北海道大2017 平方数となる自然数n
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- Опубліковано 21 жов 2024
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4n(n+1)=(2n+1)^2-1 が決め手
n(n+1)+14 が平方数ならば 4{n(n+1)+14} も平方数
正の整数 m を用いて 4{n(n+1)+14}=m^2 とおける
(m+2n+1)(m-2n-1)=55
(m+2n+1)+(m-2n-1)=2m>0 よりm+2n+1>m-2n-1>0
(m+2n+1,m-2n-1)=(55,1),(11,5)
これを解くと (m,n)=(8,1),(28,13)
図形的に捉えると、ｎ=13はぱっと見５秒くらいで出る数字ですね。n=1の方が盲点に感じた。
但し、証明するのは別の話。勉強になりました。
n^2+n+14-k^2=0
をnについての二次式と考えて解の公式を使うとkが求まり、nが分かりますね。
n={-1±√(4k^2-55)}/2
√(4k^2-55)が整数にならないといけないので
4k^2-55＝s^2(sは自然数)
⇆(2k-s)(2k+s)＝55
後は動画と同じ感じです。
現役中学生だけど、証明や式を書くのが面倒くさいから勘で解く事しか考えなかった。
現役北大院生です。
ちょっとスマートではないですが別解思いつきました。
隣り合う自然数の2乗差が、数が大きくなるにつれ大きくなること、
そしてnが十分大きい条件下ではn(n+1)をn^2に近似できることから、
nが十分大きければk^2とn^2との差はどう頑張っても14よりも大きくなるだろうとの直感的予想を立て、
それを証明する形で範囲を絞って、あとは脳筋プレーで解きました。
n(n+1)+14=k^2 (n,k∈自然数)…①
まず、①より
k^2=n(n+1)+14
>n(n+1)
>n^2
したがって、k>n(双方自然数より)…②
次に、①を変形して
n^2+n+14=k^2
n+14=k^2-n^2
=(k+n)(k-n)…③
ここで、k>14のとき、
(k+n)(k-n)>(14+n)(k-n)
>n+14(∵②より、k-nが1以上)
となり、③が成立しなくなる。
したがって、kは14以下、nは13以下。
n=1から13の場合をしらみつぶしに検証して、
(中略)
条件に当てはまるのは
(n,k) =(1,4)と(13,14)のみであると証明できる。
よって、n=1,13
n(n+1)+14=Sとする
S>n^2は明らか。
S13となるので、1から13までnを代入して調べる。
5行目等号抜けてますよ。個人的に良くやりがちなミス。
n^2 + n + 14 = (n+k)^2 とおく（k>0としてよい） 整理して (2k-1)n = 14-k^2
n>0, k>0 より左辺が正で右辺も正になるので k の候補は 3,2,1 のみ
k = 3 のとき 5n = 5 ゆえ n = 1
k = 2 のとき 3n = 10 ゆえ、nが自然数でないので不適
k = 1 のとき 1n = 13 ゆえ n = 13
ゴリ押しですが、
n(n+1)≦(n+1)²
だから、(n+1)²-n(n+1)≦14⇔n≦13が必要
n=1~13を調べると、n=1,13のみ
mod3使えばn＝3m＋1(m整数)が必要条件とわかるので調べる個数は若干減らせますね。
n^2
なんか誘導あると逆にわかりづらく感じるの俺だけ?
過去の動画を観て学んでいたので、すぐに解けました。
4倍して平方完成
与式がn^2より大きな平方数でなければならないから、次の平方数までの幅である2n+1より、n+14が大きくないと成り立たないので、
2n+1≦n+14
から、1≦n≦13の範囲で総当りってのが実戦向きな気がする
MODを使うと逆に少し苦労しました。
やはり素直にm^2とおいて平方完成が良かった
平方完成は文字をまとめる
貫太郎徒だったら平方完成の時に4倍したくなってきますね
(14 - m^2)/(2m -1) = n m、nは自然数
を満たすmを考えた。
m=4でマイナスになるからm=1,2,3を計算すればいいんだけど
14じゃなくてもっと数字がでかいと詰むな、、、
n(n＋1)＋14＝k^2とおく(k:自然数)
k^2>n^2よりk^2≧(n＋1)^2が成り立つ。
よってn≦13
あとはn＝1,2,3・・・13を代入して調べる。
いろんな方法があって本当面白いよね
4プロセスって4STEPと同レベル？
中学生なのでn(n+1)をnが一辺の長さの正方形に一行加えたものと考えてそこに14を加えたらまた整数になるように文字を解いたらあってました
しかし図形的に解くのは弱点が多いので平方完成の方が安定ですね！
備忘録‘’70V 【 双曲線形→ Q単項化 】 条件より、
n(n＋1)＋14＝ m² ( m ∈自然数 ) とおくことができる。
⇔ m²－( n＋1/2 )²＋1/4 ＝ 14 ⇔ 4m²－( 2n＋1 )² ＝ 55
⇔ ( 2m＋2n＋1 )( 2m－2n－1 )＝ 5・11
2m＋2n＋1 > 2m－2n－1 > 0 で、
共に奇数であることに注意して、以下動画と同じ■
さしあたりｎに14-1を代入すると与式は13×14+14＝14（13+1）*2 14が代数aと与えられていてもｎにa-1を代入すれば与式はa^2となりますね。
今頃だけど左辺の(2n+1)²を右辺に移した。
クリスマスイヴなので、画面の縁取りがクリスマス仕様なのかな？
これ誘導ついてマジでクソもんになってるよな
おはようございます。
私は(n+k)^2のやり方でしたね。
n^2を消すことが可能になりますし。
見る前に解きましたがmodを使おうとしてかなり面倒になりました
[解答]
n(n+1)+14をkとおく。
n+14 < 2n+1,すなわちn>=14のとき
n^2 < n^2+n+14 = k < n^+2n+1 = (n+1)^2 であるからkは平方数でない
1
式の形から n > 13 であるときには平方数にならないことが分かってしまうので、n=1 から 13 まで13個くらいなら代入してもいいだろ、で求めちゃいました。実際、n > 13 のときには n^2 < n(n+1)+14=n^2+n+14 < (n+1)^2 が簡単に確認できます。
n(n+1)+14>=(n+1)^2 ー①
を解いて、1
その大学の受験か、テストで数字入れてってなんとかなった気がする
今までのパスラボの動画を継続して見ておくと解法が瞬時に脳内に描けますね！
いつもありがたいです！！
おはようございますです。
答案1)
ふむ……計算結果が2乗
→14は3で割っても4で割っても2余る
→3の倍数で区切られた連続する2数が4の倍数を含まない
→1,2○ 4,5×……これ どこまでやればいいんだっけ……
答案2)
試しに平方完成させて2乗-2乗にもってくかな(以下動画本編と同じ)
なんか遠回りしてしまいました
3:59のところからの計算はどういうことですか？
以下、皆様のコメントと類似なので、ある意味別解
n^2+n+14
平方数なのでmod3,4で0,1のどちらかと合同になると考えると、n≡1(mod 3)かつn≡1,2(mod 4)というのが瞬時に求まるから、13個代入するような方法を避けられると思います！実際これにより1,10,13に絞られます。
@@sours117 コメント・ご指摘ありがとうございます。合同式については承知しています。
今回の解法は、前半の不等式部分は受け入れてもらう必要はありますが、合同式がよく分からない、あるいは場合分けが苦手な場合の攻略法として作成してみました。
@@k.h545 なるほど！勘違いしてすみませんでした。
合同式扱えなくても、コメントにある不等式は理解しやすいため初学者の方でも解きやすくなりますね！
@@sours117 一応、高校(女子高)で数学を教えているので、職業病か、数学が苦手な生徒目線になるクセがついています。
6:26 なぜここのkが必ず自然数になるのかが分からないのでどなたか教えていただきたいです。
結局、(整数)²が必ず正だから自然数の時のみを考えれば良いということでしょうか？
nが自然数であり，与式はn^2を上回ることは確定していますし，追加として与えられているkが自然数で無いと題意に矛盾するためです。
@@electromagnezone88 確かにそうですね笑、教えていただきありがとうございます。
去年おっこっちゃったのでリベンジ！
おはようございますー
高2理系です
要所要所で「OK？」というのが、数学・英語のトリセツの講師と一緒で気になっているんですが。どちらがどちらの影響を受けているんだろう。それとも、数学を解説する人はそういう口癖になっていきやすいのかな
できたぁ！
（結果的にパクコメになりました...。動画＆コメント見る前の解答。）
n²+n+14が平方数。
n²＜n²+n+14＜(n+4)²
n²+n+14=(n+1)²or(n+2)²or(n+3)²
それぞれ解くと、
n=13,10/3,1
このうち条件を満たすnはn=1,13のみで、代入してもしっかり成り立っている。
一番上のコメントに同じ解法あるやんうそん！ 前に同じような問題をパスラボで解いたからこの解答が浮かんだ。
北大は平方数が好き
平方数？あー、はいはいMOD3か4ね。数分後、、、、、MOD2によって偶数の平方数って事だけは分かったぞ！うん、もういいや！
北大整数でるんや
めずらちいよ
2016年の文系でも出題されてますね。
@@akira-pd1jl 整数標準問題精巧に乗ってた問題だ。ちょっとおもしろい問題。
北大は整数でないって先生言ってたけど意外にでてるんですね
整数ふやして
n(n＋1)＋14 が平方数を満たすnの値？
n❷＋1＋14
平方数と言えば(n＋1)❷＝n❷＋2n＋1
の式がある そこから n❷＋n＋14を
引いてnを導いてみる
n❷＋2n＋1
－n❷＋n＋14を引く
n－13＝0 n＝13
13❷＋13＋14＝169＋27＝196
√196＝14
よってn＝13 ！
n＝1は?
n+1コメ
1コメ