Розмір відео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показувати елементи керування програвачем
Автоматичне відтворення
Автоповтор
この問題の背景を考えるとまた違った楽しみ方が出来ますね。この問題は「初期値4に対してメビウス変換f(z)=(4z+3)/(z+2)をn-1回作用させるとどうなるか」とも読めるので、対応する射影行列4 31 2のn乗を求めることでも解けます。まあ、今は高校で行列を習わないようなので受験問題としての別解にはなり得ませんが。ですので、この問題を(1) 2つの2×2正則行列の積に対応するメビウス変換は、それぞれに対応するメビウス変換の合成に一致することを直接計算で確かめよ。(2) A:=行列4 32 1を対角化せよ。(3) A^nを求め、一般項a_nを求めよ。と誘導すれば、行列を習った大学の理系学生にとっていい演習になりそうだなぁ、とか妄想したり。
メビウス変換❗初めて聞きましたが、そんなのあるんですね。ちょっと調べて見たら、ワケ分かりませんでした。分数型の漸化式が何故、行列の対角化で解けるのか、ずっと不思議でしたが、そういう元ネタというか関連事項があるのですね。自分はこの解き方しか知らないので、これで解きました。
ゆううつくすり この人メチャメチャ頭いいってw
青チャートなどの一部参考書は、問題と解答を合わせて1ページ内に収めるために途中式の手順やはしょり方がしばしば天才基準になっている、というのは定番のネタですねぇ
v rubeeru 現役生ですが、青チャの天才的な計算能力には何度も苦しめられました。何周かして全て理解できましたが。
今のチャート等の参考書は親切ですよ。私は文系でしたが赤チャートを使っていました。難問でも精々ヒントが付くくらい、大抵は結論のみでした。
分数型漸化式のこの問題は解き方が皆目検討がつきませんでした。まだまだ本質の理解が甘かったことを思い知りました。動画を最後まで視聴し、本質を理解し問題を解いてから別サイトで類題を解いてみました。そのサイトでは、特性方程式を使って動画の題材の設問(1)で与えられた{bn}の漸化式を作れば分数型漸化式は解けますよという解説でした。これは「なるほど、こうやって解くんだ」と感心するものの、本質の説明が省かれた暗記型の説明でした。暗記型に頼った受験勉強をして漸化式が全然解けなかった私には、鈴木先生の説明の方が私には合っているものでした。鈴木先生の解き方は一見すると回りくどく泥臭い印象があるのですが、その印象は間違いで何度も本質を説明しているため回りくどく感じるだけで、暗記型よりも視聴者のためになる素晴らしい説明だと思っています。現に鈴木先生が説明されたやり方で類題が解けるようになりましたので、素晴らしい説明だと思うのは私の勘違いではないと思います。素晴らしい動画に感動して、長文を書いたことをお詫びいたします。これからも動画投稿を楽しみつつ、趣味として高校数学を楽しみたいと思います。
丁寧な感想をありがとうございます。本質を大切にする姿勢を感じて頂いて嬉しいです。
分数型漸化式の問題は問題文にｂｎが与えられなくても、解けますね。ありがたい動画でした。
サムネだけ見て解きました。特性方程式から、α=－１、3なので、a(n+１)+１=5an+5/an+2a(n+１)－3=an－3/an+2を作り、辺々割って解いていきました。受験から30年たちますが、面白いものですね。
どっちかでいいのでは...
@@名も無き者-p4f 両方出すと素早く解けますね
なんでまだ覚えてるんだよ笑
夜更かしOKの週末ということもあり、今回は悩みながらじっくり拝見しました。確かに（1）の誘導に乗ればそれほど難しい問題で無いと思いますが、誘導が無ければ手も足も出ません。高校生の時は漸化式の問題がでたら何も考えずに特性方程式を解いていましたが、それから40年近く経って「特性方程式とは何ぞや？」と考えることになるとは（苦笑）数学って、テストで高得点を狙うためにはいろいろな「装備」を持っていた方が圧倒的に有利ですが、むしろ数学の力ってその「装備」を自分で導出できることですよね。とは言うものの、試験会場で「装備」を現地調達していたらとても時間内に問題は解けないでしょうし・・・。なかなか難しい問題です。ところでこの手の問題で、α＝β（重根）になってしまう時はまた別のアプローチがあるんですよね？
山本俊治 さんいつもご覧くださりありがとうございます。α＝βの場合を考えるなんて、やはり、深い洞察力がおありですね。見識の高い方が観てると思うと緊張します。
(1)でbn+1=an+1の分数式にして、そこにanの漸化式を代入するとあら不思議。bn+1=1／5bnになるのでそこから(2)を解きました。分数の形の特性方程式とその導入方法は初めて知りました。今回は目から鱗でした。ありがとうございました。
自分の解き方はちょっとだけ違うですね。特性方程式でα=-1,3がでて、両辺から引くまでは同じです。そこからは、a(n+1)-3=(a(n)-3)/(a(n)+2) の両辺逆数をとって、1/(a(n)-3)=b(n)とすれば、b(n+1)=5b(n)+1が導けます。あとは普通の漸化式のように解けます。この解法で注意すべきなのは、逆数とるときにa(n)-3≠0になることを帰納法で示す必要があることですかね。
分数型漸化式の解法はよい勉強になりました。日y上によい勉強材料と思いました。
サムネイルから誘導なしでチャレンジしてみました。約分を無視しながら、an=pn/qn p1=4 q1=1とおくと、分母分子で2つの漸化式が導出され、そこからpnとqnの連立方程式を解くことで解くことができました。コメントでも様々な解法があり、楽しいですね。先生や皆さんの回答と比べると、少し遠回りしている感じもします。これからも楽しみにしています！
michel mich さんとても嬉しいコメントをありがとうございます。誘導なしで解けるのは素晴らしいです。そんな方が観てると思うと緊張します。
分数型面白すぎてやばいな数学にハマりつつある
大将聖蓮船部隊 国語力
数値積分なんかを解くには漸化式が必要なんですが高校の授業で「これは事象解析に必要です」なんて言っても生徒は余計「？」となるでしょうね。でも大学へ進学する人が半数に達する現在では文系の人であっても統計（経済や社会学では必須）を扱う機会はあるので漸化式は理解すべきですが文系の人って多いですね漸化式苦手な人。 それと参考書や問題集の解説に難解なものが散見されるのは昔からですね（私も随分悩まされました）下手すれば参考書（＆問題集）の解説書（or開設者）が必要な場合があります。
自分は頭が良くないので原理原則が解答に細かく書いてあるマセマや基礎問題精巧の方が好きです。だから鈴木先生の様に細かく途中式を載せて説明してくださっていつも助かってます。
青チャートはゴミ
サムネだけでいけた！うれしい！
2015東工で誘導なしで出されていました初見の人は帰納法を思い付いてって感じかな
青チャートは神だと思ってるけど、やっぱり解説は難しいですよね 青チャートのいいところはこういう問題が出て、こういう解き方をしていきますっていうことが、はっきり示されてる事ですね だから、青チャをやっとけばまず間違いない ただ分からないところが出てくるとこういう動画にお世話になりますが.......
赤買って思ったのですがチャートは難易度が上がると説明が雑になるだけな気がします問題の質を求めるなら青で十分なのでそれが高校で青を配られる理由なのかと思いました
私事ですいませんが、先週インフルエンザにかかって暇していたときに鈴木先生の動画に出会いました。自分は某国立大学(このチャンネルでもたまに紹介されてます)の数学科卒ですので、数学は大好きです。これからも宜しくお願いします。
ご覧くださりありがとうございます。
予備憲さんの漸化式全パターン徹底解説を2回、mathmaticsmonsterの漸化式全パターンのようなものを一回みてそれからこの動画がありましたので拝見しました。パターンにないといいますか、もちろんこれも等比関数列型といえばそれまでですが。おなじみのパターンに持っていくには要領が要ります。ややこしい問題といいますか、何とか理解できました。私にとってはかなり、体力を消耗する問題でした。慣れていませんと、サイクロイド曲線の方程式を考えたり、物理なんかでフーコーの光速測定実験とか波の方程式をつくったり、うなりの回数の公式がなぜ正しいのか、しかも、シンクロするときのそれぞれの位相を求めたりとか、ブドウ糖を消耗するものがあると思います。今年から、紙と鉛筆を用意してみています。
b[n]=a[n]+k とおいて、a[n+1]=(4a[n]+3)/(a[n]+2) からb[n+1]={(4+k)b[n]+(3-2k-k^2)}/(b[n]+2-k)逆数をとって1/b[n]の漸化式にしたいがために3-2k-k^2=0 とすると、k=1するとb[n+1]=5b[n]/(b[n]+1)これからb[n]、a[n]と出しました。k=-3でやっても出るとは思いますが、b[n]≠0であるという証明が面倒くさそうなのでパスしました。
備忘録👏60G.【 1次分数漸化式の一般解法 】α＝(4α+3)／(α+2) ⇔ α＝3, -1 (与式)･･･① ①の両辺から 3を引いて、a(n+1)－3＝ ( a(n)－3 )/( a(n)+2 ) ･･･②, ①の両辺から -1を引いて、a(n+1)＋1＝ 5 ( a(n)＋1 )/( a(n)+2 ) ･･･③ ②÷③より、(a(n+1)－3)/(a(n)＋1)＝ 1/5 ×( a(n)－3 )/(a(n)＋1) よって、( a(n)－3 )/(a(n)＋1)＝ ( a(1)－3 )/(a(1)＋1) ×(1/5)ⁿ⁻¹ ＝ 1／5ⁿ ⇔ a(n)＝ (3･5ⁿ＋1)／(5ⁿ－1) ■
問題の数列を基本数列になるような数列におきかえるために都合のいいαやβを求める。f(x)が2次方程式だよーって条件が与えられた時にf(x)=ax^2+bx+cと置くことから出発するのと同じようなもの
FG問題と解説コラム読んでも分かりませんでした やっと分かってスッキリです〜
高一ですが貫太郎さんの動画の漸化式の問題を早く解きたい、と以前から思っていました。そして今日、ようやく数bの数列の範囲を終わらせましたので、これから毎日見たいと思います。これからも頑張って下さい！
ありがとうございます😊
わかり易すぎありがとうございます！
与えられたbnの式からan=-bn-3/bn-1を出して、これをa(n+1)=4an+3/an+2に代入して、b(n+1)=1/5bnを出すという超機械的なやり方でやりました…。貫太郎先生のようにキチンと理解したやり方のほうがエレガントだなあ
終戦に導いてくださりありがとうございます。
簡単そうに見えるけど典型パターンに持って行く方法が思い浮かばなかった。
やり忘れていたので今更やりました。サムネで解いたので(1)を見ずにゴリ推しましたが1分30秒ぐらいで出来ました。An+1＝4－5/An＋2An+1＋2＝6－5/An＋2An＋2＝BnとするとBn+1＝6－5/BnこうするとBnについて、分子は6、31、156...の階差数列(初項25公比5)分母は1、6、31、156...という分子の初項が違うだけのものが出てくるのであとは普通に一般項突っ込むだけで出来るのでなかなかなタイムで解けました。※連続性についてはシビアだから国立2次とかだったら帰納法使って念の為証明した方がいいかも。
数年前は説明聞いても意味不明だったのに、わかる。感動
特性方程式のところ、2項間の時に、a(n)が一定の値に収束するなら、a(n)もa(n+1)もnが限りなく大きければほぼ同じになる為、a(n+1)とa(n)を同じαにしていいということを学校では教えてもらいました！(3項間の時はよく分からなかったけど…)
青チャートで分からなくて、貫太郎さん取り上げてるかなぁって思って探したらあった。本当に助かりました！
わからやすい。
推測して帰納法で証明が一般的
a2, a3, a4から予想して帰納法で証明する人もいるでしょうね。実は自分がそうでした...
私も帰納法です。鈴木先生のはエレガントですけど咄嗟に出てこないし。
昔の動画にコメント致しますが、お許しください。(１)誘導よりbn=an-3/an+1···①nをn+1に置き換えるとbn+1=a(n+1)-3/a(n+1)+1与式よりa(n+1)=4an+3/an+2であるから(計算略します)b(n+1)=an-3/5an+5 =1/5(an-3/an+1)①からb(n+1)=1/5bn（ ２ ）b1=1/5からbn=(1/5)^n①から(1/5)^n=an-3/an+1 =(an+1/an+1)-(4/an+1) =1-(4/an+1)逆数をとったり色々と操作してan=3·5^n+1/5^n-1
ああ神よ
2016年横浜市大(医)の漸化式a(n+2)-5a(n+1)+6a(n)-6n=0a(1)=a(2)=1解説してください！
nar4ku さん近いうちに出します。この動画の最初の特性方程式とは何なのかという基本に立ち返れば解けます。
鈴木貫太郎 ありがとうございます！挑戦しましたが6nの処理がうまくいかずじまいでした投稿楽しみにしています
動画アップしました。ua-cam.com/video/gqCex3rMvI0/v-deo.html
有難うございます！方針さえ掴めればあんなに簡単なんですね...また１つ学ばせて頂きました今後の動画も楽しみにしています！
特性方程式野のαはフォーカスゴールドではグラフを使った異なった証明でしたよ〜面白いですね！
いつも動画楽しく拝見させていただいてます！僕は複素数平面が苦手なので基礎を軽く、標準応用のレベルまで教えて欲しいです。時間があればお願いします！！
0トキ さんいつもご覧くださりありがとうございます。複素平面は結構ネタがあるので、まーまー出せそうです。その他の分野も日々の演習(難問は私自身が解けないので出しません)としてトライしてみてください。
0トキ さんとりあえず、これをご覧ください。複素平面の基礎の解説です。ua-cam.com/video/ApI4LBNHJJg/v-deo.html
鈴木貫太郎さん ありがとうございます
鈴木貫太郎 ma1173
α≠4は示さなくていいの？誰か教えて
2020年の中央法政治に出ました！ありがとうございます！！
報告ありがとうございます😊宣伝して下さい。よろしくお願いします。
ナイスタイミングだったわ🙄
これセンターレベル模試で出た…途中で訳分かんなくなって＼(^o^)／
わかる、わかる。でも豊橋駅で通過していくのぞみ号を追っかけ見した貫覚、速っえー
参考書にこの解法が載っていたのですがなぜあの特性方程式を使えるのかが分かりませんでした貫太郎さんの説明でスッキリしました
同じ問題に出くわしたのですが、特性方程式が重解になり困惑してしまいました。この場合はどうすれば良かったのですか？
examist.jp/mathematics/recurrence-formula/itijibunsuuzenkasiki/こちらの(1)をご覧ください．特性方程式が重解の場合，bn=1/(an-α)の解法を用いないと詰まってしまいます．
高校の時、青チャートや他の参考書使ってやった記憶があるwこれをみてやり方思い出しましたw
わからなかったんで数学的帰納法使ってしまいました笑
神
青茶初見でこの問題理解するまで20分もかかった
20分は早いですね。私が頭悪い😅
とりあえず、b(n+1) に a(n+1) を代入していいことないか期待する、かと思った。ヒントがないと終わるけど
受験生諸君に言いたいのは･･･受験数学は，東大だろうがどこの大学だろうが，必ず解けるようになってるって事．与えられた（連立）漸化式は，必ず等比数列に帰着できるのだ．もしできないなら，そんな一般項を求めるのは不可能である．解けない問題を出したらニュースになるレベルのミスだ逆に，それを問題を解くヒントにしようたまに東大クラスだと，一般項ではなく極限値を求める問題が出題される．その時点で，一般項を求めるのは時間の無駄なのだと見切ろう！ 別のアプローチを考えよう受験数学は絶対に解けるようになっている！！
よびのりさんの分数型の解き方でもいいですか？
しかし、このような分数型漸化式の解法を孝行で習った記憶が全くないのですが、通常高校ではまり取り上げない問題なんでしょうか？ご存知であれば教えていただきたく。
高校で習うかどうかは知りませんが、青チャートには出ています。入試で出題される場合はb(n)= の誘導がつくのがほとんどです。
習ってないけど黄色持ってるだろっていって日々題に出されました
教科書レベルではないけど，入試レベルでは割りと頻出レベルなので知らないと厳しいね
これ二次方程式重解のときはどうすればいいんでしょうか
今さらで申し訳ございませんが…H27年度の東工大の大問1では特性方程式が重解となり、困ってしまいました。重解が意味するところとして、公比が1、転じて等差数列になるようですが、特性方程式を暗記して使いたくありません。貫太郎さんのように解いて、重解となってしまった場合、上手い対処方法はありますか？
分数漸化式むずい
登録してくれたら性器舐めてあげる 名前気色悪
3と-1は、分母と分子で逆になってても良いということですか?
誘導に従わないのならって条件の下です。
記述で回答用紙にかくとしたら言葉とかはどうかけばいいですか？
それは貫太郎に聞くことではないw
極端な話、αだのβだの全てすっとばして、『私はこの与式をこのように変形した！（神の啓示によって）』でも減点されることはないんじゃないでしょうか。実際にそのように変形できることさえ示せていれば。
これ暗記でのりこえた
仮に誘導がなく、自分でαβと置いた場合大小がわからず、分母分子にどっちを当てはめればいいかわからなくなります、どうすれば良いですか？
tt さんご覧くださりありがとうございます。どっちでやってもa_nは同じ結果になるはずです。動画の中で言っていた東北大の問題がこのあと見つかって動画にしてます。参考にしてください。ua-cam.com/video/UFLWN5SFXLg/v-deo.html
重解でなければどっちかで割るわけで，そのとき，常にゼロでないことを一言言及しておく必要があります．それが簡単に言える方を分母にもってくればいいのです．本問の場合だと，初項a₁が正だから漸化式より明らかに全てのnでa(n)>0．よってa(n)+1>0 だから割り算可能．a(n)-3を分母にする場合は全てのnでa(n)-3≠0を示す必要があります．勿論これも示せますが，ちょっとだけ手間がかかります．具体的には，もしあるnでa(n)=3ならば，「漸化式よりa(n-1)=3」となり，これを繰り返してa₁=3でなければならないが，与えられた条件よりa₁=4≠3．よって全てのnでa(n)≠3．「．．．」の部分は丁寧に書けば，漸化式より a(n)=[4a(n-1)+3]/[a(n-1)+2] (n≧2) a(n)=3 ⇒ 4a(n-1)+3=3[a(n-1)+2] ⇔ a(n-1)=3．(終)実は2つの特性解を使わず，どちらか一方の分数式だけからでも漸化式は解けます．本問の場合，(1)の誘導がなければ，次のように解いてもよい．a(n+1)+1=5[a(n)+1]/[a(n)+2] と書け，全てのnでa(n)+1>0だから逆数がとれて1/[a(n+1)+1]=(1/5)[a(n)+2]/[a(n)+1]=r{1/[a(n)+1]+1} (r=1/5=0.2)．b(n)=1/[a(n)+1] とおくと b(n+1)=r[b(n)+1] これは定係数2項間漸化式なので定型で解けますね(よって以下省略)この解法の利点は重解にも対応しているということです．重解であっても全く同様にして解くことができます．
スタ演にも分数型あったなー
仮に本問のような分数型漸化式の問題で、特性方程式が重解の場、虚数解の場合はどのように考えればよいでしょうか？
重解だと、b(n+1)=b(n) になるのかな。虚数解の場合、実はこれをアップした時にサムネイルが+3と-3を間違えていて、そのまま解いた方が、虚数解になったけどできたとおっしゃっていたので解けると思いますが、出題されることはないでしょう。
月日を経てもう一度解いたらできました∩^ω^∩貫太郎さんの動画のおかげです(*´꒳`*)
正直、先生のやり方遠回りだと思うbn+1にすると右辺にa（n+1）-3/a（n+1）+1になるからa（n+1）を代入して計算すると1/5bnなる本質的な解き方でわかりやすいんだけど、本番先生の解き方するのは時間の無駄だと思う
hop hip さんコメントありがとうございます。私は(1)のヒントがなくてもできる一般的な解法を示しました。分数型は(1)のヒントがつくのが当然のようになっているそうなので‥‥それなら出題しなければいいのに‥‥
鈴木貫太郎 なるほど、誘導なしだと確かに解けませんね。この動画流し見したんでもう一回しっかり見ます。
返信ありがとうございます。現役受験生には、とにかく短時間で一点でも多く取りたい気持ちは、痛いほどわかります。でも、時々、本質を見つめるのもいいかと思います。別に私が本質を語ってるわけではありませんが。
受験時代でも時間の節約より鈴木さんのように時間をかけて本質を見極めることが大事だと思います。
先生の動画、いつも楽しく拝見させていただいております。数学の講師をしていますが、私は先生の感覚と近い考え方をもっていると感じています。過去の動画で『こんなことを書いてある参考書は見たことがない』とおっしゃっていましたが、私も同じことを生徒に教えながら話しております。捉え方も似ているところもあったり、違うところもあったり、そこが面白いと思っています。今回の通称『特性方程式』と呼ばれているものが何故a(n),a(n+1)をxに書きかえたものになっているか？は、私の考えでは、単純にa(n)の極限値がαやβにあたるわけで、それは漸化式a(n+1)=f(a(n))に対して、y=xとy=f(x)の交点であると考えればいいと思っています。この考えは完全に我流なんですが、先生のご意見もいただければ幸いです。
bombrockon さんいつもご覧くださりありがとうございます。数学の先生に観られてると思うと、ビビります。まー、私、専門家でもなければ先生でもない、ただのオヤジがボケ防止に独り言を公開してるだけなんで、今後も戯言にお付き合いくだされば幸いです。
鈴木貫太郎スゴすぎる文系のワイでも分かりやすい
意味不明なヒントがヒントになりました
特性方程式がずっと分からない
こちらをご覧ください。漸化式・特性方程式・三項間漸化式ua-cam.com/video/JKWRjlt16Ac/v-deo.html
サムネ見て出した答えと違うと思ったら、問題が違ってた笑
申し訳ありませんでした。また、ご指摘ありがとうございます。
Helfen さんご迷惑をおかけしました。早く気づいていただいたので助かりました。
鈴木貫太郎 いえいえ！これからの動画も楽しみにしていただきます笑
答え、きたなかったんじゃないですか？本当にすいませんでした。
鈴木貫太郎 虚数でてきましたね笑
誘導なしで解かないとね
なお 自分は青チャ解いてて青チャでは誘導ありなんですけど、大学入試では誘導なしの方が多いんですか？誘導なしで解くやり方も覚えておいた方がいいですか？質問です！
たくみくんから来ました
こちらもよろしくお願い致します。
数学は苦手なんですが、b(n+1)を考えてa(n+1)の式を代入してb(n+1)=1/5bnって解いた方が早くないですか？
早いね、bnが等比数列だからそっから出したほうが早いよ！
ぜったいWhiteCalmきゃっと 同じ考え方やと思うからワイのコメント見てくれ
突然bnの数字がどこから来たのか説明しながら解いたからあえてbn使わなかっただけでしょうそりゃ突然与えられたヒントをただただ使えば早く解けます(そのためのヒントだし)
動画で簡単な特性方程式の説明から始める流れを見ればやりたい事は分かるけど、動画で(1)が与えられてれば～として簡単に解けるってことは触れておいた方がいいかもだね。難関大学でなければヒントが与えられてる方が多いし、受験でも動画のように解いていってしまうと時間が足りなくなる可能性もあるので。もちろん、本質を理解するために動画のようなやり方を覚えておくことも重要です。
数学苦手は嘘やろ
ほえ〜〜
誘導なしで出す某工業大学
？？？？
2015年東工大は推測でもいけました。問題は2018年の大分大学医学部（１）ですね。
俺の知能だと帰納法使うか、誘導ありで解くかの2択しかない
チャート式はｇｍ。廃品回収の日に捨てろ。
捨てないまでも信用するには「？」というのが多いのは解説者が他の問題集から類似問題から拾ってきた説明を適当にカスタマイズしているだけなので学ぶ人の事を考えていないからでしょう。これは昔からの事で塾にも通わず家庭教師も望めない受験生は自ら様々な問題集を見比べて選ぶ必要があります。これは大学受験のみに限らず社会に出て様々な資格試験にチャレンジする場合にも同じことが言えますよ。
この問題の背景を考えるとまた違った楽しみ方が出来ますね。
この問題は「初期値4に対してメビウス変換
f(z)=(4z+3)/(z+2)
をn-1回作用させるとどうなるか」とも読めるので、対応する射影行列
4 3
1 2
のn乗を求めることでも解けます。
まあ、今は高校で行列を習わないようなので受験問題としての別解にはなり得ませんが。
ですので、この問題を
(1) 2つの2×2正則行列の積に対応するメビウス変換は、それぞれに対応するメビウス変換の合成に一致することを直接計算で確かめよ。
(2) A:=行列
4 3
2 1
を対角化せよ。
(3) A^nを求め、一般項a_nを求めよ。
と誘導すれば、行列を習った大学の理系学生にとっていい演習になりそうだなぁ、とか妄想したり。
メビウス変換❗初めて聞きましたが、そんなのあるんですね。ちょっと調べて見たら、ワケ分かりませんでした。
分数型の漸化式が何故、行列の対角化で解けるのか、ずっと不思議でしたが、そういう元ネタというか関連事項があるのですね。
自分はこの解き方しか知らないので、これで解きました。
ゆううつくすり この人メチャメチャ頭いいってw
青チャートなどの一部参考書は、問題と解答を合わせて1ページ内に収めるために途中式の手順やはしょり方がしばしば天才基準になっている、というのは定番のネタですねぇ
v rubeeru 現役生ですが、青チャの天才的な計算能力には何度も苦しめられました。
何周かして全て理解できましたが。
今のチャート等の参考書は親切ですよ。私は文系でしたが赤チャートを使っていました。
難問でも精々ヒントが付くくらい、大抵は結論のみでした。
分数型漸化式のこの問題は解き方が皆目検討がつきませんでした。
まだまだ本質の理解が甘かったことを思い知りました。
動画を最後まで視聴し、本質を理解し問題を解いてから別サイトで類題を解いてみました。
そのサイトでは、特性方程式を使って動画の題材の設問(1)で与えられた{bn}の漸化式を作れば分数型漸化式は解けますよという解説でした。
これは「なるほど、こうやって解くんだ」と感心するものの、本質の説明が省かれた暗記型の説明でした。
暗記型に頼った受験勉強をして漸化式が全然解けなかった私には、鈴木先生の説明の方が私には合っているものでした。
鈴木先生の解き方は一見すると回りくどく泥臭い印象があるのですが、その印象は間違いで何度も本質を説明しているため回りくどく感じるだけで、暗記型よりも視聴者のためになる素晴らしい説明だと思っています。
現に鈴木先生が説明されたやり方で類題が解けるようになりましたので、素晴らしい説明だと思うのは私の勘違いではないと思います。
素晴らしい動画に感動して、長文を書いたことをお詫びいたします。
これからも動画投稿を楽しみつつ、趣味として高校数学を楽しみたいと思います。
丁寧な感想をありがとうございます。本質を大切にする姿勢を感じて頂いて嬉しいです。
分数型漸化式の問題は問題文にｂｎが与えられなくても、解けますね。ありがたい動画でした。
サムネだけ見て解きました。
特性方程式から、α=－１、3なので、
a(n+１)+１=5an+5/an+2
a(n+１)－3=an－3/an+2
を作り、辺々割って解いていきました。受験から30年たちますが、面白いものですね。
どっちかでいいのでは...
@@名も無き者-p4f 両方出すと素早く解けますね
なんでまだ覚えてるんだよ笑
夜更かしOKの週末ということもあり、今回は悩みながらじっくり拝見しました。確かに（1）の誘導に乗ればそれほど難しい問題で無いと思いますが、誘導が無ければ手も足も出ません。高校生の時は漸化式の問題がでたら何も考えずに特性方程式を解いていましたが、それから40年近く経って「特性方程式とは何ぞや？」と考えることになるとは（苦笑）
数学って、テストで高得点を狙うためにはいろいろな「装備」を持っていた方が圧倒的に有利ですが、むしろ数学の力ってその「装備」を自分で導出できることですよね。とは言うものの、試験会場で「装備」を現地調達していたらとても時間内に問題は解けないでしょうし・・・。なかなか難しい問題です。
ところでこの手の問題で、α＝β（重根）になってしまう時はまた別のアプローチがあるんですよね？
山本俊治 さん
いつもご覧くださりありがとうございます。
α＝βの場合を考えるなんて、やはり、深い洞察力がおありですね。
見識の高い方が観てると思うと緊張します。
(1)でbn+1=an+1の分数式にして、そこにanの漸化式を代入するとあら不思議。bn+1=1／5bnになるのでそこから(2)を解きました。
分数の形の特性方程式とその導入方法は初めて知りました。今回は目から鱗でした。ありがとうございました。
自分の解き方はちょっとだけ違うですね。
特性方程式でα=-1,3がでて、両辺から引くまでは同じです。そこからは、a(n+1)-3=(a(n)-3)/(a(n)+2) の両辺逆数をとって、1/(a(n)-3)=b(n)とすれば、
b(n+1)=5b(n)+1が導けます。
あとは普通の漸化式のように解けます。
この解法で注意すべきなのは、逆数とるときにa(n)-3≠0になることを帰納法で示す必要があることですかね。
分数型漸化式の解法はよい勉強になりました。日y上によい勉強材料と思いました。
サムネイルから誘導なしでチャレンジしてみました。
約分を無視しながら、
an=pn/qn p1=4 q1=1
とおくと、分母分子で2つの漸化式が導出され、そこからpnとqnの連立方程式を解くことで解くことができました。
コメントでも様々な解法があり、楽しいですね。
先生や皆さんの回答と比べると、少し遠回りしている感じもします。
これからも楽しみにしています！
michel mich さん
とても嬉しいコメントをありがとうございます。誘導なしで解けるのは素晴らしいです。そんな方が観てると思うと緊張します。
分数型面白すぎてやばいな
数学にハマりつつある
大将聖蓮船部隊 国語力
数値積分なんかを解くには漸化式が必要なんですが高校の授業で「これは事象解析に必要です」なんて言っても生徒は余計「？」となるでしょうね。でも大学へ進学する人が半数に達する現在では文系の人であっても統計（経済や社会学では必須）を扱う機会はあるので漸化式は理解すべきですが文系の人って多いですね漸化式苦手な人。
それと参考書や問題集の解説に難解なものが散見されるのは昔からですね（私も随分悩まされました）
下手すれば参考書（＆問題集）の解説書（or開設者）が必要な場合があります。
自分は頭が良くないので原理原則が解答に細かく書いてあるマセマや基礎問題精巧の方が好きです。だから鈴木先生の様に細かく途中式を載せて説明してくださっていつも助かってます。
青チャートはゴミ
サムネだけでいけた！うれしい！
2015東工で誘導なしで出されていました
初見の人は帰納法を思い付いてって感じかな
青チャートは神だと思ってるけど、やっぱり解説は難しいですよね 青チャートのいいところはこういう問題が出て、こういう解き方をしていきますっていうことが、はっきり示されてる事ですね だから、青チャをやっとけばまず間違いない ただ分からないところが出てくるとこういう動画にお世話になりますが.......
赤買って思ったのですがチャートは難易度が上がると説明が雑になるだけな気がします
問題の質を求めるなら青で十分なので
それが高校で青を配られる理由なのかと思いました
私事ですいませんが、先週インフルエンザにかかって暇していたときに鈴木先生の動画に出会いました。自分は某国立大学(このチャンネルでもたまに紹介されてます)の数学科卒ですので、数学は大好きです。これからも宜しくお願いします。
ご覧くださりありがとうございます。
予備憲さんの漸化式全パターン徹底解説を2回、mathmaticsmonsterの漸化式全パターンのようなものを一回みてそれからこの動画がありましたので拝見しました。パターンにないといいますか、もちろんこれも等比関数列型といえばそれまでですが。
おなじみのパターンに持っていくには要領が要ります。ややこしい問題といいますか、何とか理解できました。私にとってはかなり、体力を消耗する問題でした。慣れていませんと、サイクロイド曲線の方程式を考えたり、物理なんかでフーコーの光速測定実験とか波の方程式をつくったり、うなりの回数の公式がなぜ正しいのか、しかも、シンクロするときのそれぞれの位相を求めたりとか、ブドウ糖を消耗するものがあると思います。
今年から、紙と鉛筆を用意してみています。
b[n]=a[n]+k とおいて、
a[n+1]=(4a[n]+3)/(a[n]+2) から
b[n+1]={(4+k)b[n]+(3-2k-k^2)}/(b[n]+2-k)
逆数をとって1/b[n]の漸化式にしたいがために
3-2k-k^2=0 とすると、k=1
するとb[n+1]=5b[n]/(b[n]+1)
これからb[n]、a[n]と出しました。
k=-3でやっても出るとは思いますが、b[n]≠0であるという証明が面倒くさそうなのでパスしました。
備忘録👏60G.【 1次分数漸化式の一般解法 】α＝(4α+3)／(α+2) ⇔ α＝3, -1 (与式)･･･①
①の両辺から 3を引いて、a(n+1)－3＝ ( a(n)－3 )/( a(n)+2 ) ･･･②,
①の両辺から -1を引いて、a(n+1)＋1＝ 5 ( a(n)＋1 )/( a(n)+2 ) ･･･③ ②÷③より、
(a(n+1)－3)/(a(n)＋1)＝ 1/5 ×( a(n)－3 )/(a(n)＋1) よって、
( a(n)－3 )/(a(n)＋1)＝ ( a(1)－3 )/(a(1)＋1) ×(1/5)ⁿ⁻¹ ＝ 1／5ⁿ ⇔ a(n)＝ (3･5ⁿ＋1)／(5ⁿ－1) ■
問題の数列を基本数列になるような数列におきかえるために都合のいいαやβを求める。f(x)が2次方程式だよーって条件が与えられた時にf(x)=ax^2+bx+cと置くことから出発するのと同じようなもの
FG問題と解説コラム読んでも分かりませんでした やっと分かってスッキリです〜
高一ですが貫太郎さんの動画の漸化式の問題を早く解きたい、と以前から思っていました。そして今日、ようやく数bの数列の範囲を終わらせましたので、これから毎日見たいと思います。
これからも頑張って下さい！
ありがとうございます😊
わかり易すぎ
ありがとうございます！
ありがとうございます😊
与えられたbnの式からan=-bn-3/bn-1を出して、これをa(n+1)=4an+3/an+2に代入して、b(n+1)=1/5bnを出すという超機械的なやり方でやりました…。
貫太郎先生のようにキチンと理解したやり方のほうがエレガントだなあ
終戦に導いてくださりありがとうございます。
簡単そうに見えるけど典型パターンに持って行く方法が思い浮かばなかった。
やり忘れていたので今更やりました。サムネで解いたので(1)を見ずにゴリ推しましたが1分30秒ぐらいで出来ました。
An+1＝4－5/An＋2
An+1＋2＝6－5/An＋2
An＋2＝Bnとすると
Bn+1＝6－5/Bn
こうするとBnについて、分子は6、31、156...の階差数列(初項25公比5)分母は1、6、31、156...という分子の初項が違うだけのものが出てくるのであとは普通に一般項突っ込むだけで出来るのでなかなかなタイムで解けました。
※連続性についてはシビアだから国立2次とかだったら帰納法使って念の為証明した方がいいかも。
数年前は説明聞いても意味不明だったのに、わかる。感動
特性方程式のところ、2項間の時に、a(n)が一定の値に収束するなら、a(n)もa(n+1)もnが限りなく大きければほぼ同じになる為、a(n+1)とa(n)を同じαにしていいということを学校では教えてもらいました！
(3項間の時はよく分からなかったけど…)
青チャートで分からなくて、貫太郎さん取り上げてるかなぁって思って探したらあった。本当に助かりました！
わからやすい。
推測して帰納法で証明が一般的
a2, a3, a4から予想して帰納法で証明する人もいるでしょうね。実は自分がそうでした...
私も帰納法です。鈴木先生のはエレガントですけど咄嗟に出てこないし。
昔の動画にコメント致しますが、お許しください。
(１)誘導よりbn=an-3/an+1···①
nをn+1に置き換えるとbn+1=a(n+1)-3/a(n+1)+1
与式よりa(n+1)=4an+3/an+2であるから
(計算略します)
b(n+1)=an-3/5an+5
=1/5(an-3/an+1)
①から
b(n+1)=1/5bn
（ ２ ）b1=1/5からbn=(1/5)^n
①から(1/5)^n=an-3/an+1
=(an+1/an+1)-(4/an+1)
=1-(4/an+1)
逆数をとったり色々と操作して
an=3·5^n+1/5^n-1
ああ神よ
2016年横浜市大(医)の漸化式
a(n+2)-5a(n+1)+6a(n)-6n=0
a(1)=a(2)=1
解説してください！
nar4ku さん
近いうちに出します。この動画の最初の特性方程式とは何なのかという基本に立ち返れば解けます。
鈴木貫太郎 ありがとうございます！
挑戦しましたが6nの処理がうまくいかずじまいでした
投稿楽しみにしています
動画アップしました。ua-cam.com/video/gqCex3rMvI0/v-deo.html
有難うございます！
方針さえ掴めればあんなに簡単なんですね...
また１つ学ばせて頂きました
今後の動画も楽しみにしています！
特性方程式野のαはフォーカスゴールドではグラフを使った異なった証明でしたよ〜
面白いですね！
いつも動画楽しく拝見させていただいてます！僕は複素数平面が苦手なので基礎を軽く、標準応用のレベルまで教えて欲しいです。時間があればお願いします！！
0トキ さん
いつもご覧くださりありがとうございます。複素平面は結構ネタがあるので、まーまー出せそうです。その他の分野も日々の演習(難問は私自身が解けないので出しません)としてトライしてみてください。
0トキ さん
とりあえず、これをご覧ください。複素平面の基礎の解説です。ua-cam.com/video/ApI4LBNHJJg/v-deo.html
鈴木貫太郎さん ありがとうございます
鈴木貫太郎 ma1173
α≠4は示さなくていいの？誰か教えて
2020年の中央法政治に出ました！ありがとうございます！！
報告ありがとうございます😊宣伝して下さい。よろしくお願いします。
ナイスタイミングだったわ🙄
これセンターレベル模試で出た…途中で訳分かんなくなって＼(^o^)／
わかる、わかる。でも豊橋駅で通過していくのぞみ号を追っかけ見した貫覚、速っえー
参考書にこの解法が載っていたのですがなぜあの特性方程式を使えるのかが分かりませんでした
貫太郎さんの説明でスッキリしました
同じ問題に出くわしたのですが、特性方程式が重解になり困惑してしまいました。
この場合はどうすれば良かったのですか？
examist.jp/mathematics/recurrence-formula/itijibunsuuzenkasiki/
こちらの(1)をご覧ください．特性方程式が重解の場合，bn=1/(an-α)の解法を用いないと詰まってしまいます．
高校の時、青チャートや他の参考書使ってやった記憶があるw
これをみてやり方思い出しましたw
わからなかったんで数学的帰納法使ってしまいました笑
神
青茶初見でこの問題理解するまで20分もかかった
20分は早いですね。私が頭悪い😅
とりあえず、b(n+1) に a(n+1) を代入していいことないか期待する、かと思った。ヒントがないと終わるけど
受験生諸君に言いたいのは･･･
受験数学は，東大だろうがどこの大学だろうが，必ず解けるようになってるって事．与えられた（連立）漸化式は，必ず等比数列に帰着できるのだ．もしできないなら，そんな一般項を求めるのは不可能である．解けない問題を出したらニュースになるレベルのミスだ
逆に，それを問題を解くヒントにしよう
たまに東大クラスだと，一般項ではなく極限値を求める問題が出題される．その時点で，一般項を求めるのは時間の無駄なのだと見切ろう！ 別のアプローチを考えよう
受験数学は絶対に解けるようになっている！！
よびのりさんの分数型の解き方でもいいですか？
しかし、このような分数型漸化式の解法を孝行で習った記憶が全くないのですが、通常高校ではまり取り上げない問題なんでしょうか？ご存知であれば教えていただきたく。
高校で習うかどうかは知りませんが、青チャートには出ています。入試で出題される場合はb(n)= の誘導がつくのがほとんどです。
習ってないけど黄色持ってるだろっていって日々題に出されました
教科書レベルではないけど，入試レベルでは割りと頻出レベルなので知らないと厳しいね
これ二次方程式重解のときはどうすればいいんでしょうか
今さらで申し訳ございませんが…
H27年度の東工大の大問1では
特性方程式が重解となり、困ってしまいました。
重解が意味するところとして、公比が1、転じて等差数列になるようですが、
特性方程式を暗記して使いたくありません。
貫太郎さんのように解いて、重解となってしまった場合、上手い対処方法はありますか？
分数漸化式むずい
登録してくれたら性器舐めてあげる 名前気色悪
3と-1は、分母と分子で逆になってても良いということですか?
誘導に従わないのならって条件の下です。
記述で回答用紙にかくとしたら言葉とかはどうかけばいいですか？
それは貫太郎に聞くことではないw
極端な話、αだのβだの全てすっとばして、『私はこの与式をこのように変形した！（神の啓示によって）』でも減点されることはないんじゃないでしょうか。実際にそのように変形できることさえ示せていれば。
これ暗記でのりこえた
仮に誘導がなく、自分でαβと置いた場合大小がわからず、分母分子にどっちを当てはめればいいかわからなくなります、どうすれば良いですか？
tt さん
ご覧くださりありがとうございます。どっちでやってもa_nは同じ結果になるはずです。動画の中で言っていた東北大の問題がこのあと見つかって動画にしてます。参考にしてください。
ua-cam.com/video/UFLWN5SFXLg/v-deo.html
重解でなければどっちかで割るわけで，そのとき，常にゼロでないことを一言言及しておく必要があります．それが簡単に言える方を分母にもってくればいいのです．本問の場合だと，初項a₁が正だから漸化式より明らかに全てのnでa(n)>0．よってa(n)+1>0 だから割り算可能．a(n)-3を分母にする場合は全てのnでa(n)-3≠0を示す必要があります．勿論これも示せますが，ちょっとだけ手間がかかります．
具体的には，もしあるnでa(n)=3ならば，「漸化式よりa(n-1)=3」となり，これを繰り返してa₁=3でなければならないが，与えられた条件よりa₁=4≠3．よって全てのnでa(n)≠3．
「．．．」の部分は丁寧に書けば，漸化式より a(n)=[4a(n-1)+3]/[a(n-1)+2] (n≧2)
a(n)=3 ⇒ 4a(n-1)+3=3[a(n-1)+2] ⇔ a(n-1)=3．(終)
実は2つの特性解を使わず，どちらか一方の分数式だけからでも漸化式は解けます．
本問の場合，(1)の誘導がなければ，次のように解いてもよい．
a(n+1)+1=5[a(n)+1]/[a(n)+2] と書け，全てのnでa(n)+1>0だから逆数がとれて
1/[a(n+1)+1]=(1/5)[a(n)+2]/[a(n)+1]=r{1/[a(n)+1]+1} (r=1/5=0.2)．
b(n)=1/[a(n)+1] とおくと b(n+1)=r[b(n)+1]
これは定係数2項間漸化式なので定型で解けますね(よって以下省略)
この解法の利点は重解にも対応しているということです．重解であっても全く同様にして解くことができます．
スタ演にも分数型あったなー
仮に本問のような分数型漸化式の問題で、特性方程式が重解の場、虚数解の場合はどのように考えればよいでしょうか？
重解だと、b(n+1)=b(n) になるのかな。虚数解の場合、実はこれをアップした時にサムネイルが+3と-3を間違えていて、そのまま解いた方が、虚数解になったけどできたとおっしゃっていたので解けると思いますが、出題されることはないでしょう。
月日を経てもう一度解いたらできました∩^ω^∩
貫太郎さんの動画のおかげです(*´꒳`*)
正直、先生のやり方遠回りだと思う
bn+1にすると右辺にa（n+1）-3/a（n+1）+1になるからa（n+1）を代入して計算すると1/5bnなる
本質的な解き方でわかりやすいんだけど、本番先生の解き方するのは時間の無駄だと思う
hop hip さん
コメントありがとうございます。私は(1)のヒントがなくてもできる一般的な解法を示しました。分数型は(1)のヒントがつくのが当然のようになっているそうなので‥‥それなら出題しなければいいのに‥‥
鈴木貫太郎 なるほど、誘導なしだと確かに解けませんね。
この動画流し見したんでもう一回しっかり見ます。
鈴木貫太郎 なるほど、誘導なしだと確かに解けませんね。
この動画流し見したんでもう一回しっかり見ます。
返信ありがとうございます。現役受験生には、とにかく短時間で一点でも多く取りたい気持ちは、痛いほどわかります。でも、時々、本質を見つめるのもいいかと思います。別に私が本質を語ってるわけではありませんが。
受験時代でも時間の節約より鈴木さんのように時間をかけて本質を見極めることが大事だと思います。
先生の動画、いつも楽しく拝見させていただいております。
数学の講師をしていますが、私は先生の感覚と近い考え方をもっていると感じています。
過去の動画で『こんなことを書いてある参考書は見たことがない』とおっしゃっていましたが、私も同じことを生徒に教えながら話しております。捉え方も似ているところもあったり、違うところもあったり、そこが面白いと思っています。
今回の通称『特性方程式』と呼ばれているものが何故a(n),a(n+1)をxに書きかえたものになっているか？は、私の考えでは、単純にa(n)の極限値がαやβにあたるわけで、それは漸化式a(n+1)=f(a(n))に対して、y=xとy=f(x)の交点であると考えればいいと思っています。
この考えは完全に我流なんですが、先生のご意見もいただければ幸いです。
bombrockon さん
いつもご覧くださりありがとうございます。数学の先生に観られてると思うと、ビビります。まー、私、専門家でもなければ先生でもない、ただのオヤジがボケ防止に独り言を公開してるだけなんで、今後も戯言にお付き合いくだされば幸いです。
鈴木貫太郎スゴすぎる
文系のワイでも分かりやすい
ありがとうございます😊
意味不明なヒントがヒントになりました
特性方程式がずっと分からない
こちらをご覧ください。漸化式・特性方程式・三項間漸化式ua-cam.com/video/JKWRjlt16Ac/v-deo.html
サムネ見て出した答えと違うと思ったら、問題が違ってた笑
申し訳ありませんでした。また、ご指摘ありがとうございます。
Helfen さん
ご迷惑をおかけしました。早く気づいていただいたので助かりました。
鈴木貫太郎
いえいえ！
これからの動画も楽しみにしていただきます笑
答え、きたなかったんじゃないですか？本当にすいませんでした。
鈴木貫太郎
虚数でてきましたね笑
誘導なしで解かないとね
なお 自分は青チャ解いてて青チャでは誘導ありなんですけど、大学入試では誘導なしの方が多いんですか？誘導なしで解くやり方も覚えておいた方がいいですか？質問です！
たくみくんから来ました
こちらもよろしくお願い致します。
数学は苦手なんですが、b(n+1)を考えてa(n+1)の式を代入してb(n+1)=1/5bnって解いた方が早くないですか？
早いね、bnが等比数列だからそっから出したほうが早いよ！
ぜったいWhiteCalmきゃっと 同じ考え方やと思うからワイのコメント見てくれ
突然bnの数字がどこから来たのか説明しながら解いたからあえてbn使わなかっただけでしょう
そりゃ突然与えられたヒントをただただ使えば早く解けます(そのためのヒントだし)
動画で簡単な特性方程式の説明から始める流れを見ればやりたい事は分かるけど、動画で(1)が与えられてれば～として簡単に解けるってことは触れておいた方がいいかもだね。難関大学でなければヒントが与えられてる方が多いし、受験でも動画のように解いていってしまうと時間が足りなくなる可能性もあるので。
もちろん、本質を理解するために動画のようなやり方を覚えておくことも重要です。
数学苦手は嘘やろ
ほえ〜〜
誘導なしで出す某工業大学
？？？？
2015年東工大は推測でもいけました。問題は2018年の大分大学医学部（１）ですね。
俺の知能だと帰納法使うか、誘導ありで解くかの2択しかない
チャート式はｇｍ。廃品回収の日に捨てろ。
捨てないまでも信用するには「？」というのが多いのは解説者が他の問題集から類似問題から拾ってきた説明を適当にカスタマイズしているだけなので学ぶ人の事を考えていないからでしょう。これは昔からの事で塾にも通わず家庭教師も望めない受験生は自ら様々な問題集を見比べて選ぶ必要があります。これは大学受験のみに限らず社会に出て様々な資格試験にチャレンジする場合にも同じことが言えますよ。