Bonjour, merci encore une fois pour la clarté de cet exposé qui met en place certaines propriétés de l'espace de Hilbert H^1(Omega), en particulier en dimension 1, le caractère continu sur [a,b] de toute fonction de H^1(]a,b[), alors juste pour plus de précision, on sait qu'une fonction de H^1(]a,b[) est en fait une classe de fonctions définies p.p. sur ]a,b[, ainsi le caractère continu sur [a,b] d'une fonction de H^1(]a,b[) mérite d'être convenablement défini. Dans la littérature sur ce sujet, une fonction u de H^1(]a,b[) est dite continue sur [a,b] dans le sens où il existe une fonction v continue sur [a,b] telle que u = v p.p. sur ]a,b[ c-à-d u admet un représentant (unique) continu sur [a,b], effectivement, vous vous êtes arrêtés à la conclusion u' = v' p.p. sur ]a,b[ avec v continue sur [a,b], autrement dit u = c + v p.p. sur ]a,b[ où c est une constante réelle, et u est bien continue sur [a,b] au sens de la définition précédente. Notons que pour u dans H^1(]a,b[), si on veut donner un sens à u(x) pour tout x de [a,b], il est utile d'identifier u avec son représentant continu. Merci pour vos commentaires.
Bonjour, tout ce que vous avez écrit est exact. Je n'ai pas insisté sur ce point de représentant continu, n'ayant pas vraiment abordé la théorie de la mesure et tout ce qui en découle. Merci pour vos précisions pour ceux qui pourront comprendre.
Merci beaucoup monsieur le professeur pour ce cours très merveilleux. Une préoccupation : est il possible de faire une étude des espaces de sobolev dans l'analyse floue ?
Merci encore pour les vidéos. Petite question : pour u=v pp à la fin on peut dire : integrale (u-v)phi' est nulle pour toute fonction phi' qui parcourt tout D(]a,b[) quand phi parcourt D(]a,b[) et conclure par densité ?
Avec plaisir ! Concernant votre question, oui on peut conclure, mais attention avec un résultat que vous trouverez chez H. Brézis, car dans ce cas, on a : u-v = C, p.p dans ]a,b[, (où C est une constante réelle), et donc, u'=v' p.p dans ]a,b[.
Merci beaucoup . une petite remarque, sauf si je n'est pas bien compris je pense que la propriété de 31:30 n'est pas correct car la fonction indicatrice de Q est dans H1(]a,b[) mais n'est pas continue.
Non elle n'est pas dans H1. Dès lors que vous avez une discontinuité, (par exemple comme la fonction d'Heaviside), vous perdez la propriété de L2 pour sa dérivée comme c'est le cas pour la fonction d'Heaviside dont la dérivée au sens des distributions est la distribution de Dirac qui n'est pas dans L2.
Bonjour, j' ai pas bien compris la fin on voulait montrer que u est continue et on c' est arrêté à u'=v' pp et v continu , c' est surement évident mais je vois pas .
@@MathematicsAcademy_MA Ah oui pardon si deux fonctions sont les mêmes pp les intégrales diffèrent d' une constante merci beaucoup c' est super ce que vous faites .
@@chrismen83240 Non, ce n'est pas comme cela qu'il convient de le formuler mais comme suit : l'intégrale de (u'-v')phi est nulle pour toute fonction phi dans D(]a,b[) (voir à 59:56), et la suite en découle, à savoir, que u'-v' est nulle presque partout dans ]a,b[, donc u-v est constante presque partout dans ]a,b[.
Bonjour, merci pour ses cours très clair. J'aurai juste une interrogation sur une construction possible des espaces de sobolev par un complété de l'espace préhilbertien C1([a,b],R)= (*) avec la norme : int(a-b) de f.g +int(a-b) f'.g' (mesure de lebesgue) j'ai l'injection de (*) dans L2([a,b]) Et grâce au plongement de kuratonski sur (*), j'ai une app continue de (*) vers un certain (*)° qui est complet. Et ainsi j'ai prolongement de (*)° dans L2([a,b]) donne le complété de (*) dans L2([a,b]). Mais comment identifier (*)° à l'espace de sobolev ? Est ce que c'est grâce à notre norme, qui force la localisation des dérivée dans L2([a,b])? Je sais pas si j'ai été très clair, mais j'ai fais au mieux.
Bonjour. Effectivement je ne vois pas comment cette construction permettrait d'identifier (*)° à l'espace de Sobolev H1. D'ailleurs, je ne crois pas non plus avoir déjà vu dans la littérature ce mode de construction pour définir H1. C'est la raison pour laquelle j'ai proposé dans ces cours le standard qui est généralement retenu sur ce sujet
@@MathematicsAcademy_MA On nous a informé que cette construction existait. Qu'on pouvait retrouver H1 par complété de C1 dans L2 (avec cette norme), j'essaye de comprendre comment, merci quand même.
@@a.s2639 J'ai dû mal me faire comprendre. Bien sûr que H1 est le complété de C1. Je vous renvoie au tout début du cours 22 de ce même cycle AMEDP, où par densité que H1 apparaît bien comme le complété de C1. Ce que je voulais vous dire, c'est que je n'ai jamais vu dans la littérature que ceci se faisait à l'aide du plongement de Kuratonski où le complété reste à déterminer. J'espère que cela est plus clair à présent.
J'aime grandement vos cours. Ça nous aide à clarifier beaucoup de choses en analyse mathématique des EDP.
Un grand Merci à vous Joel
Avec plaisir !
Merci encore pour votre effort de clarté ce qui fluidifie la compréhension de ce merveilleux cours
Bonjour, merci encore une fois pour la clarté de cet exposé qui met en place certaines propriétés de l'espace de Hilbert H^1(Omega), en particulier en dimension 1, le caractère continu sur [a,b] de toute fonction de H^1(]a,b[), alors juste pour plus de précision, on sait qu'une fonction de H^1(]a,b[) est en fait une classe de fonctions définies p.p. sur ]a,b[, ainsi le caractère continu sur [a,b] d'une fonction de H^1(]a,b[) mérite d'être convenablement défini. Dans la littérature sur ce sujet, une fonction u de H^1(]a,b[) est dite continue sur [a,b] dans le sens où il existe une fonction v continue sur [a,b] telle que u = v p.p. sur ]a,b[ c-à-d u admet un représentant (unique) continu sur [a,b], effectivement, vous vous êtes arrêtés à la conclusion u' = v' p.p. sur ]a,b[ avec v continue sur [a,b], autrement dit u = c + v p.p. sur ]a,b[ où c est une constante réelle, et u est bien continue sur [a,b] au sens de la définition précédente. Notons que pour u dans H^1(]a,b[), si on veut donner un sens à u(x) pour tout x de [a,b], il est utile d'identifier u avec son représentant continu. Merci pour vos commentaires.
Bonjour, tout ce que vous avez écrit est exact. Je n'ai pas insisté sur ce point de représentant continu, n'ayant pas vraiment abordé la théorie de la mesure et tout ce qui en découle.
Merci pour vos précisions pour ceux qui pourront comprendre.
Merci beaucoup cher professeur pour votre générosité.
Un super cours, encore un grand merci.
Merci à vous pour votre appréciation.
Encore une fois , un très grand MERCI
Votre explication est superb
🎉🎉🎉🎉🎉🎉
Merci infiniment Monsieur
Merci beaucoup monsieur le professeur pour ce cours très merveilleux. Une préoccupation : est il possible de faire une étude des espaces de sobolev dans l'analyse floue ?
Avec plaisir !
Malheureusement je ne connais pas très bien l'analyse floue .. 🤔
Merci encore pour les vidéos.
Petite question :
pour u=v pp à la fin on peut dire :
integrale (u-v)phi' est nulle pour toute fonction phi' qui parcourt tout D(]a,b[) quand phi parcourt D(]a,b[) et conclure par densité ?
Avec plaisir !
Concernant votre question, oui on peut conclure, mais attention avec un résultat que vous trouverez chez H. Brézis, car dans ce cas, on a : u-v = C, p.p dans ]a,b[, (où C est une constante réelle), et donc, u'=v' p.p dans ]a,b[.
Merci beaucoup monsieur
Merci beaucoup . une petite remarque, sauf si je n'est pas bien compris je pense que la propriété de 31:30 n'est pas correct car la fonction indicatrice de Q est dans H1(]a,b[) mais n'est pas continue.
Non elle n'est pas dans H1. Dès lors que vous avez une discontinuité, (par exemple comme la fonction d'Heaviside), vous perdez la propriété de L2 pour sa dérivée comme c'est le cas pour la fonction d'Heaviside dont la dérivée au sens des distributions est la distribution de Dirac qui n'est pas dans L2.
Merciiiiiii continue
Merci bcp ❤️
Merci beaucoup
Bonjour, j' ai pas bien compris la fin on voulait montrer que u est continue et on c' est arrêté à u'=v' pp et v continu , c' est surement évident mais je vois pas .
Bonjour. Comme v est continue et que u est égale à v à une constante additive près, u est aussi continue. cqfd !
@@MathematicsAcademy_MA Ah oui pardon si deux fonctions sont les mêmes pp les intégrales diffèrent d' une constante merci beaucoup c' est super ce que vous faites .
@@chrismen83240 Non, ce n'est pas comme cela qu'il convient de le formuler mais comme suit : l'intégrale de
(u'-v')phi est nulle pour toute fonction phi dans D(]a,b[) (voir à 59:56), et la suite en découle, à savoir, que u'-v' est nulle presque partout dans ]a,b[, donc u-v est constante presque partout dans ]a,b[.
Bonjour, merci pour ses cours très clair. J'aurai juste une interrogation sur une construction possible des espaces de sobolev par un complété de l'espace préhilbertien C1([a,b],R)= (*) avec la norme : int(a-b) de f.g +int(a-b) f'.g' (mesure de lebesgue) j'ai l'injection de (*) dans L2([a,b]) Et grâce au plongement de kuratonski sur (*), j'ai une app continue de (*) vers un certain (*)° qui est complet. Et ainsi j'ai prolongement de (*)° dans L2([a,b]) donne le complété de (*) dans L2([a,b]). Mais comment identifier (*)° à l'espace de sobolev ? Est ce que c'est grâce à notre norme, qui force la localisation des dérivée dans L2([a,b])?
Je sais pas si j'ai été très clair, mais j'ai fais au mieux.
Bonjour. Effectivement je ne vois pas comment cette construction permettrait d'identifier (*)° à l'espace de Sobolev H1. D'ailleurs, je ne crois pas non plus avoir déjà vu dans la littérature ce mode de construction pour définir H1. C'est la raison pour laquelle j'ai proposé dans ces cours le standard qui est généralement retenu sur ce sujet
@@MathematicsAcademy_MA On nous a informé que cette construction existait. Qu'on pouvait retrouver H1 par complété de C1 dans L2 (avec cette norme), j'essaye de comprendre comment, merci quand même.
@@a.s2639 J'ai dû mal me faire comprendre. Bien sûr que H1 est le complété de C1. Je vous renvoie au tout début du cours 22 de ce même cycle AMEDP, où par densité que H1 apparaît bien comme le complété de C1. Ce que je voulais vous dire, c'est que je n'ai jamais vu dans la littérature que ceci se faisait à l'aide du plongement de Kuratonski où le complété reste à déterminer. J'espère que cela est plus clair à présent.
@@MathematicsAcademy_MA ah d accord, oui merci je comprends mieux alors.
j'ai une question
Posez là ! 🙂