Un magnifique système d'équations des Olympiades de mathématiques

[@minikou71]

Ça pourrait fonctionner avec des ln ?

[@mistert4749]

compliqué car tu ne peux pas appliquer ln à 6^x et 6^y séparément tu est obliger de l'appliquer à la somme donc tu obtiens ln(6^x + 6^y) ce qui ne se simplifie pas vraiment. le ln aurait été plus adapté à une situation avec multiplication du style a^x * b^y, dans ce cas tu peux utiliser ln pour faire descendre les puissances et transformer la multiplication en addition, mais dans l'exo de la vidéo la somme nous empêche d'utiliser ln

[@pascalschark7875]

42= 6*7 soit 6*6+6
Les exposants sont 2 et 1

[@Faireaimerlesmathématiques-h4w]

Effectivement, il y a deux couples de solutions.

[@key_board_x]

6^(x) + 6^(y) = 42 → given: x + y = 3 → y = 3 - x
6^(x) + 6^(3 - x) = 42
6^(x) + [6^(3) * 6^(- x)] = 42
6^(x) + [216 / 6^(x)] = 42 → let: m = 6^(x)
m + (216/m) = 42
(m² + 216)/m = 42
m² + 216 = 42m
m² - 42m = - 216
m² - 42m + 21² = - 216 + 21²
(m - 21)² = 225
m - 21 = ± 15
m = 21 ± 15 → recall: m = 6^(x)
6^(x) = 21 ± 15
First case: 6^(x) = 21 + 15
6^(x) = 36
6^(x) = 6^(2)
→ x = 2
→ y = 1
Second case: 6^(x) = 21 - 15
6^(x) = 6
6^(x) = 6^(1)
→ x = 1
→ y = 2

[@Faireaimerlesmathématiques-h4w]

Merci beaucoup.

[@cyruschang1904]

x + y = 3 => y = 3 - x
6^x + 6^y = 42
6^x + (6^3)/(6^x) = 42
a = 6^x
a + (6^3)/(a) = 42
a^2 - 42a + 6(36) = 0
(a - 6)(a - 36) = 0
(6^x, 6^y) = (6, 36), (36, 6)
(x, y) = (1, 2), (2, 1)

[@Faireaimerlesmathématiques-h4w]

Merci beaucoup.

[@cyruschang1904]

@ Merci à vous 😊