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基礎数学I③ 位相の気持ちを理解しよう
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- Опубліковано 7 сер 2024
- COVID19対応としてオンライン講義動画の一部を試験的に公開しています．
大学院機械系M1を対象とした多様体論の講義です．
テキスト：松本幸夫，多様体の基礎，東京大学出版会 (1988)
質問・コメントはこちら→ forms.gle/TbTQ48MnD6Qdyk9d7
前の動画（第②回）→ • 基礎数学I② R^mからはじめよう
次の動画（第④回）→ • 基礎数学I④ 多様体の定義
訂正：ハウスドルフのスペルは Hausdorff です（fが二つ）．ご指摘くださった方，どうもありがとうございました．
0:00 はじめに
2:29 定義と定理の入れ替え①一般化のお作法
7:38 部分集合族とべき集合
12:32 位相空間の定義
15:32 密着位相と離散位相
18:18 位相の例：りんご・みかん・バナナ
25:25 ハウスドルフの分離公理
28:52 写像の連続性
33:19 位相同型
34:37 定義と定理の入れ替え②すべての道はローマに通ず
40:00 位相の継承：相対位相，積位相，商位相
最近の教科書では，こちらもおすすめです．
坪井俊先生「幾何学I, II, III」：
www.amazon.co.jp/dp/4130629549
www.amazon.co.jp/dp/4130629557
www.amazon.co.jp/dp/4130629565
あまりに分かりやすく感動しました！解析力学や相対論を学ぶ中、多様体の知識が必要だと感じつつも純粋数学に馴染めずにいましたが、先生の分かりやすいイメージや捉え方は非常に参考になりました！
部外者である私でも見られるのは非常にありがたいです
今まで見た位相空間の動画の中で、圧倒的に一番分かりやすかったです。
松坂や内田を読んでもなかなか時間がかかって苦しんでいたところ、この動画で一気に道がひらけたように思います。
自分はツォルンの補題でも苦戦しているので、いつかツォルンの補題の内容や証明を解説してくださると嬉しいです。
数学物理の学び直しをしているものです。集合位相のところは、松阪先生の紹介された本、志賀先生の位相３０講を半年くらいかけて読んでこの講義で説明されている話が分かるようになったのですが、細かいところはまだもやもやしていました。わかりやすく説明いただき理解が深まりました。特に「それってどういうことが重要なの？」というところが数学専門書だと分かりにくくていつも苦労していました。松本先生の多様体入門は確かに丁寧で分かりやすいのですが、非数学専門にとっては簡単とは言えないのですね。この本も2，3度読みましたが、この講義で更に理解を深めたいと思います。ありがとうございました。小林先生の接続の微分幾何とゲージ理論を理解するのが当座の目標です。
りんご、みかん、バナナの例えで霧が晴れて太陽が見えた気がしました！凄くわかりやすいです‼️
分かりやすくて感動しました！
わかりやすすぎて泣く
ずっともやもやしていた、ε-δによる連続の定義と、逆像による連続の定義の「不連続性」を、埋めることができました！あと、「仲間はずれ位相」ニックネームが良かったです。位相を自分で入れることができることと、近さの表現であることがピンときました！
とても分かりやすくて感動しました。②から③への流れが素晴らしいです。
追記：スペルミス報告。27:03 のハウスドルフさんのスペルはHausdorff でfが二個あるようです。どんな人なのかを調べようとググったら出てきました。ユダヤ人で最後は強制収容所に入れられる前に自殺されたんですね。悲しい。冥福を祈ります。
ご指摘ありがとうございます。ドイツ語Haus+Dorfの連想でついfを一つにしてしまいがちです
ありがとうございます。
集合の集合とかについて、よく分からなかったのですが、位相は台となる集合の冪集合の部分集合だから集合ではないのですか？
それに集合族、として集合でないとしてしまうと通常の操作、例えば「和集合をとる」などが出来ないのではないですか？
返信遅くなりまして恐縮です．「集合の集合」のあたりはあまりきちんと定義せずにお話してしまっていますが，ここでは「要素が集合であるようなものを集合族と呼ぶ」とお考えください．冪集合も位相も，その要素はXの部分集合ですので，集合族（部分集合族）にあたります（ややこしいですが，冪集合の要素一つ一つがXの部分集合なので，その一部をセレクトした位相Oも集合族です）．
※なお，もとの松本先生の教科書では冪集合の語は使わずに導入されています．
@@controlandrobotics354分かりました。返信ありがとうございます。
「位相の気持ち」は、森一刀斎へのオマージュなのかパクリなのか...