Это все очень интересно. Вообще, такие ряды можно рассматривать чисто формально(так они и называются - формальные ряды). Очень богатая и интересная теория. Там и производящие функции, и вопросы рациональности и алгебраичности таких рядов. Кому интересно - Стэнли. Перечислительная комбинаторика - хорошая книжка(там 2 тома). Так же в книжке Картана по комлексному анализу можно в самом начале познакомиться с такими объектами. Очень интересно строиться теория. Начинаем с рядов(экспоненты) и поехали!!!
Вычитал про это в учебнике там очень большое количество промежуточных преобразований пропущено. Вам большое спасибо за подробность изложения материала!!
Кажется, была какая-то теорема, что если в уравнении старший коэффициент (здесь - x при y'') где-то обращается в ноль, то одно из (хотя бы одно из?) линейно-независимых решений там должно уходить в бесконечность - как раз здесь это функция Неймана
16:05. "В отличие от косинуса нули функции Бесселя первого порядка не являются периодическими". А не являються ли мелкие отклонения (т. н. девиации) от точньіх кратньіх значений числа "Пи" следствием неточности расчетов. Мне лично кажется что они периодичньі. Более того- нули функции вьісших порядков " k" тоже периодичньі, но зависимости у них более сложньіе. Их можно найти если апроксимировать результатьі вьічислений, а не бросить их "неотесанньіми" на половине дороги. Я все єто проделал, правда с мелкими неточностями, но в коментариях поправил.
Есть примеры - колебания круглой мембраны, закреплëнной на границе, или колебания тяжëлой нити в вертикальной плоскости. Этими задачами занимается математическая физика. В учебниках есть вывод соответствующих уравнений в частных производных, их решение сводится к уравнению Бесселя
@@Abraxax не понял, что именно "надо". Если речь про задачи, то они берутся из реальной жизни, когда изучаются физические явления (в приведëнных примерах - колебания объектов). Для получения сведений о явлении строят модель, описываемую уравнениями, и пытаются найти решение аналитически (если возможно) или численно. Если речь про функции Бесселя, то они появляются как следствие выбранного способа решения уравнения и позволяют записать решение в виде суммы функционального ряда, содержащего функции Бесселя. Наличие хоть какого-то представления решения позволяет посчитать его если не точно, то хотя бы приближенно с нужной точностью
Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.
Возникает закономерный вопрос: в связи с какой прикладной задачей (проблемой) Бессель наткнулсяина это диф. уравнение? И как ему удалось обобщить на случай J_{k} (x)
в моем представлении понижение порядка работает, когда уравнение 2-ого порядка не зависит явно от y (т.е в уравнении y'', y', x), тогда делается замена u(x) = y' или не зависит явно от х (т.е в уравнении y'', y', y), тогда делается замена u(y) = y' здесь не подходит ни под один из этих случаев.
Можно глупый вопрос? Почему мы ищем решение именно в виде степенного ряда? Это потому, что при решении дифференциального уравнения (зачастую) у нас вылезает или e^(Ax) или комбинация синуса и косинуса?
Вопрос то не глупый. А вот ответ будет глупым. А почему бы не попробовать. Попробовали - получилось. А представляете сколько у Бесселя было неудачных попыток?
Помню на матфизике решали подобные уравнения, только это были физические задачи на затухающие колебания в пространстве и теплопроводность, там и появлялись эти специальные функции
Ну как же вы степенной ряд в левой части уравнения обозвали многочленом))) то, что его коэффициенты равны нулю как бы совсем не очевидно и стоит обосновать. Можно сказать наверное, что сходящийся степенной ряд, является рядом Тейлора своей суммы, а поэтому его коэффициенты определяются однозначно и следовательно все они должны быть равны нулю
Неплохо бы перед тем, как искать решение, сначала доказать, что оно существует. Данное уравнение не удовлетворяет условиям теоремы Пикара, значит, вопрос о существовании решения задачи Коши остаётся открытым. Может, его вообще не существует, тогда что именно автор пытается найти?!
если что-то решить нужно, у меня есть ссылка на контакт - туда пишите. А видео я делаю по тем темам, которые знаю, и которые самому интересно. Все равно никто не задонатит столько, чтобы окупить вложенные усилия. Сколько по вашему должно стоить, если я по 10-30 часов трачу на каждое видео?
@@Hmath ну да, Вы правы. Дело не в решить, а в том, что интересно смотреть видео в Вашем исполнении. Решить-то я и сам могу, но не стану же я читать свое решение пока ем
эх, если бы каждый посмотревший прислал 1руб, то никогда бы не возникало вопросов с финансированием деятельности по созданию видео. А так хорошо, если 300руб кто-нибудь один задонатит в месяц в среднем. Придется ждать 100-200лет: столько потребуется, чтобы с монетизации ютьба окупилось :) Вот так в итоге и выживают только каналы с одноразовой егэ-математикой или математические варьете с задачами уровня сложения двух чисел.
Великолепное, серьёзное видео по рядам и дифференциальным уравнениям. Спасибо за отличную лекцию.
Это все очень интересно. Вообще, такие ряды можно рассматривать чисто формально(так они и называются - формальные ряды). Очень богатая и интересная теория. Там и производящие функции, и вопросы рациональности и алгебраичности таких рядов. Кому интересно - Стэнли. Перечислительная комбинаторика - хорошая книжка(там 2 тома). Так же в книжке Картана по комлексному анализу можно в самом начале познакомиться с такими объектами. Очень интересно строиться теория. Начинаем с рядов(экспоненты) и поехали!!!
Вычитал про это в учебнике там очень большое количество промежуточных преобразований пропущено. Вам большое спасибо за подробность изложения материала!!
Очень интересно! 👍, пересматриваю уже 3 раз!
Здорово. Спасибо большое за интересный материал. Есть еще интересные люди.
Огромное спасибо за объяснение
Кажется, была какая-то теорема, что если в уравнении старший коэффициент (здесь - x при y'') где-то обращается в ноль, то одно из (хотя бы одно из?) линейно-независимых решений там должно уходить в бесконечность - как раз здесь это функция Неймана
Обожаю матфизику, спасибо!
16:05. "В отличие от косинуса нули функции Бесселя первого порядка не являются периодическими". А не являються ли мелкие отклонения (т. н. девиации) от точньіх кратньіх значений числа "Пи" следствием неточности расчетов. Мне лично кажется что они периодичньі. Более того- нули функции вьісших порядков " k" тоже периодичньі, но зависимости у них более сложньіе. Их можно найти если апроксимировать результатьі вьічислений, а не бросить их "неотесанньіми" на половине дороги. Я все єто проделал, правда с мелкими неточностями, но в коментариях поправил.
операционным методом через преобразование Лапласа решал подобное
Хорошее видео. Было бы ещё интересно посмотреть на пару примеров из физики, где вылезают такие функции)
Есть примеры - колебания круглой мембраны, закреплëнной на границе, или колебания тяжëлой нити в вертикальной плоскости. Этими задачами занимается математическая физика. В учебниках есть вывод соответствующих уравнений в частных производных, их решение сводится к уравнению Бесселя
@@GiornoYoshikage и зачем это надо?
@@Abraxax не понял, что именно "надо".
Если речь про задачи, то они берутся из реальной жизни, когда изучаются физические явления (в приведëнных примерах - колебания объектов). Для получения сведений о явлении строят модель, описываемую уравнениями, и пытаются найти решение аналитически (если возможно) или численно.
Если речь про функции Бесселя, то они появляются как следствие выбранного способа решения уравнения и позволяют записать решение в виде суммы функционального ряда, содержащего функции Бесселя. Наличие хоть какого-то представления решения позволяет посчитать его если не точно, то хотя бы приближенно с нужной точностью
@@GiornoYoshikage, поправлю только, что ряда, не "содержащего функции Бесселя", а именно ими по сути и являющегося!
Спасибо за видео. Хотелось бы еще контент с функциями Бесселя, например разложение в обобщенный ряд Фурье
Если не ошибаюсь, уравнение не соответствует общему виду, множитель перед y должен быть в степени 2
внимательнее посмотрите: на х можно сократить, если параметр а=0
Жду видео про разложение интересных функций в ряд Фурье-Бесселя)
11:46 Может быть даже когда-нибудь увидем ролик о методе производящей функции
Класс. А можете сделать видео по типам уравнений, а-ля уравнения параболического/гиперболического типа?
Корото, красиво и самое главное по теме!!! Далше уже на лябителя... На каком софте Вы делаете эти трюки с формулами?
Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.
Возникает закономерный вопрос: в связи с какой прикладной задачей (проблемой) Бессель наткнулсяина это диф. уравнение? И как ему удалось обобщить на случай J_{k} (x)
Вау спасибо круто!
Почему здесь не сработает случай с понижением порядка? Здесь ведь уравнение однородно по y
в моем представлении понижение порядка работает, когда уравнение 2-ого порядка не зависит явно от y (т.е в уравнении y'', y', x), тогда делается замена u(x) = y'
или не зависит явно от х (т.е в уравнении y'', y', y), тогда делается замена u(y) = y'
здесь не подходит ни под один из этих случаев.
Кто бы в универах так материал давал)
Тут прям чётко заходит - "ищите и обрящете")
Круто! Только, думаю, было бы не лишним ещё показать как одна функция Бесселя может выражаться через другую.
для функций Бесселя куча соотношений есть, у меня в справочнике вот больше 40 страниц с формулами ;)
@@Hmath а что за справочник, если не секрет. Или может быть есть какие-то ссылки на литературу, которой Вы пользуетесь?
Градштейн И. С., Рыжик И.М. - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.) - 1963
классика :) 1000 страниц формул, большая часть - интегралы :)
@@Hmath о, спасибо)
Верно понимаю, что функции: Jk(x) и Yk(x) - ортогональны друг другу?
Jk(x) и Yk(x) - линейно независимы. Про ортогональность не помню.
Ортогональность - просто частный случай.
ждем метод Фробениуса
Подскажите, пожалуйста, уравнение Лагранжа обращается в уравнение Клеро при f(y')=y'. f(y')=-y'. Это уравнение Лагранжа или тоже Клеро?
а есть смысл в этих названиях, если решаются они в итоге одним и тем же способом?
@@Hmath вот именно что нет, но в тестах встречаются. Я душу обнимал составителей, но что поделать
Можно глупый вопрос? Почему мы ищем решение именно в виде степенного ряда? Это потому, что при решении дифференциального уравнения (зачастую) у нас вылезает или e^(Ax) или комбинация синуса и косинуса?
В конечном виде в элементарных функциях решение не выражается
Думаю потому что именно степенные ряды легко умгожаются на х. У любых других будут проблемы
Вопрос то не глупый. А вот ответ будет глупым. А почему бы не попробовать. Попробовали - получилось. А представляете сколько у Бесселя было неудачных попыток?
Насколько я помню, уравнение решили еще до Бесселя :) Он вроде вообще с другой стороны заходил: через интегралы.
@@Hmath Значит и здесь принцип Арнольда верен
Крута потом посмотрю
Да вроде, если к не целое, тоже ничего смтрашного
да посложнее только :) там не факториал, а гамма-функция
Помню на матфизике решали подобные уравнения, только это были физические задачи на затухающие колебания в пространстве и теплопроводность, там и появлялись эти специальные функции
Ну как же вы степенной ряд в левой части уравнения обозвали многочленом))) то, что его коэффициенты равны нулю как бы совсем не очевидно и стоит обосновать. Можно сказать наверное, что сходящийся степенной ряд, является рядом Тейлора своей суммы, а поэтому его коэффициенты определяются однозначно и следовательно все они должны быть равны нулю
многочлен бесконечной степени ;)
Неплохо бы перед тем, как искать решение, сначала доказать, что оно существует. Данное уравнение не удовлетворяет условиям теоремы Пикара, значит, вопрос о существовании решения задачи Коши остаётся открытым. Может, его вообще не существует, тогда что именно автор пытается найти?!
тогда бы, вероятно, видео стало раза в три длиннее)
Отличное видео, было бы круто пройтись по остальным специальным функциям
видео, в которых появляются те или иные специальные функции, собраны в этом плейлисте:
ua-cam.com/play/PLK_CvALNo5MeIq7y9Jr37Uk_6LHqhLiwM.html
@@Hmath слушай, а сколько надо задонатить, чтобы заказать видео? Типа на какую-то тему
если что-то решить нужно, у меня есть ссылка на контакт - туда пишите. А видео я делаю по тем темам, которые знаю, и которые самому интересно. Все равно никто не задонатит столько, чтобы окупить вложенные усилия. Сколько по вашему должно стоить, если я по 10-30 часов трачу на каждое видео?
@@Hmath ну да, Вы правы. Дело не в решить, а в том, что интересно смотреть видео в Вашем исполнении. Решить-то я и сам могу, но не стану же я читать свое решение пока ем
эх, если бы каждый посмотревший прислал 1руб, то никогда бы не возникало вопросов с финансированием деятельности по созданию видео. А так хорошо, если 300руб кто-нибудь один задонатит в месяц в среднем. Придется ждать 100-200лет: столько потребуется, чтобы с монетизации ютьба окупилось :) Вот так в итоге и выживают только каналы с одноразовой егэ-математикой или математические варьете с задачами уровня сложения двух чисел.
Обожаю матфизику, спасибо!