Autour des différentielles
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- Опубліковано 8 лип 2024
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Plan :
00:00 Début
1- Intégration et dérivation
4:05 A) En une dimension
15:00 B) En deux dimensions
2- Algèbre linéaire des formes
25:00 A) Covecteurs
32:30 B) Tenseurs covariants
45:40 C) p-formes et algèbre de Grassmann
1:02:05 D) Dérivée extérieure, opérateurs différentiels
1:21:58 E) Équation fondamentale d^2 = 0
1:28:37 F) Forme volume
3- Géométrie différentielle
1:38:41 A) Variétés
1:45:18 B) Orientation et intégration
2:00:14 C) Variétés à bords
2:17:05 D) Formule de Stokes
2:38:03 Conclusion
Enfin un "cours" qui s'avère complet, tout en faisant les impasses utiles sur les éléments non absolument nécessaires à sa compréhension. A mon avis, c'est parce que vous avez parfaitement digéré vos connaissances et avez une humilité naturelle pour les exposer. Merci! Je vais illico sur votre site!
Merci beaucoup, bon visionnage pour la suite des vidéos :)
C'est un point de vu que je n'avais jamais étudié et il est vraiment super simple et agréable ! Merci pour ces vidéos de grande qualité
Merci !
X de y est egal a f de y sur 1
Super intéressant!
Merci !
J'écoute avec beaucoup d'intérêt. Je suis ingénieur dans l'aéronautique, mais je m'intéresse de nouveau aux maths et à la physique (plus nourissant).
Merci pour tous ces rappels
Merci pour ton commentaire, je suis content que des ingénieurs trouvent ce contenu utile!
Bonjour et enchanté. Merci infiniment pour votre partage vraiment instructif.
Merci :)
1)re-rerere-merci
2)Meilleurs vœux
3) go vidéo Cohomologie
Excellent
Cette fois je regarde avec un cahier et des stylos ;)
Merci encore
C'est la bonne méthode!
Splendide! Clair et précis
Merci !
Pour le lien avec l’intégrale de Lebesgue :
A 1:33:30 tu explique qu'on ne peut intégrer que les formes volumes, mais je n'ai pas l'impression que tu définisse précisément cette intégrale. Dans le cours de topologie différentielle de Patrick Massot (2016), il précise que l’intégrale d'une forme volume est celle de la fonction associée à cette forme prise en le volume élémentaire formé par les vecteurs d'une base de l'espace euclidien (e1, ..., en).
Cad, l’intégrale de la forme alpha est l'intégrale "sur R^n" de la fonction x -> alpha x (e1, ... , en) . Donc il "a besoin" de l’intégrale classique (Riemann, Lebesgue) pour définir l'intégrale d'une n-forme, ce qui fait le lien.
Oui tout à fait, une intégrale en géométrie différentielle se rapporte toujours en fin de compte à une intégrale réelle, et donc là ensuite il faut utiliser une définition (Riemann, Lebesgue, etc). Après en pratique pour les calculs que je fais ici on suppose toujours que les fonctions à intégrer sont bien régulières, donc on peut prendre n'importe quelle définition et obtenir le même résultat.
Merci
Excellente vidéo ! Bravo pour votre travail. Hâte de participer à l'un de vos futurs live.
Édit: Avez vous un livre(ou autre ressource) a recommander pour approfondir les concepts exposés?
Merci! Pour les ressources, ce sujet est assez classique donc je n'en ai pas une particulière en tête... Tout cours de géométrie différentielle devrait convenir!
Merci pour ce cours ! J'ai quelques questions :
- A 51:20, je comprends pourquoi le produit tensoriel n’est pas adapté, mais je ne comprends pas pourquoi « dx dy » a besoin d’être antisymétrique plutôt que symétrique ?
- Quand on parle de produit extérieur /dérivée extérieure : pourquoi « extérieur » ?
- E est un R espace vectoriel. Mais si on considère un C espace vectoriel, est-ce que cela permet de définir des intégrales sur des fonctions complexes ? Et si on un espace vectoriel sur un corps quelconque, est-ce toutes ces notions ont encore un sens ?
Bonjour Philippe,
Votre message est comme une bouteille à la mère, et j'espère que vous verrez ma réponse.
- On choisit les formes antisymétriques avec l'idée de surface et de volume derrière. Quand on mesure une surface paramétrée par deux vecteurs dans R^2, on s'attend à ce qu'elle soit nulle dès que les deux vecteurs sont les mêmes (surface plate).
- Le produit extérieur est "extérieur" dans le sens où son résultat n'est pas dans le même espace que ses arguments.
- On peut définir l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel quelconque, donc ces notions ont encore un sens.
Pour ce qui est des intégrales sur les fonctions complexes, je ne suis pas sûr de bien comprendre. Les formes différentielles sont beaucoup plus générales que des fonctions. De plus, en analyse complexe, on intègre sur des contours et non sur des ouverts généraux.
J'espère que ma réponse vous aura éclairé.
Merci beaucoup pour cette excellente resource!
Un point qui aurait peut-être pu être plus clair: définir une forme differentielle comme une *fonction d'un ouvert dans \Omega^p(E)*, plutôt qu'un élément de \Omega^p(E).
en fait je pense que tu le mentionnes vers 1:04:40
mais eg le fait de definir l'application d comme allant de \Omega^p vers \Omega^{p+1}, plutot que de C^\inf(U, \Omega^p) vers C^\inf(U, \Omega^{p+1})?
@@Jd-dw8rn oui en effet j'appelle souvent élément de X un champ à valeur dans X, c'est un abus de notation assez courant, mais peut-être déstabilisant au premier abord!
à 2:05:17 Où l'on apprend que la base de la tête à Toto est construite avec les bords d'un cylindre (plus ou moins).
Révélation. Je sens que j'ai fait un bond immense par rapport à ma maternelle.
Merci pour le commentaire :D
Je me rends compte en revoyant l'extrait à quel point le son était mauvais ! J'espère que tu apprécieras l'évolution dans les vidéos de cette année !
@@antoinebrgt Non ça va le son est assez fort, tu es compréhensible tout du long et y'a pas de bruit parasite, donc c'est pas gênant.
j'ai lâché un moment sur les indices de tenseurs (mais c'est juste qu'il faudrait le réecrire pour soi avec un exemple pour voir quoi est quoi). Mais c'est puissant.
@@brunodoussau_from_tyumen Oui les tenseurs il faut l'écrire soi-même, après c'est pas si difficile!
Ok pour le son :)
Une vidéo merveilleuse, aussi claire qu'éclairante ! Merci.
c'est quoi le matos utilisé, une tablette classique avec stylet ou du matos pro pour graphiste? Pas obligé de faire de la pub non plus...
C'est une tablette "classique", Wacom, achetée pour quelques dizaines d'euros à la Fnac
Bonjour,
Y a-t-il un rapport entre les p-formes et les groupes d'homologie ? en particulier le d2=0 du produit extérieur rappelle beaucoup ce que l'on trouve avec les "bords" : delta2=0.
J'ai posé ma question trop vite: vous y répondez plus loin ! ;-)
@@alainsimon2007 Oui, et récemment j'ai fait une vidéo sur l'homotopie, et deux sur l'homologie, où je parle de ces questions en grand détail :)
Ce cycle s appelle dénominateur commun en.ab et bc dénominateur commune une sphère proteau emique qui signifie expulsion try dimensionnelle en a
A 2:03:16 tu réponds à la question de Zak sur ce qu'est Omega. Cependant ce que tu dis me parais bizarre une fois qu'on a une métrique Omega est entièrement définie. Même si je change de coordonnées le déterminant étant un invariant de similitude l'expression des coefficients de omega sont toujours les mêmes qque soit la base. Si je ne me trompe pas, où alors il faut ajouter un des termes liés au jacobien du changement de bases ?
D'accord tu réponds à 2:14:58
Je pensais que le champ électromagnétique était un bivecteur et non une 2-forme. La différence n'est-elle pas que l'un est contravariant, l'autre, covariant ?
Oui c'est bien ça la différence. Et le champ électromagnétique est bien une 2-forme.
@@antoinebrgt D'accord merci beaucoup. Parleras-tu, un jour, des différents espaces extérieurs (k-formes, k-vecteurs et algèbre géométrique) et autres espaces qui sont obtenus en prenant l'algèbre quotient de l'espace tensoriel, et donc de la différence entre ces objets et des tenseurs au sens genéral ?
En maths Spé on apprenait les équations de Maxwell, la fonction d'onde etc.
Mais toutes ces généralités (ta video) ont été découvertes avant ou après?
Je ne sais pas trop quand ça a été développé, je ne connais pas bien l'histoire, mais je pense que c'est en parallèle avec les développements en physique. Tout ce qui est calcul différentiel et intégral a essentiellement être développé pour faire de la physique, de l'astronomie, etc
Je commence cette vidéo passionnante et y vais par étapes vue la densité. Suis à l'exposé des dx, dy en dimensions 1 puis 2. Je pense qu'on pourrait présenter cela en assumant que ce sont des fonctions et utiliser les notations avec les arguments qu'on apprend au lycée. En dimension 1, dx(h) = h. En dimension 2, dx et dy prennent deux arguments : h1, h2. Et on peut noter :
dx(h1,h2) = h1
dy(h1,h2) = h2
En notant ∆x la dérivée partielle de f par rapport à x (le clavier téléphone est limité) on a bien:
df(h1,h2)= ∆x.dx(h1,h2) + ∆y.dy(h1,h2)
J'espère que c'est correct, et que ça peut aider à assimiler ces abstractions ...
Oui c'est ça! Bon courage pour la suite de la vidéo!
je viens en écho à mon commentaire sur discord : serait-il possible d'avoir les notes de ce cours en description svp (si elles trainent pas loin))?
Ah malheureusement les vieilles vidéos je n'ai pas gardé le fichier donc je n'ai pas de PDF, mais pour les plus récentes il y en a un en description
@@antoinebrgt Ok pas de souci! Merci pour le contenu c'est très enrichissant
Bonjour, c’est quoi la différence entre un p tenseur et une forme p-lineaire ?
Et si on rajoute l’antisymétrie c’est un déterminant non ?
La différence c’est précisément l’antisymétrie. Et ça n’est un déterminant que si p est égal à la dimension de l’espace.
@@antoinebrgt ben une forme p-linéaire n’a pas besoin d’être forcément antisymétrique. Du coup c’est la même chose qu’un p-tenseur non ?
Ah oui c’est vrai concernant le déterminant. Du coup Si l’espace de départ est de dimension n, si on prend un p-tenseur sur cet espace, p peut très bien être plus grand que n non ? Mais si le p-tenseur est antisymétrique il faut que p
@@ym1904 Par définition une p-forme (différentielle) est antisymétrique. Si on ne suppose pas l'antisymétrie alors on parle en effet plus généralement de tenseur.
Du coup oui si on est en dimension n il n'y a de p-formes non nulles que pour p plus petit que n.
Salut, aurais tu un bon pdf à me conseiller pour avoir un cours complet sur les différentielles dans lequel on ne m'arnaque pas avec du "df c'est le petit accroissement de f" et dans lequel on reprenne bien les choses depuis le début avec une construction propre des intégrales, de l'abscisse curviligne etc ?
Merci pour tes vidéos mais.... quand est ce que tu continues ?
Salut ! Je viens de voir le commentaire, 9 mois après :D
Pour les vidéos, tu as vu j'ai continué ! Et pour un cours sur les différentielles, tu peux commencer par un cours classique de géométrie différentielle, je pense qu'on ne t'arnaquera pas. Ensuite pour des aspects plus formels il faut aller du côté de la topologie algébrique / différentielle, par exemple le livre de Bott et Tu.
@@antoinebrgt merci
Merci d'avoir élargi mon horizon en mathématiques
d²=0 ne serait-il pas lié à l'isomorphisme entre E et son bidual E** ?
J'en profite pour vous féliciter et vour remercier pour votre chaîne, d'un niveau vraiment exceptionnel. Je serais d'ailleurs heureux de pouvoir vous le signifier, fut-ce à titre symbolique, par l'envoi de pouboires via Tipeee ou Paypal par exemple.
Merci beaucoup pour les compliments sur la chaîne !
Pour la question, je ne suis pas sûr de voir un lien avec cet isomorphisme (le d n’est pas un passage à la dualité), mais peut-être que vous pouvez développer votre idée !
@@antoinebrgt Oh, c'était simplement une « idée en l'air » (à une question qui n'a pas été repondue) puisque les tenseurs en question mettent en jeu l'espace dual, et que ces objets-là semblent définis à coup d'« isomorphisme près ».
@@leporcquirit ici en fait justement on ne regarde que des p-formes, qui sont des tenseurs uniquement covariants, donc on n’utilise jamais la dualité (comme on l’utilise parfois pour monter ou descendre des indices dans d’autres tenseurs)
Bonjour
J'ai une question : dès le début I)A) vous parlez de " en une dimension " et vous tracez un repère (Ox;Oy)...ce type de repère est représentatif de 2 dimensions (une en x et une en y).
Pouvez-vous s'il vous plaît m'expliquer la nuance ? Merci
Oui, ici je parle de fonctions définies sur un espace à n dimensions et à valeurs dans R. Pour n=1 cela correspond à une fonction de R dans R, et le graphe de cette fonction est une courbe (de dimension 1, donc) que je représente dans le plan (x,y) qui lui a en effet dimension 2.
Vous avez dit que A est un point dans un une sphère quelle qu'on que donc d est tridimancionnellemant du centre de la sphère par un axe tridimensionnelle.
Recommandé après un vidéo de vilebrequin 😂
Bon, malheureusement mon cursus me rend incapable de comprendre, mais je laisse un like et un commentaire car la vidéo m'a l'air propre et bien expliquée 👍
Par contre, ça ne parle pas de voiture, mdr
Merci, toute aide est appréciée :)
Une intégrale est donc un somme de p-forme et pas un nombre réel ? Il faut donc lui donner quelque chose a manger. Pour calculer un volume il faut que tu donne p n-vecteurs à la p forme volume et que tu somme tout les résultats pour tout les p vecteurs qui sont les points de ta variété ?
oui on intègre des p-formes, mais pas besoin de donner autre chose, si tu veux les vecteurs que la p-forme mange sont les vecteurs tangents à ce sur quoi tu intègres.
@@antoinebrgt Merci de ta réponse, j'ai regardé peut être 8 de tes vidéos, elles sont super.
Je voulais voir comment cela fonctionne. Pour les anglophones intéressés voici un calcul explicite ua-cam.com/video/DOCCirHZ4ik/v-deo.html&ab_channel=MichaelPenn
@@vivgm5776 Merci !
Bonjour 👋
Votre humilité et votre générosité crèvent l'écran, merci pour tout !
J'ai besoin d'être débloqué à la 42eme.
X1=x11,1*e11 + x21,1*e21+... + xn1,1*en1
Est ce que c'est ça?
Les vecteurs que prend la p forme sont tous exprimés dans des bases différentes ?
Pourquoi il y'a des indices en collision ?
Merci infiniment
Il y a des indices "en collision" parce que c'est une p-forme, donc il y a p indices. Les vecteurs que prend la p-forme en argument sont tous exprimés dans la même base !
Mais je ne sais pas si je réponds bien à la question. N'hésitez pas à redemander.
@@antoinebrgt bonjour merci oui j'ai fini par comprendre ! C'est vraiment top merci
Bonjour, une question:
En dimension 2, on a vu que le double intégrale de f(x,y)dxdy c'était en fait l'intégral de f(x,y)vol(x,y) ou vol(x,y)=det(x,y)= aire du parallélogramme généré par x,y. En fait en quelque sorte, on quadrille le plan (x,y) par des parallélogrammes et on somme les volumes de tous les parallélépipèdes avec f(x,y) comme hauteur et on trouve la valeur de l'intégrale.
Mais ici, est-ce qu'on aurait pas pu utiliser dxdy=dx(x)dy (le produit tensoriel)? Ca reviendrait a quadriller le plan (x,y) avec des carrés plutôt que des parallélogrammes mais ça marcherait quand même non (ie, on aurait la même valeur de l'intégrale au finale)? Ou est ce que je fais une erreur quelque part?
feur
Si ça peux aider, pourquoi d^2 = 0:
En général c'est faux.
C'est vrai uniquement dans le cas de commutativité des opérateurs dérivées partielles (Schwarz)
fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz
Les premiers cours où on le "voit" clairement sont ceux sur les fonctions holomorphes (analyse des fonction de variable dans C); équation différentielle laplacien = 0 ...
En effet, il faut que les dérivées partielles commutent pour que d^2=0 (il me semble que je le dis à un moment de la vidéo). Mais c'est quelque chose de très général en fait, les cas où les dérivées partielles ne commutent pas sont des cas où les fonctions ne sont pas assez régulières.
En particulier, je ne comprends pas la remarque sur l'analyse complexe : pour des fonctions holomorphes, les dérivées partielles commutent toujours. Et donc d^2 =0 y est toujours vrai.
(en fait c'est même plus fort que ça, en analyse complexe on a deux types de d, qui correspondent à la dérivation par rapport à z et à celle par rapport au conjugué de z. Il y a donc une sorte de double cohomologie, appelée cohomologie de Dolbeault)
Cy je calculée la somme de cercle de10 cm de.diametre et que le cercle qui englobe le premier cercle sens passé par le diamètre le périmètre comment calculer. L autres cercle etc
...comment faire
@1:08:00 le facteur 1/p! reste alors que le nombre de dx_i passe à p+1. Si l'on considère les dérivées d'ordre supérieur, le coeff 1/p! reste-t-il? Ne faudrait-il pas plutôt considérer la dérivée d/(p+1)?
Je pense que ça devrait être correct, après il y a certainement différentes conventions, du moment que c'est cohérent partout il n'y a pas de problème
D plus 0 plus 2 et 1 plus 3 est egal a6 vecteur de pontantionnelles...etc pour les autres chiffres
@29:30 les éléments de E* se projettent dans R, quourpoi les écrit-on avec n composantes?
Parce qu'il faut dire comment on projette chacune des coordonnées de R^n sur R, ce qui donne donc n nombres réels
@@antoinebrgt Si on prend le vecteur ligne a=(Id, 2.Id, 3.Id), le vecteur colonne X=(x, y, z), que donne a(X)? x+2y+3z?
@@bouhschnou oui c'est ça ( pas besoin de mettre des "id")
Alors perso, la notation sans le sigma me gêne; il me rappelait que c'était une somme; ce que j'oublie avec la notation "en haut" en bas".
Oui ça peut être un peu déroutant au début, mais on s'y habitue (cette notation est absolument omniprésente en physique).
J'ai du mal à comprendre pourquoi à 1:03:48 le coefficient alpha i1...ip ne dépend que de x (qui est un seul vecteur de E) et non pas d'un p-uplet de E, car c'est bien à un p-uplet que alpha s'applique... Pourriez vous m'éclairer svp ?
x est le point où l'on se trouve, c'est indépendant des vecteurs sur lesquels alpha s'applique.
Si dx et dy forment une base, pourquoi ne sont-ils pas orientés ? Ce sont des scalaires ou des vecteurs du coup ?
Ce sont bien des vecteurs, dans le sens des espaces vectoriels, et ces vecteurs sont des 1-formes du point de vue géométrique
@@antoinebrgt merci !!! Super vidéo au passage, j’avance petit à petit ;)
@@antoinebrgt mais alors dans l’expression f’(x)=df/dx au point x, f’(x) est un nombre (ou une fonction), alors que df et dx sont des vecteurs. C’est un produit scalaire de df par 1/dx ?
Désolé de t’embêter ca doit te paraître basique, j’essaie juste de mettre ca bien au clair dans ma tête ;)
@@nathanabbou4206 c'est juste une notation, si tu as deux vecteurs u et v tels que u = 7v par exemple tu peux écrire abusivement que u/v = 7.
De la même façon on a deux vecteurs dx et df qui vérifient df = f'(x) dx et on écrit donc abusivement df/dx=f'(x)
@@antoinebrgt ah ok merci !
Cercle de cimetière.
@1:46:00 quand on représente le ruban de Moebius avec son 'noeud' en un seul endroit, on voit bien l'inversion locale de la géométrie. Mais si ce 'noeud' est représenté sur toute la longueur du ruban, l'inversion locale de la géométrie est continue tout le long, la section du ruban tourne autour d'un axe (perpendiculaire à l'axe central), et aussi autour de l'axe central. Ne peut-on pas alors considérer les alpha i d'une p-forme variant continument le long du ruban?
A quoi ressemble la géométrie du ruban: en maintenant statique la section du ruban, les axes de la géométrie tournent sur eux-mêmes et tournent autour de cette section, ce qui décrit une géométrie non locale. Après tout on parle ici d'éléments de volume (dx1 v ... v dxn), donc après tout la géométrie peut être définie autrement que localement (autrement que localement avec un plan tangent): tout autour de la section du ruban, qui n'est autre qu'une direction privilégiée, on pourrait représenter une sphère sur laquelle l'orientation des éléments de longueur dx (ou de phase finalement) varie
Mieux encore, on peut prendre le point milieu entre le centre du ruban et le centre de la section et faire tourner l'axe central et la section autour de ce point milieu, on aurait alors là aussi une description non locale de la géométrie façon 'ruban de Moebius'
La géométrie locale est en effet tout à fait "normale", on peut y définir toutes les formes qu'on veut. L'obstruction vient d'un effet global, qui impose certaines identifications, et donc donnent des contraintes. Une façon de formaliser tout ça est la théorie des faisceaux, dont l'objet est précisément d'étudier comment on perd des "choses" (les sections du faisceau) en passant du local au global. J'en parlerai un jour en vidéo !
@@antoinebrgt voudrait-on se servir de la géométrie du ruban pour formaliser ou décrire la superposition quantique (via la 'superposition' de la face 'interne' et 'externe' du ruban)? Après tout le monde quantique manque cruellement de géométrie dans sa description...
Je ne vois pas ce qu'est un effet global, provoqué par l'univers observable?
@@bouhschnou Je ne crois pas que ça soit très adapté pour décrire la superposition quantique -- en tout cas je ne connais pas de telle description. Je ne dirais pas que le monde quantique manque de géométrie, après tout, tous les états sont représentés dans un espace de Hilbert sur lequel on peut faire des produits scalaires, des projections, etc, c'est une forme très aboutie de géométrie justement !
@@antoinebrgt ces espaces sont encore abstraits, aussi abstraits que leur dimension infinie, il n'y a pas encore de lien direct avec notre géométrie comme le fait la relativité moderne, il me semble que c'est justement ce que l'on cherche, par exemple avec la gravitation quantique (pas bien compris si l'on cherche à géométriser le monde quantique ou à quantifier la géométrie). La géométrie dans laquelle se place la physique quantique est du genre euclidienne, plate et continue, qui n'explique ni l'intrication, ni la superposition, ni la dualité onde-corpuscule, ni les écrantages
Bon je veux bien concevoir qu'on s'inspire de la géométrie de notre monde (ensemble, base, outils, lois, éléments), mais à ce moment là tout modèle est géométrique (les faisceaux aussi?)... Disons que seule une théorie du tout pourrait différencier ce qui est abstrait (les modèles) de ce qui est concret, c'est quourpoi on cherche les failles des modèles confrontés à la réalité, et tout modèle est encore abstrait ahah (même la géométrie d'Einstein est abstraite finalement, il faut lui rajouter de la matière et énergie dite noire)
X1 en bas xi en hautsont des vecteur commain
33:20 -> des applications p-linéaires plutôt
@1:07:30 on devrait limite indexer le produit extérieur v avec la dimension de l'espace sur lequel on travaille, et prolonger son domaine d'application dans la foulée
Finalement, ça fait penser au produit vectoriel de la géométrie, y a-t-il des rapprochements avec la géométrie d'espace-temps? J'imagine qu'il y a un gap, vu qu'en 3D, i v j v k = 0, que donne i v j v k en 4D? le vecteur temps? une dimension imaginaire?
Hm en 3d le produit vectoriel de I, j et k ne vaut pas 0, il vaut 1! Et en 4d en effet ce serait une 3-forme qu'on peut dualiser en vecteur.
@@antoinebrgt i v j = k, k v k = 0
@@bouhschnou Ah tu veux vraiment prendre le produit vectoriel, ok, je pensais au produit extérieur. Le produit vectoriel est vraiment propre à 3d, car il faut pouvoir dualiser une 2-forme en un vecteur, et ça n'est possible qu'en 3d.
Bonjour, vos vidéos sont géniales. Une petite remarque sur celle-ci, dans le point B vous définissez un p-tenseur (covariant) comme une application linéaire de E^p (en tant qu'e-v produit de p copies de E) dans R. Je crois qu'il s'agit plutôt d'une application multilinéaire (p-linéaire), c'est à dire linéaire par rapport à chacune des p variables (et non linéaire sur les p-uples que sont les éléments de l'e-v E^p). Dans le cas p=1, ça revient au même, mais dès que p >1, ce n'est plus le cas. Excusez-moi d'entrer dans ces détails sans doute un peu superflus, mais j'ai pendant un moment tourné en rond à faire les démonstrations à partir de la définition linéaire...
Oui évidemment c'est linéaire par rapport à chacun des arguments, j'aurais en effet pu insister en parlant d'application multi-linéaire. Peut-être que j'ai fait un abus de langage, mais dans les calculs c'est très clair que c'est linéaire en tous les arguments (voir par exemple à 36:35 quand on développe dans une base).
Merci de votre réponse et encore bravo pour vos vidéos, elles éclairent vraiment les sujets.
Point alpha en a point b est point de cos sinu et tengente.
Il me semble qu il y a une erreur à 36:43 , les vecteurs sont ei et pas ei1 ...eip si vous sous entendez que ce sont des sommes de vecteurs ?
Je ne suis pas certain de comprendre, il s'agit juste de la décomposition par exemple de x_1 dans la base, sous la forme x_1 = x_1^i1e_i1 (avec somme sur i1).
@@antoinebrgt Bonjour et merci pour la reponse. Je me demandais si il n'y avait pas une erreur sur les index des vecteurs de base, mais vu que je ne suis pas un grand specialiste, je peux vivre avec. Plus generalement j'aime bien l'approche de partir de la derivée et d'expliquer que si on veut generaliser (si j'ai bien compris a l'ordre 2, 3 ou plus) alors il faut utiliser d'autres outils. Pour ma part j'essaie depuis plusieurs mois de comprendre certains fondamentaux , comme par exemple a quoi sert vraiment la notation differentielle et dans quel contexte/etude reelle on peut illustrer son interet. En quoi est ce mieux que les derivées... etc. Ce sont des questions de base et pourtant il n'y a jamais la reponse a ces questions sur le net ... il y a quelques tentatives mais tout de suite on retrouve les meme explications qui sont floues en fait... Sais tu si qq a adresser ces questions basiques afin peut etre lever des doutes tout betes chez moi ? Merci et bravo pour la video , moi (ingenieur qui a cessé les maths prepa il y a 35 ans) j'aime beaucoup meme si 95% m'echape, les grandes lignes , la structures et tes explications sont très coherentes et on te "suis"
@@antoinebrgt Bonjour, moi aussi je n'ai pas compris... Quel est l'intérêt de séparer les sommes sachant qu'il y a le même nombre d'indice pour chaque x_i, la base n'est elle pas la même pour tous les x_i?
@@pascald7079 Oui mais il y a p indices distincts ! Il faut sommer pour i1 allant de 1 à n, puis pour i2 allant de 1 à n, etc.
@@antoinebrgt mais si il n'y a qu'une base pourquoi différencier les ei ? Merci pour vos vidéos!
K forme
R de x également afin de...
D de 1 foi D donne carre de XNombre en puissances
Cy D on lui enlevé le carre cela devient d de 0 .donc d valeur de l'unité. Donc D de prime.
Ce n est pas l'objet qui aximetriqe ou la distance entre entre l objet est l aximetrie s y vous avez un objet en a de distance un centimètre. Est son oposer de 2 centimètre l'est deux on le même cence mai l un des deux est plus court.
Il faudrait revoir la partie sur l'algèbre linéaire : c'est trop abscons !... Je suis persuadé que l'on doit pouvoir expliciter davantage ces notations... Et le Laplacien ?...
Il existe pas mal de références sur l'algèbre linéaire en vidéo sur UA-cam, le but ici n'était pas de tout refaire :)
Pie voi 3.14. Etc
X de egale 1
Description de la relative parciel .De gravité 0.
Pourquoi avoir des assurances vie avec plusieurs millions alors que la fiscalité avantageuse est limité à 4600e par an?
Bonne question, est-ce bien relié aux différentielles ?
@@antoinebrgt Comment ca?
@@Epectase2017 je demande en quoi l'assurance vie est lié à la géométrie différentielle dont je parle ici
@@antoinebrgtmdr je viens de comprendre mon commentaire a glissé sous votre vidéo visiblement 😂
J'ai regardé une vidéo bourse juste avant !
Xde e egal a 1