Редкий, но полезный способ решения систем
Вставка
- Опубліковано 5 тра 2024
- Решите систему уравнений (2^x)∙(3^y)=24, (2^y)∙(3^x)=54.
Предыдущее видео: • Найдите наибольший объ...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
Используем метод пристального вглядывания и сразу получаем ответ )
При использовании метода пристального вглядывания полагается доказывать, что глаз не замылился и увидели все ответы, ничего не пропустив.
@@Nikolai_Petrukhin Согласен
@@Nikolai_Petrukhinи доказать, что других ответов нет)
Это ия за)
Согласен😂
Сразу заметил, что:
24 = 8*3 = 2³*3
и
54 = 9*6 = 27*2 = 3³*2
Очевидно😁, ответ (3;1)
Докажем, что он единственный:
в каждом уравнении перенесём множитель с "x" в правую часть
и
возьмём логарифм по оснаванию 2 и 3, соответсвенно
получим:
y = log(3, 3*2^(3-x))
y = log(2, 2*3^(3-x))
после сокращений и переносов получаем:
y = 1+ (3-x)*log(3, 2)
y = 1+ (3-x)*log(2, 3)
Получаем уравнения для двух прямых, что пересекаються в одной точке (поскольку разные коеф. при "x")
PS:
log(3, 2) - логарифм 2 по основанию 3
log(2, 3) - логарифм 3 по основанию 2
Очень приятная система и не менее приятное решение. Благодарю, Валерий!
Привет Валерий. Оригинальный способ решения. Спасибо вам.
Способ хороший, и достаточно очевидный.
Так как 3=2×1,5 то систему можно записать как 2^(x+y)×1,5^y=24 и 2^(x+y)×1,5^x=54. Разделив первое на второе, получим 1,5^(y-x)=4/9=1,5^(-2), то есть y-x=-2 или x=y+2. Подставив в первое уравнение системы 2^(y+2)×3^y=24, разделив на 2^2=4 получим 6^y=6, откуда y=1, x=1+2=3. Спасибо за оригинальное решение.
Прологарифмировать можно и решать как обычную линейную систему
Классный подход!
Вот Михал Абрамыч незамедлительно заявил бы, что такие задачки решали даже советские двоешники в яслях. И я с ним согласен!
Такие задачи умели решать даже советские глисты.
@@AlanTuring26 Никак нет. Советские глисты были мелкобуржуазными паразитами в телах советских граждан, стремление к науке им было чуждо, поэтому такие задачи они решать не могли.
Ну да. Если прологарифмировать уравнения, получится линейная система на (x,y), а это уже несложный тип систем с кучей методов решения и теории
Я: 24=2³×3¹, 54=2¹×3³
Х=3,у=1
Перебор имеет место быть, но только в том случае когда аналитически проще доказать единственность этого решения.
Если единственность не доказана, уравнение решено не полностью
🤔Слишком затейливо и длинно.Решение- очевидно .
2^х.3^у=2^3.3^1; 2^у.3^х=2^1.3^3,👉х=3 , у=1☘️
🌿Мнение из Болгарии 🌹🇧🇬
Супер, очень красивый метод
Спасибо 👍
Очень красивый метод.
действительно, редкий способ!
Уровень детского сада. Решил в уме за 15 секунд. Валерий, можно, пожалуйста, что-то посложнее, например, задания из республиканских олимпиад? Спасибо
Если действовать просто по обычным приёмам, то решать удобно в логарифмах. Например: xln2 + yln3 = ln24. В результате это решение системы линейных уравнений с 2 неизвестными.
Супер.
Só não entendi o idioma ( língua russa), mas a questão é muito boa.
24 и 54 разложить на простые множители, а дальше всё уже интуитивно понятно
Замечательно
Полезно
Можно проще:
представим 24 как 8*3 или 2^3*3^1, а 54 как 27*2 или 3^3*2^1, тогда:
{2^x*3^y = 2^3*3^1
2^y*3^x = 3^3*2^1}
В принципе, уже здесь в силу однозначности показательной функции видим ответ, но да Бог с ним, продолжим:
поделим левую часть каждого уравнения на его правую часть:
{2^x*3^y/2^3*3^1 = 1
2^y*3^x/3^3*2^1 = 1}
Приведем к произведению одинаковых оснований и приравняем:
{2^(x-3)*3^(y-1) = 1
2^(y-1)*3^(x-3) = 1}
2^(x-3)*3^(y-1) = 2^(y-1)*3^(x-3)
Снова поделим левую часть на правую и приведем к произведению одинаковых оснований:
2^(x-3)*3^(y-1)/2^(y-1)*3^(x-3) = 1
2^(x-y-2)*3^(y-x+2) = 1
2^(x-y-2)*3^-(x-y-2) = 1
вынесем показатель по свойству степени:
(2^*3^(-1))^(x-y-2) = 1
(2/3)^(x-y-2) = 1
Степенная функция равна 1, когда показатель равен 0, значит:
x-y-2 = 0
х = y+2
Возвращаемся к любому из исходных уравнений, например, к первому:
2^(y+2)*3^y = 24
2^y*2^2*3^y = 24
2^y*3^y*4 = 24
6^y = 6
y = 1
Отсюда:
x = 1+2 = 3
Ответ: х = 3, y = 1
2^x×3^y=24. Сразу можно догадаться, что y=1, потому что если y>1, то 3^y должно делиться на 9, и правая часть тогда тоже на 9 будет делиться, значит явно не 24. 24÷3=8=2^x. X=3. Подставляем x и y во второе уравнение и всё сходится.
Т.к. разложение на простые множители единственно (это аксиома), то для решения системы достаточно любого из уравнений. Как таковой тут системы нет, ну, разве что проверить автора задачи на ее правильную постановку и наличие решения вообще. Можно было огород не городить. 2 в 3 × 3 в 1, подставляем во второе и убеждаемся что подходит.
Рамануджан в своей нирване горько плачет от того, что ЭТО надо решать целых 4.5 минуты )
примеры, это, конечно, хорошо, но Вы уже думали где будете праздновать 1 декабря? )))
перемножаем левые и правые части: (2^x)∙(3^y)∙(2^y)∙(3^x)=24*54. => (6^x)∙(6^y)=4*6*6*9 => 6^(x+y)=6^4 => x+y = 4 => y = 4-x. Подставляем '4-x' вместо 'y' в первое уравнение: (2^x)∙(3^(4-x))=24 => (2^x)*3^(4)/(3^x) = 24 => ((2/3)^x)*(3^4)=24 => ((2/3)^x)*(3^4)=24 => (2/3)^x=24/(3^4) => (2/3)^x=8/(3^3) => (2/3)^x=(2^3)/(3^3) => (2/3)^x=(2/3)^3 => x=3 => y=4-x=1
💪🏻💪🏻💪🏻
Делил первое на второе, ничего не умножал. Получил (2/3)^(x-y) = 24/54, далее x-y=t, далее все элементарно.
Перемножим уравнения: 3^(x+y)•2^(y+x)=54•24=2^4•3^4, 6^(x+y)=6^4, x+y=4. Теперь поделим второе уравнение на первое: 3^(x-y)•2^(y-x)=54/24=3^2/2^2, (3/2)^(x-y)=(3/2)^2, x-y=2, тогда 2x=(x+y)+(x-y)=6, x=3, y=(x+y)-x=1.
Ответ: (x,y)=(3,1)
Отец поручил сыну измерить длину двора шагами. Дело было зимой и на снегу остались следы ног сына. желая его проверить, начав с того же самого места и идя в том же самом направлении, отец дошёл до конца двора. Всего следов на снегу, считая совпадавшие следы за один, оказалось 61. Чему равна длина двора, если шаг отца равен 0, 72 метра, а шаг сына 0, 54 метра? (как записать решение?)
x =3, y=1
В чем проблема разложить правые части на множители? Там, основная теорема теории чисел…
В условии где-то сказано что x и y - неотрицательные целые? Из первого лишь следует что y = 1+log₃2·(3−x), из второго - y = 1+log₂3·(3−x); понятно что такие две прямые имеют одну общую точку, которую можно найти и Вашим способом, и методом пристального взгляда, а вот доказать что по сути это линейные уравнения немного сложнее. 😉
Но можно же не делить их, а умножать
Решила и получилось х=3; у=1
Примитивно) И заняло секунды 3
Разложим 24 на множители: 2*2*2*3 Вот и ответ.
Х=3
У=1
икс-3
игрик-1
методом подбора за три минуты..
В каком смысле - редкий способ? Такие системы только так и решаются....
4:17 не единица, а АДЫН
Вы грузин?
@@galinawesseler1586 нет, я Эльмир meth смотрю
А вы как решали? Через формулу Пика? Лично я всё решил через гетеросексуальный лагорифм
Прологорифмировать.
Я наоборот, умножил друг на друга.
Колдунство
Догадался что надо перемножить
Но до ответа не дошёл бы
Да и лень было вставать с постели брать ручку и листок бумаги...😂
(3;1)
Изи 😊
БОЛЕЕ ПРОСТОЙ СПОСОБ : ПРАВЫЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЙ РАЗЛОЖИТЬ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.
не смотрел видел . 10 секунд подбора х=3 y=1
Мдаа, даже в России построчное деление и умножение в системе уже редкий способ. Значит математики, да и образования вообщем-то уже нет нигде. 🧐