e, π и другие иррациональности | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 10 січ 2019
- #БотайСоМной #047
e, π и другие иррациональности
Поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
/ trushinbv
Это кусок недавнего стрима: • Действительные числа, ...
Заявки на следующие ролики: youtubetrushin.reformal.ru/
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
UA-cam-канал: / trushinbv
Боже.. Как же я люблю математику...
Жаль нету сисек правда
@@user-dh4vv1zz1n и писек
Привет
Ого, какая высокоинтеллектуальная беседа тут идёт) 😄
Математика хороша тем, что учит думать, искать решения, применять различные подходы к задачам. Жаль, что в школе обычно дают просто готовые алгоритмы, и решение сводится к простому вычислению алгоритма. Человек не думает, а просто считает.
17 задача на егэ как раз дает подумать, но ее почти никто не учит, ибо сложна шо пизда
@@whatisblink не задача сложна, а детей думать не доучили.
@@rzoc7495 потому и говорю что сложно, потому что не учили никого, да и даже если б учили, легкой эта задача все равно не стала бы. Зато это самая интересная задача на егэ имхо
Было бы классно увидеть когда-нибудь видео по Тейлору!
Математика- царица всех наук, зная математику хорошо, всё преодолимо, нет предмета, которого мы не смогли бы одолеть! Человеческий мозг способен запоминать 5-7-предметов, поэтому мозг, хорошо устроенный лучше, нежели наполненный!
Красиво, хороший математик, все сложное должно быть простым
Господи, первый выпуск, который я понял. Как раз не знал как это проверяется. Спасибо большое!!!!
вставки в начале видео, вырванные из контекста - топ) всегда улыбает, и не могу после этого не посмотреть видосик
кому понравилось - посмотрите в фейнмановских лекциях, как исторически считали первые таблицы десятичных логарифмов, умея только быстро считать корни. Там заодно и число е вылезает. И все это до Ньютона, матанализа и производных.
finally I learned to understand math author well done 👍
Я до сих пор жду стрим и буду ждать, потому что до жути интересно и не измеримо куча вопросов!!!
Вот эти вопросы меня побуждают изучать математику дальше!
Это офигенно!Именно это я и делал(выводил) в школе только было сложно так сделать с иррациональными числами
Борис, снимите, пожалуйста видео про перспективные фигуры в геометрии, очень нужно!
Спасибо!)
По рядам видео хотелось бы увидеть)
Приблизительное значение пи можно получить экспериментально, измерив длину окружности верёвочкой (и поделив на диаметр).
Экспериментальное измерение не столь объективно. Могут быть сильные погрешности.
(растянуть верёвочку, взять неточную окружность, провести неверные измерения. И это только на первый взгляд.)
у меня в школе получится оценить, что пи это примерно 3.1~3.2. Берем рисуем круг радиус полметра. Берем сантиметр (ну веревочный) и меряем. Делим на 1. Берем рисуем радиусом 1 метр. Берем сантиметр и меряем. Делим на 2. Оцениваем. Рисуем любой круг любого радиуса. Берем сантиметр, меряем радиус, меряем окружность. Делим. Оцениваем со всей силы.
Борис, снимите видео про теорему Наполеона, она довольно красивая ua-cam.com/video/KQ8cSuoopyc/v-deo.html
Можно еще показать, что если использовать мнимую единицу, то число "е" можно связать с тригонометрическими функциями. А тригонометрические функции уже напрямую связаны с числом "Пи". Отсюда число "е" через мнимую единицу связываем с числом "Пи".
Круто
у нас в советской школе была лабораторка со шнурком и банкой для оценки числа пи
Ни второй замечательный предел, ни сумма соответствующего ряда не есть определение числа е. Их можно назначить в этом качестве, как можно назначить π квадратом интеграла ехр(-x²)dx, но это почти полностью убьёт мотивацию этого числа.
Определение числа е - это е=ехр(1), где y(t) = exp(t) есть единственное решение уравнения непрерывного сложного процента (continuous compound rate) y'/y = 1, y(0) = 1. Так это определил автор - Леонард Эйлер. Решение этого уравнения методом ломаных того же автора даст вам замечательный предел: exp(t) = limₙ (1+t/n)ⁿ , а метод последовательных приближений даст вам известный ряд.
Зачем это дают в школе, мне сложно понять. Для изоморфизма упорядоченных топологических групп R и R₊ достаточно рассмотреть степени 2 или 10 и соответстветствующие логарифмы.
А как же тогда задачи где дано радиус и надо посчитать длинну окружности? Не могли бы вы записать видео, где обьясняется что такое длинна окружности?
Было бы еще интересно узнать как калькулятор считает значение синуса например для такиз углов как 25 градусов, и как это можно сделать руками.
Мы в школе, вроде в 6 классе, разными способами получали число π на практике. К примеру, обкладывали окружность нитью и измеряли её длинну по отношению к диаметру)
9 минут мне объясняли что на самом деле я ничего не знаю
В вузе мы можем разложить в ряд Тейлора вот это и получить пи arctan(1/2)+arctan(1/3)=pi/4
Но "руками" вы все равно будете очень долго считать, чтобы получить точность 3,14
@@trushinbv но это куда быстрее, чем считать arctan1 по Тейлору. Быстрее способа не знаю:(
@@ookutuzov, например, сумма обратных квадратов равна π^2/6. Такой ряд быстрее сходится.
на этом канале в каком-то видео была ссылка - студенты мехмата говорили о, соответственно, факультете мехмат. Кто знает можете скинуь ту ссылку или ссылку на видео, где это было
Скорее всего, речь про это видео: ua-cam.com/video/zoB2KbeRsnc/v-deo.html
Спасибо！
Спасибо огромное за полезное и интересное видео!!!
Кстати, в школьных учебниках объясняется, "откуда берутся" числа "e" и "Pi".
Например, в учебнике Никольского за 10 класс (ещё со школы помню) число "e" как раз вводится как предел (последовательности). Причём даже со строгим доказательством того, почему данный предел существует. В учебнике Алимова за 10-11 класс "e" вводится как сумма ряда "1/n! (n от 0 до бесконечности)". Вернее, понятие ряда там не используется (зато в Никольском оно есть), просто утверждается, что "e=1+1/1+ 1/(1*2)+1/(1*2*3)+...+1/(1*2*3*...*n)+...".
Число Pi вводится как отношение длины окружности к её диаметру (например, в учебнике Атанасяна по геометрии в 9 классе).
-----
Лично нам в школе учительница математики (попалась сильная) объясняла и "e", и "Pi" (сейчас я на 4-ом курсе педвуза).
Может быть, есть учителя, которые, вопреки учебникам, заставляют "тупо зазубривать" значения этих иррациональных чисел. Надеюсь, что таких не большинство. По крайней мере, про про "Pi", наверняка, рассказывают многие.
Скорее всего, большая часть старшеклассников не могут объяснить, "откуда взялись" эти числа не потому, что им не объясняли это в школе. А потому, что на соответствующем уроке они занимались посторонними делами, а не слушали учителя. Ну а учебники сейчас читает, наверно, меньше одного процента школьников (без преувеличений).
Эээ.... А почему не сможем добраться до pi = 3.14 с первокурсной программой? Вроде бы всё просто - разложить arccos в ряд Тэйлора и посчитать для нуля.
Борис, как вы так научились математике ? В чем ваш секрет ? Сидеть и ботать ?)
Или читать умные книжки ? Или общаться с учителями СССР ?
Как Вы этому всему научились ?
Реально каждый вдохновляюсь, когда вижу, как легко Вы это решаете. А у меня еще механика и материаловедение. По механике вообще трудности =( Если книжки помогают, то возьмусь за них.
"общаться с учителями СССР" - что это за бред?
@@Vladzl0y они считали более сложные числа. Сейчас этот счёт сведён к алгоритмам. Чувак выше предлагал посмотреть, как раньше считали таблицу логарифмов, умея быстро считать только корни.
@@Erick_Thellereспасибо за обесценивание
О боже... Эта нарезка!))))
6:48 "Логарифм по основанию 2 от троечки..." Мне мой внутренний голос почему-то сразу (без вычислений и сравнений) подсказал, что это где-то больше, чем полтора, но немного меньше 1.6. Где-то так 1.585 приблизительно...
Спасибо за видео! Я думаю что можно достаточно легко объяснить как вычислить пи используя подход ниже или формулу Тейлора для (1-x^2)^(1/2) . Первокурснику должно быть доступно. ua-cam.com/video/gMlf1ELvRzc/v-deo.html
Первокуру под силу вычислить пи через ряд Тейлора
Про нелогичность числа пи задумался очень давно, когда в руках держал циркуль, ведь, любая окружность формируется радиусом, хотите вы этого или нет. Как вы представляете механизм формирования окружности с помощью диаметра, какое то странное устройство нужно с иголкой посередине и двумя стержнями по краям, которые строго нужно от иглы выставить на равное расстояние, а то не сойдутся, и провести этим устройством придется не полный оборот, а 180°. Любой, здравый смысл указывает на это, что окружность в таком случае в гармонии с радиусом, повторюсь, диаметр - это уже радиус от удвоенной окружности. Вы наверняка знаете основное тригонометрическое тождество - sin^2 a + cos^2 a = 1, всё красиво и лаконично, известно, что тождество Эйлера - это частный случай e^ix=cos x + i sin x, теперь посмотрите, что происходит при подстановке пи и тау. Cos (пи) даёт -1, Cos (тау) даёт 1. Чувствуете разницу? Sin даёт при пи и тау 0. Получается что при пи - {e^i пи = -1], а при {e^ i тау = 1]. Эта -1 (единица) так режет глаз, что приходится эту единицу переносить и записывают е^i пи +1=0. Не хочу вас обидеть чем то, вы вправе принимать любую константу пи или тау. Я лишь привёл аргументы в пользу тау, обычным людям, которые не связаны с математикой, это неинтересно. Я склоняюсь к применению тау из за её логичности, пример с циркулем. Не удивлюсь, если в итоге тригонометрию детям начнут преподавать через константу тау, а не пи.
Вам в школе ничего не объясняют, но и я вам ничего не объясню...
сумма в скобках первой формулы конечна, эти дроби прибавляют понемногу к единице и итоговое значение не привышает число е. Ниже уравнение аналогично, но там икс близок к нулю, то есть микроскопичен, а единица степени , деленная на него, близка к бесконечности. Прибавление к единице до бесконечности таких микроскопических долей, мы все равно упираемся в число е, что следует из первой формулы.
так получается, потому что ты прибавляешь все время, но все время слагаемое убывает и в итоге становится близким к нулю, как во второй формуле, и почти не увеличивает сумму
Постойте, я както этим вопросом заинтересовался (касательно числа пи, а именно его более точного определения в смысле методов расчета) и пришел к выводу, что подсчитав периметр многоугольника с большИм количеством сторон, разделив на диаметр, получим искомый "коэффициент окружности", весьма криво выражаясь
Моя училка не понимает почему я ей не верю
👍
порекомендуйте годный учебник по тензорам
Четыре это максимальное число для счета. Не в пересчете на 10ичисел
Асе задачи через 4 части круга и квадрата
Короче, такое вот определение, считать сложно капец, но вот логарифм 2 от 3
1:40
а теперь представьте, что есть такая функция:
(1+x)^(1/x) - (1+1/x)^x
вопрос следующий (ответа не жду, просто интересно): существует ли у этой функции предел при x -> 0? и если да, то чему он равен?
е-1
Привет
На скоко ты сдал ЕГЭ по матике?
Я слишком старый для ЕГЭ )
101 балл.
диплом 2 степени финала российской олимпиады по математике
е - буква
А видео по матану еще будут ?
нет(
Будут )
@@trushinbv Ура! В вузе будет не так тяжело. Спасибо)
Думаю, школьник может оценить пи
а мы в школе доказывали, что Пи меньше, чем корень из 10
Hello, im freak
А почему такой предел существует?))
Мы про это скоро здесь -- ua-cam.com/play/PL3BJnp-dNqazNc11qgguXNcJwCMqwK5Yv.html -- поговорим )
как почему пи иррационально?
Если pi~3,14 приближение многоугольниками делать то какие взять чтобы замкнуть в 3,14
Свойства пространства четыре измерения. Значит счет до десяти неправильный
нет не значит
Попробуйте все ваши слова в 4 теричной системе пресчитать. Вы удевитессь. Плоское 2 пространственое 4. 1 кратность мзмерения. 4 максимальное число. Число. Пи тогда решается
че ты несешь
*e та π - не являються ірраціональними числами - вони трансцендентні.
Трансцендентные числа не могут быть иррациональными?
Целые числа не могут быть натуральными? 🤔
@@KOPOJLb_King Таки да, прошу пардона, - трансцедентні числа являються підмножиною ірраціональних!
@@huilovtsam_kaput 👍👍
Никогда не нравилось такое определение e. Как мне кажется, гораздо больше инсайтов о природе e можно получить если определить его как значение функции e^x в точке 1. Где e^x это решение уравнения y'=y, y(0)=1
Только тут очень много вопросов:
- почему у этого уравнения есть решение?
- почему оно единственно?
- почему оно является показательной функцией?
- как с его помощью найти примерное значение числа e?
Для ответов на эти вопросы нужно прослушать годовой курс матанализа и дифуров.
А работать с числом e хочется гораздо раньше. Без него нельзя вычислить производную ни от показательной функции, ни от логарифмической.
Борис Трушин
1) потому же, почему и существует определенный интеграл, но в школе проходят интегралы (как и многие другие вещи) не сильно задумываясь об их существовании
2) тут средний школьник может догадаться, что если существует какое-то другое решение, то производная разности двух решений будет нулем, а значит все решения отличаются на константу. А раз мы задали начальные условия, то и константа единственным образом определяется
3) А зачем нам это знать? Более того, используя такое определение операция возведения в вещественную степень задается наиболее естественно.
4) Вот тут действительно сложнее, но немного подумав можно прийти примерно к таким рассуждениям: i.imgur.com/XuC4Yyi.jpg
Справедливости ради, чтобы работать с e, определенной через предел последовательности, нужно тоже много знать. Но тем не менее, глядя на такое определения не так очевидно что такое например натуральный логарифм, или откуда берется показательная запись комплексного числа и формула Эйлера (из которой кстати можно вывести многие тригонометрические тождества)
@@vadimandronov6872
1) Как знание понятия интеграла поможет понять, что есть решение?
2) "то производная разности двух решений будет нулем". Почему нулем? Производная разности (y1 - y2)' = y1 - y2. Она будет нулем только в нуле.
3) А как мы, например, из этого определения поймем, почему y(2x) = y(x)^2 и другие свойства степени?
4) ок, но для этого нужно уже довольно много чего понимать про интегралы и сходимость рядов.
5) "чтобы работать с e, определенной через предел последовательности, нужно тоже много знать" -- для этого достаточно знаний из первых двух недель матанализа в вузе (не нужно знать ни интеграла, ни производной, ни даже предела функции).
6) "откуда берется показательная запись комплексного числа и формула Эйлера". А как вам поможет ваше определение? Для формулы Эйлера нужно уметь представлять функцию в виде ряда Тейлора. А тут при любом подходе не обойтись без полугода вузовского матанализа.
7) Тут есть еще один момент. Очень многие важные утверждения получаются из того, что (1 + x)^{1/x} --> e при x --> 0. Я что-то сходу не пойму, как это легко доказать с помощью вашего определения.
В целом понятный подход. Его физики очень любят. Особенно если не сильно заморачиваться на каких-либо обоснованиях. Но если стараться все делать строго, то получится, что понятие числа e, а, значит, и все факты, где используется натуральный логарифм нужно отложить минимум на второй курс вуза, когда студент уже освоил, производные, интегралы, ряды, и даже имеет некоторое представление о теореме существования и единственности решения задачи Коши.
@@trushinbv
1) Не знание понятия, а вопрос его существования (основная теорема матанализа). Решение в явном виде получается интегрированием правой и левой частей от 0 до x.
2) Напутал с единственностью первообразной, при заданных начальных условиях, поэтому это верно если принять первый пункт
3) Для начала неплохо бы определить возведение в вещественную степень. Я предлагаю так: x^r := y(r*y^-1(x)). Тогда все свойства понятны. Конкретно ваше можно доказать рассмотрев функцию y(a + b)/y(b). Её производная в точности y(a). Поэтому y(a + b) = y(a) * y(b).
4,5) Ну не любого вуза, может быть в физтехе так. Не имел счастья там учиться.
6) Если о единственности мы договорились, то достаточно показать что тригонометрическая запись комплексной экспоненты удовлетворяет определению (продиффиринцировать его)
7) Если существуют, утверждения, опирающиеся на этот факт, то его в принципе не сложно доказать (о чем вас, как я понимаю, изначально попросили)
Не обязательно откладывать. Человеческое познание спиралевидно, т.е сначала мы понимаем вещи на уровне интуиции, а затем факты начинают обрастать строгостью. Чтобы строго доказать всю математику, тоже нужны какие-то предположения, типа ZFC аксиом, из которых в дальнейшем все можно вывести. Но это сложно и в первом классе начинают явно не с этого, а сначала дают какой-то инструмент, к которому отчасти относятся как к черному ящику. Но вот определение числа e через предел последовательности мне лично даёт мало интуиции о том, что же такое e. Просто какой-то предел.
@@vadimandronov6872,
1-2) Если я правильно понимаю, то проинтегрировав вы всего лишь сведете дифференциальное уравнение к интегральному. Но вопрос существования и единственности его решения никуда не денется.
3) Принимается. Но, кажется, что после этого встает непосильная задача показать, что при рациональных r получается ровно то, что мы знали ранее.
4-5) Более менее стандартный курс матанализа приходит к числу e за 4-5 лекций. Для доказательства сходимости этой последовательности нужно понимать только, что возрастающая ограниченная последовательность имеет предел.
6) До этого же шла речь про действительную функцию действительного аргумента. Как она превратилась в комплексную экспоненту? Не говоря о том, что вывод производных синуса и косинуса, которые вам нужны, чтобы проверить то, о чем вы говорите, опирается на те самые свойства тригонометрических функций, которые вы хотите получать из этой формулы.
7) Несложно доказать, что последовательность сходится. Но нам же нужно доказать то, что она сходится к конкретному числу, которое мы определили как значение некоторой функции в точке 1.
Ну, на самом деле, я бы вообще в школе не говорил про e, особенно если ученики не понимают, что такое предел. Но в вузе уже хочется обо всем говорить максимально строго, и здесь ваш подход упирается в те сложности, о которых я пишу выше. И я, например, совсем не представляю, как при таком подходе выстроить курс анализа, не отложив минимум на год введение показательной и логарифмической функции, которые у вас жестка завязаны на e.
Почему пи для какой-то фигуры всегда константа?
Для окружности на плоскости это константа потому что все окружности подобны потому что окружность задаётся только радиусом, значит для любых двух окружностей будет верно L1/L2=D1/D2, переставив получим L1/D1=L2/D2, а если это верно для любых двух, то верно для всех, а данное отношение это и есть пи.
Если верно для двух, не совсем правильно что верно для всех)
не совсем точный переход, получается какая то полуиндукция)
@@grigoriynabiev1226 для ЛЮБЫХ двух
Опять же скажу, что для двух мало, необходимо чтобы было как минимум (странное сочетание слов) для произвольного n
@@grigoriynabiev1226 Дано: для любых двух окружностей L/D одинакого, докажем что это верно для всех. Пусть не для всех. Тогда найдутся 2 у которых разное, но мы сказали что у любых двух одинаковое, в том числе и у этих. Противоречие.
Я знаю как посчитать число pi но я не знаю почему так
Это как так? )
Я корень буду обозначать ^0.5
2 2 ^ 0.5 ( 2 + (2 ^ 0.5)) ^ 0.5
------ = ------------------ * -------------------------------- *
Pi 2 2
(2 + ( 2 + (2 ^ 0.5)) ^ 0.5) ^ 0.5
* ------------------------------------------------------ .....
2
Это способ позволяет довольно за короткое число операций посчитать число pi
@@glasderes произведение виета
@@user-es6hc4qk3t спасибо что дал мне ответ спустя 3 года
здарово, ребзя! что тут вообще происходит?
Оценка π с любой точностью(вроде бы) школьными методами. 1) Вспомнить что 1- eps =(1-eps)π
Остаётся только понять какого n гарантированно будет достаточно для фиксированного eps чтобы получалась разумная оценка сверху, снизу вообще честная оценка.
У меня в школе было не так.
У меня предложили померить самим. Я в итоге нарисовал окружность диаметром 2м, точнее 2000мм. В итоге этот 2х метровый круг начерченный на ватмане в классе математики весел лет 6. Длина окружности получилась 6,2834м, то есть 62834мм. Мне сказали, что этого достаточно, чтобы посчитать задачи из школьной программы.
1:10 "И дальше ровно отсюда следуют все хорошие свойства у e..." Интересная фраза, с двойным смыслом. :-)
Начали за здравие, кончили за упокой.
.
Справедливости ради, значение ~3.14... было получено еще до нашей эры. Так что запредельной внешкольной математики здесь нет.
А корень из двух можно геометрически узнать?
Берём квадрат размером 100 мм, меняем диагональ, получается и в правду 141 мм, и благодаря теореме Пифагора что корень из двух равно 1,41
Нельзя ли проще объяснить физический смысл числа е? С пи все понятно, но про е мне рассказывают о сложном банковском проценте или о росте популяции оленей. Нет ли других объяснений?
Число Пи для гренландских китов равно трем
Математика - интересный предмет, но не каждый освоит ее до заданной глубины (либо из лени, либо за ненадобностью).
Замечания к теме:
1)Каждому школьнику, освоившему деление десятичных чисел , нужно давать задание: вычислить число Пи с точностью до трех знаков. Для этого нужно взять любой цилиндрической формы предмет, измерить его охват (длину окружности), измерить диаметр, потом разделить (можно с калькулятором) первое на второе - получим число Пи с такой же точностью, с которой мы делали измерения. Такой метод позволит человеку запомнить одновременно несколько умений (измерение величин, вычисление значений, оценку погрешности).
2) Число е в жизни мало кому сгодится, но если нужно вычислить его , зная определение , можно воспользоваться калькулятором и четной степенью числа 2 , (например, (1+ 1/256) возвести в квадрат 8 раз (нажимая знак умножения) и получим е=2,71...
А как отличить "один в степени бесконечность", что является неопределённостью, от "один плюс один делённый на n всё в степени n", что равняется e? Ведь "один в степени бесконечность" всегда можно представить в виде "один плюс один делённый на n всё в степени n" (если n стремится к бесконечности).
Если изобразить число пи в позиционной системе координат,то оно имеет весьма интересные закономерности.
У пи с рожденья,
Нету решенья.
А мы заразу,
Расколем с разу.
Дружок не плач,
Нет не решабельных задач.
ua-cam.com/video/oTq-uYbj6eQ/v-deo.htmlfeature=shared
гомотопия
тема еп не раскрыта...
e^(iπ) = -1
ТейлОра блин,хвах
Не хвахайте, это устаревшее, но допустимое произношение, так же как и бином НьютОна.
Я видимо не один нахватался ТейлОра, НьютОна, МаклорЕна
А потом окажется, что Пи = 3.1415 и тд, только потому, что вы расстояние считаете по евклидовой метрике, меняем её на манхэттенское расстояние, и вуаля - Пи уже ровно 4.
π = 22/7
Это то что я помню))) И так можно узнать π
Но это неправда )
π -- иррациональное число
@@trushinbv Я однажды ошибся с определением иррационального числа, поэтому число pi меня "убило" :)
а в чем смысл видео? вы ничего не понимаете. и что дальше?
Почему тейлОра, а не тЕйлора? Он же не врач, а математик!
метод сравнения попы и пальца не дает понимания числа
кто хочет снюс ко мне в телегуесли будет 100 лайков выложу телегу(есть меф соли скорость винт крокодил спайс насик)
Фу
У МЕНЯ ПИ = 3,261972.......