Замечательный способ. Честно говоря, постановка новой переменной вместо константы - это очень нетривиально для средней школы, но красиво! Спасибо! Смотрел с громадный удовольствием!
Решил другим вашим любимым способом. Заменив корень на t, видим, что x^2-4=t, но и t^2-4=x, f(f(x))=x, откуда f(x)=x, x^2-x-4=0. Разделив многочлен 4й степени на этот квадратный, получим второй квадратный
f(f(x)) = x => f(x) = x Это один частный случай. Если взять от обеих частей уравнения обратную функцию к f(x), то получаем: f(x)=f^-1(x), что означает, что графики функций f(x) и обратной - симметричны относительно y=x, сразу же в голову попадает функция f(x)=1/x, которая тоже подходит. Поэтому мог попасть, а мог промазать. Повезло, что попалась простая функция.
Спасибо. Ну , ОЧЕНЬ хитрО. Предлагаю подход «старого зубрилы»: вводим новую переменную: sqrt(x+4)=t, тогда t^2=x+4 и , по условию , x^2=t+4. Система!! Вычитаем , раскладываемся разность квадратов, получаем 1) x=t; 2) x+t=-1 . Подставляем во второе уравнение получаем для ‘x’ объединение двух уравнений , как у Вас. С уважением, Лидий.
0lympy , "В каждой шутке только доля шутки".А это не шутка. Например в С# (Си-шарп у программистов или до-диез у музыкантов) такие операции вполне себе возможны. :-)
Вот бесхитростный способ: (1) сначала попытался в лоб - обе части в квадрат получил: x⁴-8x²-x+12=0 дальше не пошло (2) попробовал замену: y=√̅₍ₓ₊₄₎ получил y⁴-8y²-y+12=0 дальше тоже не пошло (3) Но тут увидел, что это одинаковые уравнения, только вместо переменной x переменная y хм... что бы это могло значить? По началу это ввело в ступор, но потом рассуждал так: Если какое-то конкретное число x=λ является решением уравнения (1), то это же число λ является решением уравнения (2) относительно y В общем случае y не обязано равняться λ, но если приравнять, то получим частное решение Дальше просто x=y или x=√̅₍ₓ₊₄₎ или x²-x-4=0 - это частное решение поделив многочлены столбиком, находим x⁴-8x²-x+12 = (x²-x-4)(x²+x-3)
В восторге от ваших рассуждений! Когда сделал замену корня на новую переменную, то заметил симметрию, но до ума не довёл(( Это решение мне нравится куда больше, чем то, которое предложено автором.
Способ, бесспорно интересный (помню как то даже был в восторге когда про него узнал), но в данном случае не проще Прибавить "-x" к обоим частям уровнения, и далее разложить левую часть по разности квадратов бросается в глаза сразу А так для ликбеза тем кто не знает пойдет 👍
Я только что посмотрел Ваше решение аналогичного уравнения двухгодичной давности. Там вместо 4 было 5. Вряд ли стоит смотреть. Повторяетесь. Однако, Вы очень доходчиво и кратко объясняете свои решения.
это пока все рассказывают кажется все ясно, а как попадется пример, так там будет иначе. Да и такие замены это редкие частные случаи, когда попадается цифра относительно которой можно заменить.
Мой метод: x^2+x+0,25 = x+4 +(√x+4)+0,25 (x+0,5)^2 = ((√x+4)+0,5)^2 (x+1+√x+4)(x-√x+4)=0 Получаются те же x^2+x-3=0 и x^2-x-4=0. +ОДЗ. Удивительно сколько решений у одного уравнения.
Можно заметить( если построить графики функций левой и правой части в одной системе координат, что данные графики получаются друг из друга( при условии у>0) сменой осей координат) если рассмотреть функции у=х^2-4 и х=у^2-4 в системе, с учётом у>0, то ответ будет тот же.
Получается, что такая фишка работает с любым уравнением вида x² - t = √(x + t). Действительно, если это возвести в квадрат, получится то же самое уравнение, которое получилось в обоих примерах, а тогда в исходном уравнении вместо t могло стоять любое число, что 4, что 5, да всё, что угодно! И даже 2021!
1. Кому вообще это нужно? 2. Зачем это кому то вообще нужно? 3. Самое моё любимое в этих уравнениях это то, что они рассыпаются сразу как вы подставите ваши получившиеся ответы вместо "х" (хоть и не всегда)
Існує ще й такий цікавий спосіб розв'язування подібних рівнянь із взаємно оберненими функціями. Прирівняємо обидві частини рівняння до у. Тоді це рівняння можна буде переписати у вигляді системи двох рівнянь: x^2=y+4, y^2=x+4. Віднявши від першого друге, будемо мати: (х-у)(х+у)=у-х. Звідси у=х або у=-х-1. І залишається підставити такі вирази для у в друге рівняння та отримати сукупність тих самих квадратних рівнянь, що і в автора блогу, не забувши зробити перевірку, чи для їхніх коренів x^2>=4. Надіюсь, що Волков не напише мені знову, що мій коментар є злим.
Справа квадратный корень , который всегда больше либо равен 0.(с) Ага. Щаз. √9 = 3 , что безусловно, больше 0. Но он так же равен и -3. Что является опровержением вашего допущения , приведенного мною выше в качестве цитаты.
Actually,you can just add x+4 on both sides,so that the equation will become: x^2+x=(x+4)+(x+4)^(1/2) and then assume (x+4)^(1/2)=a and it will become x^2+x=a^2+a and it will be much easier to solve
Решал на политехнической олимпиаде таким вот способом, но вместо четырех взял за t еденицу. Проверяющие сначала не поняли, и когда на апелляции объяснил как решал, были в восторге и поставили сразу два плюсика)
Уважаемый, Валерий Волков, если можно, сделайте, пожалуйста, как нибудь видео про формулу Кардано, просто она есть, но во многих источниках плохо объяснено как она выводится. И как это приводит к понятию комплексного числа через него.
Валерий. Мне нужно решить похожее уравнение. Я уже с ним намучался. По цене договоримся. Вопрос о дисторсии линзы камеры с двумя коэффициентами и смещением.
Замечательный способ. Честно говоря, постановка новой переменной вместо константы - это очень нетривиально для средней школы, но красиво! Спасибо! Смотрел с громадный удовольствием!
Присоединяюсь к автору данного комментария, было невероятно интересно! Спасибо Большое!!
Решил другим вашим любимым способом. Заменив корень на t, видим, что x^2-4=t, но и t^2-4=x, f(f(x))=x, откуда f(x)=x, x^2-x-4=0. Разделив многочлен 4й степени на этот квадратный, получим второй квадратный
f(f(x)) = x => f(x) = x
Это один частный случай. Если взять от обеих частей уравнения обратную функцию к f(x), то получаем:
f(x)=f^-1(x), что означает, что графики функций f(x) и обратной - симметричны относительно y=x, сразу же в голову попадает функция f(x)=1/x, которая тоже подходит. Поэтому мог попасть, а мог промазать. Повезло, что попалась простая функция.
@@vintik1688 великолепно
Спасибо. Ну , ОЧЕНЬ хитрО. Предлагаю подход «старого зубрилы»: вводим новую переменную: sqrt(x+4)=t, тогда t^2=x+4 и , по условию , x^2=t+4. Система!! Вычитаем , раскладываемся разность квадратов, получаем 1) x=t; 2) x+t=-1 . Подставляем во второе уравнение получаем для ‘x’ объединение двух уравнений , как у Вас. С уважением, Лидий.
Решил точно также!
ну это ващеее! очень класное решение!! бысрее в разы и понятное
а почему x+t=-1??
t^2=x-4 ; x^2=t-4 . Вычитаем . Получаем: :t^2-x^2=-(t-x) . Уравнение : ъ*й=-й равносильно объединению двух : й=0 и ъ=-1. С уважением .lidiy27041943
Спасибо за оригинальный метод.
Надо больше жести, а что если заменить "=" на "t"?
Тогда будет больше решений
А что если знак корня заменить на p, нет лучше на q ?
Ахахаха лучшее я поорал)))
0lympy
, "В каждой шутке только доля шутки".А это не шутка. Например в С# (Си-шарп у программистов или до-диез у музыкантов) такие операции вполне себе возможны. :-)
Как говорил наш преподаватель по линейной алгебре и аналитической геометрии, хоть чёртиком обозначить.
Действительно удивительный способ! Впервые вижу подобный подход, спасибо, что не перестаёте нас удивлять 🥰
Спасибо. Сколько находок в Ваших роликах для
интересующихся математикой
Способ решения можно назвать: "Взгляд с другой стороны!"
Реально - УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения! Огромная благодарность за этот канал!
Интересный способ, я уже подзабыл, такую подстановку, когда решается все относительно константы. Благодарю! Такое - в коллекцию.
Супер решение!!! спасибо за ссылки в описании! это очень важно!
Вот бесхитростный способ:
(1) сначала попытался в лоб - обе части в квадрат
получил: x⁴-8x²-x+12=0
дальше не пошло
(2) попробовал замену: y=√̅₍ₓ₊₄₎
получил y⁴-8y²-y+12=0
дальше тоже не пошло
(3) Но тут увидел, что это одинаковые уравнения, только вместо переменной x переменная y
хм...
что бы это могло значить?
По началу это ввело в ступор, но потом рассуждал так:
Если какое-то конкретное число x=λ является решением уравнения (1),
то это же число λ является решением уравнения (2) относительно y
В общем случае y не обязано равняться λ, но если приравнять, то получим частное решение
Дальше просто
x=y
или
x=√̅₍ₓ₊₄₎
или
x²-x-4=0 - это частное решение
поделив многочлены столбиком, находим
x⁴-8x²-x+12 = (x²-x-4)(x²+x-3)
В восторге от ваших рассуждений! Когда сделал замену корня на новую переменную, то заметил симметрию, но до ума не довёл((
Это решение мне нравится куда больше, чем то, которое предложено автором.
Блеск! Я тоже так рассуждала и добежала до деления многочлена на многочлен И чуть было не остановилась на х^2-х-4=0, Потом подумала и поделила)
Офигеть. Вот это да. Мне нравится такое решение
Действительно удивительное решение, понятно, но я бы не догадалась, спасибо!
Отличное видео с сложным уравнением, но я решил это уравнение за 15 минут, таким же способом как и у вас в видео
Спасибо, Валерий. Очень интересный способ замены. Возьмем на заметку.
Два часа таких упражнений перед сном. Потом всю ночь снятся математические кошмары.
Советую почитать "Грёзы в ведьмовском доме" Лавкрафта, там как раз про математически кошмары)
Как приятно Вас слушать. Способ супер, грамотная речь.
Очень оригинально! Спасибо! Посмотрела с удовольствием.
Гениальная находка(именно находка) решения, надо взять на вооружение, и так решать иногда, если дискримант хороший будет выходить)👍
Способ, бесспорно интересный (помню как то даже был в восторге когда про него узнал), но в данном случае не проще
Прибавить "-x" к обоим частям уровнения, и далее разложить левую часть по разности квадратов бросается в глаза сразу
А так для ликбеза тем кто не знает пойдет 👍
Прикольно, сразу про этот метод вспомнил, даже по лицею немного ностальгнул)))
Спасибо за замечательный приём.
Очень красивое решение!!! Спасибо.
Я только что посмотрел Ваше решение аналогичного уравнения двухгодичной давности. Там вместо 4 было 5. Вряд ли стоит смотреть.
Повторяетесь. Однако, Вы очень доходчиво и кратко объясняете свои решения.
Вот как раз недавно вспоминал, что где-то видел такой метод решения, но подробностей не вспомнил. А тут Ваше видео в ленте всплывает))) Спасибо!
Хитрая замена
Надо взять на вооружение
это пока все рассказывают кажется все ясно, а как попадется пример, так там будет иначе.
Да и такие замены это редкие частные случаи, когда попадается цифра относительно которой можно заменить.
@@ALARMusII В общем случае просто получится под корнем НЕ полный квадрат. И все вернется к исходному.
Сказал ты и уже сегодня забыл))
@@AXCYKEP не поверишь, но я помню
Тот редкий случай, когда дискриминант помог избавиться от 4 степени.)
Способ действительно удивительный, хотя я раньше уже где-то с ним сталкивался
Мой метод:
x^2+x+0,25 = x+4 +(√x+4)+0,25
(x+0,5)^2 = ((√x+4)+0,5)^2
(x+1+√x+4)(x-√x+4)=0
Получаются те же x^2+x-3=0 и x^2-x-4=0. +ОДЗ.
Удивительно сколько решений у одного уравнения.
Можно заметить( если построить графики функций левой и правой части в одной системе координат, что данные графики получаются друг из друга( при условии у>0) сменой осей координат) если рассмотреть функции у=х^2-4 и х=у^2-4 в системе, с учётом у>0, то ответ будет тот же.
Очень оригинальное решение! Спасибо.
Очень крутой способ
Спасибо, за все ваши видео ещё раз.
Спасибо, Валерий Викторович. Интересный способ.
Спасибо вам за ваш канал и вашу работу! С Новогодними Праздниками! :)
Как бы наизнанку. Помню в в институте что то подобное было с дифурами.
Вариация произвольной постоянной, ненавидел этот способ решения, а он иногда сильно помогает.
Спасибо огромное. Порадовали
Спасибо! Все понятно и доступно.
x^2 - (x+4) = sqrt(x+4) - x слева разность квадратов
Тоже так решал
Спасибо .Классное решение .
Я Вас обожаю!
Вполне. Метод неопределённый коэффициентов формально легче но по факту возиться далеко не так просто как показанный автором в ролике. Срасибо !
Спасибо, понятно, я смотрю 2ой раз, надо запомнить этот прием
Красота
Красивое решение
Суметь бы еще догадаться решить таким способом.
Супер! Лучше чем детектив
Хорошо,красиво!
Тут главное не нарушить эту хрупкую цепочку ) супер
Не совсем понятно, пчм не записываем условие х+4>0. Оно же определяет ОДЗ: х>-4 & |х|>2. Получаем 2 интервала: х е [-4; -2] & [2; inf)
Отлично, понятно, подробнее не может быть!
Никогда не пользовалась заменой константы. Красиво, но лёгкий шок получила .
Спасибо ещё
Классное решение
тот момент, когда "способ решения был в прошлом году", а смотрел его буквально вчера :D
Получается, что такая фишка работает с любым уравнением вида x² - t = √(x + t). Действительно, если это возвести в квадрат, получится то же самое уравнение, которое получилось в обоих примерах, а тогда в исходном уравнении вместо t могло стоять любое число, что 4, что 5, да всё, что угодно! И даже 2021!
Офигенно!
Наша учительница математи нам такое показывала (старшие классы 10-11) но это была гимназия с углуюленным изучением математики
Хороший способ для этого уравнения.
Спасибо за урок!
Гораздо проще:√=y и получить систему:y=x^ 2-4,x=y^2-4.Отсюда x=y или х+у+1=0 и т.д.
1. Кому вообще это нужно?
2. Зачем это кому то вообще нужно?
3. Самое моё любимое в этих уравнениях это то, что они рассыпаются сразу как вы подставите ваши получившиеся ответы вместо "х" (хоть и не всегда)
Возьмëм левую и правую части уравнения за 1. Ответ: 1 = 1. Задача решена.
А я бы сделал тригонометрическую подстановку. Не знаю, к чему это привело бы, но от радикала бы избавило :))))
Очень крутой способ 👍
Ниче не понял, но очень интересно...
Очень интересно! Лайк и подписка!
спасибо за видео
Какой вы хитрый жук
Ахахахах
Існує ще й такий цікавий спосіб розв'язування подібних рівнянь із взаємно оберненими функціями. Прирівняємо обидві частини рівняння до у. Тоді це рівняння можна буде переписати у вигляді системи двох рівнянь: x^2=y+4, y^2=x+4. Віднявши від першого друге, будемо мати: (х-у)(х+у)=у-х. Звідси у=х або у=-х-1. І залишається підставити такі вирази для у в друге рівняння та отримати сукупність тих самих квадратних рівнянь, що і в автора блогу, не забувши зробити перевірку, чи для їхніх коренів x^2>=4.
Надіюсь, що Волков не напише мені знову, що мій коментар є злим.
Да, отличный способ, я его использовал для такого вида уравнений f(f(x))=x, здесь: ua-cam.com/video/IrAxIq1HYzE/v-deo.html
Очень круто получилось 👍
Чудово.
Даа супер способ
В правой часть уравнения обратная функция, по этому, все корни уравнения лежат на прямой у = х, Заменяем правую часть, получаем х^2 - 4 = х.
Супер!
Небольшое уточнение: в этом уравнении ОДЗ х^2>=4 и (х+4)>=0 т.е. -4
Согласен, что в одз ошибка была
Он же объяснил, почему необязательно проверять, что (x+4)>=0
Справа квадратный корень , который всегда больше либо равен 0.(с)
Ага. Щаз. √9 = 3 , что безусловно, больше 0. Но он так же равен и -3. Что является опровержением вашего допущения , приведенного мною выше в качестве цитаты.
Красиво!
Способ очень интересный, но я решил добавив и отняв X в кубе с последующим вынесением за скобки общего множителя -х^2. Получаются такие же уравнения
x^2 - (x+4) = sqrt(x+4) - x
Слева разность квадратов, сразу получаем два квадратных уравнения.
Решил методом неопределенных коэффициентов.
Понятно) Спасибо)
I believe that what you say is that we have an equation: 4^2 + 4b + c = 0 and we can use the quadratic formula: 4 = -b +- (b^2 - 4c)^0.5 .......
на самом деле не видели молодцы
Actually,you can just add x+4 on both sides,so that the equation will become:
x^2+x=(x+4)+(x+4)^(1/2)
and then assume (x+4)^(1/2)=a
and it will become x^2+x=a^2+a
and it will be much easier to solve
Хотелось бы новых заданий с пробника егэ 2021. Лайк
Красивенько
Вау, просто вау!
Решал на политехнической олимпиаде таким вот способом, но вместо четырех взял за t еденицу. Проверяющие сначала не поняли, и когда на апелляции объяснил как решал, были в восторге и поставили сразу два плюсика)
Уважаемый, Валерий Волков, если можно, сделайте, пожалуйста, как нибудь видео про формулу Кардано, просто она есть, но во многих источниках плохо объяснено как она выводится. И как это приводит к понятию комплексного числа через него.
Класс
Для меня было дикостью узнать что можно решать относительно константы.
Валерий. Мне нужно решить похожее уравнение. Я уже с ним намучался. По цене договоримся. Вопрос о дисторсии линзы камеры с двумя коэффициентами и смещением.
Красиво
Подзабыл я такой трюк
Круть
Я чуть по-другому замену сделал, но ответ тот же)
Да взять всё и поделить (с)
6:11 тих если перемножить получится большое, поэтому можно было его сразу так раскрыть или свериться
Из какой программах использовали
Почему квадратный корень числа обязательно положительный? Только подкоренное выражение Х+4 обязательно положительное.
А вы здесь видите какое-то противоречие?