"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности
Вставка
- Опубліковано 15 сер 2023
- В этом видео будем находить среднее расстояние между точками на окружности. Рассмотрим 2 похожих случая распределения точек на окружности, которые дают в результате разное значение для среднего расстояния.
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
Можно считать и в декартовой системе, но плотность распределения нужно применять не к абсициссе, а к развертке полуокружности.
Тогда в функцию распределения вероятности напрямую попадает число Пи.
Если к сути вопроса , то равномерная плотность распределения вероятности по абсциссе и по окружности это не одно и тоже.
Слева - мы покупаем, справа - мы продаем.
Данная проблема (о равномерном распределении точек на окружности или сфере) имеет и прикладное значение (например в создании 3d моделей). Можно задавать координаты декартово, тогда в некоторых областях будут наблюдаться сильные отклонения от "правильного распределения". Поэтому задают распределение параметрически, чтобы получить фигуру более похожую на сферу)
Ну это классическая задача, приводящая к четвертой проблеме Гильберта😊
Вы так хорошо рассказываете о математике, в особенности о мат. анализе и близких к этому. Очень хочется увидеть побольше других разделов математики на вашем канале (например топологии и тд.). Также огромное спасибо за ваш труд :)
Как всегда, бесподобная подача материала, спасибо огромное !!!🙏
Ох уж эти математики, зачем усложнять, приняли пи = 3 и разошлись дружно))
Аххахаа
7:24 Говорить, что в первом случае точки по окружности распределены равномерно, нельзя, поскольку равномерно распределены проекции точек окружности на ось абсцисс. При равномерном распределении проекций точек на ось абсцисс сами точки по окружности будут распределены неравномерно - плотность распределения точек на окружности будет больше около оси ординат и меньше около точек (-1, 0) и (1, 0)
Меня всегда это напрягало на олимпиадах, что просят найти что-то среднее, но не пишут что случайно распределено и как, как будто это будет подсказкой
В первом случае всё предельно ясно - количество хорд равно диаметру, а вот их длины изменяются по нелинейному закону, поэтому не канает простое среднее арифметическое от 0 до D (или от минус R до R).
А вариант, где угол и косинус - это совсем другая задача.
Давно задумывался над этим вопросом. Спасибо за великолепное объяснение.
Спасибо за познавательное видео с хорошими иллюстрациями.
Есть такая мысль, почему разный результат.
Выбор точки А(1,0) за конец отрезка допустим, если у нас все точки эквивалентны, т.е. выбор любой точки М и поворот окружности до совмещения т.М с т.А не приведет к изменению расстояния (что выполняется), но и плотности распределения случайной велечины Х. Но, если мы возьмем точку С(0,1), при равномерном Х и повернем ее до точки А(1,0), то у нас оси Х и У поменяются местами, и теперь ось У будет иметь равномерно распределенный точки. Но, координаты Х и У связаны уравнением окружности, а принимая плотность Х равномерной, мы получим, что плотность У будет f(х) = √ 1 - х² , она не равномерна.
Отсюда и разница в полученном результате. По идеи, вместо равномерного распредлеления плотности, нужно найти такое распределение, которое будет оставаться одинаковым при повороте окружности на любой угол. Что в принципе, и дает выбор случайной величиной угла φ.
Либо нужна иная расчетная схема, когда оба конца отрезка "плаавают".
это по сути объяснение почему первая функция плотности не верная, т.к. она задавала плотность не точек на окружности которые нам нужны и подразумевались в задаче, а распределение x, которое от нас не интересовало, что собственно и было показано в конце ролика в виде распределения точек.
Вроде изначально ставилась задача о средней хорде, а потом автор зачем-то пополз по диаметру. Нужно было зафиксировать вершину угла и рассматривать только точки его пересечения с окружностью. Тогда всё будет математически верно. С одним нюансом - мы получим другое количество хорд. Но это легко объяснить через интеграл длины дуги. Просто такой способ решения применим для совсем другой задачи! Потому и результаты разные.
Первый вариант решения - неверный.
Ну или, если угодно - не соответствует постановке задачи.
Давно не смотрел тут видео, решил открыть, и о чудо, нормальный звук! Невероятно!
Сначала думал, куда же Остапа понесло, почему так неверно берётся распределение (по оси х), но так как услышал начало, ждал корректного решения, которое и оказалось в конце ролика :)
Спасибо большое, очень поучительно!
Супер! Не только досмотрел до конца, но и всё понял. Парадокс Бертрана чем-то напомнило, и думаю не случайно. Подписка и наилучшие пожелания автору)
Тем что случайный выбор обязан быть равномерным, иначе лажа.
Среднее значение случайной величины всегда характеристика распределения. Какое распределение построим - такое среднее и получим. А сейчас посмотрю, какие 2 распределения в данном видео :)
Когда говорим про окружности, то правильно равномерной плотность распределения считать не для Х, а (после перехода к полярным координатам) для угла. В этом случае распределение точек по окружности реально будет равномерным.
Указанное допущение приводит к неверным дальнейшим рассуждениям. Равно как расстояние между параллелями всегда одинаковое по поверхности Земли, но расстояние между их проекциями на ось "Северный Полюс - Южный Полюс" при приближении к экватору увеличивается.
=====================
Я это писал, когда услышал про равномерное распределение по Х. Не досмотрел видео.
Автор молодец, что показал второй вариант -- равномерного распределения по углу.
А также молодец, что объяснил разницу.
👍
Спасибо вам
Как говорится, не баян, а классика!
Классно, просто и ясно)
Посчитайте для сферы среднее расстояние между двумя случайными точками (естественно подразумеваем равномерное распределение точек на поверхности сферы). Ответ получается удивительный.
Браво👍
в первом случае не верно принимать распределение равномерным относительно оси х, т.к. если по окружности равномерно расставить точки, то от края окружности (вдоль х) к центру на равное расстояние по х будет разное количество точек.
если уж на то пошло, то точек бесконечное множество, так что поясните, что значит "разное" количество точек в отношении бесконечного несчетного их числа. А во-вторых, что значит "не верно", в каком смысле "не верно"? Т.е вам не нравится само условие задачи?
@@Hmath да я написал комментарий до того как досмотрел видео) вопрос не в условии задачи, а в допущении равномерного распределения относительно оси х
@@Hmath Может показаться, что ваш первый вариант это нарушение симметрии, специально выбранная ось {0, 0}.. {1, 0}. Но это не так. Если выбрать произвольный диаметр и произвольно одну точку на пересечении его с окружностью, вся задача просто повернётся и даст тот же ответ.
Но вообще можно накидать целую кучу «естественных» определений среднего, причём разных. К примеру: берём точку из равномерного распределения точек круга, а потом для нее случайно выбираем направление секущей прямой, из равномерного распределения углов от 0 до 2π. Ну, и так далее...
да я и хотел показать, что понятие "среднего" напрямую связано с тем, какое выбрано распределение. А оказалось, что для кучи людей есть какое-то "канонически-ортодоксальное среднее", а все остальное - "неистинное". Сплошная математическая инквизиция.
@@Hmath если за случайную величину взять высоту от линии к максимально удаленной точке дуги то мы придем как раз к среднему арифметическому что уж точно канонически ортодоксальней и ответ получается другой
Спасибо за видео. Вспомнилось как считают, когда иголку на круг кидают, точнее как считать pi (конец иглы учитывать или иголку целиком), если я ничего не путаю. С вероятностями всегда так, это ж просто механизм, а интерпретации могут быть разными. Ну а а данной задачи ещё и метрику надо считать (переход от одних координат к другим, т.е.якобиан)
Класс!
Ну второй случай и интуитивно, и методически более правильный. Хотя, конечно, можно придумать еще немало способов случайного, и, может быть, в том или ином смысле равномерного распределения. В каких-то задачах они могут оказаться более правильными.
А в случае сферического коня в вакууме второй способ из видео представляется наиболее верным.
Классно)
Комментарий для продвижения
Сразу решил со вторым вариантом распределения. Первый отмел после полуминуты раздумий. Только выбранные точки на окружности фиксировал по другому. Я сделал допущение, что после выбора точек окружность всегда можно развернуть так, что отрезок встанет вертикально. Тогда в формуле расстояния не будет корня, а только 2y = 2 sin (t). Расчеты многократно упрощаются при том же ответе.
Пока слушал сразу мысли пошли про тригонометрию, синусы и косинусы. И когда увидел первый способ сразу недостатки заметны. Раз говорим об окружности, то и распределение идет по окружности.
Только вот в матожиданиях и производных не шарю, поэтому дальше тёмный лес остался
Здравствуйте, в наслаждаюсь доступной математикой, красивой подачей и понятными объяснениями! Вы не могли бы записать видео о том, как биномиальное распределение плавно перетекает в нормальное (если этого еще нет), а также о том, как распределение Пуассона становится нормальным? Качественного я пока не нашел, точно знаю, что, если поставите задачу, то получится строгое и красивое доказательство! Спасибо Вам за Ваш канал!
Круто, можно больше роликов по сферической статистике?
Тут сначала надо задать определение "среднего расстояния", потом уже решать. А вообще физики с лёгкостью решат спор в зависимости от того, что конкрентно им нужно. Напрямер есть радиационное ислучение и надо знать, какой процент будет поглощён шаром. Если излучение идёт из бесконечно удалённой точки, это одно, если из точки на поверхности шара, это другое и т.д.
В физике такие приколы бывают со средней частотой спектра и средней длиной волны. И ещё, чтоб никому не обидно было, на логарифмической шкале можно среднее поискать
Для полноты картины имеет смысл посчитать двойной интеграл для двух случайных точек на окружности, каждый от 0 до 2пи - вольфрам даёт 4/пи.
Очень интересное видео ровно как и прием с фиксацией точки. Можете рассмотреть схожую в этом приеме задачу: найти вероятность, что случайные 3 точки на окружности образуют такой треугольник, что середина окружности будет лежать в нем, а после рассмотреть задачу в общем случае для n-мерного пространства. Думаю, хорошее выйдет видео.
Частный случай этой задачи для 4 точек на трёхмерной сфере был на олимпиаде Путмана, правда, не помню какой год
@@therealmba7642 3b1b делали видео на эту задачу
@@therealmba7642 ua-cam.com/video/OkmNXy7er84/v-deo.html
Помню, подобные моменты рассматривались в одной из книг Мартина Гарднера
Круто
Решил пояснить. Думаю, что не совсем корректно поставил условие задачи изначально.
Сначала сказал, что расстояние не зависит от того, как выбрать одну из точек и поставил её сразу в координаты (1,0). Это оказывается верным именно для второго распределения (где равномерно распределен угол). А для первого, увы, это оказалось не так (сейчас численно нашел соответствующий интеграл без привязки точки А к координатам (1,0)).
Другими словами, решал задачу в следующей формулировке: "Пусть точка А имеет координаты (1,0), а B размещена случайным образом на верхней полуокружности. И нужно найти среднее расстояние между ними. В первом случае координата х точки B распределена равномерно, а во втором угол"
Почему-то только сейчас я об этом всём подумал :)
Забавно наблюдать, как кто-то оспаривает "естественность" и "истинность" условия задачи. Заметьте, что эта задача аналогична задачам по нахождению центра тяжести тела (или кривой линии, например). Но там обычно никто не оспаривает условие, если говоришь, что плотность в теле неоднородна и задана какой-то более сложной функцией.
И странно, что так мало людей могут открыть википедию и посмотреть, что же такое "среднее", что существует разные определения и т.п, если уж не слышат, что именно об этом я говорю в видео.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
а на бесконечности сумма зможет ависить от порядка слагаемых ;-) Всё, пошутил, вернулся к Вашему объяснению. p;.s. мне очевидно, что мы рассматриваем далеко не все отрезки, лежащие на дуге (-1;1), а предположение (допущение) я не услышал. Задача интересная и понятная (если не читать Ваш комментарий выше :) ) а вот решение не понятно, вообще, и кажется грубым. Сходу, вижу отрезки, соединяющие каждую точку левой полудуги со всеми точками правой. Так, вроде, ровно половину и переберём. Если чё не так понаписал, завтра поправлю а то уже час этого завтра прошёл :)
Я написал одноклеточную программку на JS, которая разбивает пи на 10000 углов и по каждому считает длину хорды. Получилось с погрешностью близко к 4/PI (1.2732395447351628). Код, я думаю, ютуб не пропустит :)
Ну я попытаюсь :)
const c = 10000;
const p = Math.PI / c;
let sum = 0;
for(let i=0; i
@@ted_res ну, где 10 тыщ, а где бесконечность? Есть такая штука, как предельный переход и он не так тривиален, как кажется на первом курсе. Тут, вроде, не вычислительная математика ;-) Покажите интеграл Ваш как выглядит. Или вы без интеграла кодить полезли? Будьте осторожны, был я так же молод :)
@@ted_res а Вы быстро и легко кодите? Пожалуйста, посчитайте мне ab*c=de*f=gh*i где буквы - это цифры от 1 до 9, ab - это число 10*a+b и т.д. А то ответ забыл, а программатор доставать очень неохота)
То чувство, когда решал эту задачу недели 2 назад и на 3/4 остановился радостный...
3/4 чего?
@@user-is8wy2od1j ответ, что средний радиус равен 3/4. То есть, решил звдачу не верно
@@therealmba7642 Средний радиус - это что за понятие? А вот средняя хорда равна "пи-эр-на-два". пR/2.
И я тут подумал на досуге - это касается не только параллельных хорд, но и всех сущих. Поскольку весь массив непараллельных хорд непроизвольно группируется в массивы параллельных.
Для плоской окружности.
@@user-is8wy2od1j оговорился, действительно средняя хорда, а по поводу параллельных и остальных хорд да, полностью согласен
Как я представляю, задача сводится к нахождению среднего значения для функции sin x для отрезка x от 0 до π, если мы считаем в радианах, и умножению этого значения на 2. Получается вроде бы 4/π, но по-моему, в задаче говорилось, что за 1 принимается диаметр окружности.
Выборку надо, конечно, брать по углам, так как тогда вне зависимости от шага интегрирования, все точки будут распределены по окружности равномерно, а если считать гипотенузы, то часто точек практически выпадет, это проверяется любой попыткой математически начертить окружность точками.
Что касается того, почему именно синус, то поскольку линии между двумя точками на окружности могут быть под любыми углами к любой оси координат, их можно свести к одному направлению, например, вертикальному. Также понятно, что можно считать в пределах одного квадранта из-за симметрии. Ну и понятно, что всякая вертикальная прямая на отрезке от точки на окружности до оси x имеет длину вычислимую или через формулу Пифагора или через синус, но так как распределять их лучше углами, раз уж мы считаем не площадь, а среднее расстояний, то считать надо через синус.
При этом сама магия вычисления интеграла для меня по-прежнему, не совсем понятна из-за недостатка образования, но срзнач в excel явно стремится к значению 2/π при уменьшении шага.
Не думаю, что это парадокс. Вы правильно сказали, что зависит от того, как считать. А правильно считать углом. Потому как хоть функции и непрерывны, но их плотности на окружности разные. Так как считается среднее арифметическое распределение на окружности, то и систему нужно брать радиальную.
Например, если считать чтото сред. на произвольной кривой, то систему нужно брать "тангенсальную" к этой кривой. Правильно я понимаю?
Среднее значение не связано с вероятностью. Задачу можно переформулировать так, что это станет очевидным: "Найти среднее значение от точки А, находящейся на окружности, до всех точек на этой окружности". Очевидно, что правильное решение - ваш второй вариант.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
какое именно не связано? для непрерывной случайной величины вообще нет другого определения среднего, которое бы не было связано с вероятностью.
@@Hmath Для нахождения среднего значения нужно просуммировать все значения и разделить на их количество. Пройдёмся по точкам на окружности. Пусть расстояние между точками равно дельта. Тогда получится некая сумма из N элементов. Устремим дельта к нулю - получим интеграл. И никакой вероятности.
@@antiputin9680в случае равномерного распределения ваш способ вполне рабочий. А если распределение не равномерное? Какие будете брать интервалы?
@@maxm33 При чём здесь распределение? Речь идёт о том, чтобы найти среднее значение ВСЕХ величин. А ВСЕ величины на кривой и есть предел при расстоянии между точками стремящимся к нулю.
@@antiputin9680чел, интеграл по плотности это вероятность если что
Парадокс Бертрана похожая штука, причем его можно сформулировать в элементарных терминах
Чего ищете, то и обрящете 🤩
Было очень интересно! Раньше почти никогда не применял матожидание к не дискретной величине.
Забавно было об этом узнать. Матожидание как раз более обычно считается для действительных чисел.
@@Micro-Mooлюбой физик с вами не согласится )
@@dmitriy_vasy «любой физик с вами не согласится...» Смайлик в вашем комментарии увидел, так что всё в порядке... Совершенно непонятно, с чего это такой вывод. И то и другое можно применить к физике, что не так?
Да, как раз в классической физике случайные величины, как правило, не дискретны. В квантовой механике своя атмосфера )
хорошо:))))
Есть и другой способ задать хорду, не фиксировать одну точку, а ставить обе точки симметрично, относительно вертикальной оси, и задавать их углом от 0 до Пи/2.
А если угол будет между касательной и хордой в точке А?
Длина хорды тогда будет 2синуса.
Я с математикой плохо дружу, но мне нравится математический ютуб.
Вопрос по распределению точек у меня возник в самом начале. Но для себя я более логичным нашёл второе решение!
Классно! Только в конце не хватает резюме для тех кто не сильно в теме, что мол правильный способ вот такой а не такой.
Парадокс Бертрана покинул чат
это все очень интересно. Но если брать за случайную велчину не прямую ОХ а дугу окружности? Тут я конесно имею ввиду не саму случайную величину, а ее распределение. Ведь в примере на видео мы имеем косинусоидальное преобразование равномерно распределенной величины, то есть вообще видео не о том по сути свой
почем из одной точки все линии чертятся?
Интуитивно кажется, что второй случай с равномерным распределением по углу правильный, а с равномерным распределением по абсциссе неверный. Но как доказать, не понятно
неверный для чего? :) а если бы было не равномерное распределение вообще, а нормальное, например? :)
@@Hmath как будто оно противоречит определению окружности
@@Hmathпервый вариант неверный именно из-за вашей формулировки условия. Когда вы говорите о расстоянии между двумя случайными точками на окружности, то вы вводите точки на окружности как некий определяющий элемент. На окружности бесконечно много точек, но если вы начинаете определять их координаты первым способом, то плотность точек на разных участках окружности разная. То есть распределение по окружности уже не равномерное, а ведь первичны здесь точки на окружности, а не их координаты в какой-то определенной координатной системе.
Вот если бы в самом начале вы сказали о случайных хордах, то все стало бы совсем иначе. Ведь генерация случайных точек на окружности - это лишь один из способов генерации хорд. И там подымается вопрос о том что важнее - равномерное распределение точек на краях хорды по окружности, или же распределение хорд по площади круга, определенного окружностью.
А так, ИМХО, вы изначально дали слишком хорошо сформулированное условие.
@@user-zg2pf5rt7q все, что сказал действительно неточно в видео, я описал в прикрепленном комментарии выше.
То, что вы ходите сказать, я так и не понял. Но скорее всего это что-то типа: "это распределение ненастоящее". Об этом я уже устал отвечать ниже в комментариях. Если коротко: ненастоящих распределений не бывает. Распределение можно задать как угодно (если оно отвечает определенным требованиям), и пока оно не задано, ни о каком "среднем" говорить нельзя.
@@HmathВам говорят, что распределение неравномерное в первом варианте, а вы опять со своим "ненастоящим".
Отличное видео и интересный парадокс! А можете подсказать, как реализовать такую анимацию точек по окружности, как у вас в начале ролика?
программа geogebra
Есть еще и третий вариант распределения.
Если не фиксировать одну точку, а равномерно распределять хорды относительно окружности, то получаем ответ Pi/2
Любую хорду на окружности можно определить одной точкой внутри окружности (его пересечением с перпедикулярным радиусом).
Далее у нас хорда определяется углом радиуса, и точкой на этом радиусе. Угол можно выкинуть, т.к. он тут ни на что не влияет.
Далее делаем равномерное распледение точки на радиусе (от 0 до 1)
длинна полченной хорды будет 2*sqrt(r^2-x^2), где x это расстояние точки от центра, а r - радиус. Т.к. радиус равен 1, получаем 2*sqrt(1-x^2).
Далее берем интеграл для от 0 до 1 по 2*sqrt(1-x^2) dx, получаем ответ Pi/2
Если радиус 1, а центральный угол x, то расстояние между точками 2sin(x/2), надо найти интеграл от 0 до 2pi от 2sin(x/2)dx, это -4cos(x/2) с подстановкой от 0 до 2pi, т.е. 8, и разделить на 2pi: 8/2pi=4/pi - это и есть среднее расстояние между точками.
Молодец, посмотрел видео
@@Esseker ага, написал и затем посмотрел, совпало
Это у Вас верно , про высчитывание среднего значения . Вот возьмём вместо двух точек - двух человек . У одного в банке 0 , а у второго - 1 млн у. е . В среднем у них по 0,5 млн у. е . Но учитывая распределение : у второго млн распределён на трёх счетах - получим по четверти млна в среднем на счету . А если смотреть - каким способом считать , то : млн у. е на заграничных двух счетах , а не на другом "зарплатном" , и в декларации не указан этот млн у. е и нет данных про него в налоговой , а живёт он на одну зарплату чиновника , которую он типа полностью тратит до начисления на счёт следующей . Ну а средняя зарплата у нас вычесленна с точностью до копейки и очень далека от пол млн у. е. - первого среднего значения .
Возьмем малькенький отрезок X=0.01. Если в середине длина отрезка окружности будет примерно 0.01. А если взять этот отрезок справа, то справа точка будет иметь координаты (0.99 , 0.14) и длинна отрезка окружности будет примерно 0,14 то есть в 14 раз длиннее, чем в середине. Окружность не имеет равного распределения по Х. Поэтому первый способ неверный и применять его нельзя
Достаточно поучительное видео в том смысле, что результат может быть разным в зависимости от того, что понимать под "средним". Лично для меня первый вариант несколько "неестественный", потому как находится среднее расстояние между точками на окружности и, следовательно, точки должны быть распределены равномерно именно на окружности, а не где-то еще (если говорить иначе, линейная плотность точек на окружности постоянна). А так-то плотность можно задать любой ))) Вообще ход моих мыслей в первые секунды обдумывания был таким: нижняя граница среднего расстояния - радиус, верхняя - sqrt(2)*радиус, далее, учитывая симметрию, фиксируем одну точку и рассматриваем полуокружность; далее задаем координаты второй точки параметрически, изменяя угол от 0 до pi, интегрируем, получаем ответ. Что, собственно, и было сделано во второй части видео )
И хорошо, что в видео было сделано обобщение до математического ожидания с целью показать, как разные плотности распределения влияют на конечный результат.
Не то что не естественно, просто ужасно неестественно. Как делят например МКАД на километры? Явно не первым способом.
@@user-vm4sz1qn2s Первый способ добавлен именно для сравнения )
Очень красиво получилось что разница между 3 и π
Ну знаете... Так запутать задачу - это надо уметь! Надо было выражать результат через радиус, а не через эксцентриситет дисперсии математического ожидания (шютка).
Несколько лет назад я натолкнулся на задачку о средней хорде. В сущности, ролик об этом, но способ решения иной.
Автор получил два результата. А в моем случае было три результата. Собственно, четыре, но два совпали. Завтра покопаюсь в архивах - возможно, автор таки нашел четвертый, а то и пятый вариант результата, сравню со своими.
В общем, если взять окружность, то средняя хорда находится легко. Но если рассматривать окружность как проекцию шара в процессе поиска объема его поверхности как суммы длин описанных вокруг него концентрических окружностей (задачка решается через интеграл длины дуги), то если диаметр энной описанной окружности принять за энную корду, вы получите совсем другое значение средней хорды, ибо их оказалось разное количество!
Далее, если объем шара рассматривать как сумму всех его сечений, а диаметр каждого сечения - как хорду, то при этом средняя хорда снова изменит своё значение.
Вот такие пироги...
Кстати, все три (даже четыре - четвертый вариант тоже решается через угол, как и в ролике, но без косинуса) варианта задачи решаются без напряга и без теории вероятностей.
Функцию распределения вообще стоило бы наверное вынести в условие, а то в середине решения просто из головы берём её. Если, например, случайной величиной будет угол центральный угол АОВ (О центр), то распределение было бы другое. Короче условие недописано.
Ну конечно , более правильный подсчёт - через угол , потому что тогда точки равномерно распределены именно на окружности . А вот если бы кривая была более сложной формы - тогда надо было бы распределять точки по длине кривой ... пришлось бы криволинейный интеграл считать , это вообще была бы "вешалка" 🙂
Только начал смотреть.. Вангую, дело в том, что зависит от постановки задачи. Выбирать отрезок можно как минимум четырьмя способами, два из которых дадут ответ ноль
А какое среднее значение между точками в круге, на сфере и в шаре? А в многоранниках?)
разное ;) какую-нибудь ещё подобную задачу сделаю
Мне кажется автор немного намудрил с интегрированием. Почему бы просто не проинтегрировать функцию хорды? Это D*sin(α/2) от 0 до π и разделить все на π? Первообразная получится D/π*(-2cos(α/2)). Подставляем пределы от 0 до π и получаем 2D/π. D - диаметр. Просто из геометрии очевидно, что хорда - это радиус умножить на синус половины центрального угла и умножить все на 2.
4/3 неверно в случае «по умолчанию», то есть точки равномерно раскиданы по окружности: равномерно раскидано по отрезку нечто другое, x-координата. 4/π верно.
тогда во 2ом случае равномерно раскиданы не точки, а угол :)
но вообще я не спорю с тем, что у кого-то "по умолчанию", я просто сразу оговорил с каким условием решаю, поэтому понятие "неверно" неуместно.
Но я ниже уже ответил в комментарии, что согласен с тем, что не совсем корректно в самом начале поставил условие задачи, увы.
@@Hmath Но угол пропорционален длине дуги - так что с равномерным распределением дуги равномерен и угол.
На 4:20 кажется ошибка, в формуле потерялась d'(x)
А еще интересно, что второй ответ приближается к корню квадратному из величины золотого сечения
Учёт якобиана перехода в полярную систему координат тут не требуется, во втором случае?
якобиан - это про двойной или тройной интеграл (или больше). Тут ведь нет двойного интеграла.
Сразу подумал о том что равномерное распределение по x это не равномерное распределение по дуге окружности. А предполагая выбор случайных точек на окружности нужно предполагать все таки равномерное распределение по дуге.
Более правильно с привязкой к числу "Пи". Пи здесь нужно потому что, имеется ввиду отношение хордьі (считай диаметра) и длиньі дуги окружности (чисто случайньіе величиньі лежат на ней равномерно).
Нет ничего «более правильного». Можно несколькими способами определить «среднее» и получить несколько разных ответов. Ни один из них не будет ни лучше, ни хуже другого.
@@Micro-Moo Все верно сказано - есть более правильные методы. И здесь правильнее именно в полярных координатах считать. Объясню гуманитарным образом, без формул. Первый принцип расчета среднего расстояние считает нам расстояние, словно мы идем именно по этой хорде словно по прямой пешочком. Второй принцип предполагает движение по окружности и какой-то большой карандаш рисует параллельно с нашим движение хорду. Если овечка привязана к колышку, и мы предполагаем, что она хочет уйти от него, то она будет идти в пределах радиуса, т.е. по дуге, а условный карандаш каждый раз ее "побега" по дуге будет рисовать хорду. Из 100 попыток "бегства" она пройдет 100 дуг и нарисует с помощью карандаша 100 хорд. Именно средняя величина этих 100 хорд и будет средней длиной отрезка АБ, вот только измеряли мы их не напрямую, а с помощью дуг. А теперь представьте задачу другу - нам нужно найти среднее расстояние между двумя точками на окружности, но только двигаться мы можем тоже только по окружности, т.е. найти не длину хорды, а длину дуги. Вот здесь можно вообще не рассматривать полярные координаты, а взять на вооружение первый способ. Работает простой принцип логики - мы можем выбрать точки А и Б точно также, только вот рисовать длину между ними у нас есть только один способ - по ходу движения по окружности. Но мы можем вытянуть эту полуокружность в настоящую прямую мысленно. Тогда расстояние от А до Б - это просто расстояние на отрезке прямом. Сами точки полного отрезка распределены равномерно, а значит и средняя длина отрезка АБ - это просто половина полного отрезка. А так как полный отрезок - это длина полуокружности вытянутой, то его длина Pi*R. Значит средняя длина АБ - Pi*R/2.
@@user-ts1kn7xx6j «есть более правильные методы» Да всё отлично, кроме одного: нет никакого критерия «правильности». Как и нет универсального понятия о «среднем». Прям вопрос о вкусах. Давайте дополнительно обострим ситуацию, чтобы уж совсем стало симметрично. Произвольно выбираем локацию на земном шаре, долготу и широту. Каково «среднее» положение выбранной точки? Смешно, правда? 🙂
@@Micro-Moo Пи здесь!
@@user-ts1kn7xx6jвообще, привязаная овечка так то по спирали пойдёт, к центру😏🙃
В первые увидел эту задачу в книги В. Арнольда, тогда я решил то что дыры в распределении меня не устраивают, и посчитал что угол случайный, тогда у меня получились теже 4/pi
Я думаю, что никакого парадокса здесь нет. Очень правильно автор ролика сделал акцент на то, что решающее значение имеет тот факт, от какой именно величины мы отталкиваемся. В случае же с окружностью вполне обоснованно предположение о том, что точки на ней распределены равномерно, а значит имеет место именно второй вариант расчёта и равномерно распределён угол фи.
вот самый коренной вопрос - а зачем это среднее расстояние вообще нужно? Не очень представляю себе прикладные задачи, где это знание решало проблему
Мне думается что вычисление среднего расстояния корректно только при равномерном распределении точек на окружности т.к. такой способ распределения единственный, а способов неравномерного распределения множество. И для вычисления искомого для этого множества способов все равно потребуется задача иного равномерного параметра, в результате чего мы все равно получим решение для равномерно распределенных точек. Только решение будет более сложным и в два этапа.
Т.е. вам ( для первого способа) надо было найти еще и решение для равномерного распределения по оси Y. А затем найти среднее значение для этих двух условий. И оно как раз будет стремиться к значению пи в знаменателе.
я, пожалуй, в чём-то сейчас даже соглашусь. А именно в том, что не совсем корректно поставил условие задачи изначально.
Сначала сказал, что расстояние не зависит от того, как выбрать одну из точек и поставил её сразу в координаты (1,0). Это оказывается верным именно для второго распределения (где равномерно распределен угол). А для первого, увы, это оказалось не так (сейчас численно нашел соответствующий интеграл без привязки точки А к координатам (1,0)).
Другими словами, решал задачу именно в такой формулировке: "Пусть точка А имеет координаты (1,0), а B размещена случайным образом на окружности. И нужно найти среднее расстояние между ними. В первом случае координата х точки B распределена равномерно, а во втором угол"
Почему-то только сейчас я об этом всём подумал :)
Ждал, когда начнётся простое и видео щакончилось
Люди до того, как изобрели линейку:
косинус притянут за ущи, кмк
Скажем так - необоснованное утверждение о возможности подобного пути решения при заданной постановке. Всё же математика - не русский язык, а достаточно строгий язык науки, котоый не позволят собой распоряжаться "ка хочешь".
Но видео в целом иллюстративно - класс
Я с самого начала oxrenel, когда собирались равномерно разместить точки на окружности, а вместо этого приняли равномерное размещение точек на оси X (на прямой)
"когда собирались равномерно разместить точки на окружности". А когда собирались?
@@Hmath Примерно до третьей минуты речь шла о точке В (о местах размещения точки В) лежащей на окружности, что соответствовало условиям задачи. Но потом вдруг продолжили решение приняв, что возможные места размещения точки В равномерно распределены относительно оси Х. Как равномерное размещение точки В на окружности, может соответствовать равномерному размещению её проекции на ось Х?
@@otprot1347 никак. Но вы, наверно, другое видео какое-то смотрели. Тут до 3ей минуты нигде не говорилось о "равномерном распределении точек на окружности", а потом говорится об условии задачи, которая будет решаться. И одним из условий задачи было равномерное распределение координаты х, а потом эта задача была решена с другим начальным условием: равномерное распределение угла.
@@Hmath Да, дословно не говорилось, я согласен. Но говорилось, что точка В расположена на окружности. И в контексте условий задачи, именно на окружности и следовало принять её равномерное распределение.
в обоих случаях точки расположены на окружности, а не где-то еще. Но в первом случае одно распределение этих точек, а во втором другое. Непонятно, почему нужно принимать именно какое-то определенное. Почему нельзя другое? Так размышляете, как будто от этого "среднего" зависит чья-то жизнь. Совсем наоборот: это "среднее" исключительно, как пример, который должен был показать, что его значение зависит от того, что именно подразумевать под этим понятием (а определений среднего очень много разных). А в итоге, столько комментарием одинаковых о том, что я нарушил какой-то канон, что есть какое-то "истинное" распределение, которое всеми подразумевается по умолчанию. Да и самому мне уже надоедает отвечать одно и то же на одинаковые комментарии.
Логично продолжить роликом про понятие меры.
Как будто посмотрел оперу на китайском. Все красиво, но ничего не понятно.
Если так подумать 4/3 это лишь приближение выражение 4/π , Тоесть можно сказать что они приблизительны равны ,первое решение приближенное ,а второе точное . Следовательно можно сказать 4/π≈4/3...И нет парадоксальной ситуации .
Кто в танке, так как пи π≈3.14... это почти 3 но чуть больше
Если приблизить в большую сторону получается 4 так как π ближе к 4 чем 3 ,если так рассуждать вместо 4/3 получается 4/4 тоесть вообще 1.
Уверен можно решить каким то третьим способом чтобы получить 1,но мои знания 9-10 не позволяют решать и догадаться
Так есть какой то правило как оценить правильно ли ты точки накидываешь или нет? По графику видно. а как то математически обосновать можно?
Ну надо придумать функцию, которая будет оценивать «правильность». А то, что считать правильным - это уже как тебе захочется. Так что универсальности тут нет
С точки зрения инженера, результаты верны
Напомнило парадокс бертрана, мой препод по чмимм пишет про него статью
Вариация классического парадокса Бертрана ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность) , только в оригинальном парадоксе не два варианта ответа, а три.
Не понял как заменили окружность полуокружностью, есть точки которые лежат по диагонали друг от друга, то есть никак не попадают в 1 общую полуокружность
Интересно, откуда у окружности взялась диагональ?
Или Вы предполагаете, что есть точки, расположенные друг от друга дальше, чем располагаются друг от друга концы параллельного хорде диаметра?
@@boderaner если центр окружности в центре координат, то 1/4 окружности можно пронумеровать как 1,2,3,4. К примеру, 1-2 полуокружность, или 2-3. А что если наши 2 точки расположены одна в 1, а другая в 3. То что для них свойства по среднему расстоянию такие же, даже если это так, требует доказательства
@@user-gh9ik2vu1w , любая полуокружность в этой задаче равнозначна любой другой, при повороте её на любой угол решение не меняется. А специальные точки на концах диаметра входят в обе полуокружности, на которые диаметр делит окружность. Это же отрезок, а не интервал.
можно чуть подробней о плотности распределения? откуда взялись 1/2 и 1/п ?
Да по формулам. почитайте про различные виды распределений случайной величины и их плотностях, функциях распределений и числовых характеристиках.
@@user-ts1kn7xx6j формулы это всегда замечательно. а нельзя просто сказать, что среднее считается через сумму всех значений, делённое на их количество, и в первом случае площадь отрезков длиной 2, а во втором - п, поэтому на них и делим?
формулы не вносят никакой ясности. как и само название термина.
я в первом случае сказал, что 1/2 - это 1, делить на длину отрезка (которая и равна 2)
вообще, я там сначала сделал даже больше слайдов про это, но решил, что в таком видео это будет уже неуместным и убрал.
А можно только со школьной математикой без матожиданий
Похожая тема
Парадокс Бертрана
ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность)
ua-cam.com/video/RO6pnZJ87uw/v-deo.html
Сразу, понял, что в первом решении рассматривается не равномерное распределение точек на окружности, а равномерное распределение точек на проекции окружности на ось. Отсюда и "парадокс".
(7:22): "Казалось бы, что в первом случае точки РАВЕРМЕРНО размазаны по окружности... "
- А вот совсем и не "казалось бы": в этом случае они равномерно размазаны по диаметру, а не по окружности. И потому чем круче (небольшой) участок окружности, тем меньше на него попадает точек, равномерно распределённых по горизонтальному диаметру. Можно сказать даже так: если сквозь диаметр проходит равномерный световой поток, то чем круче расположен участок окружности, тем слабее он освещён. Т.е. окружность освещена отнюдь не равномерно - хоть поток и однородный.
не казалось, так не казалось. Если вы до конца досмотрели, то увидели вывод и даже график там для демонстрации построил. А так в вашем комментарии такая же мысль, как и у меня в видео.
@@Hmath Да, спасибо: досмотрел и увидел. Свою реплику я написал как только услышал о том "казалось бы": уж очень "странно" прозвучало. Будем считать то "дискуссионным приёмом". Тем более, что в конце приведена неплохая иллюстрация.
Рассмотренная Вами задача известна как "парадокс Бертрана" (ей более двухсот лет), и у неё есть ещё одно решение - в добавление к двум, которые Вы привели. Интересно, что все три решения правильные - потому что соответствуют трём различным физическим реализациям.
Ну, это несерьезно. Никогда не верил теории вероятностей))
А среднее расстояние то какое?
В начальной постановке задачи не определено как именно выбираются случайные две точки. Разный выбор точек приводит к разным результатам. Можно было бы сказать, что это пример парадокса Бертрана. Но за видео спасибо.
да именно так: разный вид распределения приводит к разным ответам - это и хотел показать
@@Hmathраспределение вдоль оси x неверно, поскольку оно приводит к тому, что распределение зависит от выбора начальной точки на окружности.
Ваши рекомендации напоследок успешно применяют при расчете средней зарплаты. Шутка.
Но , при приближении доходов к 0ю одина плотность, а при приближении к 1це( максимуму) сплошные дыры. Корелляция в статистике волшебная сила
так я на это и намекаю ;) всегда можно посчитать "среднее" так, чтобы было "политически-верным" и отвечало бы духу времени.
Не хотите рассказать о парадоксе Бертрана?
Немного смущает полученный результат, почему среднее расстояние больше диаметра?
диаметр = 2, среднее получилось меньше
Среднее значение для окружности не равно среднему для полуокружности, т.к. если это так, то диаметров будет два... т.е. всё кроме диаметра на окружности удвоино и симметрично... тут есть какая-то логическая ошибка. Или я чего-то не понял?
небольшая ошибка есть, я ее описал в прикрепленном комментарии.
Что значит "два диаметра" не понятно. Диаметр по определение - наибольшее расстояние между точками замкнутой кривой. Как наибольших расстояний может быть два?
Я не математик, но мне кажется неверным с самого начала рассматривать полуокружность вместо окружности. Ведь, грубо говоря в этом случае количество положений второй точки относительно первой уменьшается ровно в два раза. Разве за счёт этого среднее расстояние между двумя точками не будет другим?
в определенных случаях нет. Я описал в прикрепленном комментарии выше, что немного не учел в постановке задачи.
@@Hmath Спасибо за ответ. Согласна, если условие задачи - среднее расстояние между точками полуокружности :))