基礎数学I⑭ ガウス=ボンネの定理

[@西倉茂]

初めまして。この基礎数学講義を拝聴し、すごく参考になりました。私はもう７２歳で、もう一度数学を勉強したいとおもい、石川先生のUA-camに出会い、非常に参考になりました。多様体の基礎の本はずいぶん前に購入して、独学で読もうとしましたが、挫折しました。今回の動画ですんなりと理解できることができました。ありがとうございます。自分の好きな部門は解析学なのですが、楕円関数に興味があり、その方面の勉強をしていると、どうしても多様体の考えが必要になると感じていたので、非常によい機会を得ることができました。

[@controlandrobotics354]

温かいコメントをいただきどうもありがとうございます．大変励みになります．

[@西倉茂]

@@controlandrobotics354 ご丁寧に返信を頂き恐縮しております。推奨して頂いた「曲線と局面の微分幾何」を読んでいるところです。60ページくらいまで来ました。問いの問題は本質を理解していないと解けないところに面白みを感じています。私は、東海大学大学院航空宇宙学の修士を終えて自動車会社に就職しいろいろ学んできましたが微分幾何は知りませんでした。微積分、複素解析どまりでした。非常に面白いです。とこで、この微分幾何がロボット工学とどのように繋がっているのでしょうか。さらに興味が湧いてきました。ロボット工学との繋がりをお教え頂ければ幸いです。よろしくお願いいたします。

[@controlandrobotics354]

ありがとうございます．ロボットは関節空間が多様体（一般化トーラスや円筒）で運動方程式も非線形なので，基礎理論においても多様体論と深くつながっていますが，ほかにもヘビ型ロボットの解析に曲線の微分幾何を使ったり，ドローンの姿勢空間がSO(3)だったり，最適経路計画にリーマン幾何学をつかったりと，つながりは多方面に渡ります．すでに終わってしまったものですが，下記のようなセミナーにも参加させていただきました．www.rsj.or.jp/event/seminar/news/2022/s141.html

[@西倉茂]

@@controlandrobotics354 返信ありがとう御座います。非常に参考になりました。物理数学と別に微分幾何学が工学系にこのように活用されていること知り、ますます興味が湧いて来ました。先ずは基本を修得したのちチャレンジしたいと思います。セミナーの情報、ありがとう御座いました。今後、同じようなイベントがあるならば拝聴したいと思っております。

[@aiueokakikukeko211]

面白いですね！

[@雅彦徳田-s1n]

はじめまして、数学が苦手で嫌いな日曜物理学者です
ガウスボンネの公式の勉強が避けられなくなり、貴動画で勉強させてもらっています。
さて、質問ですが、25分頃に∫_∂S k_g=3*π/2 になっていますが、 k_gはκ_gではないでしょうか？その上でk_g=０となっているので、k_gだとゼロになると思うのですが…
その場合、
∫_∂S k_g=_∂S κ_g=∫_∂S k_g＋∫_∂S k_n=3*π/2
と考えて良いのでしょうか？
私の研究主題は量子物理を一般相対論で考える事です。
最近黄金律やリーマン予想が量子論とつながっているということを知り、びっくりしました。そこで嫌々ながらもこれらを勉強し、やっと物理に戻れたと思ったら、ガウスボンネの公式が一般相対論を通じて量子論とのつながる事を知りました。そこでネットを徘徊していて、ここに到りました。わかりやすい説明で助かっています。感謝します。

[@controlandrobotics354]

すっかりご返信が遅くなり恐縮です．ここは少し雑に説明してしまっていますが，3辺は測地線なのでその上ではk_g=0，したがってその積分も0になります．ただし，3つの頂点だけは例外（∂Sが滑らかでない特異点）で，この点で「ギュッ」と90度ターンするので，一瞬でπ/2が積み上がることになります．それが3回あるので3π/2というわけです．