Mathematische BEWEISE führen - Monotonie von Folgen beweisen
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- Опубліковано 31 тра 2024
- Mathematische Beweise führen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man beweisen kann, dass die geometrische Folge streng monoton fallend ist. Wir führen den Beweis der Monotonie über die Ungleichung. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathematische Beweise führen
0:15 Monotonie von Folgen
3:35 Beweis geometrische Folge
8:34 Bis zum nächsten Video :)
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Oma Freida ist 50 Jahre alt älter als Enkelin Jasmina und doppelt so alt wie Jasminas Vater .Alle drei sind zusammen genau 100 Jahre alt.
Bitte helfen ich habe morgen ein Arbeit
Schau mal hier zeige ich so eine ähnliche Aufgabe: ua-cam.com/video/3DdLDFEj02I/v-deo.html Hoffe das hilft dir!
Mit den mathematischen Beweisen habe ich mich immer schwer getan. Es braucht ein hohes Mass an Abstraktionsvermögen (Zahlentheorie), um diesen folgen zu können. Heute geht das besser als damals in der Schule, als ich dafür einfach zu jung war. Danke fürs Vorführen. Schlussendlich hat's mir eingeleuchtet.
Endgeil - mathematische Beweise sind glaube ich grundlegend in der Mathematik. Ich habe die Beweisführung nie so richtig begriffen.
Bitte mehr davon, Susanne !
Genaugenommen sind es die Axiome, also Dinge die so sind, weil sie so sind. Beweise dienen eher der Erklärung höherer mathematischer Strukturen, wie beispielsweise den Theoremen oder Korollaren (mathematische Sätze), diese bestehen entweder wieder aus Theoremen, Korollaren oder eben auf letzter möglicher Erklärungsstufe Axiomen.
Sensationell! Damals wie heute wäre ich auf sowas nie gekommen, drum habe ich mein Mathe Studium nach zwei Semestern aufgegeben. Aber dank dir bleibt mein Interesse an Mathe stets erhalten!
Du machst das toll. Hätte ich schon vor über 4 Jahrzehnten in der Schule gewünscht 😊
Liebe Susanne, Ein echtes Glanzstück der Erklärung. Viele Grüße
Ach ja Beweise… gut gemacht und rüber gebracht. Gerne mehr davon. Musste bei dem Titel an den gleichnamigen Titel der Gruppe Ideal denken….
Gerne mehr von sowas :) Sehr interessant und erleuchtend 😂
Vielen vielen Dank!! Bitte mehr Videos für die Mathe in der Uni :)
Wunderbar erklärt.
Sehr schön erklärt.
Danke für das Video
Sehr gerne! 😊
Vielen Dank für deine Videos.. Welches Schulniveau bzw. in welcher Klassenstufe kommt so etwas in der Regel dran?
11te Klasse
Danke!
Dankesehr René!!
Hallo Susanne, wie ganz toll erklärt. Lieben Dank dafür.
Eine Frage.: In der Aufgabenstellung war für q angegeben, dass q€R ist.
Für n war jedoch gar keine Aussage hierzu getroffen worden.
Ist hier alleine durch die Angabe, dass a(n) eine Folge ist, klar, das n€N (egal ob mit oder ohne {0}) sein muss?
Für alle, denen evtl. noch nicht klar ist, warum q-1 in jedem Fall kleiner als 0 und damit negativ ist. nochmal der Hinweis, dass in der Aufgabenstellung ja drin stand, dass q
Für mich war das mit der Aufgabenstellung (Folge nicht Funktion) klar, bin aber keine große Mathematikerin...
@@spaspendettrost9641 Danke Dir :-) so habe ich mir das in etwa auch zusammengereimt, und dabei unterstellt, dass es wohl eine Konvention gibt, Folgenglieder ab 0 oder 1 zu zählen. Lieben Dank nochmal.
Klasse Motto "Spaß spendet Trost"!! :-)
LG aus dem Schwabenland und gute Nacht
Markus
Genau. Da n der Index der Folge ist, ist dieses implizit aus N bzw. öfter auch N+, oder auch N+0 (mit der Null). Richtig beobachtet.
Sehr gut
Kann mir jemand erklären, warum beim ausklammern nixht q/q hoch n - 1 steht sondern q-1? :)
müsste da nicht eigentlich stehen, dass n eine natürliche Zahl sein soll? n ist doch eigentlich nur eine Variable, die z.B. auch eine ganze, negative Zahl sein könnte, oder etwa nicht?
Mir fällt gerade auf, dass auch beim Verwenden von z.B. negativen ganzen Zahlen der Beweis zutrifft...
Eins verstehe ich nicht. Wenn q =1 ist . Dann wird die Klammer 0 (wegen 1-1). Das multipliziert mit q ausserhalb der Klammer ergibt auch Null. Also
q selbst kann ja nicht „gleich 1“ werden, da es als q
@@MathemaTrick Ach ja natürlich !! :D Danke du bist einfach klasse!. Durch dich hab ich eine richtige Leidenschaft für Mathe entwickelt !
Was bedeutet denn das Kästchen bitte? Ich habe das noch nie gesehen geschweige denn benutzt. Auch früher in der Schule nicht 🤔
Das Kästchen zeigt nur dem Abschluss der Beweiskette an, analog dem END beim Programmieren.
Bedeutet im Prinzip auch nichts weiter als q.e.d. also quod erat demonstrandum (was zu Beweisen war)
Wird direkt mal mit meiner Tochter geteilt 🤣
Oh ja, das bereitet ihr bestimmt direkt gute Laune! 😅 Kannst ja mal sagen wie sehr sie sich über den Link gefreut hat! 😜
@@MathemaTrick Und OB sie sich gefreut hat.
@@bertthebird6175 ganz bestimmt...ist doch Mathe 😍
Ja, sie hat sich gefreut 😎 aber Monotonie hat sie wohl eh schon gekonnt....
Liebe Grüße und Danke für Deine Videos 😘
Heute Abend ist ihr aber der Effzeh wichtiger. Ich hoffe, Du als Lautern-Fan drückst auch die Daumen. Unser Lautern-Fan fiebert mit uns mit🤣
schulbeweise waren für mich immer albtraumhaft!
dein video heute: einfach traumhaft.
Schönes Gedicht,
dem widerspreche ich nicht.
Wie kann man beweisen das positive ganze Zahlen die auf 0, 2, 4, 6, 8 enden immer gerade Zahlen sind egal wie groß sie sind?
Hallo Dirk, guten Abend,
ich bin leider kein Mathe-Experte, deswegen weiß ich nicht ob mein Erklärungsversuch mathematisch ganz sauber und "wasserdicht" ist. Falls jemand Ergänzungen/Korrekturen/Vereinfachungen hat, gerne posten.
Vorneweg ist wichtig, dass die Aussage "...positive ganze Zahlen die auf 0, 2, 4, 6, 8 enden sind immer gerade Zahlen, egal wie groß sie sind." nur gilt, wenn wir im Dezimalsystem oder einem anderen Zahlensystem mit "gerader" Basis rechnen, in dem alle Zahlen von 8-vorkommen
Was meine ich damit? (auf "gerade" Basis komme ich später zurück)
Hierzu ein kleiner Exkurs zum Aufbau des Stellenwert-Systems (Ich benutze ^ als 'hoch'-Zeichen
Aus der Schule ist vielleicht (noch) folgendes Bekannt:
1) Beispiel Dezimal-System
124 lässt sich so in eine Stellenwert Tafel schreiben: (H=Hunderter, Z=Zehner, E=Einer)
H Z E
1 2 4
Im Dezimal-System kann ich statt E auch 10^0, statt Z auch 10^1 und statt H auch 10^2 schreiben.
(lt. Potenzgesetz gilt: eine beliebige ganze Zahl egal ob positiv, oder negativ ^ 0 ergibt immer 1
Allgemein gilt von recht nach nach links(!) Basis^0, Basis^1, Basis^2... für alle Stellenwertsysteme.
Die größte Zahl, die in einem Stellenwertsystem je Stelle auftauchen kann ist stets um 1 kleiner als die Basis.
Für das Dezimalsystem bedeutet dies
Die größtmögliche Zahl die an einer Stelle stehen kann ist Basis-1, also 10-1, also 9.
Anschaulich,
Z E
9 für die Zahl 9
1 0 für die Zahl 10
Sobald Du also innerhalb der Stelle, den Wert Bais-1 übersteigst, erfolgt ein "Übertrag" zur nächsthöheren Stelle (=Wert der höheren Stelle+1) und der bisherige Wert wird auf 0 gesetzt
Für das Beispiel steht da also
10^2 10^1 10^0
1 2 4
Kontrolle: 4+1ß^0 + 2*10^1 + 1*10^2 = 4*1+2*10+1*100 =124--- Jawohl, stimmt.
Nach soviel Vorlauf nun zurück zu deiner eigentliche Frage:
zunächst muss geklärt werden "wann ist eine Zahl überhaupt gerade?"
Hier gilt: eine Zahl ist gerade, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist. Das ist einfach so definiert.
In unserem Stellenwert-System sieht das so aus:
Z E ohne Rest durch 2 teilbar (=gerade) ?
0 ja
1 nein
2 ja
3 nein
4 ja
5 nein
6 ja
7 nein
8 ja
9 nein
1 0 ja ab hier wiederholen sich die "Einer-Zahl", da Übertrag stattfindet und einer-Zahl auf 0 zurückgesetzt wird.
Damit ist schon mal gezeigt, dass die Aussage für die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 gilt.
nun zu meiner Aussage mit der "geraden Basis" und Zahlensystem in der alle Zahlen von 0-8 vorkommen.
Nun, Basis 10.... ist die gerade? ja... oben spickeln 🙂)
Alle Zahlen von 0 - 8 enthalten?... ja...
Perfekt, dann sind die Rahmenbedingungen erfüllt.
Das folgende gilt nämlich nur dann,
wenn 10^1 gerade ist, ist es 10^2, 10^3.... auch, da dies ja jeweils Vielfache der 10 sind.
Das bedeutet jedoch: ganz egal, welche Zahl an der Stelle 10^1, 10^2, 10^3.... steh, der Teil vor der Einer-Stelle ist immer gerade
Denke an das Beispiel
H Z E
1 2 4
2*10^1+1*10^2 =2*10+1*100 =120 .... das ist gerade (ohne Rest durch 2 teilbar (120/2=60)
Das hat zur Konsequenz, dass alleine die Einer-Stelle darüber entscheidet, ob eine Zahl durch 2 teilbar ist.
Wenn eine ganze Zahl n ohne Rest durch 2 teilbar ist, gibt es eine andere ganze Zahl m für die gilt 2*m=n
Beispiel n= 120, dann ist m=60
für den Zahlenanteil vor der Einerstelle gilt ja "ist ohne Rest durch 2 teilbar, also gibt es eine Zahl x für die gilt 2*x=Zahlenanteil vor der Eineerstelle.
Jetzt noch prüfen, ob es für die als gerade erkannten Zahlen der Einer auch eine solche ganze Zahl y gibt, für die gilt 2*y =Einerstelle
0 -> y=0
2 -> y=1
4 -> y=2
6 -> y=3
8 -> y=4
Prima!
Wenn die Einerstelle der zu prüfenden Zahl gerade ist, lässt sich zu prüfende Zahl schreiben als
2*x +2*x (2*x ist Zahlenanteil vor der Einerstelle, 2*y ist der Einer-Anteil)
Das lässt sich durch Ausklammern umformen umformen in 2 *(x+y)Weil im Produkt der Faktor 2 enthalten ist, ist somit das gesamte produkt und somit die zu prüfende Zahl ohne Rest durch 2 teilbar und damit gerade.
Damit ist bewiesen, dass die Aussage für alle Zahlen gilt die auf die Ziffern 0, 2, 4, 6, 8 enden.. Dabei ist es sogar unerheblich, ob die Zahl positiv, oder negativ ist. (ein Vorzeichen änder nichts an der Teilbarkeit.
Siehe zum Thema Teilbarkeit auch folgendes super Video von Susanne: ua-cam.com/video/--bdRoF2RLw/v-deo.html
Jetzt noch kurz dazu, warum die ganzen Ausführungen vorher nur gelten, wenn
* die Basis "gerade" ist
* im verwendeten Zahlensystem alle Zahlen von 0-8 vorkommen.
2) Beispiel ungerade Basis 11
hier macht es keinen Sinn von Einer, Zehner oder Hunderter... zu sprechen, daher schreibe in Spaltenkopf jeweils Basis^... rein.
Die Beispielzahl dezimal 124 ins 11er-System ergibt 3+121 =3*11^0+0*11^1+1*11^2
In der Stellenwert-Tafel:
11^2 11^1 11^0
1 0 3....
hier verleitet die hintere Ziffer 3 -> ungerade zu dem Fehlschluss, dass die gesamte Zahl nicht ohne Rest durch 2 teilbar ist...
Umkehr-Beispiel
Die Zahl dezimal 121 ist im 11er-System 0*11^0+0*11^1 +1*11^2
11^2 11^1 11^0
1 0 0....
hier verleitet die hintere Ziffer 0 -> gerade zu dem Fehlschluss, dass die gesamte Zahl ohne Rest durch 2 teilbar ist...
3) Beispiel gerade Basis, jedoch nicht alle Zahlen von 0-8enthalten zum Beispiel Binärsystem (Basis 2)
Hier ist zwar die grundsätzliche Aussage, dass eine Zahl dann ohne Rest durch 2 teilbar ist, wenn es die hinterste Ziffer der Zahl ist (Vergleiche hierzu Susannes Video) nach wie vor gültig, allerdings hast Du eben nicht mehr alle Zahlen von 0 bis 8 zur Auswahl... (Im Binärsystem gibt es nur die Zahlen 0 und 1) Daran denken höchster Zahlenwert, der je Stelle im Stellenwert-System vorkommen kann, ist Basis-1)
4) Beispiel gerade Basis > 10, hier gilt alles, wie bei Basis 10, allerdings ist es hier evtl. Hilfreich die Zahl zunächst ins Dezimalsystem umzuwandeln zum Beispiel Hexa-Dezimal-System (Bassi=16) wird in der Computerprogrammierung verwendet)
in diesen Zahlensystem werden die Zahlen 10 bi 15 mit den Buchstaben A-F bezeichnet und meistens durch ein vorangestelltes '$' als Hexadezimalzahl gekennzeichnet.
In Stellenwert-System sieht das so aus:
16^1 16^0 ohne Rest durch 2 teilbar (=gerade) ?
0 ja
1 nein
2 ja
3 nein
4 ja
5 nein
6 ja
7 nein
8 ja
9 nein
A ja (A=dezimal 10)
B nein (B=dezimal 11)
C ja (C=dezimal 12)
D nein (D=dezimal 13)
E ja (E=dezimal 14)
F nein (F=dezimal 15)
1 0 ja ( =dezimal 16) ---- ab hier wiederholen sich die Ziffern der hintersten Stelle....
Sorry, das war jetzt unheimlich lang und viel. Ich hoffe, dass ich Dir trotzdem weiterhelfen konnte.
LG aus dem Schwabenland und gute Nacht.
Markus
.
"Zahlen, die auf 0, 2, ..., 8 enden" = {a(n)*10^n + ... + a(1)*10 + k | a(i) natürliche Zahl oder 0, k = 0, 2, ..., 8}. Teilt man so eine Zahl durch 2, erhält man mit Distributiv- und Assoziativgesetz a(n)*(10^n/2) + ... + a(1)*(10/2) + k/2. An der Stelle ist man eigentlich schon fertig, weil 10^i sehr offensichtlich gerade ist. Ganz Penible können das noch per vollständiger Induktion beweisen: Sei 10^i gerade, dann ist 10^(i+1) = 10*(10^i) = (2*5)*(10^i) als Produkt zweier gerader Zahlen gerade. 😉
@@NoSpeechForTheDumb Top, danke Dir. Dein Weg ist wesentlich kürzer und wahrscheinlich leichter verständlich.
LG aus dem Schwabenland und gute Nacht
Korrekter Beweis. Allerdings, wo findet es eine Anwendung für?
Basisübung für kompliziertere Beweisstrukturen, wo man nicht nach 2 Zeilen am Ziel ist, sondern eher nach 20. Geht hier mehr darum, sich in Logik zu üben. Analysis an der Uni ist voll von solchen Beweisen. Dient in Allgemeinen des Mindmappings von Mathematik, sodass man am Ende dahinter kommt, dass alles zu irgendeinem Anteil zusammenhängt und genutzt werden können.
Wäre sicherlich mal interessant, wenn Susanne einen 60 Minuten Beweis vorstellen würde, 99% der Zuschauer würden aber nach 1 Minute abbrechen, weil sie die Komplexität des nötigen Vorwissens nicht haben, was womit zusammenhängt und vorteilhaft genutzt werden kann.
Schulmathematik nutzt die Dinge, wie sie sind, Uni-Mathematik erklärt, warum die Dinge so sind, wie sie sind.
Deshalb werden hier eher die seichten Themen behandelt.
@@CallindorCray Merci.
@mathematrick: Ich kenne nur "kleiner (oder kleiner/gleich, größer, größer/gleich) als". Was bitte ist "echt kleiner als"?
Echt kleiner als ist gleichbedeutend mit kleiner als. Nicht gelten würde: a + 0 < a
❤️❤️
wenn man schreibt :
q^(n) > q^(n+1)
q^(n) > q^(n) * q
dividieren durch q^(n)
q^(n) / q^(n) > q
1 > q
Also gilt monoton fallend für alle q
Ich kann mit dieser Aufgabe nichts anfangen! Wozu soll es eigentlich gut sein, zu beweisen das die Folge monoton fallend ist?
Interessanter Ansatz, ich persönlich hätte es wohl eher mit 'nem Induktionsbeweis versucht...müsste doch auch klappen, oder?
Genau: z.b. so
Für n=1 gilt q¹ < q²
für die Annahme
a_(n+1) < a_n gilt
a_n + a_1 < a_n
a_n < a_n - a_1
a_n < a_(n-1). Da der Induktionsanfang für n=1 gilt, gilt es also für alle n.
Das hab ich sooo gehasst in der Schule... 🙈
❤
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Das Aufgabenbeispiel ist trivial
Aloa