Забавно, только вчера ведь на самостоятельной использовал Раабе. Хорошо, что смотрел старый роилк с этим признаком. Почему то в университете на рассказывают, хотя признак довольно легкий, однокурсникам пришлось помучаться
Здесь, по-моему, проще воспользоваться эквивалентностью (все знакоположительно). Представить факториал через формулу Стирлинга и сразу увидеть, что общий член эквивалентен 1/sqrt(2pi*n), а это ряд, очевидно, расходящийся
зато так можно рассказать про не очень популярный признак сходимости. Но да, ваше решение мне тоже нравится :) А для моего не нужно знать формулу Стирлинга :)
Если последовательно строить теорию, то формулу Стирлинга доказать не проще, чем этот признак - та еще штучка. А вообще они из разных областей, просто в этой задаче и то и то годится.
@@xfom4008 Так я о чём. Гамма-функция и числовые ряды - это всё-таки несколько разные вещи. Хотя в математике всё может неожиданно оказаться взаимосвязанным.
Интересно было бы узнать про остальные признаки сходимости для сложных рядов: Бертрана, Куммера (и как на его основе свои признаки выводить), ну и самый главный, который всё решает: Гаусса.
Из-за формулы Стирлинга иногда получается неправильный ответ. Так как в полной формуле используется добавление некоторой константы, которая нейтрализует разность между настоящий значением и вычисленным
На мой взгляд, задачу можно было бы решить проще. По формуле Стирлинга a_n ~ 1/( 2 pi sqrt(n)). Исходный ряд - знакопостоянный, ряд обратных корней расходится ( доказывается это просто). Значит и исходный ряд расходится по признаку сравнения.
5:24 - почему мы в знаменателе дроби заметили и подставили 2-й замечательный предел, а в числителе стали мудрить в бесконечно малыми? Пчм нельзя сразу взять n*(e-e)/e=0
ну если вы до конца досмотрели, то предел не равен нулю, он равен 1/2. В знаменателе в пределе получается конечное число (е), поэтому предел от знаменателя и можно отдельно найти, а в числителе неопределенность вида бесконечность*ноль.
Каким образом мы так смело перебрасываем n^n из числителя в знаменатель??? на 4:48 upd: уже разобрался, но это было совершенно не очевидно. Лучше бы проговаривать такие моменты)
Признак Раабе для гармонического ряда: a_n = 1/n; a_{n+1} = 1/(n+1) n(a_n/a_{n+1} - 1) = n((n+1)/n - 1) = 1 Гармонический ряд расходится Верно ли, что если lim (n*(a_n/a_{n+1} - 1)) = 1, то ряд расходится? Если да, то какие есть примеры, нарушающие это утверждение?
Не понял, почему в появившемся на 5:19 пределе в знаменателе представили (1 + 1/n)ⁿ как e, а в числителе нет? Ведь тогда скобка в числителе и, соответственно, весь числитель и вся дробь сразу обращается в 0, предел от которого тоже равен нулю и, разумеется, меньше 1.
Нельзя переходить к пределу в отдельных слагаемых. А вот в множителях можно. (Следует из факта, что lim(fg)=limf*limg при условии существования обоих пределов
@@viganadziratel1962, из ролика понятно, что "нельзя", но не поясняется, почему? Тем более что в данном случае ответ был бы одинаковый (не численно, а вообще), хоть и "нельзя".
@@boderaner потому что это очевидно. То, что я написал проходят буквально в первую неделю обучения в вузе. А то, что вы написали, что ответ бы не поменялся, это сущий бред. Если ответ верный это не значит, что решение верное
Доброй ночи! Хотел у вас спросить, сколько вы тратите время на решение того, или иного задания. Взять самое распространённое - средней сложности ДУ, или решение среднего по сложности интеграла сколько вы тратите время, перед тем как записать видео?
Если вы говорите именно про задания к видео, то я никогда не измерял время. Да и это не имеет смысла: больше времени тратится на то, чтобы придумать задание :) Или выбрать из большой кучи то, что было бы на мой взгляд интересным. Дальше еще время на то, чтобы написать решение коротко, но понятно: какие действия стоит расписывать, какие наоборот можно и нужно опустить, где формулы будут появляться, что оставлять на экране, а что убивать (на экране слишком мало места на самом деле, или нужно сильно мельче шрифт делать). А так у меня уже много решенных есть, особенно с интегралами - сотни разных :) Кто-то кроссворды исписывает или детективы читает, чтобы время скоротать, а я интегралы решаю в такие моменты :)
Пришла в голову идея, но нет времени проверить. Сформулируем каскад признаков: 1) lim a_{n}/a_{n+1} < 1 - расх. VS lim a_{n}/a_{n+1} > 1 - сход. VS lim a_{n}/a_{n+1} = 1, тогда 2) lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n < 1 - расх. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n > 1 - сход. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n = 1, тогда 3) lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n < 1 - расх. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n > 1 - сход. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n = 1, тогда 4) И т.д. отнимаем единицу от предыдущего подлимитного выражения и умножаем на n, и снова сравниваем с единицей... 5)... Мне кажется, что такое бы рассказывали на матане, но я не помню. У кого есть время, где у меня ошибка? может там не на n умножать, например.
5:23 кто-то может описать почему мы можем отдельно считать предел, там лучше просто везде по Тейлору разложить и посмотреть что получится. Ход как по мне не корректный, ну или не тривиальный, это ещё доказать надо, что так можно
Здравствуйте, я старшеклассник и хочу побольше узнать о рядах, а точнее про введение в эту тему, с производными и интегралами я знаком, а с рядами совсем чуть чуть. Посоветуйте, пожалуйста литературу хорошую по жтой теме. Спасибо.
Конкретно по рядам ничего не посоветую, но можно почитать книжки по анализу. Например Зорича или Фихтенгольца. Может кто зайдет и других авторов еще понаписывает. Можно зайти с более практической стороны и заглянуть в какой-нибудь задачник, например Демидовича. Вроде забил Демидович ряды и выдает в первой же строке задачник в свобоном доступе и там в пятом отделе ряды.
просто я читал, что n^n растёт на бесконечности быстрее, чем показательная степень и факториал а значит n^n будет расти быстрее, чем произведение функций, которые растут на бесконечности медленнее, чем n^n или же это так не работает?
@user-ky2rt1kf3y как видите, предел равен нулю. Значит в данном случае не так. Посмотрите на показательную функцию в знаменателе. Всё от нее будет зависеть. При 2^n, например, предел действительно будет равен бесконечности
а можно было как-то подлбным образом решать? Многие уважающие себя олимпиадники знают такое неравенство: n!>(n/3)^n доказывается оно по индукции и я подумал, какую лучшую оценку мы можем получить (изменяя число 3 в меньшую сторону) по индукции, предварительно забив на базу и заменив 3 на k, получаем k>(1+1/n)^n, что очевидно из 2го замечательного предела, но база индукции прстрадала, а значит будет выполняться только при гигантских n, что и дает нам n!≈(n/e)^n при n->inf, значит и в нашем ряду при стремлении к бесконечности где-то в конце буддут в основном единицы, а это значит ряд расходится
@@pskv20 да, вы правы, если взять мое неравенство, прологарифмировать и перенести в 1 сторону, получим разность, которая(как я предположил) должна уменьшаться, а она увеличивается
Признак сходимости Раабе используется редко. Спасибо за серьёзное видео по этой теме.
Excellent convergence property
А можно просто воспользоваться формулой стирлинга для факториала, и почти сразу сказать, что член ряда a_n ~ 1/sqrt(n) => ряд расходится)
Задачка такая хорошая, что даже Даламбер облажался. 🙂
Спасибо, очень-очень доходчиво!!
Забавно, только вчера ведь на самостоятельной использовал Раабе. Хорошо, что смотрел старый роилк с этим признаком. Почему то в университете на рассказывают, хотя признак довольно легкий, однокурсникам пришлось помучаться
Классное видео с неожиданным результатом, спасибо!:)
Здесь, по-моему, проще воспользоваться эквивалентностью (все знакоположительно). Представить факториал через формулу Стирлинга и сразу увидеть, что общий член эквивалентен 1/sqrt(2pi*n), а это ряд, очевидно, расходящийся
Тоже сразу пришло в голову такой решение.
зато так можно рассказать про не очень популярный признак сходимости. Но да, ваше решение мне тоже нравится :) А для моего не нужно знать формулу Стирлинга :)
Если последовательно строить теорию, то формулу Стирлинга доказать не проще, чем этот признак - та еще штучка. А вообще они из разных областей, просто в этой задаче и то и то годится.
@@pskv20 Ну, формула Стирлинга необходима, чтобы хоть что-то понимать про асимптотику гамма функции.
@@xfom4008 Так я о чём. Гамма-функция и числовые ряды - это всё-таки несколько разные вещи. Хотя в математике всё может неожиданно оказаться взаимосвязанным.
Хороший пример для понимания как работает признак Раабе. Рассмотрите ещё, пожалуйста, пример на признак Гаусса
Спасибо очень интересные
Интересно было бы узнать про остальные признаки сходимости для сложных рядов: Бертрана, Куммера (и как на его основе свои признаки выводить), ну и самый главный, который всё решает: Гаусса.
Признак Коши соло)
Лучшее оформление!
Спасибо за хорошее детство :)
Спасибо!
Я просто вспомнил формулу стирлинга, всё подставил, сократил и получил 1/(√(2πn) + O(1/n)). Раз полученный ряд расходится, то и изначальный тоже
Из-за формулы Стирлинга иногда получается неправильный ответ. Так как в полной формуле используется добавление некоторой константы, которая нейтрализует разность между настоящий значением и вычисленным
Очень ждём задачи на среднее расстояние.
было бы интересно послушать про признак Гауса или Жаме
Есть признак Гаусса:
a_n / a_{n+1} = 1 + L / n + o(1/n)
Если L
На мой взгляд, задачу можно было бы решить проще. По формуле Стирлинга a_n ~ 1/( 2 pi sqrt(n)). Исходный ряд - знакопостоянный, ряд обратных корней расходится ( доказывается это просто). Значит и исходный ряд расходится по признаку сравнения.
5:24 - почему мы в знаменателе дроби заметили и подставили 2-й замечательный предел, а в числителе стали мудрить в бесконечно малыми? Пчм нельзя сразу взять n*(e-e)/e=0
ну если вы до конца досмотрели, то предел не равен нулю, он равен 1/2. В знаменателе в пределе получается конечное число (е), поэтому предел от знаменателя и можно отдельно найти, а в числителе неопределенность вида бесконечность*ноль.
Мы когда проходили эту тему, нам тот же самый пример дали 😂
Та ну. Формулу Стирлинга знает продвинутый шеольник. N!=sqr(2 pi N)* (N/e)^N *(1+1/12N +...) Расходимость очевидна.
успели пока горит спичка? :)
@@Hmath с запасом.
Каким образом мы так смело перебрасываем n^n из числителя в знаменатель??? на 4:48
upd: уже разобрался, но это было совершенно не очевидно. Лучше бы проговаривать такие моменты)
Признак Раабе для гармонического ряда:
a_n = 1/n; a_{n+1} = 1/(n+1)
n(a_n/a_{n+1} - 1) = n((n+1)/n - 1) = 1
Гармонический ряд расходится
Верно ли, что если lim (n*(a_n/a_{n+1} - 1)) = 1, то ряд расходится?
Если да, то какие есть примеры, нарушающие это утверждение?
Не понял, почему в появившемся на 5:19 пределе в знаменателе представили (1 + 1/n)ⁿ как e, а в числителе нет?
Ведь тогда скобка в числителе и, соответственно, весь числитель и вся дробь сразу обращается в 0, предел от которого тоже равен нулю и, разумеется, меньше 1.
Нельзя переходить к пределу в отдельных слагаемых.
А вот в множителях можно. (Следует из факта, что lim(fg)=limf*limg при условии существования обоих пределов
@@viganadziratel1962, из ролика понятно, что "нельзя", но не поясняется, почему? Тем более что в данном случае ответ был бы одинаковый (не численно, а вообще), хоть и "нельзя".
@@boderaner потому что это очевидно. То, что я написал проходят буквально в первую неделю обучения в вузе.
А то, что вы написали, что ответ бы не поменялся, это сущий бред. Если ответ верный это не значит, что решение верное
@@viganadziratel1962Неправда! Во вторую неделю проходили)
Доброй ночи! Хотел у вас спросить, сколько вы тратите время на решение того, или иного задания. Взять самое распространённое - средней сложности ДУ, или решение среднего по сложности интеграла сколько вы тратите время, перед тем как записать видео?
Если вы говорите именно про задания к видео, то я никогда не измерял время. Да и это не имеет смысла: больше времени тратится на то, чтобы придумать задание :) Или выбрать из большой кучи то, что было бы на мой взгляд интересным. Дальше еще время на то, чтобы написать решение коротко, но понятно: какие действия стоит расписывать, какие наоборот можно и нужно опустить, где формулы будут появляться, что оставлять на экране, а что убивать (на экране слишком мало места на самом деле, или нужно сильно мельче шрифт делать). А так у меня уже много решенных есть, особенно с интегралами - сотни разных :) Кто-то кроссворды исписывает или детективы читает, чтобы время скоротать, а я интегралы решаю в такие моменты :)
Не знал, что Макс Раабе еще и математик)
Стоит и схему Куммера напомнить.
Пришла в голову идея, но нет времени проверить. Сформулируем каскад признаков:
1) lim a_{n}/a_{n+1} < 1 - расх. VS lim a_{n}/a_{n+1} > 1 - сход. VS lim a_{n}/a_{n+1} = 1, тогда
2) lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n < 1 - расх. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n > 1 - сход. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n = 1, тогда
3) lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n < 1 - расх. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n > 1 - сход. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n = 1, тогда
4) И т.д. отнимаем единицу от предыдущего подлимитного выражения и умножаем на n, и снова сравниваем с единицей...
5)...
Мне кажется, что такое бы рассказывали на матане, но я не помню. У кого есть время, где у меня ошибка? может там не на n умножать, например.
Есть признак Гаусса, у него нет случая когда признак не дает ответа
Решил по формуле Пика за 3.14 секунд без использования гетеросексуального логарифма!😎
Банановый баян. Не устал еще херню писать?
5:23 кто-то может описать почему мы можем отдельно считать предел, там лучше просто везде по Тейлору разложить и посмотреть что получится. Ход как по мне не корректный, ну или не тривиальный, это ещё доказать надо, что так можно
Сверху получается неопределенность беск*0, а снизу конкретное число - как вариант такой ответ
Здравствуйте, я старшеклассник и хочу побольше узнать о рядах, а точнее про введение в эту тему, с производными и интегралами я знаком, а с рядами совсем чуть чуть. Посоветуйте, пожалуйста литературу хорошую по жтой теме. Спасибо.
Конкретно по рядам ничего не посоветую, но можно почитать книжки по анализу. Например Зорича или Фихтенгольца. Может кто зайдет и других авторов еще понаписывает. Можно зайти с более практической стороны и заглянуть в какой-нибудь задачник, например Демидовича. Вроде забил Демидович ряды и выдает в первой же строке задачник в свобоном доступе и там в пятом отделе ряды.
@@epsilon.sw_ Спасибо большое!!!!
Попробуйте посмотреть учебник Е.А. Власовой "Ряды". Может понравится.
а нельзя было сразу решить через необходимый признак, посчитать предел An и он будет равен бесконечности, следовательно ряд расходится
предел an не равен бесконечности, он равен нулю
www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%5En%2F%28e%5En*n%21%29+n-%3Einf
@@Hmath а разве n^n на бесконечности не обгонит произведение n! и e^n или я чего-то не понимаю..
просто я читал, что n^n растёт на бесконечности быстрее, чем показательная степень и факториал
а значит n^n будет расти быстрее, чем произведение функций, которые растут на бесконечности медленнее, чем n^n
или же это так не работает?
@user-ky2rt1kf3y как видите, предел равен нулю. Значит в данном случае не так. Посмотрите на показательную функцию в знаменателе. Всё от нее будет зависеть. При 2^n, например, предел действительно будет равен бесконечности
@@Hmath я уже перепроверил через формулу стирлинга, там предел равен нулю
все равно спасибо, что ответили
Эм. А если признак Раабе не даёт сведений о сходимости? У меня недавно произошло такое. Я был мягко говоря удивлён. Что тогда?
посмотрите в Википедии, ещё другие есть. Гаусса, например
@@Hmath Ну радикальный признак Коши например ничего не дал. Но идея хорошая. Спасибо.
Однако, вовремя, послезавтра матан сдавать..)
а можно было как-то подлбным образом решать? Многие уважающие себя олимпиадники знают такое неравенство: n!>(n/3)^n доказывается оно по индукции и я подумал, какую лучшую оценку мы можем получить (изменяя число 3 в меньшую сторону) по индукции, предварительно забив на базу и заменив 3 на k, получаем k>(1+1/n)^n, что очевидно из 2го замечательного предела, но база индукции прстрадала, а значит будет выполняться только при гигантских n, что и дает нам n!≈(n/e)^n при n->inf, значит и в нашем ряду при стремлении к бесконечности где-то в конце буддут в основном единицы, а это значит ряд расходится
Формула Стирлинга говорит, что не единицы. Общий член стремится к нулю, но недостаточно быстро для сходимости, пропорционально 1/√n.
@@pskv20 да, вы правы, если взять мое неравенство, прологарифмировать и перенести в 1 сторону, получим разность, которая(как я предположил) должна уменьшаться, а она увеличивается
Задрали Стирлинги и олимпиадники в комментариях. Не для вас видео. Идите лесом. Решайте дальше свои задачки и не сдавайте ЕГЭ.
Спасибо!