Uni Mathe - Grenzwert einer Folge mit Wurzel
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- Опубліковано 17 тра 2024
- Grenzwerte von Folgen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Grenzwert einer Folge berechnen kann. Wir erweitern die Wurzel mit der 3. Binomischen Formel, um die Grenzwertbetrachtung zu machen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Grenzwert Folge
0:30 Grenzwert für n gegen unendlich
2:06 Klammer auflösen
2:50 Erweitern
6:32 Ausklammern
10:29 Grenzwert berechnen
11:37 Bis zum nächsten Video :)
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Dachte zuerst, dass √(n+1) − √(n) für n→∞ gegen 0 geht, weil +1 zunehmend weniger zum Ergebnis beiträgt. Dann wäre es ganz egal, womit der Ausdruck noch multipliziert wird. Die ganze Folge müsste doch dann den Grenzwert 0 haben.
Aber du sagst ja, dass wegen der Unendlichkeit "alles mögliche" als Grenzwert rauskommen kann.
*Frage:* Gibt es eine Regel, mit der man feststellen kann, ob so eine Überlegung wie meine zum Grenzwert korrekt ist oder nicht? Muss man z.B. _zwingend_ erst so vereinfachen bzw. umformen, dass *n* nur noch einmal vorkommt?
LG
Ich brauche Ihre Hilfe,da ich morgen eine Klassenarbeit schreibe. Haben Sie ein Video zum Thema: Dezimalzahlen bei Größen und Gewichte(auch addieren und subtrahieren). Bittteeeee. Es ist ein NOTFALL!!! 😢😢😢😢😢
Ich finde es super, dass auch Uni Mathe mit dabei ist! Gerne öfter :) Ich habe zwar beruflich nichts mit Mathe zu tun, finde es aber trotzdem spannend.
Bitte mehr Uni Mathe!
Uni Mathe?^^ Da muss ich dich leider enttäuschen^^ Das musst du selbst für die fachgebundene Hochschulreife können^^
@@sunsnacks Willst Du damit sagen, dass Susanne einen falschen Titel für dieses Video gewählt hat?
@@MattMorgasmo Naja es kommt eben auch in der Uni vor, aber dann wäre sogesehn auch 1+1 Unistoff :D Was ich damit sagen wollte ist das es eben eigentlich auch bereits vor der Uni relevant ist.
Uni Inhalte sind immer gut 👍
Vielen Dank, du rettest mir meine nächste Matheklausur
OK, darauf wäre ich nicht gekommen. Das ist echt genial!
Bei manchen Aufgaben muss man echt herumprobieren...da gibt es nicht immer ein Rezept, das zum Erfolg führt. Finde ich richtig interessant bei Integralrechnung, das Bestimmen einer Stammfunktion klappt dann oft nur wenn man geschickt substituiert, erweitert und/oder partiell integriert
Super erklärt - vielen Dank! ❤
Deine Videos zu dem Thema haben mir wirklich meinen Allerwertesten gerettet bei meiner letzten Klausur. Vielen Dank für deine Videos :D
Sehr gut erklärt. Danke.
Ja!! Bitte mehr von solchen Aufgaben! xD
Ich hab es nur bis zum Abitur '86 mit GK Mathe im Abi mit 2+ gebracht. Zuerst verwirrend, aber du hast den Knoten sehr elegant auseinander gefädelt! Auf diesem Niveau kapiert man mehr und schneller als noch zu anderen Zeiten. Tolles Video!
Wenn ich mir diese Videos anschaue... dann ist es eigentlich immer zu wissen wie man Terme umstellt. Ich fürchte das muss ich wieder erlernen :o
Wow, hätte ich nicht gedacht, sehr schön erklärt!!!!
Top. Vielen Dank
Ein super Video. Bitte mehr davon.😍
Top erklärt 👍🙋
Sehr schön!
Danke für deine ganzen Videos zu Uni-Mathe. Ich habe heute das Ergebnis meiner Klausur bekommen und mit 1,7 bestanden. Ohne deine Videos parallel zur VL zu Folgen, vollst. Induktion usw… hätte das sicherlich nicht funktioniert. Vielen Dank! Alles Liebe dir! ❤ und mach weiter so!
Sehr schön! Endlich mal was gelernt. Und echt nachvollziehbar erklärt. Das hätte ich nicht lösen können, im Gegensatz zu der großen Mehrzahl der Aufgaben auf diesem Kanal.
Perfekt, ich schreibe in 2 Tagen eine Klausur über das Thema
Die Herleitung ist absolut spitze und hat mir sehr gefallen. Als ich dann konkrete Zahlen einsetzte, da war ich überrascht, wie schnell der Ausdruck gegen 0,5 konvergiert.
Ich schwör, diese Aufgabe hatte ich vor über 20 Jahren in meiner Mathe-Prüfung auf der FH 🙂
Habe gerade einen schlimmen Flashback :-)
Dass eine so interessant aufgebaute Frage ein wenig herumstreift, war doch klar. Das scheint ja geradezu ein Klassiker zu sein.
Diese Aufgabe wurde zumindest nicht von einer KI ersonnen.
Stark!
Ich hatte immer so meine Probleme, aus unbestimmten Ausdrücken über Umformung eine Nullfolge zu erreichen. Bitte mehr davon, u.a. auch mithilfe der Regel von l'Hôspital und die allgemeinen Grenzwertsätze.
Genau so habe ich diese Aufgabe gelöst, also mit l'Hôspital. Bei dem Ausdruck aus Minute 4:00 habe ich das n ausgeklammert. Dann hat man stehen n*(.....) Dieses "(.....)" ist schon mal eine Nullfolge. aus dem "*n" bekommt man auch eine Nullfolge indem man es schreibt als "*1/(1/n). Jetzt hat man auch im Nenner eine Nullfolge und kann l'Hôspital anwenden. Dann braucht man nur noch stur rechnen und man bekommt als Endergebnis auch 1/2.
Klasse!
Ich war eigentlich immer ein Mathe-Crack, aber dafür hätte ich wahrscheinlich Stunden gebraucht!
Super, sagenhaft. Auf diese Umformungen muss man erst mal kommen. Ich glaube, ich muss noch viel lernen und viel üben.
Hab nur leider nicht immer Zeit, obwohl ich voll "Bock" hätte...
Nach dem ersten Nachdenken hätte ich schwören können, dass der Grenzwert, sofern man dies als Grenzwert bezeichnen kann, unendlich sein müsse. Klar, Wurzel aus n geht gegen unendlich, der zweite Faktor in der Klammer bleibt immer größer als 1, also müsste das Produkt auch gegen Unendlich streben.
Fazit (für mich): Setzen, sechs! Und das, obwohl mein Abi erst 53 Jahre her ist…
Hättest Du beiläufig erwähnt, dass der Faktor in der Klammer INSGESAMT immer kleiner wird, wäre ich womöglich schon früher auf den Trichter gekommen, dass es evtl. tatsächlich einen „echten“ Grenzwert irgendwo zwischen 0 und unendlich geben könne.
Für mich sind diejenigen Mathe Aufgaben am schönsten, in denen ich komplett falsch liege!
Danke für die gelegentliche Erdung!
💯
Ich kapiere das Grundsystem doch schon nich...aber es klingt soo wahnsinnig, was mich abholt.
Eine gute elementare Methode ! Es ist auch möglich die Regel von de l'Hopital anzuwenden , wenn man den ganzen Ausdruck umschreibt.
Ich hatte auch irgendwie gleich an L'Hospital gedacht. Auf die Erweiterung mit der 3. binomischen Formel war ich erstmal nicht gleich gekommen. In den unteren Beispielen von L'Hospital wurde ja auch die Erweiterung gemacht, es geht aber auch ohne die:
√n √(n+1) - n (n ausklammern)
n(√(n+1)/√n - 1)
n(√((n+1)/n) - 1)
n(√(1+1/n) - 1) (n in den Nenner als 1/n)
√(1+1/n) - 1) / (1/n) (Zähler und Nenner gehen gegen 0, auf diesen Quotient jetzt L'Hospital anwenden)
(-1/n²)(1/(2√(1+1/n)) / (-1/n²) (-1/n² kürzen)
1 / (2√(1+1/n)) (jetzt für n=unendlich einsetzen und Grenzwert berechnen)
1 / (2√(1+0))
=1/2
Nice
Beim ersten Überschlagen im Kopf wäre ich auf einen grenzwert von 0 gekommen.
Aber mit deinem Weg wars plausibel 0,5
10:00 - Bei √[(n+1)/n] habe ich gelernt, ist die "1" bei Grenzwertbetrachtungen vernachlässigbar, weil ja n-›∞ läuft. Im Grunde steht dann da √n/√n=1. Aber Susannes Lösungsweg ist natürlich sauber durchgerechnet.
Und wir müssen wieder die Folgen dieses Grenzwertes tragen.
Im ersten Moment hab ich auf unendlich getippt aber der Casio hat es bestätigt.
Den L'Hospital Satz ging ja auch nicht anzuwenden oder hat da einer eine Idee?
L' Hospital geht auch ist aber auch nicht einfacher, hab so umgeformt das 0/0 rauskam und dann abgeleitet :)
Man muss den Ausdruck vorher in die richtige Form bringen. Ich selbst hatte mit (√(n+1) + √n) erweitert und erhielt dann den Ausdruck √n/(√(n+1) + √n). Darauf sollte man den Satz von de L’Hospital anwenden können:
lim (n → ∞) √n / (√(n+1) + √n)
= lim (n → ∞) (1/2√n) / (1/(2√(n+1)) + 1/(2√n))
= lim (n → ∞) 1 / (√n/√(n+1) + 1)
= lim (n → ∞) 1 / (√(n/(n+1)) + 1)
= lim (n → ∞) 1 / (√(1/(1/n+1)) + 1)
= 1 / (√(1/(0+1)) + 1)
= 1 / 2
In diesem Fall muss man diesen Satz aber nicht zwingend anwenden. Mit der im Video gezeigten Methode ergäbe sich:
lim (n → ∞) √n / (√(n+1) + √n)
= lim (n → ∞) 1 / (√(n+1)/√n + 1)
= lim (n → ∞) 1 / (√((n+1)/n) + 1)
= lim (n → ∞) 1 / (√(1+1/n) + 1)
= 1 / (√(1+0) + 1)
= 1 / 2
@@unknownidentity2846
ja hab es schon rausbekommen, aber die Ableitung war dann auch bischen gewöhnungsbedürftig zwei mal verrechnet bei der Kettenregel :(
Warum redet ihr denn hier vom Satz von l'Hospital? Der gilt doch für Quotienten von Funktionen und kommt dann zu den Quotienten der Ableitungen. (Dafür muss der ganze Kram auch noch differenzierbar sein.) Hier haben wir aber gar keine auf der (positiven) reellen Achse definierten Funktionen, sondern "nur" Folgen. Deswegen läuft es auf die viel elementareren Rechenregeln für konvergente Folgen und ihre Grenzwerte hinaus.
@@user-gd9vc3wq2hDurch die Erweiterung wurde doch ein Quotient gebildet. Und diese Funktionen sind alle differenzierbar und haben gar nichts mit Folgen zu tun.
Uff, i only understand railway station 😅
Lerne grade für die Wiederholungsprüfung von Mathe 1 und ufff. Also gutes Video und gut gemacht aber nen scheis wäre ich darauf gekommen lol. Aber danke!
Das man den Term so schreiben kann, dass nur noch ein n vorkommt ist verblüffend - da wäre ich nicht drauf gekommen. Bei der Schreibweise an der Stelle 9:22 konnte man auch schon sehen dass 1/2 rauskommen wird.
Nur für Könner. Selbst in meiner besten Zeit hätte ich versagt! Aber gut gemacht und verständlich erklärt.
7:30 Ich dachte, das gängige Vorgehen sei hier, Zähler und Nenner beide durch n zu teilen:
n / (sqrt(n*(n+1)) + n)
= (n/n) / (sqrt(n*(n+1))/n + n/n)
= 1 / (sqrt(n*(n+1))/sqrt(n^2) + 1)
= 1 / (sqrt(n*(n+1)/n^2) + 1)
= 1 / (sqrt((n+1)/n) + 1)
= 1 / (sqrt(n/n + 1/n) + 1)
= 1 / (sqrt(1 + 1/n) + 1)
Für n gegen Unendlich geht 1/n gegen 0, und damit der gesamte Term.gegen
1 / (sqrt(1 + 0) + 1)
= 1 / (sqrt(1) + 1)
= 1 / (1 + 1)
= 1/2
Das ist kürzer als die Endphase imVideo.
Krank
😂😂
Ich finde den vorgeschlagenen Weg etwas hakelig. Den Term vereinfachen geht in Ordnung. Aber dann würde ich geradeaus vorwärts rechnen, also g+n = √(n²+n) (wobei g der noch unbekannte Grenzwert ist). Jetzt quadrieren, (g+n)²=n²+n und ausrechnen g²+2ng+n²=n²+n. Die Wurzeln sind weg, das n² verschwindet und es bleibt g²+2ng=n. Das ganze durch n und g dividieren und hoffen, dass g nicht 0 ist. g/n+2=1/g . Lässt man n jetzt immer größer werden, bleibt nur noch 2=1/g. Also g=1/2. Der Trick so zu tun, als würde der Grenzwert existieren. Natürlich geht das eigentlich nicht. Die Existenz des Grenzwertes wird durch die Trickserei nicht garantiert. Aber wenn man schon einmal einen brauchbaren Kandidaten hat, ist der Rest Epsilontik.
Und was ist daran jetzt einfacher? Oder andersrum: was ist an dem Weg aus dem Video "hakelig"?
@@user-gd9vc3wq2h Einfacher daran ist imho das Vorgehen. Um Gleichungen mit Wurzeln zu behandeln, ist das Standardverfahren: Isolieren (der Wurzel) und Quadrieren. Das macht man so lange, bis keine Wurzeln mehr übrig sind. Dieses Verfahren ist häufig auch bei der Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen anzutreffen. Nachteil dieses Verfahrens ist, dass die Terme nicht zwangsläufig einfacher werden. Das ist nur zufällig hier so. Das Verfahren einen Grenzwert g anzunehmen und die Gleichung dann umzuformen, funktioniert auch bei rekursiven Folgen. Man braucht also keinen genialen Trick, um den Grenzwert zu bestimmen. Einfach drauflos rechnen genügt.
Hakelig ist, dass man in dem im Video vorgestellten Verfahren zwar weiß, wohin man will, also auf Nullfolgen, die dann verschwinden. Aber der Weg ist nicht intuitiv. Man muss "geschickt" erweitern, um die Terme zu vereinfachen und ich selbst habe Schwierigkeiten diesen Lösungsweg unter Zeitdruck (z.B. in einer Klausur) zu finden.
@@mustaphamambo5885 a. Das von dir genannte Standardverfahren (quadrieren, bis keine Wurzel mehr da ist) ist ja eher der Holzhammer. Wenn es böse läuft, kriegt man tierisch hohe Potenzen. Gerade auf YT gibt's ja unzählige Videos, wo Wurzelgleichungen mit geschickten Substitutionen gelöst werden. Und wenn man einige davon gesehen hat, kann man da auch eine Methode drin erkennen, so dass ich das nicht mehr als "Trick" bezeichnen würde.
b. Das mit dem g verstehe ich nicht: Wenn für g die Beziehung g+n=sqrt(n^2+n) gelten soll, dann ist g ja von n abhängig, also ist es nicht der Grenzwert. Dieses g ist doch einfach nur gleich a_n, oder?
@@user-gd9vc3wq2h Da sind wohl noch ein paar Missverständnisse. Zunächst ist Deine Bemerkung vollkommen richtig, es läuft meistens böse mit Quadrieren und Isolieren. Hier ausnahmsweise nicht.
Als "Trick" habe ich bezeichnet, einen Grenzwert g anzunehmen, von dessen Existenz nichts bekannt ist. Wenn man mit so einer Annahme einen Wert für g findet, ist das kein Beweis für die Existenz. Eben nur ein "Trick".
Die a_n sind eine Menge, g ist eine Zahl mit der unbewiesenen Unterstellung, dass die Folge der a_n einen Grenzwert hat.
😘😘😘🥰🥰🥰🥰🙈
Hier noch eine andere Variante : schreibe den Ausdruck um zu √(n^2+n) - n = n *(√(1+1/n) - 1) = √(1+1/n) - 1) / (1/n) . Setze x= 1/n.
Dann hat man den Genzwert für x -> 0 von (√(1+x) - 1)/x . Jetzt kann man die Regel von de l'Hopital anwenden oder direkt benutzen
dass √(1+x) = 1+x/2 + höhere Potenzen von x ,für x -> 0. Damit erhält man den Grenzwert 1/2.
Das war mein erster Gedanke: Die Gleichung vereinfachen...
Was hier aber nicht klappt - denn da steht gar keine Gleichung, da steht nur ein Term. ;)
an=n^1/2 • [(n+1)^1/2-(n)^1/2] |• ( )^2
(an)^2=n•(n+1-n) (an)^2=n•1
(an)^2=n an=(n)^1/2
Erweitere mit sqrt(n+1)+sqrt(n), dann steht das Ergebnis sofort da.
Ja nicht sofort musst im Nenner noch das Wurzel(n) ausklammern und weg kürzen.
Aber die Lösung fand ich zeitlich gesehen die beste👍
Lass einfach die 1 in der ersten Wurzel im Nenner weg. Sas ist zulässig weil n>>1 ist und keine 0 im Nenner entsteht.
@@venusthomas
Das hatte ich in der 11. Klasse.
Solch eine Aufgabe hätten wir in der Oberstufe auch haben können, aber bei mir ist das Abitur schon Jahrzehnte her.
Krank ich erst in Ana 1
In Bayern?
Hätte man nicht schon im ersten schritt den Term "n^1/2 * (n+1)^1/2" zu "(n^2+n)^1/2" umschreiben können? Also wegen dem Potenzgesetz a^m * b^m = (a*b)^m
Mein Vorschlag ▶
an= √n*[√(n+1) - √n]
lim n→∞
x = √n√(n+1) - n
x = √(n²+n) - n
x= [√(n²+n)-n]*[√(n²+n)+n]/[√(n²+n)+n]
= ([√(n²+n)]² - n²)/[√(n²+n)+n]
= [n²+n-n²]/[√(n²+n)+n]
= n/[√(n²+n)+n]
1/x= [√(n²+n)+n]/n
1/x= √[(n²+n)/n²]+ (n/n)
1/x= √(n²/n² + 1/n)+ 1
lim n→∞
1/n= 0
⇒
1/x= √(1+0) +1
1/x= √1 +1
1/x= 2
x= 1/2 ist die Lösung !
Etwas andere, kürzere Lösung:
an = √n*[√(n+1)-√n] = √n*[√(n+1)-√n]*[√(n+1)+√n]/[√(n+1)+√n]
= √n*[n+1-n]/[√(n+1)+√n] = √n/[√(n+1)+√n] = (√n/√n)/[√(n+1)/√n+√n/√n]
= 1/{√[(n+1)/n]+1} = 1/[√(1+1/n)+1]
lim{1/[√(1+1/n)+1]} = 1/[√(1+0)+1] = 1/2
n➝∞
Wenn Susanne es vorrechnet ist es ganz einfach hehe...
Ohne Susanne: ??????? :'''-(
Null. Unendlich mal nix ist null
Und wo soll etwas null sein? Das Klammer-Term ist nicht null, und der Term vor der Klammer ist nicht unendlich. Jeder für sich strebt mit wachsendem n nur dorthin, aber vorher werden die halt multipliziert, und das Video zeigt, dass dann etwas Interessantes passieren kann und wie man das untersucht.
Hochgebildet oder hocheingebildet? 😘