Объяснить, почему уравнение третьей степени имеет хотя бы 1 действительный корень, можно с помощью графика: он не ограничен сверху и снизу, поэтому всегда пересекает ось абсцисс
не, кардано получил решение частного случая от тарталья, но потом смог вывести общий, но тоже не до конца. в итоге с чистой совестью решил, что может обнародовать результат.
А применима ли формула для коэффициентов которые равны нулю? Пропустим a, Например в квадратном уравнении надо решать через вынесение x при b=0 т.к дискриминант будет неверным. И вот в кубическом могут попасться какие либо b и с нулевые и уже не так очевидно будет ли общая формула корректной особенно при вычислении комплексных корней
Помогите, пожалуйста, решить последнее уравнение (x^3 - 19x + 30 = 0). Работать с комплексными числами я умею, но не понимаю, как быть с иррациональностью в знаменателе дискриминанта. Коэффициент мнимой части комплексных чисел равен 28/3*sqrt(3).
Тот же вопрос. Казалось бы, уравнение имеет, например, три действительных корня, а в формуле дискриминант получается иррациональный. Ну как, получилось найти решение проблемы?
Поскольку здесь решениями являются целые числа, у комплексных чисел, из которых извлекается кубический корень, будет рациональная действительная часть. В самом деле, из формулы Кардано следует, что x = cbrt(A + Bi) + cbrt(A - Bi) = M + Ni + M - Ni = 2M - целое Будем искать такие M и N, что (M + Ni)^3 = A + Bi. Из формулы для куба суммы имеем два уравнения: M^3 - 3MN^2 = A (1) 3M^2 * N - N^3 = B (2) Из (1) выразим N^2: N^2 = (M^3 - A) / (3M) (3) Теперь вынесем N из левой части (2) и возведём обе части в квадрат. Заметим, что теперь мы можем подставить (3) в (2) и после приведения подобных получим: (M^3 - A) * (8M^3 + A)^2 / (27M^3) = B^2 Делаем замену M^3 = t и раскрываем скобки: 64t^3 - 48At^2 - 15A^2 * t - A^3 = 27B^2 * t Выделим куб суммы с первыми двумя слагаемыми. Заметим, что -A^3 теперь пропадёт: (4t - A)^3 = 27(A^2 + B^2)t Теперь заметим, что в случае трёх корней B = sqrt(-D), поэтому A^2 + B^2 = (q/2)^2 - D = (-p/3)^3. Значит, ((4t - A)/(-p))^3 = t (4) В нашем случае A = -q/2 = - 15, p = -19, поэтому уравнение (4) перезапишется в виде ((4t + 15)/19)^3 = t, у которого есть очевидное решение t = 1. Далее с помощью линейной замены и схемы Горнера находим два других корня: t = 27/8 и t = -125/8. Тогда M = cbrt(t) = 1, 3/2 или -5/2, откуда x = 2M, то есть x = 2, 3 или -5. Нетрудно проверить, что для каждого найденного M будет существовать единственный N, удовлетворяющий условиям (1) и (2), что как раз даст все три кубических корня комплексного числа A + Bi Отмечу, что поскольку мы заранее знали о рациональных корнях, по большому счету мы получили извлечение кубического корня из комплексных чисел, имея представления об исходных корнях уравнения. Но если мы знаем, что рациональных решений нет, то нам придётся иметь дело с комплексными корнями в формуле Кардано. Если применить формулу Эйлера (e^ix = cosx + i sin x), можно показать, что три действительных корня выражаются с помощью косинусов от арккосинусов, но это уже другая история)
@@NXN-QUXT вы в этом прям на 100% уверены? Просто в интернете тоже так написано, но иногда ощущение, что математики в речи, называя вещественные, подразумевают еще и комплексные
@@resurgence1991 Нет, вещественные и действительные это два названия одной вещи. В математике часто такое бывает, т.к. она располагалается во всём мире, поэтому и неоднозначно всё
Комплексные числа это числа вида a+bi, а и b это действительные/вещественные числа, т.е. а это просто действительное/вещественное число, а b это "множитель" для мнимой единицы
Шикарная лекция. Жаль что лектор этот не снимает на ютуб больше
Прекрасная лекция и прекрасный преподаватель. Я преподаю математику в Германии и считаю лекцию высшего уровня !!!
Красивый почерк!) Получаю эстетическое удовольствие от его написания 'x' ))
Объяснить, почему уравнение третьей степени имеет хотя бы 1 действительный корень, можно с помощью графика: он не ограничен сверху и снизу, поэтому всегда пересекает ось абсцисс
Очень интересная лекция. Спасибо.
спасибо за видео!! 🥰
Отличная лекция. Спасибо
Спасибо, все понятно объяснили
Отличная лекция, спасибо огромное!
Во втором примере -4 вместо -6
Я тоже заметил, но это технические шероховатости.
47:56 эти слова способны убить
спасибо
не, кардано получил решение частного случая от тарталья, но потом смог вывести общий, но тоже не до конца. в итоге с чистой совестью решил, что может обнародовать результат.
А применима ли формула для коэффициентов которые равны нулю? Пропустим a, Например в квадратном уравнении надо решать через вынесение x при b=0 т.к дискриминант будет неверным. И вот в кубическом могут попасться какие либо b и с нулевые и уже не так очевидно будет ли общая формула корректной особенно при вычислении комплексных корней
во втором примере первый корень равен X1 = -4 !!!!! минус шесть не правильно
47:56
Как лектор получил 3 при извлечении кубического корня из 8?
два в третьей степени = 8
@@saintsword_819 2^3=8. Верно.
Но как лектор получил 3?
3^3=27.
Во втором примере -4 вместо -6
Помогите, пожалуйста, решить последнее уравнение (x^3 - 19x + 30 = 0). Работать с комплексными числами я умею, но не понимаю, как быть с иррациональностью в знаменателе дискриминанта. Коэффициент мнимой части комплексных чисел равен 28/3*sqrt(3).
Тот же вопрос. Казалось бы, уравнение имеет, например, три действительных корня, а в формуле дискриминант получается иррациональный. Ну как, получилось найти решение проблемы?
Поскольку здесь решениями являются целые числа, у комплексных чисел, из которых извлекается кубический корень, будет рациональная действительная часть. В самом деле, из формулы Кардано следует, что
x = cbrt(A + Bi) + cbrt(A - Bi) = M + Ni + M - Ni = 2M - целое
Будем искать такие M и N, что (M + Ni)^3 = A + Bi. Из формулы для куба суммы имеем два уравнения:
M^3 - 3MN^2 = A (1)
3M^2 * N - N^3 = B (2)
Из (1) выразим N^2:
N^2 = (M^3 - A) / (3M) (3)
Теперь вынесем N из левой части (2) и возведём обе части в квадрат. Заметим, что теперь мы можем подставить (3) в (2) и после приведения подобных получим:
(M^3 - A) * (8M^3 + A)^2 / (27M^3) = B^2
Делаем замену M^3 = t и раскрываем скобки:
64t^3 - 48At^2 - 15A^2 * t - A^3 = 27B^2 * t
Выделим куб суммы с первыми двумя слагаемыми. Заметим, что -A^3 теперь пропадёт:
(4t - A)^3 = 27(A^2 + B^2)t
Теперь заметим, что в случае трёх корней B = sqrt(-D), поэтому A^2 + B^2 = (q/2)^2 - D = (-p/3)^3. Значит,
((4t - A)/(-p))^3 = t (4)
В нашем случае A = -q/2 = - 15, p = -19, поэтому уравнение (4) перезапишется в виде
((4t + 15)/19)^3 = t,
у которого есть очевидное решение t = 1. Далее с помощью линейной замены и схемы Горнера находим два других корня: t = 27/8 и t = -125/8. Тогда M = cbrt(t) = 1, 3/2 или -5/2, откуда x = 2M, то есть x = 2, 3 или -5.
Нетрудно проверить, что для каждого найденного M будет существовать единственный N, удовлетворяющий условиям (1) и (2), что как раз даст все три кубических корня комплексного числа A + Bi
Отмечу, что поскольку мы заранее знали о рациональных корнях, по большому счету мы получили извлечение кубического корня из комплексных чисел, имея представления об исходных корнях уравнения. Но если мы знаем, что рациональных решений нет, то нам придётся иметь дело с комплексными корнями в формуле Кардано. Если применить формулу Эйлера (e^ix = cosx + i sin x), можно показать, что три действительных корня выражаются с помощью косинусов от арккосинусов, но это уже другая история)
поделиться
Вещественные это действительные + комплексные?
Или действительные = вещественные?
Действительные/вещественные одно и то же
@@NXN-QUXT вы в этом прям на 100% уверены? Просто в интернете тоже так написано, но иногда ощущение, что математики в речи, называя вещественные, подразумевают еще и комплексные
@@resurgence1991 Нет, вещественные и действительные это два названия одной вещи. В математике часто такое бывает, т.к. она располагалается во всём мире, поэтому и неоднозначно всё
@@NXN-QUXT понял. А комплексные входят в вещественные/действительные?
Комплексные числа это числа вида a+bi, а и b это действительные/вещественные числа, т.е. а это просто действительное/вещественное число, а b это "множитель" для мнимой единицы