NOUVELLE ÉQUATION MUSCLÉE : x(x+2)(x+4)(x+6) = 9 💪💪
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- Опубліковано 16 жов 2024
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hedacademy.fr/...
Nouvelle équation musclée à résoudre :
x(x+2)(x+4)(x+6) = 9
On revoit plusieurs notions d'algèbre au cours de la résolution en plus d'un réflexe plutôt inédit à retenir.
Lien vers la vidéo évoquée 👇
• FACTORISER au maximum ...
Hedacademy, en cette période de tension en France tes vidéos donnent le sourire, je peux te le jurer.
J’ai fais une prépa PCSI à Nantes pendant presque un an car j’adore les maths, mais surtout en fait cette façon presque artistique et très simple malgré des connaissances profondes.
Surtout sur UA-cam qui devient un réseau social plus toxique qu’avant.
Est ce que quelqu’un pourrait me conseiller un livre de maths intéressant comme ses vidéos avec pour thème principaux : la géométrie, les fonctions, les probabilités ou aussi les équations car quand elles sont bien faites et expliquées, c’est fun 😉
(PS: je pars dans le design de jeu vidéos de maths à Nice lets go!)
On aurait aussi pû poser u=x+3 pour créer une symétrie dans le produit, avoir (u-3)(u-1)(u+1)(u+3)=9, développer le tout en reconnaissant 2 identités remarquables puis factoriser par u^2, ce qui redonne u^2= 0 ou u^2-10=0, d'où x=-3, x=-3+✓10 et x=-3-✓10
C'est le propre de ce genre d'équation, c'est de trouver une symétrie du "point médian"
J'ai fait pareil
Oui on pose x=y-3 et en développant on obtient y^2×(y^2-10)=0 ce qui donne directement les solutions. Mais le -3 peut paraître téléphoné.
J'ai fait pareil, c plus élégant et plus rapide
j'ai pas compris la factorisation par u^2
Excellent! personnellement, j'ai choisi d'écrire (x²+6x+4-4)(x²+6x+4+4), ce qui permet d'effectuer un changement de variable y=x²+6x+4, et d'obtenir une identité remarquable (y-4)(y+4)=y²-16. Le résultat est bien évidemment le même... Bravo encore pour la qualité de vos vidéos !
Tu es vraiment un super prof , tu explique bien étape par étape l’ordre qu’il faut prendre , j’adore toute tes vidéo grâce à elle j’en apprend plus tous les jour en les regardent plusieurs fois.
Bravo et merci pour cette méthode.
Je n'ai pas fait comme toi : j'ai posé x=u-3 après avoir observé qu'il y avait moyen de "symetriser" le produit de 4 facteurs et d'utiliser la formule (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Cette méthode est plus rapide que la tienne mais l'énoncé demandait de résoudre l'équation mais pas de trouver la méthode la plus économe en calculs. Donc on ne peut pas te reprocher la taille de tes calculs.
Une remarque : il est facile de vérifier que les 2 solutions conjuguées sont bien solutions de l'équation. C'est un exercice difficile pour les élèves de fin de collège ou de lycée actuels mais à leur portée. Dans la formule de factorisation d'une différence de 2 carrés, "a" et "b" sont des réels donc ils peuvent négatifs,. Cela va perturber de nombreux profs et élèves. Un joli exercice qui peut être abordé dans une prochaine vidéo.
Très bien. Pour aller plus vite :
x (x + 2) (x + 4) (x + 6) = 9
x (x + 6) (x + 2) (x + 4) = 9
(x^2 + 6x) (x^2 + 6x + 8) = 9
poser y = x^2 + 6x ou y = x(x + 6)
y (y + 8) = 9
y = 1 et y = -9, solutions évidentes
x (x + 6) = -9 se vérifie pour x=-3, racine double.
x (x + 6) = 1
posons x = -3 + √k forme raisonnable d’une racine quadratique et qui permettra de supprimer les racines
(-3 + √k) (-3 + √k + 6) = 9 + k = 1 donc k = 10
x = -3 + √10
Et x = -3 - √10, l autre solution
Excellent ! Maintenant que j'ai retrouvé mon examen de BAC S 19xx ;) , J'avoue que je serais intéressé d'explorer à nouveau avec toi les nombres complexes :) ou faire des exercices des Ana Bac. Je suis sur qu'on en tirerait un bon enseignement.
Une autre approche : posons y = x + 3, l’équation devient (y^2 - 9) (y^2 - 1) = 9.
En posant u = y^2 - 10, il vient u (u + 10) = 0, donc u = 0 ou u = -10.
Et en remontant, x=-3, x=-3+✓10 et x=-3-✓10.
Merci pour vos videos !
En posant y=x+3, on a :
(y-3)(y-1)(y+1)(y+3) = 9
Deux identités remarquables, ce qui donne :
(y²-1)(y²-9) = 9
En posant z = y² - 5, on a :
(z-4)(z+4) = 9
z²-16 = 9
z² = 25
Donc z = y²-5 = 5 ou -5
Le premier cas donne y = ±√10, donc x = -3-√10 ou -3+√10
Le second cas donne y=0, donc x = -3
Exactement la même méthode de mon coté. Le temps de rédiger mon commentaire, tu m'as devancé ;)
la même perso
Plus simplement, pour introduire une symétrie
Posons y = x + 3
Soit x = y - 3
(y - 3)(y - 1)(y + 1)(y + 3) = 9
(y^2 - 1)(y^2 - 9) = 9
(-1) x (-9) = 9 Pour y = 0, x = -3
9 x 1 = 9 Pour y = ±√10, x = -3 ±√10
Dommage que je n'ai pas eu un prof comme toi au lycée, j'aurai adoré les maths! Bien expliqué, ludique, clair...
Je suis prof, et quand j'entends ces commentaires je n'y crois pas. Les eleves aujourd'hui se foutent de tout, meme des tres bons profs.
Très propre, et pas bourrin comme moi.
J'ai raisonné avec le signe du membre de gauche me permettant de trouver -3 comme solution.
Comme j'ai pas d'idée, je développe x(x+2)(x+4)(x+6) - 9 bien salement en ayant l'intuition que (-3) est une racine double.
Je le vérifie et c'est le cas, je divise le polynôme obtenu par (x+3)², je trouve x²+6x-1 et les solutions qui vont avec.
Bonjour, qu'est-ce qui vous donne l'intuition que cette racine est double ?
Merci beaucoup, grace a toi, j'arrive a resoudre tout seul tous ces types d'equations qui n'avaient pas l'air simple (qui sont maintenant faciles)
Bravo prof, être passé par l'identité remarquable et ne pas foncer sur le delta, c'est beau.
Comme le disait un de mes prof avoir un delta = 0 alors c'est que vous avez raté une identité remarquable.
Super on aura aussi posé y = 3 + x
Ce qui donne: (y^2 -1)(y^2 -9) = 9
Solution 1: y = 0 => x=-3
Solution 2: y^2 - 1 = 9 et y^2 - 9 =1 ce qui conduit à y^2 = 10 et par conséquent x = -3 +(-) ✓10
Solution intuitive plus rapide 😉
Cool l'exercice avec changement de variable intermédiaire. Il ne faut pas se perdre après. 😅
Résolution bien expliquée. 😊
Je l’ai fait en mode bourrin. J’ai tout développé et factorisé par x+3. Ensuite j’ai posé X+a=x pour faire un changement de variable. J’ai trouvé que le bon changement de variable est X-3=x afin d’annuler les termes en X^2. J’ai alors obtenu X^3 -10X=0 que j’ai résolu facilement en factorisant par X. Puis j’en ai déduit les trois solutions pour x !
En mode bourrin, si t'as observé que -3 était solution évidente et que tu as tout développé pour factoriser par (x+3) il suffisait de penser à regarder si c'était pas factorisable par (x+3)² car c'était le cas et t'aurai obtenu directement (x+3)²(x²+6x-1).
@@zakinster1 oui mais je n’y ai pas penser. Les racines multiples sont assez rares.
J'ai tout de suite vu que -3 était solution.
J'ai factorisé par (x+3). -3 était encore solution. J'ai refactorisé par (x+3), puis équation du second degré et c'était fini.
C'était pas aussi élégant que les méthodes proposées, mais ça marche :)
C'est formidable mon prof!
Vous pourrez faire plus d'exos compliqués comme ca svp?
super intéressant, merci
Magnifique !
Très bien expliqué
Tu peux me dire comment on était censé faire pour l'exercice 3 question 4 a du brevet des college en maths?
Quelle élégance❤❤❤
Pour ma part, j'ai fait le changement de variable: x=y-3
l'équation devient
(y-3)(y-3+2)(y-3+4)(y-3+6)=9
(y-3)(y-1)(y+1)(y+3)=9
J'utilise la 3ème identité remarquable avec (y-3)(y+3) et (y-1)(y+1)
(y²-9)(y²-1)=9
Nouveau changement de variable : y²=z+5
On obtient
(z+5-9)(z+5-1)=9
(z-4)(z+4)=9
z²-16=9
z²=25
z=5 ou z=-5
Maintenant on remonte
y²=z+5
y²=5+5 ou y²=-5+5
y²=10 ou y²=0
y=r(10) ou y=-r(10) ou y=0
x=y-3
x=r(10)-3 ou x=-r(10)-3 ou x=-3
Meilleure méthode en posant y=x+3
(y-3)(y-1)(y+1)(y+3)=(y^2-9)(y^2-1)=(z-9)(z-1)=9 avec z=y^2
z^2-10z+9=9 soit z(z-10)=0
Donc
1/ z=0 , y= 0 , x=-3
2/ z=10, y=racine(10), x=racine(10)-3
x=a-3 a=x+3
(a-3)(a-1)(a+1)(a+3) = 9
(a^2 -9)(a^2 -1) = 9
a^2 -5 =b a^2 = b+5
(b-4)(b+4) =9
b^2 -16=9
b^2 =25
b= 5 ou b= -5
a^2 =10 ou a^2 = 0
a=√10 ou a = -√10 ou a=0
x= -3-√10 ou x= -3-√10 ou x= -3
Pour ma part, comme ça n'était pas indiqué, j'ai choisi de le résoudre dans Z plutôt que dans R. Suggestion: je pense qu'il faudrait indiquer "dans R" dans l'énoncé.
Du coup ma résolution de tête: pour arriver à 9 il fallait faire 1x1x1x9 ou 1x1x3x3 (ou avec un nombre pair de nombres négatifs). J'ai rapidement vu qu'avec x = -3 j'arrivais à -3 . -1 . 1 . 3 = 9.
Si on pose y=x+3 au début, on obtient (y^2-1)(y^2-9)=9 soit y^4-10y^2=0 cad y^2(y^2-10)=0 avec les mêmes solutions...
M ouais
Oui, c’est beaucoup plus simple
Superbe !!
Le principe de ces équations est de faire un changement de variable facilitant le développement du produit de facteurs par utilisation d'identités remarquables
Merci beaucoup professeur ❤
En developpant par a2 - b2 avec a = x+3 dans les deux cas, ensuite on développe et on a une equation du second degré avec X=x+3, même qu’en fait il n’y a pas de terme constant donc c’est extrêmement rapide à résoudre
Pour la résolution des equations du second degré ax^2+bx+c=0, je suis étonné que personne n'utilise la méthode plus simple lorsque b est un entier pair (ici b=6), et encore plus lorsque a=1.
ax^2+2b'x+c=0
delta' = b'^2 - ac
x = (-b' +- racine(delta')) / a
Si a=1, x = - b' +- racine(delta') et c'est tout
Et donc pour x^2 + 6x + c = 0 :
b' = 3
delta' = 9 - c
x = - 3 +- racine(9 - c)
Bien meilleure méthode que moi 😅😅 j'ai été un gros bourrin, j'ai tout développé puis trouvé -3 en solution évidente pour tout factoriser (avec le 9 du membre de gauche) et puis j'ai trouvé la solution évidente de l'équation de degré 3 qui sortait, j'ai factorisé, fait ∆ pour l'équation du second degré et hop, même résultat mais bien plus dur ...
Je reste sans voix devant cette logique sans faille 😢🎉❤ merci
c'est un culturiste des maths, c'est donc normal. 🙂
@@Photoss73 entièrement d'accord avec vous, mais j'ai le respect dû à un maître culturel 😉
@@patrickgibert7070 il essaie de nous entraîner pour arriver à son niveau mais y a un boulot fou ! 🙂
C'est ça, l'art du maître, apprendre à nous dépasser ❤🎉
Le maître culturel n'est pas sans signification 🎉 singularité dans l'enseignement
u²+8u-9=0
On peut utiliser l'identité remarquable (a+b)²;
u²+8u-9=0
(u²+2×4×u+16)-9-16=0
(u+4)-25=0
(u+4-5)=0 ou (u+4+5)=0
u-1=0 ou u+9=0
u=1 ou u=-9
Bien joué le changement de variable
Ah les équations musclées comme on les aime
J'avais trouvé de tête en 2 minutes X= -3 , je n'ai pas cherché a savoir s'il y avait d'autres solutions 🙂 . Bon il est vrai que j'ai de l'expérience ! Aujourd'hui cela fait très exactement 18 262 jours que j'ai obtenu mon BAC (avec 6/20 en maths). Hé oui, le temps passe, je suis à BAC + 50 🙃
Aussi pour faire 9 un 3x3 ferait l'affaire, avec un 1x1 à côté.
Au vu de l'équation, on voit que c'est dispo au signe près, -3x3 et -1x1.
Donc x = -3 est racine évidente.
Fort bien Maître !!!
c'est un exercice posé ..;donc on se doute qu'il y a une première solution évidente : 9 est le carré de 3 si on cherche un entier , pas de facteur pair donc un nombre ipair négatif :-3 cqfd .
Ouais tu es fort😊🎉
Y(y+8)=9 y peut prendre aussi la valeur 1 il faut résoudre l'équation selon y=1
Procédons par deux changements de variable.
la moyenne ou médiane de 0,2,4,6 est 3.
Donc on pose y=x+3
x = y - 3
x + 2 = y - 1
x + 4 = y + 1
x + 6 = y + 3
Donc
(y-3)(y-1)(y+1)(y+3) = 9
(y-3)(y+3) et (y-1)(y+1) =9
(y^2 - 9)(y^2 - 1) = 9
Posons maintenant z = y^2.
(z - 9)(z - 1) = 9
z^2 - 10z + 9 = 9
z^2 - 10z = 0
z(z - 10) = 0
Donc z = 0 ou z = 10
Revenons à notre variable initiale y puis x :
A) Si z = 0, alors y^2 = 0, donc y = 0.
Soit y = x + 3=0 donc x = -3.
B) Si z = 10, alors y^2 = 10, donc y = sqrt(10) ou y = -sqrt(10).
- Si y = sqrt(10), alors x = -3 + sqrt(10)
- Si y = -sqrt(10), alors x = -3 -sqrt(10)
Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on détruit cette petite chose insignifiante.
On pose y=x+3 pour exploiter la symétrie. L'équation devient :
(y-3)(y-1)(y+1)(y+3)=9
Bien sûr, (y-1)(y+1)=y²-1 et (y-3)(y+3)=y²-9
On a donc (y²-1)(y²-9)=9
On refait la même chose en posant : z=y²-5
On a : (z+4)(z-4)=9 donc z²-16=9 donc z²=25
z peut valoir 5 ou -5, ce qui veut dire que y² vaut 0 ou 10, donc que y vaut 0, rac(10) ou -rac(10).
Donc x vaut -3, rac(10)-3 ou -rac(10)-3.
Voilà, on a fini et on peut regarder le monsieur galérer avec ses déterminants de leurs morts.
Merci mais tu parles beaucoup trop vite
Cool mec!!!😀😀😀😀
euh peux t on reprendre a 1+1 s il vous plait ?
En réalité l'équation admet bien 4 solutions, une équation avec la puissance n admet toujours n solutions dans les complexes, seulement une solution peut très bien être double, triple, quadruple, ntuple. Si l'on additionne "la puissance de chaque solution" on retombe sur la puissance n.
Vous pouvez le vérifier ici avec 1+1+2(car il y a un carré donc la racine est double)=4.
Cela n'est pas très important mais il faut savoir cela afin de ne jamais oublier de solution, car à haut niveau si vous oubliez UNE solution unique vous avez dans le meilleur des cas pas tout les points et dans le pire des cas aucun points. Les sujets à haut niveau n'étant pas fait pour des êtres humain normalement constitué pour être fait dans le temps imparti chaque seconde que vous mettez à répondre vaut des points.
J'ai pris y = x² + 6x + 4, 4 étant le 'milieu' de +0 et +8. => (y - 4)(y + 4) = 9. Tous les chemins mènent à Rome.
Bravo
trop fort :)
Quel beau cadeau 🎁 tu nous fait ....😂🎂
Pour l'équation en y, je suis passé par le discriminant, car j'avais oublié de multiplier le 4 par 2 au début, mais comme j'avais commencé à calculer le discrimant au moment de corriger mon erreur, je n'ai pas pensé à cette histoire de somme des coefficient. Ceci-dit, comme ce fameux discriminant vaut 100, les calculs sont simples derrière.
Et je n'ai pas pensé non plus à simplifier les solutions ensuite
j'avais trouvé -3 en "racine évidente" en cherchant à ce que mes produits il n'y ait que des 1 et des 3 (+ ou -) pour que le produit fasse 9. Identification à l'américaine, en somme.
Personnellement j'ai vu directement que -3 était solution donc j'ai fait la méthode bourrin en développant et en factorisant, et j'ai remarqué qu'on pouvait encore une fois factoriser par (x+3), donc il ne restait plus qu'une équation du second degré...
Une méthode rapide mais j'ai eu de la chance que ça marche 😅
J'ai réussi ! 🙂
-3 est une solution évidente donc en factorisant x(x+2)(x+4)(x+6)-9 par (x+3), on obtient une équation polynomiale d'ordre 3 qui se résout avec la méthode usuelle.
Autre métode :
Y=x+3
(Y-3)(Y-1)(Y+1)(Y+3) = (Y² - 1)(Y² - 9)
U=Y²
(U-9)(U-1) = U² - 10U + 9 = 9
U(U - 10) = 0 -> U=10 = Y² -> Y=RAC(10) = X + 3
X = RAC(10) - 3
Pas de calcul de delta nécessaire.
Je pense que le changement de variable y=x+3 dès le départ est plus efficace.
Enfin, je vois votre sourire contagieux et votre tête de génie 😅😂😁❤🇩🇿🇵🇸
Comment on enleve le défilement des commentaires sur android.
..?
Ah... J'ai eu le bon réflexe en voulant faire 2 équipes par contre j'ai pas réfléchi en choisissant lesquelles. J'ai pris x(x+2) et (x+4)(x+6).
En faisant comme ça j'ai n'ai trouvé qu'une seule des 3 solutions.
My bad !
comme d’habitude il manque l’ensemble de définition qui transforme toute égalité en équation
Bonsoir,
Je vais essayer malgre mes 56 ans et des poussieres. Memes les vieux se remettent a niveau . LOL Je suis nold soit never old.
J'ai testé au pif x= 1 (trop grand) x=-1 non et x=-3 oui !
Je suis tombé sur -3 de tête, et je ne sais pas comment 🙂 !
On aura les mêmes résultats quand y(y-8)=9
Math Hunter a sorti exactement la même équation dans la nuit lol
On a un peu tous les mêmes sources, surtout avec les nombres pour que les calculs tombent justes 😉
@@hedacademy ouais pas de problème, mais je trouve la coïncidence rigolote
@@reguedebulle les grands esprits se rencontrent, dit-on. Reste à calculer la probabilité pour que deux youtubeurs parlent du même sujet à 5, 10, 30, 60 minutes d'écart. 🙂
-3 c evident
-3 est evidente mais malheureusement pas unique😢
La petite coquillette de rien du tout @7:09 -2sqrt(10) sur 10 ( ou alors mon son est pourri? )
Comme d'autres commentaires le soulignent, la solution est longue et pas élégante du tout. C'est un exo classique d'entrainement pour les olympiades de maths. Il fallait poser x=y-3, la solution était alors donnée en 2 étapes seulement
Vous avez l'air aigri.
@@azkha4806 Je vous invite à éviter les attaques ad hominem et plutôt à comparer l'efficacité des deux méthodes
Et pourquoi poser y=x-3 en premier lieu ?
@@cedriclucas5997 c'est la moyenne des termes indépendants des polynomes du premier degré, facteurs du produit. En pratique, vous avez (0+2+4+6)/4=3, avec 4 le nombre de facteurs du produit. Vous cherchez par translation, une sorte de barycentre pour l'ensemble de vos facteurs (c'est de l'intuition, rien de formel, peut-être que quelqu'un d'autre connait un théorème qui corrobore cette idée)
@@rossiloic7028 hmm, intéressant ! Et mathématiquement, c'est ce qui va faire que les termes en x¹ vont s'annuler, donc on aura du x²=c donc x=±sqrt(c) ! 🤔👍
cerveau overheat ...
x (x + 2) (x + 4) (x + 6) = 9
x + 2 = y
(y - 2) (y) (y + 2) (y + 4) = 9
(y - 2) (y + 2) (y) (y + 4) = 9
(y^2 - 4)(y^2 + 4y) = 9
y^4 + 4y^3 - 4y^2 - 16y - 9 = 0
(y + 1) (y^3 + 3y^2 - 7y - 9) = 0
(y + 1) (y + 1) (y^2 + 2y - 9) = 0
y = -1, -1 +/- ✓10
x = y - 2 = -3, -3 +/- ✓10
À Quoi ça sert?
Strictement à rien
Utile pour muscler le cerveau, chercher une tactique pour ne pas se noyer dans une équation du 4ème degré.
C'est censé servir à quoi, les exercices de maths ?