Обозначим точку пересечения диагоналей О. Легко доказать из подобия треугольников, что АО = 8∙α, DO = 6∙α, KO = 5∙α ( с тем же коэффициентом пропорциональности α). По формуле длины медианы : 5∙α = (1/2)∙√(128∙α² + 72∙α² - AD²) ⟹ AD = 10∙α ⟹ AK = KD = 5∙α ⟹ ∡AOD = 90° *(медиана равна половине стороны, к которой она проведена).* Тогда площадь трапеции равна : S = (1/2)∙8∙6 = 24. *Без дополнительных построений.*
Надо таскать диагонали чуть иначе, и все станет еще проще. AC переносим параллельно на вектор CM, BD - на вектор BM. A'MD' - треугольник с двумя известными сторонами, известной медианой MK и третьей стороной, равной сумме оснований трапеции, то есть равновеликий исходной трапеции. Все, вуаля, теперь достроение до параллелограмма и египетский треугольник. UPD. Похоже @ВерцинГеториг-ч5ь 5 часов назад написал почти тоже самое.
С т. С проводим линию параллельно ВД , продляем АД до пересечения в т. Е и с т. С проводим СР параллельно МК . Таким образом получился тр-к АСД с медианою СР и равновеликий по площади трапеции , так как образовавшийся параллелограмм ВСЕД линией СД делится пополам - площади тр-ков ВСД=СЕД , при равных основаниях ВС=ДЕ и одинаковой высоте СН , опущенной с т. С на АЕ . По формуле определения медианы находим АД , которая равна сумме оснований трапеции АЕ=АД+ВС , 4СР*2=2АС*2+2СЕ*2-АЕ*2 , 4х5*2=2х8*2+2х6*2-АЕ*2 , АЕ*2=100 , АЕ=10 , из тр-ка АСЕ определяем косинус угла АЕС=а , Cos a=(АЕ*2+СЕ*2-АС*2)/2АЕхСЕ=(10*2+6*2-8*2)/2х10х6=3/5 , Sin a=\|1-Cos*2 a=\|1-(3/5)*2=4/5 , из тр-ка СНЕ , СН/СЕ=Sin a , CH=CExSin a=6х4/5=4,8 . S АВСД=S АСЕ=1/2(АЕхСН)=(10х4,8)/2=24 .
Рисунок в начале ролика: медиана проходит точнёхонько через пересечение диагоналей. Таких задач и решений на канале богато. А с помощью теоремы Ван-Обеля решается в полстроки.
Очень понравилось удивительное и простое решение этой задачи. Объясните, если можно, решение второй задачи зрителя про параллелограмм,где известна сумма длин диагоналей , а найти просят наименьшую сумму квадратов сторон. Спасибо. Крепкого Вам здоровья.
Напишите где в каком ролике там про параллелограмм спрашивали? Там через сумму квадратов диагоналей параллелограмма все решается в строчку: 2a^2+2b^2=(d1+d2)^2-2d1d2. Значит, левая часть наименьшая при наибольшем d1d2. А это классическая задача: дана суммма a и b. При каких a и b произведение наибольшее?Ответ когда a=b, то есть d1=d2 (через параболу находим). По-моему, так. Напишите зрителю.
@@GeometriaValeriyKazakov Здравствуйте, Валерий (извините, не знаю Вашего отчества). Я из Узбекистана. Сын готовится поступать в вуз (у нас тесты решают). Попалась следующая задача: Сумма диагоналей параллелограмма равна 8. Найдите наименьшее значение суммы квадратов сторон параллелограмма. У меня получается 16. (как Вы и написали d1=d2=4). А такого варианта ответа нет. Правильный ответ 32 (самый минимальный из предоставленных ответов). Спасибо Вам большое. И Татьяне отдельная благодарность.
Случайно нашел, что сумма длин оснований -- инвариант при переменных слагаемых. Не знаешь, что делать -- черти параллельную [ В.В, Казаков ] Хрясь! ВД вправо (В в С). По бокам 6 и 8, внизу -- сумма оснований, а медиана =5. Из формулы медианы АД=10, треугольник АСД' прямной, равный по площади заданной трапеции Ответ:24
Он без всяких подозрений обязан быть фиксированным или принимать конечное число значений, чтобы решений у задачи было конечное число. [площадей; трапеций, конечно, континуум]
Обозначим точку пересечения диагоналей О. Легко доказать из подобия треугольников, что АО = 8∙α, DO = 6∙α, KO = 5∙α ( с тем же коэффициентом пропорциональности α). По формуле длины медианы : 5∙α = (1/2)∙√(128∙α² + 72∙α² - AD²) ⟹ AD = 10∙α ⟹ AK = KD = 5∙α ⟹ ∡AOD = 90°
*(медиана равна половине стороны, к которой она проведена).* Тогда площадь трапеции равна : S = (1/2)∙8∙6 = 24. *Без дополнительных построений.*
Надо таскать диагонали чуть иначе, и все станет еще проще. AC переносим параллельно на вектор CM, BD - на вектор BM. A'MD' - треугольник с двумя известными сторонами, известной медианой MK и третьей стороной, равной сумме оснований трапеции, то есть равновеликий исходной трапеции.
Все, вуаля, теперь достроение до параллелограмма и египетский треугольник.
UPD. Похоже @ВерцинГеториг-ч5ь 5 часов назад написал почти тоже самое.
Площадь не изменится если удлинить нижнюю сторону на длину верхней и сделать треугольник с катетами 6, 8 и медианой 5. Египет 24
С т. С проводим линию параллельно ВД , продляем АД до пересечения в т. Е и с т. С проводим СР параллельно МК .
Таким образом получился тр-к АСД с медианою СР и равновеликий по площади трапеции , так как образовавшийся параллелограмм ВСЕД линией СД делится пополам - площади тр-ков ВСД=СЕД , при равных основаниях ВС=ДЕ и одинаковой высоте СН , опущенной с т. С на АЕ . По формуле определения медианы находим АД , которая равна сумме оснований трапеции АЕ=АД+ВС , 4СР*2=2АС*2+2СЕ*2-АЕ*2 , 4х5*2=2х8*2+2х6*2-АЕ*2 , АЕ*2=100 , АЕ=10 , из
тр-ка АСЕ определяем косинус угла АЕС=а , Cos a=(АЕ*2+СЕ*2-АС*2)/2АЕхСЕ=(10*2+6*2-8*2)/2х10х6=3/5 , Sin a=\|1-Cos*2 a=\|1-(3/5)*2=4/5 , из тр-ка СНЕ , СН/СЕ=Sin a , CH=CExSin a=6х4/5=4,8 . S АВСД=S АСЕ=1/2(АЕхСН)=(10х4,8)/2=24 .
Рисунок в начале ролика: медиана проходит точнёхонько через пересечение диагоналей.
Таких задач и решений на канале богато. А с помощью теоремы Ван-Обеля решается в полстроки.
Медиана так и проходит в любой трапеции.
Очень понравилось удивительное и простое решение этой задачи. Объясните, если можно, решение второй задачи зрителя про параллелограмм,где известна сумма длин диагоналей , а найти просят наименьшую сумму квадратов сторон. Спасибо. Крепкого Вам здоровья.
Спасибо. Подумаем.
Напишите где в каком ролике там про параллелограмм спрашивали? Там через сумму квадратов диагоналей параллелограмма все решается в строчку: 2a^2+2b^2=(d1+d2)^2-2d1d2. Значит, левая часть наименьшая при наибольшем d1d2. А это классическая задача: дана суммма a и b. При каких a и b произведение наибольшее?Ответ когда a=b, то есть d1=d2 (через параболу находим). По-моему, так. Напишите зрителю.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо, Валерий. Зрителю написала.
@@GeometriaValeriyKazakov Красивая задача для понедельника. Спрашивает @yogutoysattarova710
@@GeometriaValeriyKazakov Здравствуйте, Валерий (извините, не знаю Вашего отчества). Я из Узбекистана. Сын готовится поступать в вуз (у нас тесты решают). Попалась следующая задача: Сумма диагоналей параллелограмма равна 8. Найдите наименьшее значение суммы квадратов сторон параллелограмма.
У меня получается 16. (как Вы и написали d1=d2=4). А такого варианта ответа нет. Правильный ответ 32 (самый минимальный из предоставленных ответов). Спасибо Вам большое. И Татьяне отдельная благодарность.
Случайно нашел, что сумма длин оснований -- инвариант при переменных слагаемых.
Не знаешь, что делать -- черти параллельную [ В.В, Казаков ]
Хрясь! ВД вправо (В в С). По бокам 6 и 8, внизу -- сумма оснований, а медиана =5. Из формулы медианы АД=10, треугольник АСД' прямной, равный по площади заданной трапеции
Ответ:24
с самого начала было подозрение. что угол между диагоналями прямой.
Он без всяких подозрений обязан быть фиксированным или принимать конечное число значений, чтобы решений у задачи было конечное число. [площадей; трапеций, конечно, континуум]
MC = 15/8
לא נכון S==27
24