【入試数学最難関】京大特色 数学1科目入試の問題を数学科首席が難易度調査
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- Опубліковано 8 жов 2024
- 京大特色入試の問題4問を見てみました。
難易度調査というか、普通に問題をみただけです。
私は大学院で数学を学び終えてますが、正直全部解ける気はしません。
１，３，４は解けたとしても2問目は放棄します。
2問目解ける人はもう天才だと思います。
数学力に自信のある人は京大の特色入試うけてみてください。
そして日本の数学会を牽引してください！！！！！！！
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ーとんすけ'sプロフィールー
中学：ネトゲ廃人（2万時間プレイ）
高校：偏差値43の公立で英語欠点連発
大学：立命館大学数理科学科首席卒
大学院：ワシントン大学大学院（確率専門）
いま：データサイエンティスト・業務コンサル
ーーー機材等ーーー
・使用カメラ amzn.to/3dMd20q
・使用レンズ amzn.to/3oNuKH6
・ラインスタンプ www.line-tatsuj...
---ーー参考・出典---ーー
下記を参考（引用）させて頂きました。
京大特色：www.kyoto-u.ac...
BGM:dova-s.jp/bgm/...
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メール：tonnsukechannel@gmail.com
#京大数学 #数学 #京大特色入試
実際にその入試会場に居た者です。
大門1は割と簡単に解けました(クソガバ評価をしまくる)。
試験後、一緒に受けていた友人と翌日の面接に備えて、2人で取り組んだのですが、9時までやっても分からなかった所はひとつも解決しませんでした。
合格発表はオンラインでした。結果は両方不合格。2人とも面接に進むことが出来ませんでした。
その時は、8時間かけて解けない問題を4時間で解けるわけがなかったんだろうという思いになっていました。友達と2人で泣きながら帰ったのを覚えています。
一般二次も振るわず、不合格でした。
今は予備校で浪人生をしています。次は必ず京理に行くために。
京大理学部めざしてがんばれええ🥳🥳🥳
応援してます
辛いときは辛い気持ちを素直に吐き出してね🥺
@@tonnsuke
ありがとうございます!!
いつも動画楽しく見てます!
とんすけさんも頑張ってください!
応援してます✨
[1]
係数の絶対値の総和をM, 次数の最大をkとすると、多項式の各項で係数を1にしたもの絶対値はx₁〜xₙが整数とすると max(|x₁|〜|xₙ|)^k以下なので、整数x₁〜xₙに対して三角不等式から
|P(x₁,..., xₙ)| ≦ M max(|x₁|〜|xₙ|)^k
ここで、d≧max{2, k+1}, c≧M かつ、i=1〜nに関して|a_i|< c^(d^i) が成立するようにc,dを大きくとる。
nは有限なので、これは可能(e.g. d≧max{2,k+1}を一つ固定、c≧max{M, max{i=1...n}(log a_i/logc)^(1/i)}
なる実数を一つとる)。
i≧n+1に対してk≦i-1なる正の整数すべてについて|a_k|< c^(d^k)が成立するとする。
このとき、
|a_i|=|P(a_{i-n},..., a_{i-1}| ≦ M max(|a_{i-n}|〜|a_{i-1}|)^k < M {c^(d^(i-1))}^k
ここで条件より、
(d-k)(d^(i-1))logc ≧ (d^(i-1))logc ≧ logM
よって (d^i)logc ≧ logM + k(d^(i-1))logc すなわちc^(d^i) ≧ M {c^(d^(i-1))}^k
よって |a_i| < c^(d^i) となり|a_i|< c^(d^i)が成立する。よって数学的帰納法により
任意の正の整数iで|a_i|< c^(d^i) が成立する。
※三角不等式の利用と、題意より強く|a_i|< c^(d^i)を言うのがポイントですね。
私からすると京大生など(受験区分、学部問わず)皆雲の上的な存在ですが
その中でも特色入試勢は特に抜きん出た、生まれ持ったものがないと厳しい印象でしょうか？
生まれてきてずっと数学しているような人か、生まれ持って数学素養がある人か、という印象です🧐
総人卒ですがパッと見て意味不明でした。じっくり読めば意味は理解できるけど解ける気がしない。
スンスンとけるやつらは天才です
71/80取ってた人がいたなぁ
マジで天才だった
日本の将来も有望だなぁ
なお今年は76が出た模様
ちょっと考えてみた感触
問題1
十分大きい整数Nに対してi≧Nのとき|a_i+1|≦|a_i|^dとなるようなdがとれるのでは？
その場合1≦i≦Nを満たす全てのiに対して|a_i|
友人に京大の特色に行った人がいますけど、その方はシンプルに数学ゴリラでした。受験期にも数学が好きすぎてやめられず、数学オリンピックの問題を解いたりとか大学の整数論の本を読んでいましたね。特色に受かるのは本当にそのレベルの怪物なのだなと思いました。ただ、京大の特色は高校生にとっては日本語が難しいので大学数学に割と馴染んでいたら発想はそこまで難しくないみたいな問題も割と多い気がします（笑）逆にそういう問題なのか判定して、それをきっちりとれれば合格できるので数学好きの高校生にはぜひ目指してほしいです。
その問題を試験会場で解きました。
全然できなかったけど楽しかったです!
ツワモノ👻
去年の特色58/60で入った人同級生にいますw
1問15点ですか！？！？
@@tonnsuke
多分そうですね
筆記60面接30の計90点満点です
@数学
はっきりと覚えてないので間違えてるかもしれません
@@とまとまと-k6r これ多分わかるんですが(特色98/100の人)、こないだ人の家遊びに行ったとき彼がいて、床の上に寝転んでクネクネしながら数学科の上級生がやるような英語の本と格闘してるのを見ました。
なんか普通にゆっくり解いて1時間余ったからもっと頑張れば半分くらいでいける言うてた。
@@とまとまと-k6r あやし
試験通り4時間で解いてみたけど、どの問題も途中までで終わってしまった。完答はできなかったな
コメントしてる人が猛者ばかりなのが草
ばけものしかいない
これ首席で受かった子が高校同期です
噂によると1時間余らせてほぼ全完したみたいで、なんで公立高校にこんなバケモンおんだよって思いました笑
一芸に秀でる子ってどこにでもいますね本当に
一般入試は最近あんなに簡単になってたのに、ギャップあり過ぎんか？？
数学強者は特色で集めればいいやっていう方針になったんですかね
何年か前はそこまで難しくはなかったんですけどね、、
碁石を交互に取って行く勝負で、後手必勝の個数が無限個存在することを示す問題は、レベル的にも解きやすくて面白かった覚えがあります！
一見すると一番ヤバそうに見えますが🥶🥶
@@tonnsuke とても面白い問題なので、また機会があれば解いてみてください〜
うp主ではありませんが、解いたら面白かったです。ありがとう...
サムネ見てiが虚数単位かと思った
[4]は字が見えませんが、ブラウン運動の鏡像の原理っぽいですね。
問題文長すぎて見る気うせてました😧
今年合格しました
やったね
やったぜ
確率論が専門なんだ！！
今は社会人であまりやってないけど、僕も専門でした！
ナカーマ！
立命の数学科主席でも充分すごすぎるのに素直っていうか謙遜した意見しか言わなくて能ある鷹は爪を隠すってのを感じます
今年一般で京大(工)に進んだ者ですが、友人に理学部数学特色で受かった人がいて、話していると自分は数学全く出来ないんだなって思わされます…
問題をぱっと見た時の理解力や回答までの筋道の立て方が段違いに早いです…
京大のトップ層は化け物ですよね🥶
東大模試で数学偏差値96だった友達が試しに解いたら一完でおわったらしいw
一完でも受かると噂があります🥺
@@tonnsuke 今年は一完がボーダーでしたけど、例年は二完半くらいがボーダーです！
もう偏差値とかいう尺度で測れるような次元じゃないの草通り越して森だよな
もうそれ東大模試1位だろw
一問もわからないですが面白いです！数学オリンピックの問題を解いてみた、みたいな動画も上げてください！
見てみようと思う時点ですげえ笑
最近の一般の数学めちゃくちゃ簡単だと思ったらこんなとこでバランス取ってたのかw
差がはげしい
[3]
S = {(9n²-1, 10n+4, 8n+5, 9n²-3) {n=1,2,3,....}} とする。
これが条件を満すことを確認する。
(i) (9n²-1)²-(9n²-3)² + (8n+5)²-(10n+4)²
= 2(18n²-4) + (18n+9)(-2n+1)
= 36n²-8 - 36n²+ 9 = 1 より成立
(ii) 9n²-1, 9n²-3, 8n+15, 10n-12はいずれもn>0で狭義単調増加なので
nが異なれば(9n²-1, 10n+4, 8n+5, 9n²-3)は異なる。よってSは無限集合。
(iii) (d₁, d₂, d₃, d_4)≠(0,0,0,0)なる(d_1, d₂, d₃, d_4, d_5, d_6)
を固定するとSの元(a₁, a₂, a₃, a_4)=(9n²-1, 10n+4, 8n+5, 9n²-3)
d₁a₁ + d₂a₂ - d_5 = 9d₁n²+10d₂n +
と表わされるので、(d₁, d₂)≠0であるとき、これはnの2次関数か傾きが0
でない1次関数。よって、それが0になるnは高々2個。
また、
d₃a₃ + d_4a_4 - d_6l = 9d₃n²+8d_4 n +
と表わされるので(d₃, d_4)≠0であるとき同様に0となるnは高々2個。
(d₁, d₂, d₃, d_4)≠(0,0,0,0)であるから(d₁, d₂)≠0もしくは(d₃, d_4)≠0
となるので、題意の集合の要素数は高々2であり有限集合。
Sをあるパラメータ(nとします)からなるfamilyで表現したときに、d₁=d₂=d₃=d_4=0でないとそのパラメータnが残りますよ、というような例を作れば良い訳です。(1)を満すにはa₁=1, a₂, a₃, a_4がピタゴラス数というのはすぐに浮かぶことと、nが2つからむ最小元の関数は2次関数なので
(n²-1, kn+4, ln+5, n²-3) として(1)を満すようにk,lを求めるとk=10/3, l=8/3となるので、整数になるようにn→3nとすると答の例が作れます。
問題を解く人もすごいけど作る人の頭の中はどうなっているんだろう
数オリの問題みたいで草
2問目解けましたが、この中では一番易しいと思います。
５角星の各点が単位円上で順番に並んでて「星＋真ん中の五角形」の最大面積を求めろって話ですね。
(1) 4点固定した時の最大条件は、動点と離れてる側の星の２頂点の垂直二等分線に動点があること(A1を動かすなら２頂点はA3, A4が該当)
(2) この処理の動点をA1~A5にして適用すると、A1~A5は上述した離れてる側の２頂点の垂直二等分線上に存在せねばならない
(3) (2)より、A1に対してA3が中心からの偏角αとするとA4は偏角2π-α、A2, A5の偏角は2π-2α、2αに限られる
(4) A2, A4, A5が (2) を満たす条件より α = (4/5)π. → 5点が等間隔に並んだ対称な星形
(5) あとは面積求める
(1) は4点固定すれば面積も固定される部分が出てくるのですぐ条件出せる。
(3)と(4)は垂直二等分性を偏角で条件付けするだけ。
半径しか寸法情報がないため (5) だけちょっと面倒。
初手の予選決勝法的アプローチさえ思い浮かべば流れで(5)までいけるし中学数学で十分記述可能です。
ただ、受験て水物だし試験場で時間内に相手するにはきついタイプの問題ですね
やったじゃん
試験時間全部使っても問題の意味も読み解けなさそう
1）は数学的帰納法でしょうか。
a_n-1とx_n-1の最大値を用いて上限が決まるのかなと思いましたが問題のP( )がよくわかりませんでした。
2）はあまり問題が見えませんでしたが五角星を細かく描写してるだけのように思えました。とすれば円周上の点は正五角形を目指したいところですが、領域が１つ足りないような。。。
3）は色々実験しないと分からなそうですね。
4）は文字が細かくてオジサンには辛くて断念しました
問題自体は概要欄のリンクにはってます😎
4は長すぎて私も読むのを諦めてます
@@tonnsuke 有難うございます。解けないのを楽しみたいと思います。
1完でもすれば受かるらしいです(噂程度ですので悪しからず)
最後の大問は大学範囲らしいです
京大の1完全はこわすぎる
@@tonnsuke 一般ならなんでもないですが、特色1完はエグすぎる:(；ﾞﾟ'ωﾟ'):
ちなみに今年の理学部特色入試の首席と思われる人は71/80点とってました
1完したら上位15人に入れて面接試験を受けれるって感じでした(定員5人)
2問目と3問目だけ一瞬方針見えたと思ったけど、その後のこと想像したら気持ち悪くなってきて見るのやめました笑
沼の世界へようこそ
京大理学部に入るのに必要な労力と違いすぎる……
他の科目を一切やりたくない人はこっちのほうが楽...!?
2問目は半径1の円が登場していることからも複素で解けそうかなと思います。
まず問題が読み取れないです、本当に高校生が解くの、、
問題読み取るのは僕もちょっと苦労したので、結構難しいんじゃないかなって思います
二問目はペンタグラムの定理を使うんだと思います。(適当)
ほほぉ（適当）
高校生が解く問題なのかよ…
高校生（大学数学やってる人）ですねえ
数学そのものが好き過ぎる猛者なら解けそうですね（？）
おおお
大学への数学で見て絶望したやつだ...
中学時代、なんのネトゲにハマっちゃたの？
レッドストーンていうゲームです😧
[2]は「コンパクトな領域の連続関数には最大値が存在する」こと使って良いのですかね？でしたら、A₁〜A_5が正五角形をなさないときは、A₁A₃≠A₁ A_4として一般性を失なわず、A₁A=A₁ A_4となるようにA₁を移動してもっと大きく出来る(面積の差は三角形A₁A₃A_4の差になります)ので最大ではない。よって最大はA₁〜A_5が正五角形をなすとき、と出来るのですが。
しかし高校生のころの自分ならそんなこと気にせずに最大値の存在は自明として議論すらしてなかったなぁ。
これは河野げんとでも解けないの？？
解けるんじゃないですか？
コメントがあまりに稚拙すぎる気がします
むり😂
サムネ黒染めの天心に見えてくさ
5S大学在学だけど普通の京大数学は解けなくても問題文は理解できるけど特色は問題文すら理解できん
特色はレベチ。
ちょっと解答作ってみました
２⃞が受験縛りだと難しい
１⃞(xᵢ) ∈ ℝⁿに対して
Q((xᵢ)) = ( x₂, x₃,...,xₙ₋₁,P(x₁,x₂,...,xₙ))
とする
① : | pₖ | ≦ c、pₖ≠0であるkに対してkの全ての成分≦e
② : pₖ≠0であるkの数≦c
③ : 2 + e dᵗ ≦ dᵗ⁺¹
を満たす正規の数c,d,eをとる
Kₜ = {(x₁,...,xₙ) | |xₖ| ≦c^(d^t) }
とすれば
(xᵢ)∈Kₜ → Q((xᵢ)) ∈Kₜ₊₁
である
このとき
| P((xᵢ)) | ≦ Σ | pₖ(x)ᵏ |
≦ Σ | c c^( e d^t ) | ( ∵ ①)
≦ | c×c×c^( e d^t ) | (∵ ② )
= | c^( 2+e×d^t ) |
≦ | c^( d^(t+1) ) | (∵ ③ )
２⃞ まず次は簡単なので認める
A₁、A₂、‥Aₙがこの順に単位円上に正の向きに並ぶとしてAₙ₊₁=A₁とする
補題 OAₙをxₙ正の向きに回転させてOAₙ₊₁となる0≦xₙ≦2πをとる
このときA₁〜Aₙの凸包の面積は1/2(sinx₁+‥sinxₙ)である
問題の解答
Aᵢは正の向きに並ぶとしてよい
以下添字はmod5でとる
すなわちA₆=A₁、A₋₂=A₃等である
円の中心をOとし∠AᵢOAᵢ₊₁=xᵢとおく
このとき
V :=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+2T
= (1/2) Σsin(xᵢ+xᵢ₊₁)
である
これの束縛条件
VのΣxᵢ = 2π、xᵢ≧0
での最大値を求めればよい
yᵢ = x₂ᵢ + x₂ᵢ₊₁と変数変換して領域を
Σyᵢ = 4π、yᵢ+y₁₊₁ ≦ 2π、yᵢ≧0‥①
での
2V = Σsin yᵢ
の最大値を求める問題としてよい
( ∵ Σyᵢ = 4π、yᵢ≧0は明らか
yᵢ+y₁₊₁ = x₂ᵢ+x₂ᵢ₊₁+x₂ᵢ₊₂+x₂ᵢ₊₃= 2π-xᵢ₋₁≦2π)
(参考)
ここで変分法が使えるならもう話は簡単
条件を(ℝ/2πℤ)⁵のΣyᵢ = 4πに緩めて、この領域でのΣsin yᵢの極値を調べれば良い
d( 2V - λΣyᵢ ) = Σ ( cos yᵢ - λ )dyᵢ = 0
となる点は
yᵢ ≡ ±yₖ ( mod 2π )
を満たす点に限られ、従って極値は
±5sin(4π/5), ±3sin(4π/3), sin(4π)
に限られる
(参考終わり)
(❇︎) ①を満たす任意の(yᵢ)に対して①を満たす(y'ᵢ)でそのV値が(yᵢ)のV値以上でy'ᵢ≦πを満たすものがとれる
(∵)
条件からyᵢ>πとなるiは高々２つで連続していない
y₁≦π、y₂>π、y₃≦π、y₄≦πとしてよい
y₂、y₃を(y₂+y₃)/2に取り替えたものをy'ᵢとする
Σyᵢは変化せず、y'₁、y'₂、y'₃、y'₄はπ以下となり
siny₂+ siny₃ = 2sin((y₂+y₃)/2)cos((y₂-y₃)/2)
= (siny'₂+ siny'₃)cos((y₂-y₃)/2)
≦ siny'₂+ siny'₃
よりV値は非減少である
この時点でy'₅が求めるものである
y'₅>πの場合にはy₂の代わりにy'₅に対して同じ作業をもう一度行えばよい(❇︎の証明終わり)
(❇︎)により①に加えて条件
yᵢ≦π
を追加することができる
その場合には領域においてsin(y)は上に凸だから2Vはyᵢ=4π/5のときが最大である
３⃞ a₁ = 2n+1、a₂ = 2n²、a₃=n³-1、a₄=n³-2n-1
とすれば(i)は容易、(ii)は自明、1,a₁,a₂及び1,a₃,a₄はℚ上独立だから(iii)も満たされる