А ведь это тоже круги!
Вставка
- Опубліковано 11 вер 2024
- В ролике доказывается теорема о втором семействе круговых сечений косого кругового конуса, которая пригодится нам при доказательстве теоремы Паскаля.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к дополнительным материалам и поддержать нас можно в нашем телеграм-канале: t.me/getaclass... или сервисе Boosty: boosty.to/geta...
Новосибирский Государственный Университет
www.nsu.ru/
Теорема Паскаля будет на следующей неделе, но по хорошему надо ещё рассказать о стереографической проекции и её применении про конструировании астролябии, она же - планисфера.
Спасибо за геометрию и красивое доказательство!
Интуитивно это можно понять, если начинать мысленно поворачивать секущую плоскость, параллелную основанию. При повороте окружность будет превращаться в эллипс все с бОльшим эксцентриситетом. Когда же она станет перпендикулярной к оси конуса - её эксцентриситет станет максимальным - дальше он станет уменьшаться, пока не станет равным нулю, т. е. превратиться опять в окружность.
Еще раз благодарю Вас! ❤
это верно, нл здеь требуется доказать, что сечениями такого конуса будут эллипсы. А для этого надо опираться на одно из определений эллипса. Конечно, можно уйти в аналитическую геометрию, тогда сразу же выясняется, что сечение косого конуса - это тоже кривая второго порядка... но это не наш путь:)
@@schetnikov я говорил о чисто интуитивном понимании того, что показано в Вашем ролике - ни о каком строгом доказательстве и речи не было!
Спасибо за отклик!
Можно доказывать гораздо проще.
Один косой конус подобен другому косому конусу
@@alfal4239 рассмотрите вершину конического угла и конический угол как таковой. У вас есть сечения. К каждому сечению можно построить симметричное к нему с противоположной стороны.
@@alfal4239 по двум углам))
@@alfal4239 уголочек один и тот же видели? после разворота на 180 градусов плоскости оснований параллельны, основания подобны.
Классное видео! Действительно тут нужно воображение, как всё это выглядит!
Из показанного следует, что если конусом пробили шар и если «входное» отверстие является кругом, то и «выходное» отверстие тоже круг.
тут нужны кое какие добавления, и тогда получится стереографическая проекция.
Очень интересно! Не задумывался, что, действительно, сечения можно проводить ещё и вертикально.
Не вертикально, а наклонно))
Математика - это не только полезно, но еще и красиво
Вы про Софью Ковалевскую ?
Красиво!
Я эту теорему проверю на колбасе!
Когда-то искал книгу Аполлония Пергского "конические сечения". Но были только на латинском и английском языках. Недавно, появилась в русском переводе.
Спасибо за видео!!! Класс!!! 👍👍👍
Было бы ещё здорово сделать 3д моделирование в AutoCAD или в Компасе и показать визуально справедливость этой теоремы.
Мало того,конус можно рассматривать как в виде плоских кругов,горизонтальных и вертикальных сечений,так и в виде горизонтальных и вертикальных плоских кругов ,с сечением под определёнными углами.
Если включить воображение, то вы похожи на Луи Армстронга!
Что-то мое пространственное воображение рисует точки пересечения окружностей K и L в других местах 😊
Эта теорема полезна и в кинематике.
Монотонная рубашка? Да ладно!
А если взять конус и провернуть его вокруг его оси симметрии на 180°, как раз и получится новое семейство сечений
Круги сечения симметричны относительно плоскости, проходящей через их линию пересечения (их общий диаметр?) и вершину конуса.
можно говорить про биссектрису угла между двумя образующими, лежащими в плоскости симметрии.
@@schetnikov
С одной стороны. Биссектриса делит основание треугольника на неравные части. Следовательно, центры кругов сечения оказываются по разные стороны от плоскости симметрии, не на линии пересечения сечений.
С другой стороны. Центр любого из кругов сечения должен(?) проецироваться на центр круга основания, то есть, эти два центра должны совпасть.
Или только центр горизонталього круга сечения проецируется на центр круга основания?
@@Simonas.G не должен. В этом вся хитрость этой конструкции.
@@schetnikov
Да, интересная конструкция! Особенно заинтриговал факт, что центр нашего наклонного кругового сечения в проекции смещается вбок!
Исходя из этого факта и того, что все окружности внутри этого сечения проецируются как окружности(?), делаю выводы:
(1. Окружности проецируются как окружности.)
2. Дуги - как дуги и прямые отрезки.
3. Прямые отрезки - как дуги (кроме одного диаметра вдоль наклона конуса).
4. Углы сохраняются.
5. Пропорции не сохраняются.
Если тело, ограниченное таким конусом и горизонтальной плоскостью, повернуть вокруг оси конуса на 180 ° то увидим наглядное доказательство.
@@alfal4239 под осью конуса я понимаю прямую, проходящую через вершину и центр основания.
@@k-hxpehob7692а вот это неверно, подумайте почему и найдите правильное определение такой оси, это совсем не сложно.
Линия пересечения двух плоскостей симметрии - можно так определить эту ось.
@@k-hxpehob7692 одна плоскость симметрии очевидно существует. существование другой ещё надо доказать, что не совсем просто.
как всё сложно. а развернуть новый конус на 180 градусов и обозвать его подобным старому?
надо доказать, что конус и правда перейдёт в себя при таком преобразовании.
А если конус будет наклонен по другому, то не получится?
Не получится, только если конус вообще не будет наклонён.
@@alfal4239конечно - в прямом конусе эти различные окружности просто совпадают.
Сделано не бездарно, но бестолково. Такое объяснение подойдёт если вы студент и сдаёте экзамен и экзаменатор действительно поймёт что вы разбираетесь и говорите все чётко и по делу. Но для любителей математики и скорее всего даже и для тех кто профессионально ей занимается, к примеру учителей, такое объяснение или сложно или неудобно в восприятии: приходится перематывать несколько раз назад, ставить паузу - это конечно нормальный умственный процесс, но уместен он при работе с книгой, видео же смотреть желание пропадает. Не хватает в повествовании наглядности: говорите о подобии треугольников по двум углам- так хотя бы выделите их ненадолго или назовите их или укажите причину (по построению и соответствующие) ; не хватает связности : в какой момент используется выведенное ранее равенство для квадрата kf. Не хватает основательности: с чего к примеру kf будет высотой в вертикальном треугольнике; записи сделаны убого: двоеточие вместо деления вообще не воспринимается - почему бы не записать дробью? Скажите не хватает места - так сделайте доску динамичной: на время записи формул уменьшите чертёж, отодвиньте его на задний план, а вывод из формулы пометьте как принято римской цифрой и выделите его шрифтом или размером. Задача видео - привлечь наглядностью и доступностью и с ней совершенно не справились, так что у посредственного студента в оффлайн объяснении посредством ручки и бумаги вышло бы лучше; хотя вроде бы старались
Более того к сложному объяснению можно добавить простое на пальцах: это и даёт красоту математике когда с разных сторон получается один непреложный вывод. Можно же сказать что конус переходит сам в себя при вращении относительно центральной оси (проходящей через С и середину АВ), и что при повороте на 180 градусов ED станет параллельна АВ а значит и окружность построенная на этой диагонали перейдёт в ту что является сечением конуса (в горизонте). Я может и сам сейчас не совсем ясно объясняю, но я не видео делаю, а только замечание оставляю, на которое надеюсь найдётся время вникнуть чтобы сделать выводы и в следующий раз избежать ошибок
Щетников вообще не старается :)
Вы пишите так длинно, но интересно было бы, если бы вы предложили более красивое рассуждение, нежели у Евклида и Аполлония.
@@user-fh9xf2ni7sвроде способный мальчик, но ленивый
@@schetnikov Вы как будто по диагонали прочитали сообщение, а второе похоже и совсем не читали, не так ли?
А этот конус, получается приплюснутый, то есть сечение перпендикулярное, центральной оси конуса - овал? (Если я правильно сформулировал понятие центральная ось)
То есть и не конус совсем.
такие сечения - это эллипсы. Но это надо ещё доказать.