Как предел с рядом связан с интегралом?
Вставка
- Опубліковано 13 жов 2024
- В этом видео будем находить предел от ряда и выясним более общую связь подобных пределов с несобственными интегралами.
В этом видео найден интеграл от e^(-x^2): • Интеграл Эйлера-Пуассо...
В этом видео рассматриваются основные свойства гамма-функции и как пример найден интеграл от e^(-x^2): • Гамма-функция и бета-ф...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Матан здорового человека, а не курильщика
Когда мы перешли к переменной p в пределе, мы фактически получили определение определенного интеграла (есть, конечно, авторы, которые принимают за определение формулу Ньютона-Лейбница, но это не важно здесь).
Определенный интеграл существует тогда и только тогда, когда предел интегральной суммы при длине каждого отрезка, стремящейся к нулю, существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек. Наш вариант разбиения - на равные отрезки, что вполне правомерно и дает значение интеграла.
Оценка сверху и снизу есть не что иное, как верхняя и нижняя суммы Дарбу. Для существования определенного необходимо и достаточно, чтобы верхняя и нижняя суммы Дарбу сходились к одному и тому же числу, равному значению интеграла. Необходимость очевидна (потому, что это всего лишь два варианта выбора точек из бесконечного числа). Достаточность равенства сумм показали на видео. Требование к монотонности и положительности можно снять.
Единственный хитрый момент здесь - это бесконечность отрезка интегрирования. По сути мы поменяли порядок вычисления пределов определенного и несобственного интегралов. Кажется, для того, чтобы это было правомерным, достаточно равномерной суммы под пределом в окрестности нуля. Используя признак равномерной сходимости функционального ряда Вейерштрасса, можно сослаться на то, что ряд мажорирован геометрической прогрессией, а, значит, сходится абсолютно и равномерно.
интересные нюансы с интегралом до бесконечности
@@vikivanov5612 Это не только интеграла касается, а вообще смены порядка нахождения пределов, включая интегралы или производные. Обычно там все мирно, но иногда могут быть конфузы, например: f(x, a) = x^a, x >= 0, a > 0.
1) Сначала a -> +inf => f(x, +inf) = 0 при x из [0;1) (Остальное не интересует)
Потом x -> 1-0 => f(1-0, +inf) = 0 (предел константы)
2) Сначала x -> 1-0 => f(1-0, a) = 1
Потом a -> +inf => f(1-0, +inf) = 1 (предел константы)
Нигде нет разрывной функции, все непрерывно, предел от функции равен значению функции в точке, но вот ПОРЯДОК подстановки играет роль.
А все потому, что сходимость неравномерная. Не существует такого очень большого числа alpha, чтобы различия между f(x, alpha) и f(x, +inf) можно было бесконечно сокращать: в районе единицы всегда будет окрестность, где есть скачок (слева направо он будет равен +1). Да, ширину скачка можно сократить, но сам он никуда и никогда не исчезнет.
То есть из того, что предел непрерывной функции равен значению самой функции, НЕ следует, что сам по себе это предел сохранит непрерывность.
Красивое представление интеграла от монотонно убывающей непрерывной функции. Ну , а предел - это уже искусство.
Спасибо большое за видео. Хоть я 11 классник и ничего не понимаю, все равно досматриваю до конца из-за интереса!
По сути использовали определение интеграла по Дарбу. Но как красиво)
А есть другие определения интеграла? Я думал, что единственное его определение то, которое в видео сказали
@@МаркБеляев-ь8ю интегралы в смысле Римана, Лебега, Перрона, вероятно других вагон и маленькая тележка
@@РусланАстамиров-е8ц, а там все по итогу сводится к пределу суммы бесконечно убывающих малых величин?
Очень элегантно, браво!)
бесконечно благодарен тебе за твой контент
Трюк, красивый трюк. В духе Фейнмана.
вообще говоря, это пример из Фихтенгольца :) 2 том, стр. 667 (2003 год издания). Может кому-то пригодится :)
Те кто знаком с модулярными формами, сразу увидят Тета Функцию Якоби
Классное видео!)
Люблю ваши ролики!)
8:23 насколько легально в нижней строке верхний предел интеграла представлять как бесконечность, если в нашем случае р->0? Получаем же неопределенность: 0*бесконечность(p*N вторая строка)
пределы находится по очереди в том порядке, в котором стоят. Внутри предел при N-> бесконечности. А потом уже предел при p->0
Спасибо 🎉
Кажется, равенство предела суммы и интеграла можно подвязать к формуле Эйлера-Маклорена.
❤❤
Я заметил у вас в видео такой технический недостаток. При каждом начале фразы, когда появляется голос, происходит щелчок в звуке. Подозреваю, что такое происходит из-за полной тишины в моменты без голоса, и в момент его появления происходит скачок в аудиодорожке
у меня на колонках не слышно... Ну либо это просто я не слышу.
Безмерное уважение автору, но подскажите, где этим формулам находится реальное применение?
Самый умный вопрос, который я встретил за октябрь. Или это комментарий ирония какая-то, может я что-то не понимаю...
Ну как сказать где, да везде, где надо считать интегралы, а их надо считать везде, хотя бы при решении дифференциальных уравнений. Ну а дифференциальные уравнения, как уже поняли, надо решать везде))
Вообще эти трюки с переходом от интеграла к сумме нужны для вычислений интегралов, которые не берутся аналитически, например, а через рекуррентные соотношения они вычисляются со сколь угодно точностью, а сложность вычисления сильно выше, чем применяя правило Рунге. Уверен, что есть и другие применения, но я с ними не сталкивался просто.
И никого не смутило, что под корнем минус логарифм - отрицательное значение, а про комплексные числа ни слова.
Предел не просто так от единицы СЛЕВА
в пределе t->1-0, т.е t всегда меньше 1 => -ln(t)>0
1/(1-t) - (t^(n²+1)-t^(n²+2n))/(1-t)
Ютуб совсем плохо работает. Очень было бы хорошо, если вы размещали ролики ещё на какой-нибудь платформе.
.
.