21²³ VS 20²⁴. Qui est le plus grand ? 💪💪
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- Опубліковано 15 кві 2024
- La comparaison la plus difficile jamais traitée sur la chaîne.
On doit déterminer le plus grand nombre entre 21²³ et 20²⁴. Une démonstration musclée comme on les aime... enfin j'espère.
Lien vers la vidéo évoquée 👇
• L'histoire magique du ...
Oooouuuuh.... Le déroulement de l'explication fût laborieuse aujourd'hui 😅😅😅. Mais j'adore tjrs autant regarder les démonstrations... ça me permet de rester à la page pour aider mon fils en cas de besoin et rexpliquer proprement les leçons de maths... 😂
On passe au log pour travailler avec des nombres raisonnables... même pas besoin de machine à calculer, une table logarithmique suffit
Gg pour l'explication, franchement je ne pensais pas que la démo allait genre très loin dans le délire des découpages, choses qui est malin. C'est ça que j'adore avec les maths, on essaye des techniques, puis cela ne fonctionnent pas. Ensuite, vient la démonstration et là, waouh, incroyable, un peu comme la fin d'un film que tu ne t'attendais pas.
J'ai bien aimé votre démonstration même si, pour ma part, je loue les vertus des logarithmes qui en 3 lignes (sans calculatrice car ma table de logarithmes est un PDF) permet de trouver la réponse:
log₂₀(21) = 1,016286
=> 21²³ = (20^1,016286)²³ = 20^23,3745
constat: 20^23,3745 < 20²⁴
----------------------
| 21²³ < 20²⁴ |
----------------------
🙂 et encore BRAVOS pour toutes vos passionnantes vidéos !!!
Merci beaucoup mon professeur
J'aurais jamais pensé à cette méthode, je me garde ça en tête !
bonjour merci pour ce rappel :)
Avez-vous prévu de faire une vidéo qui liste toutes les données à connaître par cœur pour les test de math logique (par exemple : les carrés jusqu'à 20 les cubes jusqu'à 11, les tables de multiplication jusqu'à 20 etc...
Salut Iman !
Tu as cassé ta caméra ? C'est quoi cette résolution max. 360p ? 😁
c'est le stagiaire
J'ai aussi remarqué je pensais que c'était moi le problème
c'est plus écologique, pas besoin de stocker des gigas de data quand 90pct des gens regardent sur un écran de 7 pouces - à l'extrême le seul intéret du 8K c'est de pouvoir fortement recadrer les plans sans perte de qualité dans le format final ;-)
c'est juste que youtube ne peut pas compresser touts les formats en meme temps, donc le 360p est toujours disponible plus tot c'est comme ca sur toutes les vidéos
@@fiaadmin92 La HD, c'est pas de la 8K, c'est de la 2K.
Faudrait pas oublier de conclure en fait. Car, du coup, lequel est le plus petit ?...😊Faudrait le dire. Ça embrouille un peu tout ça.🤪
Exact..Si cela avait été la première vidéo de Hedacademy que j'aurais vu, je ne me serais pas abonné, car pour le coup c est assez pompeux ..Je la regarderai à nouveau
à l'étape (1+1/20)^3, on pouvait simplement dire que c'est plus petit que 3 puisque la puissance était inférieure à la puissance 20. Or 3*3/20 = 9/20 donc < 1
Juste le binôme de Newton et on aurait la valeur exacte
Pourquoi ne pas prendre 3 en comparaison pour (1+1/20)^3 ?
La fonction (1+1/20)^n est croissante
(1+1/20)^20 < 3
donc (1+1/20)^3 < 3
donc (je note A l'expression que tu donne)
A < 3*3*1/20
A < 9/20
A < 20/20
Le numérateur est plus petit que le dénominateur
20^24 > 21^23
Ah oui c’est mieux 😅
Je me suis dit la même chose, je voyais revenir l'exponentielle une 2e fois ^^
Comme on est /20 on a un max de marge pour le numérateur
Plus simple, on utilise une inégalité de concavité du ln.
Pour tout x dans R+*, ln(1+x)
@@Kirei.na-hana Intéressante et rapide oui, simple... non.
C'est quoi une inégalité de concavité ?
C'est une vraie question, perso, je ne sais pas ce que c'est, d'où le fait que je tique sur le plus simple, mais je suis curieux, donc je demande :P
@@julientripon1092 alors je te passe la définition de terminale.
Toute fonction réelle 2 fois dérivable est dite convexe si et seulement si sa dérivé seconde (la fonction dérivé de sa fonction dérivé) est strict négative.
Ça a pour proriété que pour tout point de l'intervalle où la fonction est concave d'être inférieur à sa tangeante dans l'intervalle (c'est très important, en dehors de celui où elle est concave, la fonction fait ce qu'elle veut)
PS : la "vraie" définition, en tout cas celle en début d'étude sup, c'est que la fonction est au dessus de toutes les cordes dans l'intervalle.
ie notons I l'intervalle où f est concave et t un réel dans [0,1]
Alors, pour tout x,y dans I, et pour tout t dans [0,1],
f(tx+(1-t)y) >= tf(x)+(1-t)f(y)
Dans cette définition on a pas besoin de la double dérivibilité, et on peut alors affirmer que |.| est bien convexe (c'est la même chose que concave, tu changes juste toutes les inégalités)
En utilisant la règle des 70 (ou 72), on obtient que 1.05^14 vaut environ 2. Comme 23 < 14 * 2, on a 1.05^23 < 2 * 2. Si on utilise 4, ça nous donne la fraction 4/20 = 1/5 donc 21^23 < 20^24.
Joli !
Vous pouvez faire des vidéos sur les fractions rationnelles
J'ai fait avec la fonction log népérien. Assez rassurant, j'obtiens le même résultat 😅
stp fait une vidéo sur la tétration
Celui qui a une puissance en plus est bien plus grand. 🙂
Avec les logarithmes, on peut aussi comparer Ln(21^23) et Ln(20^24). Ln(x) étant une fonction strictement croissante pour x>0, c'est possible de comparer deux nombres positifs. Ln(21^23)=23*Ln(21) et Ln(20^24)=24*Ln(20). En les comparant, est-ce que 23*Ln(21) < 24*Ln(20) Ln(21)/Ln(20) < 24/23? Une calculatrice permet de vérifier que c'est vrai - Ln(21)/Ln(20) est bien inférieur à 24/23, donc 21^23 < 20^24.
Le but, c'est de le faire avec le cerveau, pas avec une calculatrice.
Belle video! Grace à cette dernière, j’en suis arrivé au raisonnement qui suit ! Pour deux nombres À et B consécutif (A>B ) le plus grand demeure celui à la plus grande puissance! J’ai fais l’expérience de 1 et 2 jusqu’à 27 et 28
C'est vrai jusqu'à un certain point..
3² VS 2³
C'est ici "3²" qui est plus grand
Je me suis toujours posé une question j’espère vous pourrais y répondre la voici:
Admettons que à la fin de l’univers le temps ne s’écoule pas de la même manière et donc 1 jour à la fin de l’univers correspond à 1000 ans sur Terre la question que je me pose c’est peut on savoir la distance de la Terre à l’autre bout de l’univers et aussi est ce que on peut convertir temps de sorte que on arrive à avoir une horloge de 24 h mais pour la fin de l’univers parce que si 1jours c’est équivalent à 1000 sur Terre alors 1minutes sa ne vaut plus 60 seconde terrestre je sais pas si j’ai étais assez claire
Tres malin. Une autre idee a partir de 10:00 pour conclure plus vite: en utilisant le meme argument que (1+1/20)^20 est < 3, on a (1+1/20)^3 < 3 (parce que le cube est plus petit que la puissance 20!). Ce qui donne [(1+1/20)^20]*[(1+1/20)^3] < 3*3. D'ou (21/20)^23 * 1/20 < 9/20. C'est moins precis que 4/20, mais ca donne la solution. Mais je ne l'aurais pas trouvee sans regarder cette video!
super idée !
C'est moche en 360p, rendez-nous la HD ! 😩
N'importe quoi tant qu'on comprend
Je m'en fou.
On peut étudier la fonction f(x)=(21-x)^(23+x) sur [0;1]. Elle croît donc f(0)
Cela découle de l'inégalité des moyennes géométrique
Résolution par encadrement. Il fallait y penser. 👌
Salut Mr.
Je voulais vous demandez si vous pouviez m'expliquer la somme télescopique s'il vous plaît 🙂🙏
Si vous connaissez votre binôme de newton, vous pouvez retrouver les premières puissance de 11 facilement jusqu'à 11⁴:
-11⁰=1
-11¹=11
-11²=121
-11³=1331
-11⁴=14641
(Au delà ca marche mais faut considérer les retenues car les nombres dans le binôme de Newton on 2 chiffres ou plus ex : 11⁵=161051 car le binôme de Newton est 1 5 10 10 5 1 sur cette ligne). De rien pour l'astuce 😅
Oui j’aime beaucoup cette technique d’ailleurs. Je l’ai traitée dans une courte vidéo, je pensais à en refaire une plus complète 😉
Et pourquoi cette remarque ? Où appliquer cette règle ?
@@armand4226 Pour le 11^3 qu'il calcule dans la vidéo
@@Fyoken Ahhhhh, ok, merci l'ami. 👍
Tout comme pour vérifier que n**(n+1) > (n+1)**n, il suffit d'étudier le comportement de ln(x) / x, pour vérifier que n**(n+4) > (n+1)**(n+3), il suffit d'étudier ln(x) / (x+3). Dans les deux cas, on trouve que pour x suffisamment grand, la fonction est strictement décroissante. Le signe de la dérivée de la deuxième fonction est le même que 1 + 3/x - ln(x). Si x = 20 , ln(x) > 2 et le signe est négatif.
Il est possible que vous vouliez éviter l'utilisation de la dérivée.
a 0:28 ,oups le plus grand c'est celui qui est a gauche..vraiment faut que je revise !!
c'est parce que dans son sens à lui le plus grand est à gauche
@@user-hm2pl3yp5j bah on parle jamais comme ca quand on est au tableau
@@patrickgueguin792 🤷♂️
A un moment donné (quand tu introduit la limite de 1+1/n ..) tu présupposes le résultat, à savoir que le quotient soit < 1, puisque tu commences à majorer tous les termes..
8:55 j’aurai fait pareil avec (1-1/3) puissance 3 qui est inférieur à 3. Donc on a 3x3x1/20=9/20
Intuitivement, on se doute bien que 1.05^23 va pas faire un nombre énorme, vu la proximité de 1.05 avec 1. Je pense qu'on pouvait creuser de ce côté, surtout que en pratique 1.05^23 vaut environ 3.07 donc 1.05^23/20 est largement inférieur à 1 !
J'ai fait mon gros bourrin. J'ai développé (20+1)^23 avec le triangle de pascal. Pour chaque exposant de 20, j'ai majoré la division par 20 du coefficient du degré n pour l'additioner à celui de n+1. Comme le résultat final ne fait pas apparaître de 20^24, c'est inférieur
Pareil, sauf que je n'ai pas tout développé: juste les premiers termes. Les coef binomiaux vont augmenter jusqu'au "milieu", à savoir (23 11) -onze parmis 23- après c'est symétrique, soit coef max: 1352078.
Or on peut dire que
20^24= 20x20^23
= 20^23+19x20^23
= 20^23 + 380x20^22
= 20^23+23x20^22+7140x20^21
Et on continue ainsi jusqu'à :
= 20^23+23x20^22+253x20^21+ 1771x20^20+8855x20^19+1879300x20^18.
On voit avec cette décomposition que les coefs des puissances de 20 successives ne font qu'augmenter, et on a déjà atteint un nombre supérieur au plus grand coef binomial que l'on obtiendrait dans le développement de (20+1)^23.
Donc 20^24 > 21^23.
Pour une fois (malheureusement) j'ai été perdu car au final j'ai pas suivi lequel était plus grand?
Au final A sur B est plus petit que 1 donc B est plus grand ,20^24 gagne
Heureusement que tu expliques vers 10:37 pourquoi tu prends 1/10, sinon j'aurai posé la question : pourquoi cette valeur ? Pourquoi pas 1/3 ou 4/5 ....
Mais tu es un bon prof et tu as anticipé la question...😂👍
A partir de 8:37, pour aller plus vite pour majorer (1+1/20)^3, on aurait pas juste pu dire que (1+1/20)^3 < (1+1/20)^20 qu'on avait majoré a 3 donc le tout majoré a 3*3*1/20 qui reste < 1 ?
Vos "lui" et "qui" pour nommer des nombres m'exasperent.
On peut pas utiliser la calculette pour les trop grosses puissances, mais dés que l'on arrive à un résultat calculable, c'est bien la peine de se casser la tête.
perso j'aurai simplifié (11/10)^3 par (5/4)^3 qui était plus facile et inférieur à 2 :)...
du coup on aurait à la fin (3*2/20)
J'ai un problème, je ne sais pas que la fonction (1+1/x)^x est croissante.
11:35 l'echec de type de fou, faut mettre inférieur ou égal chef
Bon, ce soir après l'apéro, j'arrive pas...Demain je reviens.......Quelle espèce de bourreau tu fais🤣
C’est vrai que celle là … 😅
Preuve que (1+1/n)^n est une suite croissante ?
Oui effectivement c'est pas très cohérent, dans les premières minutes il explique en longueur des notions d'une extrême simplicité.
En pleine démonstration il commence à utiliser des propriétés beaucoup moins évidentes sur lesquelles il passe très rapidement. Je ne pense pas que quelqu'un qui ignore que a
Bref, qui est grand et qui est petit🌚
pourquoi la video est en 360p ?
Je sais pas, en plus j’étais content du résultat mais avec cette qualité… 😢
Bo.soir jai une question. Calculez la somme suivante
1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+....(m/2^m) repondez moi jen ai besoin rapidement . Merci
Bon j'ai piffé et j'ai procédé avec des comparaisons très grossières (heureusement qu'il y a de l'écart entre les 2 nombres) mais je crois que mon raisonnement tient:
j'ai minoré 20^24 en posant que 2^10 > 10^3
20^24 = 2^24 × 10^24 = 2^10 × 2^10 × 2^4 × 10^24 donc supérieur à 10^3 × 10^3 × 2^4 ×10^24 soit 16 × 10^30
Puis j'ai majoré 21^23 en posant que 3² < 10 donc 3^22 < 10^11 et que 7² < 0,5×10² donc 7^22 < (0,5 × 10² )^11
21^23 = 3^22 × 3 × 7 × 7^22 = 3^22 × 21 × 7^22 < 10^11 × 21 × (0,5 × 10² )^11
Or (0,5 × 10² )^11 = 0,5^11 × 10^22 = 0,5 × 0,5^10 × 10^22
J'ai majoré (encore) 0,5^10 par 10^ -3 et le 0,5 qui reste je l'ai multiplié avec le 21 ce qui donne comme majorant:
10^11 × 10^ -3 × 21 × 0,5 × 10^22 = 10,5 × 10^30.
Donc Finalement on a 21^23 < 10,5 × 10^30 et 20^24 > 16 × 10^30 donc c'est 20^24 le plus grand.
Avant de voir la vidéo j'aurai mis 20^24 l exposant fait la différence 😅
Moi je trouvais évident que 24xLn20 > 23Ln21 vu ma connaissance géométrique de la fonction LN
Bonsoir, entre plus l'infini au carré et factoriel de plus l'infini qui est plus grand
La tournure de ta question est ambiguë, l'infini au carré, c'est toujours l'infini. Ceci-dit on peut comparer les cardinaux des ensembles pour des fonctions n² et n!, n! croît plus fort à partir de 4
Dommage c'est écrit trop petit pour moi.
Moi j'ai mouillé mon doigt et j'ai trouvé la réponse.
Il y'avait plus simple.
Le plus grand est 20 puissance 24. Il y a une puissance en plus
8/17 9/17 le plus grand c'est celui qui est à l'autre gauche 😂
C'est pour les universitaires ❤ je me barre😢
C'est accessible à un élève de première ou terminale spé maths.
😊
me faite pas jurer il est marocain lui
C'est une vidéo tournée en 2008 ?
Au debut tu dis que le plus grand est à gauche alors qu'il est à droite mais surtout tu donnes pas la réponse à l'exercice!!
C’est pas faux.. mais j’ai tellement répété la stratégie au fur et à mesure que j’en ai oublié de conclure comme il se devait 😅
Vidéo un peu à l'arrache 😅 (pas de conclusion, 360p...)
21/20=1.05
or 1.05^23 < 20
dc 20^23 is better
21^23 > ou < 20^24 ?
21^23
= 21^20 * 21^3
= 21^20 * 21^3
= 21^20 * 21² * 21
= 21^20 * 441 * 21
= 21^20 * 9261
441
* 21
-------
441
+ 8820
-------
9261
20^24
= 20^20 * 20^4
= 20^20 * 400²
= 20^20 * 160_000
21^20 * 9261 < 21^20 * 10_000
20^20 * 160_000 = 20^20 * 16 * 10_000
On va donc chercher à comparer 21^20 à 20^20 * 16
21^20 / 20^20 * 16
= (21/20)^20 * 1/16
= (1+1/20)^20 * 1/16
< 3/16
< 1
Donc 20^20 * 16 > 21^20
=> 20^20 * 16 * 10_000 > 21^20 * 10_000
Or 21^20 * 10_000 > 21^23, d'où
20^20 * 16 * 10_000 > 21^23
Or 20^24 = 20^20 * 16 * 10_000
D'où finalement 20^24 > 21^23.
Fractionner une démonstration mathématiques par des pubs, c est du brainstorming garantie , horrible
python
21**24 - 20**24
37330982377272584130510593262881
21
21²³ = 20 ^ (23 * ln(21)/ln(20)) .
Donc on compare 23 * ln(21)/ln(20) et vingt-quatre.
On compare donc ln(21)/ln(20) à 24/23 . Il s'avère que 24/23 est légèrement plus grand.
Donc 24 > 23 * ln(21)/ln(20) .
Donc 20²⁴ > 21²³ .
Je pose A=21²³/20²⁴
ln(A)=23*ln[20*(1+1/20)]-24*ln(20)
en utilisant que ln(1+x)#x pour x voisin de 0 il vient
ln(A)#23/20 - ln(20)
or 23/20 = 1.15 et ln(20)>2 (car 20>e²) => ln(A)