Замечательный способ. Честно говоря, постановка новой переменной вместо константы - это очень нетривиально для средней школы, но красиво! Спасибо! Смотрел с громадный удовольствием!
Спасибо. Ну , ОЧЕНЬ хитрО. Предлагаю подход «старого зубрилы»: вводим новую переменную: sqrt(x+4)=t, тогда t^2=x+4 и , по условию , x^2=t+4. Система!! Вычитаем , раскладываемся разность квадратов, получаем 1) x=t; 2) x+t=-1 . Подставляем во второе уравнение получаем для ‘x’ объединение двух уравнений , как у Вас. С уважением, Лидий.
Решил другим вашим любимым способом. Заменив корень на t, видим, что x^2-4=t, но и t^2-4=x, f(f(x))=x, откуда f(x)=x, x^2-x-4=0. Разделив многочлен 4й степени на этот квадратный, получим второй квадратный
f(f(x)) = x => f(x) = x Это один частный случай. Если взять от обеих частей уравнения обратную функцию к f(x), то получаем: f(x)=f^-1(x), что означает, что графики функций f(x) и обратной - симметричны относительно y=x, сразу же в голову попадает функция f(x)=1/x, которая тоже подходит. Поэтому мог попасть, а мог промазать. Повезло, что попалась простая функция.
0lympy , "В каждой шутке только доля шутки".А это не шутка. Например в С# (Си-шарп у программистов или до-диез у музыкантов) такие операции вполне себе возможны. :-)
Вот бесхитростный способ: (1) сначала попытался в лоб - обе части в квадрат получил: x⁴-8x²-x+12=0 дальше не пошло (2) попробовал замену: y=√̅₍ₓ₊₄₎ получил y⁴-8y²-y+12=0 дальше тоже не пошло (3) Но тут увидел, что это одинаковые уравнения, только вместо переменной x переменная y хм... что бы это могло значить? По началу это ввело в ступор, но потом рассуждал так: Если какое-то конкретное число x=λ является решением уравнения (1), то это же число λ является решением уравнения (2) относительно y В общем случае y не обязано равняться λ, но если приравнять, то получим частное решение Дальше просто x=y или x=√̅₍ₓ₊₄₎ или x²-x-4=0 - это частное решение поделив многочлены столбиком, находим x⁴-8x²-x+12 = (x²-x-4)(x²+x-3)
В восторге от ваших рассуждений! Когда сделал замену корня на новую переменную, то заметил симметрию, но до ума не довёл(( Это решение мне нравится куда больше, чем то, которое предложено автором.
Існує ще й такий цікавий спосіб розв'язування подібних рівнянь із взаємно оберненими функціями. Прирівняємо обидві частини рівняння до у. Тоді це рівняння можна буде переписати у вигляді системи двох рівнянь: x^2=y+4, y^2=x+4. Віднявши від першого друге, будемо мати: (х-у)(х+у)=у-х. Звідси у=х або у=-х-1. І залишається підставити такі вирази для у в друге рівняння та отримати сукупність тих самих квадратних рівнянь, що і в автора блогу, не забувши зробити перевірку, чи для їхніх коренів x^2>=4. Надіюсь, що Волков не напише мені знову, що мій коментар є злим.
Я только что посмотрел Ваше решение аналогичного уравнения двухгодичной давности. Там вместо 4 было 5. Вряд ли стоит смотреть. Повторяетесь. Однако, Вы очень доходчиво и кратко объясняете свои решения.
Способ, бесспорно интересный (помню как то даже был в восторге когда про него узнал), но в данном случае не проще Прибавить "-x" к обоим частям уровнения, и далее разложить левую часть по разности квадратов бросается в глаза сразу А так для ликбеза тем кто не знает пойдет 👍
Можно заметить( если построить графики функций левой и правой части в одной системе координат, что данные графики получаются друг из друга( при условии у>0) сменой осей координат) если рассмотреть функции у=х^2-4 и х=у^2-4 в системе, с учётом у>0, то ответ будет тот же.
Мой метод: x^2+x+0,25 = x+4 +(√x+4)+0,25 (x+0,5)^2 = ((√x+4)+0,5)^2 (x+1+√x+4)(x-√x+4)=0 Получаются те же x^2+x-3=0 и x^2-x-4=0. +ОДЗ. Удивительно сколько решений у одного уравнения.
Получается, что такая фишка работает с любым уравнением вида x² - t = √(x + t). Действительно, если это возвести в квадрат, получится то же самое уравнение, которое получилось в обоих примерах, а тогда в исходном уравнении вместо t могло стоять любое число, что 4, что 5, да всё, что угодно! И даже 2021!
Решал на политехнической олимпиаде таким вот способом, но вместо четырех взял за t еденицу. Проверяющие сначала не поняли, и когда на апелляции объяснил как решал, были в восторге и поставили сразу два плюсика)
это пока все рассказывают кажется все ясно, а как попадется пример, так там будет иначе. Да и такие замены это редкие частные случаи, когда попадается цифра относительно которой можно заменить.
1. Кому вообще это нужно? 2. Зачем это кому то вообще нужно? 3. Самое моё любимое в этих уравнениях это то, что они рассыпаются сразу как вы подставите ваши получившиеся ответы вместо "х" (хоть и не всегда)
Досвідченим математикам цей метод давно відомий. Але тут він не такий вже й необхідний. Розклад на множники x⁴-8x²-x+12=(x²-x-4)(x²+x-3) легко отримати усно. Перший множник випливає з того, що у лівій і правій частині заданого рівняння знаходяться взаємно обернені функції. Тому його коренями є й корені рівняння x²-4=x, тобто x²-x-4=0. Далі, щоб у добутку зник доданок з х в кубі, у другому квадратичному множнику коефіцієнт біля х може бути лише 1. А щоб у добутку отримати 12, третій доданок другого множника має дорівнювати -3. Та Волков Вам про це не розказує, а піариться на "Вы такого не видели!" Цікаво, чи такий спосіб він бачив.
Actually,you can just add x+4 on both sides,so that the equation will become: x^2+x=(x+4)+(x+4)^(1/2) and then assume (x+4)^(1/2)=a and it will become x^2+x=a^2+a and it will be much easier to solve
Уважаемый, Валерий Волков, если можно, сделайте, пожалуйста, как нибудь видео про формулу Кардано, просто она есть, но во многих источниках плохо объяснено как она выводится. И как это приводит к понятию комплексного числа через него.
круто,но в школе такие решали только на олимпиадах, а в институте - вышка, что сильно отличается вообще порой от школьного курса. еще место встречи с подобным уравнением - поступление в институт во времена без ЕГЭ
Справа квадратный корень , который всегда больше либо равен 0.(с) Ага. Щаз. √9 = 3 , что безусловно, больше 0. Но он так же равен и -3. Что является опровержением вашего допущения , приведенного мною выше в качестве цитаты.
Замечательный способ. Честно говоря, постановка новой переменной вместо константы - это очень нетривиально для средней школы, но красиво! Спасибо! Смотрел с громадный удовольствием!
Присоединяюсь к автору данного комментария, было невероятно интересно! Спасибо Большое!!
Спасибо за оригинальный метод.
Спасибо. Ну , ОЧЕНЬ хитрО. Предлагаю подход «старого зубрилы»: вводим новую переменную: sqrt(x+4)=t, тогда t^2=x+4 и , по условию , x^2=t+4. Система!! Вычитаем , раскладываемся разность квадратов, получаем 1) x=t; 2) x+t=-1 . Подставляем во второе уравнение получаем для ‘x’ объединение двух уравнений , как у Вас. С уважением, Лидий.
Решил точно также!
ну это ващеее! очень класное решение!! бысрее в разы и понятное
а почему x+t=-1??
t^2=x-4 ; x^2=t-4 . Вычитаем . Получаем: :t^2-x^2=-(t-x) . Уравнение : ъ*й=-й равносильно объединению двух : й=0 и ъ=-1. С уважением .lidiy27041943
Решил другим вашим любимым способом. Заменив корень на t, видим, что x^2-4=t, но и t^2-4=x, f(f(x))=x, откуда f(x)=x, x^2-x-4=0. Разделив многочлен 4й степени на этот квадратный, получим второй квадратный
f(f(x)) = x => f(x) = x
Это один частный случай. Если взять от обеих частей уравнения обратную функцию к f(x), то получаем:
f(x)=f^-1(x), что означает, что графики функций f(x) и обратной - симметричны относительно y=x, сразу же в голову попадает функция f(x)=1/x, которая тоже подходит. Поэтому мог попасть, а мог промазать. Повезло, что попалась простая функция.
@@vintik1688 великолепно
Спасибо. Сколько находок в Ваших роликах для
интересующихся математикой
Реально - УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения! Огромная благодарность за этот канал!
Супер решение!!! спасибо за ссылки в описании! это очень важно!
Действительно удивительный способ! Впервые вижу подобный подход, спасибо, что не перестаёте нас удивлять 🥰
Надо больше жести, а что если заменить "=" на "t"?
Тогда будет больше решений
А что если знак корня заменить на p, нет лучше на q ?
Ахахаха лучшее я поорал)))
0lympy
, "В каждой шутке только доля шутки".А это не шутка. Например в С# (Си-шарп у программистов или до-диез у музыкантов) такие операции вполне себе возможны. :-)
Как говорил наш преподаватель по линейной алгебре и аналитической геометрии, хоть чёртиком обозначить.
Способ решения можно назвать: "Взгляд с другой стороны!"
Вот как раз недавно вспоминал, что где-то видел такой метод решения, но подробностей не вспомнил. А тут Ваше видео в ленте всплывает))) Спасибо!
Действительно удивительное решение, понятно, но я бы не догадалась, спасибо!
Как приятно Вас слушать. Способ супер, грамотная речь.
Спасибо, Валерий. Очень интересный способ замены. Возьмем на заметку.
Спасибо огромное. Порадовали
Очень оригинально! Спасибо! Посмотрела с удовольствием.
Спасибо за замечательный приём.
Спасибо вам за ваш канал и вашу работу! С Новогодними Праздниками! :)
Офигеть. Вот это да. Мне нравится такое решение
Интересный способ, я уже подзабыл, такую подстановку, когда решается все относительно константы. Благодарю! Такое - в коллекцию.
Хорошо,красиво!
Очень красивое решение!!! Спасибо.
Очень оригинальное решение! Спасибо.
Красота
Спасибо, за все ваши видео ещё раз.
Прикольно, сразу про этот метод вспомнил, даже по лицею немного ностальгнул)))
Гениальная находка(именно находка) решения, надо взять на вооружение, и так решать иногда, если дискримант хороший будет выходить)👍
Спасибо, Валерий Викторович. Интересный способ.
Спасибо! Все понятно и доступно.
Чудово.
Отличное видео с сложным уравнением, но я решил это уравнение за 15 минут, таким же способом как и у вас в видео
Подзабыл я такой трюк
Спасибо .Классное решение .
Вот бесхитростный способ:
(1) сначала попытался в лоб - обе части в квадрат
получил: x⁴-8x²-x+12=0
дальше не пошло
(2) попробовал замену: y=√̅₍ₓ₊₄₎
получил y⁴-8y²-y+12=0
дальше тоже не пошло
(3) Но тут увидел, что это одинаковые уравнения, только вместо переменной x переменная y
хм...
что бы это могло значить?
По началу это ввело в ступор, но потом рассуждал так:
Если какое-то конкретное число x=λ является решением уравнения (1),
то это же число λ является решением уравнения (2) относительно y
В общем случае y не обязано равняться λ, но если приравнять, то получим частное решение
Дальше просто
x=y
или
x=√̅₍ₓ₊₄₎
или
x²-x-4=0 - это частное решение
поделив многочлены столбиком, находим
x⁴-8x²-x+12 = (x²-x-4)(x²+x-3)
В восторге от ваших рассуждений! Когда сделал замену корня на новую переменную, то заметил симметрию, но до ума не довёл((
Это решение мне нравится куда больше, чем то, которое предложено автором.
Блеск! Я тоже так рассуждала и добежала до деления многочлена на многочлен И чуть было не остановилась на х^2-х-4=0, Потом подумала и поделила)
Спасибо за урок!
Спасибо, понятно, я смотрю 2ой раз, надо запомнить этот прием
Два часа таких упражнений перед сном. Потом всю ночь снятся математические кошмары.
Советую почитать "Грёзы в ведьмовском доме" Лавкрафта, там как раз про математически кошмары)
Очень крутой способ
Спасибо ещё
Решил методом неопределенных коэффициентов.
Існує ще й такий цікавий спосіб розв'язування подібних рівнянь із взаємно оберненими функціями. Прирівняємо обидві частини рівняння до у. Тоді це рівняння можна буде переписати у вигляді системи двох рівнянь: x^2=y+4, y^2=x+4. Віднявши від першого друге, будемо мати: (х-у)(х+у)=у-х. Звідси у=х або у=-х-1. І залишається підставити такі вирази для у в друге рівняння та отримати сукупність тих самих квадратних рівнянь, що і в автора блогу, не забувши зробити перевірку, чи для їхніх коренів x^2>=4.
Надіюсь, що Волков не напише мені знову, що мій коментар є злим.
Да, отличный способ, я его использовал для такого вида уравнений f(f(x))=x, здесь: ua-cam.com/video/IrAxIq1HYzE/v-deo.html
Способ действительно удивительный, хотя я раньше уже где-то с ним сталкивался
Я Вас обожаю!
Красивое решение
спасибо за видео
Супер! Лучше чем детектив
Именно,лучше.
Очень интересно! Лайк и подписка!
Я только что посмотрел Ваше решение аналогичного уравнения двухгодичной давности. Там вместо 4 было 5. Вряд ли стоит смотреть.
Повторяетесь. Однако, Вы очень доходчиво и кратко объясняете свои решения.
Офигенно!
Очень круто получилось 👍
Вполне. Метод неопределённый коэффициентов формально легче но по факту возиться далеко не так просто как показанный автором в ролике. Срасибо !
Классное решение
Понятно) Спасибо)
Супер!
тот момент, когда "способ решения был в прошлом году", а смотрел его буквально вчера :D
Способ, бесспорно интересный (помню как то даже был в восторге когда про него узнал), но в данном случае не проще
Прибавить "-x" к обоим частям уровнения, и далее разложить левую часть по разности квадратов бросается в глаза сразу
А так для ликбеза тем кто не знает пойдет 👍
Хороший способ для этого уравнения.
Можно заметить( если построить графики функций левой и правой части в одной системе координат, что данные графики получаются друг из друга( при условии у>0) сменой осей координат) если рассмотреть функции у=х^2-4 и х=у^2-4 в системе, с учётом у>0, то ответ будет тот же.
Тут главное не нарушить эту хрупкую цепочку ) супер
Никогда не пользовалась заменой константы. Красиво, но лёгкий шок получила .
Даа супер способ
Очень крутой способ 👍
Красиво!
Отлично, понятно, подробнее не может быть!
Суметь бы еще догадаться решить таким способом.
Мой метод:
x^2+x+0,25 = x+4 +(√x+4)+0,25
(x+0,5)^2 = ((√x+4)+0,5)^2
(x+1+√x+4)(x-√x+4)=0
Получаются те же x^2+x-3=0 и x^2-x-4=0. +ОДЗ.
Удивительно сколько решений у одного уравнения.
Красивенько
Как бы наизнанку. Помню в в институте что то подобное было с дифурами.
Вариация произвольной постоянной, ненавидел этот способ решения, а он иногда сильно помогает.
Получается, что такая фишка работает с любым уравнением вида x² - t = √(x + t). Действительно, если это возвести в квадрат, получится то же самое уравнение, которое получилось в обоих примерах, а тогда в исходном уравнении вместо t могло стоять любое число, что 4, что 5, да всё, что угодно! И даже 2021!
x^2 - (x+4) = sqrt(x+4) - x слева разность квадратов
Тоже так решал
Хотелось бы новых заданий с пробника егэ 2021. Лайк
Наша учительница математи нам такое показывала (старшие классы 10-11) но это была гимназия с углуюленным изучением математики
Решал на политехнической олимпиаде таким вот способом, но вместо четырех взял за t еденицу. Проверяющие сначала не поняли, и когда на апелляции объяснил как решал, были в восторге и поставили сразу два плюсика)
Хитрая замена
Надо взять на вооружение
это пока все рассказывают кажется все ясно, а как попадется пример, так там будет иначе.
Да и такие замены это редкие частные случаи, когда попадается цифра относительно которой можно заменить.
@@ALARMusII В общем случае просто получится под корнем НЕ полный квадрат. И все вернется к исходному.
Сказал ты и уже сегодня забыл))
@@AXCYKEP не поверишь, но я помню
Тот редкий случай, когда дискриминант помог избавиться от 4 степени.)
Ничосси, как можно!
1. Кому вообще это нужно?
2. Зачем это кому то вообще нужно?
3. Самое моё любимое в этих уравнениях это то, что они рассыпаются сразу как вы подставите ваши получившиеся ответы вместо "х" (хоть и не всегда)
Гораздо проще:√=y и получить систему:y=x^ 2-4,x=y^2-4.Отсюда x=y или х+у+1=0 и т.д.
Экзотика от Валерия Волкова.
Красиво
Досвідченим математикам цей метод давно відомий. Але тут він не такий вже й необхідний. Розклад на множники
x⁴-8x²-x+12=(x²-x-4)(x²+x-3)
легко отримати усно. Перший множник випливає з того, що у лівій і правій частині заданого рівняння знаходяться взаємно обернені функції. Тому його коренями є й корені рівняння x²-4=x, тобто x²-x-4=0.
Далі, щоб у добутку зник доданок з х в кубі, у другому квадратичному множнику коефіцієнт біля х може бути лише 1. А щоб у добутку отримати 12, третій доданок другого множника має дорівнювати -3. Та Волков Вам про це не розказує, а піариться на "Вы такого не видели!" Цікаво, чи такий спосіб він бачив.
ну твой способ тоже как вариант. кстати, посоветуй как быстро научится многочлены на множители разбивать
Небольшое уточнение: в этом уравнении ОДЗ х^2>=4 и (х+4)>=0 т.е. -4
Согласен, что в одз ошибка была
Он же объяснил, почему необязательно проверять, что (x+4)>=0
Не совсем понятно, пчм не записываем условие х+4>0. Оно же определяет ОДЗ: х>-4 & |х|>2. Получаем 2 интервала: х е [-4; -2] & [2; inf)
Решите что-нибудь интересное из Сканави.
Сканави - примитив
на самом деле не видели молодцы
Actually,you can just add x+4 on both sides,so that the equation will become:
x^2+x=(x+4)+(x+4)^(1/2)
and then assume (x+4)^(1/2)=a
and it will become x^2+x=a^2+a
and it will be much easier to solve
Уважаемый, Валерий Волков, если можно, сделайте, пожалуйста, как нибудь видео про формулу Кардано, просто она есть, но во многих источниках плохо объяснено как она выводится. И как это приводит к понятию комплексного числа через него.
Вау, просто вау!
Я когда сразу подумал про замену но я не ожидал такую замену
А я бы сделал тригонометрическую подстановку. Не знаю, к чему это привело бы, но от радикала бы избавило :))))
В правой часть уравнения обратная функция, по этому, все корни уравнения лежат на прямой у = х, Заменяем правую часть, получаем х^2 - 4 = х.
Способ очень интересный, но я решил добавив и отняв X в кубе с последующим вынесением за скобки общего множителя -х^2. Получаются такие же уравнения
x^2 - (x+4) = sqrt(x+4) - x
Слева разность квадратов, сразу получаем два квадратных уравнения.
круто,но в школе такие решали только на олимпиадах, а в институте - вышка, что сильно отличается вообще порой от школьного курса. еще место встречи с подобным уравнением - поступление в институт во времена без ЕГЭ
Справа квадратный корень , который всегда больше либо равен 0.(с)
Ага. Щаз. √9 = 3 , что безусловно, больше 0. Но он так же равен и -3. Что является опровержением вашего допущения , приведенного мною выше в качестве цитаты.
6:11 тих если перемножить получится большое, поэтому можно было его сразу так раскрыть или свериться
I believe that what you say is that we have an equation: 4^2 + 4b + c = 0 and we can use the quadratic formula: 4 = -b +- (b^2 - 4c)^0.5 .......
Какой вы хитрый жук
Ахахахах
Помню, было на канале очень похожее)
Ниче не понял, но очень интересно...
Возьмëм левую и правую части уравнения за 1. Ответ: 1 = 1. Задача решена.
Спасибо вам, даже не понимаю как до этого можно было додуматься
Надо иметь извращенный ум😁.А на самом деле - ловко!