно, что решений нет и при отрицательных x, так как тогда x < 0 < e^x.
Потому уравнение e^x = x решений не имеет
я старый советский троечник, без таких сложных выкладок сразу понял что такое равенство невозможно.
Быстрее так: x * e^(-x) = 1 (-x) * e^(-x) = -1 W {(-x) * e^(-x)} = W (-1) -x = W (-1) - комплексное число
Лучшее решение!
что такое W?
@@danilalisitskiy7452 функция ламберта
@@danilalisitskiy7452 W - это обозначение функции Ламберта. В одном из уроков Валерий Волков использовал эту функцию для решения уравнений подобного вида.
Непонятно, но интересно.
y = a^x и y = x. При каком а графики касаются?
Элементарно просто!
К чему эта тафтология?
Корни есть только у растений😂
А почему не подходит бесконечность? Я понимаю, что Вы выбрали интервал (-∞; +∞), но ведь его выбрали именно Вы. А теперь рассказываю, как я поступил. До объяснения задачи я не понимал, как её решить, ведь какое число не возводи в степень экспоненты, то же число не получится. Ну то есть e⁰≠0, е¹≠1, еᵉ≠е, про отрицательные числа я вообще молчу, ведь любое число в отрицательной степени является положительной дробью. Но когда я решил подставить бесконечность, всё стало на свои места.
Т.е. в теории подобный метод решения можно применять к уравнениям которые имеют разнотиповые левые и правые части? Например: как решать уравнения вида sin(x)-x^3=0
Блин. А ведь лет двадцать назад я это с лёгкостью решала 😟
Жутко интересно было бы решить А в степени Х равно логарифму Х по основанию А. Конечно, при А от ноля до единицы.
А теперь сверхсекретный ответ))
x=e^e^e^e^e....
Это как эпсилон нуль что ли?
Зачем же так изворачиваться? Просто бесконечность.
Решения не понял, потому и поставил лайк.
Я не поняла идеи. Многие функции не пересекаются, в чем изюминка?
Что то вы перемудрили в конце, если число больше либо равно единицы, то заведомо оно больше нуля))))
ЗЫ С другой стороны по хорошему надо уметь доказывать, что 1>0 исходя из аксиом поля действительных чисел
Ничего не понял, но очень интересно!
Спасибо
Я решил :)
e^x=x
x=lnx
1/x*lnx=1
-1/x*ln(1/x)=1
1/x*ln(1/x)=-1
ln(1/x)*e^(ln(1/x))=-1
ln(1/x)=W(-1)
1/x=e^(W(-1))
x=e^(-W(-1))
Ни фига не понял
W(f(x)) - функция Ламберта
Если есть выражение вида
f(x)*e^(f(x)), то функция Ламбертаобращает это всё в f(x)
Именно это уравнение было у меня на экзаменационном билете.
Так а вы же подставляли x=-1 в e^x-x и как-то получили 1\e-1. Разве знак перед иксом не должен был смениться?
А я думал будет логарифмирование двух частей уравнения)
Я как то решил уравнение с помощью этой функции ( я перешёл в 11 класс ) :
е^x=x;( делим обе части уравнения на e^x);
1=x/(e^x);
1=x*e^(-x);
-1=-x*e^(-x);(берём функцию Ламберта с обеих частей уравнения );
W(-1)=W(-x*e^(-x));
W(-1)=-x;
x=-W(-1) ; это комплексное число , поэтому на оси действительных чисел решений нет;
Я знаю про эту функцию с канала blackpenredpen поэтому это уравнение изи ...
А что за приложение, в котором вы пишете?
По моему, когда вы взяли при х= -1, минус на минус дал бы плюс, получается нет отрицательных значений у производной
В функцию первой производной надо подставить а не в саму функцию
Вот если было бы Х в степени Х и равно Х, вот тогда уравнение уже имело бы решение. Единицу.
А если e^x=x^2 или x^3, как решать?
Можно попробовать составить задачу в общем виде: а^x=x. Найти все значения а, при которых уравнение 1) не имеет решений; 2) имеет одно решение; 3) имеет более одного решения. Ради интереса посмотрел график на геогебре, все три случая присутствуют: 0
1.444 это e^(1/e)
@@ВадимТуманов-р3э Это интересно. Значит взаимосвязь есть. Тогда и х≈2,6 при а≈1,444 , возможно, может быть выражен через известные величины?
@@alexanderchentsov8113 Ну это собственно e и e^(1/e). Также для любого положительного b верно (b^(1/b))^b=b. b^(1/b) при этом принимает значения 0 до e^(1/e). Есть еще в той корень при 1
на 3:22 лучше употребить термин "единственная точка экстремума"
Можете разобрать пример на несобственный интеграл
А если воспользоваться свойством, что e^x пересекает ось y под углом 45 градусов и никогда не бывает ниже этой прямой то есть касательная, а y=x прямая полученная её переносом на единицу ниже по оси y.
Столько возни, а ответ был очевиден с самого начала
Как говорят математики - сложнее всего доказать очевидные вещи.
А еще - не знаешь как что то доказать - напиши - "очевидно"
Я с первого взгляда понял что нет ответа 😂😂😂и не ошибся
Ответ есть, он таков: уравнение не имеет корней
Вообще, можно предположить что е=х. То есть x^x=x. Крч 1¹=1
Как понимать f(x) >= min f(x) = 1?
По определению минимум функции это такое её значение, которое меньше всех остальных значений. А значит все остальные значения больше минимума, что и записано формулой:"f(x)>=min f(x)"
Функция больше либо равна своему минимальному значению, минимальное значение в свою очередь равно единице, а значит и функция больше либо равна единице.
Мы нашли минимум функции (равный единице), значение функции в любой другой точке будет больше (или равно), чем найденный минимум.
Всем спасибо, не встречал такую нотацию до этого
кроме того в задаче ничего не говорится что нужно исследовать функции.! Есть уравнение. Правильное решение, это когда подставил значение и правая часть равна левой. В экселе методом подбора параметра за одну секунду выдаст ответ ноль!
Очень хороший
Класс!
Доказательство недостаточно строгое.
В какой части???
по эскизам графиков в начале и не скажешь что минимум разницы в нуле
Слишком сложно и заумно - не для средних умов. В детстве я решал такую задачу проще: уравнение преобразуем к виду е=х (корень в степени х) или =х в степени 1/х. Сравним графики функций в левой и правой частях уравнения. е - постоянная величина, т.е. на графике х-у отображается прямой, параллельной оси х со значением у=2,71828. х - положительное число, поэтому функция х в степени 1/х - это кривая от y=0 (при х=0) до максимума в районе y=1,443 (при x=3), уменьшаясь затем до y=1 при х=бесконечность. Т.е. графики функций нигде не пересекаются, и, значит, рациональных корней у уравнения нет.
e^x ~ x + 1 > x => корней нет)
Условия, что х->0, нет, поэтому замена не применима
@Иван Пожидаев, чтобы использовать эквивалентности, требуется х->0,те бесконечная малость, но х рассматривается на интервале от - оо до +оо, поэтому некорректно рассматривать только при условии бмфункции
@@МужественныйВолк имел в виду знак вместо тильды больше либо равно.
А какой это класс?
седьмой
What about complex domain?
My russian is too bad. I don't dare to use it.
The equation has no solution
Интересно. И комментарии тоже. Вот только х сразу строго больше нуля. И в конце меньше пояснений
ну дети же знают разложение в Макларена.
Не! Это не интересно! А в комплексных числах?!
2:02
е в степени бублика