Hilberts Hotel, Infinite Monkey Theorem, Fourier-Reihe, Zenon-Paradoxon • AzS (40) | Josef M. Gaßner
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- Опубліковано 31 січ 2019
- Wie rechnet man mit Unendlichkeiten? Das Infinite Monkey Theorem, Hilbert´s Hotel, das Zenon Paradoxon, konvergente und divergente Reihen bis hin zur Fourier-Entwicklung werden hilfreich sein für die anstehende Renormierung der Feldtheorien.
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Das ist mit Abstand die schönste und nachvollziehbarste Beschreibung von Hilberts Hotel. SUPER
Didaktisch vom Allerfeinsten. Einfach grandios. Gerne wäre ich noch einmal Student bei diesem Lehrer. Vielen Dank
Mir geht's genau so! 🤗
Unendlichkeit mit Pfadfinder-Romantik verknüpft. Herrlich! DANKE
Das Hilbert Hotel habe schon unendlich Viele hier auf UA-cam
erklärt aber keine so gut wie Sie. Schönes Wochenende!
Christian Spannagel PH Heidelberg erklärt es eigentlich genauso gut und ergänzt noch ein paar kleinere Witzeleien.
Wenn es doch nur unendlich viele Videos dieser Reihe geben würde. Natürlich ohne unendlich lang warte zu müssen.
Geht: ArcTan
@juggliar nur die von Josef Gaßner machen Strecke
Das Warten aufs nächste Video kam mir fast unendlich lang vor!
ich würd mich mal umschauen vielleicht hat sich irgendwo in deiner Nachbarschaft ein schwarzes loch versteckt.
Eine Fourier-Analyse bis zur dritten Harmonischen freihändig an der Tafel zeichnen; das finde ich eine beachtliche Leistung ! Kann ich mir immer wieder anschauen, wie er das hinkriegt.
Wow ich freue mich schon so enorm auf die nächste Folge! Diese mathematischen Ideen und Theoreme sind immer sehr faszinierend, auch wenn die Idee simpel und anfangs zwecklos erscheint. Doch von diesen Theoremen leiten sich immer die schönen Ergebnisse ab!
Danke Josef!
Wenn ich könnte, würde ich hunderttausende likes dalassen. Aber dafür bräuchte ich hundertausende Accounts.
Josef, deine Arbeit ist absolut großartig! Ich liebe was du tust, du bist sehr wichtig für die gesamte (deutschsprachige)Menschheit
Naja - Du hast zwar 13.8 Milliarden Jahre gewartet, aber keine Sorge, Dir bleibt noch viel Zeit bis das Licht des Bildschirms so weit weg ist, dass es deine Augen nicht mehr erreicht!
@@bitsurface5654 Geile Antwort :-D
Die Fourier-Transformation hatte ich mal im Studium, die ist echt spannend☺️ Aber das Video hätte ich damals gebraucht, top gemacht!
Das Universum hat in seiner Unendlichkeit tatsächlich einen Primaten hervorgebracht der Faust geschrieben hat, er hieß Goethe. 👌
Goethe war gut,
konnte reimen!
PS: Das Universum hat auch mich hervorgebracht.
konnt aber reimen ziemlich schlacht.
Goethe war stinkefaul,Der konnte nur viel Plappern, Eckermann hats geschrieben ! :-)
Dieser Satz könnte so genial sein, aber leider ist das Universum nicht unendlich :(
@@Masta2Playa woher willst du wissen wie lange es zuvor gebraucht hat? Vielleicht gab es vorher zahllose Versuche bis es dann vor 13.8 Milliarden Jahren endlich geklappt hat uns zu ermöglichen? Vielleicht war ja der Urknall, von den unendlichen Möglichkeiten, die eine Erfolgreiche?
Vielen Dank. Super gut erklärt. Dieses Thema hat mich schon immer fasziniert. Die Fourier Transformation in der Anwendung z.B. NMR ist beinahe schon unheimlich.
Sehr gute Veranschaulichung von Maturastoff. Jetzt noch die Formeln und Beispiele dazu und es wäre perfekt als Unterrichtseratz geeignet =)
Genial !!!!!!! Hat Spaß gemacht dieses Video an zuschauen und zu zuhören.
Super Beschreibung. Die selektierte Unendlichkeit als Querlinie zwischen den multiblen Möglichkeiten.
Tolles Video einfach wunderbar ich werde Astrophysiker
Tierpfleger für Primaten wär da noch `ne Alternative wenn es mit dem Studium nicht klappt ;)
230 Likes, 1 Dislike. Einer war in Hilberts Hotel. War ausgebucht.
Oder diese Person nahm Anstoß an der Klassifizierung der Überlegungen Zenons als Paradoxa.
Das Trinkgeld für den Portier ging auch gegen unendlich ;-)
Ist Hilberts Hotel auf Mallorca?
der war gut,....@@hassanalihusseini1717
Um gebuchet auf Hotel California
Ich war letztens im Phantasialand und hab gesagt „gehen wir gleich noch in Hilberts Hotel?“ (anstatt eigentlich Hotel Tartüff)😂ich glaube ich gucke Ihre Videos zu häufig
Weil mich das Konzept der Unendlichkeit einfach nicht überzeugen will, habe ich mir in der Vergangenheit auf YT mehrere Videos dazu angeguckt. Dieses toppt sie alle. Vielen Dank!
Vielen lieben Dank Herr Gaßner!!
der freitagabend ist gerettet 😀😀😀
Klasse Video, vielen Dank dafür.
Danke, war wieder sehr gut.
Beim betätigen der Sprechanlage benötigt das Hotel aber unendlich viel Energie ...
Ich denke ich werd mir von dem Video erstmal nur die Hälfte anschauen. Dann las ich das erstmal ne Stunde sacken. Dann schau ich mir vom Rest des Videos wieder die Hälfte an
und mach wieder eine Stunde Pause um das gehörte zu verarbeiten ...
Aber den Daumen nach oben gibts schon nach der ersten Hälfte ;)
Ein hoch auf den Fakt das die Welt quantisiert ist und einem irgendwann die Frames ausgehen. So dauert das nur lange und nicht unendlich. Aber trotzdem viel Spaß dabei das Video lohnt sich. :)
Wie immer tolles video
Hallo Herr Gassner, zwei Bemerkungen zu ihrem sonst wie immer exzellenten Vortrag:
1. Reihen:
Ihre Darstellung weckt den Eindruck, dass man bei jeder Reihe durch Umordnung jeden Wert erhalten kann, was so ja nicht stimmt, bei absolut konvergenten Reihen darf man umordnen.
2. Fourier-Entwicklung:
Bei der Sprungfunktion (Rechtecksignal) entstehen bei der Fourier-Entwicklung typische Über- und Unterschwinger an den Sprungstellen (an den Unstetigkeitsstellen) von etwa 9% der Sprunghöhe. Die Reihe fn konvergiert also nicht punktweise gegen die Funktion f (|fn(t)) -f(t)| geht nicht gegen 0, nicht einmal a.e.) auch wenn das in ihrer Simulation so aussieht. Konvergenz liegt lediglich bzgl. der L2-Norm vor. Vielleicht habe ich Sie hier aber auch falsch verstanden oder ich erinnere das fehlerhaft?
Super 👍 Wochenende geht perfekt los
immer wieder tolle Erklärungen . Prima Video!
Das ist soooo spannend!!!
Ich liebe Ihren Humor. =D
Es wäre cool wenn ihr in eurem Kanal zu den einzelnen Themen weiterführende Literatur empfehlen könntet!
Für die die sich noch intensiver mit dem Thema beschäftigen wollen :)
Hallo Laurenz M,
weiterführende Information zu den einzelnen Videos finden Sie auf unserer Webseite www.urknall-weltall-leben.de
Grüße Josef M. Gaßner
Super!! Danke für das Video! 😊
Die automatisch ausfahrende Tafel ist ein toller Akzent :D
Ich hab's gewusst, Affen werden einmal all unsere großen Probleme lösen ;-) Danke für das tolle Video!
Make America great again!
Unendlich geil. Einfach nur mega! Meinen unendlichen Dank dafür :) (obwohl streng genommen ja das tolle Ende-Zitat fehlt... *pfeiff*)
Wunderbar erklärt!
Liebe Freunde von UWudL,
soeben hat die Abstimmung für unser neues Buchcover begonnen auf www.urknall-weltall-leben.de/buchcover.html . Ich bin wirklich neugierig, welcher unserer neun Entwürfe sich durchsetzen wird... Vielen Dank an alle die mitmachen!
Herzliche Grüße Josef M. Gaßner
8 oder 9 Leider geht nur eins XD
Nur bei 7 wäre auch Einstein involviert.
@@waldtisch Das sehe ich genauso, allerdings könnte die Einsteinfornel ruhig ein wenig kontrasreicher dargestellt werden,. Bei Cover 4, 5, 6 und 9 war mein erster Eindruck, Aristoteles hätte anstatt des LHC' s eine Lanze im linken Auge ;-)
Hallo Josef Gaßner,
ich bin Mathematikstudent und wollte deshalb fragen ob in ihrem Buch der Mathematikanteil höher ausfällt als im UA-cam-Part (was ich begrüßen würde) und mehr auf die Details eingegangen wird?
Und wenn ihr einfach einen Profi mit dem Cover beauftragt? Ich finde es schauen alle Alternativen sehr nach handgestrickt aus und auch sehr nach Mitte letztes Jahrhundert.
Hallo Herr Gaßner, danke für den Unendlichkeitsüberblick:). Eine Frage, die eventuell am Ende dieser Reihe eine Rolle spielen wird. Ich habe einen Ansatz der "asymptotischen Freiheit" im Bereich der Quantenchromodynamik in der aktuellen Spektrum der Wissenschaft kennengelernt. Ich kann nicht alles in diesem Kommentar hier ausführen, aber es wäre toll ihre Meinung dazu zu hören! Die Idee sei wohl schon in den 80ern entstanden, werde aber nun als neuer Ansatz für eine Vereinheitlichung der Quanten- und Relativitätstheorie gebraucht. Grob zusammengefasst, erreicht die effektive Kopplungsstärke so einen Fixpunkt bei Energiezunahme. Das heisst, ein weiteres energiereiches "Reinzoomen" in die Materie erreicht dann eine skaleninvariante Struktur. (Ähnlich wie Fraktale) So versuche man auch ungewollte Unendlichkeiten aus der Theorie beherrschbar zu machen.
Sie kennen bestimmt den Ansatz bereits und können dazu fachkundig etwas sagen, falls die Zeit reicht.
Warum ergibt die 1 /2 + 1/4 usw.- Reihe = 1 ??? Es bleibt doch schließlich auch ewig ein Rest!
Nein es fehlt kein Rest , denn diese Rechnung ist von Anfang an ein logischer Zirkelschluss.
Wenn Sie die Reihe mit 1/2 starten, setzen Sie die 1 ja bereits als gegeben voraus.
Denn 1/2 kann ja nur 1/2 von 1 sein.
Deshalb ziehen Sie in Wahrheit bei dieser Reihe zunächst 1/2 von einer bereits vorgegebenen 1 ab , um diese nun fehlende Hälfte am Ende wieder zu der selben 1 aufzuaddieren mit der Sie bereits gestartet sind.
Herr Gasser hat das ja genau so erklärt und auch vorgerechnet.
Wenn Sie einen endlichen Wert bereits vorgeben, kann auch nur der selbe endliche Wert am Ende wieder herauskommen.
Endlich!
Wieder unendlich phantastisch!
Wobei ich bei der Frage von begrenzter Unendlichkeit bin, oder wie man es ausdrücken mag.
Gegeben ist eine Strecke A bis B. Frage: Wieviel Punkte befinden sich innerhalb dieser Strecke?
Oder, wenn die Strecke A bis C doppelt so lang ist wie A bis B, wieviel Punkte befinden sich dann innerhalb der Stecke A bis C relativ zur Strecke A bis B?
Vorallem wenn man davon ausgeht, daß ein Punkt 0-Dimension besitzt, Also man eigentlich nie von A wegkommt.
Hallo Herr Dr. Gaßner,
hochinteressant! Hilberts Hotel könnte Probleme bekommen wenn sich das Signal der Sprechanlage nur mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Wenn dann ein Bus mit unendlich vielen Gästen kommt , würden die ersten 300.000 Gäste zwar noch relativ schnell abgefertigt aber dann würden langsam Staus entstehen, die sich dann bei weiteren Bussen mit unendlich vielen Gästen potenzieren würden. Oder liege ich da falsch? Wäre intereessant auszurechnen, ab wann es nicht mehr für einen Gast x ertragbar wäre so lange auf sein Zimmer zu warten. d.h. man bekommt schon bei den natürlichen Zahlen ein Problem mit den Unendlichkeiten. Außerdem müsste Gast 1-300.000 mindestens 300.000 mal pro Sekunde Zimmer wechseln (wenn Zimmer 300.000 km auseinander und 1 Sekunde Zeit zu erreichen) was die generelle Unzufriedenheit der Gäste erhöhen dürfte. Da am Anfang ( bei unendlich vielen Gästen) Jeder Gast nur ein Zimmer weiter ziehen musste (Zeit: 1s weitergehen), wird es bei unendlich vielen (2. Bus 2. Sekunden weitergehen), usw. oder?
Die Gäste sind mathematische Punkte. Das (n+1)-ste Zimmer hat die halbe Kantenlänge des n-ten. Wenn das erste Zimmer ein Würfel der Kantenlänge 1m ist, inklusive Wand, dann passen alle Zimmer in eine Länge von 2m und sind mit endlicher Geschwindigkeit in endlicher Zeit erreichbar..
Tolles Biwak, toller Bergführer
toller Kommentar... ;-)
Grüße Josef M. Gaßner
Fourier-Reihen zur Approximation von Funktionen mit Sprungstellen sind natürlich so eine Sache. Wenn man sich während des Konvergenzprozesses eine passende Epsilon-Umgebung um die Sprungstelle anschaut, merkt man, dass man über den Konvergenzbegriff etwas genauer nachdenken muss. Ist punktweise Konvergenz oder gleichmäßige Konvergenz gemeint? Treten in der Natur überhaupt Unstetigkeiten auf? Wie schaut es mit der Approximation einer Funktion aus, deren Sprungstellen auf einem Teilintervall dicht sind, z.B. 1 für rationale und 0 für irrationale Elemente aus dem Definitionsbereich?
Welche Mächtigkeit hat die Menge aller periodische reelwertigen Funktionen? Welche Mächtigkeit hat die Menge aller Fourier-Reihen? Kann es eine Bijektion zwischen den beiden Mengen geben? Wie muss man die Menge aller reelwertigen Funktionen mit reellem Definitionsbereich einschränken, um eine Bijektion zu den Fourierreihen herstellen zu können, möglichst eine Bijektion, die die Fourrierreihe auf die reelwertige Funktion abbildet? Was hat das ganze mit metrischen Räumen und Hilberträumen zu tun? Passt alles so zusammen wie man es gerne hätte?
super!
Der Kegelverein Reelle Zahlen :D
Ha, ich glaub jetzt hab ich‘s!
f(warum, woher, wohin)=sin(42)
Und wo gibt es denn jetzt die besten Wiener Schnitzel?
Oh mein gott es geht weiter oh mein gott oh mein gott
wer braucht schon Netflix
"Ich vermute, das notwendige Trinkgeld, um den Portier zu überzeugen, fällt in einer Höhe aus, damit kommen Sie auch anderweitig vermutlich sehr feudal unter", schön gesagt und sehr anschaulich.
Auch eine Unendlichkeit.
chapeau à monsieur Gaßner
Unendlichkeit lass das nicht Harald hören :-)
Ich zieh schon mal meine Steigeisen an
ZENON hat mehrere Paradoxa aufgestellt. Er meinte z.B. auch, ein Läufer müsse selbst zum Start unendlich lange brauchen:
Ehe er eine Strecke s zurücklegt, muss er ½s zurücklegen, davor schon ¼s u.s.w., also brauche er eine Summe aus unendlich vielen endlichen Zeitspannen, und die müsse unendlich sein.
Dabei hatte er doch gerade erst *selbst* eine endliche _Strecke_ in unendlich viele endlich lange Strecken aufgeteilt!
Das "Banach Tarski Paradox" Video auf UA-cam ist auch zu empfehlen. Eine Kugel in eine endliche Anzahl Teilstücke aufteilen und neu zusammensetzen, und schon hat man zwei Kugeln. 😬
TNB1 Interessant ist ja auch, dass der Satz von Banach Tarski aus dem Auswahlaxiom folgt und es somit möglich wäre, ihn auch als falsch anzunehmen, ohne einen zusätzlichen widerspruch in die Mathematik einzuschleppen.
@@Simon-ir6mq Man könnte daraus schliessen, dass das Auswahlaxion ein unsinniges Axiom ist
@@tnb178 Finde ich nicht, es ergibt keinen Widerspruch innerhalb der Mathematik und ist eigentlich sehr intuitiv. Ich bin mir sicher dass es schon oft verwendet wurde ohne dass man es überhaupt bemerkt (Wir wählen aus...). Und, naja, es funktioniert.
der überholvorgang zwischen achilles und der schildkröte beginnt bei einem planckschem wirkungsquantum. die quantenwelt ist also nicht unendlich klein. oder? tolles video, danke.
Wie Weihnachten und Ostern zusammen :-)
Ich finde das Video auch super, habe aber ein Problem damit, wie bei Hilberts Hotel der letzte Bus mit unendlich vielen Gästen untergebracht werden soll, nachdem die anderen Gäste jeweils die Zimmer "Primzahl hoch n" bezogen haben, denn da gibt es ja wohl Überschneidungen, z. B. kloppen sich mindestens schon mal zwei Gäste um das Zimmer mit der Nummer 81, nämlich Gast vier aus Bus 3 (3^4) und einer der Gäste des Busses, der am Schluß einziehen soll, nachdem die Primzahlgäste ihre Zimmer bezogen haben (z. B. 9^2)....? Im Buch steht an dieser Stelle: "... bleiben alle Zimmer frei, deren Nummern sich aus den zwischen den Primzahlen liegenden ungeraden Zahlen hoch n berechnen würden...". Auf Zimmer 81 trifft das aber schon mal nicht zu!? 🤔
... Also, nochmal, sonst werde ich hier missverstanden. Es ist schon klar, dass nach den Primzahlgästen noch unendlich viele Zimmer frei bleiben, die bezogen werden können, aber diese Zimmer dürfen weder direkt noch indirekt Potenzen von Primzahlen sein, dann klappt es. 15 wäre so ein Beispiel. Ich hab mich im Kommentar aber auf das Zitat im Buch an passender Stelle bezogen, und da gibt es dann Ärger zwischen einigen (bzw. unendlich vielen😉) Gästen.
Verstanden - Goethe war also kein Genie, er hatte nur unendlich viel Zeit! :))))
Richtig und er war ein Affe. Faszinierend!
@@arturwiebe7482 ich sag es doch, man muss nur Geduld haben, dann kommt irgend wann auch Mr. Spok vorbei! :))))
Er hatte eben *nicht* unendlich viel Zeit.
Im Gegenteil! Goethe hatte eben nicht unendlich viel Zeit und deshalb brauchte er viel Wortgewalt und Genie für sein Werk
Lieber Josef , ich mag Deine internet Vorlesungen sehr und ich habe eine Frage zum Bereich ab Stelle 15:55 . Warum wird irgentwann 1 erreicht wenn man einen immer kleiner werdenden Bruch addiert ? Irgentwie glaube ich, dass unendlich lange nicht genau 1 erreicht wird es müsste doch immer 0,xxxxxxx... bleiben, was die von Dir gezeigte Additionsreihe finde ich aber schön beweist ist, dass es unendlich viele Punkte in einer begrenzten Menge (hier 1) gibt, so habe ich das noch nirgends gesehen.
@@sonnenwind Hmm ok aber es wird nie ganz genau 1 bzw 0 sein oder? Ich denke da der Bruch wird ja auch unendlich lang kleiner während er unendlich lang addiert oder subrahiert wird ? "Unendlich " nimmt ja nicht irgentwann den Dezimalpunkt weg , denn es gibt ja unendlich große und kleine Zahlen, eine reale Zahl ist doch am Énde nichts anderes als eine Zahl die unendlich groß oder unendlich klein sein kann und wenn nicht, was für Mathematiker muss ich da lesen um das zu verstehen? Das mit dem Fourier, füllt ja auch nie genau die Zielfunktion aus sondern nur annähernd sonst müsste man ja einen Kreis Quadrieren können z.b ?
@@sonnenwind hmmm ich weiß nicht, lass mich mal anders fragen: Wie oft muss ich 1 durch 2 teilen , also 1 : 2 = 0,5 0,5 :2 = 0,250 usw bis genau 0,0...∞ herauskommt?
Tolles Video, danke!
Aus meinem Studium (lang ists her) weiss ich aber noch, dass die Reihe
1/2 + 1/3 + 1/4 ... + 1/n
gegen Unendlich strebt. Da fehlt mir heute der Beweis.
Das entspricht wohl dem Bierdeckel-Paradoxon, wonach man Bierdeckel ähnlich stapeln kann und der Überhang undendlich gross ist, ohne dass der Stapel wegkippt.
1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... >= 1/2 + 2 * 1/4 + 4 * 1/8 +... = 1/2 + 1/2 + 1/2 +... → ∞
Fassen Sie 2^m aufeinanderfolgende Summanden zusammen und schätzen Sie sie nach unten ab. Nur so als Ansatzpunkt.
18 haben in Hilberts Hotel keinen Platz bekommen ...
Für mein Verständnis kann jede Reisegruppe im Hotel untergebracht werden. Die Reellen eben auch, sind sie doch eine Teilmenge davon. Maßgeblich ist doch nicht, welchen Zahlenraum die Gäste nutzen, sondern welchen Zahlenraum das Hotel hat. Und das ist mit seinen natürlichen Zahlen da komfortabel aufgestellt und kann, als führendes System, diesen Vorteil auch ausspielen. Einziges Kriterium wäre, dass die Gäste den Zahlenraum des Hotels abbilden und seine mathematischen Operationen beherrschen. Oder irre ich?
Super folge zum schmunzeln...danke
So etwas ähnliches wie das Gedankenexperiment ist die Library of Babel - eine online Bibliothek, die alle möglichen Kombinationen aus Kleinbuchstaben beinhaltet.
Digitale Kunst daran habe ich auch gerade gedacht, Jorge Luis Borges ( Fiktionen ) ein sehr schönes Buch :)
Danke für das Video! Es hat die aufgeworfene Fragestellung meiner Meinung nach jedoch nicht beantwortet: Wie rechnet man mit Unendlichkeiten? Es gab Hinweise, wie man damit _nicht_ rechnet. Und wo Probleme liegen. Aber damit wirklich gerechnet haben wir nicht - außer die Konvergenz von 1/2 + 1/4 + ... + 1/n^2 gegen 1. Hat der Mathe-LK leider nie hergegeben und im Grundstudium wurde das als bekannt oder irrelevant vorausgesetzt: Was macht man nun aus Unendlichkeiten, die offensichtlich unterschiedliche Dichte/Entropie haben? Die muss man doch besser respektive konkret beschreiben und dann tatsächlich mit Rechnen können.
Mit der 1 rechnen kann man nun wie sonst auch. Setzen Sie einfach die Reihe dafür ein, solange Sie sich nicht verrechnen, wird sich niemand daran stören.
Unterschiedliche Formen der Unendlichkeit tauchen bei Kardinalszahlen auf, falls Sie das interessiert. Häufig aber interessiert man sich (aus naheliegenden Gründen) nur für eine endliche Anzahl an Schritten usw. Deswegen gwejt man oft naiv damit um und behandelt es als "die größte Zahl", informell gesprochen
Das mit der Unendlichkeit ist schon "Lustig". Am schönsten finde ich das Beispiel der Posaune vom Engel Gabriel (habe ich vor langer Zeit mal irgendwo gelesen).
Man erhält diese wenn man die Funktione 1/x vom x = 1 m bis unendlich um die x-Achse rotieren läßt. Die Linie ist das Messing was unendlich dünn ist. Somit ist der Körper innen hohl und eignet sich vorzüglich als Musikinstrument, denn je dünner die Wand, um so besser der Klang.
Da die äußere Oberfläche unendlich ist (y = 2*pi*ln (x) was für beliebig große x-Werte beliebig große y - Werte ergibt) kann man sie nicht von außen lackieren den man würde unendlich viel Lack benötigen.
Das Volumen ist mit ca. 3140 Litern groß aber endlich ( y = pi * (1 - 1/x) *100 Liter) . D.h. man kann Gabriels Posaune mit Lack füllen und dann wieder ausgießen. An der inneren Oberfläch bleibt dadurch ein dünner Lackfilm haften. Man muß nur noch warten bis der Lack getrocknet ist. Dann hat man eine innen lackiert Gabriels Posaune.
Da das Messing unendlich dünn ist, ist die innere Oberfläche genau so groß wie die äußere Oberfläche.
Aber die äußere Oberfläche ist doch unendlich groß.
Wieso kann man dann die unendlich große inner Oberfläche mit weniger als 3200 Litern Lack lackiern?
Folgendes: wie dick soll der lack denn aufgetragen sein? Das ist hier wichtig, wenn du ein Volumen mit einer fläche vergleichen willst. Denn wenn du ihn dicker als 0 cm aufträgst, hängt der lack auf der innenseite im prinzip wieder aus der trompete heraus, wenn du nur weit genug die trompete entlang gehst.
@@maxmustermann609
Die Dicke ist der Knackpunkt. Das schöne daran: Wenn man mit einer endlich langen Trompete anfängt und dann die Länge gegen unendlich konvergieren läßt, dann kann man eine gleichmäßige Lackdicke festlegen die Längenabhängig ist und gegen Null konvergiert wenn die Länge gegen unendlich geht. Dabei kann man eine Lackdicke so wählen das der Lackverbrauch unendlich, endlich oder gegen Null geht. Das zeigt das Null * unendlich und Null * unendlich verschieden sind. Das geht natürlich nur mathematisch exakt. In einfachen Überlegungen wie Achimedes und die Schildkröte oder Gabriels Trompete (Null * unendlich = unendlich, konstnte oder Null) kann man jedes Ergebnis Argumentativ begründen (daher Paradox) solange man die Mathematik außen vor läßt.
Eine Frage an den, von mir hoch geschätzen Herrn Gassner, zu dem Wettrennen zwischen Achilles und der Schildkröte. Wenn davon gesprochen wird, dass Achilles den Punkt erreicht, wo die Schildkröte vorher war und die Schildkröte dann wieder ein kleines Stück weiter ist. Dann ist doch dabei nicht definiert, was dieser Punkt ist, also wie groß er ist. Wenn die Abstände in diesem Gedankenspiel immer kleiner werden, ist es dann der hintere Fußabdruck der Schildkröte im Sand, den Achilles‘ Sandalenspitze erreicht? Unter dem Mikroskop schwer zu erkennen, dieser Punkt. Wenn ein Punkt der Schnittpunkt zweier Geraden ist, dann ist er unendlich klein. Also wie bestimme ich dann, wann Achilles den Punkt erreicht hat, wo die Schildkröte vorher war? Bzw. die Abständen der beiden zum jeweiligen Zeitpunkt des „Rennens“ von Punkt zu Punkt?
Grüße aus Weimar von Frank.
Die Frage ist ein Scherz, oder?
das ist ja crazy ^^ Unendlichkeit steckt praktisch in Allem?! Endlichkeit als Ergebnis von Unendlichkeit....
Ich hab da mal ne Frage: Wenn ich 1/2 + 1/4 + 1/n unendlich weiterführe, kann ich doch nie 1 erreichen, weil immer ein 1/unendlichlichstel felt, oder?
@sonnenwind aber 1/unendlich ist doch trotzdem kleiner eins oder? Ich raffs nicht :-(
Check, jetzt hab ich es!!! Danke
Kaemst du jemals ans Ende, erreichtest du 1. Aber du kommst nie ans Ende.
Um es zu veranschaulichen:
Dividiere 1 durch 3.
Nun multipliziere das Ergebnis wieder mal 3.
Was kommt raus? Blöd, oder? :-D
Ganz nett. Cantors zweites Diagonalenargument hätte man explizit machen können und wirklich gruselige Dinge wie die Cantormenge wurden ausgespart.
Danke interessantes Video. Aber was wollen Sie in dieses Video vermitteln? Ein Verständnis der Unendlichkeit übertragen auf die Physik oder Mathematik?
Hallo G L,
hab ich doch im Video erklärt, dass es eine Vorbereitung darstellt auf die nächsten Folgen in denen wir die relativistische Quantenfeldtheorie behandeln werden...
Gruß Josef M. Gaßner
dass mit Unendlich nicht so "locker" gerechnet werden darf!
Zu Hilberts Hotel: Was wäre, wenn die Zimmervergabe von negativ unendlich über Null bis positiv unendlich erfolgt wäre? Dann wäre die Aufnahme eines weiteren Gastes nicht mehr möglich gewesen, oder?
So eine farbwechselnde Kreide hätte ich auch gerne! :-)
Ich weiß noch wie Harry Lesch und Josef Gassner über Unendlichkeit diskutiert haben.
Harry mag das Thema garnicht, da rauft er sich immer die "Haare" :-)
Sehr genial dazu die Folge 96 von Alpha Centauri - Was ist Unendlichkeit?
Hihi seeeeehr gut! :))))
Ich mag ja beide, aber wenn das so ist schlag ich mich mal auf Haralds Seite! :)
Zumindest bei diesem Thema! ;)
In der Praxis müssen den verschiedenen unendlichen Prozessen Geschwindigkeiten / Zeiten zugeordnet werden um richtige Ergebnisse zu erhalten. Damit ist zu erkennen, dass es unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten gibt. Bei machen Unendlichkeiten erkennt man dann auch, dass diese doch nicht unendlich war 😏
Hätte es eigentlich noch was gemacht wenn das Hotel unendlich viele Parkplätze mit unendlich vielen Bussen, mit unendlich vielen Gästen gehabt hätte? Hätte man diese unterbringen können?
Hallo Thori45,
solange die Gästezahl abzählbar ist, bringen wir sie im Hotel unter. Abzählbar bedeutet, dass wir jedem Gast ein Schild mit seiner Zimmernummer umhängen können...
Gruß Josef M. Gaßner
The Edge of Forever 🙂
Eine Variante des Infinite Monkey Theorems hat Michael Ende in "Die Unenedliche Geschichte" aufgegriffen. Das Beliebigkeitsspiel, das Bastian in der Alte Kaiser Stadt als Beschäftigung der dortigen Ansässigen gezeigt wird.
Komme da nicht ganz hinterher. Erst waren alle Zimmer belegt. Wie können da auf einmal Zimmer frei werden? Sehr interessantes Video.
Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, d.h. die Summe der absoluten Beträge der einzelnen Summenglieder ebenfalls konvergiert, dann darf man die einzelnen Summanden beliebig umordnen und kann ganz normal rechnen wie mit beliebigen Summanden. Ist eine Reihe nur bedingt konvergent wie z.B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 +- ... = ln 2 = 0,693147... dann ist das nicht möglich, denn dann kann man durch eine beliebige Vertauschung der Summanden eine beliebig gewünschte Summe konstruieren. Die Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz kann man an folgenden Integralen ablesen, die in ihrer Funktionenklasse gerade so eben noch divergent sind: Integral von 1/x = ln x (harmonische Reihe); Integral von 1 / (x * ln x) = ln ln x (harmonische Primzahlreihe); Integral von 1 / ( x * ln x * ln ln x) = ln ln ln x; Integral von 1 / ( x * ln x * ln ln x * ln ln ln x ) = ln ln ln ln x usw. Die Funktion x^epsilon für alle epsilon > 0 gewinnt stets gegen (ln x)^n, egal wie groß n ist. Ebenso gewinnt (ln x)^epsilon für alle Epsilon > 0 stets gegen (ln ln x)^n, egal wie groß n ist usw.
Hallo Thomas K,
ich verstehe nicht ganz, worauf Ihr Kommentar abzielt. Vermutlich auf die Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... Für diese spezielle Reihe habe ich gezeigt, dass man durch Anordnung verschiedene Ergebnisse erreichen kann. Es ist NUR von dieser speziellen Reihe die Rede. Wir werden Sie benötigen um die Argumentation der Supersymmetrie zu verstehen.
Der Grenzwert der Reihe 1/ + 1/4 + 1/8 + ... ergibt 1, das werden wir für das Verständnis der Störungstheorie in der Quantenelektrodynamik benötigen.
Gruß Josef M. Gaßner
Die Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ist nicht absolut konvergent, da die absoluten Beträge der einzelnen Summenden divergieren, denn 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + .... geht nach unendlich. Deshalb kann man durch eine beliebige Umordnung der Klammerung in desem Beispiel jede beliebige Summe konstruieren, die man haben will; in ihrem Beispiel kann man - je nach Art der Klammerung - jede beliebige Summe konstruieren. Für absolute Konvergenz ist aber notwendig, dass die absoluten Beträge der einzelnen Summenden konvergieren. Um zu prüfen, ob man mit einer Reihe ganz normal rechnen, kann wie mit endlichen Zahlen müssen wir also stets die absoluten Beträge der einzelnen Summenglieder betrachten; in Ihrem ersten Beispiel also 1 + 1 + 1 + 1 .... Dies entspricht analog dem Integral von 1, was x ist, also divergiert.Wo liegt nun die Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz?Dazu betrachten wir die Funktionsklassen x, ln x, ln ln x, ln ln ln x, ln ln ln ln x in absteigender Reihenfolge.Ihr zweites Beispiel ist absolut konvergent, d.h. Sie können ohne Weiteres rechnen:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = x; Multiplikation mit 2, also 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 2x; wegen 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = x können Sie wegen der absoluten Konvergenz von beiden Seiten der Gleichung x abziehen, woraus x = 1 unmittelbar folgt.Damit man aber so rechnen kann, prüft man im ersten Schritt, ob die absolute Konvergenz vorliegt:Integral 1 / (x^k) ist konvergent für alle k > 1, divergent für alle k < 1, ebenfalls divergent für k = 1 mit Prüfung der nächst niedrigeren Funktionenklasse, sofern noch ln -Funktionen zuberücksichtigen sind. Man sagt auch, dass der Konvergenzradius 1 ist. Da Sie in Ihrem zweiten Beispiel die Exponentialfunktion 2^x verwenden, also Integral 1 / (2^x), brauchen Sie nichts weiter mehr zu prüfen, weil jede Exponentialfunktion schneller nach unendlich geht als alle Funktionen x^(1+epsilon). Ihr zweites Beispiel ist also absolut konvergent, womit sie ganz normal rechnen können wie mit Gleichungen.Ist der Exponent genau 1, also Integral 1 / x, dann entspricht das der harmonischen Reihe, die gerade so eben noch divergent ist. Falls in Ihrem Termin noch ln-Funktionen vorhanden sind, geht die Konvergenzprüfung eine Stufe weiter.Integral von 1 / (x * (ln x)^k) ist divergent für alle Exponenten k < 1, konvergent für k > 1 und ebenfalls divergent für k = 1. Der letzte Fall ist gerade der Grenzfall der harmonischen Primzahlreihe, also 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/23 +.... die gerade so eben noch divergent ist mit ln ln x + C Mit diesem Integral kann man z.B. beweisen, dass eine beliebig ausgeloste natürliche Zahl n etwa ln ln n Primfaktoren hat. Losen Sie z.B. eine zufällig natürliche Zahl aus, die so groß ist, dass sie von der Erde bis zur Sonne reichen würde und rechnen pro Dezimalstelle 0,5 cm, d.h. diese zufällig ausgeloste Zahl liegt in der Größenordnung von 10^(3 * 10^13), dann hat diese Zahl durchschnittlich etwa ln ln (10^(3 * 10^13)) + 1,03... Primfaktoren, also etwa 32 - 33 Primfaktoren.So läuft die Prüfung der absoluten Konvergenz immer weiter; Integral von 1 / ( x * ln x * (ln ln x)^k) ist wiederum konvergent für alle k > 1, und divergent für alle k < 1. Bei k = 1 tritt Divergenz mit ln ln ln x auf, wobei dann noch die nächste Funktionenklasse geprüft werden muss. Da Sie aber in ihrem zweiten Beispiel bereits die Exponentialfunktion verwendeten, war eine Prüfung natürlich nicht mehr notwendig und Sie konnten ganz normal mit der Reihe wie mit gewöhnlichen Zahlen in der Gleichung arbeiten.Auch der Kehrwert über die Summe der Quadratzahlen als 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... ist natürlich konvergent, da Integral 1 / x^2 ebenfalls konvergiert.Grüße aus München,Thomas
Nachdem ich mir ein paar Kommentare angeschaut habe, habe ich den Eindruck, die Mathematik zumindest der Reihen hätte hier doch etwas gründlicher behandelt werden sollen.
1/2+1/4... füllt das Quadrat zu 1. finde ich ne schöne Erklärung
6:48 deshalb lieb ich euch
💙😙
Mir sind die Unendlichkeiten im Moment viel lieber, wie wenn sie wieder in einer Gleichung / Formel herum wüten wo ich dann 3 Mathe Videos brauche um es zu verstehen! Das soll jetzt aber keine Kritik sein, ich hab mittlerweile echt viel dadruch gelernt und aufgefrischt! ;-)
Toll erklärt…
Nice
Das mit dem Affen kann ich ja noch verstehen. Die Wahrscheinlichkeit... Nur stellt sich die Frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit... Da scheitert der Vergleich. In der Unendlichkeit steckt auch etwas unerreichbares. Nix unendlich nix... Oder unendlich groß.... Unendlich weit... Eine mathematische Beschreibung für etwas, was sich nicht in Zahlen ausdrucken lässt. Und auch irgendwie etwas künstliches. Wenn wir in der Mathematik etwas wie unendlich beschreiben, ist das eine menschliche Erfindung? Null ist auch schon unendlich klein, nix. Aber unendlich klein ist nicht Null.
Was ist, wenn Unendlichkeit die Bedingung für überhaupt irgendetwas ist? Alles (außer sie selbst) lässt sich in irgendeiner Form mit Unendlichkeit beschreiben oder nicht? Dann wäre sie nicht künstlich, sondern das natürlichste überhaupt...
Diese Unendlichkeit bekommt so ja schon fast etwas göttliches ^^
@@verfassungspatriot ich wollte nur zu. Ausdruck bringen, dass eine mathematische Beschreibung einer Unendlichkeit oder unendlich groß/klein möglich ist, nur ist dies ein theoretischer Absatz. Ein mächtiger Ansatz, zweifellos. Nur ist es auch so? Ein Glauben an eine Unendlichkeit ist ein philosophischer, christlicher Ansatz. Und jeder Glaube trägt den Keim des Irrtums in sich. Bein Beispiel Affe gibt es ein Problem, er wird nicht unendlich Alt. Da hat die theoretische Betrachtung eine Grenze überschritten. Unendlichkeit vorstellen kann sich niemand. Daran Glauben schon. Aber ist das noch Physik? OK, nennt sich auch theoretische Physik. Eine Unendlichkeit beweisen? Das wird schwierig.
@sonnenwind mein Taschenrechner addiert 1+1+1.... Irgendwann gibt es dann ein Error, weil eine gegebene Grenze überschritten wird. Auf Papier kann ich auch noch hoch 99999.... rechnen. Da gibt es keine Grenze, zumindest nicht theoretischer Art. Ich kann auch eine unendliche kleine Zahl definieren. Aber ist das mit der Physik vereinbar? Die Mathematik kann physikalische Vorgänge beschreiben, alles muss nachweisbar sein. Das ist bei der theoretischen Betrachtung nicht immer der Fall. Und so bleibt es eine Theorie. Ein kluger Quantenphysiker beschrieb es so
Wenn jemand behauptet die Quantenmechanik zu verstehen, der hat sie nicht verstanden.
Und hin zur Stringtheorie, da wird es richtig abenteuerlich. Und die Frage lautet denn
Biegen wir uns die Mathematik so hin, dass sie einen Sinn ergibt?
Das erstaunliche ist dabei, dass Mathematik sehr genaue Vorhersagen machen kann, nur besteht auch immer die Gefahr eines Irrtums, nicht beweisbar.
Du bist hier falsch. Du argumentierst hier überlegt und richtig aber das mögen die Anhänger der Orangen-Sekte nicht.
Das Video hier ist lächerlich. Als mathematische Idee mag das akzeptabel sein aber in der Welt kann man Bedingungen nicht so reduzieren, dass es sich lohnt länger darüber nachzudenken.
Die Schreibmaschine hält nicht unendlich, der Affe auch nicht und selbst das Universum und die Atome darin sind endlich. Energie ist gequantelt und beim Raum gibt es eine Plancklänge.
Selbst wenn nicht wäre die Chance, dass der Affe einen fehlerlosen Roman schreibt geringer als 50%.
Die Chance, dass man einem Affen eine Orange in die Hand drückt und er irgendwann einen guten Vortrag hält ist... werden wir wohl nie sehen und hören.
@@alestbest ich kann die Theorie dahinter schon verstehen, nur ... Wer kann sich Unendlichkeit vorstellen? Wir verlassen mit der mathematischen Betrachtung den Horizont unserer möglichen Vorstellung von Grôße.
Aber warten wir einmal ab, wohin und das hier noch führen wird. Ich finde vieles nicht vorstellbar, dennoch vermag ich es zu verstehen, was es beschreiben soll. Das mit dem Affen ist sicher nicht real machbar, aber Theorie macht es machbar. Ohne diese Fantasie der Menschen gäbe es die Quantenphysik wohl nicht. Und in der Quantenohysik passieren sehr seltsame Dinge.... Und genau diese seltsamen Dinge machen unser modernes Leben erst möglich. Und auch sind die Vorhersagen durch die Quantenphysik erstaunlich korrekt.
Nur, eine Kritik habe ich halt auch, einige Theorien aus der Quantenohysik sind Theorie, und müssen nicht korrekt sein, müssen aber auch nicht falsch sein. Der Nachweis ist das Problem, ich schätze, es wird deutlicher, wenn diese Serie dort hinführt.
Und es wird auch vor der Rechnung mit Unendlichkeit gewarnt. Nicht alles geht auf.
Ein Video über die Unendlichkeit generiert unendlich viele Kommentare.
Ich sehe Strings am Horizont. :D
Alles wird gut :-)
nice
Bei dem Geburtsdatum von Fourier ist ein Zahlendreher drin. Er wurde 1768 geboren und nicht 1786.^^
Ja, ja, die deutsche Sprechweise von 2-stelligen Zahlen; Fehlerquelle ohne Ende, wird uns noch mal das Genick brechen.
18:00 (ungefähr) DAS ist nun wirklich Schummelei, die + Einsen werden zusammengefasst und als "unendlich" betrachtet, wovon dann jede EINZELNE -1 abgezogen wird 😂, um die Kohärenz zu gewähren, sind an dieser Stelle natürlich auch die - Einsen "-unendlich" womit "unendlich" + "-unendlich" zum Glück 0 ergibt, weil wie soll sonst die Mathematik, mit der "Alles" erklärbar ist (wie sie selbst sinngemäß postuliert haben), unsere Welt, den Urknall und das Leben "beweisen", nichs für ungut, hier bitte nachbessern 😊
1/2+1/4+1/8 ... +1/n wird, nach meinem Verständnis, niemals 1 sein. Es wird immer ein 1-1/n fehlen, um die Summe 1 zu erreichen. Oder sehe ich hier etwas nicht richtig?
[Edit/Vorwegnahme: Die endliche Summe ist nie 1, aber das behauptet auch keiner. Es geht um die unendliche Aufsummierung.]
Was ist ein Grenzwert einer Folge von Zahlen? Die mathematische Definition ist: Man kann einen beliebigen Abstand >0 wählen, ab einem gewissen Punkt wird man nur noch maximal diesen Abstand zum Grenzwert haben. Einfach gesagt: Egal, wie klein du deinen "Messfehler" machen willst, die Folge kommt eng genug ran.
Der Grenzwert einer Reihe ist der Grenzwert ihrer endlichen Teilsummen, also in diesem Fall all dieser Summen. Für einen fixierten Abstand c>0 wird eine natürliche Zahl existieren mit 1/n < c (n groß genug). Dann ist der Abstand dieser n-langen Summen zu 1 nur noch kleiner als c, d.h. die Reihe kommt beliebig dicht ran. Man könnte einen Grenzwert auch so definieren, dass man ab einem gewissen Punkt diesen Grenzwert tatsächlich erreicht. In der Praxis ist das allerdings häufig irrelevant, wer es tun möchte, kann sich mit diskreten Räumen beschäftigen, die tun quasi genau das
Diese Aussage "gleich 1" störte mich auch. Der Abstand zur 1 wird immer kleiner, wird die 1 aber niemals erreichen. "annähernd 1" OK, aber nicht "gleich 1".
@@wolfgangvogel3441 die unendliche Summe kann man (wenn man unendliche summen als legitim betrachtet) schon gleich 1 setzen. Aber eine endliche Anzahl an Summanden reicht dazu nie aus
@@wolfgangvogel3441
Wenn man das mit Dezimalzahlen betrachtet, wird es besser verständlich:
0,5+0,25+0,125+0,0625...
Die Anzahl an Nullen nach dem Komma wird gegen Unendlich selber unendlich groß. Man erreicht dann nicht mehr den Punkt, bei dem nach einer Null eine Zahl folgt. Also kann gegen Unendlich nichts mehr addiert werden, um auf 1 zu kommen. Dadurch gibt es dann keinen Unterschied mehr zwischen 1 und 1-1/n.
Das gleiche gilt dann für 1/n und 0. Was wäre der Unterschied zwischen einer Null gefolgt von unendlich vielen Nullen nach dem Komma, ehe die 1 (nie) kommt, und einer Null gefolgt von unendlich vielen Nullen nach dem Komma, ohne dass jemals was anderes als eine 0 kommt, weil es glatt 0 ist? Es gibt keinen Unterschied.
Also ist 1-1/n (mit n gegen unendlich) =1-0=1
Jumpcut ^^ (8:39)
DAs Monkey Problem hat ein Problem. Es geht davon aus, dass der Monkey ein perfekter Zufallsgenerator ist ... das wage ich zu bezweifeln. Affen haben einen Willen, probieren Dinge aus und sind in der Lage Werkzeuge zu benutzen ... und daher wird ein Affe irgendwann nicht mehr zufällig sondern gezielt die Tasten benutzen ... ob dann am Ende noch was sinnvolles dabei raus kommt ... ich habe da so meine Zweifel :-)
Es ist ein Gedankenexperiment, das verdeutlichen soll, dass alles Mögliche passieren wird, wenn man nur unendlich lang wartet.
Was ist denn nun die korrekte Lösung von 1-1+1-1+1....... ?