Решение за секунду взгляда на чертеж. Поворот треуг. ВМС на 180 градусов по часовой вокруг М. Формула Герона для получившегося треугольника. Апд. Получается Пифагоров треугольник. Герон не нужен )
Если продлить медиану на её длину, получим ABCD параллелограмм по признаку. Тогда стороны тр. BCD равны 6, 8 и 10 сл-но угол ВСD= 90°, сл-но площадь BCD= 6×8:2=24 сл-но площадь АВС= 24.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! При решении одной из предыдущих задач, вы вспоминали теорему, обратную теореме Пифагора, о которой я забыла. Вот и пришлось вспомнить.
Продлить ВМ на такое же расстояние,провести параллельно АВ и ВС,получим параллелограм,сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон,получим,что АС равна 10,тр-к АВС -прямоугольный, площадь=24(полупроизведение катетов).
Ну типа дважды (вниз и разворот вокруг т.М) зеркалим АВС к АС, А* к С и С* к А, получаем четырехугольник АВСВ* с диагональю ВВ* равной 10 - "случайно" имеем два египетских треугольника (х2), и никак иначе. Площадь одного = 6 х 8 х 1\2 = 24
Домашнее задание: ВМ-медиана к АС, АМ=СМ, Разворачиваем ∆ВСМ относительно точки М на 180◦, отрезок МС совместится с отрезком АМ, так как АМ=СМ, Получим ∆АВD со сторонами: АВ=13; ВD=14(так как ВD=2*BM=2*7=14); AD=BC=15. B ∆ABD, AD²=AB²+BD²-2*AB*BD*cos∠ABD, 15²=13²+14²-2*13*14*cos∠ABD, 225=169+196-2*13*14*cos∠ABD, cos∠ABD=5/13, sin∠ABD=√(1-cos²∠ABD), sin∠ABD=√(1-(5/13)²)=√(144/169)=12/13, sin∠ABD=12/13. S(ABC)=S(ABD), S(ABD)=1//2*AB*BD*sin∠ABD, S(ABD)=1/2*13*14*(12/13)=14*6=84, S(ABC)=84. Ответ: S=84.
A 🔺️= (8 x 6)/2 = 24 Se traza la paralela al lado AB desde el punto M en dirección al lado BC. Paralela a AB es MN es punto medio del lado BC. BN = 4, MN = 3 y BM = 5. Triángulo rectángulo notable de 37°, recto en N, por tanto al ser paralela es recto B. Área 🔺️ = bxh/2 ( base 6, altura 8 ) = 24
Можно просто достроить до параллелограмма ABCD, тогда AC-диагональ, находим её из формулы AC²+BD²=2(AB²+BC²). Затем находим площадь треугольника по герону.
я решил через формулу Герона. Все ниже приведенные вычисления производил в уме. Треугольники АВМ и СВМ имеют равные площади, т.к. у них общая высота и сторона. Пусть АМ = СМ = х Тогда квадрат площади АВМ равен: (11+x)*(11-x)*(х+1)*(х-1)/16 А квадрат площади СВМ равен: (13+х)*(13-х)*(х+3)*(х-3)/16 Приравняв эти выражения, получим, что х = 5. Тогда площадь одного из треугольников равна SQRT(16*6*6*4/16) = 12 А площадь АВС = 24
Обозначил равные отрезки через x: AM = CM = x. Составил уравнение: квадрат площади треугольника ABM равен квадрату площади треугольника BCM, где площади выражаются по формуле Герона. Нашёл x и нашёл площадь ABC. Спасибо.
Люблю решения, в которых проводится единственная дополнительная линия. А то пока на парте слюнявым пальцем рисуешь задание и проводишь больше, думать уж не над чем, задание высохло. Для меня, наверное это было основным стимулом находить короткие решения. 😅
верно подмечено, я просто дальше не решал и не думал и поэтому даже не заметил потому что не собирался решать до конца вычисляя ) Ну теперь тогда придется = 24.
Предположим что это прямоуг. треугольн. Тогда гипотенуза АС по теореме Пифагора- 10, а точка М-центр описанной окружности, и медиана ВМ(радиус этой окружности)должна быть-5,что и в самом деле! Значит АВС -действительно-прямоугольный, и площадь S=AB*BC/2=6*8/=24. Никаких дополнительных построений!
В обычном классе формулы нахождения длины медианы в треугольнике через длины всех сторон треугольника не было и задача решалась через теорему косинусов и приравнивания одинаковых значений косинуса одного угла ,но в разных треугольниках.
Найдите ошибку в моём решении если она есть. Предположим, что угол В прямой, значит по теореме Пифагора АС=10 и медиана равна половине гипотенузы(всё сходится) а значит треугольник АВС прямоугольный и площадь равна (6*8)/2=24
Спасибо. Ошибка следующая: а вдруг эти данные задачю два или три треугольника, один прямоугольный, а остальные нет. Число делится на 5 и на 2, значит, это число 10. Верно?
@@user-wo6eg4um3pLB14 @user-wo6eg4um3pLB14 в моем мире -паралираграм, а Вы живите с чувством важности и значимости, в простанародье - продолжайте выëбывaтcя, Ваши "заслуги" Ваше окружение оценит 🤡
Д.З. Очень понравился способ WX-78 разрезать треугольник по медиане и соединять части по своему усмотрению, думаю это может помочь в решении. Предварительно площадь будет равна площади треугольника со сторонами 13; 14; 15.
Очень легко доказать, что это прямоугольный треугольник (медиана равнп половине гипотенузы, док-во от противного). Тогда его площадь равна 6*8/2=24. Или еще быстрее, это егип.тр-к, с линейными, увеличенными вдвое. Площадь егип.тр-ка 6 (помним наизусть?:))) ), значит у этого вчетверо больше, то есть 24.
90° реальных инженерных задач решается методом Монте-Карло потому что зависимости слишком сложные для анализа. Даже при машинном проектировании где подбор параметров автоматизирован. На данный треугольник можно посмотреть с Пирамиды Хеопса и, предположив что там Египетские штаны, решить ее в 1 ход, получив 24. А вот если не прокатило то только тогда приступать к плану Б и закапываться в формулы
Это настораживает (90% метод Монте-Карло). Что тогда говорить про остальные сферы деятельности, например медицину. Есть какие-нибудь данные на этот счет?
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Инженер не изобретает болты а подбирает нужные из готовых и только если нужных нет проектирует специальный. В лунной экспедиции использовали фломастеры или специальные цанговые карандаши по 100 баксов чтобы по кораблю не летала графитовая пыль. СССР использовал восковые карандаши, которые не очень хорошо пишут. Потом НАСА предложили на пробу серийную шариковую ручку, способную писать на потолке и они после тестов купили их по 6 баксов. В более строгом смысле метод Монте-Карло это способ поиска минимума сложных функций с множеством переменных. Тем более что поведение, например, транзисторов только в первом приближении описывается формулами, чего может не хватить и считать приходится по графикам. За медицину не скажу. Мне на врачей везло. ЗЫ на тему есть статья в Вике. Там больше чем учили в Радиотехе про сферы применимости. Медицины там нет.
Только благодаря подходящим числам можно, ничего не решая, понять, что М - центр описанной окружности для треугольника АВС и площадь вычисляется как 6*8/2.
Здравствуйте Валерий. Благодарю за задачу. Предлагаю треугольник МВС повернуть относительно точки М по часовой стрелке на 180 градусов. Точка М останется на месте. Точка С совпадет с А. В -> В1. Полученный треугольник АВВ1 и изначальный АВС - равновеликие. Новый треугольник АВВ1 будет иметь стороны 6, 8 и 10. Это прямоугольный треугольник - по обратной т Пифагора. Его площадь равна: 6*8/2= 24. Не ругайте ,если ошибся.
ДЗ решается аналогично. Изначальный треугольник будет равновеликий с треугольником со сторонами 13, 15 и 14. Полупериметр р=21. S=√(21*8*6*7)=√((3*7)(4*2)(3*2)*7)=3*7*4=84.
Итак - поворот вокруг точки М .... Получаем треугольник со сторонами 6, 8 и 10. А дальше по формуле Герона S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр. p=(6+8+10)/2=12. S = √12*6*4*2=24
Так понимаю 2 и 3й варианты сработали потому что треугольник оказался прямым, а стороны целыми числами так легче увидеть " египетский" треугольник? Вообщем задача изначально подогнана под красивое решение.
@@ВладиславПетьков-э7э Так умножай медиану на 2 - получаешь диагональ паралелограмма , а это и есть третья сторона треугольника, равновеликого данному .
@@ОльгаП-ш9р диагональ в 2 раза больше только если знать что угол при вершине 90°, а в условии об этом ни слова! Иначе: 1е это радиус описаной окружности. 2е решение в этом случае очевидно: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катитов!
Да, согласен. Прозвучало 6, 8, 9 - египетский, думается все знают треугольничек 3, 4, 5 который по обратной Пифагора прямоугольный. Но, вы правы, можно было нарисовать прямой угол. Всего не предедусмотриш. На канале одни олимпиадники. @@ТатьянаС-х6б
Стороны треугольника 6 и 8. Тогда третья сторона 10. И это Египетский треугольник. И медиана = 5 подтверждает, что треугольник прямоугольный, т.к. медиана в прямоугольном треугольнике = 1/2 гипотенузы и это так. 5 = 5 . Следовательно: S= 6×8/2=24
Верующий человек, тут же закричал: "Чудо, чудо Господне!" Это я про дополнительное построение. Помнится мне, что кто-то говорил, что глядя на чертёж, не верь глазам своим, так как алгебра отменяет зрительные иллюзии! В этом случае, я могу сказать, что угол между сторонами 6 и 8, тупой, поэтому, этот треугольник не прямоугольный, тем более, не египетский!
Дурацкий вопрос, но вот покоя не даёт. Извините, если что. Скажите, как можно знать, что АМ = МС, но при этом не знать их размера? С чего мы тогда взяли, что они одинаковы, раз никто не мерял? Откуда тогда это сакральное знание?
Это задачка со звездочкой, нужно немножко понимать. В принципе вопрос стороннего зрителя. Дело в том, что не обязательно три каких-то элемента (у нас две стороны имедианна) задачют один единственнный треугольник. В данном случае по решению оказалось, что это так.
@@GeometriaValeriyKazakov они равны, как радиусы. Точка М - центр описанной окр. У прямоугольного треугольника центр окр. делит гипотенузу пополам. Угол В - вписанный угол, опирающийся на диаметр. По теореме о вписанных углах, В = 90, тогда по т. Пифагора АС= 10. Может что то я упустила, давно не решала, но мне кажется, что все логично.
Можно много перечислить мелких: удваивание угла, распрямление ломаной, поворот, симметрия. Но основных два, те что я и сказал. Да, ыв неткорых задах оппускают, чтобы высечь трегольник с углом, например, 30.
А что так сложно? Если из М провести отрезки к центру АВ и ВС получим четыре треугольника с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Соответственно площади АВМ и МВС равны и равны 12(3х4/2Х4) . Отсюда площадь АВС равна 24
Зачем так тараторить .Те кто знает как решить он и так знает .Ему это видео и даром не надь.А кто не знает но хочет разобраться тому невозможно ничего понять .Поспокойней и помедленней .
Очень сложно. Надо достроить до параллелограмма . Тогда получим треугольник Со сторонами 6,810 полупериметр будет 12. Тогда площадь будет равна =корень р*(р-6)*(р-8)*(р-10), = корень из 12**6*4*2=корень из 12*12*2*2=24. Задача решена причем в уме.
Валера! Вы знаете мою не любовь к каким бы то ни было дополнительным построениям. Если учетверенный квадрат медианы к основанию равен сумме квадратов боковых сторон, то это основание - гипотенуза. Спасибо за внимание.
Спасибо. Такие мелочи мы опускаем, отсавляя зрителю. Ведь в общем случае Герон, а а 6,8,10 - даже говорить стыдно моим олимпиадным зрителям. Но в принципе, вы правы.
ДЗ: с продлением медианы и получением пар - мма всё становится абсолютно очевидным: S заданного ▲ = S ▲ с основанием, = двойной медиане. Очень познавательная задача. @@GeometriaValeriyKazakov
Во-первых, не ругайтесь. Это лучше с друзьями так. Во-вторых, проведите сами эту высоту, и что вы получите? Три отрезка, а какой длины? х, y и x+y. И какие уравнения вы составите? А оба наших решения устные, на 2 секунды точно.И для интереса почитайте пост выше: К.
Ладно, мир. Да, это алгебрический способ. Сводится к системе, и он не короткий. Могу записать (для других зрителей), где проекция 6 на AC- это x. проекция 5 - это y, MC = x+y, проекция 8 - это x+2y. Получим: 36-x^2=25-y^2, 64-(x+2y)^2=25-y^2. Система 2-й степени и у меня быстро не решилась. Попробуйте. @@igvil5561
Решение за секунду взгляда на чертеж. Поворот треуг. ВМС на 180 градусов по часовой вокруг М. Формула Герона для получившегося треугольника.
Апд. Получается Пифагоров треугольник. Герон не нужен )
Да, это так!
А не надо доказать, что после поворота получившаяся фигура будет треугольником?
Надо.
Углы М -- смежные и в сумме 180°
Проще до параллелограмма достроить
Ещё способ: ВМК=МКС, медиана ВМ равна половине основания АС, сл-но уг.В прямой. S= 6х8/2=24
Отлично!
Если продлить медиану на её длину, получим ABCD параллелограмм по признаку. Тогда стороны тр. BCD равны 6, 8 и 10 сл-но угол ВСD= 90°, сл-но площадь BCD= 6×8:2=24 сл-но площадь АВС= 24.
Супер!
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! При решении одной из предыдущих задач, вы вспоминали теорему, обратную теореме Пифагора, о которой я забыла. Вот и пришлось вспомнить.
Согласен, египетский треугольник за версту виден.
Продлить ВМ на такое же расстояние,провести параллельно АВ и ВС,получим параллелограм,сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон,получим,что АС равна 10,тр-к АВС -прямоугольный, площадь=24(полупроизведение катетов).
Спасибо!
Ну типа дважды (вниз и разворот вокруг т.М) зеркалим АВС к АС, А* к С и С* к А, получаем четырехугольник АВСВ* с диагональю ВВ* равной 10 - "случайно" имеем два египетских треугольника (х2), и никак иначе. Площадь одного = 6 х 8 х 1\2 = 24
Отлично!
Домашнее задание:
ВМ-медиана к АС, АМ=СМ,
Разворачиваем ∆ВСМ относительно точки М на 180◦, отрезок МС совместится с отрезком АМ, так как АМ=СМ,
Получим ∆АВD со сторонами: АВ=13; ВD=14(так как ВD=2*BM=2*7=14); AD=BC=15.
B ∆ABD, AD²=AB²+BD²-2*AB*BD*cos∠ABD,
15²=13²+14²-2*13*14*cos∠ABD, 225=169+196-2*13*14*cos∠ABD, cos∠ABD=5/13,
sin∠ABD=√(1-cos²∠ABD), sin∠ABD=√(1-(5/13)²)=√(144/169)=12/13, sin∠ABD=12/13.
S(ABC)=S(ABD), S(ABD)=1//2*AB*BD*sin∠ABD,
S(ABD)=1/2*13*14*(12/13)=14*6=84, S(ABC)=84.
Ответ: S=84.
Отлчино.
Вы гордитесь мной, а я восхищаюсь Вашими уроками, Валерий!
Предположим B=90° получим AC=2×5=10. По теореме обратной т. Пифагора 36+64=100, предположение верно. Тогда S=6×8/2=24. Спасибо за разные способы.
На здоровье! Это как разные позы при соитии, как не верти, а вас трахают, так как картинка это иллюзия!
A 🔺️= (8 x 6)/2 = 24
Se traza la paralela al lado AB desde el punto M en dirección al lado BC.
Paralela a AB es MN es punto medio del lado BC. BN = 4, MN = 3 y BM = 5.
Triángulo rectángulo notable de 37°, recto en N, por tanto al ser paralela es recto B.
Área 🔺️ = bxh/2 ( base 6, altura 8 ) = 24
КРУТО!
Можно просто достроить до параллелограмма ABCD, тогда AC-диагональ, находим её из формулы AC²+BD²=2(AB²+BC²). Затем находим площадь треугольника по герону.
я решил через формулу Герона. Все ниже приведенные вычисления производил в уме.
Треугольники АВМ и СВМ имеют равные площади, т.к. у них общая высота и сторона.
Пусть АМ = СМ = х
Тогда квадрат площади АВМ равен:
(11+x)*(11-x)*(х+1)*(х-1)/16
А квадрат площади СВМ равен:
(13+х)*(13-х)*(х+3)*(х-3)/16
Приравняв эти выражения, получим, что х = 5.
Тогда площадь одного из треугольников равна
SQRT(16*6*6*4/16) = 12
А площадь АВС = 24
Отлично.
Обозначил равные отрезки через x: AM = CM = x. Составил уравнение: квадрат площади треугольника ABM равен квадрату площади треугольника BCM, где площади выражаются по формуле Герона. Нашёл x и нашёл площадь ABC. Спасибо.
Да, в общем отлично!
Ну, это классика. Тр-ник со сторонами 6 и 8 и медианой 5 между ними может быть только египетским! (6*8)/2=24
Да, конечно! А со сторонами 13, 15 и медиианой 7?
Жалко, что в школьном курсе так мало уделяют внимания егпетскому треугольнику.
@@GeometriaValeriyKazakov 84?
Люблю решения, в которых проводится единственная дополнительная линия. А то пока на парте слюнявым пальцем рисуешь задание и проводишь больше, думать уж не над чем, задание высохло. Для меня, наверное это было основным стимулом находить короткие решения. 😅
Надо взять на вооружение слюнявый палец😂
В третьем способе:
МК перпендикулярна ВС (из Египетского)
Тогда АВ перпендикулярна ВС
Тогда площадь равна половине произведения катетов
6*8/2=24
Отлично.
Треугольник АВС прямоугольный: 6²+8²= х²;
Х=10. Следовательно S этого треуг. = (6×8)/2=24см².
Если не использовать данные медианы.
Дорисовываем тр-ик МСД так что т. М середина БД. Тр-ки АВМ и ДМС равны и искомая S = S ВСД со сторонами 10, 8, 6 находится по формуле Герона.
Отлично!
10, 8, 6 стороны прямоугольного треугольника (египетский тр-к). S= 6×8:2= 24.
верно подмечено, я просто дальше не решал и не думал и поэтому даже не заметил потому что не собирался решать до конца вычисляя ) Ну теперь тогда придется = 24.
Здрасьте. Хочу вести свой канал. Не подскажете вы в какой программе рисуете всё это?
В зуме
@@GeometriaValeriyKazakov а самих чертежов вы сами рисуете? если да то где?
В корел дро
@@madiyardauletiyarov4559
@@GeometriaValeriyKazakov спасибо
Предположим ABC прямоуг, гипотенуза по Т.Пфагора 10, по св-ству медиана равна 1/2 гипотенузы. Из этого следует что он прямоуг и S =ab/2 т.е 24
Спасибо.
3. вращаем МВС на 180 до совпадения точки С и А. тогда все 3 стороны известны и формула Герона
Супер!
Предположим что это прямоуг. треугольн. Тогда гипотенуза АС по теореме Пифагора- 10, а точка М-центр описанной окружности, и медиана ВМ(радиус этой окружности)должна быть-5,что и в самом деле! Значит АВС -действительно-прямоугольный, и площадь S=AB*BC/2=6*8/=24. Никаких дополнительных построений!
Спасибо.
В обычном классе формулы нахождения длины медианы в треугольнике через длины всех сторон треугольника не было и задача решалась через теорему косинусов и приравнивания одинаковых значений косинуса одного угла ,но в разных треугольниках.
Да, была в углубленных. Сейчас в моем учебнике как следствие дается. Но олимпиадники обязаны знать. Хотя можно на косинусе.
Достраиваем прямоугольник со сторонами 6 и 8, его площадь 48, половина 24
Правильно!
Найдите ошибку в моём решении если она есть.
Предположим, что угол В прямой, значит по теореме Пифагора АС=10 и медиана равна половине гипотенузы(всё сходится) а значит треугольник АВС прямоугольный и площадь равна (6*8)/2=24
Спасибо. Ошибка следующая: а вдруг эти данные задачю два или три треугольника, один прямоугольный, а остальные нет. Число делится на 5 и на 2, значит, это число 10. Верно?
Сосчитала в уме 6*8:2=24, всего лишь достроить до паралираграма и разделить на 2.
А может паралЛЕЛОграмМа?
Не позорьтесь.
@@user-wo6eg4um3pLB14 @user-wo6eg4um3pLB14 в моем мире -паралираграм, а Вы живите с чувством важности и значимости, в простанародье - продолжайте выëбывaтcя, Ваши "заслуги" Ваше окружение оценит 🤡
Д.З. Очень понравился способ WX-78 разрезать треугольник по медиане и соединять части по своему усмотрению, думаю это может помочь в решении. Предварительно площадь будет равна площади треугольника со сторонами 13; 14; 15.
Конечно. 84
МК параллельна АВ. Значит, АВ перпендикулярна ВС. Площадь находится быстрее. Спасибо, Валерий
Благодарю за решение!!!
И я вас.
Очень легко доказать, что это прямоугольный треугольник (медиана равнп половине гипотенузы, док-во от противного). Тогда его площадь равна 6*8/2=24.
Или еще быстрее, это егип.тр-к, с линейными, увеличенными вдвое. Площадь егип.тр-ка 6 (помним наизусть?:))) ), значит у этого вчетверо больше, то есть 24.
90° реальных инженерных задач решается методом Монте-Карло потому что зависимости слишком сложные для анализа. Даже при машинном проектировании где подбор параметров автоматизирован. На данный треугольник можно посмотреть с Пирамиды Хеопса и, предположив что там Египетские штаны, решить ее в 1 ход, получив 24. А вот если не прокатило то только тогда приступать к плану Б и закапываться в формулы
Это настораживает (90% метод Монте-Карло). Что тогда говорить про остальные сферы деятельности, например медицину. Есть какие-нибудь данные на этот счет?
@@ДмитрийИвашкевич-я8т
Инженер не изобретает болты а подбирает нужные из готовых и только если нужных нет проектирует специальный. В лунной экспедиции использовали фломастеры или специальные цанговые карандаши по 100 баксов чтобы по кораблю не летала графитовая пыль. СССР использовал восковые карандаши, которые не очень хорошо пишут. Потом НАСА предложили на пробу серийную шариковую ручку, способную писать на потолке и они после тестов купили их по 6 баксов.
В более строгом смысле метод Монте-Карло это способ поиска минимума сложных функций с множеством переменных. Тем более что поведение, например, транзисторов только в первом приближении описывается формулами, чего может не хватить и считать приходится по графикам.
За медицину не скажу. Мне на врачей везло.
ЗЫ на тему есть статья в Вике. Там больше чем учили в Радиотехе про сферы применимости. Медицины там нет.
Треугольники равновелики, стороны AM и MC обозначил за x. Дальше Герон и счетная планиметрия
Отлично.
Только благодаря подходящим числам можно, ничего не решая, понять, что М - центр описанной окружности для треугольника АВС и площадь вычисляется как 6*8/2.
Да, а так находимм площадь вспомогательного тр-ка по трем сторонам как умеем.
Классная задача, спасибо!
И вам.
Если у треугольника стороны 3,4,5 (Пифагоровы), то сразу понятно: угол В равен 90%. Значит площадь равна половине 6*8=24
Продление медианы это гениально и просто. Я решил двумя спослбами, но это просто феертя!!!
Здравствуйте Валерий. Благодарю за задачу.
Предлагаю треугольник МВС повернуть относительно точки М по часовой стрелке на 180 градусов.
Точка М останется на месте. Точка С совпадет с А.
В -> В1.
Полученный треугольник АВВ1 и изначальный АВС - равновеликие.
Новый треугольник АВВ1 будет иметь стороны 6, 8 и 10. Это прямоугольный треугольник - по обратной т Пифагора.
Его площадь равна:
6*8/2= 24.
Не ругайте ,если ошибся.
ДЗ решается аналогично.
Изначальный треугольник будет равновеликий с треугольником со сторонами 13, 15 и 14.
Полупериметр р=21.
S=√(21*8*6*7)=√((3*7)(4*2)(3*2)*7)=3*7*4=84.
Повернув треугольник таким образом, Вы получите ровно такой же треугольник, как и был )))
@@Dmitriy-A в данном случае да. Но зато решается легче,чем с изначальным 😉.
Итак - поворот вокруг точки М .... Получаем треугольник со сторонами 6, 8 и 10. А дальше по формуле Герона S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр. p=(6+8+10)/2=12. S = √12*6*4*2=24
Отлично! Спасибо.
Спасибо большое Валерию Конакову за эту передачу как решать геометрические задачи
Это очень очень полезно для детей которые хотят быть умными
Спасибо.
Спасибо!
Ок
ДЗ. Продлеваем медиану за основание треуг на отрезок, равный ей, и соединяем конец этого отрезка с любой вершиной основания. По теореме Герона S = 84.
Отлично!
Так понимаю 2 и 3й варианты сработали потому что треугольник оказался прямым, а стороны целыми числами так легче увидеть " египетский" треугольник? Вообщем задача изначально подогнана под красивое решение.
Спасибо. Наши решения подходят под любые размеры! (См. дз). Конечно, для красоты и запоминания взяты удобные размеры.
😊Можна всегда найти по формуле Герона
@@ОльгаП-ш9р можно... после того как найдёшь 3ю сторону.
@@ВладиславПетьков-э7э Так умножай медиану на 2 - получаешь диагональ паралелограмма , а это и есть третья сторона треугольника, равновеликого данному .
@@ОльгаП-ш9р диагональ в 2 раза больше только если знать что угол при вершине 90°, а в условии об этом ни слова!
Иначе:
1е это радиус описаной окружности.
2е решение в этом случае очевидно: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катитов!
Достраиваем до прямоугольника, а любой треугольник это половина площади прямоугольника. 6×8÷2=24
А че сразу прямоугольника. А где прямой уголок? По условию такого нет! См. ДЗ там точно нет.Но спасибо.
Так подождите, 6 8 10 - Пифагорова тройка, значит треугольник прямоугольный, тогда S = 6*8/2 = 24
Это прямоугольник?
Неизвестно! Вот такие дела
@@GeometriaValeriyKazakov да, в условии это не прозвучало, а потом - произведение катетов.
Да, согласен. Прозвучало 6, 8, 9 - египетский, думается все знают треугольничек 3, 4, 5 который по обратной Пифагора прямоугольный. Но, вы правы, можно было нарисовать прямой угол. Всего не предедусмотриш. На канале одни олимпиадники. @@ТатьянаС-х6б
Стороны треугольника 6 и 8. Тогда третья сторона 10. И это Египетский треугольник. И медиана = 5 подтверждает, что треугольник прямоугольный, т.к. медиана в прямоугольном треугольнике = 1/2 гипотенузы и это так. 5 = 5 . Следовательно:
S= 6×8/2=24
Отлично.
Верующий человек, тут же закричал: "Чудо, чудо Господне!" Это я про дополнительное построение. Помнится мне, что кто-то говорил, что глядя на чертёж, не верь глазам своим, так как алгебра отменяет зрительные иллюзии! В этом случае, я могу сказать, что угол между сторонами 6 и 8, тупой, поэтому, этот треугольник не прямоугольный, тем более, не египетский!
Спаси бо!
Дурацкий вопрос, но вот покоя не даёт. Извините, если что.
Скажите, как можно знать, что АМ = МС, но при этом не знать их размера? С чего мы тогда взяли, что они одинаковы, раз никто не мерял? Откуда тогда это сакральное знание?
Это задачка со звездочкой, нужно немножко понимать. В принципе вопрос стороннего зрителя. Дело в том, что не обязательно три каких-то элемента (у нас две стороны имедианна) задачют один единственнный треугольник. В данном случае по решению оказалось, что это так.
А я бы решила через радиус описанной окр. ВМ=АМ=МС=5. Формула площади: S= abс/4R . 480/20=24. Только надо сначала доказать, что В= 90.
Спасибо, а почему ВМ=АМ=МС=5. Елси после нашего начало, то сложно, но с друми числами норм.
@@GeometriaValeriyKazakov они равны, как радиусы. Точка М - центр описанной окр. У прямоугольного треугольника центр окр. делит гипотенузу пополам. Угол В - вписанный угол, опирающийся на диаметр. По теореме о вписанных углах, В = 90, тогда по т. Пифагора АС= 10. Может что то я упустила, давно не решала, но мне кажется, что все логично.
Спасибо
Формула Герона. Тоже можно через уравнение.
Спасибо.
а почему просто не перемножить катеты 6 х 8 = 48 и взять половину 48/2=24?
Так это изначально египетский трекгольник если все стороны на 2 поделить
Мой любимый совет: "Видишь медиану - дли ее в два раза." Спасибо за задачу!
И вам спасибо!
Помимо продления и проведения параллельной есть еще третий вариант - проведение перпендикуляра.
Можно много перечислить мелких: удваивание угла, распрямление ломаной, поворот, симметрия. Но основных два, те что я и сказал. Да, ыв неткорых задах оппускают, чтобы высечь трегольник с углом, например, 30.
А что так сложно? Если из М провести отрезки к центру АВ и ВС получим четыре треугольника с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Соответственно площади АВМ и МВС равны и равны 12(3х4/2Х4) . Отсюда площадь АВС равна 24
Спасибо. Посмотрите ДЗ
В задаче прямоугольный треугольник. Поэтому все проще.
А почему он прямоугольный. Вроде не дано!
@@GeometriaValeriyKazakov не дано но видно по размерам. 3,4,5. Медиана 2,5..
Если бы другие размеры то решать нужно.
Это не дано.
Если развернуть правый треугольни,то выходит египетский.Естественно 2 острых в прямоугольном дадут 90. Получается то же египетский.
Зачем так тараторить .Те кто знает как решить он и так знает .Ему это видео и даром не надь.А кто не знает но хочет разобраться тому невозможно ничего понять .Поспокойней и помедленней .
Очень сложно. Надо достроить до параллелограмма . Тогда получим треугольник Со сторонами 6,810 полупериметр будет 12. Тогда площадь будет равна =корень р*(р-6)*(р-8)*(р-10), = корень из 12**6*4*2=корень из 12*12*2*2=24. Задача решена причем в уме.
А я в 7 классе. где нет параллеограммов.
@@GeometriaValeriyKazakov а там и параллелограмма не нужен. Достаточно треугоульнк достроить продлить диагональ и все. И формула Герона.
Третий способ можно еще упростить. Поскольку угол МКС 90°, значит АВС тоже прямой и тогда S равно АВ х ВС / 2 = 6 х 8 / 2 = 24
Спасибо. А как ДЗ?
@@GeometriaValeriyKazakov а шото сложно)))
@@miguelitonegrito именно третий способ разбивает тр. на 4 равновеликих S=84
Валера! Вы знаете мою не любовь к каким бы то ни было дополнительным построениям.
Если учетверенный квадрат медианы к основанию равен сумме квадратов боковых сторон, то это основание - гипотенуза.
Спасибо за внимание.
Согласен. Попробуйте ДЗ.
Через формулу Герона ))) уравнение, уберем корень : с каждой стороны 4 скобки. АМ = МС = х. Ответ в итоге верный)))
ДЗ = 84. Спасибо за задачку.
И вам!
24. Устная задача. Д.З. 84.
Спасибо. На канале полно письменных
После слов "МК перпендик к ВС" получаем АВ перпендик к ВС и S = 1/2 * 6*8 = 24.
Спасибо.
Если дополнить до параллелограмма ,то по свойству диагоналей находим третью сторону треугольника
В большом множестве задач прячется дьявольский треугольник 3-4-5.
Согласен.
Кто помнит, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, те легко решили.
Конечно, тем более, что я напомнил,
6 8 10 египетский треугольник
Спасибо.
С помощью формулы нахождения медианы решается😊
Да, при красивых стороонах!
Дз: 84 по Герона вышло, если поделить нигде не забыл
ДЗ да. Спасибо.
А если провести высоту из точки B?
Можно, а дальше?
@@GeometriaValeriyKazakov там два равновеликих треугольника получатся же? Высота общая, формула одна вторая а на аш... Чего то не хватает?
@@GeometriaValeriyKazakov или так. Сумма квадратов катетов равна 100. Значит ли это, что треугольник прямоугольный и, соответственно, ответ 6*8/2=24
Два равновеликих со сторонами 6 и 5, 5 и 8. И дальше?@@Greekmagican
@@GeometriaValeriyKazakov а значит при равных площадях мы можем приравнять формулы Герона для этих треугольников?
Не доказано, что треугольник ABD прямоугольный. (хоть он и прямоугольный по пифагоровой тройке, напрямую мы этого не знаем)
Спасибо. Такие мелочи мы опускаем, отсавляя зрителю. Ведь в общем случае Герон, а а 6,8,10 - даже говорить стыдно моим олимпиадным зрителям. Но в принципе, вы правы.
6×8:2😅
Отлично! Садитесь.
Тут ответ виден устно, т к Вы выбрали Египетский. Если конечно не требуется доказательство.
Спасибо. Если так написать на экзамене, то что получит ученик? И что насчет ДЗ?
@@GeometriaValeriyKazakov я так понимаю, в огэ , ЕГЭ 1 й части именно так. Или доказательство требуется? Да, спасибо за канал! :)
24 ед.²
Треугольник прямоугольный.
Сам признался?
6×8=48/2=24
Спасибо. 24. А ДЗ?
Сначала доказать прямоугольность треугольника абс через длину половины гипотенузы и медианы. А потом катет на катет
То есть, у вас - алгебраический, как я и советовал? Отлчино. Здесь равнопровно. А вот в ДЗ уже по-другому.
@@GeometriaValeriyKazakov я ваши видео не смотрю, а решаю сам). Отличная тренировка мозгов в 40+
У меня получился ответ: 18
Я нашёл высоту по уравнению через Пифагора, как: 6²-х²=8²-(10-х) ². И в итоге ответ получил 18, а не 24
в уме посчитал, что будет 24
А ДЗ в уме?
Может казаки так и решают шашкой свои задачи.
Так точно!
6*8/2=24.
Спасибо.
24?
Верно.
24
super!
Я сразу увидела 6 на 8 будет 48 и пополам 24, зачем эти формулы?
А кто шепнул, что угол прямой? Я не говорил такого, зуб даю.
я сразу увидел, что ты подгонщица
@@MrArcan10 Наверное вы правы, на самом деле я разметчик и глаз мой фотерпас, без замера вижу и мм ,и градусы.
И ровно минута нужнаичтобы решить эту задачу.
Тренированному - да. Школьнику - не получится. Проверьте.
6х8=48. 48:2=24. не?
А почему 6*8?
@@GeometriaValeriyKazakov всё про100. любой треугольник - это половина параллелограмма.
Да, только площадь п-мма s=ah@@СВИНКС88
Если в задаче есть величина ВМ=5, ее тоже надо использовать.
ДЗ ответ: 42
Маловато будет!
Точно! Но 13, 14, 15 ДАЕТ 84?
Алгебраически тупо, но эффективно.
Высота ▲ВНМ выражается из ▲АВН (1-е ур-е) и из ▲ВНС (2-е ур-е). Решение системы даёт АС = 10. Угол прямой, S = 24.
Во-во!
ДЗ: с продлением медианы и получением пар - мма всё становится абсолютно очевидным:
S заданного ▲ = S ▲ с основанием, = двойной медиане.
Очень познавательная задача.
@@GeometriaValeriyKazakov
Задача пустяковая для любого кто знает классику прямоугольного треугольника соотношение 3 4 5 отсюда всё в уме
Спасибо. А что с ДЗ, там нет классики?
Просто опустить высоту разбить на три отрезка АС и по Пифагору получаем 10 и по формуле Герона площадь 24. Зачем дорисовывать кучу хрени???
Во-первых, не ругайтесь. Это лучше с друзьями так. Во-вторых, проведите сами эту высоту, и что вы получите? Три отрезка, а какой длины? х, y и x+y. И какие уравнения вы составите? А оба наших решения устные, на 2 секунды точно.И для интереса почитайте пост выше: К.
@@GeometriaValeriyKazakov три отрезка и три уравнения с высотой Пифагора. Высота 4,8. отрезки сами найдёте
Ладно, мир. Да, это алгебрический способ. Сводится к системе, и он не короткий. Могу записать (для других зрителей), где проекция 6 на AC- это x. проекция 5 - это y, MC = x+y, проекция 8 - это x+2y. Получим: 36-x^2=25-y^2, 64-(x+2y)^2=25-y^2. Система 2-й степени и у меня быстро не решилась. Попробуйте. @@igvil5561
Еще можно черезh. sqrt(64-h^2)-sqrt(36-h^2)=2 sqrt(25-h^2). Тоже стремненько, но интересненько. Отсюда, да, h =4,8. Но как?