когда рассказывался первый вариант, я сидел и думал "да ну нафиг, перебором решать точно не правильно" и искренне не понимал зачем он это делает помимо какого-то адского тайминга, который явно не подходит олимпиаде, тут еще целых две подсказки: подозрительно повторяющиеся блоки цифр в числе и 5-ка на конце, дающая не так много вариантов
@@РаисаАршинова-з7э не проще в уме просто умножить 45 сначала на 40 - это будет 1800, а потом 45 на 5, это будет 225, и сложить вместе, если считать умеешь то в числах не запутаешься))))
Я пока не досмотрел, но тут есть куда более очевидное решение.) Есть легко проверяемый факт: произведение сумм двух квадратов это сумма двух квадратов (потому что в комплексных числах модуль произведения это произведение модулей), так что напрашивается мысль разложить это на множители. Получишь 1945*10001=(2*2+1*1)*(100*100+1*1)*389, осталось только 389 сделать суммой квадратов, что, полагаю, несложно. Напоминаю, ролик я не досмотрел, может, так в итоге Борис и решил.
А это не надо запоминать. Квадраты чисел типа х5 находятся следующим образом - х0*(х+1)0 + 25 то есть 15^2 = 10*20+25 = 225; 35^2 = 30*40+25 = 1225; 85^2 = 80*90+25 = 7225 и т.д.
Не угадал ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D0%B0#%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D1%8B
@@vvoooov А разве у него не несколько названий? ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D1%8B_%E2%80%94_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8?A%252F%252Fyandex.ru%252F%253Ffrom%253Dalice
@@Hesalex Индус по старше будет. А вообще, я извиняюсь за это. Хоть тождеством Эйлера назови, такие споры бесполезны и сути по отношению к задачи не меняют
Гениально.Я бы 100 лет решал.Где вы были 20 лет назад когда я был школьником.Ладно, зато будет что дочке показать когда в школу пойдет.Успехов, спасибо.Подписываюсь.И лайкою
Не знала, что олимпиады могут быть интересными... первое видио по этой теме в рекомендациях, а так понравилось, что хочется теперь самой решить какую-нибудь ещё задачу...
Помню, после сессии четвертого курса пьём пиво в сквере напротив универа, тут подбегает наш бывший староста, весь такой взволнованный: "Пацаны, пацаны, короче, мне сеструха рассказала, чё это за хрень, которая "интеграл", ну... которая как S длинная... типа транскрипции "Ш" в английском словаре..! Короче, помните в школе была такая штука - ПЕРВООБРАЗНАЯ, ну т.е. производная наоборот? Так вот это ОНА И ЕСТЬ, прикиньте?!!" )))
Я вот двух вещей не пойму ,почему данное видео у меня в рекомендациях,и почему я уже смотрю третье видео.Пока я пытаюсь понять две эти вещи,оформлю подписку
Спасибо за крутые разборы олимпиадных задач!☺️ Ваши видео очень помогают с подготовкой. Можно побольше разборов подобных задач из олимпиад 1го/2го уровня🙏🏻
А мне понравилось! Я, правда не знал, что 10001 = 73х137. Стоило заметить, что есть просто теорема о том когда число можно представить в виде суммы двух квадратов (все простые делители вида 4k-1 входят в четной степени). Но в любом случае именно так она и доказывается: (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2. Поэтому участнику нужно было заметить, что 19451945 = 1945х100001=(44^2+3^2)(100^2+1^2). Для числа 1945, можно было и снова приемом воспользоваться: 1945 = 5х389 = (2^2+1^2)(10^2+17^2) = 37^2 + 24^2 или = 44^2+3^2. Вообще 100001 = 5х73х137х389 = (2^2+1^2)(6^2+1^2)(11^2+4^2)(17^2+10^2) . Комбинируя способы применения формулы (решая в каждом случае кто a и кто b) можно получить все 8 решений указаных Timur Pryadilin. Целая лекция может быть по таким задачам: 1) простые числа виде 4k+1 однозначно представимы в виде суммы двух квадратов 2) аналогичная формула для суммы 4х квадратов 3) в среднем число представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (порядок важен) pi/4 способами ...
Alex Ivanov , если в математике хочется что-то запомнить, значит что-то идет не так (просто мое мнение). Знаете, для комплексных чисел x=a+bi и y=c+di выполнено: |xy|=|x||y|
мне тоже кажется, что задача не самая интересная, но при её решении приходится вспоминать много другого интересного. Значит в этом и есть её интересность!!!
Отличный разбор. Последняя часть очень хорошо объяснена. В принципе, чтобы упростить нахождение суммы квадратов для 1945, можно было бы применить тот же метод, заметив, что 1945 = 5 * 389, и 389 = 17^2 + 10^2. Кроме того, поскольку и 1945, и 10001 есть произведение двух простых чисел вида 4k + 1, то из этого следует, что у задачи существует 8 различных решений.
Решение есть: 3149^2 + 3088^2 = 19451945 Чекайте! Решил в лоб, без листочка и без калькулятора. Пошаманил с цифрами и собсна, всё) Сначала подыскал близкие трехзначные, это 315 и 310, посмотрел и решил, что 310 как-то много, взял 309, и их сумма квадратов на мой взгляд была близка к нужному, а именно получил 194706. Дальше я пошёл ещё более мелкими шагами. Короче, 19470600 - (2*3150 + 1) - (2*2*3090 + 2*1 + 4) = 19451945
Насчет легендарной задачи из саммата: кажись я понял как они придумали эту задачу. Короче есть такое тождество Брахмагупты, оно доказывает, что если число представили в виде произведения чисел являющихся суммой квадратов, то оно представимо в виде суммы двух квадратов и наоборот : (x^2 + y^2)(a^2 + b^2) = (ax+by)^2 + (bx-ay)^2. И отсюда уже можно пачками штамповать такие задачи: Берете 4 квадрата, складываете их по парам, полученные результаты перемножаете и просите представить полученное число в виде суммы 2 квадратов. Так что какая никакая но теория чисел за этой задачей стоит) Вот так вот я переоткрыл уже ставшую легендарным мемом задачу спустя много лет)
Если перебрать все пары целых чисел в диапазоне от 1 до квадратного корня из 19451945, то у задачи находятся 8 пар различных решений. Самые близкие друг к другу числа - 3088 и 3149 😊
Скоро Рождество. Предлагаю в одном из ближайших видео рассказать о Рождественской теореме Ферма о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов. Почему представление всегда есть и почему всегда только одно. И о том, почему нет детерминированного алгоритма для отыскания этого представления. :)
двузначные числа ,оканчивающие на 5 и возведенные во вторую степень решаются так : первая цифра умножается на следующую за ней и к этому значению приписывается 5 помноженную на себя, то есть 25.например 15 во второй степени : 1 умножаем на 2 ровняется 2 и приписываем 25 получилось 225. 95 во второй - 9 умножаем на 10 и приписываем 25= 9025 и т.д.
Число 19451945 очень замечательное. Оно представляется суммой квадратов 8-ю различными способами. 19451945=256^2+4403^2=344^2+4397^2=581^2+4372^2=1252^2+4229^2=2363^2+3724^2=2437^2+3676^2=2632^2+3532^2=3088^2+3149^2 Сначала я решил задачу брутфорсом в икселе, потом мне стало стыдно и я вспомнил про старика Брахмагупту и получил 2 решения по этой формуле. Глубокоуважаемый маэстро Борис тоже в конце ролика воспользовался этой формулой. Всем большой математический привет, дядя Лева
Никаких чудес. Кто проходил комплексные, знает, чтотнорма произведения равна произведению норм, расставляем +и-кикаждой компоненте и получаем 8 вариантов
Если уже проходили комплексные, то неожиданных идей не надо. Сумма квадратов - это же квадрат нормы какого-то числа, а мы знаем, что норма произведения равна произведению норм, можно попробовать разложить исходное.
А мне нравится эта задача. Брутфорсить без калькулятора стрёмно, поэтому надо проявить смекалку. Первое, что приходит в голову - это окружность )) Правда, чё с ней дальше делать, я пока не знаю. Придумывать, с какими диаметрами она может пересекаться или типа того. Но разложить на сумму квадратов - это вау. Я не догадался.
Задача довольно интересная, но она больше на внимательность и так называемую смекалку. Мне кажется одна из самых важных подсказок это конечно само число 19451945. Думаю что все подумали его раскласть , но второй шаг действительно сложный. Но в целом задача интересная.
@@Шахи3000 19451945=10001*1945=(100²+1²)(44²+3²)=(100+i)(100-i)(44+3i)(44-3i) Перемножим скобки с отрицательным коэффициентов перед I и положительным. (4400+300i+44i+3i²)(4400-300i-44i+3i²)=(4400-3+344i)(4400-3-344i)=(4397+344i)(4397-344i)=4397²+344²
@@Шахи3000 Кстати аналогично можно было брать пары скобок с разным знаком у коэффициентами перед i, получится другая пара. Так из произведения сумм квадратов можно сделать одну сумму квадратов
Решение через комплексные числа (100²+1²)(44²+3²)=(100+i)(100-i)(44+3i)(44-3i)= (4400-300i+44i+3)(4400+300i-44i+3)= (4403-256i)(4403+256i)=4403²+256² Там ещё кучу других решений можно найти, если менять мнимые и действительные части и перемножая другие скобки Решений должно быть около 8
Класс. Мне очень понравилось. Подобные примеры видела - принцип решения точно такой же. Но с большими числами и без калькулятора😨 Недавно где-то видела извлечение корня без калькулятора. Эх, не сохранила... Но там принцип разбивать чило на пары или тройки цифр слева направо, кажется, и, а вот дальше не помню. Увы. Если у вас на канале такое видео есть не плохо было бы ссылку на него (как раз в тему!), а если нет, мне кажется, что не плохая идея для свежего ролика. Спасибо за ваш труд!
Потратил на это задание большую часть времени (не решил в итоге >:( , хотя перебрал 3 числа первым способом, и смог разбить на скобки как во втором). Посчитал, раз это первое задание, и так плохо решил, что олимпиады не мое. СПАСИБО САМАРА! Но сейчас вижу ваше видео, и понимаю, что меня подловили, именно поставив его первым, поэтому стоило бы начинать с других заданий. Интересно узнать ваше мнение про задания на САММАТЕ в целом.
Я слишком ленив чтобы решать в лоб. разложение на 10001 и 1945 пришло в голову сразу. А дальше подзавис. Теперь когда есть решение, его нужно унифицировать и положить в копилку арсенал.
помню в журнале прочитал метод как числа а-ля 45, 35, 25, и так далее возводить в квадрат в уме. на примере 35: нужно число десятков домножить на следующее число, т.е. 3*4 =12 а сзади дописывам 25 и получаем 1225. работает для всех чисел оканчивающихся на 5. Школьники берите пользуйтесь
Мне почти 40 лет, и я с удовольствием смотрю такие задания. Спасибо! З.Ы. Посмотрел несколько разборов "обычных" для меня ранее заданий, удивление вызывает насколько шаблонами ЕГЭ отучили детей думать.... Комменты убивают порой
@@xlenchik Не согласен в корне с Вами! Учителя зависимы от ЕГЭ порой даже больше чем ученики - с них требуют результатов и они вынуждены их дать. И учителя идут по пути наименьшего сопротивления, т.е. вбить в головы школьника шаблон, зная который он с высокой долей вероятности наберет необходимый балл. И из этого явно следует, что научить всех решать заранее прогнозируемые задания гораздо проще, чем вырастить математика (не важно какая наука, смысл тот же). Средний балл большой - все довольны (МинОбр, рано, директор, завуч, учитель, ученик, родители).... но то что из этой массы "достать" действительно математика/биолога/историка и .т.д. становится практически нереально никто не думает. А кто в этом виноват, задайтесь вопросом? Учитель??? - Нет! Что? в один день все учителя отупели и разучились учить?)))) Да нет, конечно. Ученики? Тоже нет, они хотят хорошую оценку и все, знания в школе единицы хотят получить, желание получения знаний у большинства позже наступает. Учитель виноват? В чем? В том что он обеспечивает при должном уровне своего опыта/образования высокий средний балл (средняя температуру по больнице) :)))) Если он ее (температуру по больнице) не будет обеспечивать, его нахрен уволят, т.к. он не справляется со своими обязанностями. Система виновата имхо,
@@EvgenyGutkin Извините, Вы совершенно правы. Не учла, что шаблонизированное ЕГЭ в России это далеко не аналог ЗНО в Украине. У нас в ЗНО задачи значительно разнообразнее и в значительно большей степени требуют умения анализировать, думать, комбинировать разные подходы, нежели решать типовые задачи по шаблону, не меняющегося из года в год.
Решая в лоб, необязательно вручную считать все квадраты Очевидно, что квадрат числа, которое на 1 меньше другого числа, чей квадрат известен, будет меньше на n²-(n-1)² = 2n-1, что посчитать уж проще)
Есть же простое и полезное свойство - Если посчитать разницу между (x+1)2 - x2 = 2x + 1. Типо если мы знаем x2 и хотим найти (x-1)2, то нам достаточно просто отнять сначала х, а потом х-1. Например если мы знаем 4410^2 = 19448100, то 4409^2 = 19448100 - 4410 - 4409 = 19439281. Просто представьте сколько времени это сэкономило бы на олимпиаде
Люди, чуть старше знают, что 256^2 = 65536, потому что в эпоху, пока не появились смартфоны это было одной из характеристикой телефонов) количество цветов экрана телефона часто было таким)
не только в старых телефонах и компах (игр дофига было в 16 битах, да и видеокарты с мониками старые максимум столько умели), все кто хоть немного дружат с графикой, знают, что это в принципе количество цветов в 16 битной палитре, в любом даже современном редакторе это есть, а ещё это 8 килобайт или других 8192 х-байт, где х такой же как и в 65536 х-бит (кило-, мега-, гига- и т .д.) )) upd: это же число в квадрате даёт максимально возможное количество ip адресов в версии ipv4 (то чем пользуются практически все на данный момент)
Мне показалось, что совсем простая задача :) 19451945 = 10001*1945 = 10001 * 5 * 389 = (100^2 + 1^2) * (2^2+1^2) * (10^2 + 17^2) далее используем известный факт, что произведение чисел, являющихся суммой квадратов само является суммой квадратов (a^2+b^2) * (c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 Ну и строим нужную нам пару чисел, например 4397 и 344
Последний способ вообще бомбовый!... Думаю, на олимпиаде такой пример давать можно - первый способ лёгкий (очевидный) (Кто те 94 человека, которые ставят дизлайки? Вы, вообще люди?)
Проще разложить 19451945=5*73*137*389, а дальше уже на самом деле легко заметить, что это (4+1)(64+9)(121+16)(289+100) = (2^2+1^2)(8^2+3^2)(11^2+4^2)(17^2+10^2). Потом можно трижды воспользоваться неоднократно упомянутым тождеством Брахмагупты и получить один из нескольких ответов (в зависимости от выбранной формулы).
как считать числа с окончанием на 5. )) 35 например. : 3 умножаем на число,которое,когда мьі считаем !!!стоит после него ( 1234567) 3*4=12 и просто всегда добавляем 25.
Хм. Очень интересное решение. Но это для крепких математиков. Я с этой наукой очень близок, но даже 1945*10001 для меня стало потрясающим откровением. А дальше, так вообще ))) Спасибо!
Не понимал, зачем начинать проверку с сложных подходов, видя подобное число. А потом ты показал способ решения, который мне в голову пришёл сразу. Спасибо бабушке препод по вышмату была. Научила на меньших числах в классе 7-8
Интересно, что если взять еще дату восстания декабристов (1825) и наложить ее на предложенную дату окончания ВОВ, т.е. уравнение x² + y² = 19451825 то будет уже на 8 пар решений, а 12 пар: 112, 4409; 665, 4360; 785, 4340; 1127, 4264; 1324, 4207; 1465, 4160; 1976, 3943; 2084, 3887; 2449, 3668; 2735, 3460; 3001, 3232; 3089, 3148. Заинтересовался и написал программу поиска числа с максимальным количеством пар решений...
@@Ефимов_Юра Если число было бы 19411945, то задача бы не имела решения. А если было бы 19391945, то задаа была бы не решаема подбором - ближайшая пара х и у - 4309,908; а это даже не в первой 30 от наибольшего х.
Могу предложить еще один способ решения, который требует одного "подбора квадрата, близкого к числу" и одного вычисления корня из не очень большого числа, ну и, к тому же, этот способ является универсальным: Обозначим правую часть буквой "C". Тогда имеем уравнение: x^2 + y^2 = C Выделим квадрат и перенесем вправо: (x + y)^2 = C + 2xy Отсюда видно, что можно попробовать поискать квадраты, большие чем C(можно сразу заметить, что квадрат должен иметь ту же четность, что и C) и сказать, что: C + 2xy = P^2; x + y = P, следовательно x и y являются корнями уравнения t^2 - P*t + (P^2 - C) / 2 = 0 Откуда: x = (P + sqrt(2C - P^2)) / 2, y = (P - sqrt(2C - P^2)) / 2 Для того, чтобы решения существовали, нужно P^2 < 2C То есть, за 2 минуты простых рассуждений имеем готовый алгоритм решения: найти целый квадрат из промежутка [C; 2C] той же четности, что и C, и просто подставить в формулы. Теперь вспомним, что C - очень большое, а значит подбирать числа надо с умом, чтобы как можно меньше работать с большими числами. P - порядка корня из C, то есть не очень большое, а вот P^2 уже порядка C и большое, а значит нам будет сложно считать sqrt(2C - P^2), но можно упростить себе задача, если искать не абы какой корень, а ближайший к 2C, чтобы разность была минимальна, тогда корень легко извлечется и будет маленьким. Ну и, если решать таким способом, то ответом будет 3149 и 3088
@@iwillwatch ну, получается, одно умножение на два, один подбор квадрата, одно вычитание. Это точно лучше первого способа из видео. Если сравнивать со вторым способом, то вычислений почти столько же (не забывайте, что там тоже подбирается квадрат)
Для тех кому интересно вот все возможные решения этой задачи: 256, 4403 334, 4397 581, 4372 1252, 4229 2363, 3724 2437, 3676 2632, 3539 3088, 3149 И очевидно можно местами менять x и y.
Трушин считает столбиком 20 минут без смс и регистрации
@Unidentified местный мем, мол БВ часто лажает в арифметике и в принципе не любит считать
когда рассказывался первый вариант, я сидел и думал "да ну нафиг, перебором решать точно не правильно" и искренне не понимал зачем он это делает помимо какого-то адского тайминга, который явно не подходит олимпиаде, тут еще целых две подсказки: подозрительно повторяющиеся блоки цифр в числе и 5-ка на конце, дающая не так много вариантов
Скачать бесплатно торрентом
а что, не надо было СМС посылать что ли?
😅😂🤣
Борис: Если разность этих чисел окажется полным квадратом, то мы решили задачу
*Я смотрю на хронометраж*: Не окажется..
Но он же говорил о двух способах! Вдруг второй надёжный, но длинный?
Не ожидал тебя встретить тут)
Туротряд Артека на месте))
ZeL1k7 Stream привет)
45^2=50×40+25=2025
@@РаисаАршинова-з7э не проще в уме просто умножить 45 сначала на 40 - это будет 1800, а потом 45 на 5, это будет 225, и сложить вместе, если считать умеешь то в числах не запутаешься))))
как обычно, всё решается через "не сложно заметить что"!
Ага, мы их всегда назвали: задачи "очевидно, что..."😄😄
Путём НЕСЛОЖНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ...
"Вдумчивый читатель уже с самого начала заметил, что решение задачи весьма тривиально. Поэтому в данной книг мы его не приводим" xD
Я пока не досмотрел, но тут есть куда более очевидное решение.)
Есть легко проверяемый факт: произведение сумм двух квадратов это сумма двух квадратов (потому что в комплексных числах модуль произведения это произведение модулей), так что напрашивается мысль разложить это на множители. Получишь 1945*10001=(2*2+1*1)*(100*100+1*1)*389, осталось только 389 сделать суммой квадратов, что, полагаю, несложно. Напоминаю, ролик я не досмотрел, может, так в итоге Борис и решил.
Досчитал, 389=17*17+10*10, так что получим даже не одно решение такого уравнения.)
Всё что я запомнил из этого видео - 45 в квадрате = 2025. Через 5 лет понадобится
Ты родился в 1980?
А это не надо запоминать. Квадраты чисел типа х5 находятся следующим образом - х0*(х+1)0 + 25
то есть 15^2 = 10*20+25 = 225;
35^2 = 30*40+25 = 1225;
85^2 = 80*90+25 = 7225
и т.д.
@@ВсёПутём-с8у Абалдеть
@@ВсёПутём-с8у меньший десяток на больший десяток плюс 25
@@ВсёПутём-с8у з
Открыл видео, а тут трушин в столбик считает 👁️👄👁️
Заметили ли вы, что другое качество звука стало?
@@y1bfnf5z1j3 карацуба?
ваууу он считает за доли минут
Гроб никого не щадит!!!
- Мастер ФИДЕ, Максим Омариев
Хпазах
В 2 часа ночи смотрю как Трушин решает столбиком
В 1:44
Жиза
17:25 - тождество Диофанта: (a²+b²)(c²+d²) можно представить в виде суммы двух квадратов (ac+bd)²+(ad-bc)²
Не угадал ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D0%B0#%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D1%8B
Только "Брахмагупты"
@@nife416
Я до вчерашнего дня вообще не знал, что у этого равенства есть название )
@@vvoooov А разве у него не несколько названий? ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D1%8B_%E2%80%94_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8?A%252F%252Fyandex.ru%252F%253Ffrom%253Dalice
@@Hesalex Индус по старше будет. А вообще, я извиняюсь за это. Хоть тождеством Эйлера назови, такие споры бесполезны и сути по отношению к задачи не меняют
Несмотря на то, что я преподавал химию в средний школе, почти всегда смотрел и смотрю ваши ролики. Вы просто умница!!! Мое почтение!
Мне почтение :)
Тебе то за что?
Те кто хоть немного знают информатику, решат обычным перебором с симуляцией компа в мозгу)
Такой подход говорит о непонимании сути.
@@alexeybekasov4298, такой ответ говорит о непонимании юмора.
@@sasharasty2890 ok :)
для желающих вот полный перебор (запускается в браузере в консоли):
function cnt(x) {return Math.sqrt(19451945-(x*x));}
for(var j=1;j
@@lexcheshir6416 что-то фаирфокс возвращает неопределенность
Гениально.Я бы 100 лет решал.Где вы были 20 лет назад когда я был школьником.Ладно, зато будет что дочке показать когда в школу пойдет.Успехов, спасибо.Подписываюсь.И лайкою
Не знала, что олимпиады могут быть интересными... первое видио по этой теме в рекомендациях, а так понравилось, что хочется теперь самой решить какую-нибудь ещё задачу...
Как приятно теперь смотреть эти видео после сессии первого курса))
Помню, после сессии четвертого курса пьём пиво в сквере напротив универа, тут подбегает наш бывший староста, весь такой взволнованный: "Пацаны, пацаны, короче, мне сеструха рассказала, чё это за хрень, которая "интеграл", ну... которая как S длинная... типа транскрипции "Ш" в английском словаре..! Короче, помните в школе была такая штука - ПЕРВООБРАЗНАЯ, ну т.е. производная наоборот? Так вот это ОНА И ЕСТЬ, прикиньте?!!"
)))
@@nicolaysmirnov4542 а че за специальность? Лингвистика что ли?
@@Sergonizer Автоматизация технологических процессов производств ))
Открыл видео с этого канала первый раз, не знаю зачем я это посмотрел, но было очень интересно
Увлекаюсь математикой и слушаю Гражданскую Оборону (ГроБ). Интересно, по какой из этих двух причин мне в рекомендациях высветилось данное видео?)
По обеим причинам.
Та же фигня...
@@hleba_kusok1404 обеим
@@aoaoa605 точно, прошу прощения.
Иногда смотрю видео по математике.
Ну и Гр.Об само собой
Я вот двух вещей не пойму ,почему данное видео у меня в рекомендациях,и почему я уже смотрю третье видео.Пока я пытаюсь понять две эти вещи,оформлю подписку
Спасибо за крутые разборы олимпиадных задач!☺️ Ваши видео очень помогают с подготовкой. Можно побольше разборов подобных задач из олимпиад 1го/2го уровня🙏🏻
10:12 Чудеса озвучки: слышим "восемь", по губам читаем "шесть". :-)
Владимир Валерьевич шесть (десять)
У Вас отличная когнитивная гибкость!
6 (четыре)
четыре(четыре)
*Великолепно!* Жаль, додуматься до такого решения практически невозможно! Уверен, что статистика подтвердила бы моё утверждение.
Благодарю за труды. Очень интересно смотреть Ваши видео!
А мне понравилось! Я, правда не знал, что 10001 = 73х137. Стоило заметить, что есть просто теорема о том когда число можно представить в виде суммы двух квадратов (все простые делители вида 4k-1 входят в четной степени). Но в любом случае именно так она и доказывается: (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2. Поэтому участнику нужно было заметить, что 19451945 = 1945х100001=(44^2+3^2)(100^2+1^2). Для числа 1945, можно было и снова приемом воспользоваться: 1945 = 5х389 = (2^2+1^2)(10^2+17^2) = 37^2 + 24^2 или = 44^2+3^2.
Вообще 100001 = 5х73х137х389 = (2^2+1^2)(6^2+1^2)(11^2+4^2)(17^2+10^2) . Комбинируя способы применения формулы (решая в каждом случае кто a и кто b) можно получить все 8 решений указаных Timur Pryadilin.
Целая лекция может быть по таким задачам:
1) простые числа виде 4k+1 однозначно представимы в виде суммы двух квадратов
2) аналогичная формула для суммы 4х квадратов
3) в среднем число представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (порядок важен) pi/4 способами ...
Неплохо 🐸👏
Это все легко только осталось запомнить все формулы типа (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2
Alex Ivanov , если в математике хочется что-то запомнить, значит что-то идет не так (просто мое мнение). Знаете, для комплексных чисел x=a+bi и y=c+di выполнено: |xy|=|x||y|
73 неправильно разложили: не (6^2+1^2)=37, а (8^2+3^2)=73
Всего 16 решений
Борис, Вы умница.Смотрю с удовольствием.Так держать!
мне тоже кажется, что задача не самая интересная, но при её решении приходится вспоминать много другого интересного. Значит в этом и есть её интересность!!!
Отличный разбор. Последняя часть очень хорошо объяснена. В принципе, чтобы упростить нахождение суммы квадратов для 1945, можно было бы применить тот же метод, заметив, что 1945 = 5 * 389, и 389 = 17^2 + 10^2. Кроме того, поскольку и 1945, и 10001 есть произведение двух простых чисел вида 4k + 1, то из этого следует, что у задачи существует 8 различных решений.
а при чем тут 4k+1? вижу это в комментариях, но не понимаю, откуда это вылезло
Действительно, 8 пар решений.
Фух! Я испугалась сначала, что красивого решения не будет :)
да его по факту и нет. Тут только условие красивое.
@@фкпфкпукпфупак Так напишите, если знаете решение получше.
@@livemirraia кто сказал вам что я знаю лучше?
Решение есть: 3149^2 + 3088^2 = 19451945
Чекайте!
Решил в лоб, без листочка и без калькулятора.
Пошаманил с цифрами и собсна, всё)
Сначала подыскал близкие трехзначные, это 315 и 310, посмотрел и решил, что 310 как-то много, взял 309, и их сумма квадратов на мой взгляд была близка к нужному, а именно получил 194706. Дальше я пошёл ещё более мелкими шагами.
Короче, 19470600 - (2*3150 + 1) - (2*2*3090 + 2*1 + 4) = 19451945
@@mentosnlink4505 Мне нравится, что 2 числа близки по значению.
Интересное решение в последнем варианте. Определённо заслуживает лайка.
Ну ну, я двухзначные числа иногда с ошибками умножаю)))
Я тоже ))
В конце есть пару из десятков "смешных моментов", которые возникли, пока я записывал ролик )
Я думал один такой🤣
Насчет легендарной задачи из саммата: кажись я понял как они придумали эту задачу. Короче есть такое тождество Брахмагупты, оно доказывает, что если число представили в виде произведения чисел являющихся суммой квадратов, то оно представимо в виде суммы двух квадратов и наоборот : (x^2 + y^2)(a^2 + b^2) = (ax+by)^2 + (bx-ay)^2. И отсюда уже можно пачками штамповать такие задачи:
Берете 4 квадрата, складываете их по парам, полученные результаты перемножаете и просите представить полученное число в виде суммы 2 квадратов.
Так что какая никакая но теория чисел за этой задачей стоит)
Вот так вот я переоткрыл уже ставшую легендарным мемом задачу спустя много лет)
30 лет. Математику особо не любил, а тут прямо залип👍👍
мне 32. но я б решал через комплексные - красивее
Хорошо что автор ролика узнал про САММАТ :)
Разъеснене и объяснение задачи, оказалось гораздо интереснее чем сама задача.
Не пользуюсь матами, но сейчас тот редкий случай, когда захотелось в сердцах воскликнуть, как автор ******* крут!! Просто огонь! 🔥🔥
"... и в этот момент получается следующее!" А далее ютуб включает рекламу. 😈😈😈
блокировщик рекламы тебе в помощь!)
особенно если реклама розетки.
Лал у меня тоже
😆😆😆😂😂😂😂
Ахах, прикольно, но я думал что это какая-то абсурдная задачка чтобы смутить участников олимпиады😀🤣
Если перебрать все пары целых чисел в диапазоне от 1 до квадратного корня из 19451945, то у задачи находятся 8 пар различных решений. Самые близкие друг к другу числа - 3088 и 3149 😊
Спасибо, Борис! 👋
Я снова люблю математику!❤️
10:40 "... получается следующее" И тут у меня выскочила реклама Чудо XD
Не заметил как 20 минут пролетело и ролик закончился. Крутая задачка
Скоро Рождество. Предлагаю в одном из ближайших видео рассказать о Рождественской теореме Ферма о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов.
Почему представление всегда есть и почему всегда только одно.
И о том, почему нет детерминированного алгоритма для отыскания этого представления. :)
Феерично, я в восторге!
двузначные числа ,оканчивающие на 5 и возведенные во вторую степень решаются так : первая цифра умножается на следующую за ней и к этому значению приписывается 5 помноженную на себя, то есть 25.например 15 во второй степени : 1 умножаем на 2 ровняется 2 и приписываем 25 получилось 225. 95 во второй - 9 умножаем на 10 и приписываем 25= 9025 и т.д.
Число 19451945 очень замечательное. Оно представляется суммой квадратов 8-ю различными способами. 19451945=256^2+4403^2=344^2+4397^2=581^2+4372^2=1252^2+4229^2=2363^2+3724^2=2437^2+3676^2=2632^2+3532^2=3088^2+3149^2
Сначала я решил задачу брутфорсом в икселе, потом мне стало стыдно и я вспомнил про старика Брахмагупту и получил 2 решения по
этой формуле. Глубокоуважаемый маэстро Борис тоже в конце ролика воспользовался этой формулой.
Всем большой математический привет, дядя Лева
Никаких чудес. Кто проходил комплексные, знает, чтотнорма произведения равна произведению норм, расставляем +и-кикаждой компоненте и получаем 8 вариантов
Если уже проходили комплексные, то неожиданных идей не надо. Сумма квадратов - это же квадрат нормы какого-то числа, а мы знаем, что норма произведения равна произведению норм, можно попробовать разложить исходное.
А мне нравится эта задача. Брутфорсить без калькулятора стрёмно, поэтому надо проявить смекалку. Первое, что приходит в голову - это окружность )) Правда, чё с ней дальше делать, я пока не знаю. Придумывать, с какими диаметрами она может пересекаться или типа того. Но разложить на сумму квадратов - это вау. Я не догадался.
Задача довольно интересная, но она больше на внимательность и так называемую смекалку. Мне кажется одна из самых важных подсказок это конечно само число 19451945. Думаю что все подумали его раскласть , но второй шаг действительно сложный. Но в целом задача интересная.
задача топ! давно математикой не занимался, но на это очень интересно смотреть!
Спасибо! Интересная задачка)
Решал через комплексные числа, получил вторую пару
Каким образом?
@@Шахи3000 19451945=10001*1945=(100²+1²)(44²+3²)=(100+i)(100-i)(44+3i)(44-3i)
Перемножим скобки с отрицательным коэффициентов перед I и положительным.
(4400+300i+44i+3i²)(4400-300i-44i+3i²)=(4400-3+344i)(4400-3-344i)=(4397+344i)(4397-344i)=4397²+344²
@@Шахи3000 Кстати аналогично можно было брать пары скобок с разным знаком у коэффициентами перед i, получится другая пара. Так из произведения сумм квадратов можно сделать одну сумму квадратов
добавьте способ в закреплённый комментарий
В закреп +
Мне придётся подписывать гроб: "Осторожно, иностранный агент!"
Г.Р.О.Б Горячо, резко, очень больно
какое красивое решение. Стало интересно, решила бы я эту задачу, когда была школьницей. А сейчас уже неохота. Пришла в восторг - и достаточно.
А я то думаю, что-то 65536 знакомое число))
я ж программист xD
Приятный чувак! Спасибо за интересный рассказ)
Ничего не понимаю в математике , но было очень интересно , спасибо😂
Здорово, Борис!
Если кому интересно, то вот все пары таких x и y:
256 4403
344 4397
581 4372
1252 4229
2363 3724
2437 3676
2632 3539
3088 3149
если просто ввести в вольфрамальфа число 19451945, то сразу же и получим все эти квадраты: www.wolframalpha.com/input/?i=19451945
как ты их нашел?
@@janissaulitis9670 написал программу
c.radikal.ru/c06/2002/70/b110b7a79430.png
)
я в экселе посчитал.
Не знаю, как по мне, задача крутая, если решать не в лоб
"В этот момент начинается следующее,"- выскакиет реклама Тинкофа
Красавчик. Мне понравилось.
Очень интересное и увлекательное видео, несмотря на то, что я много чего тут не понимаю.
Супер! Было интересно
Решение через комплексные числа
(100²+1²)(44²+3²)=(100+i)(100-i)(44+3i)(44-3i)=
(4400-300i+44i+3)(4400+300i-44i+3)=
(4403-256i)(4403+256i)=4403²+256²
Там ещё кучу других решений можно найти, если менять мнимые и действительные части и перемножая другие скобки
Решений должно быть около 8
Вау. А откуда именно такие пары чисел?
Класс. Мне очень понравилось. Подобные примеры видела - принцип решения точно такой же. Но с большими числами и без калькулятора😨 Недавно где-то видела извлечение корня без калькулятора. Эх, не сохранила... Но там принцип разбивать чило на пары или тройки цифр слева направо, кажется, и, а вот дальше не помню. Увы. Если у вас на канале такое видео есть не плохо было бы ссылку на него (как раз в тему!), а если нет, мне кажется, что не плохая идея для свежего ролика. Спасибо за ваш труд!
Потратил на это задание большую часть времени (не решил в итоге >:( , хотя перебрал 3 числа первым способом, и смог разбить на скобки как во втором). Посчитал, раз это первое задание, и так плохо решил, что олимпиады не мое. СПАСИБО САМАРА! Но сейчас вижу ваше видео, и понимаю, что меня подловили, именно поставив его первым, поэтому стоило бы начинать с других заданий. Интересно узнать ваше мнение про задания на САММАТЕ в целом.
А я их не видел. Меня конкретно про эту задачу спросили.
Еще про ожерелье из шариков в конусе
Задача - огонь, супер!)
Я слишком ленив чтобы решать в лоб. разложение на 10001 и 1945 пришло в голову сразу. А дальше подзавис. Теперь когда есть решение, его нужно унифицировать и положить в копилку арсенал.
Ты просто машина, Борис
for i in range... :D
помню в журнале прочитал метод как числа а-ля 45, 35, 25, и так далее возводить в квадрат в уме. на примере 35: нужно число десятков домножить на следующее число, т.е. 3*4 =12 а сзади дописывам 25 и получаем 1225. работает для всех чисел оканчивающихся на 5. Школьники берите пользуйтесь
Мне почти 40 лет, и я с удовольствием смотрю такие задания. Спасибо!
З.Ы. Посмотрел несколько разборов "обычных" для меня ранее заданий, удивление вызывает насколько шаблонами ЕГЭ отучили детей думать.... Комменты убивают порой
отучили не шаблоны, отучили учителя. Поэтому комменты убивают не только к роликам по математике
@@xlenchik Не согласен в корне с Вами! Учителя зависимы от ЕГЭ порой даже больше чем ученики - с них требуют результатов и они вынуждены их дать. И учителя идут по пути наименьшего сопротивления, т.е. вбить в головы школьника шаблон, зная который он с высокой долей вероятности наберет необходимый балл. И из этого явно следует, что научить всех решать заранее прогнозируемые задания гораздо проще, чем вырастить математика (не важно какая наука, смысл тот же). Средний балл большой - все довольны (МинОбр, рано, директор, завуч, учитель, ученик, родители).... но то что из этой массы "достать" действительно математика/биолога/историка и .т.д. становится практически нереально никто не думает.
А кто в этом виноват, задайтесь вопросом? Учитель???
- Нет! Что? в один день все учителя отупели и разучились учить?)))) Да нет, конечно.
Ученики? Тоже нет, они хотят хорошую оценку и все, знания в школе единицы хотят получить, желание получения знаний у большинства позже наступает.
Учитель виноват? В чем? В том что он обеспечивает при должном уровне своего опыта/образования высокий средний балл (средняя температуру по больнице) :)))) Если он ее (температуру по больнице) не будет обеспечивать, его нахрен уволят, т.к. он не справляется со своими обязанностями.
Система виновата имхо,
@@EvgenyGutkin Извините, Вы совершенно правы. Не учла, что шаблонизированное ЕГЭ в России это далеко не аналог ЗНО в Украине. У нас в ЗНО задачи значительно разнообразнее и в значительно большей степени требуют умения анализировать, думать, комбинировать разные подходы, нежели решать типовые задачи по шаблону, не меняющегося из года в год.
это нереально красиво!!!
8:50 Можно второй раз не возводить в квадрат соседнее число, а просто отнять от 4410^2 (4410+4409)
Классная задачка :) Немного подвис на последнем шаге, но сумел догадаться на словах "раскроем скобки".
олимпиада почти имени меня
Очень интересно! Спасибо!
Я апплодирую тем, кто это задание изобрел!
Очень понравилось! Спасибо!
Решая в лоб, необязательно вручную считать все квадраты
Очевидно, что квадрат числа, которое на 1 меньше другого числа, чей квадрат известен, будет меньше на n²-(n-1)² = 2n-1, что посчитать уж проще)
тоже об этом подумал, когда считаю большие квадраты, и при этом знаю чему равен близкий к нему квадрат, всегда именно эту тактику и юзаю
Есть же простое и полезное свойство -
Если посчитать разницу между (x+1)2 - x2 = 2x + 1. Типо если мы знаем x2 и хотим найти (x-1)2, то нам достаточно просто отнять сначала х, а потом х-1.
Например если мы знаем 4410^2 = 19448100, то 4409^2 = 19448100 - 4410 - 4409 = 19439281. Просто представьте сколько времени это сэкономило бы на олимпиаде
Люди, чуть старше знают, что 256^2 = 65536, потому что в эпоху, пока не появились смартфоны это было одной из характеристикой телефонов) количество цветов экрана телефона часто было таким)
не только в старых телефонах и компах (игр дофига было в 16 битах, да и видеокарты с мониками старые максимум столько умели), все кто хоть немного дружат с графикой, знают, что это в принципе количество цветов в 16 битной палитре, в любом даже современном редакторе это есть, а ещё это 8 килобайт или других 8192 х-байт, где х такой же как и в 65536 х-бит (кило-, мега-, гига- и т .д.) ))
upd: это же число в квадрате даёт максимально возможное количество ip адресов в версии ipv4 (то чем пользуются практически все на данный момент)
И сдающие информатику знают)
время на часах 4 утра, наткнулся случайно на видео и залип ))) Гениально )))
Мне показалось, что совсем простая задача :)
19451945 = 10001*1945 = 10001 * 5 * 389 = (100^2 + 1^2) * (2^2+1^2) * (10^2 + 17^2)
далее используем известный факт, что произведение чисел, являющихся суммой квадратов само является суммой квадратов (a^2+b^2) * (c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2
Ну и строим нужную нам пару чисел, например 4397 и 344
ого, хорош
харош
Последний способ вообще бомбовый!... Думаю, на олимпиаде такой пример давать можно - первый способ лёгкий (очевидный) (Кто те 94 человека, которые ставят дизлайки? Вы, вообще люди?)
Проще разложить 19451945=5*73*137*389, а дальше уже на самом деле легко заметить, что это (4+1)(64+9)(121+16)(289+100) = (2^2+1^2)(8^2+3^2)(11^2+4^2)(17^2+10^2). Потом можно трижды воспользоваться неоднократно упомянутым тождеством Брахмагупты и получить один из нескольких ответов (в зависимости от выбранной формулы).
ля какая красота👍спасибо
Пока все в 2020 Трушин в 2025 запомните что 45² этот год является квадратом 3:55
как считать числа с окончанием на 5. )) 35 например. : 3 умножаем на число,которое,когда мьі считаем !!!стоит после него ( 1234567) 3*4=12 и просто всегда добавляем 25.
Хм. Очень интересное решение. Но это для крепких математиков. Я с этой наукой очень близок, но даже 1945*10001 для меня стало потрясающим откровением. А дальше, так вообще )))
Спасибо!
Саммат вообще какая то странная олимпиада, там чуть ли не 8 из 10 задач всегда гроб
Ну так и диплом с 2 3 задач)
@@UsuallyDestroyer в 2021 с дипломами кидалово у них. За 5 задач даже призера не давали.
Не понимал, зачем начинать проверку с сложных подходов, видя подобное число. А потом ты показал способ решения, который мне в голову пришёл сразу. Спасибо бабушке препод по вышмату была. Научила на меньших числах в классе 7-8
Интересно, что если взять еще дату восстания декабристов (1825) и наложить ее на предложенную дату окончания ВОВ, т.е. уравнение x² + y² = 19451825 то будет уже на 8 пар решений, а 12 пар:
112, 4409; 665, 4360; 785, 4340; 1127, 4264; 1324, 4207; 1465, 4160; 1976, 3943; 2084, 3887; 2449, 3668; 2735, 3460; 3001, 3232; 3089, 3148.
Заинтересовался и написал программу поиска числа с максимальным количеством пар решений...
Вы программист?
Задача понравилась!
Хорошо хоть ответ не был равен - 19411945.
А то было слишком символично)
Или 19391945 более исторично, но менее патриотично )
А я так надеялась на какие-нибудь значимые числа в ответе😂
@@Ефимов_Юра Если число было бы 19411945, то задача бы не имела решения.
А если было бы 19391945, то задаа была бы не решаема подбором - ближайшая пара х и у - 4309,908; а это даже не в первой 30 от наибольшего х.
@@vladislavkk3741 🤦♂️
@@ofigetkakoinik , думаю с таким количеством значимых событий в ВОВ можно найти подходящие числа к ответу)
Просто аплодирую!!!
«Адский гроб» - это уже что-то из Булгакова.
Super, Boris
Могу предложить еще один способ решения, который требует одного "подбора квадрата, близкого к числу" и одного вычисления корня из не очень большого числа, ну и, к тому же, этот способ является универсальным:
Обозначим правую часть буквой "C".
Тогда имеем уравнение: x^2 + y^2 = C
Выделим квадрат и перенесем вправо: (x + y)^2 = C + 2xy
Отсюда видно, что можно попробовать поискать квадраты, большие чем C(можно сразу заметить, что квадрат должен иметь ту же четность, что и C) и сказать, что:
C + 2xy = P^2; x + y = P, следовательно x и y являются корнями уравнения t^2 - P*t + (P^2 - C) / 2 = 0
Откуда:
x = (P + sqrt(2C - P^2)) / 2,
y = (P - sqrt(2C - P^2)) / 2
Для того, чтобы решения существовали, нужно P^2 < 2C
То есть, за 2 минуты простых рассуждений имеем готовый алгоритм решения: найти целый квадрат из промежутка [C; 2C] той же четности, что и C, и просто подставить в формулы.
Теперь вспомним, что C - очень большое, а значит подбирать числа надо с умом, чтобы как можно меньше работать с большими числами. P - порядка корня из C, то есть не очень большое, а вот P^2 уже порядка C и большое, а значит нам будет сложно считать sqrt(2C - P^2), но можно упростить себе задача, если искать не абы какой корень, а ближайший к 2C, чтобы разность была минимальна, тогда корень легко извлечется и будет маленьким.
Ну и, если решать таким способом, то ответом будет 3149 и 3088
ЗЭ бЕсТ оФ Зэ БеСт. Вы реально молодец. 😊
Интересно. Но кажется вычислений в столбик будет больше
@@iwillwatch ну, получается, одно умножение на два, один подбор квадрата, одно вычитание. Это точно лучше первого способа из видео. Если сравнивать со вторым способом, то вычислений почти столько же (не забывайте, что там тоже подбирается квадрат)
Спасибо!
Для тех кому интересно вот все возможные решения этой задачи:
256, 4403
334, 4397
581, 4372
1252, 4229
2363, 3724
2437, 3676
2632, 3539
3088, 3149
И очевидно можно местами менять x и y.
Прогой?
@@senya_tall очевидно
Интересно было узнать варианты возможных решений, если такая задача попалась на олимпиаде. Так что разбор понравился, задача сама конечно такая...
страшный сон перед экзаменом
Сложные мысли, но по факту, если вникнуть, то становится понятно