Relativité Générale épisode 3 : force gravitationnelle et métrique de Schwarzschild
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- Опубліковано 31 сер 2018
- Dans ce nouveau live, je commence par revoir le célèbre problème à deux corps en mécanique Newtonienne, avec les trajectoires en coniques. Puis je traite le même problème en relativité générale, en utilisant la métrique de Schwarzschild. Cela permet de mettre en évidence des trajectoires nouvelles, et d'élaborer des tests expérimentaux de la théorie. On aperçoit également la possibilité d'avoir des astres au comportement contre-intuitif, les trous noirs.
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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I) Gravité en mécanique newtonienne
A) PDF, équations du mouvement et cas simples 3:46
B) Résolution des équations et trajectoires coniques, potentiel effectif 25:38
II) Métrique de Schwarzschild
A) Rappels de relativité générale 47:07
B) La métrique 56:00
Limite newtonienne 1:13:33
C) Equations géodésiques 1:17:21
D) Résolution via potentiel effectif 1:38:14
Dernière orbite circulaire stable 2:06:06
III) Effets mesurables
A) Précession du périhélie 2:08:11
B) Déviation des rayons lumineux 2:15:01
C) Ralentissement gravitationnel du temps 2:20:19
IV) Le rayon de Schwarzschild 2:28:24
Questions sur les trous noirs 2:30:32
Conclusion 2:39:14
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Sources et références : il s'agit d'un sujet très classique, il y a donc beaucoup de références. Par exemple pour la physique de Schwarzschild on pourra regarder le chapitre 9 du livre de Hartle, _Gravity_.
Mais attention, tous les livres prennent les unités où c=1. Dans la vidéo, pour les applications numériques et pour pouvoir comprendre ce qui se passe dans la limite newtonienne, j'ai fait attention à garder toutes les constantes présentes.
Très bon cours sur la RG, merci pour tous les détails et la clarté de l'exposé. Cette histoire de singularité au centre d'un trou noir où le mouvement dans l'espace devient l'écoulement du temps est vertigineuse. J'ai hâte d'en savoir plus sur la géométrie des trous noirs. Merci infiniment.
@@tomleguerroyant2231 merci ! Je n'ai jamais terminé cette série et donc je n'ai jamais parlé de trou noir en détail mais j'ai pour plan de le faire prochainement!
Le cours est très clairement expliqué ( dans les limites de compréhension qui sont les miennes pour l'instant, j'ai encore du boulôt) et en plus l'écriture est très claire et sans fautes d'orthographe. C'est assez rare de cumuler toutes ces qualités dans un seul cours. Merci: utile et intéressant, comme d'habitude
J'ai hâte de voir l' épisode de la géométrie des trous noir!! super merci
Salut,
Je viens de revisionner la vidéo, et il y un petit détail qui me chiffonne et qui m'avait échappé la première fois :
A 2:24:00 pour comparer les temps propres, tu divises dtau1² par dtau2² et tu simplifies par dt². Ce qui me gêne c'est "est-ce que c'est le même dt² dans les deux formules pour pouvoir simplifier ?"
Sinon, j'ai vu que tu as un parcours incroyable. Chapeau bas ! En plus tu as un spectre large, pour être capable de parler d'algèbre des idéaux, de géométrie algébrique, de relativité et de physique quantique. Je n'imaginais pas que tout ça puisse rentrer dans une seule tête ! Vraiment bravo pour ton parcours !
Je vais visionner toute ta série sur la TQC, car c'est la première fois que quelqu'un la rend accessible, et ce avec des formules. En général c'est de la vulgarisation, mais jamais on n'entre vraiment "dans le dur".
Continue, tu fais un travail incroyable et d'utilité publique !
Je suis loin d'être sûr de ce que j'affirme, mais il me semble que la variable t représente le temps mesuré dans le référentiel d'un observateur extérieur aux deux autres, sans qu'il y ait évidemment de choix privilégié de référentiel dans lequel mesurer ce temps
D'une façon générale, si je ne dis pas de bêtise la notion physique de référentiel correspond en RG à la notion mathématique de choix de coordonnées, et donc en particulier de coordonnée temporelle
Toujours aussi bluffant. Il faut que j'arrête de penser à l'optimisation dès que je vois un gradient par contre. XD
Merci, tu étais vraiment un beau pont, entre nous et le géant de la relativité générale
C'est incroyable, comme les formules de Binet et Serret-Frenet, qui nous impressionnaient tant en prépa, paraissent complétement triviales maintenant!
Très sympa!
super d'avoir occulté les complexités mathématiques.
Bonjour Antoine,
Il y a un point que je n'ai pas compris. Quand tu écris que le tenseur d'Einstein est nul, à 55 mn, parce que il n'y a que le soleil, d'une part on pourrait dire la même chose si le soleil avait charge électrique monstrueuse puisque la seule hypothèse est que la source puisse être considérée comme ponctuelle. Il y a aussi un autre point, il me semble que ce n'est pas pareil de dire que le tenseur d'Einstein est identiquement nul, et de dire qu'il est nul partout sauf en un point. Enfin une dernière question, je ne sais si tu es familier avec les travaux de Christodoulou Kleinerman Szeftel, où ils montrent (sur plus de mille pages!) la stabilité des solutions des équations d'Einstein. Y a t'il un sens physique exploitable à ces résultats très théoriques? La question elle même a t elle un intérêt pour le physicien. Merci beaucoup pour cette superbe vidéo.
Oui, évidemment le tenseur d'Einstein est nul partout sauf à l'origine, où se trouve le soleil. C'est ce que j'écris sur l'écran, "partout hors du Soleil".
La question de la charge électrique est intéressante, dans ce cas il faut changer les équations et considérer les équations d'Einstein-Maxwell. On peut alors résoudre de la même façon et on trouve une métrique dite de Reissner-Nordström.
Et oui je connais les travaux de Christodoulou Kleinerman Szeftel; je dirais que c'est un résultat attendu mais c'est toujours bon de savoir qu'il y a une preuve rigoureuse, ça évite d'avoir à se demander s'il n'y a pas des choses qui auraient échappé aux physiciens !
Vidéo passionnante, comme toujours:
Y a deux trucs que j'ai pas compris:
1) Concernant les diagrammes de potentiel, tu dis vers 1:52:40 qu'avec une énergie grande, la planète ne sort plus de l'astre, mais l'énergie n'est même pas atteinte par la courbe.
2) Concernant la dilatation du temps, tu dis que si r1
Merci pour les commentaires ! Voici quelques éléments de réponse :
1) Oui la courbe n'atteint pas l'énergie, c'est justement pour cela que la planète continue d'avancer vers le centre. Elle ferait demi-tour si la courbe atteignait l'énergie de la planète, comme dans le cas précédent. Le mieux pour comprendre ça est de garder à l'esprit que la différence entre la courbe (énergie potentielle) et l'énergie totale est l'énergie cinétique, et donc reliée à la vitesse de la planète.
2) Concrètement, tu peux mesurer ça à l'aide d'un phénomène physique. Par exemple tu mets un élément radioactif à la surface de la Terre et au centre ; la décroissance radioactive prendra plus longtemps pour l'élément situé au centre. Ou alors, tu imagines deux jumeaux, l'un qui reste vivre là où la gravité est faible, l'autre qui va dans un endroit où elle est très forte. Au bout d'un certain temps, les deux jumeaux se rejoignent, l'un est un adolescent de 15 ans et l'autre un vieillard de 80 ans. Bref, le temps passe VRAIMENT plus lentement au centre de la Terre, quel que soit la façon que tu as de le mesurer.
Donc il faut que quelque chose les réunisse, si j'ai bien compris.
Question subsidiaire: la vitesse de la lumière est-elle invariante dans absolument tous les référentiels ou bien seulement les ref en mvt rectiligne uniforme ?
La vitesse de la lumière est "localement" constante dans tous les référentiels. Mais si tu es dans un référentiel non-inertiel, alors si tu divises la distance parcourue par la lumière entre deux points par le temps qu'elle a mis, tu peux trouver autre chose que c.
Pour l'autre question, oui tu peux les réunir, les trajets n'ont pas beaucoup d'importance ici.
Note que si tu utilises la définition de la seconde (qui correspond à un phénomène de physique atomique), il se passe effectivement moins de secondes si tu fais un détour par une zone où la gravité est forte. Donc même la métrologie te confirme que la dilatation du temps est bien réelle :)
Encore un cours magistral ! Y a t-il eu un 4eme épisode sur la géométrie des trous noirs ? voire un 5ème sur les ondes gravitationnelle ? car on veut absolument savoir ce qu'il en est. Encore milles merci Antoine pour ce superbe échange.
Malheureusement non, pour l'instant il n'y a pas d'épisode 4 et suivants... Je garde ça dans un coin de la tête, mais je me suis tourné vers d'autres sujets dont j'estime qu'ils sont moins couverts par la vulgarisation sur youtube. Mais je ferai très certainement une vidéo sur les trous noirs un jour !
ua-cam.com/video/xCgvmunzftc/v-deo.htmlsi=xuSLdXkmFMK4X1rm
Dans le séminaire Bourbaphy de 2016, dédié aux ondes gravitationnelles, et qu'on trouve sur YT. Très progressif, et le plus fascinant, c'est le génie expérimental consacré à des mesures de phénomènes de dimensions infinitésimales
Quand à 1h09, tu parles du chemin le plus court pour une planète, tu mesures en fait la longueur en terme purement spatiaux; mais il n'est pas étonnant si on prend une géodésique sur une variété de dimension 4, et qu'on la "projette" sur une sous-variété de dimension 3, à mon avis, il n'y a aucune chance que la projection reste une géodésique pour la métrique induite. Enfin, je vais voir dans le Petersen pour le cas purement Riemannien. Mais même sans entrer sur ce point, quand tu dis que "ça coute " de s'approcher du Soleil (certes!!), ce qui laisse penser à une question de minimisation de l'énergie, ne serait il pas plus simple de dire que la contribution des bouts proches du Soleil dans la longueur géodésique est plus importante. C'est d'ailleurs aussi l'idée quand on trace des géodésiques sur le 1/2 plan hyperbolique
Oui, quand tu dis "ne serait il pas plus simple de dire que la contribution des bouts proches du Soleil dans la longueur géodésique est plus importante", c'est exactement ce que je veux dire. Ici j'essayais de faire sentir cela intuitivement, il n'y a rien de très profond dans ce que je dis.
(je me rends compte également en revisionnant ces passages que mon style a changé depuis, j'essaye d'être plus précis dans les vidéos plus récentes!)
Merci pour cette vidéo ! puis-je savoir à quelle vidéo correspond l'épisode 4 qui résout la physique des trous noirs ?
Malheureusement elle n’est jamais sortie, un jour je la ferai, promis ! En attendant il y a plein de vidéos sur le sujet (par exemple chez Science Clic)
Bonjour
Savez vous quelle est la transformation de coordonnées pour passer d’un référentiel à un autre dans un champs de gravité? Par exemple dans le cas de scwartchild
La métrique de Schwarzschild décrit la géométrie autour d'un objet très très massif non tournant, comme une étoile à neutrons ou un trou noir non rotatif. Elle est donnée par :La transformation de Schwarzschild qui permet de passer des coordonnées isotropiques.
Bonjour
J'ai bien apprécié vos cours. Vous avez une démarche structurée.
Merci infiniment.
Avez-vous travaillé sur la partie droite de l'équation d'Einstein?
Cordialement.
Hm je ne crois pas avoir vraiment travaillé sur ça, je ne fais pas beaucoup de relativité générale au quotidien en fait!
bonjour
d'après ton schéma le grand axe de l'ellipse est égal à la somme de r+ et r- (grand rayon plus petit rayon de chaque cercle)
merci
*En relativité générale, le future est à peu prés 5 mètres plus bas* .
( _Sur terre et pour une seconde_ ).
Je trouve cette phrase amusante. Je ne suis pas totalement certain qu'elle soit exacte (chute libre d'un corps au bout d'une seconde / principe d'équivalence ?).
Mais si elle est "valide" : c'est peut-être une façon d'illustrer la courbure de l'espace temps ?
Pourrons-nous avoir tes scripts matematica ?
Merci.
Y a-t-il une raison technique pour ton choix de matematica ou bien tu aurais pu aussi le faire sous Python ou MatLab ou Maple ?
Oui je vais mettre un lien vers le script mathematica !
Il n'y a pas de raison particulière pour mon choix de ce logiciel plutôt que d'un autre, hormis le fait que c'est celui avec lequel je suis le plus à l'aise. (Je l'utilise beaucoup pour mon travail. )
Belle vidéo ! Que vaut la solution du système d'équations différentielles au début de la vidéo ?
J'arrive un an plus tard mais au cas où, j'imagine que tu parlais des équations à 14:00, pour rappel ce sont les équations qui régissent le mouvements des astres soumis à la gravité selon Newton (ellipses, cercles, paraboles, hyperboles) et qui démontrent les lois de Kepler.
Scienceclic en a fait une vidéo très intéressante sur sa chaîne secondaire, sur la démonstration de la résolution des équations de Newton :
ua-cam.com/video/Mo8pBsVD9uQ/v-deo.html
les lois de newton ne fonctionnent pas pour les particules subatomiques , ce qui pose le problème quantique de la gravitation ,
Est-ce que les notions de groupes / algèbres de Lie, exponentiation... servent en physique théorique? C'est très personnel mais j'ai un tout petit vernis sur le sujet (je suis roboticien) et je me demandais si je pourrais le réutiliser ;) Peut-être pour un paramétrage de l'espace?
C'est bien plus que ça ! Je dirai que les groupes et algèbres de Lie sont l'outil central, et de loin le plus important, de la physique théorique. S'il n'y a qu'une chose à connaître c'est ça.
Ha ben chic, je vais pouvoir recycler mes petits rudiments ! Merci!
Bonjour Antoine,
je voudrais savoir pourquoi le tau dont tu parles à 1h41 n'est pas celui de la relativité restreinte, qui fait intervenir sqrt(1-v²/c²)? cette relation doit être vraie localement, simplement le v deviendrait variable dans le cadre de Schwarzschild. Merci et bonne journée
Oui dans le cas de la relativité restreinte on doit bien retrouver cette formule. On peut voir ça comme un cas particulier, non ?
Une dernière question: si par exemple le soleil a un moment cinétique, je crois que les solutions sont de type Kerr; c'est évidemment une question de conditions initiales; pourtant dans le cas Schwartzchild, on ne fait apparaitre aucune condition sur le moment. J'avoue que ça me laisse perplexe, puisque il y a unicité des solutions de Schwartzchild( Birkhoff, je crois). Merci d'avance pour ton aide
Oui, c'est vrai qu'en principe il faudrait prendre en compte le moment angulaire, et donc une métrique de Kerr, mais ça n'apporterait que des petites corrections tant qu'on reste à grande distance. On pourrait faire d'autres critiques, par exemple le fait que le soleil n'est pas tout à fait à symétrie sphérique, etc. Mais en première approximation, on a bien ce que je raconte ici, et c'est confirmé par l'observation.
@@antoinebrgt Merci pour ta réponse rapide! en fait, ce que je comprends mal, c'est comment la rotation du soleil sur lui-même peut modifier la géométrie de l'espace-temps. Vu de l'extérieur, si le soleil est parfaitement symétrique, un observateur voit toujours la même sphère, sauf si cette rotation fait que le soleil "émet" quelque chose. Sauf erreur, en physique newtonienne, que le soleil tourne ou pas, le champs gravitationnel reste le même. Est ce que l'existence de solutions spécifiques de type Kerr est uniquement propre à la relativité générale?
@@ducdeblangis3006 Oui je pense que c'est bien spécifique à la RG. Le point fondamental dans la métrique de Kerr est la présence d'un terme non nul en dt dphi où phi est l'angle qui décrit la rotation de l'astre. C'est donc bien une modification de la géométrie de l'espace-temps. Une autre façon de voir la chose est que la métrique de Kerr n'est pas invariante sous le changement t va à -t, autrement dit c'est une solution stationnaire mais pas statique de la RG.
@@antoinebrgt Merci beaucoup, c'est très éclairant, sur ce point je me demande si la non invariance est perdue, autrement dit si on retrouve l'invariance, quand on passe à la limite c->infini. Mais je cesse de te solliciter,je vais essayer de comprendre de mon côté
1:41:47 il me semble que
e=(1-R/r)c²t' (et non de ² sur le t')
Ca s'étudie à quel niveau (académique) généralement la relativité générale?
En M1/M2 le plus souvent, je pense. Pour moi c'était ça en tout cas.
@@antoinebrgt intéressant, merci!
A quand la prochaine video????
Une nouvelle vidéo est (enfin) sortie :)
Excellent mais concernant la fin, ce ne sont que pures spéculations (si r = R) à partir d'une expression mathématique qui avec un changement de variables donneront d'autres spéculations.
Oui, il faut étudier avec soin ce qui se passe à cet endroit, je n'ai jamais fait l'épisode sur les trous noirs, ça viendra peut-être cette année!
@@antoinebrgt Je suis sûr que ce serait passionnant !
bonjour
dans la formule du potentiel effectif Veff=l^2/2r^2-GM/r quelle est la valeur numérique de l
j'ai retrouvé GM sur internet mais pas l
je pense que r- est la plus courte distance terre soleil et r+ la plus grande
Avec Python je voudrais faire rouler indéfiniment la terre entre r- et r+ sur la courbe du potentiel
merci
Bonjour, l correspond au moment cinétique, donc c'est lié à la vitesse de rotation de l'astre. Tu peux par exemple calculer ce que ça vaut pour la terre autour du Soleil!
@@antoinebrgt merci
j'ai retrouvé sur internet la constante de Kepler K=1/a^3*omega^2
l=1/k*omega*a
j'ai retrouvé a et omega
merci
plus j avance dans le mystère de la gravitation plus je me rends compte qu on ne sait strictement rien sur les lois fondamentales de la gravitation , comment s attirent deux atomes , deux quarks , deux électrons , deux neutrons , deux grains de sable , deux astéroides , deux planètes , deux étoiles , deux galaxies , deux amas de galaxie , deux trous noirs , attraction de la lumière , deux trous blancs , multivers , gravitation a boucles , les réponses doivent se trouver dans la physique quantique , infinie comme l est l univers , a moins que l univers ait une fin , des cycles infinis ,
À quand l'épisode 4? ;)
Il est sorti !
@@antoinebrgt Hélas, l'épisode 4 semble introuvable sur votre chaîne. L'avez-vous effacé ? Mis en non répertorié ? En privé ? Merci pour vos vidéos.
@@quark67000 Désolé il n'a jamais été tourné, car j'ai déménagé après cette vidéo et ai arrêté de faire des vidéos pendant plus d'un an... Mais un jour je le ferai, promis !
(du coup je suis très perplexe vis-à-vis de mon commentaire disant qu'il est sorti, je parlais peut-être de la reprise des vidéos, franchement je ne sais plus !)
@@antoinebrgt Merci pour cette précision et l'explication :) Bonne soirée à vous !
newton pour ses travaux a dit , je suis monté sur l épaule des géants , einstein n a pas fait autrement , la science est souvent linéaire , beaucoup affirment qu einstein n a fait que plagier poincaré , maxwell , hilbert ,lorentz , fizeau , planck , trop facile de faire de telles allégations , si einstein s est servi des théories des grands savants de l époque comme planck , mawwell , qui sont d immenses génies , il faut aussi le prouver par des équations mathématiques , sinon , tout et n importe quoi sont possibles , bien sûr qu einstein a étudié maxwell , comme newton a étudié les travaux de copernic , quoi de plus logique , et galilée s est inspiré de copernic , des mathématiciens et astronomes grecs qui avaient pressenti l héliocentrisme tel aristarque de samos , qui avec des outils archaiques avait la certitude que la terre tournait autour du soleil ,,
Aristarque de Samos : astronome et mathématicien du III ème siècle avant J-C injustement méconnu... Le chameau au service de la science (avec ses pas réguliers) : quelle histoire!
Je visionne tes vidéos de 2018 sur la relativité.
C'est super
Par contre j'ai une interrogation:
E=1/2mv**2 est l'énergie cinétique de 1 particule de masse m se déplaçant à la vitesse v
Dans E=mc**2, E est l'énergie de quoi?
une particule de masse > 0 ne peut pas se déplacer à la vitesse de la lumière!!
et pourquoi pas alors E=1/2 mc**2
Merci !
E=mc^2 est l'énergie de masse d'une particule au repos, si tu fais un changement de référentiel tu obtiens l'énergie cinétique classique à l'ordre 1 dans le développement en v/c.
@@antoinebrgt merci
à partir de mc^2(1-v^2/c^2)^-1/2
on retrouve mc^2+1/2mv^2
@@bullmarket3424 oui voilà c'est ça