Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 29 сер 2024
- #БотайСоМной #031
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/cou...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/cou...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике: foxford.ru/cou...
"Самое сложное на мой взгляд - это Теорема Пифагора" до слез))))
Andrey Galushkin ну а что? Пифагором мы выводим уже заранее известные формулы. Так что да, Пифагор самый сложный
@@michaelbelkin5229 7 класс, умею доказывать Пифагора на достаточном уровне строгости
@@komfykat5312 ты не понял, дело не в выводе самой теоремы даже, а в ее универсальности
Теорема Пифагора доказывается легко: "Да вы что?! Пифагор - это же известный великий математик! Вы что, Пифагору не верите? Тогда возьмите линейку")
@@allbirths Но так это теорема хоть и называется теоремой Пифагора, но таковой не является
Как же это круто!
Борис Викторович, вы просто гений!
С Вами я действительно понял, что математика именно про мышление, а не про тупую зубрёжку формул и фактов.
Это главная тайна школы, учителя тщательно скрывают факт того, что все формулы откуда-то берутся и их легко понять, вместо этого говорят "вот куча формул, все по ним решается, учите" а спросишь откуда они взялись, так "неважно, просто запомни" будто бог скинул их с неба прописанные в библии. Насколько все было бы проще пойми я тогда, что все друг с другом связано и одно из другого выходит
@@lekca216 не несите чушь...
@@ggggg4267 Если вы меня не поняли это не значит что мои слова чушь
@@lekca216 а как вас понять? Я например не знаю таких учителей, которые просто дают формулы
@@ggggg4267 Повезло вам, в моей школе только такие и были, пока в универе я не встретил реально классного препода, который вообще без учебника на все темы рассуждал и становилось понятно как к этому пришли вообще и почему так, а большинство преподов сами не смогут вывести много формул, потому что не понимают их
Люблю такое "баловство" с цифрами, углами и сторонами.
Чувствуешь себя повелителем Вселенной, когда выведешь таки какую-нибудь формулу)
ДАДАДА)))
Здравствуйте, Борис!
На 23 минуте Вы получили формулу, в которой квадрат биссектрисы равен:
l^2 = ab - xy.
Теорема косинусов, конечно, мощный инструмент.
Но, как альтернатива, - можно было описать около данного треугольника окружность. И продолжить биссектрису, из вершины С треугольника, до точки К пересечения биссектрисы с описанной окружностью. И соединить получившуюся точку К с вершиной треугольника, что напротив стороны b. Возникает несколько подобных (по 2 углам) треугольников. Соответственно, из получившейся "бабочки треугольников" можно выразить отрезок от точки К до точки пересечения биссектрисы со стороной с:
из подобия этот отрезок получается равен = ху/l.
А из подобия других двух треугольников отрезок CК = аb/l
Тогда длина биссектрисы:
l = CК - ху/l = аb/l - ху/l, и домножив обе части равенства на l, получим:
l^2 = аb - ху.
Всегда восхищаюсь Трушиным, какой умница.
Спасибо, Борис! Полчаса бальзама на уши. Полувековая любовь к математике не ржавеет. Учителя были хорошие.
Классная нарезка в начале, как всегда :D
идея для видео: в чем секрет крутости золотого сечения? почему оно возникает то тут, то там, хотя никаких предпосылок как правило не видно? Было бы очень интересно послушать!!!
Господи, вы спаситель! Особенно благодарна за Менелая с Вариньоном!🙏🙏
Хочу выразить вам, Борис Викторович огромную благодарность за всю вами проделанную работу на этом канале , вы по-настоящему привили мне любовь к математике, я даже перевелся в мат.класс ,Спасибо огромное
Спасибо за ваш труд! Всегда парился именно по этому поводу, особенно с медианами
постоянно медиану надо находить где-то. Уже реально запоминаешь, сотню раз выводя)
Борис Викторович,Вы просто гений! На многие вещи открываете глаза даже учителям.
Привет. В одном видео показали простую формулу для биссектрисы. В обозначениях автора Lв квадрате равна a*b - x*y. Помучился с выводом. Полчилось. Ну красивый способ - нашёл сам. Не зная готовой формулы так придумать - это гений делал когда-то.
Спасибо за объяснения, никак не мог запомнить эти формулы, как и фоомулы по тригонометрии. Благодаря Вашим объяснениям теперь могу сам на экзамене их вывести.
Всегда был интересен факт про биссектрису, спасибо вам большое
Длину биссектрисы проще и красивее выводить через подобие треугольников вписав исходный треугольник в окружность и продлив биссектрису до пересечения с окружностью. Тогда формула длины биссектрисы выглядит компактно и легко запоминаемой.
Шикарно!
Заботано. Спасибо, очень уверенно, про параллелограмм соотношение не знал, впечатлило .
Спасибо большое))
Понравилось... ) Лаконично, просто.
Боря, Ты лучший!
Такими темпами можно заботать геометрию до ЕГЭ
Есть ведь ещё проще формула, где квадрат биссетрисы угла равен разности между произведением прилежащих к углу сторон и произведением высекаемых этой биссетрисой отрезков, лежащих на третьей стороне
См. 22:50. Это она и есть. Просто хотелось через стороны выражение записать.
@@trushinbv если бы детей просили доказывать физические формулы, что бы им для этого понадобилось на экзаменах?))
Самое сложное для меня - это теорема Пифагора 😂😂😂😂😂
Расскажите , пожалуйста, про метод симметричных корней для решения параметра
Блин, как же я ржу с нарезку в начале 😂 Лучший ❤️
Борис Викторович, если в ур-ие, получившееся от вычитания двух предыдущих (для избавления от косинусов) подставить вх = ау (из х/у = а/в) , то левая часть преобразовывается:
вхх - ауу = аух - вху = ху(а - в). Обе части ур--ия сокращаем на (а -в) и получаем квадрат длины бисс. равен: ав -ху, а длина биссектрисы: корню квадратному из ( ав - ху ).
Скоро не Саватеева будут знать как главного популяризатора страны, а Трушина
Я думаю у них разные задачи, Саватеев-это человек, который расширяет знания о большой математике и показывает всю суть профессии математика, а Трушин хочет, чтобы дети именно на школьном уровне лучше понимали базовые понятия, ну и конечно хорошо сдавали ЕГЭ
Что "а Трушина?" Ты не дописал
@@user-lt3hh6cv8d будут знать как главного популяризатора не Саватеева, а Трушина
Спасибо большое, даже не думала, что так легко доказывать и можно не только учить
А если у нас есть треугольник ABC: |AB| = c, |BC| = a, |CA| = b; задача - найти длину биссектрисы угла, внешнего к углу ACB, то длина этой биссектрисы равна sqrt(ab(c^2 - (a - b)^2)) / |a - b|
Еще можно для биссектрисы d^2=ab-xy, где x и y - отрезки, на которые биссектриса d делит противолежащую сторону.
Интересно! А можно ли тут высоту найти через проекции сторон на основание треугольника, как четвертый способ нахождения высоты, спасибо за видео самый лучший контент для школьников и абитуриентов!!!
Здравствуйте. Насколько я знаю, это работает только с прямоугольным треугольником.
Теорема косинусов - это мощь
Замечательное видео! Как еще один вариант, формулу для медианы можно вывести и с помощью векторов :)
Здравствуйте, Борис Трушин! Хочу показать еще одну формулу:
Мы же знаем, что x = (ac)/(a+b) и y = (bc)/(a+b) .
Теперь, если умножить x*y, получим x*y= (a*b*c^2)/(a+b)^2, и это равенство можно подставить в равенство, показанное здесь 22:50 , и получить , что l^2 = a*b - x*y.
КРУТО! А ещё, ваше произношение l, получается очень испанским!
Если для биссектрисы теорему косинусов записывать через смежные углы между биссектрисой и основанием - получается поизящнее.
Заодно и теорему Стюарта докажем между делом )
Как доказать что медиана длиннее чем высоту если они выходят из одной точки
Мне кажется, что можно было сначала получить формулу l^2=ab-xy... Продолжить биссектрису до пересечения с описанной окружностью, z будет тогда расстоянием от основания биссектрисы до точки пересечения, записать подобие треугольников: a/l=(l+z)/b => ab=l^2+lz По теореме о пересекающихся хордах lz=xy. Чтд.
...а потом подставить значения для x и y, если надо. Просто в меньше ходов получается.
TEOREMA Синусов, косинусов, некоторые условия, теорема пифагора = 90% планометрии? Невероятно..)
школьной планиметрии
Спосибо , я из Узбекистана 👍✊
Есть пару простых формул для биссектрисы. Одна формула: l^2=a*b-x*y , или с учетом x=ka, y=kb => l^2=ab(1-k^2).
Вторая формула l=2abcos(альфа)/(a+b)
Вот ровно первую формулу мы и вывели )
А вторая у вас какая-то странная. ab же сокращается.
Борис, спасибо, поправили. Вы замечательный автор.
Спасибо
19:56 почему х=ка , у=кв ? Что-то я не попал в рассуждения. Вывод без "к" понятен , а как эти равенства получились ?
Поговорите о симедиане.
Спасибо большое ты крутой
Здравствуйте! Большое спасибо за разумное видео! Есть еще простая формула для длины биссектрисы: l=sqrt(a*b-x*y). Подскажите пожалуйста как ее вывести ?
Опиши окружность около треугольника, продли бис-су. Соедини полученный конец бис-сы с каким-либо углом. Поотмечай равные уголки, найди и запиши три подобия треугольников. Поработай с подобие и получишь эту формулу.
22:55 так вот же она
Thank u so much 😊
Тот момент, когда можно применить теорему Стюарта. Она, конечно, не знаю как выводится. Но доказывается она через две теоремы косинусов. Позволяет найти, например, биссектрису.
С бисектрисой чё-то сложно. Попробовал найти альфу из т. косинусов(нашёл 2 альфа и поделил), из системы нашёл Х и У и воспользовался только одним треугольником(со сторонами х, а, l), из т. косинусов выразил бисектрису, решил квадратное уравнение, и да, такой способ не проще. Но чем больше способов, тем веселее.
Длину биссектрисы можно было найти так: Расписать площадь треугольников через синус(al*sin)
Синус еще найти нужно.
Найти площадь треугольника, если две его если медианы равны 9 и 12 и площадь четырехугольника образованный отрезками медиан после пересечения и сторонами треугольника равна 16.
У вас очень точно выходит. К сожалению не могу понять, когда вы выводите алгебраические соотношения, переходя 3-4 шага. Трудновато.
Как насчёт теоремы Стюарта?
поставил лайк со второго аккаунта за нарезку вначале
Орнул конечно на словах: "самое сложное это теорема пифагора"XD
В самом начале можно было рассмотреть большие треугольники, там тоже уголочки в сумме 180. Зато никаких Дэ/2
Да, но тогда нельзя было бы сказать это -- 4:30
Борис Трушин аааа, точно.
А получается ли красивая формула биссектрисы (медианы), если её выразить через высоту и медиану (биссектрису)?
Добавьте, пожалуйста, геометрии!
Рационально ли выводить формулы на ограниченном по времени экзамене, по типу егэ?😶
можно ли не выводить эти формулы на региональном этапе ВСОШ ?
Борян
Что
25:20 А в математике часто так бывает, что сократили (значит а не равно б) а потом раз, и для этого случая тоже работает?)))
В конце вроде (4а^2 - с^2) /4
Это уравнение должно быть под корнем
Это же l^2
спасибо
16:15 биссектриса
Согласен! Но это касается детей более продвинутых в математике... , а это очень маленький %
Формула Стюарта?
Такое ощущение как-будто вы это придумали
Я бісектрису за такими рівняннями:
К примеру, если взять и применить теорему Менелая, то ведь могут и не засчитать решение, сославшись на отсутствие доказательства, а сидеть и выводить саму теорему себе дороже, ведь под конец экзамена времени остаётся совсем мало, тогда спрашивается зачем ребёнку эта теорема нужна....
Во-первых, изучать математику нужно не ради экзамена. И если какой-то темы там нет, то это не значит, что она не нужна.
Во-вторых, теорема Менелая выводится в течение минуты -- ua-cam.com/video/zpZPt6IS9i0/v-deo.html
В-третьих, в конце учебника Атанасяна она есть, поэтому школьник может на нее ссылаться )
теорему пифагоры можно даказать без тригонометрий
Пифагор через подобие легко доказывается: ua-cam.com/video/AYc2zwzH6dw/v-deo.html
Как найти сторону бисектрисы?
Что такое «сторона биссектрисы»?
@@trushinbv Это риторический вопрос?
Борис Викторович, выводить формулу для биссектрисы как-то сложно и неприятно. вот медиана и высота просто и уже освоено, не так страшно. а вот биссектриса там букв много... и не понятно в какой последовательности... может есть способ проще вывести эту формулу? буду рад, если ответите
все, БВ, не надо. по своему сделал и получил через косинус угла)
Всегда ору с этих вставок в начале
На ЕГЭ нужно их выводить? Формулы
На ЕГЭ они не очень нужны. Разве что длина медианы.
Лучше вывести, конечно. Это не совсем школьные формулы.
Я бы точно выводил, так как я их не помню )
Комент спустя пять лет) 22:35 как сократили? ведь (б-а) остаётся
Т.к. л^2 = а^2 - (с/2)^2
Подставляя значения для а = 3 с =4 это будет корень из 5
(4а^2 - с^2) / 4 = 5
Видимо в каком-то уравнении ошибка
Я правильно понял, что вам кажется, что а^2 - (с/2)^2 и (4а^2 - с^2) / 4 -- это не одно и тоже?
@@trushinbv да
@@trushinbv Теперь понял что это одно и тоже
@@space10x а^2 - (с/2)^2 = а^2 - с^2/4 = 4а^2/4 - с^2/4 = (4а^2 - с^2)/4
@@trushinbv понял , спасибо большое 👍
Как же так получается, что мы как будто делим на ноль, но в итоге от этого ничего не страдает..
Нарезочка СЮДЫ!
5:00
С выводом формулы длины биссектрисы нехорошо получилось. Две доски формул +7 минут времени на то, что выводится в 2 строчки и за 30 секунд. Теорема косинусов там совсем не нужна(
Возможно. Это первое, что пришло в голову )
А как вы выводите?
Нас учил учитель правило про биссектрису , биссектриса это крыса делит углы пополам
Борис, без обид, но эта болтовня первые 40 секунд, оно может и прикольно иной раз. Но когда в каждом видео...
Очень бестолковое решение
Спасибо, Борис! Полчаса бальзама на уши. Полувековая любовь к математике не ржавеет. Учителя были хорошие.
Слово в слово с Вами согласен. Только не полувековая, а сорокалетняя. Репетитор в 10 классе была супер - упорядочила мои знания, привела их в цельную единую систему. Вспоминаю сблагодарностью.