Hilberts Hotel: Unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Gästen
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- Опубліковано 30 кві 2024
- 🧑🏫Endlich kommt die Auflösung: Wie bekommt man unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Gästen in Hilbers Hotel unter? Hier kommen drei Lösungsideen!
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Endlich!!!! Endlich wird die Frage beantwortet, die mich ernsthaft immer wieder mal beschäftigt…
Yes!!! 🙃
Hilberts Hotel war vor Jahren mein erstes Video, das ich von dir gesehen habe.
Und endlich kommt die Auflösung 🤣
Prof. Spannagel, vielen herzlichen Dank für Ihre großartige Arbeit, Ihre liebenswürdige Art, Ihre unglaublich tolle Didaktik und alles andere…
Gern geschehen! ☺
Jetzt kann ich auch endlich wieder in ruhe schlafen. So viele Jahre sind vergangen :D
Dann gute Nacht! 😴🙃
In Hilberts Hotel?
So oft habe ich das Beispiel von dir gesehen und ich schaue es immer wieder gerne von dir an. Hilberts Hotel scheint also 5 Sterne ++ zu haben. :)
diese gedankenexperimente erinnern mich immer daran wie meine mathelehrerin damals uns beigebracht hat dass unendlich-unendlich= 0 ist....erst viel später hab ich verstanden dass es nur eine von unendlich richtigen lösungen ist...
Cooles Video ! Danke für den content
Gerne :)
Endlich, danke. Hab mich schon lange gefragt, wie das geht 😄
Gern geschehen! ☺
dein neuer Look steht dir gut 😉😉
Danke! 🙏
Habe Physik und damit auch die dazugehörige Mathematik studiert. Hatte gute Profs, aber deine Fähigkeit, Mathematik mit soviel Freude zu vermitteln hatten sie nicht 🙂
Weiter so, danke.
BTW: Und wenn jetzt unendlich viele Busunternehmer aus unendlich vielen Ländern mit jeweils unendlich vielen Bussen mit unendlich vielen Passagieren ankommen? ;-)
Danke für dein Feedback! 🙏.... oh man, du treibst es echt auf die Spitze! 🤣
Boah endlich 🤣🤣🤣
🤣
meiner ansicht nach ist antwort 3 die einzig richtige lösung. da man ja die gäste sofort den zimmern zuweisen will , brauchte es eine klare formel. das "in der diagonaldiagramm nachschauen" oder "nächste primzahl nutzen" braucht zeit, in dem fall unendlich zeit, die wir nicht haben. egal welcher gast aus welchem buss gerade aussteigt, es muss sofort eine zuordnung erfolgen, die der gast auch selber zügig errechnen könnte.
Ich denke, das ist nicht unbedingt nötig. Es genügt ein System und dass man gezeigt hat, dass eines existiert.
Zu dem letzten Lösungsansatz von Wandynski mit (2k-1)*2^(n+1)-1
Man kann Doppelungen leicht testen, indem man zwei verschiedene Busse mit unterschiedlichen Indizes gleich setzt, also (2k-1)*2^(n+1)-1 = (2s-1)*2^(r+1)-1 und umformt. Man erhält:
(2k-1)/(2s-1) = 2^(r+1)/2^(n+1)
(2k-1)/(2s-1) = 2^r/2^n
Fallunterscheidung:
I) r/n ergibt eine natürliche Zahl m, dann gilt (2k-1)/(2s-1) = 2^m Der rechte Bruch ist aber auf jeden Fall ungerade, so daß es keine Lösungtripel von k; s; m gibt, die die Gleichung erfüllen können.
II) r/n ergibt einen Bruch, dann wird 2^(r/n) irrational und kann nicht als Bruch (linke Seite) dargestellt werden.
Demnach ergeben sich keine Doppelungen.
Ich fand die langen Haare viiiiiel besser!!
Ich nicht :)
Kurze Haare!!!!!!! Hammer!!
Der absolute Hammer! 🤣
Hat sich mal jemand gefragt, wer die ganzen Zimmer machen soll?? Wir haben ohnehin schon Fachkräftemangel!
Na die unendlich vielen Reinigungskräfte?
Mal eine andere frage . Primen zahlen . Mir ist aufgefallen das wenn man eine pz mit der nächst höheren pz multipliziert dann minus 1 wieder eine pz rauskommt. Wäre leider zu einfach weil es nicht immer ist. Nun meine Frage: gibt es eine Periode wo genau das nicht funktioniert?
Quatsch nicht multiplizieren sondern addieren. Sorry also PZ+ nächste PZ -1 = PZ aber eben nicht immer
Wenn man in der Rechnung eine Periode erkennen könnte wäre die Unendlichkeit oder endlichkeit der primenzahlen bewiesen
Gegenbeispiel: 3*5-1=4, und da 4=2*2 ist,ist 4 *keine*Primzahhl).Man kann zwar mit einem ehnlichen Gedanken beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (wenn es nur endlich vielle Primzahlen gaebe, muesste jede groessere Zahl alls ein Produkt darstellbar sein, dessen Faktoren nur aus diesen endlich vielen Primzahlen bestehen, das ist jedoch bei dem Produkt dieser endlich viellen Primzahlen plus 1 nicht der Fall, weill diese Zahl durch keine der endllich vielen Prizahlen teibar ist. Folglich muuss unsere Annahe, es gaebe nur endlich viele Primzahlen, falsch sein).
Ich dachte einmal, man koenne auf aehnlliche Weise beweisen, dass es auch unendlich viele "Primzahlenzwillinge"(Paare von Primzahlen, deren Differenz nur 2 betraegt, wie 3 und 5, 5 und 7 oder 11 und 13) gibt (die sogenannte "goldbachsche Vermutung), aber so enfach ist der Beweis dann doch nicht ..
Meines Wissens nach ist die "goldbachsche Vermutung" bis heute unbewiesen, obwohll sie vermutlich zutrifft. Aber das nur so am Rande.
Es gibt noch eine Möglichkeit: Jeder Bus erhält eine Primzahlnummer beginnend mit 3. Jeder Passagier erhält ebenfalls eine Primzahlnummer beginnend mit der Busnummer. Jeder Passagier geht in das Zimmer mit dem Produkt aus seiner Passagiernummer und der Busnummer. Es bleiben aber noch Lücken.
Bist du sicher, dass da keine Zimmer doppelt belegt werden?
@@pharithmetik ja. Beispiel Bus Nummer 11. Passagier 1 bekommt die 11 und Passagier 2 die 13. P1 geht in 121 und P2 in 143. In Bus 13 gibt es aber keinen Passagier der in 13x11 geht, weil der ja erst bei 13 anfängt. Dasiert auf dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie. Wir haben nur Primzahlvielfache von Primzahlen, und keine ist doppelt, weil eine Zahl immer kleiner ist als die andere. Die kleinere taucht in den höheren Zahlen aber nicht mehr auf.
@@Cyrus72 Ah, jetzt hab ichs kapiert. Auch eine sehr schöne Lösung!
@ Phnmi, gute Idee. So ähnlich wie: Ich habe da eine super Lösung, wie genau die aussieht müsste man sich noch überlegen. 🙂nichts für Ungut. War nur lustig 🙂
wenn das Hotel bus nr 0 ist dann geht Person p aus Bus b in Zimmer 2^b*(2p-1) die Funktion N0xN->N ist bijektiv also ohne Lücken. finde ich leichter als noch -1 und so...
Gretchenfrage: Wie kommt man in den Chat?
Würde mich auch interessieren. Oder ist das nur für seine Studenten?
Das geht in seinem LiveStream bei Twitch. Ist in der Videobeschreibung verlinkt. ICh vermute zumindest dass die Aufnahme daher stammt.
@@thorwinhh Achso, danke. Nee bei Twitch melde ich mich deshalb nicht an.
@@thorwinhh Ja genau, das ist der Live Chat bei Twitch.
Jetzt fehlt nur noch die Formel um die nächste Primzahl zu berechnen. Wir haben schließlich keine Zeit die "normal" zu suchen. Die Formel wird dann in ein paar Jahren in einem weiteren Video gezeigt? ^^
Hilberts Hotel hat übrigens die schlechteste Bewertung die man sich vorstellen kann. Hauptgrund: Man hat nie Ruhe, weil man ständig unterwegs ist.
.... aber man bekommt immer ein Zimmer!
Ich empfehle den Roman von Rudy Rucker: Weisses Licht
Völlig abgedrehte Story, da kommt auch Hilberts Hotel vor.
Es gibt auch einen Beweis, wonach es Mengen gibt, die unendlicher sind als unendliche Mengen. Cantor?
Ja genau, die Menge der reellen Zahlen beispielsweise ist überabzählbar unendlich groß.
Warum reichen denn für die unendlich vielen Busse nicht trotzdem die unendlich vielen ungeraden Zimmer aus dem Problem vorher? Es ist doch völlig unerheblich ob einer oder unendlich viele Busse auftauchen. Unendlich bleibt unendlich und damit müsste doch für jedes über 1 Gast (also ein Zimmer) hinausgehendes Problem die Lösung n*2 genügen? Das wäre zumindest meine Antwort in einer Klausur. :D
Wuerde unendlich immer gleich unendlich sein, muesste sich nicht nur eine bijektive Abbildung von den (unendlich viellen) natuerlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen finden lassen (wie Georg Cantor gezeigt hat), sondern auch eine bijektive Abildung von den natuerlichenZahlen auf die reellen Zahlen. Letztteres ist jedoch *nicht* moegllich, wie Cantor ebenfalls zeigte. Es gibt also *verschiedene* Auspraegungen von "unendlich". Deswegen zieht dein Argument nicht.
"Unendlich bleibt unendlich" ist eine Fehlannahme 😊
@@pharithmetik Was haeltst du von meinem Ansatz zur Loesung, die urspruenglichen Hotelgaeste nicht von n nac 2*n sondern jeweils von n nach n*2
sondern von n nach n*(n+3)/2 umziehen lasse.
Ich habe dann zwischen 2 belegten Zimmern nicht nur 1 Zimmer frei, sondern zwischen dem n-ten belegten Zimmer und dem naechsten belegten Zimmer eine Folge von n+1 freien Zimmern. Die Abstaende zwischen denbelegten Zimmern werden also von mal zu mal um 1 groesser. Wenn man dann den 1.Bus so aufteilt, dass jeder Gast in eine andere "Luecke" zwischen den belegten Zimmern einquartiert wird (was ja moeglichh ist, da es ja unendlich viele "Luecken" zwischen den belegten Zimmern gibt) so ist nur *eine* dieser Lucken (die vor dem ersten belegten Zimmer, die nur aus Zimmer 1 besteht) vollstaendig aufgefuellt, alle anderen Luecken (immmmer noch unendlich viele) werden zwar jeweils um ein Zimmer reduziertt, aber es sind immmer noch genug, um den 2. Bus so auf die Luecken zu verteilen, dass je ein Gast in einem freien Zimmer in einer noch nchht vollstaendig gefuellten Luecke einen Platz findet. Dann ist auch die 2. Luecke (die die Zimmer 3 und 4 umfasste) vollstaendig belegt, aber es verblieben immer noch unendlich viele "Luecken" mit freien Zimmern (und die Anzahlen der freien Zimmer in jeder Luecke ergibt noch immer die Folge der natuerlichen Zahhlen: eine Luecke mit nun noch 1 freiem Zimmer, eine mit 2 freien Zimmern usw.).
Ist es da nicht leicht einzusehen, dass man erst mit unendlich vielen Bussen wieder das ganze Hotel belegt haette?
Was ist mit [B= BusNr.; G= GastNr.]:
(2^B - 1) + 2^(B+1) * (G-1)
Damit füllt man mit Bus 1: Zi. 1 (3 bleibt frei) 5 (7 bleibt frei) usf.
Mit Bus 2: Zi 3 (7 bleibt frei) 11 (15 bleibt frei) 19 usf.
mit Bus 3: ZI. 7 (15 bleibt frei) 23 usf.
Mit Bus 4 : Zi 15 (31 bleibt frei) usf.
Wie wäre denn folgendes:
Man könnte die unendlichen Passagiere auch in endliche Zimmer unterbringen. Denn jeder der in ein Hotel eincheckt, checkt auch irgendwann wieder aus. Nehmen wir mal an jeder Gast will sein Zimmer für 24 Stunden. Wenn ich für den Gast eine Geschwindigkeit festlege mit der er geht, sowie einen festen Abstand zwischen den Zimmern, kann ich ermitteln welches Zimmer y Gast x nach 24 Stunden erreicht. Denn wenn Gast x sein Zimmer y belegt, dann muss Gast 1 wieder auschecken. Das bedeutet, Gast (x+1) kann jetzt Zimmer Nummer 1 belegen, und nun haben wir eine Dauerschleife geschaffen die alle Gäste ein Mal für 24h unterbringt, in diesmal einem endlichen Hotel. Wichtig hierbei, das Hotel muss im Kreis laufen, sodass Zimmer 1 nach dem letzten Zimmer y kommt. Denn sonst müsste Gast (x+1), der ja hinter Gast x geht, den Weg wieder zurücklaufen, oder vor dem Hotel warten, bis Gast x sein Zimmer bezogen hat.
Wie immer auch man es machen mag, so würde ich mich als Hotelbesitzer unendlich freuen, über unendlich viel zahlende Kundschaft.
Das sind sehr interessante Überlegungen zu endlichen Hotels :)
ein weiteres juwel!
Danke schön! 🙏
Man hat also unendlich viele Zahlen in 2 Dimensionen, 1 Bus mit unendlich vielen neuen Gästen als Dimension 1, und unendlich viele Busse als Dimension 2. Also im Quadrat.
Jein. :) Durch die Diagonalisierung bringt man ja alle wieder in eine Dimension. Und das muss man ja auch, weil die Hotelzimmer auch eindimensional angeordnet sind.
Unendlich viele Busse wären auch unendlich viel Material, insbesondere höhere Elemente wie Eisen, die erst in Sternen fusioniert werden müssen, aber das geht ja gar nicht, wenn überall Busse sind.
Wenn das Universum unendlich groß ist, müssten nicht überall Busse sein.
@@ExAfricaNovi Es sind in diesem Szenario auch unendlich viele Busse.
@nickname_42: Hilbert's Hotel zeigt uns doch gerade, dass bei unendlich Platz für unendlich viele Elemen durchaus Lücken bleiben können (zB leere Zimmer in Hilbert's Hotel).
@@ExAfricaNovi ∞² = √∞?
Man baut unendliche Hotels.
Um in dem vollbesetzen Hotel noch unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Gaesten unterzubringen, wuerde ich jeweils den Gast von Zimmer n in das Zimmer mit der Zimmernummer n*(n+3)/2 umziehen lassen. Warum? Weil dann Gast 1in Zimmer 2 zieht, also vor dem ersten Gast eine "Luecke" von einem freien Zimmer ist, und zwischen den neuen Zimmern von Gast n und Gast n+1 liegt nun eiine Luecke von
(n+1)*(n+4)/2-n*(n+3)/2 also von n+1 freien Zimmern. die Folge der "aufeinanderfolgen freien Zimmern" ist also nach dem Umzug die Folge der natuerlichen Zahlen.
Wenn ich nun vom ersten Bus den ersten Gast in ein freies Zimmer in der ersten "Luecke" einquartiere (also in der Luecke vor dem ersten belegten Zimmer), ist diese Luecke komplett aufgefuellt (denn die Luecke bestand ja nur aus einem freien Zimmer). Der 2. Gast aus dem Bus wird nun im ersten freien Zimmer in der 2. Luecke untergebracht, die damit von 2 freien Zimmern auf 1 freies Zimmer schrumpft. Der 3. Gast kommt in das erste freie Zimmer in der naechsten Luecke, die damit von 3 freien Zimmern auf 2 freie Zimmmer schrumpft, usw.
Nachdem wir jetzt alle Gaeste aus dem Bus untergebracht haben, haben wir noch immer unendlich viele "Luecken" mit unbesetzten Zimmern, und die Groessen der Luecken sind wiederum 1, 2, 3, ... also die Folge der natuerlichen Zahlen. Diese Luecken fuelle ich nach dem selben Schema mit den (unendlich vielen) Gaesten aus dem zweiten Bus auf, wodurrch die naechste Luecke (vor Zimmer 5) vollstaendig aufgefuellt ist. Die Groesse der nun noch verbleibenden Luecken ist nun wieder die Folge der natuerlichen Zahhlen: Eine Luecke mit Groesse 1, eine mit Groesse 2, usw. Ich kann nun mit dem naechsten Bus auf doie selbe Weise fortfahren, und habe dann eine weitere der urspruenglichen Luecken vollstaendig aufgefuellt (und alle anderen wiederum um 1 verkleinert), es bleiben also wieder unendlich viele noch nichht vollstaendig aufgefuellte Luecken uebrig, und die Folge der Groessen der verbleibenden Luecken ist wieder die Folge der natuerlichen Zahlen: 1, 2, 3, ...
Auf diese Weise bekomme ich also insgesamt im vorher vollbesetzten Hotel tatsaechlich unendllich viele Busse mit je unendlich vielen Gaesten zusaetzlich unter, dank der geschickt gewaehhlten "Neuverteilung" der Zimmer *vor* dem Einzug der neuen Gaeste ...
Nach ansehen des Videos sehe ich, dass mein Ansatz ein voellig anderer als die Loesungen im Video ist: statt die unendlich vielen Busse mit je unendlich vielen Gaesten auf die ungeraden Zimmernummern zu verteilen, verteile ich die vorher bereits im Hotel vorhandenen Gaeste so auf die Zimmer, dass immer groesser werdende Luecken zwischen den nach diesem Umzug belegten Zimmern entstehen. Das ermoeglicht mir, die Luecken in einer Weise aufzufuellen, dass ich mit einer endlichen Zahl von Bussen niemals alle Luecken vollstaedig auffuellen werde,bei unendlich vielen Bussen aber alle Luecken fuelle (mit den ersten n Bussen sind die ersten n Luecken vollstaendig aufgefuellt). Dieser andere Ansatz kommt wohl daher, dass ich nicht davon ausgegangen bin, dass das "bekannte Schema" zum "freiraeumen von Zimmern" nicht unbedingt verwendet werden muss. Zuerst hatte ich ueberlegt, die Zimmer freizuraeumen, indem ich Gast n in das Zimmer n^2 umziehen lasse, damit erreiche ich zwar groesser werdende Luecken zwischen den Zimmern, aber die Luecken werden sehr schnell groesser. Daraufhin habe ich darueber nachgedacht, wie ich die Umverteilung der bereits vorhandenen Gaeste so gestalten kann, dass jede "Luecke" jeweils um 1 groesser ist als die vorhergehende Luecke, und kam auf die Umverteilung
n -> n*(n+3)/2.
Da ist doch schon die grundannahme für dieses Problem falsch und deswegen auch ihre Schlussfolgerungen. Wie ist denn ihre Definition von unendlich?
Hilberts Hotel enthaelt fuer jede natuerliche Zahl genau ein Zimmer, dass diese natuerliche Zahl als Zimmernummer hat.. Damit ist die Menge der Zimmer gleichmaechtig zur Menge der natuerlichen Zahlen. Da es keine "groesste natuerliche Zahl" gibt (das folgt aus den Peano Axiomen), gibt es auch kein "letztes Zimmer"(bzw.keins mit einer groessten Zimmernummer).
Selbstverstaendlich kann es "Hilberts Hotel" in der Realitet nicht geben, aber das ganze ist ja nur ein "Gedankenexperiment": wenn es das doch gaebe, koennte an dann im volllbelegten Hotellnoch unendllich viee weitere Gaesteunterbringen? Ja.Koennte mman dann auch noch unendlich mal unendich viee gaeste zusaetzlich unterbringen? ja
Dass das ganze in der Reaitaet nicht funtioniert, weil es ein soches Hotel gibt, ist fuer dieses Gedankkenexperiment nicht wirklich relevant. Es ist nur ein etwas anschaulicheres Bild fuer die Fragen, welche unendichen Mengen sich bijetiiv aufeinander abbilden lassen.. Die natuerlichen Zahlen auf die Paare aus einer natuerlichen Zahl und einem Element aus der Menge {0, 1} (was ja dem Anschein nach "doppellt so viele" sein muessten)? Ja. Die natuerllichen Zahlen auf die Menge alller Paare von natuerlichenZahlen (das entspraeche dem Beispiel in diesem Video mit den unendlich vielen Bussesn mit je unendlich vielen Fahrgaesten):Ja (denn wir haben ja solche Zuordnungen gefunden).
Mathemmatik muss sich nicht immer auf die phsische Realitaet beschraenken.
Ich finde es mit n3+1 doof.
Wenn Jeder in ungeraden Zimmer, seine eigene Zimmernummer mit (2 * n) multipliziert. Un an jeder Tür klopft. Ist er unendlich unterwegs.
Und bei jeder gerade Zimmer hat es mindestens einmal bis unendlich viel mal geklopft.
Selbst wenn jemand in ein ungeraden zimmer eine fete schmeißt. Braucht er nur seine Zimmernummer mal 4 + 1 zunehmen und im diesem Zimmer anzurufen. Um zusagen, rechne n3+1 ,dann mod 2.
Und wenn alle Gäste aus dem Zimmer kommen? Dann sind alle Zimmer frei und alle Leute aus allen Bussen und alle Gäste in der Lobby können ein Zimmer belegen.
Warum macht man es sich so kompliziert im 3ten Fall?
Wir haben doch im zweiten Fall festgestellt, dass wenn unendlich viele Gäste ins Hotel kommen wollen, dass man wie folgt vorgeht:
2n = n (n ist die Zimmeranzahl)
Wenn wir das jetzt weiter denken, dann wäre bei unendlichen Gästen +1, das gleiche System dahinter
Denn egal wie oft ich auf die unendlichen Gäste weitere Gäste summiere es bleibt unendlich.
Also könnten wir doch für den 3ten Fall, das gleiche anwenden wie im 2ten Fall (aber gleichzeitig).
Und nein, habe kein Mathe studiert oder was in die ähnliche Richtung geht, wie Physik o.ä..
War aber auch nie schlecht in Mathe und bin ein großer Fan davon gewesen, es so möglich wie einfach zu handhaben und auch dementsprechend nicht zu kompliziert zu denken.
Denn oftmals ist die Lösung ebenso simpel wie genial. 😊
Du musst allen neuen Gästen direkt sagen, in welches Zimmer sie gehen sollen, und zwar gleichzeitig. Keiner darf in ein Zimmer einer anderer Person gehen. Wie willst du das bei unendlich vielen Bussen mit jeweils unendlich vielen Personen machen, wenn du wie in Fall 2 vorgehen willst? :)
Funktioniert leider alles trotzdem nicht, da Menschen nur endlich viel Zeit haben zu ihrem Zimmer zu kommen
Jaaaaaa, richtig 👍
Hm .... wenn unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Gästen kommen ... dann kommen doch in Summe immer noch "nur" unendlich viele Gäste an - genauso, wie wenn nur 1 Bus mit unendlich vielen Gästen ankommt.
Insofern müsste doch die Lösung für "1 Bus mit unendlich vielen Gästen" auch mit "unendlich vielen Bussen mit jeweils unendlich vielen Gästen" funktionieren?
Du weißt schon zu viel ;-) Dass das keinen Unterschied macht erarbeiten wir gerade erst in diesem Video :)
@@pharithmetik Ah, ok ... ich hatte es nur zu ca. 1/2 oder 2/3 gesehen ... und da ich nicht alles von dem Primzahlen-Dingsbumms und diesen Kreuztabellen verstand (als ehemaliger Realschüler vor mehr als 40 Jahren), hatte ich dann abgebrochen ;-)
Ich fürchte aber, daß ich demnächst alles bis hin zu Verktorechnung und "Beweisen, das 1+1=2 ist" nachholen darf - denn die Kinder kommen jetzt in die Mittelstufe Gymnasium...
(ok, "Beweis-"Aufgaben dieser Art kenne ich vor allem von einem Freund, der Informatik in KL studiert hatte - keine Ahnung, ob das auch schon auf dem Gym so "trocken" sein wird ..... jedenfalls sahen die Aufgaben des Freundes aus dessen Mathe-Vorlesungen damals wie ein Buch mit 7 Siegeln für mich aus...)
@@system64738 Cool! Ich hoffe, meine Videos können dir dabei ein bisschen helfen. Wenn du magst, kannst du auch gerne in unsere Discord-Community kommen, dort helfen wir uns auch immer gegenseitig (Link oben in der Beschreibung)
Jetzt die nächste Frage: Was passiert dann, wenn unendlich mal unendlich Busse kommen? ;D
Das Diagonalverfahren führt dazu, dass man abzählbar unendlich viele Möglichkeiten in zwei Richtungen hat, bildlich gesprochen eine oben links beginnende Tabelle, die nach rechts und nach unten nicht begrenzt ist, so dass man die eine Richtung (Dimension) für den einen Faktor (Bus-Nummer) und die andere Richtung für den anderen Faktor (Personen-Nummer) verwendet.
M. E. müsste das Diagonalverfahren analog auch im Dreidimensionalen funktionieren. Direkt am "Ursprung" befindet sich das Zimmer Nr. 1 (bildlich: ein kleiner Würfel). Nun kann man in jede der drei Richtungen einen weiteren Würfel anlegen (Nr. 2-4). Anschließend kann man an jeden dieser drei Würfel wieder neue Würfel anlegen. So erhält man ein Gebilde aus kleinen Würfeln, wobei in jeder der drei Richtungen die Anzahl unbegrenzt ist. Jede der drei Richtungen steht für einen Faktor ("Zeitpunkt" [unendlich mal], Bus-Nr. und Personen-Nummer).
Wo ist eigentlich der Unterschied, ob ein Bus mit unendlichen vielen Gästen kommt, oder unendlich viele Busse mit unendlichen vielen Gästen? Wenn alle aussteigen, sind es unendlich viele Gäste. Also sollte auch wieder die Lösung mit dem einen Bus passen.
Du weißt schon zu viel. 😊Die analoge Frage wäre: Kann man alle Gäste aus den unendlichen Bussen in einen einzigen Bus packen?
Naja, mit einer Variablen kommst du ja gar nicht dazu die Personen aus den weiteren Bussen zu verteilen, da du nur damit beschäftigt bist die unendliche Anzahl Personen aus dem 1. Bus zuzuteilen. Du kannst ja nicht einfach einen Cut machen? Und wenn doch wann?
Ich denke, alle Zimmer sind immer leer weil alle ständig ihr Zimmer verlassen müssen weil immer neue unendlich viele Gäste anreisen. Dadurch müssen alle immer wieder ihr Zimmer verlassen und irgendwann muss man so weit gehen zu seinem nächsten Zimmer.... Dass man dort nie ankommen wird und das gilt dann für alle und somit sind irgendwann alle Zimmer immer leer 👍😂
Ich kenne das ursprüngliche Video und fand es doof, daß es nicht aufgelöst wurde. 😉
Was ich aber nicht so ganz verstehe: Wenn unendliche viele Busse mit unendlich vielen Fahrgästen auftauchen und alle Fahrgäste aussteigen und ins Hotel wollen, haben wir doch eigentlich exakt dieselbe Situation wie beim zweiten Fall. Denn ob aus einem Bus unendlich viele Gäste oder aus unendlich vielen Bussen unendlich viele Gäste aussteigen, ist letztendlich doch egal. Es wären zwar unendlich viele mehr, letztendlich aber auch gleich viele, nämlich unendlich viele. Also eine gewaltig große Menschenmasse, die man unterbringen könnte, wenn man die Zimmer mit den ungeraden Nummern räumt.
Die Frage ist: Ist (abzaehlbar) unendlich mal (abzaehlbar) unendlich wiederum (abzaehlbar) unendlich oder "irgendwie mehr"? 2^(abzaehhlbar unendlich) ist ja bekanntlich "mehr" als "abzaehhlbar unendlich" (Maechtigkeit der reellen Zahlen ist groesser als die Maechtigkeit der natuerlichen Zahlen, wie Herr Cantor damals gezeigt hat, aber ist das womoeglich bereits bei abzaehlbar unendlich mal abzaehhlbar unendlichh der Fall?).
Deswegen ist dein Argument meiner Ansicht nach nicht unbedingt stichhaltig. Die Loesung der Aufgabe (die Fahrgaeste aus unendlich vielen Bussen mit je unendlich vielen Fahrgaesten zusaetzlch im vollbesetzten "Hilberts Hotel"unterbringen) beantwortet die Frage dahingehen, dass abzaehlbar unendlich mal abzaehlbar unendlich wiederum "nur" abzaehlbar unendlich ist ...
Mit dem 2. Fall kannst du nur die Leute aus einem Bus unterbringen. Mit der Lösung "Jeder verdoppelt seine Zimmernr." bekommst du zwar alle aus dem 1. Bus rein, jedoch nicht die aus den anderen Bussen. Da man ja unendlich Leute aus dem 1. Bus im Hotel unterbringen muss, kommt man erst gar nicht zu den weiteren Bussen.
@@HustenbonbonTV Wie gesagt: Das sehe ich eben nicht so.
Vielleicht anders erklärt, wie ich es meine: Bei Hilberts Hotel geht es ja auch um Gleichzeitigkeit. Das hat man schon beim ersten Fall: Eine Durchsage an alle, jeder rückt eins auf, Zimmer 1 ist frei. Beim 2. Fall dasselbe. Durchsage, Zimmerwechsel, unendlich viele Zimmer sind frei. Bis dahin ist ja alles klar.
Aber inwiefern unterscheiden sich die Fälle 2 und 3? Also vom offensichtlichem Faktum mal abgesehen, daß es nicht ein Bus mit unendlich vielen Gästen ist, sondern unendlich viele Busse mit unendlich vielen Gästen. Wenn die alle gleichzeitig aussteigen, wäre es ja "nur" EINE große, unendliche Menschenmasse. Aus logischer Sicht wäre es zwar eine "höherwertige" Unendlichkeit, aber letztendlich trotzdem nur EINE Menschenmasse, für die der 2. Fall völlig ausreichen würde.
@@MatthaeusRedlich Wie willst du bitte UNENDLICH Leute aus UNENDLICH Bussen zu einer Menschenmasse zusammenführen?
D.h. am Anfang hatten wir eine Belegungsquote von 100%. Am Ende gibt's unendlich viele freie Zimmer. Die "Lösung" mit den Primzahlpotenzen ist nicht effizient. Wie würde man hier die Belegung berechnen? Divergiert der Abstand von Primzahlen in N nach unendlich? Je mehr Primzahlen ich habe, desto mehr "Mischterme" können gebildet werden, also bleiben unendlich mehr Zimmer frei, als hierdurch belegt werden. Also anfangs 100%, nach dem "Freiräumen" 50%, und nach den Bussen 0% ?
Bei unendlich gibt es keine Prozente
@@HustenbonbonTV Wirklich? Die natürlichen Zahlen sind unendlich, dennoch kann man sagen, dass 50% davon gerade, und 50% ungrade sind...? Auch die Kardinalität der rationalen und irrationalen Zahlen ist gleich, daher könnte man doch sagen, dass rationale Zahlen 50% der reellen Zahlen (= rational + irrational) ausmachen? Oder nicht? Warum nicht?
Und ein Drittel aller Zahlen ist durch 3 teilbar. Inwiefern bezieht sich das auf die Unendlichkeit?
@@HustenbonbonTV Dass das 33,3..% aller Zahlen sind und man eben doch Prozentangaben machen kann?
Bezogen auf Hilberts Hotel: wenn alle Zimmer belegt sind, sind das doch 100%? Wenn nun alle im Zimmer n ins Zimmer 2n ziehen, wechseln sich belegte und nicht belegte Zimmer bis ins Unendliche ab. Die Kardinallität ist dabei gleich. Also 50% unbelegt und 50% belegt?
Leider funktioniert das mit Hilberts Hotel so nicht! Es sind angeblich alle Zimmer belegt. Wenn jeder sein Zimmer verlässt und das Zimmer nebenan betritt, sind immer noch alle Zimmer belegt! Es ist kein Platz frei.
Beispiel:
Der aus Zimmer 1 geht zu Zimmer 2
Der aus Zimmer 2 geht zu Zimmer 3
In Zimmer 1 kommt der aus Zimmer 0!
In Zimmer 0 kommt der aus Zimmer -1!
Zimmer -2 geht zu Zimmer -1; usw.
Fazit: Es ist somit nie ein Zimmer frei!!!
Wo ist der letzte Gast? -2000 oder -1.000.000??? Bei Unendlich, weiß man das nicht! Es wird nie ein freies Zimmer geben...
Man könnte allerdings folgendes machen:
Es wird ein neues Hotel gebaut! Bei einem neuen Hotel, ist bekanntlich noch kein Gast drin, da es neu gebaut wurde. Somit bringt man den einen Gast unter. Sobald allerdings ein Bus mit unendlich vielen Gästen ankommt, hat man wieder alle Plätze belegt.
Schade, irgendwie!? Hätte ein gutes Rätsel sein können...
Wie soll irgendjemand in einem Zimmer -x hocken, wenn es diese Zimmer nicht gibt
Es gibt weder ein Zimmer mit Zimmernummer 0 noch welche mit negativen Zimmernummmmmern. Oder hast du in eine Hotel schon einmal eine Zimmernummer kleiner als 1 gesehen???
@@HustenbonbonTV Es heißt ja: Unendlich viele Zimmer! Wo die Zimmernummer anfängt, ist bei der Aufgabenstellung nicht ersichtlich bzw. nicht gegeben. Würde die Zimmernummer bei 1 anfangen, wären es nicht unendlich viele Zimmer, da bei einer klar definierten Nummer begonnen wird. Wenn alle Zimmer belegt sind, dann sind auch alle Zimmer belegt und nicht ein Zimmer frei! Auch wenn jeder Gast in das nächste Zimmer geht.
@@ALWIM1983 Laut deiner Theorie müsste ja dann das allererste Zimmer frei sein.
@@ALWIM1983 Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich groß, obwohl sie bei 0 bzw. 1 beginnt.
Nur ein Hinweis: Die Vermischung von Alltagssprache und Fachsprache ist ja, wie auch ich weiß, immer ein Problem. Im Hotelfall stört mich die Verwendung des Wortes "alle" im Satz "Es sind alle Zimmer belegt." Wenn "alle" belegt sind, dann darf es kein Zimmer geben, dass wie auch immer neu belegt werden kann.
Mathematisch/logisch betrachtet sollte die Formulierung wohl heißen "Der Satz "Es gibt ein Zimmer, dass belegt werden kann" ist falsch."
Dass sich beliebig viele und unterschiedlich große Unendlichkeiten konstruieren lassen, steht wohl außer Frage. Hilberts Hotel (bzw. die Formulierung) ist mMn kein gutes Beispiel für ein Konstruktionsprinzip.
Es waren zu Anfang *alle* belegt (denn es war *kein* Zimmer frei). Nur durch denUmmzug der bereits im Hotel wohnenden Gaeste ermomeglichte es, Zimmmer "frei zu raeummen" ohne Gaeste hinauswerfen zumuessen. Ohne "Umzug innerhhalb des Hotels" haette man *alle* neu angekommenen Gaeste abweisen muessen ... Das "freiraeumen durch Umzugohne Gaeste rauszuwerfen" funktioniert auchnur mit "unendlich vielen Zimmern", bei nur "endlich vielen Zimmern" koennte man auf diese Methode keine Zimmer frei bekommen.
Das ist nicht sauber gelöst
Die letzte Loesung m Video schon, denn bei der werden *alle* neuen Gaeste unttergebrach und es bleibtt auch nach der Neubelegung kein einziges Zimmer frei. Eine andere Moeglichkeitt, die das gleiche erfuellt, habe ich in einem anderen Beitrag angegeben: das erste "umziehen" um Plaz fuer die neuen Gaeste zu schaffen, macht man so, dass Gast nin Zimmer n*(n+3)/2 umzieht. Damit entstehen Folgen von freienZimmmern, derenLaengen jeweils den natuerlichen Zahlen entsprechen (Zimmer 1, Zimmer 3-4, Zimmer 6--8,...), also sind es unendlich viele Folgen von freienZimmern, deren Laengen jeweils die natuerlichen Zahlen sind. legt man nun von jedemBus je einen Passagiier in ein Zimmer aus eine noch nicht vollstaendig aufgefuellten Folge von Zimmern, verbleiben fuer den Rest der Busse wiederumnoch unendlich viele Folgen von leerenZimmern, deren Laengen jeweils die natuerliichenZahhllen sind ...
Bei 17:05 gibt’s die Auflösung