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解を α±βi,γ とすれば解と係数の関係で2α+γ=0 , 2αγ+α²+β²=-1 , (α²+β²)γ=-kここで α²+β²=1 なのだから(α,β,γ,k)=(1/√2,1/√2,-√2,√2) は容易にでますね。
x^3-x+k = 0 => 一つの解を α とすると、αもこれを満たすので、α^3-α+k = 0 。元の式から辺々ひいてまとめると、(x-α)(x^2+αx+α^2-1)=0 。αを実数の解としても問題ないので、そうすると、x^2+αx+α^2-1 =0 の解が、虚数の解です。この式は虚数の解が実数の解αで表せることを示しています。kは必要なくなります。あとは、この虚数の解をαを含んだ形で求め、実部^2+虚部^2 = 1 とすればαが求まり、それにより３つの解がわかります。たのしかったです、解答提供ありがとうございます。
@ペンギンアイドル 三次関数は必ず実数解をひとつは持つからです
天才
もっちゃんとのコラボのように懇切丁寧で完全に理解できました。最新の別解もcoolですが、この、methodもいい。
途中で自分は正しいことやってるのか不安になる癖がある
互いに共役な虚数解をz,z*とすると、|z|²=z•z*=1それぞれ与式に代入して辺辺の和と差をとる(z-z*)(z²+z*²)=0-①(z+z*)(z²+z*²-2)+2k=0-②①についてz-z*≠0よりz²+z*²=0 これよりzの(実部)²=(虚部)²=1/2となり②はk=z+z*とまとめられる。k＞0より実部=1/√2, k=√2解と係数の関係より、z･z*•a=a=-k=-√2よって3つの解は-√2, 1/√2±1/√2i
良問は、根本的な事柄を的確に、理解していないと そして最初の 解く方針 例えるならドアや車の 鍵 が必要なことをいつも思い知らされます 貫太郎さんは 特別なマスターキー を持っている。
複素数の解は a+bi, a-bi と書けることを利用して、(x-r)(x-a-bi)(x-a+bi) = x^3 - x^2 (r + 2a) + x (2ra + 1) - r と書きなおして係数を合わせる方法で解けました。
3乗の項と１乗の項の係数の絶対値が等しいので3倍角の公式は使わずに解けました。x=e^(iα)とすると（ただしαはπの整数倍では無い）与式=e^(i3α)-e^(iα)+k与式が0となるためには実部、虚部とも0になる必要がある。実部 cos3α-cosα+k=0虚部 sin3α-sinα=0虚部=0よりsin3α=sinαsinの値が同じになるのは次の二つの場合①角度が同じとき。もしくは角度の差が２nπ(nは整数)のとき3α=α+2nπ②e^(iα)とe^(i3α)がガウス平面のy軸を挟んで反対の位置に対称に存在、つまり角度の和がπ+2nπ(nは整数)になるとき3α+α=π+2nπαはπの整数倍でないので、①の解は不適②から-π
「哀しみの、ベールをはーずす」って歌ってても出て来ないので、おやっと思ったらこっちは別の曲でした(笑)同時期にヒットしたので混同してました
久々に観たら、15:13で｢３？？？｣となり、15:45｢とりあえずこのままで～｣の意味が解りました。・・・３ヶ月掛かりましたが・・・自分でやったら4cos^3x-3cosxにしてから｢・・・なんだか面倒だなぁ・・・｣となったので、改めてスゴいな、と思いました。
別解 共役な虚数解をz,z*実数解をaとすると、|z|²=z･z*=1 解と係数の関係より z･z*•a=a=-k よって-kを解にもつから与式に代入して2k-k³=k(2-k²)=0 k＞0よりk=√2解と係数の関係よりz+z*-√2=0⇔z,z*の実部が1/√2 これとz･z*=1から虚部=±1/√2iよって3つの解は-√2, 1/√2±i/√2
別解を考えてみました（類似するものもあるかもです）3根のうち実数解をAとする。与式=（x-A）(x^2+ax+b)と変形できる。x^2+ax+b=0の虚数解をα=m±niとする（ただし、 絶対値1よりm^2+n^2=1）α＝m±niを変形させる 虚数を孤立させ両辺2乗α^2-2mα+m^2+n^2=0,ここでm^2+n^2=1を使用α^2-2mα+1=0これをx^2+ax+bに置換して展開与式=x^3+(-2m-A)x^2+(1+2mA)x-A=x^3-x+k恒等式係数比較により、2m+A=0,mA=-1,A=-kk>0なので、k=√2,A=-√2,m=√2/2m^2+n^2=1よりn=±√2/2という流れです。解と係数の関係を知らなくてもいいという点では（実際私が知らないというか、忘れた）有用かもと思い、投稿させて頂きます。
絶対値が１の根を e^(ai) とすれば、３乗は e^(3ai)。e^(3ai)-e^(ai) を極座標で図示して、左向きの横一直線 (=-k) になるのは a=π/4, k=√2 しかなさそう。
備忘録2周目👏70G,【 解法その2. 絶対値が１の条件から、極の形式での解法 】虚部＝０からsinθ＝ ±1/√2 ■ 実部＝０からｋ＝√2 ( ＞0 )でcosθ＝1/√2 ■与式から、解と係数の関係を用いて残りの解は、 －√2 ■
実部と虚部がゼロなので、差積の公式を使って、虚部は、2cos2αsinα=0となるが、題意から、sinα≠0なので、cos2α=0。したがって、α=π/4または3π/4。また、差積の公式と2倍角の公式により、k=2sin2αsinα=4(sinα)^2・cosαとなるが、題意からk＞0なので、題意に適するαの値は、π/4だけ。したがって、求めるべき虚数解は、(√2/2)・(1±i)。また、k=4・(1/2)・(√2/2)=√2。加えて、3次方程式の解と係数の関係から、残りの解をβとして、β・(√2/2)・(1+i)・(√2/2)・(1-i)=-kとなる。したがって、β=-√2となる。というのも、ありかと思います。
いろいろな解法がみれて参考になります。自分は複素数の問題はできるだけ複素数のまま処理するように心がけているので、極形式表示や成分計算せざるを得なくなったときの計算力が落ちている気がします。3解はx=α, α*, t とおける(αは虚数, α*はαの共役複素数, tは実数)。条件 ⇔ α+α*+t=0 ∧ αα*+α*t+tα=-1∧αα*t=-k ∧ |α|=1 ∧ k>0 ⇔ (α+α*)/2=√2/2 ∧| α|=1 ∧ t=-√2 ∧ k=√2ここで、(α+α*)/2=√2/2 ∧ |α|=1は、複素数平面において、原点中心半径1の円と√2/2を通り実軸に垂直な直線との交点だから求める3解は x=-√2, (√2±i√2)/2
多くの欧米人も持ってますよね！巨根
極形式のところとても分かりやすいです。チャンネル登録させていただきました。
はやじゅん。 さんご視聴＆登録ありがとうございます。
極形式の説明ありがたいです
アルラウネ同盟 さんご覧になっていただきありがとうございます。
文系の自分でもわかりやすかったです！
三角関数を持ち込んで徒に計算を面倒にしてますね。1つの解が虚根ωなら他の解は共役ω_ と実数αだから、x^3-x+k=(x-ω)(x-ω_)(x-α) 。左右の係数比較し、 ωω_=1から答えは容易に求まります。
この問題って、関数論を多少でもかじってると結構簡単に解ける可能性がありますね。途中までは貫太郎さんとおなじですけど、オイラーの形を崩さずに解きます。貫太郎さんは高校範囲ということを意識してsin、cosで解いたのかな？ｘ^3 － ｘ ＋ k ＝ ０を満たすｘは、kが実数であることから、ｘ^3 － ｘは実数でなくてはならない。絶対値1の複素ベクトルはe^(iΘ)複素平面状で原点を中心に半径1の円周上を考えると、この複素ベクトルは原点から円周上に向かう、正方向実軸からの角度がΘのベクトル。ここでｘ^3はe^(i3Θ)、つまり中心から円周に向かう確度Θ×3のベクトルｘはe^(iΘ)、つまり中心から円周に向かう確度Θのベクトルｘ^3 － ｘが実数となる組み合わせは、虚部が同じでなければならないことから、幾何的に、Θ ＝ 45°、-45°のみと分かる。幾何的に分かるけど、計算するなら180－Θ ＝ 3Θ、180＋Θ ＝ －3Θを解く。つまり、e^(iΘ)とe^(i3Θ)を複素平面上に配置した時、高さが同じになるのは、Θ ＝ 45°、-45°の時のみということ。この時点で2つの根は出てしまう。e^(i45°) ＝ cos45° ＋ i・sin45° ＝ (1/√2) ＋ i(1/√2)e^(i(-45°)) ＝ cos45° － i・sin45° ＝ (1/√2) － i(1/√2)またe^(i45°×3) ＝ e^(i135°) ＝ cos135° ＋ i・sin135° ＝ －(1/√2) ＋ i(1/√2)e^(i(-45°×3)) ＝ e^(i(-135°) ＝ cos135° － i・sin135° ＝ －(1/√2) － i(1/√2)）方程式に代入し、e^(i45°×3) － e^(i45°) ＝ －2/√2（e^(i(-45°×3)) － （e^(i(-45°)) ＝ －2/√2）でもOK）ここからk ＝ 2/√2 ＝ √2元の方程式は、ｘ^3 － ｘ ＋ √2 ＝ ０これを解いて実数解は－√2関数論はとても便利、高校生でも教えたら苦もなくマスターすると思うんですけどねえ。
あなたは複素関数論も知っていそうだし、さらに先の分野にも詳しそうだ私の方法は数学界で既に発見されたものだろうか。たずねたい。正規化し x^3 - x から円の半径 R = 2/((3)^0.5) を得る虚数軸 i とは異なる実数と直交する軸を j とする与式を満す実数解を r とする (r
実数解が1つ、虚数解が2つなのは明らかなので、複素数の絶対値を解と係数の関係に代入するとあっさり解けましたよ。
x^2の係数が0→虚数解はcosα±isinα、実数解は-2cosα、xの係数→-1=1-4cos^2α、三つの解が分かったところでkが求まる。
私もそう、考えました。この3次方程式の3解を、z1,z2,z3とする。この3次方程式は実数係数となっていることから、この3解のうち、1つは実数解で、残りの2つが共役となる複素数の解となる。また、対称性から、z1を実数解、残りの2つを、共役となる複素数の解としても、一般性を失わない。ゆえに、z3=z2†(z2の共役複素数)と書き直しても、題意には反しない。加えて、題意から、│z2│=│z2†│=1であり、z2・z2†=│z2│^2=1～①である。3次方程式の解と係数の関係から、z1＋z2＋z2†=0～②z1・z2＋z2・z2†+z2†・z1=-1～③z1・z2・z2†=-k～④∴②から、z2+z2†=-z1～⑤また、⑤と複素数の性質から、z2とz2†の実部は、-(z1/2)、虚部のうち、符号を除いた部分は、√{1-(z1^2/4)}となる。～⑥・①と③と⑤から、z1・(z2+z2†)+│z2│^2=-│z1│^2+1=-1∴│z1│^2=2～⑦・①と④から、k=-z1・│z2│^2=-z1>0 ∴z1
私も全く竹田さんと同じです
今朝の動画のコメント欄で、紹介されていたので、受講しました(^^)d。
実数係数の3次式方程式なら、ひとつの実数解と共役複素の複素解2つですよね。この断定が高校範範囲かどうか微妙だけど。この条件から恒等式を作り係数を確定、この時、複素解の絶対値が1、を使う、というような解き方が出題者の意図のようにも感じます。オイラーの式を展開したような解法をすれば採点者は驚くはと思いますけど。
実数係数三次方程式の解が一つの実数解と一組の共役複素数解になることは高校範囲の知識で示せます。三次関数のグラフの概形で実数解を少なくとも一つ持つことがわかり、残りの解は二次方程式の解の公式の形から共役複素数２個になることから明らかです
x=e^iθ(0
解と係数の関係から-k, k/2±(√1-k^2/4)iまで求めましたが、kが求められることを見落としてしまいました……
工学の分野では、特に電気なんか三角関数と虚数を駆使するので、思考力と素養とを求める良い問題だと思います
のけものフレンズ さんご覧になっていただき感謝します。そうなんですか！知りませんでした。ありがとうございます。
|a+bi|は(a^2+2abi+-b^2)^(1/2)になるのではないですか？(a^2+b^2)^(1/2)となる理由が分からないので質問いたしました。
ご覧下さりありがとうござます。これを観て頂ければ複素数の仕組みがわかると思います。なぜ、マイナス×マイナスはプラスなのか？ 負✕負＝正 虚数（複素数）を使って説明しますua-cam.com/video/ApI4LBNHJJg/v-deo.html
Focusには解と係数との関係で解いてありましたね
Focusに載ってた気がする
三次方程式の1つの解が虚数であればもう1つの虚数を解にもつと考えても大丈夫でしょうか
有理数係数の方程式では、ある複素数が解ならばその共役の複素数は必ず解になります。二次、三次方程式では明らかですが、４次以上では証明がちょっと大変です(言われてみれば簡単というパターン)。
鈴木貫太郎 よく良く考えればありえない質問でした。実数係数の条件がないとダメですね笑返信ありがとうございました
八神純子がいきなり出てきてビックリしたw先生とは同世代だし当然かww
you are wrong , not contemorary , she is 8 or 9 years older than he !
いろいろな問題を取り上げていただき嬉しいのですが、その範囲が数IIIなのかなども付け加えていただくと嬉しいです。私は文系で数IIIを履修していないので…
ゆうと さんご覧になっていただきありがとうございます。配慮するようにします。私も受験時代は文系で、40過ぎてからeなどを学びました。やってみてわかったことは、数2までだと、とても薄い理解であったということ。数2までだと弧度法を使う理由すらわからない。宣伝になりますが、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」シリーズは全部観て頂ければ高校数学全般が俯瞰(ふかん)できます。是非ご覧になってください。決して無駄にはならないと思います。ua-cam.com/play/PLFrlW-Y5LqlZ3GtrzuiMVZnjFXbpmG3YM.html
巨根
こういうこと言うやつが意外に数学できたりする
同じコメントあって草
登録させていただいてます。ホワイトボードが一つだから大変だとは思いますが、書いたものを消すタイミングによってわかりづらくなるのが残念です。とても良い問題を解説してくださっているので、今後も期待しています。
wacky560404 さんご覧になってくださり、また、ご指摘ありがとうございます。改善していきますので、引き続きよろしくお願いします。
巨根？
sinとcosはこんなところでも使うんですね。三角関数を使わない解き方は有りますか？
拓志 市来 さんご覧になってくださりありがとうございます。問題集の解答はsin,cosを使わずに、a^2+b^2=1を利用して解いていましたが、詳しく見ていません。すいません。
x^3 - x + k = 0の解をz = a + bi (ただし、|z| = 1よりa^2+b^2 = 1 ①)とすると、与方程式が実数係数の3次の方程式であることから、その共役複素数bar(z) = a-biも解であり、残る一つの解は実数解(これをRとおく)である。解と係数の関係から(a+bi) + (a-bi) + R = 0 ②(a+bi)(a-bi)+(a-bi)R+R(a+bi) = -1 ③(a+bi)(a-bi)R = -k ④②より2a+R=0 ②'③よりa^2 + b^2 + 2aR = -1つまりaR=-1 ③' (なぜなら①)④よりR=-k(なぜなら①) ただし、k > 0よりR < 0 ⑤②', ③'より(-R/2)R = -1。よって、R = -sqrt(2)（なぜなら⑤）これと②'よりa = sqrt(2)/2これと①よりb = ±sqrt(2)/2以上から、3つの解は-sqrt(2), (sqrt(2)/2)(1±i)になり、同じ答えになります。(sin(x))^2+(cos(x))^2 = 1がa^2+b^2=1に対応してるだけなので、a,bでやってもsin, cosでやっても本質的な違いはないです。
すみません、ちゃちゃをいれるようですが「複素数なのでsinα≠0」「複素数は実数ではないので」など、おっしゃられてますが、複素数は純実数も含みますので、正しくは「虚数なのでsinα≠0」だと思います
この3次方程式の3解を、z1,z2,z3とする。この3次方程式は実数係数となっていることから、この3解のうち、1つは実数解で、残りの2つが共役となる複素数の解となる。また、対称性から、z1を実数解、残りの2つを、共役となる複素数の解としても、一般性を失わない。ゆえに、z3=z2†(z2の共役複素数)と書き直しても、題意には反しない。加えて、題意から、│z2│=│z2†│=1であり、z2・z2†=│z2│^2=1～①である。3次方程式の解と係数の関係から、z1＋z2＋z2†=0～②z1・z2＋z2・z2†+z2†・z1=-1～③z1・z2・z2†=-k～④∴②から、z2+z2†=-z1～⑤また、⑤と複素数の性質から、z2とz2†の実部は、-(z1/2)、虚部のうち、符号を除いた部分は、√{1-(z1^2/4)}となる。～⑥・①と③と⑤から、z1・(z2+z2†)+│z2│^2=-│z1│^2+1=-1∴│z1│^2=2～⑦・①と④から、k=-z1・│z2│^2=-z1>0 ∴z1
輝けーポーラスター♪八神純子ですね☺️
nomad kyoto 私も、そう思いました❗
高次方程式が複素数解zをもつとき、共役な複素数z-をもつことについて解説していただきたいです。
いきなりすみませんが、例えばa,b,cを実数としてax^2 + bx + c = 0①が複素数解zを持つ時、az^2 + bz + c = 0が成立する。両辺の共役複素数を取るとbar(az^2 + bz + c) = bar(0)bar(az^2) + bar(bz) + bar(c) = bar(0)a*bar(z^2) + b*bar(z) + c = 0a*bar(z)*bar(z) + b*bar(z) + c = 0a*{bar(z)}^2 + b*bar(z) + c = 0でx = bar(z)も①の解になります。(bar(z)はzの共役複素数)n次の（実数係数の）高次方程式についても同様の議論で出来ると思います。
とある宅浪生よっしー さんコメントをありがとうございます。共役な複素数が解になることは感覚的に当たり前で、多分、入試で証明なしに書いても減点されない(きっと、保証はしません)でしょうが、共役の複素数が解になることを当然のこととして受け入れてない私には他方の解をa-biとして式を立てることに抵抗を感じたので、動画のような解き方をしました。単なる趣味の数学オヤジには、高次式方程式の一つの解が複素数ならその解の共役の複素数が解となることが自分自身の中では証明できていないので。
自分なりに感覚的に理解できそうな方法を考えてみました。z=a+biが解のときbar(z) = a-biが解であれば、元の方程式を因数分解した時に出てくる(x - z)(x - bar(z))がx^2 - 2ax + a^2 + b^2となり、実数係数になる。このように、複素数解とその共役複素数が解なら、元の方程式が上手く実数係数の2次式の積になるから、これらをかけていくと元の実数係数の方程式になる（次数が奇数の時はもう一個は次数解ならok）しかし、共役複素数が解でないと、因数を掛け算した時になんとなくだけど係数に複素数が残る。なお、b、dを0でない実数として(x - (a+bi))(x - (c+di))=x^2 - {(a+c)+(b+d)i}x + {(ac - bd)+(ad + bc)i}が実数係数となるのは、b+d = 0かつad + bc=0⇄c=aかつd=-bなので、c+diがa-biの時、つまりc+diがa+biの共役複素数の時のみです。
元の三次式が実数係数であるので、１つは実数解を持つ。この実数解をαとすれば、与式は(x-α)で因数分解できる。因数分解後に現れる２次式も実数係数なので、その解が複素数解であるならば共役複素数になるではダメなんですかね？
どこまでを自明の理として用いて良いのか、難しいところではありますね。動画で紹介された解法は素晴らしいと思います。
`72年 ?!
誰かが書いたのと本質的には同じ解法だと思いますけど。f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)とする。αは実解、βとγは複素数解でβ=a+bi γ=a-biでa^2+b^2=1を満たす。これで係数比較するとα=-kとk=2aが出て、実解αは-kとわかる。で、f(-k)=0よりk^3-2k=0で、kは正の実数だからk=√2が出る。後は簡単。そのままaとbが求まる。個人的には極形式は使わないほうがいいような気がしますね。こういう設問は。
巨根を持つサンコン
ガウス平面については、複素数の一次独立性から話すと判りやすいのではないでしょうか？
オイラーだ
これから大学名だけじゃなくて学部も教えて欲しいです
母校やな💛
東工大にしては易しめですね。取れなきゃ確実に不合格かな？
こんなことしなくても、解3つ作って恒等式でとけば3分
分かりやすくて良いですが、少し無駄話が多い気がします。演習問題を解く動画ですから、ある程度の基本は抑えてある前提で話してほしいです。欲を言えば同値性や別解についても解説して欲しいです。
軍艦 さんご指摘ありがとうございます。改善致します。
私はちょこっとずれた話も鈴木さんの考えとかが垣間見えていいと思うんですが…
本物で草
解を α±βi,γ とすれば解と係数の関係で
2α+γ=0 , 2αγ+α²+β²=-1 , (α²+β²)γ=-k
ここで α²+β²=1 なのだから
(α,β,γ,k)=(1/√2,1/√2,-√2,√2) は容易にでますね。
x^3-x+k = 0 => 一つの解を α とすると、αもこれを満たすので、α^3-α+k = 0 。元の式から辺々ひいてまとめると、(x-α)(x^2+αx+α^2-1)=0 。αを実数の解としても問題ないので、そうすると、x^2+αx+α^2-1 =0 の解が、虚数の解です。この式は虚数の解が実数の解αで表せることを示しています。kは必要なくなります。あとは、この虚数の解をαを含んだ形で求め、実部^2+虚部^2 = 1 とすればαが求まり、それにより３つの解がわかります。たのしかったです、解答提供ありがとうございます。
@ペンギンアイドル 三次関数は必ず実数解をひとつは持つからです
天才
もっちゃんとのコラボのように懇切丁寧で完全に理解できました。最新の別解もcool
ですが、この、methodもいい。
途中で自分は正しいことやってるのか不安になる癖がある
互いに共役な虚数解をz,z*とすると、|z|²=z•z*=1
それぞれ与式に代入して辺辺の和と差をとる
(z-z*)(z²+z*²)=0-①
(z+z*)(z²+z*²-2)+2k=0-②
①についてz-z*≠0よりz²+z*²=0 これよりzの(実部)²=(虚部)²=1/2となり②はk=z+z*とまとめられる。k＞0より実部=1/√2, k=√2
解と係数の関係より、z･z*•a=a=-k=-√2
よって3つの解は-√2, 1/√2±1/√2i
良問は、根本的な事柄を的確に、理解していないと そして最初の 解く方針 例えるならドアや車の 鍵 が必要なことをいつも思い知らされます 貫太郎さんは 特別なマスターキー を持っている。
複素数の解は a+bi, a-bi と書けることを利用して、(x-r)(x-a-bi)(x-a+bi) = x^3 - x^2 (r + 2a) + x (2ra + 1) - r と書きなおして係数を合わせる方法で解けました。
3乗の項と１乗の項の係数の絶対値が等しいので3倍角の公式は使わずに解けました。
x=e^(iα)とすると（ただしαはπの整数倍では無い）
与式=e^(i3α)-e^(iα)+k
与式が0となるためには実部、虚部とも0になる必要がある。
実部 cos3α-cosα+k=0
虚部 sin3α-sinα=0
虚部=0よりsin3α=sinα
sinの値が同じになるのは次の二つの場合
①角度が同じとき。もしくは角度の差が２nπ(nは整数)のとき
3α=α+2nπ
②e^(iα)とe^(i3α)がガウス平面のy軸を挟んで反対の位置に対称に存在、
つまり角度の和がπ+2nπ(nは整数)になるとき
3α+α=π+2nπ
αはπの整数倍でないので、①の解は不適
②から-π
「哀しみの、ベールをはーずす」って歌ってても出て来ないので、おやっと思ったら
こっちは別の曲でした(笑)
同時期にヒットしたので混同してました
久々に観たら、15:13で｢３？？？｣となり、15:45｢とりあえずこのままで～｣の意味が解りました。
・・・３ヶ月掛かりましたが・・・
自分でやったら4cos^3x-3cosxにしてから｢・・・なんだか面倒だなぁ・・・｣となったので、改めてスゴいな、と思いました。
別解 共役な虚数解をz,z*実数解をaとすると、|z|²=z･z*=1 解と係数の関係より z･z*•a=a=-k よって-kを解にもつから与式に代入して2k-k³=k(2-k²)=0 k＞0よりk=√2
解と係数の関係よりz+z*-√2=0⇔z,z*の実部が1/√2 これとz･z*=1から虚部=±1/√2i
よって3つの解は-√2, 1/√2±i/√2
別解を考えてみました（類似するものもあるかもです）3根のうち実数解をAとする。与式=（x-A）(x^2+ax+b)と変形できる。x^2+ax+b=0の虚数解をα=m±niとする（ただし、 絶対値1よりm^2+n^2=1）α＝m±niを変形させる 虚数を孤立させ両辺2乗α^2-2mα+m^2+n^2=0,ここでm^2+n^2=1を使用α^2-2mα+1=0これをx^2+ax+bに置換して展開与式=x^3+(-2m-A)x^2+(1+2mA)x-A=x^3-x+k恒等式係数比較により、2m+A=0,mA=-1,A=-kk>0なので、k=√2,A=-√2,m=√2/2m^2+n^2=1よりn=±√2/2という流れです。解と係数の関係を知らなくてもいいという点では（実際私が知らないというか、忘れた）有用かもと思い、投稿させて頂きます。
絶対値が１の根を e^(ai) とすれば、３乗は e^(3ai)。e^(3ai)-e^(ai) を極座標で図示して、左向きの横一直線 (=-k) になるのは a=π/4, k=√2 しかなさそう。
備忘録2周目👏70G,【 解法その2. 絶対値が１の条件から、極の形式での解法 】
虚部＝０からsinθ＝ ±1/√2 ■ 実部＝０からｋ＝√2 ( ＞0 )でcosθ＝1/√2 ■
与式から、解と係数の関係を用いて残りの解は、 －√2 ■
実部と虚部がゼロなので、差積の公式を使って、虚部は、2cos2αsinα=0となるが、題意から、sinα≠0なので、cos2α=0。
したがって、α=π/4または3π/4。
また、差積の公式と2倍角の公式により、k=2sin2αsinα=4(sinα)^2・cosαとなるが、題意からk＞0なので、題意に適するαの値は、π/4だけ。
したがって、求めるべき虚数解は、(√2/2)・(1±i)。
また、k=4・(1/2)・(√2/2)=√2。
加えて、3次方程式の解と係数の関係から、残りの解をβとして、β・(√2/2)・(1+i)・(√2/2)・(1-i)=-kとなる。
したがって、β=-√2となる。
というのも、ありかと思います。
いろいろな解法がみれて参考になります。自分は複素数の問題はできるだけ複素数のまま処理するように心がけているので、極形式表示や成分計算せざるを得なくなったときの計算力が落ちている気がします。
3解はx=α, α*, t とおける(αは虚数, α*はαの共役複素数, tは実数)。
条件 ⇔ α+α*+t=0 ∧ αα*+α*t+tα=-1∧αα*t=-k ∧ |α|=1 ∧ k>0 ⇔ (α+α*)/2=√2/2 ∧| α|=1 ∧ t=-√2 ∧ k=√2
ここで、(α+α*)/2=√2/2 ∧ |α|=1は、複素数平面において、原点中心半径1の円と√2/2を通り実軸に垂直な直線との交点だから求める3解は x=-√2, (√2±i√2)/2
多くの欧米人も持ってますよね！
巨根
極形式のところとても分かりやすいです。
チャンネル登録させていただきました。
はやじゅん。 さん
ご視聴＆登録ありがとうございます。
極形式の説明ありがたいです
アルラウネ同盟 さん
ご覧になっていただきありがとうございます。
文系の自分でもわかりやすかったです！
三角関数を持ち込んで徒に計算を面倒にしてますね。1つの解が虚根ωなら他の解は共役ω_ と実数αだから、x^3-x+k=(x-ω)(x-ω_)(x-α) 。左右の係数比較し、 ωω_=1から答えは容易に求まります。
この問題って、関数論を多少でもかじってると結構簡単に解ける可能性がありますね。
途中までは貫太郎さんとおなじですけど、オイラーの形を崩さずに解きます。
貫太郎さんは高校範囲ということを意識してsin、cosで解いたのかな？
ｘ^3 － ｘ ＋ k ＝ ０
を満たすｘは、kが実数であることから、ｘ^3 － ｘは実数でなくてはならない。
絶対値1の複素ベクトルはe^(iΘ)
複素平面状で原点を中心に半径1の円周上を考えると、
この複素ベクトルは原点から円周上に向かう、正方向実軸からの角度がΘのベクトル。
ここで
ｘ^3はe^(i3Θ)、つまり中心から円周に向かう確度Θ×3のベクトル
ｘはe^(iΘ)、つまり中心から円周に向かう確度Θのベクトル
ｘ^3 － ｘが実数となる組み合わせは、虚部が同じでなければならないことから、
幾何的に、
Θ ＝ 45°、-45°
のみと分かる。幾何的に分かるけど、
計算するなら180－Θ ＝ 3Θ、180＋Θ ＝ －3Θを解く。
つまり、
e^(iΘ)とe^(i3Θ)を複素平面上に配置した時、高さが同じになるのは、
Θ ＝ 45°、-45°の時のみということ。
この時点で2つの根は出てしまう。
e^(i45°) ＝ cos45° ＋ i・sin45° ＝ (1/√2) ＋ i(1/√2)
e^(i(-45°)) ＝ cos45° － i・sin45° ＝ (1/√2) － i(1/√2)
また
e^(i45°×3) ＝ e^(i135°) ＝ cos135° ＋ i・sin135° ＝ －(1/√2) ＋ i(1/√2)
e^(i(-45°×3)) ＝ e^(i(-135°) ＝ cos135° － i・sin135° ＝ －(1/√2) － i(1/√2)）
方程式に代入し、
e^(i45°×3) － e^(i45°) ＝ －2/√2
（e^(i(-45°×3)) － （e^(i(-45°)) ＝ －2/√2）でもOK）
ここから
k ＝ 2/√2 ＝ √2
元の方程式は、
ｘ^3 － ｘ ＋ √2 ＝ ０
これを解いて
実数解は－√2
関数論はとても便利、
高校生でも教えたら苦もなくマスターすると思うんですけどねえ。
あなたは複素関数論も知っていそうだし、さらに先の分野にも詳しそうだ
私の方法は数学界で既に発見されたものだろうか。たずねたい。
正規化し x^3 - x から円の半径 R = 2/((3)^0.5) を得る
虚数軸 i とは異なる実数と直交する軸を j とする
与式を満す実数解を r とする (r
実数解が1つ、虚数解が2つなのは明らかなので、複素数の絶対値を解と係数の関係に代入するとあっさり解けましたよ。
x^2の係数が0→虚数解はcosα±isinα、実数解は-2cosα、xの係数→-1=1-4cos^2α、三つの解が分かったところでkが求まる。
私もそう、考えました。
この3次方程式の3解を、z1,z2,z3とする。この3次方程式は実数係数となっていることから、この3解のうち、1つは実数解で、残りの2つが共役となる複素数の解となる。
また、対称性から、z1を実数解、残りの2つを、共役となる複素数の解としても、一般性を失わない。
ゆえに、z3=z2†(z2の共役複素数)と書き直しても、題意には反しない。
加えて、題意から、│z2│=│z2†│=1であり、z2・z2†=│z2│^2=1～①である。
3次方程式の解と係数の関係から、
z1＋z2＋z2†=0～②
z1・z2＋z2・z2†+z2†・z1=-1～③
z1・z2・z2†=-k～④
∴②から、z2+z2†=-z1～⑤
また、⑤と複素数の性質から、z2とz2†の実部は、-(z1/2)、虚部のうち、符号を除いた部分は、√{1-(z1^2/4)}となる。～⑥
・①と③と⑤から、z1・(z2+z2†)+│z2│^2=-│z1│^2+1=-1
∴│z1│^2=2～⑦
・①と④から、k=-z1・│z2│^2=-z1>0 ∴z1
私も全く竹田さんと同じです
今朝の動画のコメント欄で、紹介されていたので、受講しました(^^)d。
実数係数の3次式方程式なら、ひとつの実数解と共役複素の複素解2つですよね。
この断定が高校範範囲かどうか微妙だけど。
この条件から恒等式を作り係数を確定、この時、複素解の絶対値が1、を使う、
というような解き方が出題者の意図のようにも感じます。
オイラーの式を展開したような解法をすれば採点者は驚くはと思いますけど。
実数係数三次方程式の解が一つの実数解と一組の共役複素数解になることは高校範囲の知識で示せます。
三次関数のグラフの概形で実数解を少なくとも一つ持つことがわかり、残りの解は二次方程式の解の公式の形から共役複素数２個になることから明らかです
x=e^iθ(0
解と係数の関係から
-k, k/2±(√1-k^2/4)i
まで求めましたが、kが求められることを見落としてしまいました……
工学の分野では、特に電気なんか三角関数と虚数を駆使するので、思考力と素養とを求める良い問題だと思います
のけものフレンズ さん
ご覧になっていただき感謝します。そうなんですか！知りませんでした。ありがとうございます。
|a+bi|は(a^2+2abi+-b^2)^(1/2)になるのではないですか？(a^2+b^2)^(1/2)となる理由が分からないので質問いたしました。
ご覧下さりありがとうござます。これを観て頂ければ複素数の仕組みがわかると思います。
なぜ、マイナス×マイナスはプラスなのか？ 負✕負＝正 虚数（複素数）を使って説明しますua-cam.com/video/ApI4LBNHJJg/v-deo.html
Focusには解と係数との関係で解いてありましたね
Focusに載ってた気がする
三次方程式の1つの解が虚数であればもう1つの虚数を解にもつと考えても大丈夫でしょうか
有理数係数の方程式では、ある複素数が解ならばその共役の複素数は必ず解になります。二次、三次方程式では明らかですが、４次以上では証明がちょっと大変です(言われてみれば簡単というパターン)。
鈴木貫太郎 よく良く考えればありえない質問でした。実数係数の条件がないとダメですね笑
返信ありがとうございました
八神純子がいきなり出てきてビックリしたw
先生とは同世代だし当然かww
you are wrong , not contemorary , she is 8 or 9 years older than he !
いろいろな問題を取り上げていただき嬉しいのですが、その範囲が数IIIなのかなども付け加えていただくと嬉しいです。
私は文系で数IIIを履修していないので…
ゆうと さん
ご覧になっていただきありがとうございます。配慮するようにします。私も受験時代は文系で、40過ぎてからeなどを学びました。やってみてわかったことは、数2までだと、とても薄い理解であったということ。数2までだと弧度法を使う理由すらわからない。宣伝になりますが、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」シリーズは全部観て頂ければ高校数学全般が俯瞰(ふかん)できます。是非ご覧になってください。決して無駄にはならないと思います。
ua-cam.com/play/PLFrlW-Y5LqlZ3GtrzuiMVZnjFXbpmG3YM.html
巨根
こういうこと言うやつが意外に数学できたりする
同じコメントあって草
登録させていただいてます。
ホワイトボードが一つだから大変だとは思いますが、書いたものを消すタイミングによってわかりづらくなるのが残念です。とても良い問題を解説してくださっているので、今後も期待しています。
wacky560404 さん
ご覧になってくださり、また、ご指摘ありがとうございます。改善していきますので、引き続きよろしくお願いします。
巨根？
sinとcosはこんなところでも使うんですね。
三角関数を使わない解き方は有りますか？
拓志 市来 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。問題集の解答はsin,cosを使わずに、a^2+b^2=1を利用して解いていましたが、詳しく見ていません。すいません。
x^3 - x + k = 0の解をz = a + bi (ただし、|z| = 1よりa^2+b^2 = 1 ①)とすると、与方程式が実数係数の3次の方程式であることから、その共役複素数bar(z) = a-biも解であり、残る一つの解は実数解(これをRとおく)である。
解と係数の関係から
(a+bi) + (a-bi) + R = 0 ②
(a+bi)(a-bi)+(a-bi)R+R(a+bi) = -1 ③
(a+bi)(a-bi)R = -k ④
②より2a+R=0 ②'
③よりa^2 + b^2 + 2aR = -1つまりaR=-1 ③' (なぜなら①)
④よりR=-k(なぜなら①) ただし、k > 0よりR < 0 ⑤
②', ③'より(-R/2)R = -1。よって、R = -sqrt(2)（なぜなら⑤）
これと②'よりa = sqrt(2)/2
これと①よりb = ±sqrt(2)/2
以上から、3つの解は-sqrt(2), (sqrt(2)/2)(1±i)
になり、同じ答えになります。
(sin(x))^2+(cos(x))^2 = 1がa^2+b^2=1に対応してるだけなので、a,bでやってもsin, cosでやっても本質的な違いはないです。
すみません、ちゃちゃをいれるようですが
「複素数なのでsinα≠0」「複素数は実数ではないので」など、おっしゃられてますが、複素数は純実数も含みますので、正しくは「虚数なのでsinα≠0」だと思います
この3次方程式の3解を、z1,z2,z3とする。この3次方程式は実数係数となっていることから、この3解のうち、1つは実数解で、残りの2つが共役となる複素数の解となる。
また、対称性から、z1を実数解、残りの2つを、共役となる複素数の解としても、一般性を失わない。
ゆえに、z3=z2†(z2の共役複素数)と書き直しても、題意には反しない。
加えて、題意から、│z2│=│z2†│=1であり、z2・z2†=│z2│^2=1～①である。
3次方程式の解と係数の関係から、
z1＋z2＋z2†=0～②
z1・z2＋z2・z2†+z2†・z1=-1～③
z1・z2・z2†=-k～④
∴②から、z2+z2†=-z1～⑤
また、⑤と複素数の性質から、z2とz2†の実部は、-(z1/2)、虚部のうち、符号を除いた部分は、√{1-(z1^2/4)}となる。～⑥
・①と③と⑤から、z1・(z2+z2†)+│z2│^2=-│z1│^2+1=-1
∴│z1│^2=2～⑦
・①と④から、k=-z1・│z2│^2=-z1>0 ∴z1
輝けーポーラスター♪
八神純子ですね☺️
nomad kyoto 私も、そう思いました❗
高次方程式が複素数解zをもつとき、共役な複素数z-をもつことについて解説していただきたいです。
いきなりすみませんが、
例えばa,b,cを実数としてax^2 + bx + c = 0①が複素数解zを持つ時、az^2 + bz + c = 0が成立する。
両辺の共役複素数を取ると
bar(az^2 + bz + c) = bar(0)
bar(az^2) + bar(bz) + bar(c) = bar(0)
a*bar(z^2) + b*bar(z) + c = 0
a*bar(z)*bar(z) + b*bar(z) + c = 0
a*{bar(z)}^2 + b*bar(z) + c = 0
でx = bar(z)も①の解になります。(bar(z)はzの共役複素数)
n次の（実数係数の）高次方程式についても同様の議論で出来ると思います。
とある宅浪生よっしー さん
コメントをありがとうございます。共役な複素数が解になることは感覚的に当たり前で、多分、入試で証明なしに書いても減点されない(きっと、保証はしません)でしょうが、共役の複素数が解になることを当然のこととして受け入れてない私には他方の解をa-biとして式を立てることに抵抗を感じたので、動画のような解き方をしました。単なる趣味の数学オヤジには、高次式方程式の一つの解が複素数ならその解の共役の複素数が解となることが自分自身の中では証明できていないので。
自分なりに感覚的に理解できそうな方法を考えてみました。
z=a+biが解のときbar(z) = a-biが解であれば、元の方程式を因数分解した時に出てくる(x - z)(x - bar(z))がx^2 - 2ax + a^2 + b^2となり、実数係数になる。
このように、複素数解とその共役複素数が解なら、元の方程式が上手く実数係数の2次式の積になるから、これらをかけていくと元の実数係数の方程式になる（次数が奇数の時はもう一個は次数解ならok）
しかし、共役複素数が解でないと、因数を掛け算した時になんとなくだけど係数に複素数が残る。
なお、b、dを0でない実数として(x - (a+bi))(x - (c+di))=x^2 - {(a+c)+(b+d)i}x + {(ac - bd)+(ad + bc)i}が実数係数となるのは、
b+d = 0かつad + bc=0⇄c=aかつd=-bなので、c+diがa-biの時、つまりc+diがa+biの共役複素数の時のみです。
元の三次式が実数係数であるので、１つは実数解を持つ。この実数解をαとすれば、与式は(x-α)で因数分解できる。因数分解後に現れる２次式も実数係数なので、その解が複素数解であるならば共役複素数になるではダメなんですかね？
どこまでを自明の理として用いて良いのか、難しいところではありますね。動画で紹介された解法は素晴らしいと思います。
`72年 ?!
誰かが書いたのと本質的には同じ解法だと思いますけど。
f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)とする。
αは実解、βとγは複素数解でβ=a+bi γ=a-biでa^2+b^2=1を満たす。
これで係数比較するとα=-kとk=2aが出て、実解αは-kとわかる。
で、f(-k)=0よりk^3-2k=0で、kは正の実数だからk=√2が出る。
後は簡単。そのままaとbが求まる。
個人的には極形式は使わないほうがいいような気がしますね。こういう設問は。
巨根を持つサンコン
ガウス平面については、複素数の一次独立性から話すと判りやすいのではないでしょうか？
オイラーだ
これから大学名だけじゃなくて学部も教えて欲しいです
母校やな💛
東工大にしては易しめですね。取れなきゃ確実に不合格かな？
こんなことしなくても、解3つ作って恒等式でとけば3分
分かりやすくて良いですが、少し無駄話が多い気がします。
演習問題を解く動画ですから、ある程度の基本は抑えてある前提で話してほしいです。
欲を言えば同値性や別解についても解説して欲しいです。
軍艦 さん
ご指摘ありがとうございます。改善致します。
私はちょこっとずれた話も鈴木さんの考えとかが垣間見えていいと思うんですが…
巨根
本物で草
巨根
巨根