Уважаемые зрители, не волнуйтесь! Решение правильное, однако, оговорю один момент Стоило оставить под знаком предела о(pi) Вышло бы: lim |sin (pi*n + pi/3 + o(pi))| Поскольку у нас стоит знак модуля, pi*n можно просто убрать (оно бы меняло только знак синуса) И останется lim |sin (pi/3 + o(pi))| = (sqrt 3)/2 Постарался разобраться в вопросе, не серчайте 😌
@@_neepaw всегда пожалуйста:) Основной сегмент моей работы - именно математический анализ (нравится больше других) Для видео по теорверу и линейной алгебре нужен еще опыт)
А я просто в аргументе синуса вычел пи n раз. Синус от этого может только поменять знак, но модуль и от этого избавит. А предел нового аргумента синуса просто ищется, если домножить его на сопряженное.
@@andreybyl благодарю за конструктив! Да, по правде говоря, тоже сейчас пытаюсь разобраться в вопросе с о-малым Как добьюсь нужного результата, обязательно исправлюсь или удостоверюсь в истинности
@@andreyan19 Все точно также, просто тащите o(1) до конца и в конце у вас получится предел от lsin(pi/3+o(1))l, а дальше теорема о пределе композиции, с учетом того, что «внешняя» функция lsin(…)l непрерывна, можно внести символ предельного перехода внутрь
Спасибо за видео. Но позвольте, переход на 2:40 неправильный, потому что когда начинается переход по формуле синуса суммы там должно быть ещё о-малое, которое вместе с pi*n уже не позволит получить, то что получилось.
Благодарю! Вы имеете ввиду, что о-Малое должно было остаться? Мы перемножили n (который был за скобками) на о(1/n) и получили о(1) А это в пределе уже 0
@@andreyan19 Просто я не могу припомнить теорем, где можно было бы так предел заносить для числовых последовательностей. Потому что иначе, что нам мешало занести сразу предел под синус и получить другой ответ.
@@ЛевЯрков-е1ж тут дело в том, что в силу непрерывности синуса, мы можем lim (sin f(n)) написать как sin(lim f(n)) f(n) = pi*n + pi/3 + pi*o (1) И там уже, в пределе, для любых целых положительных значений n будем получать +- (sqrt3/2) Но из-за модуля будет только плюс Однако, Ваш вопрос изучу более подробно и, если вдруг неправ, - исправлюсь:)
А почему вы говорите, "до первой степени" на 02:17? "o малое", или o(g(n)) это ведь множество функций f(n), меньших чем g(n) [в нашем случае g(n) = 1/n], то есть, lim_n->inf f(n)/g(n) = 0. В данном случае первый элемент такого множества это "-1/9n^2" (затем "5/81n^3" ну и т.д). Это уже член второго порядка, разложения (1 + 1/n)^1/3 в ряд Тейлора, откуда эта аппроксимация и взялась. И n здесь во второй степени уже. P.S.: ... и если я правильно понимаю, то уже к этим членам мы подставяем pi*n (перемножаем, я имею ввиду, для раскрытия скобки которая на 02:39 получилась), и уже здесь pi*n сокращается. Просто становится незначительным при n->inf. Разве мы можем просто так взять и сократить n в знаменателе внутри самой o(1/n) без всякого обоснования?
@@andreyan19 > Уже при n -> inf это слагаемое обнулится Да, я об этом в своем сообщении и сказал по сути) Ну, дело в том что я не профессионал и сходу не понял куда просто так пропало n в знаменателе прямо внутри o(1/n) и захотел понять более строго, в общем, разобраться захотелось. Разложил в ряд Тейлора и все стало ясно. А вот o(pi) прямо из синуса убирается чисто из соображений непрерывности, я правильно понимаю?) Типа, оно (o-малое) все равно к нулю стремится
@@evdokimovm оно убирается, поскольку sin (pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 Вообще, данный момент хорошо прописан в Зориче😌 Там как раз демонстрируются примеры вычислений пределов с о малым :)
@@andreyan19 я отвлёкся 😁 Извиняюсь за дотошность и что снова достаю с этой темой, когда казалось бы все и так понятно. > оно убирается, поскольку sin (pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 Но ведь sin(pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 как раз потому что o(pi) стремится к нулю, да-же?) Это тоже кстати через ряд Тейлора можно показать. Как-то так (pi*n уже отбросили): при x -> 0, sin(theta + x) = sin(theta) + x*cos(theta), ну и так как theta = pi/3, а x = o(pi) (который стремится к нулю) то остается только sin(theta)
@@fondofgreatexponent3414 если бы мы рассматривали предел функции (то есть |сos (pi x)| тогда да, предела бы не было Но у предела последовательности иначе
Не правильное решение,у этой последовательности нет предела.С чего вы взяли,что при подставлении бесконечности в n вы получаете,чётные или не чётные натуральные числа.Синус функция гармоническая,синус от бесконечности неопрелелён.
@@ויקטורגורביץ у последовательности есть предел. Функция f: N->X, областью определения которой является множество натуральных чисел, это и есть последовательность. Вы, по всей видимости, имели ввиду определение предела функции, но здесь иная ситуация
Уважаемые зрители, не волнуйтесь!
Решение правильное, однако, оговорю один момент
Стоило оставить под знаком предела о(pi)
Вышло бы: lim |sin (pi*n + pi/3 + o(pi))|
Поскольку у нас стоит знак модуля, pi*n можно просто убрать (оно бы меняло только знак синуса)
И останется lim |sin (pi/3 + o(pi))| = (sqrt 3)/2
Постарался разобраться в вопросе, не серчайте 😌
Новый ролик для меня, замечательно!
Очень красиво!!! Давайте еще!!!
Спасибо большое за ваши видео! Хотелось бы также увидеть разбор задач экзамена на линейную алгебру и теорию вероятностей!
@@_neepaw всегда пожалуйста:)
Основной сегмент моей работы - именно математический анализ (нравится больше других)
Для видео по теорверу и линейной алгебре нужен еще опыт)
В топку всякие о-малые, просто оцените разность (n^3 + n^2)^(1/3) - (n + 1/3).
А я просто в аргументе синуса вычел пи n раз. Синус от этого может только поменять знак, но модуль и от этого избавит. А предел нового аргумента синуса просто ищется, если домножить его на сопряженное.
Только плюс-с точкой за такое решение, «за о-малое уже не пишу конечно»
@@andreybyl благодарю за конструктив!
Да, по правде говоря, тоже сейчас пытаюсь разобраться в вопросе с о-малым
Как добьюсь нужного результата, обязательно исправлюсь или удостоверюсь в истинности
@@andreyan19 Все точно также, просто тащите o(1) до конца и в конце у вас получится предел от lsin(pi/3+o(1))l, а дальше теорема о пределе композиции, с учетом того, что «внешняя» функция lsin(…)l непрерывна, можно внести символ предельного перехода внутрь
Спасибо за видео. Но позвольте, переход на 2:40 неправильный, потому что когда начинается переход по формуле синуса суммы там должно быть ещё о-малое, которое вместе с pi*n уже не позволит получить, то что получилось.
Благодарю!
Вы имеете ввиду, что о-Малое должно было остаться?
Мы перемножили n (который был за скобками) на о(1/n) и получили о(1)
А это в пределе уже 0
@@andreyan19 Просто я не могу припомнить теорем, где можно было бы так предел заносить для числовых последовательностей. Потому что иначе, что нам мешало занести сразу предел под синус и получить другой ответ.
@@ЛевЯрков-е1ж тут дело в том, что в силу непрерывности синуса, мы можем lim (sin f(n)) написать как sin(lim f(n))
f(n) = pi*n + pi/3 + pi*o (1)
И там уже, в пределе, для любых целых положительных значений n будем получать +- (sqrt3/2)
Но из-за модуля будет только плюс
Однако, Ваш вопрос изучу более подробно и, если вдруг неправ, - исправлюсь:)
В уме
А почему вы говорите, "до первой степени" на 02:17? "o малое", или o(g(n)) это ведь множество функций f(n), меньших чем g(n) [в нашем случае g(n) = 1/n], то есть, lim_n->inf f(n)/g(n) = 0. В данном случае первый элемент такого множества это "-1/9n^2" (затем "5/81n^3" ну и т.д). Это уже член второго порядка, разложения (1 + 1/n)^1/3 в ряд Тейлора, откуда эта аппроксимация и взялась. И n здесь во второй степени уже.
P.S.:
... и если я правильно понимаю, то уже к этим членам мы подставяем pi*n (перемножаем, я имею ввиду, для раскрытия скобки которая на 02:39 получилась), и уже здесь pi*n сокращается. Просто становится незначительным при n->inf. Разве мы можем просто так взять и сократить n в знаменателе внутри самой o(1/n) без всякого обоснования?
@@evdokimovm в закрепленном комментарии объяснил, как точно нужно было сделать:)
Насчет разложения до второй степени
Дело в том, что после перемножения pi*n на -1/9n^2
Уже при n -> inf это слагаемое обнулится
@@andreyan19
> Уже при n -> inf это слагаемое обнулится
Да, я об этом в своем сообщении и сказал по сути) Ну, дело в том что я не профессионал и сходу не понял куда просто так пропало n в знаменателе прямо внутри o(1/n) и захотел понять более строго, в общем, разобраться захотелось. Разложил в ряд Тейлора и все стало ясно. А вот o(pi) прямо из синуса убирается чисто из соображений непрерывности, я правильно понимаю?) Типа, оно (o-малое) все равно к нулю стремится
@@evdokimovm оно убирается, поскольку sin (pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2
Вообще, данный момент хорошо прописан в Зориче😌
Там как раз демонстрируются примеры вычислений пределов с о малым :)
@@andreyan19 я отвлёкся 😁 Извиняюсь за дотошность и что снова достаю с этой темой, когда казалось бы все и так понятно.
> оно убирается, поскольку sin (pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2
Но ведь sin(pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 как раз потому что o(pi) стремится к нулю, да-же?) Это тоже кстати через ряд Тейлора можно показать. Как-то так (pi*n уже отбросили): при x -> 0, sin(theta + x) = sin(theta) + x*cos(theta), ну и так как theta = pi/3, а x = o(pi) (который стремится к нулю) то остается только sin(theta)
У косинуса в конце нет предела, это очевидно доказывается.
@@fondofgreatexponent3414 если бы мы рассматривали предел функции (то есть |сos (pi x)| тогда да, предела бы не было
Но у предела последовательности иначе
Не правильное решение,у этой последовательности нет предела.С чего вы взяли,что при подставлении бесконечности в n вы получаете,чётные или не чётные натуральные числа.Синус функция гармоническая,синус от бесконечности неопрелелён.
@@ויקטורגורביץ у последовательности есть предел. Функция f: N->X, областью определения которой является множество натуральных чисел, это и есть последовательность. Вы, по всей видимости, имели ввиду определение предела функции, но здесь иная ситуация
@@andreyan19 да ты прав моя ошибка.
2:56 почему о малое не пишем?
При перемножении n на о(1/n) мы получим о(1) (когда раскрывали скобки)
А это в пределе уже просто 0
Некорректно в A бесконечномалую опускать. Лучше потом на непрерывность синуса сослаться.
Можно было бы под знаком предела оставить, конечно,
Но после домножения о-малого на n получили бы о(1)
А это уже в пределе можно действительно убрать