Другой способ решения задачи: 1) Найти производную функции (левой части); 2) Найти промежутки монотонности функции; 3) Найти корни на каждом отдельном промежутке монотонности методом подбора.
Или ещё один способ. Без подстановки сразу раскрыть скобки, тогда свободный член обнулится, и можно будет вынести x за скобку, то есть получим первый корень x=0, и ещё останется простое кубическое уравнение с корнем x=1.
Хочу предложить такой путь. (x-2)^4=17-(x+1)^4. Отсюда видно, что мы ищем точки пересечения двух парабол: одна ветвями вверх, другая ветвями вниз, но поднятая на 17 единиц. Сразу видно, что точек пересечения будет только две и их можно быстро подобрать.
С ходу видно что 0 и 1 решают это. Никаких замен раскрываем скобки делим на х затем на х-1 .Получим квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Поэтому других решений нет.
@@marklevin3236 ну да... потом делим на x и х-1 в столбик. Просто другие задачки менее очивидные/легкие были. Если что, то мне ваш проект нравится. Я за. Именно это задание удивило.
Ещё один способ: 17=1^2+4^2, поэтому получаем (x-2)^4-4^2=1-(x+1)^2. Обе части раскладываем на множители по формуле разности квадратов, далее: либо х=0, либо можно обе части уравнения сократить на х. Затем, перенеся все члены в левую часть, получим в левой части кубический многочлен, который легко разлагается на два сомножителя: (х-1) и квадратный многочлен, приводящий к уравнению, не имеющему действительных корней. Т.е. уравнение имеет только два корня: х=0 и х=1.
Как по мне, намного проще без всяких замен. Раскрыть скобки "втупую". цифорки больше 30 не получим. но... там нужно немного магии с угадыванием очевидного корня у кубического уравнения, а дальше поделить уравнение на корень. Тоже интересные действия, но без трёхзначных чисел
как по мне, легче оценить две функции. слева - парабола, так что можно найти ее вершину относительно оси ординат. Подставляем 0 в уравнение, и о чудо, это и есть один из корней. Ну а так как слева парабола, а справа функция равна константе, то бишь линия параллельная абсциссе, у уравнения либо один , либо два корня. Один нам уже известен - это 0, попробуем подобрать второй, и к счастью далеко ходить не пришлось, это 1. Итого, ответ: {0;1}
Thanks to share such problem. Like 17 = 2^4 +1, it was possible to identify that 0 and 1 are obvious root. So if you develop the expression the equation become x(x-1)(2x^2-2x+28)=0. In that case it's more easy to also calculate the 2 complex roots ((1 +/- root(57))/2) .
Эти замены только усложняют решение.Я раскрыла скобки,т.е.возвела в четвёртую степень ,привела подобные и разложила на множители, в итоге получила : х(х-1)(квадрат х минус х плюс 14)равно 0.Отсюда Х равно 0 или 1.Гораздо проще.
Подбором находим два корня. X=1, 0. Далее доказываем отсутствие других корней. При x>1 или x< 0 левая часть больше 17. При x от 0 до 1 левая часть меньше 17
Желательно в начале возвести одночлены в 4ую степень, получить полином 4ой степени в левой части и ноль в правой. Затем заметить, что свободный член равен нулю и сделать вывод что один из корней ноль. Про оставшийся трёхчлен можно сказать, что его сумма коэффициентов равна нулю поэтому 1 также является корнем уравнения. Решение автора - решение подобных уравнений в общем случае. Согласно версии проверяющих ты не мог знать наверняка что корни 0 и 1 и поэтому сочла бы преобразования выше не целесообразными
@@thecalmin2007 Таких проверяльщиков я бы послал куда по-дальше. Если я нашёл корни, которые можно подставить и проверить, а также докажу, что др. корней нет. Никто не запрещает угадывать корни. С таким же успехом можно возразить: "А как это вы догадались, что нужно сделать подмену, указанную в видео?"
все получается намного проще если вторую замену сделать y=4t^2 ПС соглашусь с предыдущими замечаниями, что применение симметризации в данном случае не упрощает решение.
После раскрытия скобок 17 сократится потому что (-2)^4 + 1^4 = 17 и всё будет гораздо проще, короче и быстрее. Один корень сразу х=0, сократить на 2. Получается x(х^3 - 2х^2 + 15х - 14) = 0. Далее так как 1-2+15-14=0 вынести х-1 за скобки, поделить в столбик, и выходит x(x-1)(x^2-x+14)=0. Квадратное уравнение корней не имеет.
А ещё не открыв видео, увидев превьюшку на главной, в уме решил за 2 минуты, что x=1, а про нуль забыл) обрадовался, что нашёл корень. В уме ещё держал, что корня должно быть два, но как-то отбросил потом эту мысль, и стал смотреть видос)))
Можно и так: (x-2)^4-16=1-(x+1)^4. После разложения на множители разностей квадратов появляется множитель x и легко решаемое кубическое уравнение с единственным действительным корнем x=1. Когда написала, увидела, что такие решения уже были.
Вы найдете перебором два целых корня из возможных 4. Докажите, что уравнение не имеет других корней. Старший член, в данном случае 4, подсказывает, сколько корней может иметь данное уравнение (корни могут быть кратные, разные или их может не быть совсем, нужно все случаи разобрать и доказать)
Если заменить любой из иксов на y, то график функции будет такая "выпуклая окружность", а именно выпуклая замкнутая кривая, то и очевидно что при пересечении с y = x будет не более 2 решений, которые угадываются моментально - 0 и 1
(x-2)^4+(x+1)^4=17 делаем симметричную замену x-2=t-3/2 а x+1=t+3/2 в итоге имеем уравнение (t-3/2)^4+(t+3/2)^4=17 далее воспользуемся формулой для симметричного случая пусть t=a, а 3/2=b тогда 2a^4+12a^2b^2+2b^4=17 т.е 2t^4+12t^2*(3/2)^2+2(3/2)^4=17 окончательно 16t^4+216t^2-55=0 решая это уравнение t^2=0,25 значит t=+-0,5 а x=t+1/2 если t=0,5 то x1=1 при t=-0,5 имеем x2=0 Ответ: x1=1; x2=0
@@leolimann269 это понятно, но почему именно на "1" и "16" ? (корень 4 степени из 2)^4 + такой же корень из 15 в 4 тоже можно будет разбить по разности квадратов
2 корня прям в глаза бросаются (0 и 1), поэтому ИМХО проще раскрыть скобки как есть и поделить на x(x-1), после чего останется банальное квадратное уравнение
Как пятиклассник(я) решал это: находим два слагаемых, которые находятся в четвертой степени, 16 и 1 самый лучший вариант. Чтобы получить 16, надо возвести -2 или 2 в 4 степень, а 1 это 1 в четвертой, так как 1 в любой степени это 1. Подставляем значение x - 1 - 1-2 = -1 1+1 = 2. -1 в четвертой это 1. 2 в четвертой - 16. 1 подходит, тоже самое можно попробовать с 0. 0-2 = -2, 0+1 = 1. -2 в четвертой = 16, 1 в четвертой = 1. 16+1 = 17. Решено.
@qwer Если бы да кабы тут не работает, в данном конкретном примере мы получили уже 2 корня, практически мгновенно, далее, если есть желание можно разложить на множители и увидеть, что у множителя второй степени вещественных корней нет. Подход всегда индивидуальный к каждому уравнению. Вот так вот танцевать с бубном и совершать действия и преобразования, практическая надобность в которых отсутствует или просто они не оптимальны, нет.
Более простое, но не строгое решение: Замена t = x - 2 t^4 + (t+3)^4 = 17 Понятно что слагаемые должны быть 1 и 16 Откуда t1= - 1, x1 = 1 t2= - 2, x2 = 0 ... И два комплексных корня)))
Решил меньше чем за минуту (правда, мне лет под сраку, стыдно было бы решать дольше). Решал так: числа в четной степени - положительные. Соответственно, четвертая степень от любой скобки не должна превышать 17. Берем 3, уже в третей степени - 27. Много. Берем 2 - в 4 степени = 16. Отлично. Тогда одна скобка по модулю равна 2, вторая - 1. Уже невооруженным взглядом видны корни. Но нам же нужно показать решение? ОК, решаем две системы уровнений: 1) x-2 = +/-2 и x+1 = +/-1. Эта система имеет решение при x = 0 или 1. Решаем вторую систему уравнения: 2) x-2 = +/-1 и x+1 = +/-2. Ну как решаем: тупо проверяем полученные прошлый раз корни. Вуаля. Сделано без бумажки и калькулятора.
Ошибся подумал квадрат а здесь 4 Но в целом все равно задача на логику 17¼ =2,03 приблизительно. Число 17 целое. Значит квадратные корни ½ скобок могут быть только простыми числами. Их пять 0,1, 2,3,4. Разница между числами +3 единицы. Далее вполне логично что один корень¼ должен быть меньше |2,03|. А второй корень не может быть меньше |1|. Вообще в таких задачах должно быть право большую часть решения построить на логике исключения чисел. Но конечно Х тоже надо досчитать для приличия.
Валерий, Вы МОЛОДЕЦ! Но, обратите внимание, что квадратные уравнения решаете на по теореме Виета, а по ОБРАТНОЙ т. Виета. На это школьникам стОит обратить внимание.
Можно ли было заметить, что 17 = 2^4 + 1^4, Увидеть 0 и 1 в корнях, потом без замены раскрыть скобки и разделить на две скобки с корнями. Показать, что оставшийся квадратный трехчлен не имеет действительных корней. ?
@@АртемВирский , х-2=а х+1 =в. Тогда а-в= -3, а^4+в^4=17. а=в-3 , представляем во второе. (в-3)^4+в^4=17. Получаем 2в^4-12в^3+54в^2-108в+81+в^4=17. Приводим подобные, делим на 2. Находим в=1 и в=2., а искать не надо, сразу х. Чем этот метод лучше? 1. Только одну скобку возводим в 4 степень. 2. Замена одна. 3. Числа в конечном уравнение гораздо меньше. 4. Не надо запоминать достаточно искусственную первую замену. См исходный ролик
0^4 = 0 (+-1)^4 = 1 (+-2)^4 = 16 (+-3)^4 > 17 Можно заметить что среди 4 степеней сумма 17 может быть получена как a^4 + b^4 когда |a|=1 |b|=2 или |b|=2 |a|=1 Подбираем 2 корня: 0 и 1. А дальше раскрыть скобки, перенести все влево и получить многочлен 4 степени, который поделить на x(x-1), и тогда будет понятно что нет других корней
Это не решение. Это угадайка. 17 очень похоже на 1+16. Так что 0 и 1 напрашиваются сами собой путём недлинного перебора. Ну а дальше можно ещё погадать или раскрыв скобки разделить на корни и получить квадратный трехчлен. Вуаля.
Зачем такие страдания. В правой части 17. В левой части 4 степень. Очевидно, что среди корней может быть тольк 0 и 1, т.к. уже подтанока 3 дает число 1 +3^4>17 , также - 1 не подходит. Остаются 0 и 1 целочисленные вещественные корни. Подстановкой убеждаемся в этом. Также просто убеждаемся в том, что дробных корней нет
Вообще легко проверить что на самом деле нет. Подставляем 3 получаем 1 + 4^4 а это далеко от 17 далее если подставить 2 то 4^4 + 1 то то же самое, получается 257.
Неудачное решение. Сразу глядя на уравнение видим очевидный корень X=0; Если без всяких подстановок раскрыть скобки (а их все равно пришлось раскрывать) - свободный член пропадает и имеем X*(......) = 0. Получаем первый коень строго. Остается (....)=0, Группируем - выносим (X-1) - получаем второй корень строго
Я вначале выделил полный квадрат, разложил на множители и раскрыл все скобки, получил уравнение четвёртой степени и решил его при помощи схемы Горнера.
Ой! Дал неверный коммент. Забыл про коэффициенты в скобках. Все правильно у автора. Биномиальные коэффициенты действительно симметричны, но из-за коэффициентов в скобках окончательные коэффициенты разложения теряют эту симметрию. Извините.:)
Заинтересовало. Стал решать. Напомнило загадку из сериала "Полицейский из Рублёвки", загадка про машину. И замену делал и скобки раскрыл, и многочлен на многочлен делил. Думаю фигня, полюбому какой-то прикол. Один корень точно вижу, а доказать не получается. Включаю и тут рассказывается про одну важную замену. Реакция была как у Бурунова: "с..ка".
Всё таки самый простой и ясен способ решения: возвести левую сторону уравнения в 4 -ю степень укратить и получается очень простое уравнение 3-ей степени.
Кстати, а как проверяется метод "подбора"? Если "метод" "подбора" считать законным методом решения, то это идеальный "метод" для списывающего двоишника. - Я вас спрашиваю. Как вы нашли эти корни? - Методом подбора. 😄
Тут можно вообще было легче сделать: видно что сумма в левой состоит из 4 степени, а справа число 17, но когда такой возможно? Только когда у нас числа 16 и 1 ведь из них извлекаются четко корни четвёртой степени и приравняв к 16 и к 1 объединив вы и получили бы те самые ответы
Тупо раскрыл скобки. Свободный член равен 17. Взаимоуничтожились - хорошечно. Очевидно, что х=0 корень. Ок, осталось уравнение 3 степени. Подбором с 1 раза находится корень х=1. Ок. Осталось уравнение 2 степени, ну а там доказывается, что действительных корней нет. Если интересно, комплексные корни получатся (1±i*sqrt(55))/2.
Ошибочка затесалась! Четвертый биномиальный коэффициент при t равен второму, т. е. 96 а не 216. Это, к счастью, не повлияло на результат, потому что. указанный коэффициент всё равно выпадает. Так что поздравляю. Извините.
это хорошо известный приём симмитирзации. Автор просто , не заморачиваясь, применил его, хотя можно было обойтись и без него, как показано в некоторых комментариях.
Делаем замену: х-2=а и х+1=b. Тогда: a^4+b^4=17 b-a=3 Эту систему можно преобразовать так: (a^2+b^2)^2-2(ab)^2=17 a^2+b^2-2ab=9 Делаем замену: a^2+b^2=u, u>0 ab=v. Получаем систему, которая легко решается: u^2-2v^2=17 u-2v=9 Универсальный метод для подобных уравнений или систем
Убоище! Ясно, что сумма этих чисел равна 17, значит хотя бы одно из них является 4 степенью, а может быть и оба. Тогда наименьшее число, которое можно возвести в 4 степень не превышающую 17 будет 2 (16). До 17 не хватает 1, значит в первой скобке под степенью должна стоять 1. Ну и х =1; 0. Зачем строить рояль, чтобы удивить всех? Да, в ином случае при значительно больших числах и дробных, пришлось бы попотеть. Но этот алгоритм все равно бы сработал.
Другой способ решения задачи: 1) Найти производную функции (левой части); 2) Найти промежутки монотонности функции; 3) Найти корни на каждом отдельном промежутке монотонности методом подбора.
Или ещё один способ. Без подстановки сразу раскрыть скобки, тогда свободный член обнулится, и можно будет вынести x за скобку, то есть получим первый корень x=0, и ещё останется простое кубическое уравнение с корнем x=1.
Я так и сделал, хотя все равно с такой же заменой
А можно найти производную больше одного раза?
@@xVitOSx Конечно. По знаку второй производной определяется выпуклость или вогнутость функции на каком-либо отрезке.
Valery Volkov Всё таки проще решить без замены! Так и решал.
Представить 17=16+1, перенести в левую часть и рассмотреть разность квадратов [(x-2)^4-1]+[(x+1)^4-16)]=0
Хочу предложить такой путь. (x-2)^4=17-(x+1)^4. Отсюда видно, что мы ищем точки пересечения двух парабол: одна ветвями вверх, другая ветвями вниз, но поднятая на 17 единиц. Сразу видно, что точек пересечения будет только две и их можно быстро подобрать.
Переход к среднему арифметическому, позволяет сократить нечётные степени. Спасибо за подробное решение.
С ходу видно что 0 и 1 решают это. Никаких замен раскрываем скобки делим на х затем на х-1 .Получим квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Поэтому других решений нет.
Красиво, а я через группировку пошёл, тоже быстро решилась(17 заменил на 16+1).
Вот с языка сорвали. Видно же что 17 = 2^4 + 1^4.
@@olgarenard67 Это легко и красиво заметить что 0 и 1 это корри уравнения. Осталось только либо найти другие корни либо доказать что их нет.
@@marklevin3236 ну да... потом делим на x и х-1 в столбик.
Просто другие задачки менее очивидные/легкие были.
Если что, то мне ваш проект нравится. Я за. Именно это задание удивило.
@@olgarenard67 можно горнером
Ещё один способ: 17=1^2+4^2, поэтому получаем (x-2)^4-4^2=1-(x+1)^2. Обе части раскладываем на множители по формуле разности квадратов, далее: либо х=0, либо можно обе части уравнения сократить на х. Затем, перенеся все члены в левую часть, получим в левой части кубический многочлен, который легко разлагается на два сомножителя: (х-1) и квадратный многочлен, приводящий к уравнению, не имеющему действительных корней. Т.е. уравнение имеет только два корня: х=0 и х=1.
Спасибо, что напомнили про треугольник Паскаля. Хороший способ
Как по мне, намного проще без всяких замен. Раскрыть скобки "втупую". цифорки больше 30 не получим. но... там нужно немного магии с угадыванием очевидного корня у кубического уравнения, а дальше поделить уравнение на корень. Тоже интересные действия, но без трёхзначных чисел
Решила устно на первой минуте, понравилось Ваше решение и обсуждение математиков.
как по мне, легче оценить две функции. слева - парабола, так что можно найти ее вершину относительно оси ординат. Подставляем 0 в уравнение, и о чудо, это и есть один из корней. Ну а так как слева парабола, а справа функция равна константе, то бишь линия параллельная абсциссе, у уравнения либо один , либо два корня. Один нам уже известен - это 0, попробуем подобрать второй, и к счастью далеко ходить не пришлось, это 1. Итого, ответ: {0;1}
Возвести, раскрыть, привести и решить получилось достаточно быстро, без замен.
Thanks to share such problem. Like 17 = 2^4 +1, it was possible to identify that 0 and 1 are obvious root. So if you develop the expression the equation become x(x-1)(2x^2-2x+28)=0. In that case it's more easy to also calculate the 2 complex roots ((1 +/- root(57))/2)
.
Эти замены только усложняют решение.Я раскрыла скобки,т.е.возвела в четвёртую степень ,привела подобные и разложила на множители, в итоге получила : х(х-1)(квадрат х минус х плюс 14)равно 0.Отсюда Х равно 0 или 1.Гораздо проще.
Подбором находим два корня. X=1, 0.
Далее доказываем отсутствие других корней. При x>1 или x< 0 левая часть больше 17. При x от 0 до 1 левая часть меньше 17
Желательно в начале возвести одночлены в 4ую степень, получить полином 4ой степени в левой части и ноль в правой. Затем заметить, что свободный член равен нулю и сделать вывод что один из корней ноль. Про оставшийся трёхчлен можно сказать, что его сумма коэффициентов равна нулю поэтому 1 также является корнем уравнения. Решение автора - решение подобных уравнений в общем случае. Согласно версии проверяющих ты не мог знать наверняка что корни 0 и 1 и поэтому сочла бы преобразования выше не целесообразными
@@thecalmin2007 Таких проверяльщиков я бы послал куда по-дальше. Если я нашёл корни, которые можно подставить и проверить, а также докажу, что др. корней нет. Никто не запрещает угадывать корни. С таким же успехом можно возразить: "А как это вы догадались, что нужно сделать подмену, указанную в видео?"
как много полезного в одном видео :D
все получается намного проще если вторую замену сделать y=4t^2
ПС соглашусь с предыдущими замечаниями, что применение симметризации в данном случае не упрощает решение.
После раскрытия скобок 17 сократится потому что (-2)^4 + 1^4 = 17 и всё будет гораздо проще, короче и быстрее. Один корень сразу х=0, сократить на 2. Получается x(х^3 - 2х^2 + 15х - 14) = 0. Далее так как 1-2+15-14=0 вынести х-1 за скобки, поделить в столбик, и выходит x(x-1)(x^2-x+14)=0. Квадратное уравнение корней не имеет.
Да, я об этом написал в комментариях под первой записью.
Благодарю, очень интересное видео!
А ещё не открыв видео, увидев превьюшку на главной, в уме решил за 2 минуты, что x=1, а про нуль забыл) обрадовался, что нашёл корень. В уме ещё держал, что корня должно быть два, но как-то отбросил потом эту мысль, и стал смотреть видос)))
Оригинално и напълно логично решение.
корни x=0 и x=1 угадываются по изначальной картинке видео 16+1=17 для первого числа, 1+16=17 для второго.
@@vladimirstepanov7493 раскрываем скобки, упрощаем, делим многочлен в столбик.
@@vladimirstepanov7493 при переносе одной скобки вправо мы имеем две параболы, которые пересекаются не более двух раз
Можно и так: (x-2)^4-16=1-(x+1)^4. После разложения на множители разностей квадратов появляется множитель x и легко решаемое кубическое уравнение с единственным действительным корнем x=1. Когда написала, увидела, что такие решения уже были.
А не проще ли 17 представить как 16+1. Перенести в левую часть и - формула разности квадратов, и никаких биномов Ньютона не надо.
Зачем вы все уже сделали просто приравняйте к 16 какой одночлен а другой к 1 найдите пересечение, а потом тоже самое только поменяйте одночлены и все
@Finding Points никакой "ханЫ" , очень красиво и быстро получается. А если к тебе придерутся , почему 17=16+1, ну тогда экзаменатор дауниссимо!
Finding Points какое нахрен хана? Раскрой скобки, подели многочлен на найденные корни и все. Ты доказал единственность корней
Согласен...
Вы найдете перебором два целых корня из возможных 4. Докажите, что уравнение не имеет других корней. Старший член, в данном случае 4, подсказывает, сколько корней может иметь данное уравнение (корни могут быть кратные, разные или их может не быть совсем, нужно все случаи разобрать и доказать)
Если заменить любой из иксов на y, то график функции будет такая "выпуклая окружность", а именно выпуклая замкнутая кривая, то и очевидно что при пересечении с y = x будет не более 2 решений, которые угадываются моментально - 0 и 1
Кто на проф - тем конечно нужно и через производную, интервалы и метод подбора. А кто не на проф - предложенный вариант оч хор. Спасибо!
можно было сказать о смысле первой замены - убрать нечётные степени; тогда считать пришлось бы меньше.
Можно еще представить 17 = 2^4 +1^4 и перенести в левую часть, далее разности квадратов использовать и всё.
Хотя будем иметь дело с кубическим уравнением, если конечно повезет решить по схеме Горнера.
Я так и делал, кубическое не бойся, там сразу видно, что х=1 корень или можно просто сгруппировать.
И что? Будет сумма двух разностей квадратов =0
Мне больше нравится метод сведения к системе с помощью двойной замены, полученная система легко решается выделением полного квадрата.
Valery!! Super!!! LOVE!!! Thank You!!! Valeriy
круто! спасибо.
как все просто.
(x-2)^4+(x+1)^4=17 делаем симметричную замену x-2=t-3/2 а x+1=t+3/2 в итоге имеем уравнение (t-3/2)^4+(t+3/2)^4=17 далее воспользуемся формулой для симметричного случая пусть t=a, а 3/2=b тогда 2a^4+12a^2b^2+2b^4=17 т.е 2t^4+12t^2*(3/2)^2+2(3/2)^4=17 окончательно 16t^4+216t^2-55=0 решая это уравнение t^2=0,25 значит t=+-0,5 а x=t+1/2 если t=0,5 то x1=1 при t=-0,5 имеем x2=0 Ответ: x1=1; x2=0
Мне кажется, что проще 17 представить в виде (16 + 1) и перенести в левую часть, чтобы получилось: (x-2)^4-16 + (x+1)^4 - 1 = 0. Затем преобразовать.
C чего ты взял, что 17 нужно разбить именно на 1 + 16? Могло быть разбиение и 10 + 7 и 288/17 + 1/17.
@@tera393 Чтобы применить формулу: a^2-b^2 = (a-b)(a+b).
@@leolimann269 это понятно, но почему именно на "1" и "16" ? (корень 4 степени из 2)^4 + такой же корень из 15 в 4 тоже можно будет разбить по разности квадратов
@@tera393 Для того чтобы избавиться от 2 и 1, вынести "x" за скобки и прийти к кубическому уравнению. Тогда числа не такие громоздкие получаются.
@@leolimann269 понял, ты прав
Классно решен пример! Но в шоке я от метода переброски
2 корня прям в глаза бросаются (0 и 1), поэтому ИМХО проще раскрыть скобки как есть и поделить на x(x-1), после чего останется банальное квадратное уравнение
Как пятиклассник(я) решал это: находим два слагаемых, которые находятся в четвертой степени, 16 и 1 самый лучший вариант. Чтобы получить 16, надо возвести -2 или 2 в 4 степень, а 1 это 1 в четвертой, так как 1 в любой степени это 1. Подставляем значение x - 1 - 1-2 = -1 1+1 = 2. -1 в четвертой это 1. 2 в четвертой - 16. 1 подходит, тоже самое можно попробовать с 0. 0-2 = -2, 0+1 = 1. -2 в четвертой = 16, 1 в четвертой = 1. 16+1 = 17. Решено.
Спасибо большое! 👍🏻👍🏻👍🏻
17=(+-2)^4 + 1^4
(x-2)=-2 , (x+1)=1 => x=1 , x=0
Вот и все! Зная 2 из 4 корней, показать, что два других не вещественные, очень просто.
@qwer Если бы да кабы тут не работает, в данном конкретном примере мы получили уже 2 корня, практически мгновенно, далее, если есть желание можно разложить на множители и увидеть, что у множителя второй степени вещественных корней нет. Подход всегда индивидуальный к каждому уравнению. Вот так вот танцевать с бубном и совершать действия и преобразования, практическая надобность в которых отсутствует или просто они не оптимальны, нет.
Более простое, но не строгое решение:
Замена t = x - 2
t^4 + (t+3)^4 = 17
Понятно что слагаемые должны быть 1 и 16
Откуда t1= - 1, x1 = 1
t2= - 2, x2 = 0
... И два комплексных корня)))
я в 8 классе и все понял, спасибо за видео
красиво! А я решил проверить, можно ли "в тупую" проломить? раскрыл скобки. Х=0 вынес. А кубическое Горнером ...Х=1 Ну дальше понятно. :)
Класс!
Красивое решение.
Решил меньше чем за минуту (правда, мне лет под сраку, стыдно было бы решать дольше). Решал так: числа в четной степени - положительные. Соответственно, четвертая степень от любой скобки не должна превышать 17. Берем 3, уже в третей степени - 27. Много. Берем 2 - в 4 степени = 16. Отлично. Тогда одна скобка по модулю равна 2, вторая - 1. Уже невооруженным взглядом видны корни. Но нам же нужно показать решение? ОК, решаем две системы уровнений: 1) x-2 = +/-2 и x+1 = +/-1. Эта система имеет решение при x = 0 или 1. Решаем вторую систему уравнения: 2) x-2 = +/-1 и x+1 = +/-2. Ну как решаем: тупо проверяем полученные прошлый раз корни. Вуаля. Сделано без бумажки и калькулятора.
Сложновато, но понятно, штук 100 таких решить и норм будет
Нечего не скажешь, просто Молоцы.
Спасибо большое 🌺
Ошибся подумал квадрат а здесь 4
Но в целом все равно задача на логику 17¼ =2,03 приблизительно.
Число 17 целое. Значит квадратные корни ½ скобок могут быть только простыми числами. Их пять 0,1, 2,3,4.
Разница между числами +3 единицы.
Далее вполне логично что один корень¼ должен быть меньше |2,03|.
А второй корень не может быть меньше |1|.
Вообще в таких задачах должно быть право большую часть решения построить на логике исключения чисел. Но конечно Х тоже надо досчитать для приличия.
В конце шероховатость: зачем было подставлять t в первое уравнение, когда можно было подставить во второе?
Валерий, Вы МОЛОДЕЦ! Но, обратите внимание, что квадратные уравнения решаете на по теореме Виета, а по ОБРАТНОЙ т. Виета. На это школьникам стОит обратить внимание.
Можно ли было заметить, что 17 = 2^4 + 1^4,
Увидеть 0 и 1 в корнях, потом без замены раскрыть скобки и разделить на две скобки с корнями. Показать, что оставшийся квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
?
Так же решила. Мне кажется, что это гораздо проще.
1 скобка = а, 2 скобка =в. Тогда а- в =-3, а^4 + в^4 = 17. Дальше уже очевидно
А что очевидно?
@@АртемВирский тоже кубическое уравнение, но чуть проще
@@ИринаСтасюк-о5й а где кубическое уравнение? Там же 4 степень...
Так и не ответили, что вам очевидно.
@@АртемВирский , х-2=а х+1 =в. Тогда а-в= -3, а^4+в^4=17. а=в-3 , представляем во второе. (в-3)^4+в^4=17. Получаем 2в^4-12в^3+54в^2-108в+81+в^4=17. Приводим подобные, делим на 2. Находим в=1 и в=2., а искать не надо, сразу х. Чем этот метод лучше? 1. Только одну скобку возводим в 4 степень. 2. Замена одна. 3. Числа в конечном уравнение гораздо меньше. 4. Не надо запоминать достаточно искусственную первую замену. См исходный ролик
@@ИринаСтасюк-о5й а как находим в=1 и в=2? У вас же получился многочлен 4й степени со всеми степенями. 1 и 2 просто подобрали?
Спасибо
0^4 = 0
(+-1)^4 = 1
(+-2)^4 = 16
(+-3)^4 > 17
Можно заметить что среди 4 степеней сумма 17 может быть получена как a^4 + b^4 когда |a|=1 |b|=2 или |b|=2 |a|=1
Подбираем 2 корня: 0 и 1.
А дальше раскрыть скобки, перенести все влево и получить многочлен 4 степени, который поделить на x(x-1), и тогда будет понятно что нет других корней
Это не решение. Это угадайка. 17 очень похоже на 1+16. Так что 0 и 1 напрашиваются сами собой путём недлинного перебора. Ну а дальше можно ещё погадать или раскрыв скобки разделить на корни и получить квадратный трехчлен. Вуаля.
Зачем такие страдания. В правой части 17. В левой части 4 степень. Очевидно, что среди корней может быть тольк 0 и 1, т.к. уже подтанока 3 дает число 1 +3^4>17 , также - 1 не подходит. Остаются 0 и 1 целочисленные вещественные корни. Подстановкой убеждаемся в этом. Также просто убеждаемся в том, что дробных корней нет
Спасибо, очень трудно
4 корня же, 2 действительных числа 2 комплексных
Без производной полезнее тем кто не на проф. а кто на проф - нужно пройти вариант с производной. Ну мне так видится. Спасибо. !
Решение, конечно, правильное, но слишком заумное. Сразу видно, что x=0 и X=1. Остальные два решения - комплексные. x = 1/2 +/- i * sqr(55)/2
все же угадал -поделил в столбик приятнее
Решением также является 3 и -2
Вообще легко проверить что на самом деле нет. Подставляем 3 получаем 1 + 4^4 а это далеко от 17 далее если подставить 2 то 4^4 + 1 то то же самое, получается 257.
А можно методом коэффициентов делать просто раскрыв скобки в исходном уравнении?
В других комментариях нашёл ответ на вопрос. - да можно. Спасибо.
А что было бы, если бы
на прямую раскрыли скобки?!
Кто разрабатывает методики для создания таких задач?
Неудачное решение. Сразу глядя на уравнение видим очевидный корень X=0; Если без всяких подстановок раскрыть скобки (а их все равно пришлось раскрывать) - свободный член пропадает и имеем X*(......) = 0. Получаем первый коень строго. Остается (....)=0, Группируем - выносим (X-1) - получаем второй корень строго
я это ур-ие решил просто сделав замену x-2=t . x+1=z и сделав систему нашел все корни
В уме сразу 1 и 0 подходит ну либо 16+1 либо 1+16
А комплексные корни почему отпрасываются?
Что вы заканчивали? Матфак МГУ?
И почему Вы это не делали с 5й степенью?
Эту сумму четвёртых степеней дополняем до полного квадрата.после упрощений x^2-x=t и получаем уравнение t^2+12t=0 ответ при возврате к замене тот же
Лучше выделить полный квадрат и получить биквадратное ур- не
Я вначале выделил полный квадрат, разложил на множители и раскрыл все скобки, получил уравнение четвёртой степени и решил его при помощи схемы Горнера.
Скажите, почему Вы не рассматриваете комплексные числа
Абитуриенты ещё не знают про комплексные числа))
Но было бы интересно углубится в комплексные)))
Ну в принципе и глазками усматривается сложение 1 и 16. Метод интуиции если угодно.
Сразу бином Ньютона легче чем после замена
Resheniya ochen pravilno no dlitelno (x-2)^4+(x+1)^4=((x-2)^2+(x+1)^2)^2-2(x-2)^2(x+1)^2=(2(x^2-x-2)+9)^2-2(x^2-x-2)^2 Esli mi x^2-x-2=y togda poluchayetsiya takoy uravneniya(2y+9)^2-2y^2=17 i lyego reshayetsiya
Ой! Дал неверный коммент. Забыл про коэффициенты в скобках. Все правильно у автора. Биномиальные коэффициенты действительно симметричны, но из-за коэффициентов в скобках окончательные коэффициенты разложения теряют эту симметрию. Извините.:)
я раскрыл левую часть и сразу получил, что х=0, затем кубическое равнение.
Да, я об этом написал в комментариях под своей первой записью.
@@ValeryVolkov понятно. я просто написал еще один очевидный способ. ваш не особо очевиден, но интересен.
а почему не 4 корня
Заинтересовало. Стал решать. Напомнило загадку из сериала "Полицейский из Рублёвки", загадка про машину. И замену делал и скобки раскрыл, и многочлен на многочлен делил. Думаю фигня, полюбому какой-то прикол. Один корень точно вижу, а доказать не получается. Включаю и тут рассказывается про одну важную замену. Реакция была как у Бурунова: "с..ка".
Всё таки самый простой и ясен способ решения: возвести левую сторону уравнения в 4 -ю степень укратить и получается очень простое уравнение 3-ей степени.
откуда 2 в 4й степени то достал?
Реши уравнение х^х=4
Это равенство всегда верно?ах^2+вх+с=0 ==) х^2+вх+ас=0
Я это тоже вообще не понял
Аа хотя нет, я понял.
Там был хитрый трюк с теоремой виета. Уравнение домножили на а, потом когда нашли -220 и 4, их просто разделили обратно на а для нахождения корней.
Кстати, а как проверяется метод "подбора"? Если "метод" "подбора" считать законным методом решения, то это идеальный "метод" для списывающего двоишника.
- Я вас спрашиваю. Как вы нашли эти корни?
- Методом подбора.
😄
это как в москву с парижа через сеул .
Так тоже бывает. Из Красноярска в Сочи через Москву в 2-3 раза дешевле, чем напрямую.
Решения легко угадать а потом поделив многочлены показать что больше решений нет. Зачем все это?
Бедные абитуриенты))
не совсем так такие задачи бывают только на поступление в мехмат ...кто хочет в мехмат должен решить такую
769/28.12.19.
Тут можно вообще было легче сделать: видно что сумма в левой состоит из 4 степени, а справа число 17, но когда такой возможно? Только когда у нас числа 16 и 1 ведь из них извлекаются четко корни четвёртой степени и приравняв к 16 и к 1 объединив вы и получили бы те самые ответы
Тупо раскрыл скобки. Свободный член равен 17. Взаимоуничтожились - хорошечно. Очевидно, что х=0 корень. Ок, осталось уравнение 3 степени. Подбором с 1 раза находится корень х=1. Ок. Осталось уравнение 2 степени, ну а там доказывается, что действительных корней нет.
Если интересно, комплексные корни получатся (1±i*sqrt(55))/2.
Раскрываем скобки, свободный член обнуляется, x выносим за скобку...
Ошибочка затесалась! Четвертый биномиальный коэффициент при t равен второму, т. е. 96 а не 216. Это, к счастью, не повлияло на результат, потому что. указанный коэффициент всё равно выпадает. Так что поздравляю. Извините.
Конгениально! Но додуматься до замены t=x-1/2 невозможно!
Почему невозможно? Или то, что среднее арифметическое лежит ровно между двумя числами - это какой то невероятный, непостижимый, академический факт?
это хорошо известный приём симмитирзации. Автор просто , не заморачиваясь, применил его, хотя можно было обойтись и без него, как показано в некоторых комментариях.
Делаем замену: х-2=а и х+1=b. Тогда:
a^4+b^4=17
b-a=3
Эту систему можно преобразовать так:
(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=17
a^2+b^2-2ab=9
Делаем замену: a^2+b^2=u, u>0 ab=v. Получаем систему, которая легко решается:
u^2-2v^2=17
u-2v=9
Универсальный метод для подобных уравнений или систем
У меня один корень получился:
(x-2)⁴+(x+1)⁴=2⁴+1⁴
x-2+x+1=3
2x=4
x=2
Правильно ли, я решил?
0
Ясно
Убоище! Ясно, что сумма этих чисел равна 17, значит хотя бы одно из них является 4 степенью, а может быть и оба. Тогда наименьшее число, которое можно возвести в 4 степень не превышающую 17 будет 2 (16). До 17 не хватает 1, значит в первой скобке под степенью должна стоять 1. Ну и х =1; 0. Зачем строить рояль, чтобы удивить всех? Да, в ином случае при значительно больших числах и дробных, пришлось бы попотеть. Но этот алгоритм все равно бы сработал.